第七章 7.4 数学建模活动：周期现象的描述-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第三册教师用书（人教B版2019）

［学习目标］　1.能利用三角函数解决简单的实际问题.2.体会利用三角函数构建事物周期变化的数学模型. 导语 现实世界中，许多事物的运动、变化呈现出一定的周期性，例如，地球的自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化；海水在月球和太阳引力下发生的涨落现象；做简谐运动的物体的位移变化；人体在一天中血压、血糖浓度的变化等等，如果某种变化着的现象具有周期性，那么它可以借助三角函数来描述，利用三角函数的图象和性质解决相应的实际问题，今天，我们就一起来探究如何构建三角函数模型解决实际问题. 一、三角函数模型在物理学中的应用 知识梳理　 1.单摆、弹簧等简谐振动模型 单摆、弹簧等简谐振动可以用三角函数表达为y=Asin(ωx+φ)，其中x表示时间，y表示位移，A表示振幅，表示频率，φ表示初相位. 2.音叉发出的纯音振动模型 音叉发出的纯音振动可以用三角函数表达为y=Asin ωx，其中x表示时间，y表示纯音振动时音叉的位移，表示纯音振动的频率(对应音高)，A表示纯音振动的振幅(对应音强). 3.交变电流模型 交变电流可以用三角函数表达为y=Asin(ωx+φ)，其中x表示时间，y表示电流，A表示最大电流，表示频率，φ表示初相位. 4.潮汐现象模型 潮汐现象可以用函数y=Asin(ωx+φ)(x∈［0，+∞)，A>0，ω>0)来表示. 例1　已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s=4sin，t∈［0，+∞).用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题： (1)小球在开始振动(t=0)时的位移是多少？ (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？ 解　列表如下： 2t+ 0 π 2π t - s=4sin 0 4 0 -4 0 描点、连线，图象如图所示. (1)将t=0代入s=4sin，得s=4sin=2，所以小球开始振动时的位移是2 cm. (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和-4 cm. (3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s. 反思感悟　处理物理学问题的策略 (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性. (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题. 跟踪训练1　已知电流I与时间t的关系为I=Asin(ωt+φ). (1)如图所示的是I=Asin(ωt+φ) 在一个周期内的图象，根据图中数据求I=Asin(ωt+φ)的解析式； (2)如果t在任意一段秒的时间内，电流I=Asin(ωt+φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？ 解　(1)由题图知A=300，设t1=，t2=， 则周期T=2(t2-t1)=2×=. ∴ω==150π. 又当t=时，I=0，即sin=0， 而|φ|<，∴φ=. 故所求的解析式为I=300sin，t≥0. (2)依题意得，周期T≤， 即≤(ω>0)， ∴ω≥300π>942， 又ω∈N+，故所求最小正整数ω=943. 二、三角函数模型在生活中的应用 例2　已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，记y=f(t)，下表是某日各时的浪高数据： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观测，y=f(t)的图象可近似地看成是函数y=Acos ωt+b的图象. (1)根据以上数据，求其最小正周期和函数解析式； (2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8∶00到20∶00之间，有多少时间可供冲浪爱好者进行活动？ 解　(1)由表中数据可知，T=12，∴ω==. 又当t=0时，y=1.5，∴A+b=1.5； 当t=3时，y=1.0，得b=1.0，∴A=0.5=， ∴函数解析式为y=cost+1(0≤t≤24). (2)∵当y>1时，才对冲浪爱好者开放， ∴y=cost+1>1， 即cost>0(0≤t≤24)， 则-+2kπ<t<+2kπ(k∈Z)， 解得12k-3<t<12k+3(k∈Z). 又0≤t≤24， ∴0≤t<3或9<t<15或21<t≤24， ∴在规定时间内冲浪爱好者只有6个小时可以进行活动，即9<t<15. 反思感悟　解三角函数应用问题的基本步骤 跟踪训练2　某旅游区每年各个月接待游客的人数近似地满足周期性规律，因而一年中的第n月的从事旅游服务工作的人数f(n)可以近似用函数f(n)=3 000cos+4 000来刻画(其中正整数n表示一年中的月份).当该地区从事旅游服务工作人数在5 500或5 500以上时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”，那么一年中是“旺季”的月份总数有(　　) A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 答案　B 解析　令3 000cos+4 000≥5 500， 则cos≥， 则-+2kπ≤+≤+2kπ，k∈Z， 解得-6+12k≤n≤-2+12k，k∈Z， ∵1≤n≤12，∴6≤n≤10， ∵n是正整数， ∴n=6，7，8，9，10，共5个. 