第八章 8.1.2 向量数量积的运算律-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第三册教师用书（人教B版2019）

8.1.2 第八章 <<< 向量数量积的运算律 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用公式. 2.会利用向量的数量积证明垂直，求向量的夹角、模(长度)等. 学习目标 在前面，我们通过类比实数的乘法运算及乘法中的一些运算律，得到了数乘运算的运算律，那么向量的数量积又满足哪些运算律呢？ 导 语 一、向量数量积的运算律 二、求向量的模和夹角 课时对点练 三、与垂直有关的问题 随堂演练 内容索引 四、向量在几何中的应用 一 向量数量积的运算律 1.平面向量数量积的运算律 运算律 向量数量积 交换律 a·b=b·a 数乘结合律 (λa)·b=a·(λb)=λ(a·b) 分配律 (a+b)·c=a·c+b·c (a-b)·c=a·c-b·c 知识梳理 2.常用结论： (1)(a±b)2=a2±2a·b+b2； (2)(a+b)·(a-b)=a2-b2； (3)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a. 知识梳理 (1)向量的数量积不满足消去律：若a，b，c均为非零向量，且a·c=b·c，得不到a=b. (2)实数运算满足乘法结合律，但向量的数量积运算不满足乘法结合律，即(a·b)c不一定等于a(b·c)，这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线. 注 意 点 <<< 8 (多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论，正确的是 A. a·c-b·c=(a-b)·c B.(b·c)·a-(c·a)·b不与c垂直 C.|a|-|b|<|a-b| D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2 例 1 √ √ √ 9 根据数量积的分配律知A正确； ∵[(b·c)·a-(c·a)·b]·c =(b·c)·(a·c)-(c·a)·(b·c)=0， ∴(b·c)·a-(c·a)·b与c垂直，B错误； ∵a，b不共线，∴|a|，|b|，|a-b|组成三角形， ∴|a|-|b|<|a-b|成立，C正确；显然D正确. 向量的数量积a·b与实数a，b的乘积a·b有联系，同时也有许多不同之处.例如，由a·b=0并不能得出a=0或b=0.特别是向量的数量积不满足结合律. 反 思 感 悟 11 (1) (多选)关于非零向量a，b，c，下列结论正确的是 A.(a·b)c=a(b·c) B.|a·b|≥a·b C.若a·c=λb·c，则a=λb D.若a=λb，则a·c=λb·c 向量的数量积不满足结合律，A错误； |a·b|=||a||b|cos θ|≥a·b=|a||b|cos θ，B正确； a与b的方向不一定相同，C错误； 当a=λb时，a·c=λb·c，D正确. 跟踪训练 1 √ √ 12 (2)已知向量a，b满足|a|=1，|b|=，a与-b的夹角为，则(a-b)·(2a+b)等于 A.1 B.3 C.-1 D.-5 因为a与-b的夹角为，则a与b的夹角为，又|a|=1，|b|=， 则a·b=1××=-1， 所以(a-b)·(2a+b)=2a2-a·b-b2 =2×12-(-1)-()2=1. √ 13 二 求向量的模和夹角 (1)已知|a|=|b|=5，且|3a-2b|=5，则|3a+b|=　　.  例 2 ∵|3a-2b|2=9|a|2-12a·b+4|b|2 =9×25-12a·b+4×25=325-12a·b=25， ∴a·b=25. ∴|3a+b|2=(3a+b)2 =9a2+6a·b+b2=9×25+6×25+25=400， 故|3a+b|=20. 20 15 (2)设n和m是两个单位向量，其夹角是，求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角. 16 ∵|n|=|m|=1且m与n的夹角是， ∴m·n=|m||n|cos=1×1×=. |a|=|2m+n|= = = =， |b|=|2n-3m|= = 17 = =， a·b=(2m+n)·(2n-3m)=m·n-6m2+2n2 =-6×1+2×1=-. 设a与b的夹角为θ， 则cos θ===-. 又∵θ∈[0，π]， ∴θ=，故a与b的夹角为. 18 反 思 感 悟 (1)求解向量模的问题就是要灵活应用a2=|a|2，即|a|=，勿忘记开方. (2)求向量的夹角，主要是利用公式cos〈a，b〉=求出夹 角的余弦值，再求角.注意向量夹角的范围是[0，π]. (1)设向量a，b满足|a|=|b|=1及|3a-2b|=，则a，b的夹角为 A. B. C. D. 