第七章 7.3.2 正弦型函数的性质与图象(二)-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第三册教师用书（人教B版2019）

第七章 <<< 7.3.2 正弦型函数的性质与图象(二) 1.能根据y=Asin(ωx+φ)的部分图象求其解析式. 2.会求正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的周期、单调性、最值、对称性. 3.能利用y=Asin(ωx+φ)的性质与图象解决有关综合问题. 学习目标 同学们，大家有没有听说过一个成语“可见一斑”，大家知道这是什么意思吗？对，它比喻见到事物的一小部分也能推知事物的整体，大家想一想，这不正是说的三角函数吗？大家知道，三角函数是周期函数，故如果我们知道了一个周期上的三角函数的性质，这个时候是不是可以“可见一斑”了？ 导 语 一、已知图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式 二、函数y=Asin(ωx+φ)的有关性质 课时对点练 三、y=Asin(ωx+φ)的性质与图象的综合应用 随堂演练 内容索引 已知图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式 一 提示　A，ω，φ的值.其中A影响的是函数的最大、最小值，ω影响的是函数的周期. 确定三角函数y=Asin(ωx+φ)的解析式，就要确定三角函数的哪些参数？ 问题1 提示　这是一个周期上的函数图象，周期为π，最大值是3，最小值是-3.除此以外，我们还可以得到函数的单调性、对称轴、对称中心、函数的零点等函数的性质.由此，我们可以推出整个函数的性质. 如图，你能说说这个图象有什么特点吗？ 问题2 已知问题2中函数的图象是函数y=Asin(ωx+φ) 的图象的一部分，求此函数的解析式. 例 1 8 方法一　(逐一定参法) 由图象知A=3，T=-=π， ∴ω==2， ∴y=3sin(2x+φ). ∵点在函数图象上， ∴-×2+φ=0+2kπ，k∈Z， ∴φ=+2kπ，k∈Z， 9 又|φ|<， ∴φ=， ∴y=3sin. 10 方法二　(待定系数法) 由图象知A=3.∵图象过点， ∴ ∴y=3sin. 11 方法三　(图象变换法) 由A=3，T=π，点在图象上， 可知函数图象由y=3sin 2x向左平移个单位而得， y=3sin，即y=3sin. 12 (1)逐一定参法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“ωx+φ=0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ或选取最大 值点时代入公式ωx+φ=+2kπ，k∈Z，选取最小值点时代入公式ωx+φ=+2kπ，k∈Z. 给出y=Asin(ωx+φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法 反 思 感 悟 13 (2)待定系数法：将若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式. (3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y=Asin ωx，再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数. 反 思 感 悟 14 函数y=sin(ωx+φ)(x∈R，ω>0，0≤φ<2π)的部分图象如图所示，则 A.ω=，φ= B.ω=，φ= C.ω=，φ= D.ω=，φ= 跟踪训练 1 √ 15 由所给图象可知，=2，∴T=8. 又∵T=，∴ω=. ∵图象在x=1处取得最高点， ∴+φ=+2kπ(k∈Z)， ∴φ=+2kπ(k∈Z)， ∵0≤φ<2π，∴φ=. 16 函数y=Asin(ωx+φ)的有关性质 二 提示　可以，利用整体代换的思想，当A>0，ω>0时，用ωx+φ整体代换正弦函数中的x即可. 你能用正弦函数y=sin x的性质类比三角函数y=Asin(ωx+φ)的性质吗？ 问题3 函数y=Asin(ωx+φ)，A>0，ω>0的有关性质 名称 性质 定义域 R 值域 [-A，A] 周期性 T=____ 对称中心 (k∈Z) 对称轴 x=+(k∈Z) 知识梳理 19 名称 性质 奇偶性 当φ=_________时是奇函数； 当φ=___________时是偶函数 单调性 由-+2kπ≤ωx+φ≤+2kπ，k∈Z，解得单调递增区间； 由+2kπ≤ωx+φ≤+2kπ，k∈Z，解得单调递减区间 kπ(k∈Z) +kπ(k∈Z) 知识梳理 20 已知函数f(x)=sin+. (1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间； 例 2 函数f(x)的最小正周期T==π， 由-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z)， 得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z)， 所以f(x)的单调递增区间为 (k∈Z). 21 (2)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心； 令2x+=+kπ(k∈Z)， 则x=+(k∈Z)， 所以对称轴方程为x=+(k∈Z)； 令2x+=kπ(k∈Z)，则x=-+(k∈Z)， 所以对称中心为(k∈Z). 22 (3)求f(x)的最小值及取得最小值时x的取值集合. 当sin=-1， 即2x+=-+2kπ(k∈Z)， 即x=-+kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值为， 此时x的取值集合是. 23 反 思 感 悟 有关函数y=Asin(ωx+φ)的性质的问题，要充分利用正弦曲线的性质，要特别注意整体代换思想的应用. (多选)函数f(x)=3sin的图象为C，则以下结论中正确 的是 A.