第七章 7.2.4 诱导公式(一)-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第三册教师用书（人教B版2019）

7.2.4　诱导公式(一) ［学习目标］　1.了解三角函数的诱导公式①②③④的意义和作用.2.理解诱导公式①②③④的推导过程.3.能运用诱导公式解决一些三角函数式的求值、化简等问题. 导语　 在前面的学习中，我们知道能够利用任意角三角函数的定义求三角函数值，为了方便计算需要将绝对值较大的三角函数值转化为0°~360°角的三角函数值，进而对于90°~360°角的三角函数值进一步把它们转化到锐角范围内求解，这就是今天要学习的内容. 一、诱导公式①~④ 问题1　终边相同的角的同名三角函数值具有什么关系？ 提示　相等. 问题2　观察下图，思考我们是如何定义三角函数的？ 提示　三角函数的定义的核心是角的终边与单位圆的交点的坐标，终边相同的角的三角函数值相等.由图象可知，点P1与P2关于原点对称，点P1与P2两点的横坐标、纵坐标分别互为相反数，以OP2为终边的角β可以表示成β=(π+α)+2kπ，k∈Z. 问题3　知道了终边与单位圆的交点坐标，你能根据三角函数的定义探究角α与角π+α的三角函数值之间的关系吗？ 提示　设P1(x，y)是角α的终边与单位圆的交点，则P2(-x，-y)，根据三角函数的定义可知，y=sin α，x=cos α，=tan α(x≠0)，sin(π+α)=-y，cos(π+α)=-x，tan(π+α)=. 知识梳理 1.公式① sin(α+k·2π)=sin α(k∈Z)，  cos(α+k·2π)=cos α(k∈Z)，  tan(α+k·2π)=tan α(k∈Z).  2.公式② sin(-α)=-sin α，  cos(-α)=cos α，  tan(-α)=-tan α.  3.公式③ sin(π-α)=sin α，  cos(π-α)=-cos α，  tan(π-α)=-tan α.  4.公式④ sin(π+α)=-sin α，  cos(π+α)=-cos α，  tan(π+α)=tan α.  5.角的旋转对称 一般地，角α的终边和角β的终边关于角的终边所在的直线对称. 注意点： 诱导公式①~④的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”，其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所对应的三角函数值的符号，α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ+，k∈Z. 二、给角求值 例1　利用公式求下列三角函数值： (1)cos(-480°)+sin 210°； (2)sin·cos·tan. 解　(1)原式=cos 480°+sin(180°+30°) =cos(360°+120°)-sin 30° =cos 120°- =cos(180°-60°)- =-cos 60°-=--=-1. (2)原式=sin·cos·tan=sin·cos·tan =sin·cos·tan =-sin·cos·tan =-××=-. 反思感悟　利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤 (1)“负化正”——用公式①或②来转化. (2)“大化小”——用公式①将角化为0°到360°间的角. (3)“小化锐”——用公式③或④将大于90°的角转化为锐角. (4)“锐求值”——得到锐角三角函数后求值. 跟踪训练1　sin+tan-cos=　　　.  答案　0 解析　原式=sin+tan-cos =sin+tan-cos =sin-tan+cos =-1+=0. 三、给值(式)求值 例2　(1)已知cos(π-α)=-，且α是第一象限角，则sin(-2π-α)的值是(　　) A. B.- C.± D. 答案　B 解析　因为cos(π-α)=-cos α=-， 所以cos α=， 因为α是第一象限角，所以sin α>0， 所以sin α===， 所以sin(-2π-α)=sin(-α)=-sin α=-. (2)已知cos=，则cos=　　　　.  答案　- 解析　cos=cos =-cos=-. 延伸探究　1.若本例(2)中的条件不变，求cos的值. 解　cos=cos =cos=cos=. 2.若本例(2)中的条件不变，求cos-sin2的值. 解　因为cos=cos =-cos=-， sin2=sin2 =1-cos2=1-=， 所以cos-sin2=-- =-. 反思感悟　解决给值求值问题的策略 (1)要仔细观察已知式与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系. (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化. 跟踪训练2　已知tan(148°-α)=，则tan(212°+α)=　　　　.  答案　- 解析　tan(212°+α)=tan(360°+α-148°) =tan(α-148°)=-tan(148°-α)=-. 四、利用公式进行化简 例3　化简：(1)； (2). 解　(1)原式= ===1. (2)原式= == ==-1. 