第八章 8.1.1 向量数量积的概念-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第三册教师用书（人教B版2019）

8.1.1　向量数量积的概念 ［学习目标］　1.了解向量数量积的物理背景.2.掌握两个向量的夹角的定义.3.掌握向量数量积的定义和性质.4.理解向量的投影与向量数量积的几何意义. 导语　 前面我们学习了向量的加、减运算，类比数的运算，向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？让我们带着这些问题共同开启今天的探索之旅吧！ 一、两个向量的夹角 问题　如图所示，一物体在力F作用下产生位移s，那么力F所做的功W=|F||s|cos α. (1)这个公式中哪些是向量，哪些是数量？ 提示　F(力)、s(位移)是向量；W(功)、α是数量.(2)你能用文字语言表述功的计算公式吗？ 提示　功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积. 知识梳理 1.给定两个非零向量a，b，在平面内任选一点O，作=a，=b，则称［0，π］内的∠AOB为向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉. (1)〈a，b〉的取值范围是［0，π］. (2)〈a，b〉=〈b，a〉. 2.当〈a，b〉=时，称向量a与向量b垂直，记作a⊥b.由于零向量方向是不确定的，在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直. 注意点：按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量与的夹角.作=，则∠BAD才是向量与的夹角. 例1　已知|a|=|b|=2，且a与b的夹角为60°，则a+b与a的夹角是多少？a-b与a的夹角又是多少？ 解　如图所示，作=a，=b，且∠AOB=60°. 以，为邻边作平行四边形OACB， 则=a+b，=a-b. 因为|a|=|b|=2， 所以平行四边形OACB是菱形， 又∠AOB=60°， 所以与的夹角为30°， 与的夹角为60°. 即a+b与a的夹角是30°， a-b与a的夹角是60°. 反思感悟　(1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出. (2)特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0=180°-θ；当λ1λ2>0时，θ0=θ. 跟踪训练1　在△ABC中，∠C=90°，BC=AB，则与的夹角是(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 答案　C 解析　如图，作向量=，则∠BAD是与的夹角，在△ABC中，因为∠ACB=90°，BC=AB，所以∠ABC=60°，所以∠BAD=120°，即与的夹角是120°. 二、向量数量积的定义 知识梳理 一般地，当a与b都是非零向量时，称|a||b|·cos〈a，b〉为向量a与b的数量积(也称为内积)，记作a·b，即a·b=|a||b|cos〈a，b〉. 注意点： (1)数量积运算中间是“·”，不能写成“×”. (2)两个非零向量的数量积a·b是一个实数.既可以是正数，也可以是0，还可以是负数. (3)当a与b至少有一个是零向量时，a·b=0. 例2　已知正三角形ABC的边长为1，求： (1)；(2)；(3). 解　(1)∵与的夹角为60°， ∴=||||cos 60° =1×1×=. (2)∵与的夹角为120°， ∴=||||cos 120° =1×1×=-. (3)∵与的夹角为60°， ∴=||||cos 60° =1×1×=. 反思感悟　求向量的数量积时，若已知向量的模及其夹角，则可直接利用公式a·b=|a||b|cos〈a，b〉. 运用此方法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件. 跟踪训练2　如图，在▱ABCD中，||=4，||=3，∠DAB=60°，求： (1)；(2). 解　(1)=||||cos 0° =3×3×1=9. (2)∵与的夹角为120°， ∴=||||cos 120°=4×3×=-6. 