第十章 复数 章末复习课-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第四册教师用书（人教B版2019）

第十章 <<< 章末复习课 知识网络 一、复数的概念 二、复数的代数运算 三、复数的综合应用 内容索引 一 复数的概念 1.复数的相关概念是掌握复数的基础，如虚数、纯虚数、共轭复数、复数相等、复数的模等.有关复数的题目不同于实数，应注意根据复数的相关概念解答. 2.理解复数的几何意义 复数z=a+bi(a，b∈R) 复平面内的点Z(a，b) 平面向量. 5 (1)以下命题中，正确的是 A.如果两个复数互为共轭复数，那么它们的差是纯虚数 B.如果a+bi=c+di，那么a=c，b=d C.在复平面内，虚轴上的点与纯虚数一一对应 D.在复平面内，实轴上的点与实数一一对应 例 1 √ (a+bi)-(a-bi)=2bi(a，b∈R)，当b=0时，2bi不是纯虚数，故A错误； 如果a+bi=c+di，当a，b，c，d∈R时，a=c，b=d，故B错误； 在复平面内，虚轴上的点除原点外与纯虚数一一对应，故C错误； 在复平面内，实轴上的点与实数一一对应，故D正确. 6 (2)已知复数z1=2+3i，z2=a+bi(a，b∈R)，z3=1-4i，它们在复平面上所对应的向量分别为，，.若=2+，则a=　　　，b=　　　.  -3 -10 ∵=2+， ∴1-4i=2(2+3i)+(a+bi)=(4+a)+(6+b)i， 即∴ 7 反 思 感 悟 处理复数概念问题的两个注意点 (1)当复数不是a+bi(a，b∈R)的形式时，要通过变形化为a+bi的形式，以便确定其实部和虚部. (2)在复平面内，利用复数、点、平面向量之间的一一对应关系解决问题. (1)若复数z=1+i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2+的虚部为 A.0 B.-1 C.1 D.-2 跟踪训练 1 √ 因为z=1+i，所以=1-i， 所以z2+=(1+i)2+(1-i)2=2i+(-2i)=0. 9 (2)若i为虚数单位，图中复平面内的点Z表示复数z，则表示复数的点是 A.E B.F C.G D.H √ ∵点Z(3，1)对应的复数为z， ∴z=3+i， ∴====2-i， ∴该复数对应的点的坐标是(2，-1)，即H点. 10 二 复数的代数运算 1.复数运算是本章的重要内容，是高考考查的重点和热点，每年高考都有考查，一般以复数的乘法和除法运算为主. 2.借助复数运算的学习，提升数学运算素养. 12 计算： (1)+； 例 2 +=+ =i(1+i)+=-1+i+(-i)1 012 =-1+i+1=i. 13 原式=(4-i)(6-2i)+(7-i)(4-3i)=22-14i+25-25i=47-39i. (2)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i). 14 反 思 感 悟 进行复数代数运算的策略 (1)复数代数形式的运算的基本思路就是应用运算法则进行计算. (2)复数的四则运算中，将含有虚数单位i的和不含i的分别看作同类项，进行合并即可. (1)复数z满足z(+1)=1+i，其中i是虚数单位，则z等于 A.1+i或-2+i B.i或1+i C.i或-1+i D.-1-i或-2+i 跟踪训练 2 √ 设z=a+bi(a，b∈R)， 由z(+1)=1+i，得a2+b2+a+bi=1+i， 所以b=1，a2+a+1=1， 所以a=0或a=-1.故z=i或z=-1+i. 16 (2)已知z=-，则z100+z50+1的值为 A.i B.-i C.1+i D.1-i √ 因为(1-i)2=1-2i+i2=-2i， 所以z100+z50+1=++1 =(1-i)100+(1-i)50+1=(-2i)50+(-2i)25+1 =i50-i25+1=i2-i+1=-i. 17 三 复数的综合应用 已知复数z满足|z+2-2i|=1，求|z-3-2i|的最小值. 例 3 19 方法一　设z=x+yi(x，y∈R)， 则|x+yi+2-2i|=1，即|(x+2)+(y-2)i|=1. ∴(x+2)2+(y-2)2=1. ∴|z-3-2i|= ==， 由(y-2)2=1-(x+2)2≥0， 得x2+4x+3≤0. ∴-3≤x≤-1，∴16≤-10x+6≤36. ∴4≤≤6. ∴当x=-1时，|z-3-2i|的最小值为4. 20 方法二　由复数及其模的几何意义知： 满足|z+2-2i|=1，即|z-(-2+2i)|=1的复数z所对应的点的轨迹是以C(-2，2)为圆心，半径r=1的圆，而|z-3-2i|=|z-(3+2i)|的几何意义是复数z对应的点与点A(3，2)的距离. 由圆的知识可知|z-3-2i|的最小值为|AC|-r. 又|AC|==5， 所以|z-3-2i|的最小值为5-1=4. 方法三　|z-3-2i|=|(z+2-2i)-5| ≥||z+2-2i|-|5||=|1-5|=4， 所以|z-3-2i|的最小值为4. 21 反 思 感 悟 在解决一些关于|z1-z2|最值的问题时，常把|z1-z2|理解成z1，z2在复平面内对应的点之间的距离. 已知复数z1=i(1-i)3. (1)求|z1|； 跟踪训练 3 ∵z1=i(1-i)3=i(-2-2i)=2-2i， ∴|z1|==2. 23 (2)若|z|=1，求|z-z1|的最大值. 如图所示，由|z|=1可知，z在复平面内对应的点的轨迹是圆心为O(0，0)，半径为1的圆，而z1对应着坐标系中的点Z1(2，-2).所以|z-z1|的最大值可以看成是点Z1(2，-2)到圆上的点的距离的最大值.