第七章 7.2.4 诱导公式(二)-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第三册教师用书（人教B版2019）

7.2.4　诱导公式(二) ［学习目标］　 1.了解公式⑤⑥⑦⑧的推导方法.2.能够准确记忆公式⑤⑥⑦⑧.3.灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明. 导语　 回顾前面的学习，我们根据三角函数的定义，利用单位圆推出了一组神奇的公式，利用它可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，单位圆，这是一个多么美妙的图形！它就像一轮光芒四射的太阳，照耀我们的探究之路，又像一艘轮船，引领我们在知识的海洋里航行，这节课，我们将继续在单位圆中探寻三角函数的奥秘. 一、公式⑤~⑧ 问题　观察下图，在单位圆中，我们作了点P关于直线y=x的对称点P'，你能发现这两点有什么关系吗？ 提示　如图，过点P向x轴作垂线，垂足为A，过点P'向y轴作垂线，垂足为B，由图象的对称性可知，∠AOP=∠BOP'=α，故OP'为-α的终边，以OP'为终边的角γ可以表示为γ=2kπ+(k∈Z)，在Rt△AOP和Rt△BOP'中，OP=OP'，故△AOP≌△BOP'，即P的横坐标与P'的纵坐标相同，P的纵坐标与P'的横坐标相同，若点P的坐标为(x，y)，则点P'的坐标为(y，x)，根据三角函数的定义，于是我们可以得到sin α=y，cos α=x；cos=y，sin=x. 知识梳理 1.诱导公式⑤ sin=cos α，  cos=sin α.  2.诱导公式⑥ sin=cos α，  cos=-sin α.  3.诱导公式⑦ cos=sin α，  sin=-cos α.  4.诱导公式⑧ cos=-sin α，  sin=-cos α.  注意点： 诱导公式⑤~⑧的记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”，即±α，±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上把α看成锐角时原函数值的符号. 二、利用诱导公式求值 例1　(1)已知cos 31°=m，则sin 239°tan 149°的值是(　　) A. B. C.- D.- 答案　B 解析　sin 239°tan 149° =sin(180°+59°)tan(180°-31°) =-sin 59°(-tan 31°) =-sin(90°-31°)(-tan 31°) =-cos 31°(-tan 31°)=sin 31° ==. (2)已知sin=，则cos的值为　　　　.  答案　 解析　cos=cos =sin=. 延伸探究 1.将本例(2)的条件中的“-”改为“+”，求cos的值. 解　cos=cos =-sin=-. 2.将本例(2)增加条件“α是第三象限角”，求sin的值. 解　因为α是第三象限角， 所以-α是第二象限角， 又sin=， 所以-α是第二象限角， 所以cos=-， 所以sin=sin =-sin=-sin =-cos=. 反思感悟　解决化简求值问题的策略 (1)首先要仔细观察已知式与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系. (2)可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，向已知式转化. 提醒：常见的互余关系有：-α与+α，+α与-α等；常见的互补关系有：+θ与-θ，+θ与-θ等. 跟踪训练1　已知sin=，则cos的值等于(　　) A. B.- C. D.- 答案　D 解析　cos=cos =-sin=-. 三、诱导公式的化简与证明 例2　(1)化简： +=　　　　.  答案　 解析　原式=+ =+ =+ = = =. (2)求证：=-tan α. (2)证明　因为左边= = =-tan α =右边，所以原等式成立. 反思感悟　(1)利用诱导公式化简的原则 ①负化正、大化小、小化锐、锐求值. ②对于k·±α，k∈Z的形式的角，记准：奇变偶不变，符号看象限. (2)利用诱导公式证明的方法 对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推导右边或从右边推导左边，也可以用左右归一，变更论证的方法.常用定义法、弦切互化、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法等，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法. 跟踪训练2　求证：=. 证明　因为左边= = ==. 右边==. 所以左边=右边，故原等式成立. 四、诱导公式的综合应用 例3　已知α是第三象限角，f(α)=. (1)化简f(α)； (2)已知f(α)=-，求cos α-sin α的值. 解　(1)f(α)= = =-tan α. (2)由(1)可得f(α)=-tan α=-， 则tan α=， 因为α是第三象限角， 所以α=(2k+1)π+，k∈Z. 则sin α=sin =-sin=-， cos α=cos =-cos=-， 所以cos α-sin α=. 反思感悟　诱导公式综合应用要“三看” (1)看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系. (2)看函数名称：一般是弦切互化. (3)看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形. 跟踪训练3　已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P，求的值. 解　因为角α的终边在第二象限且与单位圆相交于点P， 所以a<0，且a2+=1，所以a=-， 所以sin α=，cos α=-， 所以原式==- =×=2. 1.知识清单：诱导公式⑤⑥⑦⑧. 2.方法归纳：公式法、角的构造. 3.常见误区：函数符号的变化，角与角之间的联系与构造. 1.sin 95°+cos 175°的值为(　　) A.sin 5° B.cos 5° C.0 D.2sin 5° 答案　C 解析　原式=cos 5°-cos 5°=0. 2.