图象C关于直线x=对称 B.图象C关于点对称 C.函数f(x)在区间上单调递增 D.由y=3sin 2x的图象向右平移个单位可以得到图象C 跟踪训练 2 √ √ 25 f=3sin=3sin=-. f=3sin=0，故A错误，B正确； 令-+2kπ≤2x-≤+2kπ，k∈Z， 解得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，故C正确； 函数y=3sin 2x的图象向右平移个单位，得到函数y=3sin =3sin的图象，故D错误. 26 y=Asin(ωx+φ)的性质与图象的综合应用 三 已知函数y=Asin(ωx+φ)的图象过点P，图象上离P点最近的一个最高点的坐标为. (1)求函数解析式； 例 3 28 ∵图象最高点的坐标为， ∴A=5. ∵=-=，∴T=π，∴ω==2， ∴y=5sin(2x+φ). 代入点，得sin=1， ∴+φ=+2kπ，k∈Z， ∴φ=-+2kπ，k∈Z， 又|φ|<，∴φ=-，∴y=5sin. (2)指出函数的单调递增区间； ∵函数的单调递增区间满足-+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z)， ∴-+2kπ≤2x≤+2kπ(k∈Z)， ∴-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z). ∴函数的单调递增区间为(k∈Z). 30 (3)求使y≤0的x的取值范围. ∵5sin≤0， ∴-π+2kπ≤2x-≤2kπ(k∈Z)， ∴-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z). 故所求x的取值范围是(k∈Z). 31 反 思 感 悟 形如y=Asin(ωx+φ)性质的综合问题，一般用公式T=确定周 期，将ωx+φ看作一个整体，类比y=sin x的有关性质求y=Asin(ωx+φ)的有关性质. 已知方程2sin-1=a，x∈有两解，求a的取值范围. 跟踪训练 3 33 由题意sin=. 令y1=sin，y2=， 令t=2x+，∵x∈，∴t∈， 作出y1=sin t，t∈的图象如图， 依题意要使y1=sin t，t∈与y2=的图象有两个不同交点. 则由图可知-1<<0或=1. 解得-3<a<-1或a=1. ∴a的取值范围是(-3，-1)∪{1}. 34 1.知识清单： (1)由图象求解析式. (2)正弦型函数的性质：周期性、单调性、最值、对称性. (3)正弦型函数性质与图象的综合应用. 2.方法归纳：整体代换思想、数形结合、转化. 3.常见误区： (1)单调区间漏写k∈Z，用并集符号连接. (2)由图象求解析式中的φ时，选择点时出错. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.函数y=sin图象的一条对称轴的方程是 A.x=- B.x=- C.x= D.x= √ 令2x+=+kπ(k∈Z)， 解得x=-π+(k∈Z)， ∴y=sin图象的对称轴方程为x=-π+(k∈Z)，① 当k=1时，有x=-，故A正确. 1 2 3 4 2.函数f(x)=sin的一个单调递减区间是 A. B.[-π，0] C. D. √ 令+2kπ≤x+≤+2kπ，k∈Z， 得+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z， 当k=-1时，-≤x≤-，排除ABC； 当k=0时，≤x≤，D项符合. 3.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示， 则φ的值为 A.- B. C.- D. 1 2 3 4 √ 由图象可知A=1，=-，故T=π，ω=2，f(x)=sin(2x+φ)，由图象可知当x=时，sin=1，所以φ=. 1 2 3 4 4.(多选)对于函数f(x)=sin 2x，下列选项中正确的是 A.f(x)在上单调递减 B.f(x)的图象关于原点对称 C.f(x)的最小正周期为2π D.f(x)的最大值为2 √ √ 1 2 3 4 因为函数y=sin x在上单调递减， 所以f(x)=sin 2x在上单调递减，故A正确； 因为f(-x)=sin 2(-x)=sin(-2x)=-sin 2x=-f(x)，所以f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故B正确； f(x)的最小正周期为π，故C错误； f(x)的最大值为1，故D错误. 课时对点练 五 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A AC C D ABD D 0 - 2 题号 11 12 13 14 15 答案 ACD BC B y=2sin B 对一对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)由函数f(x)的图象， 可得A=2，T=+=， 所以T=2π， 因为ω>0，可得ω==1， 所以f(x)=2sin(x+φ)， 又因为f(x)图象过点， 可得2sin=-2， 即sin=-1， 所以+φ=+2kπ，k∈Z， 解得φ=+2kπ，k∈Z， 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又0<φ<，所以φ=， 所以函数f(x)的解析式为f(x)=2sin. (2)将f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的， 得到g(x)=2sin， 由g(x)≥，可得sin≥， 解得+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z， 所以kπ≤x≤+kπ，k∈Z， 即不等式g(x)≥，k∈Z. 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (1)因为一个最低点的坐标为， 所以A=2， 又因为=T，所以最小正周期T=π， 所以ω==2，所以y=2sin(2x+φ)， 因为点在函数图象上， 所以2×+φ=-+2kπ，k∈Z， 解得φ=-+2kπ(k∈Z)， 又|φ|<，所以φ=-， 所以函数的解析式为y=2sin. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (2)将y=2sin个单位后得到函数 y=2sin=2sin的图象， 再向上平移2个单位得到g(x)=2sin+2的图象，因为x∈， 所以2x+∈， 所以sin∈， 所以g(x)∈[1，4]， 故函数g(x)在上的值域为[1，4]. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (1)由题中的图象知，A=2，=-=， 所以T=π，ω==2，因为图象过点， 所以2×+φ=+2kπ，k∈Z， 解得φ=+2kπ，k∈Z， 因为|φ|<，所以φ=， 故函数解析式为f(x)=2sin. (2)令-+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z， 解得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z， 所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (3)由题意得g(x)=2sin上的图象如图所示， 由函数的图象可知，当m∈时， 方程g(x)=m在上有两个不相等的实数根， 故实数m的取值范围是[，2). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.若x1=，x2=是函数f(x)=sin ωx(ω>0)两个相邻的最值点，则ω等于 A.2 B. C.1 D. √ 由题意知=x2-x1=-=， 所以T=π，ω=2. 答案 2.(多选)若函数f(x)=sin，x∈R是奇函数，则φ的可能取值为 A.2 024π B.- C.-π D.- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵函数f(x)=sin，x∈R是奇函数，∴f(-x)=-f(x). 对于A，当φ=2 024π时，f(x)=sin =sinx，f(-x)=sin= -sinx=-f(x)，故A正确； 对于B，当φ=-时，f(x)=sin，f(-x)=sin，f(-x)≠-f(x)， 故B错误； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于C，当φ=-π时，f(x)=sin=-sinx，f(-x)=-sin=sinx= -f(x)，故C正确； 对于D，当φ=-时，f(x)=sin=cosx，f(-x)=cos=cosx≠ -f(x)，故D错误. 答案 3.若函数f(x)=sin-1(ω>0)的周期为，则函数f(x)图象的对称轴方程为 A.x=+kπ(k∈Z) B.x=-+kπ(k∈Z) C.x=+(k∈Z) D.x=-+(k∈Z) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由函数y=sin-1的周期为=，又ω>0，所以ω=3，则对称轴方程为3x+=+kπ，k∈Z，即x=+，k∈Z. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.如图所示，函数的解析式为 A.y=sin B.y=sin C.y=sin D.y=sin √ 由题图知，T=4×=π， 所以|ω|==2.又当x=时，y=1， 经验证，可得D项解析式符合题目要求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)若将函数f(x)=sin的图象向右平移个单位得到g(x)的图象， 则下列结论正确的是 A.函数g(x)的最小正周期是π B.g(x)的图象关于直线x=对称 C.函数g(x)在区间上单调递减 D.g(x)的图象关于点中心对称 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，得g(x)=sin=sin. 对于A，函数g(x)的最小正周期T==π，正确； 对于B，g=sin =1为函数g(x)的最大值，即g(x)的图象关于直线x=对称，正确； 对于C，当x∈时，2x-∈[-π，0]，则函数g(x)在区间 上不单调，错误； 对于D，g=0，即g(x)的图象关于点中心对称，正确. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.点P是函数f(x)=sin(ωx+φ)+m图象的一个对称 中心，且点P到该图象的对称轴的距离的最小值为，则 A.f(x)的最小正周期是π B.f(x)的值域为[0，4] C.f(x)图象的对称轴为x=+kπ，k∈Z D.f(x)在上单调递增 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，得 且函数的最小正周期为T=4×=2π， 所以ω==1，故A错误； 代入①式得φ=+kπ(k∈Z)， 又|φ|<，所以φ=. 所以f(x)=sin+2. 则函数f(x)的值域为[1，3]，故B错误； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由x+=+kπ，k∈Z，得图象的对称轴为x=+kπ，k∈Z，故C错误； 由-+2kπ≤x+≤+2kπ，k∈Z， 得-+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z， 令k=1，得≤x≤，故D正确. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵x∈，∴-≤2x-≤， ∴当2x-=-，即x=0时， f(x)=sin取得最小值-. 7.函数f(x)=sin，x∈，则当x=　　时，f(x)有最小值为　　.  