三、确定模型解决实际问题 例3　平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深y(单位：米)随着一天的时间t(0≤t≤24，单位：时)呈周期性变化，某天各时刻t的水深数据的近似值如表： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 2.4 1.5 0.6 1.4 2.4 1.6 0.6 1.5 (1)根据表中近似数据画出散点图.观察散点图，从①y=Asin(ωt+φ)； ②y=Acos(ωt+φ)+b；③y=-Asin ωt+b(A>0，ω>0，-π<φ<0)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式； (2)为保证队员安全，规定在一天中5~18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据(1)中选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全？ 解　(1)根据表中近似数据画出散点图，如图所示. 依题意，选②y=Acos(ωt+φ)+b作为函数模型， ∴A==， b==，T=12， ∴ω==， ∴y=cos+， 又∵函数图象过点(3，2.4)， 即2.4=cos+， ∴cos=1，∴sin φ=-1， 又∵-π<φ<0，∴φ=-， ∴y=cos+=sint+ . (2)由(1)知，y=sint+， 令y≥1.05，即sint+≥1.05， ∴sint≥-， ∴2kπ-≤t≤2kπ+(k∈Z)， ∴12k-1≤t≤12k+7(k∈Z)， 又∵5≤t≤18，∴5≤t≤7或11≤t≤18， ∴这一天安排早上5点至7点以及11点至18点组织训练，能确保集训队员的安全. 反思感悟　根据收集的数据，先画出相应的“散点图”，观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，然后利用这个模型解决实际问题. 跟踪训练3　一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如表所示，则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个三角函数式为　　　　　　　　　　.  t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 y -4.0 -2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 -2.8 -4.0 答案　y=-4cos t 解析　设y=Asin(ωt+φ)(A>0，ω>0)， 则从表中数据可以得到A=4，ω===， 又由4sin φ=-4.0，得sin φ=-1， 取φ=-，则y=4sin， 即y=-4cos t. 1.知识清单： (1)三角函数模型在物理学及生活中的应用. (2)根据确定的三角函数模型解决生活中的问题. 2.方法归纳：数形结合，数学建模. 3.常见误区：忽视实际生活中对三角函数的模型的限制. 1.如图所示的一个单摆，以平衡位置OA为始边、OB为终边的角θ(-π<θ<π)与时间t(s)满足函数关系式θ=sin，则当t=0时，角θ的大小及单摆的频率是(　　) A.， B.2， C.，π D.2，π 答案　A 解析　当t=0时，θ=sin =，由函数解析式易知，单摆的周期为=π，故单摆的频率为. 2.已知简谐振动的振幅是，图象上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点，则该简谐振动的频率和初相分别是(　　) A.， B.， C.， D.， 答案　B 解析　由题意可知A=，32+=52， 则T=8，ω==，∴y=sin. 由图象过点得sin φ=，∴sin φ=， ∵|φ|<，∴φ=，因此频率是，初相为. 3.在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动，已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定：s1=5sin，s2=10cos 2t，当t=时，s1与s2的大小关系是(　　) A.s1>s2 B.s1<s2 C.s1=s2 D.不能确定 答案　C 解析　当t=时，s1=5sin=5sin =-5，s2=10cos=10 cos=-5，所以s1=s2. 4.设y=f(t)是某港口水的深度y(m)关于时间t(h)的函数，其中0≤t≤24，下列是该港口某一天从0 h至24 h记录的时间t与水深y的关系： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1 经观察，函数y=f(t)的图象可以近似地看成函数y=k+Asin(ωt+φ)(t∈［0，24］)的图象，最能近似表示数据间对应关系的是　　　　　　　　.  答案　y=12+3sin t 解析　由图表可知，k=12，A=3，=3， ∴T=12，ω==， 又当t=0时，y=12，且点(0，12)在函数的单调递增区间上， ∴φ=2nπ，n∈Z，令n=0，得φ=0. ∴y=12+3sin t. 　　　　 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共45分 1.音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器(如图1)，各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音.敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为y=sin ωt，t∈［0，+∞).图2是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定ω的值为(　　) A.200 B.400 C.200π D.400π 答案　D 解析　由图象可得，T=4×=，即=，则ω=400π. 2.