第八章 向量的数量积与三角恒等变换 章末复习课-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第三册教师用书（人教B版2019）

章末复习课 第八章 <<< 知识网络 五、三角恒等变换的应用 一、向量数量积的运算 二、向量数量积的应用 三、三角函数式求值 内容索引 四、三角函数式的化简与证明 向量数量积的运算 一 1.求平面向量的数量积主要有三种方法：一是利用定义a·b=|a||b|cos〈a，b〉；二是利用向量数量积的几何意义：a·b=(|a|cos〈a，b〉)|b|，即a·b为a在b上的投影的数量与b的模的乘积；三是利用数量积的坐标运算：a=(x1，y1)，b= (x2，y2)，则a·b=x1x2+y1y2. 2.掌握向量数量积的概念以及求向量数量积的基本方法，重点提升逻辑推理和数学运算素养. 5 如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，AD=3，CD=2，=2.若=-3，则=　　　.  例 1 因为 = =-2-=-3，所以=. 6 求数量积的两种常用方法：一是找基底，用基底表示已知和未知向量.从而转化成基底之间的运算；二是建系进行坐标运算. 反 思 感 悟 7 已知在△ABC中，A=，AB=2，AC=4，=，=， =，则的值为　　　.  跟踪训练 1 - 8 由题意，得E为AC的中点，F为AB的中点，D为BC的四等分点，以点A为原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则A(0，0)，B(2，0)，C(0，4)， ∴F(1，0)，E(0，2)，D， ∴==. ∴=×+1×(-1) =-1=-. 9 二 向量数量积的应用 1.主要考查利用向量的数量积求向量的模、夹角，以及向量的数量积与向量垂直的关系，熟记公式，掌握向量运算，以及向量坐标运算. 2.掌握向量的求模、求夹角公式以及向量垂直的数量积表示，提升逻辑推理和数学运算素养. 已知a=(cos α，sin α)，b=(cos β，sin β)，且|ka+b|=|a-kb|(k>0). (1)用k表示数量积a·b； 例 2 12 由|ka+b|=|a-kb|， 得(ka+b)2=3(a-kb)2， ∴k2a2+2ka·b+b2=3a2-6ka·b+3k2b2， ∴(k2-3)a2+8ka·b+(1-3k2)b2=0. ∵|a|==1， |b|==1， ∴k2-3+8ka·b+1-3k2=0， ∴a·b==. 13 (2)求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角θ的大小. 由(1)知a·b==. 由函数的单调性可知，f(k)=在(0，1]上单调递减，在[1，+∞)上单调递增， ∴当k=1时，(a·b)min=f(1)=×(1+1)=， 此时a与b的夹角θ的余弦值cos θ==， 又∵0°≤θ≤180°，∴θ=60°. 14 反 思 感 悟 向量数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题，设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)， (1)a∥b⇔x1y2-x2y1=0，a⊥b⇔x1x2+y1y2=0. (2)求向量的夹角和模的问题 ①|a|=； ②两向量夹角的余弦值(0≤θ≤π，a，b为非零向量) cos θ==. 已知|a|=1，|b|=. (1)若a∥b，求a·b； 跟踪训练 2 若a∥b，则a与b的夹角为0或π.所以a·b=|a||b|cos 0=1××1=或a·b=|a||b|·cos π=-. 16 (2)若a与b的夹角为60°，求|a+b|； 因为|a+b|2=a2+2a·b+b2=|a|2+2|a||b|cos 60°+|b|2=1+2×1××+2 =3+，所以|a+b|=. 17 (3)若(2a-b)⊥b，求a与b的夹角θ. 若(2a-b)⊥b，则(2a-b)·b=0， 即2a·b-b2=0，所以2|a||b|cos θ-|b|2=0，即2×cos θ-2=0，所以cos θ=，又0≤θ≤π，所以θ=. 18 三 三角函数式求值 1.三角函数式求值主要有三种类型：(1)给角求值；(2)给值求值；(3)给值求角.注意观察已知角与所求角之间的关系，根据需要灵活地进行拆角和凑角的变换. 2.掌握两角和与差的余弦、正弦、正切公式并会灵活运用，提升逻辑推理与数学运算素养. 20 已知角α的顶点在坐标原点O处，始边与x轴的正半轴重合，将角α 的终边绕O点逆时针旋转后经过点(-3，4)，则sin α=　　　　.  例 3 21 ∵角α的终边绕O点逆时针旋转后得到的角为α+， ∴cos==-， sin==， ∴sin α=sin =sincos-cossin =×-×=. 22 反 思 感 悟 求值的重要思想是探求已知式与待求式之间的联系，常常在进行角的变换时，要注意各角之间的和、差、倍、半的关系， 如α=2·，α=(α+β)-β，α=β-(β-α)，α=[(α+β)+(α-β)]，β=[(α+β)-(α-β)]等. 若sin 2α=，sin(β-α)=，且α∈，β∈，则 α+β的值是 A. B. C.或 D.或 跟踪训练 3 √ 24 ∵α∈， ∴2α∈， 又∵sin 2α=， ∴2α∈，α∈， ∴cos 2α=-=-. 