第七章 培优课 三角函数中的最值问题-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第三册教师用书（人教B版2019）

培优课　三角函数中的最值问题 三角函数的最值问题是三角函数的基本内容，它对三角函数的恒等变形及综合应用要求较高，解决该类问题的基本途径一方面是自身的特殊性(如有界性等)，另一方面可转化为所熟知的函数最值问题. 一、y=Asin(ωx+φ)+B型的最值问题 例1　y=3sin在区间上的值域是　　　　.  答案　 解析　∵x∈，∴2x-∈， ∴sin∈，∴y∈. 故该函数的值域为. 反思感悟　化为y=Asin(ωx+φ)+B的形式求最值时，特别注意自变量的取值范围对最大值、最小值的影响，可通过比较闭区间端点的取值与最高点、最低点的取值来确定函数的最值.也可以利用y=sin x的图象找最值. 跟踪训练1　已知函数f(x)=1+2sin，则f(x)在上的最小值是　　　　，若不等式f(x)-m<2在上恒成立，则实数m的取值范围是　　　　.  答案　2　(1，+∞) 解析　函数f(x)=1+2sin， 又x∈， ∴2x-∈， 即2≤1+2sin≤3， ∴f(x)min=2，f(x)max=3， ∵f(x)-m<2⇔m>f(x)-2， ∴m>1，即m的取值范围是(1，+∞). 二、可化为y=f(sin x)(y=f(cos x))型的最值问题 例2　已知0≤x≤，求函数y=cos2x-2acos x的最大值M(a)与最小值m(a). 解　设cos x=t，∵0≤x≤，∴0≤t≤1. ∵y=t2-2at=(t-a)2-a2， ∴当a≤0时，m(a)=0，M(a)=1-2a； 当0<a≤时，m(a)=-a2，M(a)=1-2a； 当<a<1时，m(a)=-a2，M(a)=0； 当a≥1时，m(a)=1-2a，M(a)=0. 综上所述，M(a)= m(a)= 反思感悟　可化为y=f(cos x)型三角函数的最值或值域，也可通过换元法转为其他函数的最值或值域. 跟踪训练2　若函数y=sin2x+acos x+a-在上的最大值是1，则实数a的值为　　　　.  答案　 解析　y=1-cos2x+acos x+a- =-++a-. ∵0≤x≤，∴0≤cos x≤1. ①若>1，即a>2，则当cos x=1时， ymax=a+a-=1⇒a=<2(舍去)； ②若0≤≤1，即0≤a≤2， 则当cos x=时，ymax=+a-=1， 解得a=或a=-4<0(舍去)； ③若<0，即a<0，则当cos x=0时， ymax=a-=1⇒a=>0(舍去). 综上可知，a=. 三、函数图象平移距离的最小值问题 例3　将函数f(x)=sin 4x图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将它的图象向左平移φ(φ>0)个单位，得到一个偶函数的图象，则φ的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　伸长后得y=sin 2x， 平移后得y=sin［2(x+φ)］=sin(2x+2φ)， 因为该函数为偶函数， 所以2φ=+kπ(k∈Z)， 即φ=+(k∈Z)，又φ>0， 所以取k=0，得φ的最小值为. 反思感悟　函数图象平移后函数解析式发生了变化，解题时首先确定函数图象平移后的解析式，再根据新函数具备的性质求出平移距离的通解，再从通解中确定其最小值. 跟踪训练3　已知函数f(x)=cos 2ωx的最小正周期为π，将其图象沿x轴向左平移m(m>0)个单位，所得图象关于直线x=对称，则实数m的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　f(x)=cos 2ωx，由其最小正周期为π， 得=π，解得ω=1，所以f(x)=cos 2x. 将其图象沿x轴向左平移m(m>0)个单位，所得图象对应函数为y=cos［2(x+m)］=cos(2x+2m)， 因为其图象关于x=对称， 所以+2m=kπ，k∈Z，所以m=-+，k∈Z， 又m>0，则实数m的最小值为. 四、由三角函数的值域，求定义域中参数的最值 例4　已知函数f(x)=sin，其中x∈，若f(x)的值域是，则实数a的取值范围是　　　　.  答案　 解析　令t=x+， ∵x∈， ∴t∈. ∴函数y=sin t，t∈的值域为，作出y=sin t的图象. 如图所示，图中点A的坐标为， ∴≤a+≤，即≤a≤π. 反思感悟　由值域求定义域，充分利用正余弦函数的图象，要用整体代换、换元思想，转换成最简单的正弦、余弦曲线. 跟踪训练4　已知函数f(x)=cos在(0，m)上的值域为，则m的取值范围是　　　　.  答案　 解析　因为x∈(0，m)，所以-<2x-<2m-. 因为f(x)在(0，m)上的值域为， f(0)=cos=， 所以0<2m-≤，解得<m≤. 五、求ω的最值问题 例5　(1)已知将函数f(x)=2cos-1(ω>0)的图象向左平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是(　　) A.3 B. C. D. 