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　) A.5 B.6 C.8 D.10 答案　C 解析　根据图象得函数的最小值为2， 有-3+k=2，解得k=5，故最大值为3+k=8. 3.如图所示为一简谐运动的图象，则下列判断正确的是(　　) A.该质点的振动周期为0.7 s B.该质点的振幅为5 cm C.该质点在0.1 s和0.5 s时速度最大 D.该质点在0.3 s和0.7 s时加速度最大 答案　B 解析　由图象易知振幅为5 cm，周期T=2×(0.7-0.3)=0.8 s，故A错误，B正确；在最高点时，速度为0，加速度最大，故C，D错误. 4.某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价做了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足：y=500sin(ωx+φ)+9 500(ω>0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示： x 1 2 3 y 10 000 9 500 ？ 则此楼盘在第三季度的平均单价大约是(　　) A.10 000元 B.9 500元 C.9 000元 D.8 500元 答案　C 解析　因为y=500sin(ωx+φ)+9 500(ω>0)，所以当x=1时，500sin(ω+φ)+9 500=10 000；当x=2时，500sin(2ω+φ)+9 500=9 500，所以ω可取，φ可取π，即y=500sin+9 500；当x=3时，y=9 000. 5.据市场调查，一年内某种商品每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)=Asin(ωx+φ)+b的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为(　　) A.f(x)=2sin+7(1≤x≤12，x∈N+) B.f(x)=9sin(1≤x≤12，x∈N+) C.f(x)=2sin x+7(1≤x≤12，x∈N+) D.f(x)=2sin+7(1≤x≤12，x∈N+) 答案　A 解析　方法一　令x=3可排除D，令x=7可排除B，由A==2可排除C； 方法二　由题意，可得A=2，b=7，周期T==2×(7-3)=8， 则ω=，f(x)=2sin+7. ∵当x=3时，y=9，∴2sin+7=9， 即sin=1.∵|φ|<，∴φ=-. ∴f(x)=2sin+7(1≤x≤12，x∈N+). 6.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，某节日期间某一天商场的人流量满足函数F(t)=50+4sin (t≥0)，则下列时间段中人流量增加的是(　　) A.［0，5］ B.［5，10］ C.［10，15］ D.［15，20］ 答案　C 解析　由-+2kπ≤≤+2kπ，k∈Z，知函数F(t)的单调递增区间为［-π+4kπ，π+4kπ］，k∈Z.当k=1时，t∈［3π，5π］.因为［10，15］⊆［3π，5π］，所以C符合题意. 7.(5分)已知某种交流电电流I(A)随时间t(s)的变化规律可以拟合为函数I=5sin，t∈［0，+∞)，则这种交流电在0.5 s内往复运动　　　　次.  答案　25 解析　据I=5sin知ω=100π，该电流的周期为T=== s，从而频率为每秒50次，0.5 s往复运动25次. 8.(5分)有一小球从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(单位：cm)关于时间t(单位：s)的函数解析式是s=Asin(ωt+φ)，0<φ<，函数图象如图所示，则φ=　　　　.  答案　 解析　根据图象，知，两点的水平距离刚好是个周期，所以T=-=， 所以T=1，则ω==2π. 因为t=时，函数取得最大值， 所以2π×+φ=+2kπ，k∈Z. 所以φ=+2kπ，k∈Z，又0<φ<， 所以φ=. 9.(10分)下表中给出了在24小时期间人的体温的变化(从夜间零点开始计时)： 时间(时) 0 2 4 6 8 10 12 温度(℃) 36.8 36.7 36.6 36.7 36.8 37 37.2 时间(时) 14 16 18 20 22 24 温度(℃) 37.3 37.4 37.3 37.2 37 36.8 (1)作出这些数据的散点图；(4分) (2)选用一个三角函数来近似描述这些数据.(6分) 解　(1)散点图如图所示. (2)设t时的体温y=Asin(ωt+φ)+c， 由表知ymax=37.4，ymin=36.6， 则c==37，A==0.4， ω===. 由0.4sin+37=37.4， 得sin=1， 即+φ=2kπ+，k∈Z， 则φ=2kπ-，k∈Z，取φ=-， 故可用三角函数y=0.4sin+37来近似描述这些数据. 10.(12分)已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数y=10sin+20，x∈［4，16］. (1)求该地区这一段时间内的最大温差；(5分) (2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？(7分) 解　(1)因为x∈［4，16］，则x-∈. 由函数解析式易知，当x-=，即x=14时，函数取得最大值，最大值为30，即最高温度为30 ℃，当x-=-，即x=6时，函数取得最小值，最小值为10，即最低温度为10 ℃，所以最大温差为30-10=20(℃). (2)令10sin+20=15， 可得sin=-， 而x∈［4，16］，所以x-=-，即x=. 令10sin+20=25， 可得sin=， 而x∈［4，16］，所以x-=即x=. 故该细菌在这段时间内能存活-=(小时). 11.