三、向量数量积的性质 知识梳理 1.|a·b|≤|a||b|. 2.a·a=|a|2，即|a|=，a2=|a|2. 3.a⊥b⇔a·b=0. 4.如果a，b都是非零向量，则cos〈a，b〉=. 注意点： (1)a·b=0不能推出a和b中至少有一个零向量. (2)|a|=是求向量的长度的工具. (3)沟通了向量运算与数量之间的关系. 例3　(1)(多选)已知a，b，c是三个非零向量，则下列命题中正确的是(　　) A.|a·b|=|a||b|⇔a∥b B.a，b反向⇔a·b=-|a||b| C.a⊥b⇔|a+b|=|a-b| D.|a|=|b|⇔|a·c|=|b·c| 答案　ABC 解析　A中，因为a·b=|a||b|cos θ，所以由|a·b|=|a||b|及a，b为非零向量可得|cos θ|=1，所以θ=0或π，所以a∥b，且以上各步均可逆，故A是真命题；B中，若a，b反向，则a，b的夹角为π，所以a·b=|a||b|cos π=-|a||b|，且以上各步均可逆，故B是真命题；C中，当a⊥b时，将向量a，b的起点确定在同一点，以向量a，b为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两条对角线长度相等，即有|a+b|=|a-b|.反过来，若|a+b|=|a-b|，则以a，b为邻边的四边形为矩形，所以有a⊥b，因此C是真命题；D中，当|a|=|b|时，如果a与c的夹角和b与c的夹角不相等，则|a·c|≠|b·c|，反过来由|a·c|=|b·c|也推不出|a|=|b|，故D是假命题. (2)已知a，b是两个非零向量，若|a|=3，|b|=4，|a·b|=6，求〈a，b〉. 解　因为a·b=|a||b|cos〈a，b〉， 所以|a·b|=||a||b|cos〈a，b〉| =|a||b||cos〈a，b〉|=6. 又|a|=3，|b|=4， 所以|cos〈a，b〉|===， 所以cos〈a，b〉=±. 因为〈a，b〉∈［0，π］， 所以〈a，b〉=或〈a，b〉=. 反思感悟　求非零向量的夹角，主要是利用公式cos〈a，b〉=求出夹角的余弦值，从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系，然后代入求解. 跟踪训练3　已知在△ABC中，AB=AC=4，=8，则△ABC的形状是　　　　.  答案　等边三角形 解析　=||||cos∠BAC， 即8=4×4cos∠BAC，于是cos∠BAC=， 因为0°<∠BAC<180°， 所以∠BAC=60°. 又AB=AC，故△ABC是等边三角形. 四、向量的投影与向量数量积的几何意义 知识梳理 1.设非零向量=a，过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为A'，B'(如图)，则称向量为向量a在直线l上的投影向量或投影. 2.给定平面上的一个非零向量b，设b所在的直线为l，则a在直线l上的投影称为a在向量b上的投影，如图，向量a在向量b上的投影为.可以看出，一个向量在一个非零向量上的投影，一定与这个非零向量共线，但它们的方向既有可能相同，也有可能相反. 3.一般地，如果a，b都是非零向量，则称|a|·cos〈a，b〉为向量a在向量b上的投影的数量，投影的数量与投影的长度有关，投影的数量既可能是非负数，也可能是负数.a·b等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积，即a·b=(|a|cos〈a，b〉)|b|.特别地，a·e=|a|cos〈a，e〉，其中e为单位向量. 例4　(1)已知|a|=8，|b|=2，〈a，b〉=120°，则向量a在b上的投影为(　　) A.2 B.-2 C.2b D.-2b 答案　D 解析　如图所示，=a，=b， 过A作AA'⊥OB，垂足为A'， ∴a在b上的投影为'， ∵∠AOB=120°， ∴∠AOA'=60°，OA=8， ∴OA'=OA·cos 60°=8×=4， 又|b|=2.∴'=-2b. (2)如图，AB为圆O的一条弦，且||=4，则等于(　　) A.4 B.-4 C.8 D.-8 答案　D 解析　设AB的中点为M，连接OM(图略)，则OM⊥AB，=2=2||·||·cos(π-∠OAB)=-2×2·||·cos∠OAB=-4||=-8. 