第七章 7.1.2 弧度制及其与角度制的换算-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第三册教师用书（人教B版2019）

7.1.2 第七章 <<< 弧度制及其与角度制的换算 1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系. 2.理解“1弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数. 学习目标 度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制.不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也能用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？ 导 语 一、弧度制的概念 二、弧度制与角度制的换算 课时对点练 三、利用弧度表示角 随堂演练 内容索引 四、弧度制下的扇形的弧长与面积公式 弧度制的概念 一 提示　1度的角等于周角的.圆心角是确定的. 在初中学过的角度中，1度的角是如何规定的？在给定半径的圆中，当弧长一定时，圆心角确定吗？ 问题1 提示　因为l1=，所以=n·.故=. 射线OA绕端点O旋转到OB形成角α，在旋转过程中，射线OA上的一点P(不同于点O)的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角α.设α=n°， OP=r，点P所形成的圆弧的长为l，由l= 问题2 可知，弧长l与半径r的比值为=n·.若在射线OA上任取一点 Q(不同于点O，P)，OQ=r1，在旋转过程中，点Q所形成的圆弧的长为l1，则弧长l1与半径r1的比值和弧长l与半径r的比值有何关系？ 1.弧度制：以______为单位来度量角的制度. 2.1弧度的角：长度等于_______的圆弧所对的圆心角. 3.弧度数的计算公式：在半径为r的圆中，若弧长为l的弧所对的圆心角为 α rad，则α=___. 弧度 半径长 知识梳理 一定大小的圆心角α所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关. 注 意 点 <<< 9 下列说法正确的是 A.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大 C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等 D.用弧度表示的角都是正角 例 1 √ 10 对于A，根据弧度的定义知，1弧度的圆心角所对的弧长等于半径，故A正确； 对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；对于C，不在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是不相等的，故C错误； 对于D，用弧度表示的角也可以不是正角，故D错误. 11 (1)不管是以弧度还是度为单位的角的大小，都是一个与半径大小无关的定值. (2)用弧度与度去度量同一个角时，除了零角以外，所得到的数量是不同的. 反 思 感 悟 对弧度制定义的两点说明 12 下列各说法中，错误的是 A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B.1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角 C.根据弧度的定义，180°一定等于π弧度 D.不论用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径大小有关 跟踪训练 1 √ 根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径大小无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D是错误的，A，B，C均正确. 13 二 弧度制与角度制的换算 提示　因为半径为r的圆的周长为l=2πr，故圆周角的弧度数α=2π，而圆周角的角度数是360°. 根据公式α=，你能得出圆周角的弧度数吗？ 问题3 1.角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°=___rad 2π rad=_____ 180°=__ rad π rad=_____ 1°= rad≈0.017 45 rad 1 rad=°≈57.30° 度数×=弧度数 弧度数×°=度数 360° 180° 2π π 知识梳理 2.常用特殊角的度数与弧度数的对应关系 角度 0° 30° 45° ___ 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 ___ ___ ___ ___ ___ π ___ 2π 60° 知识梳理 (1)弧度单位rad可以省略，但用度做单位时，“度”不能省略. (2)角度化弧度时，应先将分、秒化为度，再化成弧度. (3)在同一个题目中，弧度与角度不能混用. 注 意 点 <<< 18 (1)①将112°30'化为弧度为　　　. 例 2 rad 因为1°= rad， 所以112°30'=×112.5 rad= rad. 19 ②将- rad化为角度为　　　.  因为1 rad=°， 所以- rad=-°=-75°. -75° 20 (2)已知α=15°，β= rad，γ=1 rad，θ=105°，φ= rad，试比较α，β，γ，θ，φ的大小. 21 方法一　(化为弧度) α=15°=15× rad= rad， θ=105°=105× rad= rad， 显然<<1<， 故α<β<γ<θ=φ. 方法二　(化为角度) β= rad=°=18°，γ=1 rad≈57.30°， φ=°=105°. 显然，15°<18°<57.30°<105°，故α<β<γ<θ=φ. 22 反 思 感 悟 在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad=180°是关键， 由它可以得到：度数×=弧度数，弧度数×°=度数. 