0 - 答案 8. (2024·北京改编)已知f(x)=sin ωx(ω>0)，f(x1)=-1，f(x2)=1，|x1-x2|min=， 则ω=　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知，x1为f(x)的最小值点， x2为f(x)的最大值点， 则|x1-x2|min==， 即T=π，因为ω>0， 所以ω==2. 2 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示. (1)求函数f(x)的解析式； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由函数f(x)的图象， 可得A=2，T=+=， 所以T=2π， 因为ω>0，可得ω==1， 所以f(x)=2sin(x+φ)， 又因为f(x)图象过点， 可得2sin=-2， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即sin=-1， 所以+φ=+2kπ，k∈Z， 解得φ=+2kπ，k∈Z， 又0<φ<，所以φ=， 所以函数f(x)的解析式为f(x)=2sin. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到 函数y=g(x)的图象，求函数g(x)≥的解的集合. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 将f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的， 得到g(x)=2sin， 由g(x)≥，可得sin≥， 解得+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z， 所以kπ≤x≤+kπ，k∈Z， 即不等式g(x)≥，k∈Z. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知函数y=Asin(ωx+φ)的图象过点P，且图象上与P点最近的一个最低点坐标为. (1)求函数的解析式； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为一个最低点的坐标为， 所以A=2， 又因为=T，所以最小正周期T=π， 所以ω==2，所以y=2sin(2x+φ)， 因为点在函数图象上， 所以2×+φ=-+2kπ，k∈Z， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解得φ=-+2kπ(k∈Z)， 又|φ|<，所以φ=-， 所以函数的解析式为y=2sin. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若将此函数的图象向左平移个单位后，再向上平移2个单位得到g(x)的图象，求g(x)在上的值域. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 将y=2sin个单位后得到函数 y=2sin=2sin的图象， 再向上平移2个单位得到g(x)=2sin+2的图象，因为x∈， 所以2x+∈， 所以sin∈， 所以g(x)∈[1，4]， 故函数g(x)在上的值域为[1，4]. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.(多选)若将函数f(x)=Asin(A≠0)的图象向左平移个单位得到函 数g(x)的图象，则下列选项中错误的是 A.g(x)的最大值为A B.g(x)的图象有一条对称轴是直线x= C.g(x)的图象有一个对称中心是点 D.g(x)是奇函数 √ √ 综合运用 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 将函数f(x)=Asin(A≠0)的图象向左平移个单位得到函数g(x)=Asin=Asin的图象，因为A≠0，正负不知， 所以A错误； 又因为g=Asin=Asin=A，所以直线x=是g(x)的图象 的一条对称轴，所以B正确； 因为g=Asin=Asin≠0，所以C错误； 因为g(-x)=Asin≠g(x)且g(-x)≠-g(x)，所以g(x)为非奇非偶函 数，所以D错误. 答案 12.(多选)(2024·新课标全国Ⅱ)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin，下 列说法中正确的有 A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A选项，令f(x)=sin 2x=0， 解得x=，k∈Z，即为f(x)的零点， 令g(x)=sin=0， 解得x=+，k∈Z，即为g(x)的零点， 显然f(x)，g(x)零点不同，A选项错误； B选项，显然f(x)max=g(x)max=1，B选项正确； C选项，根据周期公式，f(x)，g(x)的最小正周期均为=π，C选项正确； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 D选项，根据正弦函数的性质，f(x)的对称轴满足2x=kπ+，k∈Z， 解得x=+，k∈Z， g(x)的对称轴满足2x-=kπ+，k∈Z， 解得x=+，k∈Z， 显然f(x)，g(x)图象的对称轴不同，D选项错误. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.将函数f(x)=sin+1的图象向右平移　　　　个单位后，再进 行周期变换可以得到如图所示的图象 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设图象对应的函数为y=Asin(ωx+φ)+B， 根据函数的图象可得A=1.5-1=0.5，=T=4-0，则ω=，B==1， 即y=sin+1， 将(0，1)代入可得sin φ+1=1，解得φ=0， 所以所给图象为y=sinx+1的图象， 故将函数f(x)=sin+1的图象向右平移个单位后，再进行周期 变换可以得到如图所示的图象. 答案 14.