由图知|z-z1|max =|z1|+r=2+1(r为圆O的半径). 24 第一章 <<< $$ 一、复数的概念 1.复数的相关概念是掌握复数的基础，如虚数、纯虚数、共轭复数、复数相等、复数的模等.有关复数的题目不同于实数，应注意根据复数的相关概念解答. 2.理解复数的几何意义 复数z=a+bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)平面向量. 例1　(1)以下命题中，正确的是(　　) A.如果两个复数互为共轭复数，那么它们的差是纯虚数 B.如果a+bi=c+di，那么a=c，b=d C.在复平面内，虚轴上的点与纯虚数一一对应 D.在复平面内，实轴上的点与实数一一对应 答案　D 解析　(a+bi)-(a-bi)=2bi(a，b∈R)， 当b=0时，2bi不是纯虚数，故A错误；如果a+bi=c+di，当a，b，c，d∈R时，a=c，b=d，故B错误；在复平面内，虚轴上的点除原点外与纯虚数一一对应，故C错误；在复平面内，实轴上的点与实数一一对应，故D正确. (2)已知复数z1=2+3i，z2=a+bi(a，b∈R)，z3=1-4i，它们在复平面上所对应的向量分别为，，.若=2+，则a=　　　　，b=　　　　.  答案　-3　-10 解析　∵=2+， ∴1-4i=2(2+3i)+(a+bi)=(4+a)+(6+b)i， 即∴ 反思感悟　处理复数概念问题的两个注意点 (1)当复数不是a+bi(a，b∈R)的形式时，要通过变形化为a+bi的形式，以便确定其实部和虚部. (2)在复平面内，利用复数、点、平面向量之间的一一对应关系解决问题. 跟踪训练1　(1)若复数z=1+i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2+的虚部为(　　) A.0 B.-1 C.1 D.-2 答案　A 解析　因为z=1+i，所以=1-i， 所以z2+=(1+i)2+(1-i)2=2i+(-2i)=0. (2)若i为虚数单位，图中复平面内的点Z表示复数z，则表示复数的点是(　　) A.E B.F C.G D.H 答案　D 解析　∵点Z(3，1)对应的复数为z， ∴z=3+i， ∴====2-i， ∴该复数对应的点的坐标是(2，-1)，即H点. 二、复数的代数运算 1.复数运算是本章的重要内容，是高考考查的重点和热点，每年高考都有考查，一般以复数的乘法和除法运算为主. 2.借助复数运算的学习，提升数学运算素养. 例2　计算： (1)+； (2)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i). 解　(1)+=+ =i(1+i)+=-1+i+(-i)1 012 =-1+i+1=i. (2)原式=(4-i)(6-2i)+(7-i)(4-3i) =22-14i+25-25i=47-39i. 反思感悟　进行复数代数运算的策略 (1)复数代数形式的运算的基本思路就是应用运算法则进行计算. (2)复数的四则运算中，将含有虚数单位i的和不含i的分别看作同类项，进行合并即可. 跟踪训练2　(1)复数z满足z(+1)=1+i，其中i是虚数单位，则z等于(　　) A.1+i或-2+i B.i或1+i C.i或-1+i D.-1-i或-2+i 答案　C 解析　设z=a+bi(a，b∈R)， 由z(+1)=1+i，得a2+b2+a+bi=1+i， 所以b=1，a2+a+1=1， 所以a=0或a=-1.故z=i或z=-1+i. (2)已知z=-，则z100+z50+1的值为(　　) A.i B.-i C.1+i D.1-i 答案　B 解析　因为(1-i)2=1-2i+i2=-2i， 所以z100+z50+1=++1 =(1-i)100+(1-i)50+1 =(-2i)50+(-2i)25+1 =i50-i25+1=i2-i+1=-i. 三、复数的综合应用 例3　已知复数z满足|z+2-2i|=1，求|z-3-2i|的最小值. 解　方法一　设z=x+yi(x，y∈R)， 则|x+yi+2-2i|=1，即|(x+2)+(y-2)i|=1. ∴(x+2)2+(y-2)2=1. ∴|z-3-2i|= ==， 由(y-2)2=1-(x+2)2≥0， 得x2+4x+3≤0. ∴-3≤x≤-1，∴16≤-10x+6≤36. ∴4≤≤6. ∴当x=-1时，|z-3-2i|的最小值为4. 方法二　由复数及其模的几何意义知： 满足|z+2-2i|=1，即|z-(-2+2i)|=1的复数z所对应的点的轨迹是以C(-2，2)为圆心，半径r=1的圆，而|z-3-2i|=|z-(3+2i)|的几何意义是复数z对应的点与点A(3，2)的距离. 由圆的知识可知|z-3-2i|的最小值为|AC|-r. 又|AC|==5， 所以|z-3-2i|的最小值为5-1=4. 方法三　|z-3-2i|=|(z+2-2i)-5| ≥||z+2-2i|-|5||=|1-5|=4， 所以|z-3-2i|的最小值为4. 反思感悟　在解决一些关于|z1-z2|最值的问题时，常把|z1-z2|理解成z1，z2在复平面内对应的点之间的距离. 跟踪训练3　已知复数z1=i(1-i)3. (1)求|z1|； (2)若|z|=1，求|z-z1|的最大值. 解　(1)∵z1=i(1-i)3=i(-2-2i)=2-2i， ∴|z1|==2. (2)如图所示，由|z|=1可知，z在复平面内对应的点的轨迹是圆心为O(0，0)，半径为1的圆，而z1对应着坐标系中的点Z1(2，-2).所以|z-z1|的最大值可以看成是点Z1(2，-2)到圆上的点的距离的最大值.由图知|z-z1|max=|z1|+r=2+1(r为圆O的半径). 学科网（北京）股份有限公司 $$