跟踪训练 2 设a与b的夹角为θ，由题意得(3a-2b)2=7， ∴9|a|2+4|b|2-12a·b=7， 又|a|=|b|=1，∴a·b=， ∴|a||b|cos θ=，即cos θ=. 又θ∈[0，π]，∴a，b的夹角为. √ 20 (2)已知|a|=1，|b|=3，且|a-b|=2，求|a+b|. 方法一　∵|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=1+9-2a·b=4，∴a·b=3. ∴|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=1+9+2×3=16，∴|a+b|=4. 方法二　∵|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2，|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2， ∴|a-b|2+|a+b|2=2a2+2b2=2×1+2×9=20. 又|a-b|=2， ∴|a+b|2=16， ∴|a+b|=4. 21 与垂直有关的问题 三 已知非零向量a，b满足4|a|=3|b|，a与b夹角的余弦值为，若(xa+b) ⊥b，则实数x等于 A.-4 B.- C.4 D. 例 3 √ 由4|a|=3|b|， 可设|b|=4t(t>0)，则|a|=3t. 因为(xa+b)⊥b， 所以(xa+b)·b=xa·b+|b|2 =x×3t×4t×+4t×4t=(4x+16)t2=0， 又t>0，所以x=-4. 23 本例中的条件不变，“(xa+b)⊥b”改为xa+b与b的夹角为锐角.求x的取值范围. 延伸探究 由题意得|b|=4t(t>0)， (xa+b)·b=xa·b+|b|2 =(4x+16)t2>0，解得x>-4， 若xa+b=mb，m>0，xa=(m-1)b， ∴m=1，x=0. 此时xa+b与b同向. ∴x的取值范围为x>-4且x≠0. 24 反 思 感 悟 解决有关垂直问题时利用a⊥b⇔a·b=0. 已知向量a，b，且|a|=1，|b|=2，(a+2b)⊥(3a-b)，求向量a与b夹角的大小. 跟踪训练 3 设a与b的夹角为θ， 由已知得(a+2b)·(3a-b)=3a2+5a·b-2b2 =3+10cos θ-8=0，所以cos θ=， 又0°≤θ≤180°， 所以θ=60°， 即a与b的夹角为60°. 26 四 向量在几何中的应用 如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 例 4 28 设=a，=b， 则|a|=|b|，a·b=0. 又=+=-a+b， =+=b+a， 所以= =-a2-a·b+b2 =-|a|2+|b|2=0. 故⊥，即AF⊥DE. 反 思 感 悟 利用向量的数量积运算可以解决与长度、垂直、平行等有关的几何问题，其解题的关键在于把其他语言转化为向量语言，用向量表示问题中所涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题，通过向量的数量积求解. 如图所示，若D是△ABC内的一点，且-=-，求证：AD⊥BC. 跟踪训练 4 31 设=a，=b，=e，=c，=d， 则a=e+c，b=e+d， ∴a2-b2=(e+c)2-(e+d)2 =c2+2e·c-2e·d-d2， 又由已知a2-b2=c2-d2， 可得c2+2e·c-2e·d-d2=c2-d2， ∴2e·c-2e·d=0， 即e·(c-d)=0， ∵=+=d-c， ∴=e·(d-c)=0， ∴⊥，即AD⊥BC. 1.知识清单： (1)向量数量积的运算律. (2)利用向量数量积证明垂直，求夹角、模. 2.方法归纳：数形结合，转化与化归. 3.常见误区：忽视向量数量积不满足结合律. 课堂小结 随堂演练 五 1 2 3 4 1.设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a=3e1+2e2，b=-3e1+4e2，则a·b等于 A.-2 B.-1 C.1 D.2 √ 因为|e1|=|e2|=1，e1·e2=0， 所以a·b=(3e1+2e2)·(-3e1+4e2) =-9|e1|2+8|e2|2+6e1·e2 =-9×12+8×12+6×0=-1. 1 2 3 4 2.已知▱ABCD中，||=4，||=3，N为DC的中点，=2，则等于 A.2 B.5 C.6 D.8 √ =(+)·(+)==-=×42-×32=6. 3.已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，a·b=1，则向量a与a-b的夹角为　　.  1 2 3 4 |a-b|= ==， 设向量a与a-b的夹角为θ，则 cos θ===， 又θ∈[0，π]，所以θ=. 1 2 3 4 4.