角度与弧度的互化技巧 把下列角度化成弧度或弧度化成角度： (1)72°； 跟踪训练 2 72°=72×=. (2)-300°； -300°=-300×=-. 24 (3)2； 2=2×°=°. (4)-. -=-×°=-40°. 25 三 利用弧度表示角 将-1 125°写成α+2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π，并判断它是第几象限角？ 例 3 -1 125°=-1 125×=-=-8π+， 其中<<2π，所以是第四象限角， 所以-1 125°是第四象限角. 27 若在本例的条件下，在[-4π，4π]范围内找出与α终边相同的角的集合. 延伸探究 依题意得，与α终边相同的角为+2kπ，k∈Z， 由-4π≤+2kπ≤4π，k∈Z， 知k=-2，-1，0，1， 所以所求角的集合为. 28 反 思 感 悟 (1)用弧度制表示终边相同的角α+2kπ(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍. (2)注意角度制与弧度制不能混用. 用弧度制表示终边相同的角的两个关注点 (1)用弧度制表示与150°角终边相同的角的集合为 A. B. C. D. 跟踪训练 3 150°=150×=，故与150°角终边相同的角的集合为. √ 30 (2)如图所示，终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合为(用弧度制 表示)　 　　 　 .  结合图象，设终边落在阴影部分(包括边界)的角是α，满足条件的角的集合是. 31 四 弧度制下的扇形的弧长与面积公式 提示　初中我们已学习过，圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别为l=，S=. 我们初中所学扇形的弧长和面积公式是什么？ 问题4 设扇形的半径为r，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则 (1)弧长公式：l=___. (2)扇形的面积公式：S=___=_____. r αr2 αr 知识梳理 34 已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数. 例 4 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm，半径为R cm， 依题意有 整理得R2-5R+4=0，解得R=1或R=4. 当R=1时，l=8，此时θ=8>2π，舍去. 当R=4时，l=2，此时θ==. 综上可知，扇形圆心角的弧度数为. 35 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，面积为S， 则l+2r=4，所以l=4-2r， 所以S=lr=×(4-2r)×r= -r2+2r=-(r-1)2+1， 所以当r=1时，S最大，且Smax=1， 此时，θ===2(rad). 已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？ 延伸探究 36 反 思 感 悟 (1)记公式：面积公式：S=lR=αR2，弧长公式：l=αR(其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π). (2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形的面积公式直接求解或列方程(组)求解. 扇形的弧长和面积的求解策略 已知扇形的半径为10 cm，圆心角为60°，求扇形的弧长和面积. 跟踪训练 4 已知扇形的圆心角α=60°=， 半径r=10 cm， 则弧长l=αr=×10=(cm)， 面积S=lr=××10=(cm2). 38 1.知识清单： (1)弧度制的概念. (2)弧度制与角度制的相互转化. (3)特殊角的角度数与弧度数的对应关系. (4)扇形的弧长与面积的计算. 2.方法归纳：由特殊到一般、数学运算. 3.常见误区：表示角时，弧度制与角度制混用. 课堂小结 随堂演练 五 1 2 3 4 1.(多选)下列说法中，正确的是 A.半圆所对的圆心角是π rad B.周角的大小等于2π C.长度等于直径长的圆弧所对的圆心角的大小为2弧度 D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 √ 根据弧度的定义及角度与弧度的换算可知A，B，C均正确，D错误. √ √ 1 2 3 4 2.若α=-2 rad，则α的终边在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 √ ∵-π<-2<-，∴α的终边在第三象限. 3.时钟的分针在1时到3时20分这段时间里转过的弧度数为 A. B.- C. D.- 1 2 3 4 √ 由题意知，分针在1时到3时20分这段时间里，顺时针转过了2周， 其弧度数为=-=- rad. 1 2 3 4 4.已知扇形的半径为R cm，面积为R2 cm2，那么这个扇形的圆心角的弧度数是　　.  2 ∵S=lR=R2， ∴l=2R， ∴=2，故圆心角为2 rad. 课时对点练 六 答案 对一对 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 AD A A B C ABC 2 - 题号 11 12 13 14　 15 答案 A C 2　 　 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)因为α=1 200°=1 200× ==3×2π+， 所以角α与<<π， 所以角α是第二象限角. (2)因为与角α终边相同的角(含角α在内)为2kπ+，k∈Z， 所以由-4π≤2kπ+≤0，得-≤k≤-. 因为k∈Z，所以k=-2或k=-1. 当k=-2时，2×(-2)π+=-； 当k=-1时，2×(-1)π+=-， 故在区间[-4π，0]上与角α终边相同的角是 -，-. 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (1)由☉O的半径r=10=AB， 知△AOB是等边三角形， ∴α=∠AOB=. (2)由(1)可知α=，r=10， ∴弧长l=αr=×10=， ∴S扇形=lr=××10=， 又S△AOB=·AB·AB=×10×5=25， ∴S=S扇形-S△AOB=25. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 因为 所在的圆半径是2 dm，圆心角为 所在的圆半径是1 dm，圆心角为 dm，圆心角为， 所以点A走过的路径长是三段圆弧之和， 即2×+1×+×=(dm). 三段圆弧所在扇形的总面积是 ×π×2+××1+××=(dm2). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.(多选)下列转化结果正确的是 A.60°化成弧度是 B.-化成角度是-660° C.-150°化成弧度是- D.化成角度是15° √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 对于A，60°=60×=； 对于B，-=-°=-600°； 对于C，-150°=-150×=-； 对于D，=×°=15°. 答案 2.角的终边所在的象限是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ =2π+是第一象限角. 答案 3.把-π表示成θ+2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是 A.- B.- C. D. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 -=-2π-. 所以-与-=是最小的，故θ=-. 1 答案 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.在半径为1的圆中，的圆心角所对的弧长为 A. B. C.9π D.10π l=αR=. 1 答案 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.集合中的角α所表示的范围(阴影部分)是 k为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y=x左上部分(包含边界)，k为奇数时，集合对应的区域为第三象限内直线y=x的右下部分(包含边界).故选C. √ 1 答案 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)下列说法正确的是 A.终边在x轴上的角的集合是{α|α=kπ，k∈Z} B.终边在第二象限的角的集合为 C.终边在坐标轴上的角的集合是 D.终边在直线y=x上的角的集合是 √ √ √ 1 答案 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A，B显然正确； 对于C，终边在x轴上的角的集合为{α|α=kπ，k∈Z}，终边在y轴上的角的集合为，故C正确； 对于D，终边在y=x上的角的集合为，故D不正确. 1 答案 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.如图，扇形AOB的面积是1，它的弧长是2，则扇形的圆心角α的弧度数为　　.  ∵S=lR=1，又l=2， ∴R=1， ∴α===2. 2 1 答案 8.“亲爱的考生，本场考试需要2个小时”，则在本场考试中，钟表的时 针转过的弧度数为　　　.  2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知×2π=，因为是顺时针，故钟表的时针转过的弧度数为-. - 1 答案 9.已知角α=1 200°. (1)将α改写成β+2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为α=1 200°=1 200× ==3×2π+， 所以角α与<<π， 所以角α是第二象限角. 1 答案 (2)在区间[-4π，0]上找出与角α终边相同的角. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 答案 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为与角α终边相同的角(含角α在内)为 2kπ+，k∈Z， 所以由-4π≤2kπ+≤0，得-≤k≤-. 因为k∈Z，所以k=-2或k=-1. 当k=-2时，2×(-2)π+=-； 当k=-1时，2×(-1)π+=-， 故在区间[-4π，0]上与角α终边相同的角是 -，-. 1 答案 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10. (1)求弦AB所对的圆心角α的大小； 由☉O的半径r=10=AB， 知△AOB是等边三角形， ∴α=∠AOB=. 1 答案 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S. 由(1)可知α=，r=10， ∴弧长l=αr=×10=， ∴S扇形=lr=××10=， 又S△AOB=·AB·AB=×10×5=25， ∴S=S扇形-S△AOB=25. 1 答案 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知角α与β的终边关于原点对称，则α与β的关系为 A.α-β=π+2kπ(k∈Z) B.α+β=0 C.α+β=2kπ(k∈Z) D.以上都不对 √ 综合运用 由已知可得α-β=π+2kπ(k∈Z). 1 答案 12.一段圆弧的长度等于其所在圆的圆内接正方形的边长，则这段圆弧所对的圆心角为 A. B. C. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 如图，设圆的半径为R，则正方形边长为R， ∴弧长l=R，∴α===. 1 答案 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知一扇形的弧长为，面积为，则其半径r=　　，圆心角为　　.  2 设圆心角的弧度数为α， 由扇形的弧长为=αr，面积为=××r， 解得r=2，α=. 1 答案 14.设集合M=，N={α|-π<α<π}，则 M∩N=　 　 　　　　　　.  2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由-π<-<π，得-<k<. 