答案　B 解析　依题意知，=k·T，k∈N+， ∴=k·，k∈N+， ∴ω=k，k∈N+，∴ω的最小值为. (2)先将函数f(x)=sin x的图象上的各点向左平移个单位，再将各点的横坐标变为原来的(其中ω∈N+且纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，若g(x)在区间上单调递增，则ω的最大值为　　　　.  答案　9 解析　由题意易知g(x)=sin在区间上单调递增，所以有 k∈Z，即12k-4≤ω≤8k+，k∈Z. 由12k-4≤8k+可得k≤， 当k=1时，ω∈，所以正整数ω的最大值为9. 反思感悟　已知三角函数在某区间递增(减)求ω的范围，一般先求函数的递增(减)区间，再利用已知区间是递增(减)区间的子集，列关于ω的不等式(组)求范围或最值. 跟踪训练5　设函数f(x)=cos(ω>0).若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则ω的最小值为　　　.  答案　 解析　由于对任意的实数x都有f(x)≤f成立，故当x=时，函数f(x)有最大值， 故f=1，∴-=2kπ(k∈Z)， ∴ω=8k+(k∈Z)，又ω>0，∴ωmin=. 　　　　 课时对点练　［分值：50分］ 　　　　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题(每小题5分，共35分) 1.函数f(x)=sin+cos的最大值为(　　) A. B. C. D.1 答案　C 解析　f(x)=sin+cos =sin+cos =cos+cos=cos， 因此f(x)的最大值为. 2.α是三角形的内角，则函数y=-2sin2α-3cos α+7的最值情况是(　　) A.既没有最大值，又没有最小值 B.既有最大值10，又有最小值 C.只有最大值10 D.只有最小值 答案　D 解析　∵α是三角形的内角， ∴α∈(0，π)，则cos α∈(-1，1)， 则y=-2sin2α-3cos α+7 =-2(1-cos2α)-3cos α+7 =2cos2α-3cos α+5， 令t=cos α(-1<t<1)， 则y=2t2-3t+5=2+. ∴当t=，即cos α=时，函数有最小值，无最大值. 3.将函数f(x)=sin的图象向左平移a(a>0)个单位得到函数g(x)=cos 2x的图象，则a的最小值为(　　) A. B. C. D.π 答案　B 解析　将函数f(x)=sin的图象向左平移a(a>0)个单位，可得函数y=sin=sin的图象， 所以y=sin的图象与g(x)=cos 2x的图象重合. 因为g(x)=cos 2x=sin， 所以2a-=+2kπ，k∈Z， 即a=+kπ，k∈Z， 因为a>0，所以当k=0时，可得amin=. 4.已知函数f(x)=m2-2mcos x-sin2x+2在cos x=-1时取得最大值，在cos x=m时取得最小值，则实数m的取值范围是(　　) A.(-∞，-1］ B.［1，+∞) C.［0，1］ D.［-1，0］ 答案　C 解析　因为f(x)=m2-2mcos x-sin2x+2 =cos2x-2mcos x+m2+1=(cos x-m)2+1， 且f(x)在cos x=-1时取得最大值，在cos x=m时取得最小值， 所以0≤m≤1. 5.已知函数f(x)=2cos(2x+φ)的图象向右平移个单位得到的函数图象关于y轴对称，则函数f(x)在上的最大值与最小值之和为(　　) A.- B.-1 C.0 D. 答案　B 解析　由题意知，y=2cos(2x+φ)的图象向右平移个单位后， 得到y=2cos=2cos， 其图象关于y轴对称， ∴-+φ=kπ，k∈Z， 即φ=+kπ，k∈Z， 又|φ|<，∴φ=. ∴f(x)=2cos， 又x∈， ∴2x+∈， ∴f(x)在上的最大值为f(0)=2cos=1， 最小值为f=2cos π=-2， ∴最大值与最小值的和为f(0)+f=-1. 6.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象关于点M及直线x=对称，且f(x)在区间上不存在最值，则φ的值为(　　) A.- B.- C. D. 答案　C 解析　∵函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象关于点M及直线x=对称， ∴T=-=，k∈N+， ① 又f(x)在上不存在最值， ∴≥，即T≥π， ② 由①②，可得T=2π， ∴=2π，解得ω=1， 即f(x)=sin(x+φ)， 又f(x)经过点M， ∴sin=0，即φ=+kπ，k∈Z， ∵|φ|≤，∴φ=. 7.