反思感悟　(1)a在b上的投影是一个向量，它的方向与b同向或反向，即a在b上的投影与向量b共线. (2)利用向量数量积的几何意义可以求两向量的数量积，即a与b的数量积为a在b上的投影的数量与|b|的乘积，即a·b=(|a|cos〈a，b〉)|b|. 跟踪训练4　已知a·b=-9，a在b上的投影的数量为-3，b在a上的投影的数量为-，求a与b的夹角. 解　由题意，得∴ ∴cos〈a，b〉===-， 又〈a，b〉∈［0，π］，∴〈a，b〉=. 1.知识清单： (1)向量的夹角，向量数量积的定义. (2)向量数量积的性质. (3)向量的投影及向量数量积的几何意义. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：混淆投影或投影向量与投影的数量的区别. 1.若|m|=4，|n|=6，m与n的夹角为45°，则m·n等于(　　) A.12 B.12 C.-12 D.-12 答案　B 解析　由平面向量数量积的定义可得m·n=|m|·|n|·cos 45°=4×6×=12. 2.(多选)对于任意向量a，b，c，下列命题中不正确的是(　　) A.若a·b=0，则a与b中至少有一个为0 B.向量a与向量b夹角的范围是［0，π) C.若a⊥b，则a·b=0 D.|a|= 答案　AB 解析　a·b=0⇒a⊥b或a=0或b=0，所以A错误； 向量夹角的范围是［0，π］，所以B错误； 由数量积的性质知，C正确； 因为a·a=|a||a|cos 0=|a|2， 所以|a|=，所以D正确. 3.已知|b|=3，〈a，b〉=150°，则向量b在a上的投影的数量为(　　) A.2 B.-2 C. D.- 答案　D 解析　向量b在a上的投影的数量为 |b|cos〈a，b〉=3×cos 150°=-. 4.在△ABC中，||=3，||=4，=-6，则∠B=　　　　.  答案　60° 解析　cos〈，〉===-， ∴〈，〉=120°， 又与的夹角为∠B的补角， ∴∠B=180°-120°=60°. 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.已知|a|=3，|b|=4，且a与b的夹角为150°，则a·b等于(　　) A.-6 B.6 C.-6 D.6 答案　C 解析　a·b=|a||b|cos 150°=3×4×=-6. 2.已知|a|=4，|b|=3，a与b的夹角为30°，则a在b上的投影的数量为(　　) A.2 B.2 C. D.4 答案　B 解析　a在b上的投影的数量为|a|·cos〈a，b〉=4×cos 30°=2. 3.下列说法不正确的是(　　) A.|a|= B.向量b在向量a上的投影的数量为|b|cos〈a，b〉 C.数量积a·b的几何意义为a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积 D.在△ABC中，<0，则△ABC的形状是钝角三角形. 答案　D 解析　由数量积的性质及几何意义知A，B，C都正确，<0可得B为锐角，不能判定三角形的形状. 4.(多选)已知向量a，b和实数λ，则下列选项中正确的是(　　) A.若a与b是两个单位向量，则a2=b2 B.|a·b|=|a||b| C.λ(a+b)=λa+λb D.|a·b|≤|a||b| 答案　ACD 解析　选项B中，|a·b|=||a||b|cos θ|，其中θ为a与b的夹角，故B错误. 5.已知|a|=2，|b|=，a·b=3，则a与b的夹角为(　　) A.30° B.45° C.60° D.120° 答案　A 解析　因为|a|=2，|b|=，a·b=3， 所以a·b=|a||b|·cos〈a，b〉=2××cos〈a，b〉=3，所以cos〈a，b〉=， 因为0°≤〈a，b〉≤180°， 所以〈a，b〉=30°. 6.在四边形ABCD中，=0，=，则四边形ABCD是(　　) A.直角梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 答案　C 解析　∵在四边形ABCD中，=， ∴BC∥AD且BC=AD， ∴四边形ABCD为平行四边形， 又=0，∴AB⊥BC， ∴四边形ABCD为矩形. 7.(5分)已知a·b=16，若a在b方向上的投影的数量为4，则|b|=　　　　.  答案　4 解析　∵a·b=16，∴|a||b|cos〈a，b〉=16， 又∵a在b方向上的投影的数量为4， ∴|a|cos〈a，b〉=4，∴|b|=4. 