已知向量a·b满足|a|=3，|b|=4，且|a+b|=|a-b|，则|2a-3b|=　　　.  ∵|a+b|=|a-b|， ∴(a+b)2=(a-b)2，得a·b=0， ∴|2a-3b|= = = =6. 6 课时对点练 六 答案 对一对 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A B B C D - a 题号 11 12 13 14　 　15 答案 CD B 3 -10 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)因为|a|=1，|b|=2，c=a+b，且c⊥a， 所以c·a=(a+b)·a=a2+a·b=0， 即1+1×2×cos〈a，b〉=0， 即cos〈a，b〉=-. 因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉=. (2) |3a+b|= = ==. 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 设=a，=b， 则=a，且|a|=2|b|， ∴=+=b+a， =++=-a+b+a=-a+b， ∴==b2-a2 =b2-×4b2=0，∴⊥， ∴AC⊥BC. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (1)因为(2a-3b)·(2a+b)=61， 所以4|a|2-4|a||b|cos θ-3|b|2=61， 解得cos θ=-. 因为θ∈[0，π]， 所以θ=. (2)因为b⊥c，所以b·c=0，c=ta+(1-t)b， 所以b·[ta+(1-t)b]=0， 即ta·b+(1-t)|b|2=0， 化简得15t=9，解得t=， 所以|c|=== ==. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.下列命题正确的是 A.若a·b=a·c，则b=c B.若|a+b|=|a-b|，则a·b=0 C.若a，b为不共线的向量，则(a·b)2=a2·b2 D.若a与b是单位向量，则a·b=1 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若a=0，则对任意的b，c，都有a·b=a·c，A错误； |a+b|=|a-b|，则|a+b|2=|a-b|2，即a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2，即a·b=0，B正确； 设向量a，b的夹角为α，则(a·b)2==|a|2|b|2cos2α，而 a2·b2=|a|2|b|2， 由于a，b为不共线的非零向量，所以cos2α≠1，所以(a·b)2≠a2·b2，所以该命题是假命题，C错误； a与b是单位向量，只有它们同向时，才有a·b=1，否则a·b<1，D错误. 答案 2.已知a，b方向相同，且|a|=2，|b|=4，则|2a+3b|等于 A.16 B.256 C.8 D.64 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 方法一　∵|2a+3b|2=4a2+9b2+12a·b=16+144+96=256， ∴|2a+3b|=16. 方法二　由题意知2a=b， ∴|2a+3b|=|4b|=4|b|=16. 答案 3.已知|a|=4，|b|=2，a与b的夹角为120°，则(a+b)·(2a-b)等于 A.32 B.24 C.26 D.8 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意a·b=4×2×=-4， ∴(a+b)·(2a-b)=2a2+a·b-b2=32-4-4=24. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(2024·新课标全国Ⅱ)已知向量a，b满足|a|=1，|a+2b|=2，且(b-2a)⊥b，则|b|等于 A. B. C. D.1 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为(b-2a)⊥b， 所以(b-2a)·b=0， 即b2=2a·b， 又因为|a|=1，|a+2b|=2， 所以1+4a·b+4b2=1+6b2=4， 从而|b|=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知|a|=3，|b|=2，且a，b的夹角为60°，如果(3a+5b)⊥(ma-b)，那么m的值为 A. B. C. D. √ 由题意知(3a+5b)·(ma-b)=0， 即3ma2+(5m-3)a·b-5b2=0， 3m×32+(5m-3)×3×2×cos 60°-5×22=0， 解得m=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.