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过个周期，乙将传播到(　　) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 答案　C 解析　相邻的最大值和最小值之间间隔区间长度为半个周期，由题图可知应传播至丙位置. 12.如图所示，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d=f(l)的图象大致是(　　) 答案　C 解析　设所对的圆心角为α，则α=l， 弦AP的长d=2|OA|·cos=2|OA|·sin =2sin，即有d=f(l)=2sin . 13.(5分)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=a+Acos(x=1，2，3，…，12，A>0)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温值为　　　　 ℃.  答案　20.5 解析　由题意得∴ ∴y=23+5cos， 当x=10时，y=23+5×=20.5. 14.(5分)如图是一半径为2米的水轮，水轮的圆心O距离水面1米，已知水轮自点M开始以1分钟旋转4圈的速度顺时针旋转，点M距水面的高度y(米)与时间x(秒)满足函数关系式y=Asin(ωx+φ)+1，则A=　　　　，ω=　　　　.  答案　2　 解析　∵水轮的半径为2米，水轮圆心O距离水面1米，∴A=2， 又水轮每分钟旋转4圈，故转一圈需要15秒， ∴T=15=，∴ω=. 15.科学研究已经证实，人的智力、情绪和体力分别以33天、28天和23天为周期，按y=sin(ωx+φ)进行变化，记智力曲线为I，情绪曲线为E，体力曲线为P，且现在三条曲线都处于x轴的同一点处，那么第322天时(　　) A.智力曲线I处于最低点 B.情绪曲线E与体力曲线P都处于上升期 C.智力曲线I与情绪曲线E相交 D.情绪曲线E与体力曲线P都关于(322，0)对称 答案　D 解析　第322天时，322除33余25，322除28余14，322除23余0，即智力曲线I位于周期处，情绪曲线E位于周期处，体力曲线P刚好位于起始点处.A项，>，则智力曲线I不处于最低点，故A错误；B项，情绪曲线E处于下降期，故B错误；C项，经过n个周期后，因为周期不同，所以智力曲线I与情绪曲线E不一定相交，故C错误；D项，(322，0)位于体力曲线P与情绪曲线E的交点，且在x轴上，故D正确. 16.(13分)如图，某公园摩天轮的半径为40 m，点O距地面的高度为50 m，摩天轮逆时针转动，每3分钟转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处. (1)已知在时刻t(分钟)时点P距离地面的高度f(t)=Asin(ωt+φ)+h，求2 022分钟时点P距离地面的高度；(7分) (2)当离地面(50+20)m以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中有多少时间可以看到公园全貌？(6分) 解　(1)由题意知，A=40，h=50，T=3， ∴ω==；又f(0)=40sin φ+50=10， 即sin φ=-1，又|φ|≤，∴φ=-； ∴f(t)=40sin+50(t≥0)； ∴f(2 022)=40sin+50 =40sin+50=10， 即2 022分钟时，点P所在位置的高度为10 m. (2)由(1)知，f(t)=40sin+50 =50-40cost(t≥0)；令f(t)>50+20， ∴-40cost>20，即cost<-， 解得+2kπ<t<+2kπ(k∈N+)， 即3k+<t<3k+(k∈N+)； ∵-=， ∴转一圈中有0.5分钟时间可以看到公园全貌. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 <<< 7.4 数学建模活动：周期现象的描述 1.能利用三角函数解决简单的实际问题. 2.体会利用三角函数构建事物周期变化的数学模型. 学习目标 现实世界中，许多事物的运动、变化呈现出一定的周期性，例如，地球的自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化；海水在月球和太阳引力下发生的涨落现象；做简谐运动的物体的位移变化；人体在一天中血压、血糖浓度的变化等等，如果某种变化着的现象具有周期性，那么它可以借助三角函数来描述，利用三角函数的图象和性质解决相应的实际问题，今天，我们就一起来探究如何构建三角函数模型解决实际问题. 导 语 一、三角函数模型在物理学中的应用 二、三角函数模型在生活中的应用 课时对点练 三、确定模型解决实际问题 随堂演练 内容索引 三角函数模型在物理学中的应用 一 1.单摆、弹簧等简谐振动模型 单摆、弹簧等简谐振动可以用三角函数表达为y=Asin(ωx+φ)，其中x表 示时间，y表示位移，A表示振幅，表示频率，φ表示初相位. 2.音叉发出的纯音振动模型 音叉发出的纯音振动可以用三角函数表达为y=Asin ωx，其中x表示时间， y表示纯音振动时音叉的位移，表示纯音振动的频率(对应音高)，A表 示纯音振动的振幅(对应音强). 知识梳理 3.交变电流模型 交变电流可以用三角函数表达为y=Asin(ωx+φ)，其中x表示时间，y表示 电流，A表示最大电流，表示频率，φ表示初相位. 4.潮汐现象模型 潮汐现象可以用函数y=Asin(ωx+φ)(x∈[0，+∞)，A>0，ω>0)来表示. 知识梳理 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移 s(cm)随时间t(s)的变化规律为s=4sin，t∈[0，+∞).用“五点法” 作出这个函数的简图，并回答下列问题： (1)小球在开始振动(t=0)时的位移是多少？ 例 1 8 列表如下： 2t+ 0 π 2π t - s=4sin 0 4 0 -4 0 描点、连线，图象如图所示. 