又∵β∈， ∴β-α∈， 25 ∴cos(β-α)=-=-， ∴cos(α+β)=cos =cos 2αcos(β-α)-sin 2αsin(β-α) =-×-×=， 易得α+β∈，则α+β=. 26 四 三角函数式的化简与证明 1.三角函数式的化简与证明是常考内容，重点考查三角公式的正用、逆用以及变形用等等，要熟记公式以及公式的变形形式. 2.掌握三角函数公式以及变形形式并会灵活运用，提升逻辑推理素养. 28 化简：(-π<α<0). 例 4 29 原式= = ==. 因为-π<α<0，所以-<<0，所以sin<0， 所以原式==cos α. 30 反 思 感 悟 三角函数式的化简与证明，主要从三个方面寻求思路 (1)观察函数特点，已知和所求中包含什么函数，它们可以怎样联系起来. (2)观察角的特点，它们之间可通过何种形式联系起来. (3)观察结构特点，它们之间经过怎样的变形可达到统一. 求证：tan2x+=. 跟踪训练 4 32 左边=+= = == == = ==右边. 原式得证. 33 五 三角恒等变换的应用 1.利用三角恒等变换研究函数的性质是重点考查题型，关键在于熟练运用三角公式，对解析式变形.常用倍角的降幂公式，辅助角公式以及积化和差与和差化积公式进行化简. 2.掌握利用三角公式及变形形式对函数式化简，重点提升逻辑推理与数学运算素养. 35 已知函数f(x)=cos2-sincos-. (1)求函数f(x)的最小正周期和值域； 例 5 f(x)=cos2-sincos- =(1+cos x)-sin x-=cos. 所以f(x)的最小正周期为2π，值域为. 36 (2)若f(α)=，求sin 2α的值. 由(1)知f(α)=cos=， 所以cos=. 所以sin 2α=-cos=-cos 2 =1-2cos2=1-=. 37 反 思 感 悟 (1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角恒等变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提. (2)解答此类题目要充分运用两角和(差)、倍角公式、半角公式、和差化积与积化和差公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，将三角函数表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质. 已知函数f(x)=sin·cos. (1)求f(x)的周期； 跟踪训练 5 由积化和差公式可知f(x)= =sin+sin =sin-， ∴T==. 39 (2)若x∈，求f(x)的值域. ∵x∈， ∴4x-∈， ∴sin∈， ∴f(x)∈， ∴f(x)的值域为. 40 第一章 <<< $$ 一、向量数量积的运算 1.求平面向量的数量积主要有三种方法：一是利用定义a·b=|a||b|cos〈a，b〉；二是利用向量数量积的几何意义：a·b=(|a|cos〈a，b〉)|b|，即a·b为a在b上的投影的数量与b的模的乘积；三是利用数量积的坐标运算：a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a·b=x1x2+y1y2. 2.掌握向量数量积的概念以及求向量数量积的基本方法，重点提升逻辑推理和数学运算素养. 例1　如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，AD=3，CD=2，=2.若=-3，则=　　　　.  答案　 解析　因为 = =-2-=-3，所以=. 反思感悟　求数量积的两种常用方法：一是找基底，用基底表示已知和未知向量.从而转化成基底之间的运算；二是建系进行坐标运算. 跟踪训练1　已知在△ABC中，A=，AB=2，AC=4，=，=，=，则的值为　　　　.  答案　- 解析　由题意，得E为AC的中点，F为AB的中点，D为BC的四等分点，以点A为原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则A(0，0)，B(2，0)，C(0，4)， ∴F(1，0)，E(0，2)，D， ∴=，=. ∴=×+1×(-1) =-1=-. 二、向量数量积的应用 1.主要考查利用向量的数量积求向量的模、夹角，以及向量的数量积与向量垂直的关系，熟记公式，掌握向量运算，以及向量坐标运算. 2.掌握向量的求模、求夹角公式以及向量垂直的数量积表示，提升逻辑推理和数学运算素养. 例2　已知a=(cos α，sin α)，b=(cos β，sin β)，且|ka+b|=|a-kb|(k>0). (1)用k表示数量积a·b； (2)求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角θ的大小. 解　(1)由|ka+b|=|a-kb|， 得(ka+b)2=3(a-kb)2， ∴k2a2+2ka·b+b2=3a2-6ka·b+3k2b2， ∴(k2-3)a2+8ka·b+(1-3k2)b2=0. ∵|a|==1， |b|==1， ∴k2-3+8ka·b+1-3k2=0， ∴a·b==. (2)由(1)知a·b==. 