如图，在△ABC中，若AB=AC=3，∠BAC=60°，=2，则等于 A. B.- C. D.- √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设=a，=b， 则|a|=|b|=3，cos〈a，b〉=， ∴a·b=3×3×=， ∵=b-a， =+=+ =+-)=a+b. ∴=·(b-a)=-a2+a·b+b2=-×9+×+×9=-. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为|e1+e2|==2，|e1+λe2|==+λ， 所以cos 60°==， 解得λ=-. 7.已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若e1+e2与e1+λe2的夹角为60°， 则实数λ的值是　　　.  - 答案 8.已知向量a，b的夹角为45°，且|a|=4，=12，则b 在a上的投影为　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 a ·(2a-3b)=a2+a·b-3b2 =|a|2+|a||b|cos 45°-3|b|2 =16+|b|-3|b|2=12， 解得|b|=或|b|=-(舍去).故b在a上的投影为|b|cos 45° =××=a. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知向量a，b，c满足|a|=1，|b|=2，c=a+b且c⊥a. (1)求向量a与b的夹角； 因为|a|=1，|b|=2，c=a+b，且c⊥a， 所以c·a=(a+b)·a=a2+a·b=0， 即1+1×2×cos〈a，b〉=0， 即cos〈a，b〉=-. 因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉=. 答案 (2)求|3a+b|. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 |3a+b|= = ==. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2AD=2DC. 证明：AC⊥BC. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设=a，=b， 则=a，且|a|=2|b|， ∴=+=b+a， =++=-a+b+a=-a+b， ∴==b2-a2 =b2-×4b2=0，∴⊥， ∴AC⊥BC. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.(多选)已知正三角形ABC的边长为2，设=2a，=b，则下列结论正确的是 A.|a+b|=1 B.a⊥b C.(4a+b)⊥b D.a·b=-1 √ 综合运用 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 分析知|a|=1，|b|=2，a与b的夹角是120°，故B结论错误； ∵(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=3， ∴|a+b|=，故A结论错误； ∵(4a+b)·b=4a·b+b2 =4×1×2×cos 120°+4=0， ∴(4a+b)⊥b，故C结论正确； a·b=1×2×cos 120°=-1，故D结论正确. 答案 12.O为平面上的定点，A，B，C是平面上不共线的三点，若(-)· (+-2)=0，则△ABC是 A.以AB为底边的等腰三角形 B.以BC为底边的等腰三角形 C.以AB为斜边的直角三角形 D.以BC为斜边的直角三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设BC的中点为M，则化简(-)·(+-2)=0，得到·(+)=2=0，即=0，∴⊥，∴AM是△ABC的边BC上的中线并且也是高，∴△ABC是以BC为底边的等腰三角形. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点.若=1，则AB的长为　　　.  答案 因为E为CD的中点，所以=+=-=- =+， 因为=1，所以=(+)·=-+ =1， 即1-+||cos 60°=1， 所以-+||=0， 解得||=(||=0舍去). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 14.已知△ABC中，AB=6，AC=4，O为△ABC所在平面内一点，满足||=||=||，则在方向上的投影的数量为　　　　，=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 -10 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为||=||=||，所以点O为△ABC的外心，设∠OAB=θ，可得∠OBA=θ，所以方向上的投影的数量为||cos θ，方向上的投影的数量为||cos θ.