将函数f(x)=cos x的图象向右平移个单位，再将各点的横坐标变为原来的(ω>0，纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，若g(x)在上的值域为，则ω的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　f(x)=cos x的图象向右平移个单位，得到y=cos的图象，再将各点横坐标变为原来的(ω>0，纵坐标不变)得g(x)=cos， 当x∈时，ωx-∈， 又此时g(x)的值域为， ∴0≤-≤，∴≤ω≤. 二、填空题(每小题5分，共15分) 8.已知ω>0，函数f(x)=sin在上单调递减，则ω的取值范围是　　　　.  答案　 解析　由<x<π，ω>0， 得+<ωx+<ωπ+，又y=sin x的单调递减区间为，k∈Z， 所以k∈Z， 解得4k+≤ω≤2k+，k∈Z. 又函数f(x)在上单调递减， 所以周期T=≥π， 解得0<ω≤2，所以ω∈. 9.已知f(x)=sin(ω>0)，f=f，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω=　　　　.  答案　 解析　由f=f，且f(x)在区间上有最小值，知f(x)的图象关于直线x=对称，且在x=处有最小值， ∴ω+=2kπ-，k∈Z，即ω=8k-，k∈Z.又T=≥-=， ∴0<ω≤12， ∴k=1，ω=. 10.已知函数f(x)=sin(ω>0)，对任意x∈R，都有f(x)≤f，并且f(x)在区间上不单调，则ω的最小值是　　　　.  答案　7 解析　对任意x∈R，都有f(x)≤f， 所以f是最大值， ω·+=+2kπ，k∈Z，ω=6k+1，k∈Z， 又f(x)在区间上不单调， 所以在区间上至少还有一个最小值且不是f， 所以<-=，T<π，则ω=>2， 所以满足条件的ω的最小值是7. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优课 三角函数中的最值问题 第七章 <<< 三角函数的最值问题是三角函数的基本内容，它对三角函数的恒等变形及综合应用要求较高，解决该类问题的基本途径一方面是自身的特殊性(如有界性等)，另一方面可转化为所熟知的函数最值问题. 一、y=Asin(ωx+φ)+B型的最值问题 二、可化为y=f(sin x)(y=f(cos x))型的最值问题 内容索引 三、函数图象平移距离的最小值问题 四、由三角函数的值域，求定义域中参数的最值 五、求ω的最值问题 课时对点练 一 y=Asin(ωx+φ)+B型的最值问题 y=3sin在区间上的值域是　　 　.  例 1 ∵x∈，∴2x-∈， ∴sin∈，∴y∈. 故该函数的值域为. 5 化为y=Asin(ωx+φ)+B的形式求最值时，特别注意自变量的取值范围对最大值、最小值的影响，可通过比较闭区间端点的取值与最高点、最低点的取值来确定函数的最值.也可以利 用y=sin x的图象找最值. 反 思 感 悟 6 已知函数f(x)=1+2sin，则f(x)在上的最小值是　　　　，若不等式f(x)-m<2在上恒成立，则实数m的取值范围是　 　　　.  跟踪训练 1 2 (1，+∞) 7 函数f(x)=1+2sin， 又x∈， ∴2x-∈， 即2≤1+2sin≤3， ∴f(x)min=2，f(x)max=3， ∵f(x)-m<2⇔m>f(x)-2， ∴m>1，即m的取值范围是(1，+∞). 8 二 可化为y=f(sin x)(y=f(cos x))型的最值问题 已知0≤x≤，求函数y=cos2x-2acos x的最大值M(a)与最小值m(a). 例 2 10 设cos x=t，∵0≤x≤，∴0≤t≤1. ∵y=t2-2at=(t-a)2-a2， ∴当a≤0时，m(a)=0，M(a)=1-2a； 当0<a≤时，m(a)=-a2，M(a)=1-2a； 当<a<1时，m(a)=-a2，M(a)=0； 当a≥1时，m(a)=1-2a，M(a)=0. 11 综上所述，M(a)= m(a)= 12 可化为y=f(cos x)型三角函数的最值或值域，也可通过换元法转为其他函数的最值或值域. 反 思 感 悟 13 若函数y=sin2x+acos x+a-在上的最大值是1，则实数a 的值为　　　.  跟踪训练 2 14 y=1-cos2x+acos x+a- =-++a-. ∵0≤x≤，∴0≤cos x≤1. ①若>1，即a>2，则当cos x=1时， ymax=a+a-=1⇒a=<2(舍去)； 15 ②若0≤≤1，即0≤a≤2， 则当cos x=时，ymax=+a-=1， 解得a=或a=-4<0(舍去)； ③若<0，即a<0，则当cos x=0时， ymax=a-=1⇒a=>0(舍去). 综上可知，a=. 16 三 函数图象平移距离的最小值问题 将函数f(x)=sin 4x图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将它的图象向左平移φ(φ>0)个单位，得到一个偶函数的图象，则φ的最小值为 A. B. C. D. 例 3 √ 18 伸长后得y=sin 2x， 平移后得y=sin[2(x+φ)]=sin(2x+2φ)， 因为该函数为偶函数， 所以2φ=+kπ(k∈Z)， 即φ=+(k∈Z)，又φ>0， 所以取k=0，得φ的最小值为. 