某同学利用描点法画函数y=Asin(ωx+φ)的图象，列出的部分数据如表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x 0 1 2 3 4 y 1 0 1 -1 -2 经检查，发现表格中恰有一组数据计算错误，请你根据上述信息推断函 数y=Asin(ωx+φ)的解析式应是　　　　　　　　.  y=2sin 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知(0，1)，(2，1)关于对称轴对称，且对称轴x=1，可知第二 组数据错误，函数在x=1处取得最大值；由(2，1)，(3，-1)关于中心对称，可知函数的周期为T=4×=6，故ω=，A=2， 又-<φ<，故φ=， 所以y=2sin. 答案 15.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所 示，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 024)等于 A. B.0 C.+2 D.-2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由f(x)=Asin(ωx+φ) 的图象可知，A=2，T=8，故ω==， 又f(0)=0且|φ|<，则可得出φ=0， 故f(x)=2sinx. 又根据函数的对称性可知f(1)=f(3)=-f(5) =-f(7)=，f(2)=-f(6)=2，f(4)=f(8)=0， 所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(8)=0， 所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 024) =253×[f(1)+f(2)+f(3)+…+f(8)]=253×0=0. 答案 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.如图为函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象. (1)求函数f(x)的解析式； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题中的图象知，A=2，=-=， 所以T=π，ω==2，因为图象过点， 所以2×+φ=+2kπ，k∈Z， 解得φ=+2kπ，k∈Z， 因为|φ|<，所以φ=， 故函数解析式为f(x)=2sin. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求函数f(x)的单调递增区间； 令-+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z， 解得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z， 所以f(x)的单调递增区间为， k∈Z. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位，得到函数y=g(x)的图象，若方程g(x)=m在上有两个不 相等的实数根，求实数m的取值范围. 由题意得g(x)=2sin上的图象如图所示， 由函数的图象可知，当m∈时， 方程g(x)=m在上有两个不相等的实数根， 故实数m的取值范围是[，2). 答案 第一章 <<< $$ 7.3.2　正弦型函数的性质与图象(二) ［学习目标］　1.能根据y=Asin(ωx+φ)的部分图象求其解析式.2.会求正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的周期、单调性、最值、对称性.3.能利用y=Asin(ωx+φ)的性质与图象解决有关综合问题. 导语 同学们，大家有没有听说过一个成语“可见一斑”，大家知道这是什么意思吗？对，它比喻见到事物的一小部分也能推知事物的整体，大家想一想，这不正是说的三角函数吗？大家知道，三角函数是周期函数，故如果我们知道了一个周期上的三角函数的性质，这个时候是不是可以“可见一斑”了？ 一、已知图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式 问题1　确定三角函数y=Asin(ωx+φ)的解析式，就要确定三角函数的哪些参数？ 提示　A，ω，φ的值.其中A影响的是函数的最大、最小值，ω影响的是函数的周期. 问题2　如图，你能说说这个图象有什么特点吗？ 提示　这是一个周期上的函数图象，周期为π，最大值是3，最小值是-3.除此以外，我们还可以得到函数的单调性、对称轴、对称中心、函数的零点等函数的性质.由此，我们可以推出整个函数的性质. 例1　已知问题2中函数的图象是函数y=Asin(ωx+φ)的图象的一部分，求此函数的解析式. 解　方法一　(逐一定参法) 由图象知A=3，T=-=π， ∴ω==2， ∴y=3sin(2x+φ). ∵点在函数图象上， ∴-×2+φ=0+2kπ，k∈Z， ∴φ=+2kπ，k∈Z， 又|φ|<， ∴φ=， ∴y=3sin. 方法二　(待定系数法) 由图象知A=3.∵图象过点和， ∴解得 ∴y=3sin. 方法三　(图象变换法) 由A=3，T=π，点在图象上， 可知函数图象由y=3sin 2x向左平移个单位而得， y=3sin，即y=3sin. 反思感悟　给出y=Asin(ωx+φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法 (1)逐一定参法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“ωx+φ=0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ或选取最大值点时代入公式ωx+φ=+2kπ，k∈Z，选取最小值点时代入公式ωx+φ=+2kπ，k∈Z. (2)待定系数法：将若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式. (3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y=Asin ωx，再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数. 