由题意可知||cos θ+||cos θ= ||=6. 又因为||=||=||，所以||cos θ=3，即方向上的投影的数量为3.所以=||||cos θ=3||=18，同理得=8，所以=·(-)=-=8-18=-10. 答案 15.已知向量a，b，c满足|a|=1，|b|=，a·b=1，(c-a)⊥(c-b)，则向量c的模的最大值为 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设a+b与c之间的夹角为θ， |a+b|====， 由(c-a)·(c-b)=|c|2-(a+b)·c+a·b =|c|2-|c|cos θ+1=0. 当|c|=0时，原方程可化为1=0不成立， 所以|c|≠0. 又由cos θ=≤1， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 有|c|2+1≤|c|， 所以|c|2-|c|+1≤0， 解得≤|c|≤， 故|c|的最大值为. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知|a|=4，|b|=3，(2a-3b)·(2a+b)=61. (1)求a与b的夹角θ； 因为(2a-3b)·(2a+b)=61， 所以4|a|2-4|a||b|cos θ-3|b|2=61， 解得cos θ=-. 因为θ∈[0，π]， 所以θ=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若c=ta+(1-t)b，且b⊥c，求t及|c|. 因为b⊥c，所以b·c=0，c=ta+(1-t)b， 所以b·[ta+(1-t)b]=0， 即ta·b+(1-t)|b|2=0， 化简得15t=9，解得t=， 所以|c|== = ==. 答案 第一章 <<< $$ 8.1.2　向量数量积的运算律 ［学习目标］　1.掌握平面向量数量积的运算律及常用公式.2.会利用向量的数量积证明垂直，求向量的夹角、模(长度)等. 导语　 在前面，我们通过类比实数的乘法运算及乘法中的一些运算律，得到了数乘运算的运算律，那么向量的数量积又满足哪些运算律呢？ 一、向量数量积的运算律 知识梳理 1.平面向量数量积的运算律 运算律 向量数量积 交换律 a·b=b·a 数乘结合律 (λa)·b=a·(λb)=λ(a·b) 分配律 (a+b)·c=a·c+b·c (a-b)·c=a·c-b·c 2.常用结论： (1)(a±b)2=a2±2a·b+b2； (2)(a+b)·(a-b)=a2-b2； (3)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a. 注意点： (1)向量的数量积不满足消去律：若a，b，c均为非零向量，且a·c=b·c，得不到a=b. (2)实数运算满足乘法结合律，但向量的数量积运算不满足乘法结合律，即(a·b)c不一定等于a(b·c)，这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线. 例1　(多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论，正确的是(　　) A. a·c-b·c=(a-b)·c B.(b·c)·a-(c·a)·b不与c垂直 C.|a|-|b|<|a-b| D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2 答案　ACD 解析　根据数量积的分配律知A正确； ∵［(b·c)·a-(c·a)·b］·c =(b·c)·(a·c)-(c·a)·(b·c)=0， ∴(b·c)·a-(c·a)·b与c垂直，B错误； ∵a，b不共线，∴|a|，|b|，|a-b|组成三角形， ∴|a|-|b|<|a-b|成立，C正确；显然D正确. 反思感悟　向量的数量积a·b与实数a，b的乘积a·b有联系，同时也有许多不同之处.例如，由a·b=0并不能得出a=0或b=0.特别是向量的数量积不满足结合律. 跟踪训练1　(1)(多选)关于非零向量a，b，c，下列结论正确的是(　　) A.(a·b)c=a(b·c) B.|a·b|≥a·b C.若a·c=λb·c，则a=λb D.若a=λb，则a·c=λb·c 答案　BD 解析　向量的数量积不满足结合律，A错误；|a·b|=||a||b|cos θ|≥a·b=|a||b|cos θ，B正确；a与b的方向不一定相同，C错误；当a=λb时，a·c=λb·c，D正确. (2)已知向量a，b满足|a|=1，|b|=，a与-b的夹角为，则(a-b)·(2a+b)等于(　　) A.1 B.3 C.-1 D.