7.1.2 弧度制及其与角度制的换算-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第三册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 知识 目标 1.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系．　2.了解弧度制，能熟练地进行弧度制与角度制之间的换算．　3.掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式. 素养 目标 通过弧度制概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养；借助角度与弧度的互化、扇形的弧长与面积的计算，培养学生的数学运算核心素养. 问题1.在初中学过的角度制中，1度的角是如何规定的？ 提示：周角的等于1度的角． 问题2.角的度量除了角度制之外，是否也有不同的单位制呢？ 提示：有不同的单位制，即弧度制． 问题3.根据公式|α|＝，你能得出周角的弧度数吗？ 提示：因为半径为r的圆的周长为l＝2πr，故周角的弧度数α＝2π，而周角的角度数是360，于是我们有了弧度与角度的换算关系． 学生用书↓第6页 知识点一　角度制与弧度制 1．角度制 把圆周等分成360份，其中每一份所对应的圆心角为1度，这种用度作单位来度量角的制度称为角度制．角度制还规定1度等于60分，1分等于60秒，即1°＝60′，1′＝60″. 2．弧度制 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，记作1 rad.如图所示，因为的长等于半径r，所以所对的圆心角∠AOB就是1弧度的角．这种以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制． 3．弧度数 由弧度制的定义可知，在半径为r的圆中，若弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，则α＝．弧度的大小与所在圆的半径的大小无关，只与圆心角的大小有关．换句话说，弧度数是个比值，只和角的大小有关，弧长是半径的几倍，相对应的角的大小就是几弧度． [微提醒] 角 度 制 用度作为单位来度量角的单位制 角的大小 与圆的半 径的大小 无关　　 单位“°”不 能省略　 角的正 负与方 向有关 六十制 进制　 弧 度 制 用弧度作为单位来度量角的单位制 角的大小 与圆的半 径的大小 无关 单位“rad” 可以省略 角的正 负与方 向有关 十进制 知识点二　角度与弧度之间的换算 1．弧度制与角度制的换算公式 2．常用的特殊角的角度与弧度的对应表 度 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 105° 120° 弧度 0 度 135° 150° 165° 180° 195° 210° 225° 240° 255° 弧度 π 度 270° 285° 300° 315° 330° 345° 360° － － 弧度 2π － － 由上表可知，研究弧度制与角度制互化的关键就是抓住＝15°. [微提醒]　(1)用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数值相同(都是0)；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，数值也不同． (2)角度制与弧度制是两种不同的度量单位，在表示角时，两种不能混用，例如α＝k·360°＋(k∈Z)，β＝2kπ＋30°(k∈Z)的写法都是不规范的，应写为α＝k·360°＋30°(k∈Z)，β＝2kπ＋(k∈Z)． 3．弧度制下的象限角与轴线角的集合表示 (1)象限角的集合 象限角 集合表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 (2)轴线角的集合 角的终边的位置 集合表示 终边在x轴正半轴上 {β|β＝2kπ，k∈Z} 终边在x轴负半轴上 {β|β＝2kπ＋π，k∈Z} 终边在y轴正半轴上 学生用书↓第7页 终边在y轴负半轴上 终边在x轴上 {β|β＝kπ，k∈Z} 终边在y轴上 终边在坐标轴上 知识点三　弧长公式与扇形面积公式 1．弧长公式 在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α，则α＝，变形可得l＝αr，此公式称为弧长公式，其中α的单位是弧度． 2．扇形面积公式 圆心角为1 rad的扇形面积为＝r2，所以圆心角为α rad的扇形面积S＝αr2，又因为l＝αr，代入上式可得S＝αr2＝lr，此公式称为扇形面积公式． [微提醒]　(1)在应用公式l＝αr和S＝lr＝αr2时，要注意α的单位是弧度． (2)在运用公式时，根据已知的是角度数还是弧度数，选择合适的公式代入． (3)弧度制下的扇形面积公式S＝lr，与三角形面积公式S＝ah(h是三角形底边a上的高)有类似的形式． (4)由α，r，l，S中的两个量可以求出另外的两个量． 1．－300°化为弧度是(　　) A．－π B．－π C．－π D．－π 答案：B 解析：因为180°＝π rad，所以1°＝ rad，所以－300°＝－300× rad＝－π rad.故选B． 2.弧度化为角度是(　　) A．110° B．160° C．108° D．218° 答案：C 解析：因为1 rad＝°，所以＝°＝108°.故选C． 3．下列说法中正确的是(　　) A．1弧度是1度的圆心角所对的弧 B．1弧度是长度为半径长的弧 C．1弧度是1度的弧与1度的角之和 D．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位 答案：D 解析：利用弧度的定义及角度的定义判断． 选项 结论 理由 A 错误 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度是角的一种度量单位，而不是长度的度量单位. B 错误 C 错误 D 正确 4.已知角α的终边落在区间内，则角α所在的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：C 解析：－3π的终边在x轴的非正半轴上，－π的终边在y轴的非正半轴上，故角α为第三象限角． 5．已知扇形OAB的圆心角为4，其面积是2 cm2，则该扇形的周长是________cm. 答案：6 解析：设扇形的弧长为l，半径为r，因为扇形圆心角的弧度数是4，所以l＝4r，因为S扇＝lr＝2，所以×4r×r＝2，则r2＝1，所以r＝1，则l＝4，所以该扇形的周长C＝l＋2r＝4＋2＝6 cm. 