8.(5分)在边长为3的等边三角形ABC中，点D在BC上，且=2，则=　　　　，=　　　　.  答案　3　- 解析　∵=2，∴点D为BC上靠近点B的三等分点，如图所示. ∴||=||=2， ||=||=1， 又〈，〉=〈，〉=60°， 〈，〉=〈，〉=120°， ∴=||||cos 60°=3×2×=3. =||||cos 120°=3×1×=-. 9.(10分)在△ABC中，已知||=5，||=4，||=3，求：(1)；(3分) (2)在上的投影的数量；(3分) (3)在上的投影的数量.(4分) 解　∵||=5，||=4，||=3， ∴△ABC为直角三角形，且∠C=90°. ∴cos A==，cos B==. (1)=||·||cos(π-B) =5×4×(-cos B)=20×=-16. (2)在上的投影的数量为||cos〈，〉=3×cos A=3×=. (3)由向量数量积的几何意义及(1)知，在上的投影的数量为==-4. 10.(11分)已知|a|=2， (1)若b2=3，a∥b，求a·b；(4分) (2)若a·b=4，|b|=2，求a与b的夹角θ；(4分) (3)若a·b=-6，a与b的夹角为150°，求|b|.(3分) 解　(1)因为b2=3，所以|b|=. 当a∥b时，有两种情况， ①当a与b的夹角为0°时，a·b=|a||b|cos 0°=2××1=2； ②当a与b的夹角为180°时，a·b=|a||b|cos 180°=2××(-1)=-2. 所以a·b=2或-2. (2)a·b=|a||b|cos θ=2×2×cos θ=4， 所以cos θ=， 又θ∈［0，π］，所以θ=. (3)当a与b的夹角为150°时， a·b=|a||b|cos 150° =2×|b|×=-6，所以|b|=2. 题点　向量的数量积运算、综合问题 11.已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60° ，则等于(　　) A.-a2 B.-a2 C.a2 D.a2 答案　D 解析　如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴∠BDC=30°，〈，〉=30°. 又菱形的边长为a，∴BD=a. ∴=||||cos〈，〉=a×a×cos 30°=a2. 12.(多选)已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列结论中正确的有(　　) A.e1在e2上的投影为cos θ B.e1·e2=1 C.= D.(e1+e2)⊥(e1-e2) 答案　CD 解析　e1在e2上的投影是一个向量，故A不正确. e1·e2=|e1||e2|cos〈e1，e2〉=cos θ，故B不正确. =|e1|2=1，=|e2|2=1， 故C正确. 如图所示，设=e1，=e2， 作平行四边形ABCD， 则平行四边形ABCD为菱形. 则=e1+e2，=e1-e2. ∵⊥，∴(e1+e2)⊥(e1-e2)，故D正确. 13.已知|a|=2，|b|=12，a·b=-12，则b在a上的投影为(　　) A.-3 B.3 C.-3a D.3a 答案　C 解析　cos〈a，b〉===-， 又〈a，b〉∈［0，π］，∴〈a，b〉=， 如图，=a，=b，过B作BB'⊥OA， 垂足为B'，则b在a上的投影为'，∵|b|=12， ∴|'|=12×cos =6，又|a|=2，∴'=-3a. 14.(5分)已知非零向量a，b，c满足a+b+c=0，向量a，b的夹角为120°，且|b|=2|a|，则向量a与c的夹角为　　　　.  答案　90° 解析　由题意可画出图形，如图所示，在△OAB中， 因为∠OAB=60°，|b|=2|a|， 所以∠ABO=30°， OA⊥OB， 即向量a与c的夹角为90°. 15.(5分)已知|a|=2|b|≠0，且关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实根，则a与b的夹角的取值范围为　　　　.  答案　 解析　Δ=|a|2-4a·b=|a|2-4|a||b|cos θ(θ为向量a与b的夹角)， 若方程有实根，则Δ≥0，即|a|2-4|a||b|cos θ≥0， 又|a|=2|b|，∴Δ=4|b|2-8|b|2cos θ≥0， ∴cos θ≤.