-5 答案　A 解析　因为a与-b的夹角为，则a与b的夹角为，又|a|=1，|b|=， 则a·b=1××=-1， 所以(a-b)·(2a+b)=2a2-a·b-b2 =2×12-(-1)-()2=1. 二、求向量的模和夹角 例2　(1)已知|a|=|b|=5，且|3a-2b|=5，则|3a+b|=　　　　.  答案　20 解析　∵|3a-2b|2=9|a|2-12a·b+4|b|2 =9×25-12a·b+4×25=325-12a·b=25， ∴a·b=25. ∴|3a+b|2=(3a+b)2 =9a2+6a·b+b2=9×25+6×25+25=400， 故|3a+b|=20. (2)设n和m是两个单位向量，其夹角是，求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角. 解　∵|n|=|m|=1且m与n的夹角是， ∴m·n=|m||n|cos=1×1×=. |a|=|2m+n|= = = =， |b|=|2n-3m|= = = =， a·b=(2m+n)·(2n-3m)=m·n-6m2+2n2 =-6×1+2×1=-. 设a与b的夹角为θ， 则cos θ===-. 又∵θ∈［0，π］， ∴θ=，故a与b的夹角为. 反思感悟　(1)求解向量模的问题就是要灵活应用a2=|a|2，即|a|=，勿忘记开方. (2)求向量的夹角，主要是利用公式cos〈a，b〉=求出夹角的余弦值，再求角.注意向量夹角的范围是［0，π］. 跟踪训练2　(1)设向量a，b满足|a|=|b|=1及|3a-2b|=，则a，b的夹角为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　设a与b的夹角为θ，由题意得(3a-2b)2=7， ∴9|a|2+4|b|2-12a·b=7， 又|a|=|b|=1，∴a·b=， ∴|a||b|cos θ=，即cos θ=. 又θ∈［0，π］，∴a，b的夹角为. (2)已知|a|=1，|b|=3，且|a-b|=2，求|a+b|. 解　方法一　∵|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=1+9-2a·b=4，∴a·b=3. ∴|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=1+9+2×3=16，∴|a+b|=4. 方法二　∵|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2，|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2， ∴|a-b|2+|a+b|2=2a2+2b2=2×1+2×9=20. 又|a-b|=2， ∴|a+b|2=16， ∴|a+b|=4. 三、与垂直有关的问题 例3　已知非零向量a，b满足4|a|=3|b|，a与b夹角的余弦值为，若(xa+b)⊥b，则实数x等于(　　) A.-4 B.- C.4 D. 答案　A 解析　由4|a|=3|b|， 可设|b|=4t(t>0)，则|a|=3t. 因为(xa+b)⊥b， 所以(xa+b)·b=xa·b+|b|2 =x×3t×4t×+4t×4t=(4x+16)t2=0， 又t>0，所以x=-4. 延伸探究　本例中的条件不变，“(xa+b)⊥b”改为xa+b与b的夹角为锐角.求x的取值范围. 解　由题意得|b|=4t(t>0)， (xa+b)·b=xa·b+|b|2 =(4x+16)t2>0，解得x>-4， 若xa+b=mb，m>0，xa=(m-1)b， ∴m=1，x=0. 此时xa+b与b同向. ∴x的取值范围为x>-4且x≠0. 反思感悟　解决有关垂直问题时利用a⊥b⇔a·b=0. 跟踪训练3　已知向量a，b，且|a|=1，|b|=2，(a+2b)⊥(3a-b)，求向量a与b夹角的大小. 解　设a与b的夹角为θ， 由已知得(a+2b)·(3a-b)=3a2+5a·b-2b2 =3+10cos θ-8=0，所以cos θ=， 又0°≤θ≤180°， 所以θ=60°， 即a与b的夹角为60°. 四、向量在几何中的应用 例4　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 证明　设=a，=b， 则|a|=|b|，a·b=0. 又=+=-a+b， =+=b+a， 所以= =-a2-a·b+b2 =-|a|2+|b|2=0. 故⊥，即AF⊥DE. 反思感悟　利用向量的数量积运算可以解决与长度、垂直、平行等有关的几何问题，其解题的关键在于把其他语言转化为向量语言，用向量表示问题中所涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题，通过向量的数量积求解. 跟踪训练4　如图所示，若D是△ABC内的一点，且-=-，求证：AD⊥BC. 