19 函数图象平移后函数解析式发生了变化，解题时首先确定函数图象平移后的解析式，再根据新函数具备的性质求出平移距离的通解，再从通解中确定其最小值. 反 思 感 悟 20 已知函数f(x)=cos 2ωx的最小正周期为π，将其图象沿x轴向左 平移m(m>0)个单位，所得图象关于直线x=对称，则实数m的最小值为 A. B. C. D. 跟踪训练 3 √ 21 f(x)=cos 2ωx，由其最小正周期为π， 得=π，解得ω=1，所以f(x)=cos 2x. 将其图象沿x轴向左平移m(m>0)个单位，所得图象对应函数为y=cos[2(x+m)]=cos(2x+2m)， 因为其图象关于x=对称， 所以+2m=kπ，k∈Z，所以m=-+，k∈Z， 又m>0，则实数m的最小值为. 22 四 由三角函数的值域，求定义域中参数的最值 已知函数f(x)=sin，其中x∈，若f(x)的值域是 ，则实数a的取值范围是　　　　.  例 4 24 令t=x+， ∵x∈， ∴t∈. ∴函数y=sin t，t∈，作出y=sin t的图象. 如图所示，图中点A的坐标为， ∴≤a+≤≤a≤π. 25 由值域求定义域，充分利用正余弦函数的图象，要用整体代换、换元思想，转换成最简单的正弦、余弦曲线. 反 思 感 悟 26 已知函数f(x)=cos在(0，m)上的值域为，则m的取值范围是　　　　.  跟踪训练 4 因为x∈(0，m)，所以-<2x-<2m-. 因为f(x)在(0，m)上的值域为， f(0)=cos=， 所以0<2m-≤<m≤. 27 五 求ω的最值问题 (1)已知将函数f(x)=2cos-1(ω>0)的图象向左平移个单位 后与原图象重合，则ω的最小值是 A.3 B. C. D. 例 5 √ 依题意知，=k·T，k∈N+， ∴=k·，k∈N+， ∴ω=k，k∈N+，∴ω的最小值为. 29 (2)先将函数f(x)=sin x的图象上的各点向左平移个单位，再将各点的横坐标变为原来的(其中ω∈N+且纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，若g(x)在区间上单调递增，则ω的最大值为　　.  9 30 由题意易知g(x)=sin k∈Z，即12k-4≤ω≤8k+，k∈Z. 由12k-4≤8k+可得k≤， 当k=1时，ω∈，所以正整数ω的最大值为9. 31 已知三角函数在某区间递增(减)求ω的范围，一般先求函数的递增(减)区间，再利用已知区间是递增(减)区间的子集，列关于ω的不等式(组)求范围或最值. 反 思 感 悟 32 设函数f(x)=cos(ω>0).若f(x)≤f对任意的实数x都 成立，则ω的最小值为　　　.  跟踪训练 5 由于对任意的实数x都有f(x)≤成立，故当x=时，函数f(x)有最大值， 故f=1，∴-=2kπ(k∈Z)， ∴ω=8k+(k∈Z)，又ω>0，∴ωmin=. 33 课时对点练 六 答案 对一对 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D B C B C A 题号 9 10 答案 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 一、单项选择题 1.函数f(x)=sin+cos的最大值为 A. B. C. D.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 基础巩固 √ f(x)=sin+cos =sin+cos =cos+cos=cos， 因此f(x)的最大值为. 答案 2.α是三角形的内角，则函数y=-2sin2α-3cos α+7的最值情况是 A.既没有最大值，又没有最小值 B.既有最大值10，又有最小值 C.只有最大值10 D.只有最小值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∵α是三角形的内角， ∴α∈(0，π)，则cos α∈(-1，1)， 则y=-2sin2α-3cos α+7 =-2(1-cos2α)-3cos α+7 =2cos2α-3cos α+5， 令t=cos α(-1<t<1)， 则y=2t2-3t+5=2+. ∴当t=，即cos α=，无最大值. 答案 3.将函数f(x)=sin的图象向左平移a(a>0)个单位得到函数g(x)= cos 2x的图象，则a的最小值为 A. B. C. D.π √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 将函数f(x)=sin的图象向左平移a(a>0)个单位，可得函数 y=sin=sin的图象， 所以y=sin的图象与g(x)=cos 2x的图象重合. 因为g(x)=cos 2x=sin， 所以2a-=+2kπ，k∈Z， 即a=+kπ，k∈Z， 因为a>0，所以当k=0时，可得amin=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.