跟踪训练1　函数y=sin(ωx+φ)(x∈R，ω>0，0≤φ<2π)的部分图象如图所示，则(　　) A.ω=，φ= B.ω=，φ= C.ω=，φ= D.ω=，φ= 答案　C 解析　由所给图象可知，=2，∴T=8. 又∵T=，∴ω=. ∵图象在x=1处取得最高点， ∴+φ=+2kπ(k∈Z)， ∴φ=+2kπ(k∈Z)， ∵0≤φ<2π，∴φ=. 二、函数y=Asin(ωx+φ)的有关性质 问题3　你能用正弦函数y=sin x的性质类比三角函数y=Asin(ωx+φ)的性质吗？ 提示　可以，利用整体代换的思想，当A>0，ω>0时，用ωx+φ整体代换正弦函数中的x即可. 知识梳理 函数y=Asin(ωx+φ)，A>0，ω>0的有关性质 名称 性质 定义域 R 值域 ［-A，A］ 周期性 T= 对称中心 (k∈Z) 对称轴 x=+(k∈Z) 奇偶性 当φ=kπ(k∈Z)时是奇函数； 当φ=+kπ(k∈Z)时是偶函数 单调性 由-+2kπ≤ωx+φ≤+2kπ，k∈Z，解得单调递增区间； 由+2kπ≤ωx+φ≤+2kπ，k∈Z，解得单调递减区间 例2　已知函数f(x)=sin+. (1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间； (2)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心； (3)求f(x)的最小值及取得最小值时x的取值集合. 解　(1)函数f(x)的最小正周期T==π， 由-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z)， 得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z)， 所以f(x)的单调递增区间为 (k∈Z). (2)令2x+=+kπ(k∈Z)， 则x=+(k∈Z)， 所以对称轴方程为x=+(k∈Z)； 令2x+=kπ(k∈Z)，则x=-+(k∈Z)， 所以对称中心为(k∈Z). (3)当sin=-1， 即2x+=-+2kπ(k∈Z)， 即x=-+kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值为， 此时x的取值集合是. 反思感悟　有关函数y=Asin(ωx+φ)的性质的问题，要充分利用正弦曲线的性质，要特别注意整体代换思想的应用. 跟踪训练2　(多选)函数f(x)=3sin的图象为C，则以下结论中正确的是(　　) A.图象C关于直线x=对称 B.图象C关于点对称 C.函数f(x)在区间上单调递增 D.由y=3sin 2x的图象向右平移个单位可以得到图象C 答案　BC 解析　f=3sin=3sin=-. f=3sin=0，故A错误，B正确； 令-+2kπ≤2x-≤+2kπ，k∈Z， 解得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，故C正确； 函数y=3sin 2x的图象向右平移个单位，得到函数y=3sin=3sin的图象，故D错误. 三、y=Asin(ωx+φ)的性质与图象的综合应用 例3　已知函数y=Asin(ωx+φ) 的图象过点P，图象上离P点最近的一个最高点的坐标为. (1)求函数解析式； (2)指出函数的单调递增区间； (3)求使y≤0的x的取值范围. 解　(1)∵图象最高点的坐标为， ∴A=5. ∵=-=，∴T=π，∴ω==2， ∴y=5sin(2x+φ). 代入点，得sin=1， ∴+φ=+2kπ，k∈Z， ∴φ=-+2kπ，k∈Z， 又|φ|<，∴φ=-，∴y=5sin. (2)∵函数的单调递增区间满足-+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z)， ∴-+2kπ≤2x≤+2kπ(k∈Z)， ∴-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z). ∴函数的单调递增区间为(k∈Z). (3)∵5sin≤0， ∴-π+2kπ≤2x-≤2kπ(k∈Z)， ∴-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z). 故所求x的取值范围是(k∈Z). 反思感悟　形如y=Asin(ωx+φ)性质的综合问题，一般用公式T=确定周期，将ωx+φ看作一个整体，类比y=sin x的有关性质求y=Asin(ωx+φ)的有关性质. 跟踪训练3　已知方程2sin-1=a，x∈有两解，求a的取值范围. 解　由题意sin=. 令y1=sin，y2=， 令t=2x+，∵x∈，∴t∈， 作出y1=sin t，t∈的图象如图， 依题意要使y1=sin t，t∈与y2=的图象有两个不同交点. 则由图可知-1<<0或=1. 解得-3<a<-1或a=1. ∴a的取值范围是(-3，-1)∪｛1｝. 1.知识清单： (1)由图象求解析式. (2)正弦型函数的性质：周期性、单调性、最值、对称性. (3)正弦型函数性质与图象的综合应用. 2.方法归纳：整体代换思想、数形结合、转化. 3.常见误区： (1)单调区间漏写k∈Z，用并集符号连接. (2)由图象求解析式中的φ时，选择点时出错. 1.函数y=sin图象的一条对称轴的方程是(　　) A.x=- B.x=- C.x= D.x= 答案　A 解析　令2x+=+kπ(k∈Z)， 解得x=-π+(k∈Z)， ∴y=sin图象的对称轴方程为x=-π+(k∈Z)， ① 当k=1时，有x=-，故A正确. 2.函数f(x)=sin的一个单调递减区间是(　　) A. B.［-π，0］ C. D. 答案　D 解析　令+2kπ≤x+≤+2kπ，k∈Z， 得+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z， 当k=-1时，-≤x≤-，排除ABC； 当k=0时，≤x≤，D项符合. 3.