证明　设=a，=b，=e，=c，=d， 则a=e+c，b=e+d， ∴a2-b2=(e+c)2-(e+d)2 =c2+2e·c-2e·d-d2， 又由已知a2-b2=c2-d2， 可得c2+2e·c-2e·d-d2=c2-d2， ∴2e·c-2e·d=0， 即e·(c-d)=0， ∵=+=d-c， ∴=e·(d-c)=0， ∴⊥，即AD⊥BC. 1.知识清单： (1)向量数量积的运算律. (2)利用向量数量积证明垂直，求夹角、模. 2.方法归纳：数形结合，转化与化归. 3.常见误区：忽视向量数量积不满足结合律. 1.设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a=3e1+2e2，b=-3e1+4e2，则a·b等于(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 答案　B 解析　因为|e1|=|e2|=1，e1·e2=0， 所以a·b=(3e1+2e2)·(-3e1+4e2) =-9|e1|2+8|e2|2+6e1·e2 =-9×12+8×12+6×0=-1. 2.已知▱ABCD中，||=4，||=3，N为DC的中点，=2，则等于(　　) A.2 B.5 C.6 D.8 答案　C 解析　=(+)·(+)==-=×42-×32=6. 3.已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，a·b=1，则向量a与a-b的夹角为　　　　.  答案　 解析　|a-b|= ==， 设向量a与a-b的夹角为θ，则 cos θ===， 又θ∈［0，π］，所以θ=. 4.已知向量a·b满足|a|=3，|b|=4，且|a+b|=|a-b|，则|2a-3b|=　　　　.  答案　6 解析　∵|a+b|=|a-b|， ∴(a+b)2=(a-b)2，得a·b=0， ∴|2a-3b|= = = =6. 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1.下列命题正确的是(　　) A.若a·b=a·c，则b=c B.若|a+b|=|a-b|，则a·b=0 C.若a，b为不共线的向量，则(a·b)2=a2·b2 D.若a与b是单位向量，则a·b=1 答案　B 解析　若a=0，则对任意的b，c，都有a·b=a·c，A错误； |a+b|=|a-b|，则|a+b|2=|a-b|2，即a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2，即a·b=0，B正确； 设向量a，b的夹角为α，则(a·b)2==|a|2|b|2cos2α，而a2·b2=|a|2|b|2， 由于a，b为不共线的非零向量，所以cos2α≠1，所以(a·b)2≠a2·b2，所以该命题是假命题，C错误； a与b是单位向量，只有它们同向时，才有a·b=1，否则a·b<1，D错误. 题点　向量数量积的运算 2.已知a，b方向相同，且|a|=2，|b|=4，则|2a+3b|等于(　　) A.16 B.256 C.8 D.64 答案　A 解析　方法一　∵|2a+3b|2=4a2+9b2+12a·b=16+144+96=256， ∴|2a+3b|=16. 方法二　由题意知2a=b， ∴|2a+3b|=|4b|=4|b|=16. 3.已知|a|=4，|b|=2，a与b的夹角为120°，则(a+b)·(2a-b)等于(　　) A.32 B.24 C.26 D.8 答案　B 解析　依题意a·b=4×2×=-4， ∴(a+b)·(2a-b)=2a2+a·b-b2=32-4-4=24. 4.(2024·新课标全国Ⅱ)已知向量a，b满足|a|=1，|a+2b|=2，且(b-2a)⊥b，则|b|等于(　　) A. B. C. D.1 答案　B 解析　因为(b-2a)⊥b， 所以(b-2a)·b=0， 即b2=2a·b， 又因为|a|=1，|a+2b|=2， 所以1+4a·b+4b2=1+6b2=4， 从而|b|=. 5.已知|a|=3，|b|=2，且a，b的夹角为60°，如果(3a+5b)⊥(ma-b)，那么m的值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意知(3a+5b)·(ma-b)=0， 即3ma2+(5m-3)a·b-5b2=0， 3m×32+(5m-3)×3×2×cos 60°-5×22=0， 解得m=. 6.如图，在△ABC中，若AB=AC=3，∠BAC=60°，=2，则等于(　　) A. B.- C. D.- 答案　D 解析　设=a，=b， 则|a|=|b|=3，cos〈a，b〉=， ∴a·b=3×3×=， ∵=b-a， =+=+ =+-)=a+b. ∴=·(b-a)=-a2+a·b+b2=-×9+×+×9=-. 7.(5分)已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若e1+e2与e1+λe2的夹角为60°，则实数λ的值是　　　　.  