若cos(2π-α)=，则sin等于(　　) A.- B.- C. D.± 答案　A 解析　∵cos(2π-α)=cos(-α)=cos α=， ∴sin=-cos α=-. 3.若sin<0，且cos>0，则θ是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 答案　B 解析　由于sin=cos θ<0， cos=sin θ>0，所以角θ是第二象限角. 4.设tan α=3，则=　　　.  答案　2 解析　= ===2. 　　　　 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.已知sin(75°+α)=，则cos(15°-α)的值为(　　) A.- B. C.- D. 答案　B 解析　因为(75°+α)+(15°-α)=90°， 所以cos(15°-α)=cos［90°-(75°+α)］=sin(75°+α)=. 2.已知sin(π+α)=，则cos等于(　　) A.- B. C.- D. 答案　B 解析　∵sin(π+α)=-sin α=， ∴cos=-sin α=. 3.若sin=，则cos等于(　　) A.- B. C.- D. 答案　B 解析　cos=cos =sin=. 4.(多选)已知sin=，则角α的终边可能在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.x轴的负半轴上 答案　BCD 解析　原等式可化为-cos α=， ∴-cos α=， ∴|cos α|=-cos α， ∴cos α≤0， ∴α的终边在第二、三象限或在x轴的负半轴上. 5.已知cos=，且|φ|<，则tan φ等于(　　) A.- B.- C. D. 答案　B 解析　∵cos=-sin φ=， ∴sin φ=-<0， ∵|φ|<，∴φ=-， ∴tan φ=tan=-tan=-. 6.(多选)已知x∈R，则下列等式恒成立的是(　　) A.sin(3π-x)=sin x B.sin=cos C.cos=sin 3x D.cos=-sin 2x 答案　AB 解析　sin(3π-x)=sin(π-x)=sin x，A正确； sin=sin=cos ，B正确； cos=cos=-sin 3x，C错误； cos=sin 2x，D错误. 7.(5分)sin21°+sin22°+sin245°+sin288°+sin289°=　　　.  答案　 解析　原式=(sin21°+sin289°)+(sin22°+sin288°)+sin245°=(sin21°+cos21°)+(sin22°+cos22°)+=1+1+=. 8.(5分)已知cos=2sin， 则=　　　　.  答案　 解析　因为cos=2sin， 所以sin α=2cos α. 原式===. 9.(10分)已知角α的终边经过点P(m，2)，sin α=且α为第二象限角. (1)求m的值；(4分) (2)若tan β=，求的值.(6分) 解　(1)由三角函数定义可知sin α==， 解得m=±1. 因为α为第二象限角，所以m=-1. (2)由(1)知tan α=-2， 所以 =- =- =-=. 10.(11分)已知sincos=，且<α<.求： (1)sin α-cos α；(6分) (2)sin2α-cos2α.(5分) 解　(1)∵sin=-cos α， cos=cos=-sin α， ∴sin αcos α=， ∴(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1-2×=. 又<α<， ∴sin α>cos α>0， ∴sin α-cos α=. (2)(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α =1+2×=. ∴sin α+cos α=， ∴sin2α-cos2α=(sin α-cos α)(sin α+cos α) =×=. 11.函数y=loga(x+4)+4(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，且点A在角θ的终边上，则cos等于(　　) A.- B. C.- D. 答案　C 解析　令x+4=1，得x=-3，所以函数y=loga(x+4)+4的图象恒过定点A(-3，4).因为点A在角θ的终边上，所以sin θ==，即cos=-sin θ=-. 12.已知cos(75°+α)=，则sin(α-15°)+cos(105°-α)的值是(　　) A. B. C.- D.- 答案　D 解析　sin(α-15°)+cos(105°-α) =sin［(75°+α)-90°］+cos［180°-(75°+α)］ =-sin［90°-(75°+α)］-cos(75°+α) =-cos(75°+α)-cos(75°+α) =-2cos(75°+α)=-. 13.在△ABC中，sin=3sin(π-A)，cos A=-cos(π-B)，则△ABC为(　　) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 答案　B 解析　由sin=3sin(π-A)可得cos A=3sin A，所以tan A=，又0<A<π，所以A=，再由cos A=-cos(π-B)可得cos A=cos B，所以cos B=，又0<B<π，所以B=，所以C=，所以△ABC为直角三角形. 14.(5分)在平面直角坐标系中，已知点A在单位圆上且位于第三象限，点A的纵坐标为-，若点A沿单位圆逆时针运动到点B，所经过的弧长为，则点B的坐标为　　　　.  答案　 解析　设点A是角α的终边与单位圆的交点， 因为点A在单位圆上且位于第三象限，点A的纵坐标为-， 所以sin α=-， cos α=-=-， 因为点A沿单位圆逆时针运动到点B，所经过的弧长为， 所以∠AOB==， 所以点B的横坐标为cos=-sin α=， 纵坐标为sin=cos α=-， 即点B的坐标为. 15.当θ为第二象限角，且sin=时，cos -sin 的值是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由题意知2kπ+<θ<2kπ+π，k∈Z， ∴kπ+<<kπ+，k∈Z， ∴为第一象限角或第三象限角. ∵sin=，∴cos =， ∴为第一象限角， 又cos2+sin2=1，∴sin =， ∴cos-sin =-=. 