题型一　角度与弧度的换算 例1　 设α1＝510°，α2＝－750°，β1＝，β2＝－. (1)将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们各自终边所在的象限； (2)将β1，β2用角度表示出来，并在(－360°，360°)内找出与它们各自终边相同的所有的角． 点拨： 解：(1)因为1°＝ rad， 所以α1＝510°＝510×＝＝2π＋； α2＝－750°＝－750×＝－＝－4π－； 所以角α1的终边在第二象限，角α2的终边在第四象限． (2)β1＝＝(×)°＝144°. 设θ1＝k·360°＋144°(k∈Z)， 因为－360°＜θ1＜360°，所以－360°＜k·360°＋144°＜360°， 所以k＝－1或k＝0. 所以在(－360°，360°)内与角β1终边相同的角是－216°. β2＝－＝(－×)°＝－330°. 设θ2＝k·360°－330°(k∈Z)， 因为－360°＜θ2＜360°，所以－360°＜k·360°－330°＜360°， 所以k＝0或k＝1. 所以在(－360°，360°)内与角β2终边相同的角是30°. 学生用书↓第8页 进行角度制与弧度制的互化的原则和方法 1．原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝ rad和1 rad＝°进行换算． 2．方法：设一个角的弧度数为α.角度数为n，则α rad＝°；n°＝n·. [注意]　(1)用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写． (2)用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式．如无特别要求，不必把π写成小数． (3)变化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．　　 对点练1.(1)将下列角度与弧度进行互化： ①π；②－；③10°；④－855°. (2)把下列各角度化为弧度，并写成0～2π的角加上2kπ(k∈Z)的形式． ①－64°；②400°；③－722°30′. 解：(1)①π＝×180°＝15 330°. ②－＝－×180°＝－105°. ③10°＝10×＝. ④－855°＝－855×＝－. (2)①－64°＝－64×＝－＝－2π＋. ②400°＝400×＝＝2π＋. ③－722°30′＝－722.5×＝－6π＋ π＝－6π＋π. 题型二　用弧度制表示角的集合 例2　 用弧度表示终边落在如图①②所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合． 点拨：本题考查区域角的表示，关键是要确定好区域的起止边界． 解：对于题图①，225°角的终边可以看作是－135°角的终边，化为弧度，即－，60°角的终边即的终边，所以所求集合为. 对于题图②，同理可得，所求集合为 ∪ ＝. 用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．　　 对点练2.已知角α＝2 025°. (1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β≤2π)的形式，并指出α是第几象限的角； (2)在[－5π，0)内找出与α终边相同的角． 解：(1)2 025°＝2 025× rad＝ rad＝rad，又π<<， 所以角α与终边相同，是第三象限的角． (2)与α终边相同的角为2kπ＋(k∈Z)， 由－5π≤2kπ＋<0，k∈Z知k＝－1，－2，－3. 所以在[－5π，0)内与α终边相同的角是－，－，－. 学生用书↓第9页 题型三　与扇形弧长、面积相关的问题 例3　 (1)若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为(　　) A． B． C． D．2 (2)一个扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB． 点拨：(1)圆的半径r与圆的内接正三角形的边长a的关系是a＝r，再求α . (2)设出扇形的弧长和半径、列出方程组求解． 答案：(1)C 解：(1)设圆半径为r，则其内接正三角形的边长a＝r，所以r＝α·r，所以α＝. (2)设扇形的半径为r cm，弧长为l cm， 则解得 所以圆心角α＝＝2. 如图，过点O作OH⊥AB于点H， 则∠AOH＝1 rad. 所以AH＝1·sin 1＝sin 1(cm)， 所以AB＝2sin 1(cm)， 所以圆心角的弧度数为2，弦长AB为2sin 1 cm. 扇形的弧长和面积的求解策略 1．记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝lR＝αR2(其中l是扇形的弧长，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π)． 2．找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量．然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．　　 对点练3.(1)一个面积为2的扇形，所对的弧长为1，则该扇形的圆心角为____弧度． (2)已知某扇形的周长为9，圆心角为1 rad，求该扇形的面积． 答案：(1) 解析：(1)因为扇形的面积公式为S＝lr，所以2＝×1×r，所以r＝4，所以扇形的圆心角|α|＝＝. (2)设扇形的半径为r，弧长为l，则l＋2r＝9，因为圆心角为1 rad的弧长l＝r，所以3r＝9，则r＝3，l＝3，则对应的扇形的面积S＝lr＝×3×3＝. 1．1 920°转化为弧度数是(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：1 920°＝1 920×＝.故选D． 2．将弧度化成角度为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 答案：C 解析： rad＝×°＝120°.故选C． 3．已知扇形的圆心角为，弧长为π，则扇形的面积为________． 答案：2π 解析：由扇形的圆心角α＝，弧长l＝π，得扇形的半 径r＝＝4，则扇形的面积S＝lr＝×π×4＝2π. 4.用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合为________________． 答案：{θ|kπ＋<θ<kπ＋，k∈Z} 解析：因为30°＝ rad，210°＝ rad，这两个角的终边所在的直线相同，终边在直线AB上的角为α＝kπ＋，k∈Z，终边在y轴上的角为β＝kπ＋，k∈Z. 从而终边落在阴影部分内的角的集合为{θ|kπ＋<θ<kπ＋，k∈Z}． 学科网（北京）股份有限公司 $