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，则φ的值为(　　) A.- B. C.- D. 答案　B 解析　由图象可知A=1，=-，故T=π，ω=2，f(x)=sin(2x+φ)，由图象可知当x=时，sin=1，所以φ=. 4.(多选)对于函数f(x)=sin 2x，下列选项中正确的是(　　) A.f(x)在上单调递减 B.f(x)的图象关于原点对称 C.f(x)的最小正周期为2π D.f(x)的最大值为2 答案　AB 解析　因为函数y=sin x在上单调递减， 所以f(x)=sin 2x在上单调递减，故A正确； 因为f(-x)=sin 2(-x)=sin(-2x)=-sin 2x=-f(x)，所以f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故B正确； f(x)的最小正周期为π，故C错误； f(x)的最大值为1，故D错误. 　　　　 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共24分 1.若x1=，x2=是函数f(x)=sin ωx(ω>0)两个相邻的最值点，则ω等于(　　) A.2 B. C.1 D. 答案　A 解析　由题意知=x2-x1=-=， 所以T=π，ω=2. 2.(多选)若函数f(x)=sin，x∈R是奇函数，则φ的可能取值为(　　) A.2 024π B.- C.-π D.- 答案　AC 解析　∵函数f(x)=sin，x∈R是奇函数，∴f(-x)=-f(x). 对于A，当φ=2 024π时，f(x)=sin =sinx，f(-x)=sin=-sinx=-f(x)，故A正确； 对于B，当φ=-时，f(x)=sin，f(-x)=sin，f(-x)≠-f(x)，故B错误； 对于C，当φ=-π时，f(x)=sin=-sinx，f(-x)=-sin=sinx=-f(x)，故C正确； 对于D，当φ=-时，f(x)=sin=cosx，f(-x)=cos=cosx≠-f(x)，故D错误. 3.若函数f(x)=sin-1(ω>0)的周期为，则函数f(x)图象的对称轴方程为(　　) A.x=+kπ(k∈Z) B.x=-+kπ(k∈Z) C.x=+(k∈Z) D.x=-+(k∈Z) 答案　C 解析　由函数y=sin-1的周期为，知=，又ω>0，所以ω=3，则对称轴方程为3x+=+kπ，k∈Z，即x=+，k∈Z. 4.如图所示，函数的解析式为(　　) A.y=sin B.y=sin C.y=sin D.y=sin 答案　D 解析　由题图知，T=4×=π， 所以|ω|==2.又当x=时，y=1， 经验证，可得D项解析式符合题目要求. 5.(多选)若将函数f(x)=sin的图象向右平移个单位得到g(x)的图象，则下列结论正确的是(　　) A.函数g(x)的最小正周期是π B.g(x)的图象关于直线x=对称 C.函数g(x)在区间上单调递减 D.g(x)的图象关于点中心对称 答案　ABD 解析　由题意，得g(x)=sin=sin. 对于A，函数g(x)的最小正周期T==π，正确； 对于B，g=sin =1为函数g(x)的最大值，即g(x)的图象关于直线x=对称，正确； 对于C，当x∈时，2x-∈［-π，0］，则函数g(x)在区间上不单调，错误； 对于D，g=0，即g(x)的图象关于点中心对称，正确. 6.点P是函数f(x)=sin(ωx+φ)+m图象的一个对称中心，且点P到该图象的对称轴的距离的最小值为，则(　　) A.f(x)的最小正周期是π B.f(x)的值域为［0，4］ C.f(x)图象的对称轴为x=+kπ，k∈Z D.f(x)在上单调递增 答案　D 解析　由题意，得 且函数的最小正周期为T=4×=2π， 所以ω==1，故A错误； 代入①式得φ=+kπ(k∈Z)， 又|φ|<，所以φ=. 所以f(x)=sin+2. 则函数f(x)的值域为［1，3］，故B错误； 由x+=+kπ，k∈Z，得图象的对称轴为x=+kπ，k∈Z，故C错误； 由-+2kπ≤x+≤+2kπ，k∈Z， 得-+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z， 令k=1，得≤x≤，故D正确. 7.(5分)函数f(x)=sin，x∈，则当x=　　　时，f(x)有最小值为　　　　.  答案　0　- 解析　∵x∈，∴-≤2x-≤， ∴当2x-=-，即x=0时， f(x)=sin取得最小值-. 8.(5分)(2024·北京改编)已知f(x)=sin ωx(ω>0)，f(x1)=-1，f(x2)=1，|x1-x2|min=，则ω=　　　　　　.  答案　2 解析　由题意可知，x1为f(x)的最小值点， x2为f(x)的最大值点， 则|x1-x2|min==， 即T=π，因为ω>0， 所以ω==2. 9.(10分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示. (1)求函数f(x)的解析式；(5分) (2)将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象，求函数g(x)≥的解的集合.(5分) 解　(1)由函数f(x)的图象， 可得A=2，T=+=， 所以T=2π， 因为ω>0，可得ω==1， 所以f(x)=2sin(x+φ)， 又因为f(x)图象过点， 可得2sin=-2， 即sin=-1， 所以+φ=+2kπ，k∈Z， 解得φ=+2kπ，k∈Z， 又0<φ<，所以φ=， 所以函数f(x)的解析式为f(x)=2sin. (2)将f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的， 得到g(x)=2sin， 由g(x)≥，可得sin≥， 解得+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z， 所以kπ≤x≤+kπ，k∈Z， 即不等式g(x)≥的解集为，k∈Z. 10.