反思感悟　三角函数式化简的常用方法 (1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数. (2)切化弦：一般需将表达式中的正切函数转化为正弦、余弦函数. (3)注意“1”的代换：1=sin2α+cos2α=tan. 跟踪训练3　若=，则tan θ等于(　　) A. B.- C.-3 D.3 答案　C 解析　==， 分子分母同除以cos θ，得=， 解得tan θ=-3. 1.知识清单： (1)特殊关系角的终边对称性. (2)诱导公式①②③④. 2.方法归纳：函数名不变，符号看象限. 3.常见误区：符号的确定. 1.sin 2 024°等于(　　) A.sin 44° B.-sin 44° C.sin 46° D.-sin 46° 答案　B 解析　sin 2 024°=sin(5×360°+224°) =sin 224°=sin(180°+44°)=-sin 44°. 2.log2的值为(　　) A.-1 B.- C. D. 答案　B 3.已知sin(π+α)=，且α是第四象限角，那么cos(α-π)的值是(　　) A. B.- C.± D. 答案　B 解析　因为sin(π+α)=-sin α=， 所以sin α=-. 又α是第四象限角，所以cos α=， 所以cos(α-π)=cos(π-α)=-cos α=-. 4.化简：·tan(π+α)=　　　　.  答案　-1 解析　原式=·tan α==-1. 　　　　 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.(多选)下列各式正确的是(　　) A.sin(α+180°)=-sin α B.cos(-α+β)=-cos(α-β) C.sin(-α-360°)=-sin α D.cos(-α-β)=cos(α+β) 答案　ACD 解析　sin(α+180°)=-sin α；cos(-α+β)=cos［-(α-β)］=cos(α-β)；sin(-α-360°)=-sin(α+360°)=-sin α；cos(-α-β)=cos［-(α+β)］=cos(α+β). 2.若sin(-110°)=a，则tan 70°等于(　　) A. B.- C. D.- 答案　B 解析　∵sin(-110°)=-sin 110° =-sin(180°-70°) =-sin 70°=a， ∴sin 70°=-a， ∴cos 70°==， ∴tan 70°==-. 3.已知tan=，则tan等于(　　) A. B.- C. D.- 答案　A 解析　因为tan=tan =tan=. 4.设tan(5π+α)=m，则的值为(　　) A. B. C.-1 D.1 答案　A 解析　∵tan(5π+α)=m， ∴tan α=m. 原式== ==. 5.已知a=tan，b=cos，c=sin，则a，b，c的大小关系是(　　) A.b>a>c B.a>b>c C.b>c>a D.a>c>b 答案　A 解析　a=tan=-tan=-tan =-； b=cos=cos =cos=cos=； c=sin=-sin =-sin=-； 由于>->-， 故a，b，c的大小关系是b>a>c. 6.(多选)在△ABC中，下列式子为常数的是(　　) A.sin(A+B)+sin C B.cos(A+B)+cos C C.sin(2A+2B)+sin 2C D.cos(2A+2B)+cos 2C 答案　BC 解析　A项，sin(A+B)+sin C=sin(π-C)+sin C=sin C+sin C=2sin C； B项，cos(A+B)+cos C=cos(π-C)+cos C=-cos C+cos C=0； C项，sin(2A+2B)+sin 2C=sin 2(A+B)+sin 2C=sin 2(π-C)+sin 2C=sin(2π-2C)+sin 2C=-sin 2C+sin 2C=0； D项，cos(2A+2B)+cos 2C=cos 2(A+B)+cos 2C=cos 2(π-C)+cos 2C=cos(2π-2C)+cos 2C=cos 2C+cos 2C=2cos 2C. 7.(5分)化简：·tan(2π-α)=　　　　.  答案　-1 解析　原式=·tan(-α) =·(-tan α) =-=-1. 8.(5分)若cos(π+α)=-，<α<2π，则sin(α-2π)=　　　　　.  答案　- 解析　由cos(π+α)=-，得cos α=，故sin(α-2π)=sin α=- =-=-(α为第四象限角). 9.(10分)求值：. 解　原式= = =- =-=-. 10.(11分)化简：(1)；(6分) (2).(5分) 解　(1) ===-cos2α. (2) ==-cos α. 11.已知sin=，则sin的值为(　　) A. B.- C. D.- 答案　C 解析　sin=sin =sin=. 12.化简：得(　　) A.sin 2+cos 2 B.cos 2-sin 2 C.sin 2-cos 2 D.±(cos 2-sin 2) 答案　C 解析　 == =|sin 2-cos 2|， 因为2弧度的终边在第二象限，故sin 2>0>cos 2， 所以原式=sin 2-cos 2. 13.已知n为整数，化简所得的结果是(　　) A.tan nα B.-tan nα C.tan α D.-tan α 答案　C 解析　方法一　当n=2k，k∈Z时， ===tan α； 当n=2k+1，k∈Z时， = ===tan α. 