章末检测试卷二(第十章 复数)-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第四册教师用书（人教B版2019）

章末检测试卷二(第十章) [时间：120分钟 分值：150分] 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.(2023·新高考全国Ⅰ)已知z=，则z-等于(　　) A.-i B.i C.0 D.1 答案　A 解析　因为z== ==-i，所以=i， 即z-=-i. 2.(2023·新高考全国Ⅱ)在复平面内，(1+3i)(3-i)对应的点位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案　A 解析　因为(1+3i)(3-i)=3+8i-3i2=6+8i， 则所求复数在复平面内对应的点为(6，8)，位于第一象限. 3.若z1，z2为复数，则“z1+z2是实数”是“z1，z2互为共轭复数”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　由题意，不妨设z1=a+bi， z2=c+di(a，b，c，d∈R)， 若z1+z2是实数，则z1+z2=a+bi+c+di=(a+c)+(b+d)i∈R， 故b+d=0，即b=-d， 由于a，c不一定相等，故z1，z2不一定互为共轭复数，故充分性不成立； 若z1，z2互为共轭复数，则z2=a-bi， 故z1+z2=2a∈R，故必要性成立. 因此“z1+z2是实数”是“z1，z2互为共轭复数”的必要不充分条件. 4.设i是虚数单位，x是实数，若复数的虚部是2，则x等于(　　) A.4 B.2 C.-2 D.-4 答案　D 解析　复数= ==-x-xi， ∵复数(x∈R)的虚部为2， ∴-x=2，∴x=-4. 5.(2022·全国乙卷)已知z=1-2i，且z+a+b=0，其中a，b为实数，则(　　) A.a=1，b=-2 B.a=-1，b=2 C.a=1，b=2 D.a=-1，b=-2 答案　A 解析　由题意知=1+2i， 所以z+a+b=1-2i+a(1+2i)+b =a+b+1+(2a-2)i， 又z+a+b=0，且a，b∈R， 所以解得 6.设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1=3-2i，则|+z2|等于(　　) A.2 B.5 C.3 D.10 答案　D 解析　由题意得，z2=-3-2i， ∴+z2=(3-2i)2+(-3-2i) =5-12i-3-2i=2-14i， ∴|+z2|==10. 7.复数z=(a∈R)为纯虚数，则|2a+i|等于(　　) A. B. C.2 D.3 答案　B 解析　因为z=为纯虚数， 所以设z=bi(b∈R，b≠0)， 即bi=，则bi(a+i)=2-i， 因此-b+abi=2-i， 从而即 所以|2a+i|=|1+i|==. 8.1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式eix=cos x+isin x(e是自然对数的底数，i是虚数单位)，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.下列说法正确的是(　　) A.+1=0 B.=1 C.cos x= D.sin x= 答案　C 解析　对于A，当x=时， 因为=cos+isin=i， 所以+1=i+1≠0，选项A错误； 对于B，= ==eπi=cos π+isin π=-1，选项B错误； 对于C，由eix=cos x+isin x， 得e-ix=cos(-x)+isin(-x)=cos x-isin x， 所以eix+e-ix=2cos x， 得出cos x=，选项C正确； 对于D，由C选项的分析得eix-e-ix=2isin x，得出sin x=-i，选项D错误. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是(　　) A.设z=，则|z|= B.若点Z的坐标为(-1，1)，则对应的点在第三象限 C.若复数z=a+bi(a，b∈R)，则z为纯虚数的充要条件是a=0 D.若1≤|z|≤，则点Z的集合所构成的图形的面积为π 答案　ABD 解析　对于A，z====-1+2i，故|z|==，故A正确； 对于B，点Z的坐标为(-1，1)，则z=-1+i，故=-1-i，对应的点为(-1，-1)，在第三象限，故B正确； 对于C，z为纯虚数的充要条件是a=0，b≠0，故C错误； 对于D，1≤|z|≤，故点Z的集合所构成的图形是半径为1与的圆所组成的圆环，故面积为π[()2-12]=π，故D正确. 10.已知集合M={m|m=in，n∈N+}，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是(　　) A.(1-i)(1+i) B. C. D.(1-i)2 答案　BC 解析　根据题意，M={m|m=in，n∈N+}， 当n=4k(k∈N+)时，in=1； 当n=4k+1(k∈N)时，in=i； 当n=4k+2(k∈N)时，in=-1； 当n=4k+3(k∈N)时，in=-i， ∴M={-1，1，i，-i}. 选项A中，(1-i)(1+i)=2∉M； 选项B中，==-i∈M； 选项C中，==i∈M； 选项D中，(1-i)2=-2i∉M. 11.已知z1，z2∈C，下列命题正确的是(　　) A.|z1|2= B.=(z2≠0) C.若z1·z2=0，则z1，z2至少有1个为0 D.