(10分)已知函数y=Asin(ωx+φ)的图象过点P，且图象上与P点最近的一个最低点坐标为. (1)求函数的解析式；(5分) (2)若将此函数的图象向左平移个单位后，再向上平移2个单位得到g(x)的图象，求g(x)在上的值域.(5分) 解　(1)因为一个最低点的坐标为， 所以A=2， 又因为=T，所以最小正周期T=π， 所以ω==2，所以y=2sin(2x+φ)， 因为点在函数图象上， 所以2×+φ=-+2kπ，k∈Z， 解得φ=-+2kπ(k∈Z)， 又|φ|<，所以φ=-， 所以函数的解析式为y=2sin. (2)将y=2sin的图象向左平移个单位后得到函数y=2sin=2sin的图象， 再向上平移2个单位得到g(x)=2sin+2的图象，因为x∈， 所以2x+∈， 所以sin∈， 所以g(x)∈［1，4］， 故函数g(x)在上的值域为［1，4］. 11.(多选)若将函数f(x)=Asin(A≠0)的图象向左平移个单位得到函数g(x)的图象，则下列选项中错误的是(　　) A.g(x)的最大值为A B.g(x)的图象有一条对称轴是直线x= C.g(x)的图象有一个对称中心是点 D.g(x)是奇函数 答案　ACD 解析　将函数f(x)=Asin(A≠0)的图象向左平移个单位得到函数g(x)=Asin=Asin的图象，因为A≠0，正负不知，所以A错误；又因为g=Asin=Asin=A，所以直线x=是g(x)的图象的一条对称轴，所以B正确；因为g=Asin=Asin≠0，所以C错误；因为g(-x)=Asin≠g(x)且g(-x)≠-g(x)，所以g(x)为非奇非偶函数，所以D错误. 12.(多选)(2024·新课标全国Ⅱ)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin，下列说法中正确的有(　　) A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 答案　BC 解析　A选项，令f(x)=sin 2x=0， 解得x=，k∈Z，即为f(x)的零点， 令g(x)=sin=0， 解得x=+，k∈Z，即为g(x)的零点， 显然f(x)，g(x)零点不同，A选项错误； B选项，显然f(x)max=g(x)max=1，B选项正确； C选项，根据周期公式，f(x)，g(x)的最小正周期均为=π，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质，f(x)的对称轴满足2x=kπ+，k∈Z， 解得x=+，k∈Z， g(x)的对称轴满足2x-=kπ+，k∈Z， 解得x=+，k∈Z， 显然f(x)，g(x)图象的对称轴不同，D选项错误. 13.将函数f(x)=sin+1的图象向右平移　　　　个单位后，再进行周期变换可以得到如图所示的图象(　　)  A. B. C. D. 答案　B 解析　设图象对应的函数为y=Asin(ωx+φ)+B， 根据函数的图象可得A=1.5-1=0.5，=T=4-0，则ω=，B==1， 即y=sin+1， 将(0，1)代入可得sin φ+1=1，解得φ=0， 所以所给图象为y=sinx+1的图象， 故将函数f(x)=sin+1的图象向右平移个单位后，再进行周期变换可以得到如图所示的图象. 14.(5分)某同学利用描点法画函数y=Asin(ωx+φ)的图象，列出的部分数据如表： x 0 1 2 3 4 y 1 0 1 -1 -2 经检查，发现表格中恰有一组数据计算错误，请你根据上述信息推断函数y=Asin(ωx+φ)的解析式应是　　　　　　　　.  答案　y=2sin 解析　由题意可知(0，1)，(2，1)关于对称轴对称，且对称轴x=1，可知第二组数据错误，函数在x=1处取得最大值；由(2，1)，(3，-1)关于中心对称，可知函数的周期为T=4×=6，故ω=，A=2，又-<φ<，故φ=， 所以y=2sin. 15.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 024)等于(　　) A. B.0 C.+2 D.-2 答案　B 解析　由f(x)=Asin(ωx+φ) 的图象可知，A=2，T=8，故ω==， 又f(0)=0且|φ|<，则可得出φ=0， 故f(x)=2sinx. 又根据函数的对称性可知f(1)=f(3)=-f(5) =-f(7)=，f(2)=-f(6)=2，f(4)=f(8)=0， 所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(8)=0， 所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 024) =253×［f(1)+f(2)+f(3)+…+f(8)］=253×0=0. 16.(11分)如图为函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象. (1)求函数f(x)的解析式；(3分) (2)求函数f(x)的单调递增区间；(4分) (3)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位，得到函数y=g(x)的图象，若方程g(x)=m在上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围.(4分) 解　(1)由题中的图象知，A=2，=-=， 所以T=π，ω==2，因为图象过点， 所以2×+φ=+2kπ，k∈Z， 解得φ=+2kπ，k∈Z， 因为|φ|<，所以φ=， 故函数解析式为f(x)=2sin. (2)令-+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z， 解得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z， 所以f(x)的单调递增区间为， k∈Z. (3)由题意得g(x)=2sin在上的图象如图所示， 由函数的图象可知，当m∈时，方程g(x)=m在上有两个不相等的实数根， 故实数m的取值范围是［，2). 学科网（北京）股份有限公司 $$