9 将t=0代入s=4sin，得s=4sin=2，所以小球开始振动时的位 移是2 cm. 10 (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ 小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和-4 cm. (3)经过多长时间小球往复振动一次？ 因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s. 11 (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性. (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题. 处理物理学问题的策略 反 思 感 悟 12 已知电流I与时间t的关系为I=Asin(ωt+φ). (1)如图所示的是I=Asin(ωt+φ)在一个周期内的图象，根 据图中数据求I=Asin(ωt+φ)的解析式； 跟踪训练 1 13 由题图知A=300，设t1=，t2=， 则周期T=2(t2-t1)=2×=. ∴ω==150π. 又当t=时，I=0，即sin=0， 而|φ|<，∴φ=. 故所求的解析式为I=300sin，t≥0. 14 (2)如果t在任意一段秒的时间内，电流I=Asin(ωt+φ) 都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？ 依题意得，周期T≤， 即≤(ω>0)， ∴ω≥300π>942， 又ω∈N+，故所求最小正整数ω=943. 15 二 三角函数模型在生活中的应用 已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，记y=f(t)，下表是某日各时的浪高数据： 例 2 t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观测，y=f(t)的图象可近似地看成是函数y=Acos ωt+b的图象. (1)根据以上数据，求其最小正周期和函数解析式； 17 由表中数据可知，T=12，∴ω==. 又当t=0时，y=1.5，∴A+b=1.5； 当t=3时，y=1.0，得b=1.0，∴A=0.5=， ∴函数解析式为y=cost+1(0≤t≤24). t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 18 (2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8∶00到20∶00之间，有多少时间可供冲浪爱好者进行活动？ 19 ∵当y>1时，才对冲浪爱好者开放， ∴y=cost+1>1， 即cost>0(0≤t≤24)， 则-+2kπ<t<+2kπ(k∈Z)， 解得12k-3<t<12k+3(k∈Z). 又0≤t≤24， ∴0≤t<3或9<t<15或21<t≤24， ∴在规定时间内冲浪爱好者只有6个小时可以进行活动，即9<t<15. 20 解三角函数应用问题的基本步骤 反 思 感 悟 21 某旅游区每年各个月接待游客的人数近似地满足周期性规律，因而一年中的第n月的从事旅游服务工作的人数f(n)可以近似用函数 f(n)=3 000cos+4 000来刻画(其中正整数n表示一年中的月份).当 该地区从事旅游服务工作人数在5 500或5 500以上时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”，那么一年中是“旺季”的月份总数有 A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 跟踪训练 2 √ 22 令3 000cos+4 000≥5 500， 则cos≥， 则-+2kπ≤+≤+2kπ，k∈Z， 解得-6+12k≤n≤-2+12k，k∈Z， ∵1≤n≤12，∴6≤n≤10， ∵n是正整数， ∴n=6，7，8，9，10，共5个. 23 确定模型解决实际问题 三 平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深y(单位：米)随着一天的时间t(0≤t≤24，单位：时)呈周期性变化，某天各时刻t的水深数据的近似值如表： 例 3 t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 2.4 1.5 0.6 1.4 2.4 1.6 0.6 1.5 (1)根据表中近似数据画出散点图.观察散点图，从①y=Asin(ωt+φ)； ②y=Acos(ωt+φ)+b；③y=-Asin ωt+b(A>0，ω>0，-π<φ<0)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式； 25 根据表中近似数据画出散点图，如图所示. 依题意，选②y=Acos(ωt+φ)+b作为函数模型， ∴A==， b==，T=12， ∴ω==， 26 ∴y=cos+， 又∵函数图象过点(3，2.4)， 即2.4=cos+， ∴cos=1，∴sin φ=-1， 又∵-π<φ<0，∴φ=-， ∴y=cos+=sint+ . 27 (2)为保证队员安全，规定在一天中5~18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据(1)中选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全？ 28 由(1)知，y=sint+， 令y≥1.05，即sint+≥1.05， ∴sint≥-， ∴2kπ-≤t≤2kπ+(k∈Z)， ∴12k-1≤t≤12k+7(k∈Z)， 又∵5≤t≤18，∴5≤t≤7或11≤t≤18， ∴这一天安排早上5点至7点以及11点至18点组织训练，能确保集训队员的安全. 29 反 思 感 悟 根据收集的数据，先画出相应的“散点图”，观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，然后利用这个模型解决实际问题. 