由函数的单调性可知，f(k)=在(0，1］上单调递减，在［1，+∞)上单调递增， ∴当k=1时，(a·b)min=f(1)=×(1+1)=， 此时a与b的夹角θ的余弦值cos θ==， 又∵0°≤θ≤180°，∴θ=60°. 反思感悟　向量数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题，设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)， (1)a∥b⇔x1y2-x2y1=0，a⊥b⇔x1x2+y1y2=0. (2)求向量的夹角和模的问题 ①|a|=； ②两向量夹角的余弦值(0≤θ≤π，a，b为非零向量) cos θ==. 跟踪训练2　已知|a|=1，|b|=. (1)若a∥b，求a·b； (2)若a与b的夹角为60°，求|a+b|； (3)若(2a-b)⊥b，求a与b的夹角θ. 解　(1)若a∥b，则a与b的夹角为0或π.所以a·b=|a||b|cos 0=1××1=或a·b=|a||b|·cos π=-. (2)因为|a+b|2=a2+2a·b+b2=|a|2+2|a||b|cos 60°+|b|2=1+2×1××+2=3+，所以|a+b|=. (3)若(2a-b)⊥b，则(2a-b)·b=0， 即2a·b-b2=0，所以2|a||b|cos θ-|b|2=0，即2×cos θ-2=0，所以cos θ=，又0≤θ≤π，所以θ=. 三、三角函数式求值 1.三角函数式求值主要有三种类型：(1)给角求值；(2)给值求值；(3)给值求角.注意观察已知角与所求角之间的关系，根据需要灵活地进行拆角和凑角的变换. 2.掌握两角和与差的余弦、正弦、正切公式并会灵活运用，提升逻辑推理与数学运算素养. 例3　已知角α的顶点在坐标原点O处，始边与x轴的正半轴重合，将角α的终边绕O点逆时针旋转后经过点(-3，4)，则sin α=　　　　.  答案　 解析　∵角α的终边绕O点逆时针旋转后得到的角为α+， ∴cos==-， sin==， ∴sin α=sin =sincos-cossin =×-×=. 反思感悟　求值的重要思想是探求已知式与待求式之间的联系，常常在进行角的变换时，要注意各角之间的和、差、倍、半的关系，如α=2·，α=(α+β)-β，α=β-(β-α)，α=［(α+β)+(α-β)］，β=［(α+β)-(α-β)］等. 跟踪训练3　若sin 2α=，sin(β-α)=，且α∈，β∈，则α+β的值是(　　) A. B. C.或 D.或 答案　B 解析　∵α∈， ∴2α∈， 又∵sin 2α=， ∴2α∈，α∈， ∴cos 2α=-=-. 又∵β∈， ∴β-α∈， ∴cos(β-α)=-=-， ∴cos(α+β)=cos =cos 2αcos(β-α)-sin 2αsin(β-α) =-×-×=， 易得α+β∈，则α+β=. 四、三角函数式的化简与证明 1.三角函数式的化简与证明是常考内容，重点考查三角公式的正用、逆用以及变形用等等，要熟记公式以及公式的变形形式. 2.掌握三角函数公式以及变形形式并会灵活运用，提升逻辑推理素养. 例4　化简：(-π<α<0). 解　原式= = ==. 因为-π<α<0，所以-<<0，所以sin<0， 所以原式==cos α. 反思感悟　三角函数式的化简与证明，主要从三个方面寻求思路 (1)观察函数特点，已知和所求中包含什么函数，它们可以怎样联系起来. (2)观察角的特点，它们之间可通过何种形式联系起来. (3)观察结构特点，它们之间经过怎样的变形可达到统一. 跟踪训练4　求证：tan2x+=. 证明　左边=+= = == == = ==右边. 原式得证. 五、三角恒等变换的应用 1.利用三角恒等变换研究函数的性质是重点考查题型，关键在于熟练运用三角公式，对解析式变形.常用倍角的降幂公式，辅助角公式以及积化和差与和差化积公式进行化简. 2.掌握利用三角公式及变形形式对函数式化简，重点提升逻辑推理与数学运算素养. 例5　已知函数f(x)=cos2-sincos-. (1)求函数f(x)的最小正周期和值域； (2)若f(α)=，求sin 2α的值. 解　(1)f(x)=cos2-sincos- =(1+cos x)-sin x-=cos. 所以f(x)的最小正周期为2π，值域为. (2)由(1)知f(α)=cos=， 所以cos=. 所以sin 2α=-cos=-cos 2 =1-2cos2=1-=. 反思感悟　(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角恒等变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提. (2)解答此类题目要充分运用两角和(差)、倍角公式、半角公式、和差化积与积化和差公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，将三角函数表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质. 跟踪训练5　已知函数f(x)=sin·cos. (1)求f(x)的周期； (2)若x∈，求f(x)的值域. 解　(1)由积化和差公式可知f(x)= =sin+sin =sin-， ∴T==. (2)∵x∈， ∴4x-∈， ∴sin∈， ∴f(x)∈， ∴f(x)的值域为. 学科网（北京）股份有限公司 $$