因为k∈Z，所以k=-1，0，1，2， 所以M∩N=. 1 答案 15.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=(弦×矢+矢2).弧田(如图)由圆弧和其所对的弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为，半径为4 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是　　 m2(精确到1 m2).  2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 9 1 答案 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 =120°，根据题意得， 弦=2×4sin=4(m)， 矢=4-2=2(m)， 因此弧田面积=×(弦×矢+矢2) =×(4×2+22)=4+2≈9(m2). 1 答案 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.如图所示，已知一长为 dm，宽为1 dm的长方体木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成的角.求点A走过的路径长及走过的弧所在扇形的总面积. 1 答案 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为 所在的圆半径是2 dm，圆心角为 所在的圆半径是1 dm，圆心角为 dm，圆心角为， 所以点A走过的路径长是三段圆弧之和， 即2×+1×+×=(dm). 三段圆弧所在扇形的总面积是 ×π×2+××1+××=(dm2). 1 答案 第一章 <<< $$ 7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 ［学习目标］　1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系.2.理解“1弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数. 导语 度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制.不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也能用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？ 一、弧度制的概念 问题1　在初中学过的角度中，1度的角是如何规定的？在给定半径的圆中，当弧长一定时，圆心角确定吗？ 提示　1度的角等于周角的.圆心角是确定的. 问题2　射线OA绕端点O旋转到OB形成角α，在旋转过程中，射线OA上的一点P(不同于点O)的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角α.设α=n°，OP=r，点P所形成的圆弧的长为l，由l=可知，弧长l与半径r的比值为=n·.若在射线OA上任取一点Q(不同于点O，P)，OQ=r1，在旋转过程中，点Q所形成的圆弧的长为l1，则弧长l1与半径r1的比值和弧长l与半径r的比值有何关系？ 提示　因为l1=，所以=n·.故=. 知识梳理 1.弧度制：以弧度为单位来度量角的制度. 2.1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角. 3.弧度数的计算公式：在半径为r的圆中，若弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，则α=. 注意点： 一定大小的圆心角α所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关. 例1　下列说法正确的是(　　) A.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大 C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等 D.用弧度表示的角都是正角 答案　A 解析　对于A，根据弧度的定义知，1弧度的圆心角所对的弧长等于半径，故A正确；对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；对于C，不在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是不相等的，故C错误；对于D，用弧度表示的角也可以不是正角，故D错误. 反思感悟　对弧度制定义的两点说明 (1)不管是以弧度还是度为单位的角的大小，都是一个与半径大小无关的定值. (2)用弧度与度去度量同一个角时，除了零角以外，所得到的数量是不同的. 跟踪训练1　下列各说法中，错误的是(　　) A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B.1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角 C.根据弧度的定义，180°一定等于π弧度 D.不论用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径大小有关 答案　D 解析　根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径大小无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D是错误的，A，B，C均正确. 二、弧度制与角度制的换算 问题3　根据公式α=，你能得出圆周角的弧度数吗？ 提示　因为半径为r的圆的周长为l=2πr，故圆周角的弧度数α=2π，而圆周角的角度数是360°. 知识梳理 1.角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°=2π rad 2π rad=360° 180°=π rad π rad=180° 1°= rad≈0.017 45 rad 1 rad=°≈57.30° 度数×=弧度数 弧度数×°=度数 2.