一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如表所示，则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系 的一个三角函数式为　　　　　　.  跟踪训练 3 y=-4cos t t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 y -4.0 -2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 -2.8 -4.0 31 设y=Asin(ωt+φ)(A>0，ω>0)， 则从表中数据可以得到A=4，ω===， 又由4sin φ=-4.0，得sin φ=-1， 取φ=-，则y=4sin， 即y=-4cos t. t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 y -4.0 -2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 -2.8 -4.0 32 1.知识清单： (1)三角函数模型在物理学及生活中的应用. (2)根据确定的三角函数模型解决生活中的问题. 2.方法归纳：数形结合，数学建模. 3.常见误区：忽视实际生活中对三角函数的模型的限制. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.如图所示的一个单摆，以平衡位置OA为始边、OB为终边的角θ(-π<θ<π) 与时间t(s)满足函数关系式θ=sin，则当t=0时，角θ的大小及单摆 的频率是 A.， B.2， C.，π D.2，π √ 当t=0时，θ=sin ==π，故单摆的频率为. 1 2 3 4 2.已知简谐振动的振幅是，图象上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点，则该简谐振动的频率和初相分别是 A.， B.， C.， D.， √ 1 2 3 4 由题意可知A=，32+=52， 则T=8，ω==，∴y=sin. 由图象过点sin φ=，∴sin φ=， ∵|φ|<，∴φ=. 3.在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动，已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定： s1=5sin，s2=10cos 2t，当t=时，s1与s2的大小关系是 A.s1>s2 B.s1<s2 C.s1=s2 D.不能确定 1 2 3 4 √ 当t=时，s1=5sin=5sin =-5，s2=10cos= 10 cos=-5，所以s1=s2. 1 2 3 4 4.设y=f(t)是某港口水的深度y(m)关于时间t(h)的函数，其中0≤t≤24，下列是该港口某一天从0 h至24 h记录的时间t与水深y的关系： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1 经观察，函数y=f(t)的图象可以近似地看成函数y=k+Asin(ωt+φ) (t∈[0，24])的图象，最能近似表示数据间对应关系的是　　　　　　.  y=12+3sin t 1 2 3 4 由图表可知，k=12，A=3，=3， ∴T=12，ω==， 又当t=0时，y=12，且点(0，12)在函数的单调递增区间上， ∴φ=2nπ，n∈Z，令n=0，得φ=0. ∴y=12+3sin t. t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1 课时对点练 五 答案 对一对 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C B C A C 25 题号 11 12 13 14　 　15 答案 C C 20.5 2 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)散点图如图所示. 9. (2)设t时的体温y=Asin(ωt+φ)+c， 由表知ymax=37.4，ymin=36.6， 则c==37，A==0.4，ω===. 由0.4sin+37=37.4， 得sin=1， 即+φ=2kπ+，k∈Z， 则φ=2kπ-，k∈Z，取φ=-， 故可用三角函数y=0.4sin+37来近似描述这些数据. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (1)因为x∈[4，16]，则x-∈. 由函数解析式易知，当x-=，即x=14时，函数取得最大值，最大值为30，即最高温度为30 ℃，当x-=-，即x=6时，函数取得最小值， 最小值为10，即最低温度为10 ℃，所以最大温差为30-10=20(℃). (2)令10sin+20=15，可得sin=-， 而x∈[4，16]，所以x-=-，即x=. 令10sin+20=25，可得sin=， 而x∈[4，16]，所以x-=即x=. 故该细菌在这段时间内能存活-=(小时). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (1)由题意知，A=40，h=50，T=3， ∴ω==；又f(0)=40sin φ+50=10， 即sin φ=-1，又|φ|≤，∴φ=-； ∴f(t)=40sin+50(t≥0)； ∴f(2 022)=40sin+50 =40sin+50=10， 即2 022分钟时，点P所在位置的高度为10 m. (2)由(1)知，f(t)=40sin+50 =50-40cost(t≥0)；令f(t)>50+20， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. ∴-40cost>20，即cost<-， 解得+2kπ<t<+2kπ(k∈N+)， 即3k+<t<3k+(k∈N+)； ∵-=， ∴转一圈中有0.5分钟时间可以看到公园全貌. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器(如图1)，各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音.敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关 系为y=sin ωt，t∈[0，+∞).图2是该函数在一个周期内的图象，根据 图中数据可确定ω的值为 A.200 B.400 C.200π D.400π √ 由图象可得，T=4×==，则ω=400π. 答案 2.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y= 3sin+k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为 A.5 B.6 C.8 D.10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 根据图象得函数的最小值为2， 有-3+k=2，解得k=5，故最大值为3+k=8. 答案 3.如图所示为一简谐运动的图象，则下列判断正确的是 A.该质点的振动周期为0.7 s B.该质点的振幅为5 cm C.该质点在0.1 s和0.5 s时速度最大 D.该质点在0.3 s和0.7 s时加速度最大 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由图象易知振幅为5 cm，周期T=2×(0.7-0.3)=0.8 s，故A错误，B正确；在最高点时，速度为0，加速度最大，故C，D错误. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价做了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足：y=500sin(ωx+φ)+9 500(ω>0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示： 则此楼盘在第三季度的平均单价大约是 A.10 000元 B.9 500元 C.9 000元 D.8 500元 √ x 1 2 3 y 10 000 9 500 ？ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为y=500sin(ωx+φ)+9 500(ω>0)，所以当x=1时，500sin(ω+φ)+9 500 =10 000；当x=2时，500sin(2ω+φ)+9 500=9 500，所以ω可取，φ可 取π，即y=500sin+9 500；当x=3时，y=9 000. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.据市场调查，一年内某种商品每件出厂价在7千元的基础上，按月呈 f(x)=Asin(ωx+φ)+b的模型波动(x为月份)，已知3 月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为 A.f(x)=2sin+7(1≤x≤12，x∈N+) B.f(x)=9sin(1≤x≤12，x∈N+) C.f(x)=2sin x+7(1≤x≤12，x∈N+) D.f(x)=2sin+7(1≤x≤12，x∈N+) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　令x=3可排除D，令x=7可排除B，由A==2可排除C； 方法二　由题意，可得A=2，b=7，周期T==2×(7-3)=8， 则ω=，f(x)=2sin+7. ∵当x=3时，y=9，∴2sin+7=9， 即sin=1.∵|φ|<，∴φ=-. ∴f(x)=2sin+7(1≤x≤12，x∈N+). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，某节日期间某一天商场的人流量满足函数F(t)=50+4sin (t≥0)，则下列时间段中人流量增加的是 A.[0，5] B.[5，10] C.[10，15] D.[15，20] √ 由-+2kπ≤≤+2kπ，k∈Z，知函数F(t)的单调递增区间为 [-π+4kπ，π+4kπ]，k∈Z.当k=1时，t∈[3π，5π]. 因为[10，15]⊆[3π，5π]，所以C符合题意. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 据I=5sin知ω=100π，该电流的周期为T=== s， 从而频率为每秒50次，0.5 s往复运动25次. 7.已知某种交流电电流I(A)随时间t(s)的变化规律可以拟合为函数I= 5sin，t∈[0，+∞)，则这种交流电在0.5 s内往复运动____次.  25 答案 8.有一小球从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(单位：cm)关于时间t(单位：s)的函数解析式是s=Asin(ωt+φ)，0<φ<，函数图象如图所示，则φ=　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据图象，知T=-=， 所以T=1，则ω==2π. 因为t=时，函数取得最大值， 所以2π×+φ=+2kπ，k∈Z. 所以φ=+2kπ，k∈Z，又0<φ<， 所以φ=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.下表中给出了在24小时期间人的体温的变化(从夜间零点开始计时)： 时间(时) 0 2 4 6 8 10 12 温度(℃) 36.8 36.7 36.6 36.7 36.8 37 37.2 时间(时) 14 16 18 20 22 24 温度(℃) 37.3 37.4 37.3 37.2 37 36.8 (1)作出这些数据的散点图； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 散点图如图所示. 