第七章 三角函数 章末复习课-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第三册教师用书（人教B版2019）

章末复习课 第七章 <<< 知识网络 一、三角函数的定义 二、同角三角函数的基本关系式及诱导公式 三、三角函数的图象与性质 内容索引 四、三角函数的图象变换 三角函数的定义 一 1.利用三角函数的定义求三角函数值，以及利用三角函数的定义判断三角函数值的符号是常见考查题型，含参时要注意检验是否出现增根或分类讨论. 2.掌握三角函数的定义，重点提升逻辑推理和数学运算素养. 5 已知角θ的终边经过点P(-，m)(m≠0)且sin θ=m，试判断角θ所 在的象限，并求cos θ和tan θ的值. 例 1 6 由题意得，r=， 所以sin θ==m. 因为m≠0，所以m=±，故角θ是第二或第三象限角. 当m=时，r=2，点P的坐标为(-)，角θ是第二象限角， 所以cos θ===-， tan θ===-， 当m=-时，r=2，点P的坐标为(-，-)，角θ是第三象限角，所 以cos θ===-，tan θ===. 7 利用三角函数定义求三角函数值，注意平方能出现增根，开方需取正，所以含参时要检验或分类讨论. 反 思 感 悟 8 跟踪训练 1 (1)若sin α<0且tan α>0，则α是 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 √ ∵sin α<0，∴α的终边在第三或第四象限， ∵tan α>0，∴α的终边在第一或第三象限， 故α是第三象限角. 9 (2)已知角α的终边过点P(-8m，-6sin 30°)，且cos α=-，则m的值为 A.- B.- C. D. √ 由题意得点P(-8m，-3)，r=， 所以cos α==-，所以m=. 10 二 同角三角函数的基本关系式及诱导公式 1.同角三角函数有两个基本关系式，重点考查给值求值和给式求值以及简单的三角函数式的化简、证明.在求值过程中注意角的范围、三角函数值的正负判断，在化简、证明中充分利用“1”的作用. 2.诱导公式可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式.记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限.其中，奇、偶是指的奇数倍或偶数倍，变与 不变是指函数名称的变化.若是奇数倍，则函数名称变为相应的异名函数(即正余互变)；若是偶数倍，则函数名称不变.符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号. 3.掌握正弦、余弦、正切值之间的基本关系及诱导公式，重点提升逻辑推理和数学运算素养. 例 2 已知=-4，求(sin θ-3cos θ)·(cos θ-sin θ)的值. 13 方法一　由已知得=-4， 解得tan θ=2. ∴(sin θ-3cos θ)(cos θ-sin θ) =4sin θcos θ-sin2θ-3cos2θ = = ==. 14 方法二　由已知=-4， 解得tan θ=2. 即=2，∴sin θ=2cos θ. ∴(sin θ-3cos θ)(cos θ-sin θ) =(2cos θ-3cos θ)(cos θ-2cos θ)=cos2θ ===. 15 反 思 感 悟 (1)关于同角三角函数的基本关系 一是利用基本关系进行直接运算，二是综合利用基本关系进行弦、切互化，整体代换求值等. (2)关于诱导公式的应用 首先结合口诀理解、熟记诱导公式，其次在应用的过程中要善于观察角度之间的关系，如互余、互补、拆分出特殊角等，以达到灵活应用目的. 已知sin α是方程5x2-7x-6=0的根，α是第三象限角，求 ·tan2(π-α)的值. 跟踪训练 2 17 方程5x2-7x-6=0的两根为x1=-， x2=2， 由α是第三象限角，得sin α=-， 则cos α=-， ∴·tan2(π-α) =·tan2α =-tan2α=-=-. 18 三 三角函数的图象与性质 1.三角函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等，在研究性质时，将ωx+φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧. 2.“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象. 3.掌握三角函数的图象和性质，重点培养直观想象和数学运算素养. 20 函数f(x)=3sin的部分图象如图所示. (1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值； 例 3 f(x)的最小正周期T===π， 令2x+=+kπ，k∈Z， 则x=+，k∈Z， 当k=2时，x0=，y0=3. 21 (2)求f(x)的单调递减区间； 令+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z. 解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z， 所以f(x)的单调递减区间为，k∈Z. 22 (3)求f(x)在区间上的最大值和最小值. 因为x∈， 所以2x+∈， 于是当2x+=0， 即x=-时，f(x)取得最大值0； 当2x+=-， 即x=-时，f(x)取得最小值-3. 23 反 思 感 悟 (1)单调性：求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把ωx+φ视为一个“整体”. (2)周期性：函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期 为，y=tan(ωx+φ)的最小正周期为. 