故原式=tan α. 方法二　=tan(nπ+α)=tan α. 14.(5分)已知f(x)=则f=　　　；f=　　　　.  答案　　- 解析　依题意，得f=sin =sin=sin=； f=f-1=f-2 =sin-2=--2=-. 15.(5分)已知α为第四象限角，化简：+=　　　　.  答案　 解析　依题意知α为第四象限角，所以 + =+ =+ =+ ==. 16.(12分)已知f(α)=. (1)化简f(α)；(3分) (2)若α是第三象限角，且sin(α-π)=，求f(α)的值；(5分) (3)若α=-，求f(α)的值.(4分) 解　(1)f(α)=-=-cos α. (2)∵sin(α-π)=-sin α=， ∴sin α=-. 又α是第三象限角，∴cos α=-， ∴f(α)=. (3)∵-=-5×2π-， ∴f=-cos =-cos=-cos=-. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.2.4 第七章 <<< 诱导公式(一) 1.了解三角函数的诱导公式①②③④的意义和作用. 2.理解诱导公式①②③④的推导过程. 3.能运用诱导公式解决一些三角函数式的求值、化简等问题. 学习目标 在前面的学习中，我们知道能够利用任意角三角函数的定义求三角函数值，为了方便计算需要将绝对值较大的三角函数值转化为0°~360°角的三角函数值，进而对于90°~360°角的三角函数值进一步把它们转化到锐角范围内求解，这就是今天要学习的内容. 导 语 四、利用公式进行化简 一、诱导公式①~④ 二、给角求值 三、给值(式)求值 内容索引 课时对点练 随堂演练 一 诱导公式①~④ 提示　相等 终边相同的角的同名三角函数值具有什么关系？ 问题1 提示　三角函数的定义的核心是角的终边与单位圆的交点的坐标，终边相同的角的三角函数值相等.由图象可知，点P1与P2关于原点对称，点P1与P2两点的横坐标、纵坐标分别互为相反数，以OP2为终边的角β可以表示成β=(π+α)+2kπ，k∈Z. 观察下图，思考我们是如何定义三角函数的？ 问题2 提示　设P1(x，y)是角α的终边与单位圆的交点，则P2(-x，-y)，根据三角 函数的定义可知，y=sin α，x=cos α，=tan α(x≠0)，sin(π+α)=-y，cos(π+α) =-x，tan(π+α)=. 知道了终边与单位圆的交点坐标，你能根据三角函数的定义探究角α与角π+α的三角函数值之间的关系吗？ 问题3 1.公式① sin(α+k·2π)=_____ (k∈Z)，  cos(α+k·2π)=_____ (k∈Z)，  tan(α+k·2π)=_____ (k∈Z).  2.公式② sin(-α)=_____，  cos(-α)=_____，  tan(-α)=_____.  sin α cos α tan α -sin α cos α -tan α 知识梳理 3.公式③ sin(π-α)=_____，  cos(π-α)=______，  tan(π-α)=______.  4.公式④ sin(π+α)=______，  cos(π+α)=______，  tan(π+α)=_____.  sin α -cos α -tan α -sin α -cos α tan α 知识梳理 5.角的旋转对称 一般地，角α的终边和角β的终边关于角______的终边所在的直线对称. 知识梳理 诱导公式①~④的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”，其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所对应的三角函数值的符号，α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ+，k∈Z. 注 意 点 <<< 12 二 给角求值 利用公式求下列三角函数值： (1)cos(-480°)+sin 210°； 例 1 原式=cos 480°+sin(180°+30°) =cos(360°+120°)-sin 30° =cos 120°- =cos(180°-60°)- =-cos 60°-=--=-1. 14 (2)sin·cos·tan. 原式=sin·cos·tan=sin·cos·tan =sin·cos·tan =-sin·cos·tan =-××=-. 15 (1)“负化正”——用公式①或②来转化. (2)“大化小”——用公式①将角化为0°到360°间的角. (3)“小化锐”——用公式③或④将大于90°的角转化为锐角. (4)“锐求值”——得到锐角三角函数后求值. 利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤 反 思 感 悟 16 sin+tan-cos=　　　.  原式=sin+tan-cos =sin+tan-cos =sin-tan+cos =-1+=0. 跟踪训练 1 0 17 给值(式)求值 三 (1)已知cos(π-α)=-，且α是第一象限角，则sin(-2π-α)的值是 A.　　　　　B.-　　　　　C.±　　　　　D. 例 2 √ 因为cos(π-α)=-cos α=-， 所以cos α=， 因为α是第一象限角，所以sin α>0， 所以sin α===， 所以sin(-2π-α)=sin(-α)=-sin α=-. 