常用特殊角的度数与弧度数的对应关系 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 π 2π 注意点： (1)弧度单位rad可以省略，但用度做单位时，“度”不能省略. (2)角度化弧度时，应先将分、秒化为度，再化成弧度. (3)在同一个题目中，弧度与角度不能混用. 例2　(1)①将112°30'化为弧度为　　　　.  ②将- rad化为角度为　　　　.  答案　① rad　②-75° 解析　①因为1°= rad， 所以112°30'=×112.5 rad= rad. ②因为1 rad=°， 所以- rad=-°=-75°. (2)已知α=15°，β= rad，γ=1 rad，θ=105°， φ= rad，试比较α，β，γ，θ，φ的大小. 解　方法一　(化为弧度) α=15°=15× rad= rad， θ=105°=105× rad= rad， 显然<<1<， 故α<β<γ<θ=φ. 方法二　(化为角度) β= rad=°=18°，γ=1 rad≈57.30°， φ=°=105°. 显然，15°<18°<57.30°<105°，故α<β<γ<θ=φ. 反思感悟　角度与弧度的互化技巧 在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad=180°是关键，由它可以得到：度数×=弧度数，弧度数×°=度数. 跟踪训练2　把下列角度化成弧度或弧度化成角度： (1)72°；(2)-300°；(3)2；(4)-. 解　(1)72°=72×=. (2)-300°=-300×=-. (3)2=2×°=°. (4)-=-×°=-40°. 三、利用弧度表示角 例3　将-1 125°写成α+2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π，并判断它是第几象限角？ 解　-1 125°=-1 125×=-=-8π+， 其中<<2π，所以是第四象限角， 所以-1 125°是第四象限角. 延伸探究　若在本例的条件下，在［-4π，4π］范围内找出与α终边相同的角的集合. 解　依题意得，与α终边相同的角为+2kπ，k∈Z， 由-4π≤+2kπ≤4π，k∈Z， 知k=-2，-1，0，1， 所以所求角的集合为. 反思感悟　用弧度制表示终边相同的角的两个关注点 (1)用弧度制表示终边相同的角α+2kπ(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍. (2)注意角度制与弧度制不能混用. 跟踪训练3　(1)用弧度制表示与150°角终边相同的角的集合为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　150°=150×=，故与150°角终边相同的角的集合为. (2)如图所示，终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合为(用弧度制表示)　　　  　　　　　　.  答案　 解析　结合图象，设终边落在阴影部分(包括边界)的角是α，满足条件的角的集合是 . 四、弧度制下的扇形的弧长与面积公式 问题4　我们初中所学扇形的弧长和面积公式是什么？ 提示　初中我们已学习过，圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别为l=，S=. 知识梳理 设扇形的半径为r，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则 (1)弧长公式：l=αr. (2)扇形的面积公式：S=r=αr2. 例4　已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数. 解　设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm，半径为R cm， 依题意有 整理得R2-5R+4=0，解得R=1或R=4. 当R=1时，l=8，此时θ=8>2π，舍去. 当R=4时，l=2，此时θ==. 综上可知，扇形圆心角的弧度数为. 延伸探究　已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？ 解　设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，面积为S， 则l+2r=4，所以l=4-2r， 所以S=lr=×(4-2r)×r= -r2+2r=-(r-1)2+1， 所以当r=1时，S最大，且Smax=1， 此时，θ===2(rad). 反思感悟　扇形的弧长和面积的求解策略 (1)记公式：面积公式：S=lR=αR2，弧长公式：l=αR(其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π). (2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形的面积公式直接求解或列方程(组)求解. 跟踪训练4　已知扇形的半径为10 cm，圆心角为60°，求扇形的弧长和面积. 解　已知扇形的圆心角α=60°=， 半径r=10 cm， 则弧长l=αr=×10=(cm)， 面积S=lr=××10=(cm2). 1.知识清单： (1)弧度制的概念. (2)弧度制与角度制的相互转化. (3)特殊角的角度数与弧度数的对应关系. (4)扇形的弧长与面积的计算. 2.方法归纳：由特殊到一般、数学运算. 3.常见误区：表示角时，弧度制与角度制混用. 1.(多选)下列说法中，正确的是(　　) A.半圆所对的圆心角是π rad B.周角的大小等于2π C.长度等于直径长的圆弧所对的圆心角的大小为2弧度 D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 答案　ABC 解析　根据弧度的定义及角度与弧度的换算可知A，B，C均正确，D错误. 2.若α=-2 rad，则α的终边在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案　C 解析　∵-π<-2<-，∴α的终边在第三象限. 3.时钟的分针在1时到3时20分这段时间里转过的弧度数为(　　) A. B.- C. D.