三角函数的四条性质 反 思 感 悟 (3)奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为y=Asin ωx或y=Atan ωx，而偶函数一般可化为y=Acos ωx+B的形式. (4)对称性：求形如y=Asin(ωx+φ)，y=Acos(ωx+φ)的对称中心和对称轴，把ωx+φ视为一个整体，分别与y=sin x，y=cos x的对称中心、对称轴对应解出x，即得相应函数的对称中心的坐标和对称轴方程.对于y=tan(ωx+φ)的对称中心，则令ωx+φ =(k∈Z)解得. (1)函数f(x)=tan的单调递增区间是 A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 跟踪训练 3 √ 26 令-+kπ<2x-<+kπ，k∈Z. 解得-+<x<+，k∈Z. 所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z. 27 (2)函数y=sin的图象的对称中心和对称轴方程分别 为　　　　　 　　　　　　.  (k∈Z)，x=+，k∈Z 28 令2x-=kπ，k∈Z， 解得x=+，k∈Z， ∴f(x)的对称中心为(k∈Z). 令2x-=+kπ，k∈Z， 解得x=+，k∈Z. ∴f(x)的对称轴方程为x=+，k∈Z. 29 四 三角函数的图象变换 1.重点考查三角函数的平移变换、伸缩变换和解析式的确定，通过对图象的描述、观察来讨论函数的有关性质. 2.掌握平移和伸缩变换，以及由图象求解析式，重点提升直观想象和逻辑推理素养. 31 如图是函数y=Asin(ωx+φ)+k的部分图象. (1)求此函数的解析式； 例 4 32 由图象知A==， k==-1，T=2×=π， ∴ω==2， ∴y=sin(2x+φ)-1. 当x=时，2×+φ=+2kπ，k∈Z， ∴φ=+2kπ，k∈Z，又|φ|<， ∴φ=， 故所求函数的解析式为y=sin-1. 33 (2)分析该函数的图象是由y=sin x的图象如何变换得来的？ 34 把y=sin x的图象向左平移个单位，得到y=sin ，得到y=sin ，得到y=sin的图象，最后把函数y=sin的图象向下平移1个单位，得到y=sin-1的图象. 35 反 思 感 悟 (1)由图象求解析式一般采用待定系数法求A，ω，φ.求φ时一般代入函数图象上的最高点或最低点. (2)先平移后伸缩与先伸缩后平移，两者平移的量是不同的.左右平移只是把x变成x±φ，其他不变，左右伸缩只是 把x变成ωx或x，其他不变. 把函数f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)的图象上每一点的横坐 标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后再向左平移个单位，得到一个 最小正周期为2π的奇函数g(x)，求ω和φ的值. 跟踪训练 4 37 依题意得f(x)第一次变换得到的函数解析式为m(x)=2cos， 则函数g(x)=2cos. 因为函数g(x)的最小正周期为2π，所以ω=2， 则g(x)=2cos. 又因为函数g(x)为奇函数， 所以φ+=+kπ，k∈Z， 所以φ=+kπ，k∈Z.又0<φ<π，则φ=. 38 第一章 <<< $$ 一、三角函数的定义 1.利用三角函数的定义求三角函数值，以及利用三角函数的定义判断三角函数值的符号是常见考查题型，含参时要注意检验是否出现增根或分类讨论. 2.掌握三角函数的定义，重点提升逻辑推理和数学运算素养. 例1　已知角θ的终边经过点P(-，m)(m≠0)且sin θ=m，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值. 解　由题意得，r=， 所以sin θ==m. 因为m≠0，所以m=±，故角θ是第二或第三象限角. 当m=时，r=2，点P的坐标为(-，)，角θ是第二象限角， 所以cos θ===-， tan θ===-， 当m=-时，r=2，点P的坐标为(-，-)，角θ是第三象限角，所以cos θ===-， tan θ===. 反思感悟　利用三角函数定义求三角函数值，注意平方能出现增根，开方需取正，所以含参时要检验或分类讨论. 跟踪训练1　(1)若sin α<0且tan α>0，则α是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 答案　C 解析　∵sin α<0，∴α的终边在第三或第四象限， ∵tan α>0，∴α的终边在第一或第三象限， 故α是第三象限角. (2)已知角α的终边过点P(-8m，-6sin 30°)，且cos α=-，则m的值为(　　) A.- B.- C. D. 答案　C 解析　由题意得点P(-8m，-3)，r=， 所以cos α==-，所以m=. 二、同角三角函数的基本关系式及诱导公式 1.同角三角函数有两个基本关系式，重点考查给值求值和给式求值以及简单的三角函数式的化简、证明.在求值过程中注意角的范围、三角函数值的正负判断，在化简、证明中充分利用“1”的作用. 2.诱导公式可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式.记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限.其中，奇、偶是指的奇数倍或偶数倍，变与不变是指函数名称的变化.若是奇数倍，则函数名称变为相应的异名函数(即正余互变)；若是偶数倍，则函数名称不变.符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号. 3.掌握正弦、余弦、正切值之间的基本关系及诱导公式，重点提升逻辑推理和数学运算素养. 例2　已知=-4，求(sin θ-3cos θ)·(cos θ-sin θ)的值. 解　方法一　由已知得=-4， 解得tan θ=2. ∴(sin θ-3cos θ)(cos θ-sin θ) =4sin θcos θ-sin2θ-3cos2θ = = ==. 方法二　由已知=-4， 解得tan θ=2. 