19 (2)已知cos=，则cos=　　. cos=cos =-cos=-. - 20 1.若本例(2)中的条件不变，求cos的值. cos=cos =cos=cos=. 延伸探究 21 2.若本例(2)中的条件不变，求cos-sin2的值. 因为cos=cos =-cos=-， sin2=sin2 =1-cos2=1-=， 所以cos-sin2=-- =-. 22 (1)要仔细观察已知式与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系. (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化. 解决给值求值问题的策略 反 思 感 悟 23 已知tan(148°-α)=，则tan(212°+α)=　　.  跟踪训练 2 tan(212°+α)=tan(360°+α-148°) =tan(α-148°)=-tan(148°-α)=-. - 24 利用公式进行化简 四 化简：(1)； 例 3 原式= ===1. 26 (2). 原式= == ==-1. 27 (1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数. (2)切化弦：一般需将表达式中的正切函数转化为正弦、余弦函数. (3)注意“1”的代换：1=sin2α+cos2α=tan. 三角函数式化简的常用方法 反 思 感 悟 28 若=，则tan θ等于 A.　　　　　B.-　　　　　C.-3　　　　　D.3 跟踪训练 3 √ ==， 分子分母同除以cos θ，得=， 解得tan θ=-3. 29 1.知识清单： (1)特殊关系角的终边对称性. (2)诱导公式①②③④. 2.方法归纳：函数名不变，符号看象限. 3.常见误区：符号的确定. 课堂小结 随堂演练 五 1 2 3 4 1.sin 2 024°等于 A.sin 44° B.-sin 44° C.sin 46° D.-sin 46° √ sin 2 024°=sin(5×360°+224°) =sin 224°=sin(180°+44°)=-sin 44°. 1 2 3 4 2.log2的值为 A.-1　　　　　B.-　　　　　C.　　　　　D. √ 3.已知sin(π+α)=，且α是第四象限角，那么cos(α-π)的值是 A.　　　　B.-　　　　C.±　　　　D. 1 2 3 4 √ 因为sin(π+α)=-sin α=， 所以sin α=-. 又α是第四象限角，所以cos α=， 所以cos(α-π)=cos(π-α)=-cos α=-. 1 2 3 4 4.化简：·tan(π+α)=　　　.  原式=·tan α==-1. -1 课时对点练 六 答案 对一对 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 ACD B A A A BC -1 - 题号 11 12 13 14　 15 答案 C C C - 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 原式= = =- =-=-. 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (1) ===-cos2α. (2) ==-cos α. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (1) f(α)=-=-cos α. (2) ∵sin(α-π)=-sin α=， ∴sin α=-. 又α是第三象限角，∴cos α=-， ∴f(α)=. (3) ∵-=-5×2π-， ∴f=-cos =-cos=-cos=-. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.(多选)下列各式正确的是 A.sin(α+180°)=-sin α B.cos(-α+β)=-cos(α-β) C.sin(-α-360°)=-sin α D.cos(-α-β)=cos(α+β) √ √ sin(α+180°)=-sin α； cos(-α+β)=cos[-(α-β)]=cos(α-β)； sin(-α-360°)=-sin(α+360°)=-sin α； cos(-α-β)=cos[-(α+β)]=cos(α+β). √ 答案 ∵sin(-110°)=-sin 110° =-sin(180°-70°) =-sin 70°=a， ∴sin 70°=-a， ∴cos 70°==， ∴tan 70°==-. 2.若sin(-110°)=a，则tan 70°等于 A.　　　　B.-　　　　C.　　　　D.- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为tan=tan =tan=. 3.已知tan=，则tan等于 A.　　　　　B.-　　　　　C.　　　　　D.- √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.设tan(5π+α)=m，则的值为 A.　　　　B.　　　　C.-1　　　　D.1 √ ∵tan(5π+α)=m， ∴tan α=m. 原式== ==. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知a=tan，b=cos，c=sin，则a，b，c的大小关系是 A.b>a>c B.a>b>c C.b>c>a D.a>c>b √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 a=tan=-tan=-tan=-； b=cos=cos =cos=cos=； c=sin=-sin =-sin=-； 由于>->-， 故a，b，c的大小关系是b>a>c. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)在△ABC中，下列式子为常数的是 A.sin(A+B)+sin C B.cos(A+B)+cos C C.sin(2A+2B)+sin 2C D.cos(2A+2B)+cos 2C √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A项，sin(A+B)+sin C=sin(π-C)+sin C=sin C+sin C=2sin C； B项，cos(A+B)+cos C=cos(π-C)+cos C=-cos C+cos C=0； C项，sin(2A+2B)+sin 2C=sin 2(A+B)+sin 2C=sin 2(π-C)+sin 2C= sin(2π-2C)+sin 2C=-sin 2C+sin 2C=0； D项，cos(2A+2B)+cos 2C=cos 2(A+B)+cos 2C=cos 2(π-C)+cos 2C= cos(2π-2C)+cos 2C=cos 2C+cos 2C=2cos 2C. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 原式=·tan(-α) =·(-tan α) =-=-1. 7. 化简：·tan(2π-α)=　　　.  -1 答案 8.若cos(π+α)=-，<α<2π，则sin(α-2π)=　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由cos(π+α)=-，得cos α=，故sin(α-2π)=sin α=- =-=-(α为第四象限角). - 答案 9.求值：. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 原式= = =- =-=-. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.化简：(1)； ===-cos2α. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2). ==-cos α. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知sin=，则sin的值为 A.　　　　B.-　　　　C.　　　　D.- √ 综合运用 sin=sin =sin=. 答案 12.化简：得 A.sin 2+cos 2 B.cos 2-sin 2 C.sin 2-cos 2 D.±(cos 2-sin 2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 　 == =|sin 2-cos 2|， 因为2弧度的终边在第二象限，故sin 2>0>cos 2， 所以原式=sin 2-cos 2. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知n为整数，化简所得的结果是 A.tan nα B.-tan nα C.tan α D.-tan α √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　当n=2k，k∈Z时， ===tan α； 当n=2k+1，k∈Z时， = ===tan α. 故原式=tan α. 方法二　=tan(nπ+α)=tan α. 答案 14.已知f(x)=则f=　　；f=　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意，得f=sin =sin=sin=； f=f -1=f-2 =sin-2=--2=-. - 答案 15.已知α为第四象限角，化简：+=　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意知α为第四象限角，所以 + =+ =+ =+ ==. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知f(α)=. (1)化简f(α)； f(α)=-=-cos α. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若α是第三象限角，且sin(α-π)=，求f(α)的值； ∵sin(α-π)=-sin α=， ∴sin α=-. 又α是第三象限角，∴cos α=-， ∴f(α)=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)若α=-，求f(α)的值. ∵-=-5×2π-， ∴f=-cos =-cos=-cos=-. 答案 第一章 <<< $$