16.(12分)已知f(α)=. (1)若α∈(0，2π)，且f(α)=-，求α的值；(6分) (2)若f(α)-f=，且α∈，求tan α的值.(6分) 解　(1)f(α)= = ==sin α. 所以f(α)=sin α=-， 因为α∈(0，2π)， 则α=或α=. (2)由(1)知，f(α)=sin α， 所以f(α)-f=sin α-sin =sin α+cos α=， 所以sin α=-cos α， 所以cos2α+=1， 即(5cos α-4)(5cos α+3)=0， 可得cos α=或cos α=-. 因为α∈， 则cos α=-， 所以sin α=-cos α=-=. 所以tan α==-. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.2.4 第七章 <<< 诱导公式(二) 1.了解公式⑤⑥⑦⑧的推导方法. 2.能够准确记忆公式⑤⑥⑦⑧. 3.灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明. 学习目标 回顾前面的学习，我们根据三角函数的定义，利用单位圆推出了一组神奇的公式，利用它可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，单位圆，这是一个多么美妙的图形！它就像一轮光芒四射的太阳，照耀我们的探究之路，又像一艘轮船，引领我们在知识的海洋里航行，这节课，我们将继续在单位圆中探寻三角函数的奥秘. 导 语 四、诱导公式的综合应用 一、公式⑤~⑧ 二、利用诱导公式求值 三、诱导公式的化简与证明 内容索引 课时对点练 随堂演练 一 公式⑤~⑧ 观察下图，在单位圆中，我们作了点P关于直线y=x的对称点P'，你能发现这两点有什么关系吗？ 问题 提示　如图，过点P向x轴作垂线，垂足为A，过点P'向y轴作垂线，垂足为B，由图象的对称性可知，∠AOP= ∠BOP'=α，故OP'为-α的终边，以OP'为终边的角γ可 以表示为γ=2kπ+(k∈Z)，在Rt△AOP和Rt△BOP' 中，OP=OP'，故△AOP≌△BOP'，即P的横坐标与P'的纵坐标相同，P的纵坐标与P'的横坐标相同，若点P的坐标为(x，y)，则点P'的坐标为 (y，x)，根据三角函数的定义，于是我们可以得到sin α=y，cos α=x； cos=y，sin=x. 1.诱导公式⑤ sin=______，  cos=______.  2.诱导公式⑥ sin=______，  cos=______.  cos α sin α cos α -sin α 知识梳理 3.诱导公式⑦ cos=______，  sin=______.  4.诱导公式⑧ cos=______，  sin=______.  sin α -cos α -sin α -cos α 知识梳理 诱导公式⑤~⑧的记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”，即±α，±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正 弦)函数值，前面加上把α看成锐角时原函数值的符号. 注 意 点 <<< 10 二 利用诱导公式求值 (1)已知cos 31°=m，则sin 239°tan 149°的值是 A.　　　B.　　　C.-　　　D.- √ sin 239°tan 149° =sin(180°+59°)tan(180°-31°) =-sin 59°(-tan 31°) =-sin(90°-31°)(-tan 31°) =-cos 31°(-tan 31°)=sin 31° ==. 例 1 12 (2)已知sin=，则cos的值为　　.  cos=cos =sin=. 13 1.将本例(2)的条件中的“-”改为“+”，求cos的值. 延伸探究 cos=cos =-sin=-. 14 2.将本例(2)增加条件“α是第三象限角”，求sin的值. 15 因为α是第三象限角， 所以-α是第二象限角， 又sin=， 所以-α是第二象限角， 所以cos=-， 所以sin=sin =-sin=-sin =-cos=. 16 (1)首先要仔细观察已知式与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系. (2)可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，向已知式转化. 提醒：常见的互余关系有：-α与+α，+α与-α等；常见的互补关系有：+θ与-θ，+θ与-θ等. 解决化简求值问题的策略 反 思 感 悟 17 已知sin=，则cos的值等于 A.　　　　B.-　　　　C.　　　　D.- cos=cos =-sin=-. 跟踪训练 1 √ 18 诱导公式的化简与证明 三 (1)化简： +=　　　　.  例 2 20 原式=+ =+ =+ = = =. 21 (2)求证：=-tan α. 因为左边= = =-tan α =右边，所以原等式成立. 22 (1)利用诱导公式化简的原则 ①负化正、大化小、小化锐、锐求值. ②对于k·±α，k∈Z的形式的角，记准：奇变偶不变， 符号看象限. 反 思 感 悟 23 (2)利用诱导公式证明的方法 对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推导右边或从右边推导左边，也可以用左右归一，变更论证的方法.常用定义法、弦切互化、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法等，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法. 反 思 感 悟 24 求证：=. 跟踪训练 2 因为左边= = ==. 右边==. 所以左边=右边，故原等式成立. 25 诱导公式的综合应用 四 已知α是第三象限角，f(α)=. (1)化简f(α)； 例 3 f(α)= = =-tan α. 27 (2)已知f(α)=-，求cos α-sin α的值. 28 由(1)可得f(α)=-tan α=-， 则tan α=， 因为α是第三象限角， 所以α=(2k+1)π+，k∈Z. 则sin α=sin =-sin=-， cos α=cos=-cos=-， 所以cos α-sin α=. 