即=2，∴sin θ=2cos θ. ∴(sin θ-3cos θ)(cos θ-sin θ) =(2cos θ-3cos θ)(cos θ-2cos θ)=cos2θ ===. 反思感悟　(1)关于同角三角函数的基本关系 一是利用基本关系进行直接运算，二是综合利用基本关系进行弦、切互化，整体代换求值等. (2)关于诱导公式的应用 首先结合口诀理解、熟记诱导公式，其次在应用的过程中要善于观察角度之间的关系，如互余、互补、拆分出特殊角等，以达到灵活应用目的. 跟踪训练2　已知sin α是方程5x2-7x-6=0的根，α是第三象限角，求·tan2(π-α)的值. 解　方程5x2-7x-6=0的两根为x1=-， x2=2， 由α是第三象限角，得sin α=-， 则cos α=-， ∴·tan2(π-α) =·tan2α =-tan2α=-=-. 三、三角函数的图象与性质 1.三角函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等，在研究性质时，将ωx+φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧. 2.“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象. 3.掌握三角函数的图象和性质，重点培养直观想象和数学运算素养. 例3　函数f(x)=3sin的部分图象如图所示. (1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值； (2)求f(x)的单调递减区间； (3)求f(x)在区间上的最大值和最小值. 解　(1)f(x)的最小正周期T===π， 令2x+=+kπ，k∈Z， 则x=+，k∈Z， 当k=2时，x0=，y0=3. (2)令+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z. 解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z， 所以f(x)的单调递减区间为，k∈Z. (3)因为x∈， 所以2x+∈， 于是当2x+=0， 即x=-时，f(x)取得最大值0； 当2x+=-， 即x=-时，f(x)取得最小值-3. 反思感悟　三角函数的四条性质 (1)单调性：求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把ωx+φ视为一个“整体”. (2)周期性：函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为，y=tan(ωx+φ)的最小正周期为. (3)奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为y=Asin ωx或y=Atan ωx，而偶函数一般可化为y=Acos ωx+B的形式. (4)对称性：求形如y=Asin(ωx+φ)，y=Acos(ωx+φ)的对称中心和对称轴，把ωx+φ视为一个整体，分别与y=sin x，y=cos x的对称中心、对称轴对应解出x，即得相应函数的对称中心的坐标和对称轴方程.对于y=tan(ωx+φ)的对称中心，则令ωx+φ=(k∈Z)解得. 跟踪训练3　(1)函数f(x)=tan的单调递增区间是(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 答案　B 解析　令-+kπ<2x-<+kπ，k∈Z. 解得-+<x<+，k∈Z. 所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z. (2)函数y=sin的图象的对称中心和对称轴方程分别为　　　　　　　　　　　.  答案　(k∈Z)，x=+，k∈Z 解析　令2x-=kπ，k∈Z， 解得x=+，k∈Z， ∴f(x)的对称中心为(k∈Z). 令2x-=+kπ，k∈Z， 解得x=+，k∈Z. ∴f(x)的对称轴方程为x=+，k∈Z. 四、三角函数的图象变换 1.重点考查三角函数的平移变换、伸缩变换和解析式的确定，通过对图象的描述、观察来讨论函数的有关性质. 2.掌握平移和伸缩变换，以及由图象求解析式，重点提升直观想象和逻辑推理素养. 例4　如图是函数y=Asin(ωx+φ)+k的部分图象. (1)求此函数的解析式； (2)分析该函数的图象是由y=sin x的图象如何变换得来的？ 解　(1)由图象知A==， k==-1， T=2×=π， ∴ω==2， ∴y=sin(2x+φ)-1. 当x=时，2×+φ=+2kπ，k∈Z， ∴φ=+2kπ，k∈Z，又|φ|<， ∴φ=， 故所求函数的解析式为y=sin-1. (2)把y=sin x的图象向左平移个单位，得到y=sin的图象，然后将得到的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的，得到y=sin的图象，再将得到的图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得到y=sin的图象，最后把函数y=sin的图象向下平移1个单位，得到y=sin-1的图象. 反思感悟　(1)由图象求解析式一般采用待定系数法求A，ω，φ.求φ时一般代入函数图象上的最高点或最低点. (2)先平移后伸缩与先伸缩后平移，两者平移的量是不同的.左右平移只是把x变成x±φ，其他不变，左右伸缩只是把x变成ωx或x，其他不变. 跟踪训练4　把函数f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后再向左平移个单位，得到一个最小正周期为2π的奇函数g(x)，求ω和φ的值. 解　依题意得f(x)第一次变换得到的函数解析式为m(x)=2cos， 则函数g(x)=2cos. 因为函数g(x)的最小正周期为2π，所以ω=2， 则g(x)=2cos. 又因为函数g(x)为奇函数， 所以φ+=+kπ，k∈Z， 所以φ=+kπ，k∈Z.又0<φ<π，则φ=. 学科网（北京）股份有限公司 $$