- 答案　B 解析　由题意知，分针在1时到3时20分这段时间里，顺时针转过了2周， 其弧度数为=-=- rad. 4.已知扇形的半径为R cm，面积为R2 cm2，那么这个扇形的圆心角的弧度数是　　　　.  答案　2 解析　∵S=lR=R2， ∴l=2R， ∴=2，故圆心角为2 rad. 　　　　 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共12分 1.(多选)下列转化结果正确的是(　　) A.60°化成弧度是 B.-化成角度是-660° C.-150°化成弧度是- D.化成角度是15° 答案　AD 解析　对于A，60°=60×=； 对于B，-=-°=-600°； 对于C，-150°=-150×=-； 对于D，=×°=15°. 2.角的终边所在的象限是(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案　A 解析　=2π+，是第一象限角，故是第一象限角. 3.把-π表示成θ+2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是(　　) A.- B.- C. D. 答案　A 解析　-=-2π-. 所以-与-是终边相同的角，且此时=是最小的，故θ=-. 4.在半径为1的圆中，的圆心角所对的弧长为(　　) A. B. C.9π D.10π 答案　B 解析　l=αR=. 5.集合中的角α所表示的范围(阴影部分)是(　　) 答案　C 解析　k为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y=x左上部分(包含边界)，k为奇数时，集合对应的区域为第三象限内直线y=x的右下部分(包含边界).故选C. 6.(多选)下列说法正确的是(　　) A.终边在x轴上的角的集合是｛α|α=kπ，k∈Z｝ B.终边在第二象限的角的集合为 C.终边在坐标轴上的角的集合是 D.终边在直线y=x上的角的集合是 答案　ABC 解析　A，B显然正确； 对于C，终边在x轴上的角的集合为｛α|α=kπ，k∈Z｝，终边在y轴上的角的集合为，其并集为，故C正确； 对于D，终边在y=x上的角的集合为或，其并集为，故D不正确. 7.(5分)如图，扇形AOB的面积是1，它的弧长是2，则扇形的圆心角α的弧度数为　　　　.  答案　2 解析　∵S=lR=1，又l=2， ∴R=1， ∴α===2. 8.(5分)“亲爱的考生，本场考试需要2个小时”，则在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为　　　　.  答案　- 解析　由题意知×2π=，因为是顺时针，故钟表的时针转过的弧度数为-. 9.(10分)已知角α=1 200°. (1)将α改写成β+2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；(5分) (2)在区间［-4π，0］上找出与角α终边相同的角.(5分) 解　(1)因为α=1 200°=1 200× ==3×2π+， 所以角α与的终边相同，又<<π， 所以角α是第二象限角. (2)因为与角α终边相同的角(含角α在内)为 2kπ+，k∈Z， 所以由-4π≤2kπ+≤0，得-≤k≤-. 因为k∈Z，所以k=-2或k=-1. 当k=-2时，2×(-2)π+=-； 当k=-1时，2×(-1)π+=-， 故在区间［-4π，0］上与角α终边相同的角是 -，-. 10.(11分)已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10. (1)求弦AB所对的圆心角α的大小；(4分) (2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.(7分) 解　(1)由☉O的半径r=10=AB， 知△AOB是等边三角形， ∴α=∠AOB=. (2)由(1)可知α=，r=10， ∴弧长l=αr=×10=， ∴S扇形=lr=××10=， 又S△AOB=·AB·AB=×10×5=25， ∴S=S扇形-S△AOB=25. 11.已知角α与β的终边关于原点对称，则α与β的关系为(　　) A.α-β=π+2kπ(k∈Z) B.α+β=0 C.α+β=2kπ(k∈Z) D.以上都不对 答案　A 解析　由已知可得α-β=π+2kπ(k∈Z). 12.一段圆弧的长度等于其所在圆的圆内接正方形的边长，则这段圆弧所对的圆心角为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　如图，设圆的半径为R，则正方形边长为R， ∴弧长l=R，∴α===. 13.(5分)已知一扇形的弧长为，面积为，则其半径r=　　　　，圆心角为　　　　.  答案　2　 解析　设圆心角的弧度数为α， 由扇形的弧长为=αr，面积为=××r， 解得r=2，α=. 14.(5分)设集合M=，N=｛α|-π<α<π｝，则M∩N=　　　　　　　　.  答案　 解析　由-π<-<π，得-<k<. 因为k∈Z，所以k=-1，0，1，2， 所以M∩N=. 15.(5分)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=(弦×矢+矢2).弧田(如图)由圆弧和其所对的弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为，半径为4 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是　　　　 m2(精确到1 m2).  答案　9 解析　=120°，根据题意得， 弦=2×4sin=4(m)， 矢=4-2=2(m)， 因此弧田面积=×(弦×矢+矢2) =×(4×2+22)=4+2≈9(m2). 16.(12分)如图所示，已知一长为 dm，宽为1 dm的长方体木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成的角.求点A走过的路径长及走过的弧所在扇形的总面积. 解　因为所在的圆半径是2 dm，圆心角为；所在的圆半径是1 dm，圆心角为；所在的圆半径是 dm，圆心角为， 所以点A走过的路径长是三段圆弧之和， 即2×+1×+×=(dm). 三段圆弧所在扇形的总面积是 ×π×2+××1+××=(dm2). 学科网（北京）股份有限公司 $$