29 (1)看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系. (2)看函数名称：一般是弦切互化. (3)看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形. 诱导公式综合应用要“三看” 反 思 感 悟 30 已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P，求的值. 跟踪训练 3 31 因为角α的终边在第二象限且与单位圆相交于点P， 所以a<0，且a2+=1，所以a=-， 所以sin α=，cos α=-， 所以原式==- =×=2. 32 1.知识清单：诱导公式⑤⑥⑦⑧. 2.方法归纳：公式法、角的构造. 3.常见误区：函数符号的变化，角与角之间的联系与构造. 课堂小结 随堂演练 五 1 2 3 4 1.sin 95°+cos 175°的值为 A.sin 5° B.cos 5° C.0 D.2sin 5° √ 原式=cos 5°-cos 5°=0. 1 2 3 4 2.若cos(2π-α)=，则sin等于 A.-　　　　B.-　　　　C.　　　　D.± √ ∵cos(2π-α)=cos(-α)=cos α=， ∴sin=-cos α=-. 3.若sin<0，且cos>0，则θ是 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 1 2 3 4 √ 由于sin=cos θ<0， cos=sin θ>0，所以角θ是第二象限角. 1 2 3 4 4.设tan α=3，则=　　.  = ===2. 2 课时对点练 六 答案 对一对 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B B BCD B AB 题号 11 12 13 14　 15 答案 C D B B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)由三角函数定义可知sin α==， 解得m=±1. 因为α为第二象限角，所以m=-1. (2)由(1)知tan α=-2， 所以 =- =- =-=. 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (1)∵sin=-cos α， cos=cos=-sin α， ∴sin αcos α=， ∴(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1-2×=. 又<α<， ∴sin α>cos α>0， ∴sin α-cos α=. (2)(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α =1+2×=. ∴sin α+cos α=， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. ∴sin2α-cos2α=(sin α-cos α)(sin α+cos α) =×=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (1) f(α)= = ==sin α. 所以f(α)=sin α=-， 因为α∈(0，2π)， 则α=或α=. (2)由(1)知，f(α)=sin α， 所以f(α)-f=sin α-sin =sin α+cos α=， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 所以sin α=-cos α， 所以cos2α+=1， 即(5cos α-4)(5cos α+3)=0， 可得cos α=或cos α=-. 因为α∈， 则cos α=-， 所以sin α=-cos α=-=. 所以tan α==-. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.已知sin(75°+α)=，则cos(15°-α)的值为 A.-　　　　B.　　　　C.-　　　　D. √ 因为(75°+α)+(15°-α)=90°， 所以cos(15°-α)=cos[90°-(75°+α)]=sin(75°+α)=. 答案 2.已知sin(π+α)=，则cos等于 A.- B. C.- D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ ∵sin(π+α)=-sin α=， ∴cos=-sin α=. 答案 3.若sin=，则cos等于 A.- B. C.- D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 cos=cos =sin=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(多选)已知sin=，则角α的终边可能在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.x轴的负半轴上 √ 原等式可化为-cos α=， ∴-cos α=， ∴|cos α|=-cos α， ∴cos α≤0， ∴α的终边在第二、三象限或在x轴的负半轴上. √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知cos=，且|φ|<，则tan φ等于 A.- B.- C. D. √ ∵cos=-sin φ=， ∴sin φ=-<0， ∵|φ|<，∴φ=-， ∴tan φ=tan=-tan=-. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)已知x∈R，则下列等式恒成立的是 A.sin(3π-x)=sin x B.sin=cos C.cos=sin 3x D.cos=-sin 2x √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 sin(3π-x)=sin(π-x)=sin x，A正确； sin=sin=cos ，B正确； cos=cos=-sin 3x，C错误； cos=sin 2x，D错误. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 原式=(sin21°+sin289°)+(sin22°+sin288°)+sin245° =(sin21°+cos21°)+(sin22°+cos22°)+=1+1+=. 7.sin21°+sin22°+sin245°+sin288°+sin289°=　　　.  答案 8.已知cos=2sin，则=　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为cos=2sin， 所以sin α=2cos α. 原式===. 答案 9.已知角α的终边经过点P(m，2)，sin α=且α为第二象限角. (1)求m的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由三角函数定义可知sin α==， 解得m=±1. 因为α为第二象限角，所以m=-1. 答案 (2)若tan β=，求的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)知tan α=-2， 所以 =- =- =-=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知sincos=，且<α<.求： (1)sin α-cos α； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵sin=-cos α， cos=cos=-sin α， ∴sin αcos α=， ∴(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1-2×=. 又<α<， ∴sin α>cos α>0， ∴sin α-cos α=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)sin2α-cos2α. (sin α+cos α)2=1+2sin αcos α =1+2×=. ∴sin α+cos α=， ∴sin2α-cos2α=(sin α-cos α)(sin α+cos α) =×=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.函数y=loga(x+4)+4(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，且点A在角θ的终边上， 则cos等于 A.- B. C.- D. √ 综合运用 令x+4=1，得x=-3，所以函数y=loga(x+4)+4的图象恒过定点A(-3，4). 因为点A在角θ的终边上，所以sin θ==， 即cos=-sin θ=-. 答案 12.已知cos(75°+α)=，则sin(α-15°)+cos(105°-α)的值是 A. B. C.- D.- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ sin(α-15°)+cos(105°-α) =sin[(75°+α)-90°]+cos[180°-(75°+α)] =-sin[90°-(75°+α)]-cos(75°+α) =-cos(75°+α)-cos(75°+α) =-2cos(75°+α)=-. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.在△ABC中，sin=3sin(π-A)，cos A=-cos(π-B)，则△ABC为 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 √ 由sin=3sin(π-A)可得cos A=3sin A，所以tan A=，又0<A<π，所以A=，再由cos A=-cos(π-B)可得cos A=cos B，所以cos B=，又0<B<π，所以B=，所以C=，所以△ABC为直角三角形. 答案 14.在平面直角坐标系中，已知点A在单位圆上且位于第三象限，点A的纵坐标为-，若点A沿单位圆逆时针运动到点B，所经过的弧长为，则点B 的坐标为　　 　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 点A是角α的终边与单位圆的交点， 因为点A在单位圆上且位于第三象限，点A的纵坐标为-， 所以sin α=-， cos α=-=-， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为点A沿单位圆逆时针运动到点B，所经过的弧长为， 所以∠AOB==， 所以点B的横坐标为cos=-sin α=， 纵坐标为sin=cos α=-， 即点B的坐标为. 答案 15.当θ为第二象限角，且sin=时，cos -sin 的值是 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知2kπ+<θ<2kπ+π，k∈Z， ∴kπ+<<kπ+，k∈Z， ∴为第一象限角或第三象限角. ∵sin=，∴cos =， ∴为第一象限角， 又cos2+sin2=1，∴sin =， ∴cos-sin =-=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知f(α)=. (1)若α∈(0，2π)，且f(α)=-，求α的值； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f(α)= = ==sin α. 所以f(α)=sin α=-， 因为α∈(0，2π)， 则α=或α=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若f(α)-f =，且α∈，求tan α的值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)知，f(α)=sin α， 所以f(α)-f=sin α-sin =sin α+cos α=， 所以sin α=-cos α， 所以cos2α+=1， 即(5cos α-4)(5cos α+3)=0， 可得cos α=或cos α=-. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为α∈， 则cos α=-， 所以sin α=-cos α=-=. 所以tan α==-. 答案 第一章 <<< $$