答案　- 解析　因为|e1+e2|==2，|e1+λe2|=，且=+λ， 所以cos 60°==， 解得λ=-. 8.(5分)已知向量a，b的夹角为45°，且|a|=4，=12，则b在a上的投影为　　　　.  答案　a 解析　·(2a-3b)=a2+a·b-3b2 =|a|2+|a||b|cos 45°-3|b|2 =16+|b|-3|b|2=12， 解得|b|=或|b|=-(舍去).故b在a上的投影为|b|cos 45°=××=a. 9.(10分)已知向量a，b，c满足|a|=1，|b|=2，c=a+b且c⊥a. (1)求向量a与b的夹角；(6分) (2)求|3a+b|.(4分) 解　(1)因为|a|=1，|b|=2，c=a+b，且c⊥a， 所以c·a=(a+b)·a=a2+a·b=0， 即1+1×2×cos〈a，b〉=0， 即cos〈a，b〉=-. 因为〈a，b〉∈［0，π］，所以〈a，b〉=. (2)|3a+b|= = ==. 10.(12分)如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2AD=2DC.证明：AC⊥BC. 证明　设=a，=b， 则=a，且|a|=2|b|， ∴=+=b+a， =++=-a+b+a=-a+b， ∴==b2-a2 =b2-×4b2=0，∴⊥， ∴AC⊥BC. 11.(多选)已知正三角形ABC的边长为2，设=2a，=b，则下列结论正确的是(　　) A.|a+b|=1 B.a⊥b C.(4a+b)⊥b D.a·b=-1 答案　CD 解析　分析知|a|=1，|b|=2，a与b的夹角是120°，故B结论错误； ∵(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=3， ∴|a+b|=，故A结论错误； ∵(4a+b)·b=4a·b+b2 =4×1×2×cos 120°+4=0， ∴(4a+b)⊥b，故C结论正确； a·b=1×2×cos 120°=-1，故D结论正确. 12.O为平面上的定点，A，B，C是平面上不共线的三点，若(-)·(+-2)=0，则△ABC是(　　) A.以AB为底边的等腰三角形 B.以BC为底边的等腰三角形 C.以AB为斜边的直角三角形 D.以BC为斜边的直角三角形 答案　B 解析　设BC的中点为M，则化简(-)·(+-2)=0，得到·(+)=2=0，即=0，∴⊥，∴AM是△ABC的边BC上的中线并且也是高，∴△ABC是以BC为底边的等腰三角形. 13.在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点.若=1，则AB的长为　　　　.  答案　 解析　因为E为CD的中点，所以=+=-=-，=+， 因为=1，所以=(+)·=-+=1， 即1-+||cos 60°=1， 所以-+||=0， 解得||=(||=0舍去). 14.(5分)已知△ABC中，AB=6，AC=4，O为△ABC所在平面内一点，满足||=||=||，则在方向上的投影的数量为　　　　，=　　　　.  答案　3　-10 解析　因为||=||=||，所以点O为△ABC的外心，设∠OAB=θ，可得∠OBA=θ，所以在方向上的投影的数量为||cos θ，在方向上的投影的数量为||cos θ.由题意可知||cos θ+||cos θ=||=6. 又因为||=||=||，所以||cos θ=3，即在方向上的投影的数量为3.所以=||||cos θ=3||=18，同理得=8，所以=·(-)=-=8-18=-10. 15.已知向量a，b，c满足|a|=1，|b|=，a·b=1，(c-a)⊥(c-b)，则向量c的模的最大值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　设a+b与c之间的夹角为θ， |a+b|====， 由(c-a)·(c-b)=|c|2-(a+b)·c+a·b =|c|2-|c|cos θ+1=0. 当|c|=0时，原方程可化为1=0不成立， 所以|c|≠0. 又由cos θ=≤1， 有|c|2+1≤|c|， 所以|c|2-|c|+1≤0， 解得≤|c|≤， 故|c|的最大值为. 16.(12分)已知|a|=4，|b|=3，(2a-3b)·(2a+b)=61. (1)求a与b的夹角θ；(5分) (2)若c=ta+(1-t)b，且b⊥c，求t及|c|.(7分) 解　(1)因为(2a-3b)·(2a+b)=61， 所以4|a|2-4|a||b|cos θ-3|b|2=61， 解得cos θ=-. 因为θ∈［0，π］， 所以θ=. (2)因为b⊥c，所以b·c=0，c=ta+(1-t)b， 所以b·［ta+(1-t)b］=0， 即ta·b+(1-t)|b|2=0， 化简得15t=9，解得t=， 所以|c|== = ==. 学科网（北京）股份有限公司 $$