若z1，z2是两个虚数，z1+z2∈R，z1·z2∈R，则z1，z2互为共轭复数 答案　BCD 解析　设z1=a+bi，z2=c+di，a，b，c，d∈R. 对于选项A，例如z1=i，则|z1|2=1，=-1， 显然|z1|2≠，故A错误； 对于选项B，因为z2≠0， 则===+i， 可得=-i； 又因为=a-bi，=c-di， 可得===-i， 所以=(z2≠0)，故B正确； 对于选项C，因为z1·z2=(a+bi)(c+di) =(ac-bd)+(ad+bc)i=0， 可得 解得a=b=0或c=d=0， 即z1=0或z2=0， 所以z1，z2至少有1个为0，故C正确； 对于选项D，若z1，z2是两个虚数，则b≠0，d≠0， 因为z1+z2=(a+c)+(b+d)i∈R， 则b+d=0，即b=-d， 又因为z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i∈R， 则ad+bc=0，即ad-dc=0，可得a=c， 所以z1=c-di=，即z1，z2互为共轭复数，故D正确. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.(2023·天津)已知i是虚数单位，化简的结果为　　　　. 答案　4+i 解析　由题意可得===4+i. 13.若复数z=a+i(a∈R)与它的共轭复数所对应的向量互相垂直，则a=　　　　.  答案　±1 解析　=a-i，因为复数z与它的共轭复数所对应的向量互相垂直，所以a2=1，所以a=±1. 14.如果1-2i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的一个根，其中i是虚数单位，则pq=　　　　.  答案　-10 解析　因为1-2i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的一个根， 所以(1-2i)2+p(1-2i)+q=0， 即p+q-3-(2p+4)i=0， 所以解得 所以pq=-10. 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15.(13分)已知复数z=(a2-2a-3)+(a+1)i，a∈R. (1)当z为纯虚数时，求复数z2 024；(6分) (2)当a=0时，复数z在复平面内对应的点记为点A，将点A绕着原点顺时针旋转90°到达点B，求所对应的复数的共轭复数.(7分) 解　(1)由题意得解得a=3， 所以z=4i，则z2 024=(4i)2 024=42 024. (2)当a=0时，z=-3+i， 则A(-3，1)，则B(1，3)， 所以=(4，2)， 所对应的复数z1=4+2i， 所以=4-2i. 16.(15分)已知m∈R，复数z=(m-2)+(m2-9)i. (1)若z在复平面内对应的点在第一象限，求m的取值范围；(6分) (2)若z的共轭复数与复数+5i相等，求m的值.(9分) 解　(1)由题意得解得m>3， 所以m的取值范围是{m|m>3}. (2)因为z=(m-2)+(m2-9)i， 所以=(m-2)+(9-m2)i， 因为与复数+5i相等， 所以解得m=-2. 17.(15分)已知复数z1满足(1+i)z1=-1+5i，z2=a-2-i，其中i为虚数单位，a∈R，若|z1-|<|z1|，求a的取值范围. 解　由题意，得z1==2+3i， 因为z2=a-2-i，所以=a-2+i， 所以|z1-|=|(2+3i)-(a-2+i)| =|4-a+2i|=，|z1|=， 又因为|z1-|<|z1|， 所以<， 所以a2-8a+7<0，解得1<a<7. 所以a的取值范围是(1，7). 18.(17分)已知复数z满足|z|=，z2的虚部为2. (1)求复数z；(7分) (2)设z，z2，z-z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积.(10分) 解　(1)设z=a+bi(a，b∈R)， 由已知条件得a2+b2=2， 因为z2=a2-b2+2abi，所以2ab=2. 所以a=b=1或a=b=-1， 即z=1+i或z=-1-i. (2)当z=1+i时， z2=(1+i)2=2i，z-z2=1-i. 所以点A(1，1)，B(0，2)，C(1，-1)， 所以S△ABC=|AC|×1=×2×1=1； 当z=-1-i时， z2=(-1-i)2=2i，z-z2=-1-3i. 所以点A(-1，-1)，B(0，2)，C(-1，-3)， 所以S△ABC=|AC|×1=×2×1=1. 综上，△ABC的面积为1. 19.(17分)已知复数z满足|z|=1，且关于x的方程zx2+2x+2=0有实根，其中为z的共轭复数，求满足条件的z构成的集合. 解　设z=a+bi(a，b∈R)， 则a2+b2=1， 代入原方程得(a+bi)x2+2(a-bi)x+2=0， 即ax2+2ax+2+(bx2-2bx)i=0， 若b=0，则a2=1，解得a=±1， 当a=1时，①无实数解；当a=-1时，存在实数解x=-1±满足①，②，故z=-1满足条件. 若b≠0，则由②知x∈{0，2}， 当x=0时不满足①，故x=2， 代入①解得a=-，进而b=±， 即z=， 综上，满足条件的z构成的集合为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十章 <<< 章末检测试卷二(第十章) 2 答案 1 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A A B D A D B 题号 8 9 10 11 12 13 14 答案 C ABD BC BCD -10 对一对 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 15. (1)由题意得 解得a=3， 所以z=4i，则z2 024=(4i)2 024=42 024. (2)当a=0时，z=-3+i， 则A(-3，1)，则B(1，3)， 所以=(4，2)， 所对应的复数z1=4+2i， 所以=4-2i. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16. (1)由题意得 解得m>3， 所以m的取值范围是{m|m>3}. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16. (2)因为z=(m-2)+(m2-9)i， 所以=(m-2)+(9-m2)i， 因为+5i相等， 所以解得m=-2. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17. 由题意，得z1==2+3i， 因为z2=a-2-i，所以=a-2+i， 所以|z1-|=|(2+3i)-(a-2+i)|=|4-a+2i|=，|z1|=， 又因为|z1-|<|z1|， 所以<， 所以a2-8a+7<0，解得1<a<7. 所以a的取值范围是(1，7). 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18. (1)设z=a+bi(a，b∈R)， 由已知条件得a2+b2=2， 因为z2=a2-b2+2abi，所以2ab=2. 所以a=b=1或a=b=-1， 即z=1+i或z=-1-i. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18. (2)当z=1+i时， z2=(1+i)2=2i，z-z2=1-i. 所以点A(1，1)，B(0，2)，C(1，-1)， 所以S△ABC=|AC|×1=×2×1=1； 当z=-1-i时， z2=(-1-i)2=2i，z-z2=-1-3i. 所以点A(-1，-1)，B(0，2)，C(-1，-3)， 所以S△ABC=|AC|×1=×2×1=1. 综上，△ABC的面积为1. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19. 设z=a+bi(a，b∈R)， 则a2+b2=1， 代入原方程得(a+bi)x2+2(a-bi)x+2=0， 即ax2+2ax+2+(bx2-2bx)i=0， 若b=0，则a2=1，解得a=±1， 当a=1时，①无实数解；当a=-1时，存在实数解x=-1±满足①，②， 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19. 故z=-1满足条件. 若b≠0，则由②知x∈{0，2}， 当x=0时不满足①，故x=2， 代入①解得a=-，进而b=±， 即z=， 综上，满足条件的z构成的集合为. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 一、单项选择题 1.(2023·新高考全国Ⅰ)已知z=，则z-等于 A.-i B.i C.0 D.1 √ 因为z====-i，所以=i， 即z-=-i. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2.(2023·新高考全国Ⅱ)在复平面内，(1+3i)(3-i)对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 √ 因为(1+3i)(3-i)=3+8i-3i2=6+8i， 则所求复数在复平面内对应的点为(6，8)，位于第一象限. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3.若z1，z2为复数，则“z1+z2是实数”是“z1，z2互为共轭复数”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由题意，不妨设z1=a+bi， z2=c+di(a，b，c，d∈R)， 若z1+z2是实数，则z1+z2=a+bi+c+di=(a+c)+(b+d)i∈R， 故b+d=0，即b=-d， 由于a，c不一定相等，故z1，z2不一定互为共轭复数，故充分性不成立； 若z1，z2互为共轭复数，则z2=a-bi， 故z1+z2=2a∈R，故必要性成立. 因此“z1+z2是实数”是“z1，z2互为共轭复数”的必要不充分条件. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4.设i是虚数单位，x是实数，若复数的虚部是2，则x等于 A.4 B.2 C.-2 D.-4 √ 复数===-x-xi， ∵复数(x∈R)的虚部为2， ∴-x=2，∴x=-4. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5.(2022·全国乙卷)已知z=1-2i，且z+a+b=0，其中a，b为实数，则 A.a=1，b=-2 B.a=-1，b=2 C.a=1，b=2 D.a=-1，b=-2 √ 由题意知=1+2i， 所以z+a+b=1-2i+a(1+2i)+b =a+b+1+(2a-2)i， 又z+a+b=0，且a，b∈R， 所以 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6.设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1=3-2i，则|+z2|等于 A.2 B.5 C.3 D.10 √ 由题意得，z2=-3-2i， ∴+z2=(3-2i)2+(-3-2i)=5-12i-3-2i=2-14i， ∴|+z2|==10. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7.复数z=(a∈R)为纯虚数，则|2a+i|等于 A. B. C.2 D.3 √ 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 因为z=为纯虚数， 所以设z=bi(b∈R，b≠0)， 即bi=，则bi(a+i)=2-i， 因此-b+abi=2-i， 从而 所以|2a+i|=|1+i|==. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8.1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式eix=cos x+isin x(e是自然对数的底数，i是虚数单位)，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.下列说法正确的是 A.+1=0 B.=1 C.cos x= D.sin x= √ 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 对于A，当x=时， 因为=cos+isin=i， 所以+1=i+1≠0，选项A错误； 对于B，= ==eπi=cos π+isin π=-1，选项B错误； 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 对于C，由eix=cos x+isin x， 得e-ix=cos(-x)+isin(-x)=cos x-isin x， 所以eix+e-ix=2cos x， 得出cos x=，选项C正确； 对于D，由C选项的分析得eix-e-ix=2isin x，得出sin x=-i，选项D错误. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 二、多项选择题 9.设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是 A.设z=，则|z|= B.若点Z的坐标为(-1，1)，则对应的点在第三象限 C.若复数z=a+bi(a，b∈R)，则z为纯虚数的充要条件是a=0 D.若1≤|z|≤，则点Z的集合所构成的图形的面积为π √ √ √ 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 对于A，z====-1+2i，故|z|==，故A正确； 对于B，点Z的坐标为(-1，1)，则z=-1+i，故=-1-i，对应的点为(-1，-1)，在第三象限，故B正确； 对于C，z为纯虚数的充要条件是a=0，b≠0，故C错误； 对于D，1≤|z|≤，故点Z的集合所构成的图形是半径为1与的圆所组成的圆环，故面积为π[()2-12]=π，故D正确. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10.已知集合M={m|m=in，n∈N+}，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是 A.(1-i)(1+i) B. C. D.(1-i)2 √ √ 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 根据题意，M={m|m=in，n∈N+}， 当n=4k(k∈N+)时，in=1； 当n=4k+1(k∈N)时，in=i； 当n=4k+2(k∈N)时，in=-1； 当n=4k+3(k∈N)时，in=-i， ∴M={-1，1，i，-i}. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 选项A中，(1-i)(1+i)=2∉M； 选项B中，==-i∈M； 选项C中，==i∈M； 选项D中，(1-i)2=-2i∉M. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11.已知z1，z2∈C，下列命题正确的是 A.|z1|2= B.=(z2≠0) C.若z1·z2=0，则z1，z2至少有1个为0 D.若z1，z2是两个虚数，z1+z2∈R，z1·z2∈R，则z1，z2互为共轭复数 √ √ √ 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 设z1=a+bi，z2=c+di，a，b，c，d∈R. 对于选项A，例如z1=i，则|z1|2=1，=-1， 显然|z1|2≠，故A错误； 对于选项B，因为z2≠0， 则===+i， 可得=-i； 又因为=a-bi，=c-di， 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 可得===-i， 所以=(z2≠0)，故B正确； 对于选项C，因为z1·z2=(a+bi)(c+di) =(ac-bd)+(ad+bc)i=0， 可得 解得a=b=0或c=d=0， 即z1=0或z2=0， 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 所以z1，z2至少有1个为0，故C正确； 对于选项D，若z1，z2是两个虚数，则b≠0，d≠0， 因为z1+z2=(a+c)+(b+d)i∈R， 则b+d=0，即b=-d， 又因为z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i∈R， 则ad+bc=0，即ad-dc=0，可得a=c， 所以z1=c-di=，即z1，z2互为共轭复数，故D正确. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由题意可得===4+i. 三、填空题 12.(2023·天津)已知i是虚数单位，化简的结果为　　　　. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 13.若复数z=a+i(a∈R)与它的共轭复数所对应的向量互相垂直，则a= .  =a-i，因为复数z与它的共轭复数所对应的向量互相垂直，所以a2=1，所以a=±1. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14.如果1-2i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的一个根，其中i是虚数单位，则pq=　　　　.  -10 因为1-2i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的一个根， 所以(1-2i)2+p(1-2i)+q=0， 即p+q-3-(2p+4)i=0， 所以 所以pq=-10. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 四、解答题 15.已知复数z=(a2-2a-3)+(a+1)i，a∈R. (1)当z为纯虚数时，求复数z2 024； 由题意得解得a=3， 所以z=4i，则z2 024=(4i)2 024=42 024. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)当a=0时，复数z在复平面内对应的点记为点A，将点A绕着原点顺时针旋转90°到达点B，求所对应的复数的共轭复数. 当a=0时，z=-3+i， 则A(-3，1)，则B(1，3)， 所以=(4，2)， 所对应的复数z1=4+2i， 所以=4-2i. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16.已知m∈R，复数z=(m-2)+(m2-9)i. (1)若z在复平面内对应的点在第一象限，求m的取值范围； 由题意得解得m>3， 所以m的取值范围是{m|m>3}. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 因为z=(m-2)+(m2-9)i， 所以=(m-2)+(9-m2)i， 因为+5i相等， 所以解得m=-2. (2)若z的共轭复数与复数+5i相等，求m的值. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17.已知复数z1满足(1+i)z1=-1+5i，z2=a-2-i，其中i为虚数单位，a∈R，若|z1-|<|z1|，求a的取值范围. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由题意，得z1==2+3i， 因为z2=a-2-i，所以=a-2+i， 所以|z1-|=|(2+3i)-(a-2+i)| =|4-a+2i|=，|z1|=， 又因为|z1-|<|z1|， 所以<， 所以a2-8a+7<0，解得1<a<7. 所以a的取值范围是(1，7). 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18.已知复数z满足|z|=，z2的虚部为2. (1)求复数z； 设z=a+bi(a，b∈R)， 由已知条件得a2+b2=2， 因为z2=a2-b2+2abi，所以2ab=2. 所以a=b=1或a=b=-1， 即z=1+i或z=-1-i. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)设z，z2，z-z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 当z=1+i时， z2=(1+i)2=2i，z-z2=1-i. 所以点A(1，1)，B(0，2)，C(1，-1)， 所以S△ABC=|AC|×1=×2×1=1； 当z=-1-i时， z2=(-1-i)2=2i，z-z2=-1-3i. 所以点A(-1，-1)，B(0，2)，C(-1，-3)， 所以S△ABC=|AC|×1=×2×1=1. 综上，△ABC的面积为1. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19.已知复数z满足|z|=1，且关于x的方程zx2+2x+2=0有实根，其中为z的共轭复数，求满足条件的z构成的集合. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 设z=a+bi(a，b∈R)， 则a2+b2=1， 代入原方程得(a+bi)x2+2(a-bi)x+2=0， 即ax2+2ax+2+(bx2-2bx)i=0， 若b=0，则a2=1，解得a=±1， 当a=1时，①无实数解；当a=-1时，存在实数解x=-1±满足①，②，故z=-1满足条件. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 若b≠0，则由②知x∈{0，2}， 当x=0时不满足①，故x=2， 代入①解得a=-，进而b=±， 即z=， 综上，满足条件的z构成的集合为. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 第一章 <<< $$