已知函数f(x)=m2-2mcos x-sin2x+2在cos x=-1时取得最大值，在cos x=m时取得最小值，则实数m的取值范围是 A.(-∞，-1] B.[1，+∞) C.[0，1] D.[-1，0] √ 因为f(x)=m2-2mcos x-sin2x+2 =cos2x-2mcos x+m2+1=(cos x-m)2+1， 且f(x)在cos x=-1时取得最大值，在cos x=m时取得最小值， 所以0≤m≤1. 答案 5.已知函数f(x)=2cos(2x+φ)的图象向右平移个单位得到的函数图象关于y轴对称，则函数f(x)在上的最大值与最小值之和为 A.- B.-1 C.0 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由题意知，y=2cos(2x+φ)的图象向右平移个单位后， 得到y=2cos=2cos， 其图象关于y轴对称， ∴-+φ=kπ，k∈Z， 即φ=+kπ，k∈Z， 又|φ|<，∴φ=. ∴f(x)=2cos， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 又x∈， ∴2x+∈， ∴f(x)在上的最大值为f(0)=2cos=1， 最小值为f=2cos π=-2， ∴最大值与最小值的和为f(0)+f=-1. 答案 6.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象关于点M及直线x=对称，且f(x)在区间上不存在最值，则φ的值为 A.- B.- C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∵函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象关于点M及直线x=对称， ∴T=-=，k∈N+， ① 又f(x)在上不存在最值， ∴≥，即T≥π， ② 由①②，可得T=2π， ∴=2π，解得ω=1， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 即f(x)=sin(x+φ)， 又f(x)经过点M， ∴sin=0，即φ=+kπ，k∈Z， ∵|φ|≤，∴φ=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7.将函数f(x)=cos x的图象向右平移个单位，再将各点的横坐标变为原来的(ω>0，纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，若g(x)在上的值域为，则ω的取值范围为 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 f (x)=cos x的图象向右平移个单位，得到y=cos (ω>0，纵坐标不变)得g(x)=cos， 当x∈时，ωx-∈， 又此时g(x)的值域为， ∴0≤-≤，∴≤ω≤. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8.已知ω>0，函数f(x)=sin在上单调递减，则ω的取值范围 是　　　　.  答案 50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由<x<π，ω>0， 得+<ωx+<ωπ+，又y=sin x的单调递减区间为 ，k∈Z， 所以k∈Z， 解得4k+≤ω≤2k+，k∈Z. 答案 51 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 又函数f(x)在上单调递减， 所以周期T=≥π， 解得0<ω≤2，所以ω∈. 答案 52 9.已知f(x)=sin(ω>0)，f=f，且f(x)在区间上有最小 值，无最大值，则ω=　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由f=f，且f(x)在区间上有最小值，知f(x)的图象关于直线x=对称，且在x=处有最小值， ∴ω+=2kπ-，k∈Z，即ω=8k-，k∈Z.又T=≥-=， ∴0<ω≤12， ∴k=1，ω=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10.已知函数f(x)=sin(ω>0)，对任意x∈R，都有f(x)≤f，并且f(x)在区间上不单调，则ω的最小值是　　.  7 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 对任意x∈R，都有f(x)≤f， 所以f是最大值， ω·+=+2kπ，k∈Z，ω=6k+1，k∈Z， 又f(x)在区间上不单调， 所以在区间上至少还有一个最小值且不是f， 所以<-=，T<π，则ω=>2， 所以满足条件的ω的最小值是7. 答案 第一章 <<< $$