答案 (2)选用一个三角函数来近似描述这些数据. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设t时的体温y=Asin(ωt+φ)+c， 由表知ymax=37.4，ymin=36.6， 则c==37，A==0.4，ω===. 由0.4sin+37=37.4， 得sin=1， 即+φ=2kπ+，k∈Z， 则φ=2kπ-，k∈Z，取φ=-， 故可用三角函数y=0.4sin+37来近似描述这些数据. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数y=10sin+20，x∈[4，16]. (1)求该地区这一段时间内的最大温差； 因为x∈[4，16]，则x-∈. 由函数解析式易知，当x-=，即x=14时，函数取得最大值，最大值为30，即最高温度为30 ℃，当x-=-，即x=6时，函数取得最小值， 最小值为10，即最低温度为10 ℃，所以最大温差为30-10=20(℃). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令10sin+20=15， 可得sin=-， 而x∈[4，16]，所以x-=-，即x=. 令10sin+20=25， 可得sin=， 而x∈[4，16]，所以x-=即x=. 故该细菌在这段时间内能存活-=(小时). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过个周 期，乙将传播到 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 √ 综合运用 相邻的最大值和最小值之间间隔区间长度为半个周期，由题图可知应传播至丙位置. 答案 12.如图所示，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d=f(l)的图象大致是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设所对的圆心角为α，则α=l， 弦AP的长d=2|OA|·cos=2|OA|·sin =2sin，即有d=f(l)=2sin . √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数 y=a+Acos(x=1，2，3，…，12，A>0)来表示，已知6月份的月 平均气温最高为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的 平均气温值为　　　　 ℃.  20.5 由题意得∴ ∴y=23+5cos， 当x=10时，y=23+5×=20.5. 答案 14.如图是一半径为2米的水轮，水轮的圆心O距离水面1米，已知水轮自点M开始以1分钟旋转4圈的速度顺时针旋转，点M距水面的高度y(米)与时间x(秒)满足函数关系式y= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵水轮的半径为2米，水轮圆心O距离水面1米，∴A=2， 又水轮每分钟旋转4圈，故转一圈需要15秒， ∴T=15=，∴ω=. Asin(ωx+φ)+1，则A=　　　　，ω=　　　　.  2 答案 15.科学研究已经证实，人的智力、情绪和体力分别以33天、28天和23天为周期，按y=sin(ωx+φ)进行变化，记智力曲线为I，情绪曲线为E，体力曲线为P，且现在三条曲线都处于x轴的同一点处，那么第322天时 A.智力曲线I处于最低点 B.情绪曲线E与体力曲线P都处于上升期 C.智力曲线I与情绪曲线E相交 D.情绪曲线E与体力曲线P都关于(322，0)对称 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第322天时，322除33余25，322除28余14，322除23余0，即智力曲线I 位于周期处，情绪曲线E位于周期处，体力曲线P刚好位于起始点处.A项，>，则智力曲线I不处于最低点，故A错误； B项，情绪曲线E处于下降期，故B错误； C项，经过n个周期后，因为周期不同，所以智力曲线I与情绪曲线E不一定相交，故C错误； D项，(322，0)位于体力曲线P与情绪曲线E的交点，且在x轴上，故D正确. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.如图，某公园摩天轮的半径为40 m，点O距地面的高度为50 m，摩天轮逆时针转动，每3分钟转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处. (1)已知在时刻t(分钟)时点P距离地面的高度f(t)=Asin(ωt+φ)+h，求2 022分钟时点P距离地面的高度； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知，A=40，h=50，T=3， ∴ω==；又f(0)=40sin φ+50=10， 即sin φ=-1，又|φ|≤，∴φ=-； ∴f(t)=40sin+50(t≥0)； ∴f(2 022)=40sin+50 =40sin+50=10， 即2 022分钟时，点P所在位置的高度为10 m. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)当离地面(50+20)m以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中有多少时间可以看到公园全貌？ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)知，f(t)=40sin+50 =50-40cost(t≥0)；令f(t)>50+20， ∴-40cost>20，即cost<-， 解得+2kπ<t<+2kπ(k∈N+)， 即3k+<t<3k+(k∈N+)； ∵-=， ∴转一圈中有0.5分钟时间可以看到公园全貌. 答案 第一章 <<< $$