又∵0≤θ≤π，∴≤θ≤π. 16.(12分)如图，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，且AB=2DC=4.E为腰BC上的动点.求的取值范围. 解　如图，过点E作EE'⊥AB，垂足为E'，过点C作CC'⊥AB，垂足为C'. 则在上的投影为'， ∴在上的投影的数量为|'|， 由向量数量积的几何意义知 =|'|·||=4|'|. ∵点E在腰BC上运动， ∴点E'在线段C'B上运动， ∴|'|≤|'|≤||，即2≤|'|≤4， ∴8≤4|'|≤16， ∴的取值范围是［8，16］. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.1.1 第八章 <<< 向量数量积的概念 1.了解向量数量积的物理背景. 2.掌握两个向量的夹角的定义. 3.掌握向量数量积的定义和性质. 4.理解向量的投影与向量数量积的几何意义. 学习目标 前面我们学习了向量的加、减运算，类比数的运算，向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？让我们带着这些问题共同开启今天的探索之旅吧！ 导 语 一、两个向量的夹角 二、向量数量积的定义 课时对点练 三、向量数量积的性质 随堂演练 内容索引 四、向量的投影与向量数量积的几何意义 一 两个向量的夹角 提示　F(力)、s(位移)是向量；W(功)、α是数量. 如图所示，一物体在力F作用下产生位移s，那么力F所做的功W=|F||s|cos α. (1)这个公式中哪些是向量，哪些是数量？ 问题 提示　功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积. (2)你能用文字语言表述功的计算公式吗？ 问题 1.给定两个_____向量a，b，在平面内任选一点O，作=a，=b，则称[0，π]内的_______ 为向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉. (1)〈a，b〉的取值范围是______. (2)〈a，b〉= _______. 2.当〈a，b〉= ___ 时，称向量a与向量b垂直，记作_____.由于零向量方向是不确定的，在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量_____. 非零 ∠AOB [0，π] 〈b，a〉 a⊥b 垂直 知识梳理 按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量与的夹角.作=，则∠BAD才是向量与的夹角. 注 意 点 <<< 9 已知|a|=|b|=2，且a与b的夹角为60°，则a+b与a的夹角是多少？a-b与a的夹角又是多少？ 例 1 10 如图所示，作=a，=b，且∠AOB=60°. 以为邻边作平行四边形OACB， 则=a+b，=a-b. 因为|a|=|b|=2， 所以平行四边形OACB是菱形， 又∠AOB=60°， 所以的夹角为30°， 的夹角为60°. 即a+b与a的夹角是30°， a-b与a的夹角是60°. (1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出. (2)特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0=180°-θ；当λ1λ2>0时，θ0=θ. 反 思 感 悟 12 在△ABC中，∠C=90°，BC=AB，则与的夹角是 A.30° B.60° C.120° D.150° 如图，作向量=，则∠BAD是的夹角，在 △ABC中，因为∠ACB=90°，BC=AB，所以∠ABC=60°， 所以∠BAD=120°，即的夹角是120°. 跟踪训练 1 √ 13 二 向量数量积的定义 一般地，当a与b都是非零向量时，称_______________为向量a与b的数量积(也称为内积)，记作____，即a·b=_______________. |a||b|·cos〈a，b〉 a·b |a||b|cos〈a，b〉 知识梳理 15 (1)数量积运算中间是“·”，不能写成“×”. (2)两个非零向量的数量积a·b是一个实数.既可以是正数，也可以是0，还可以是负数. (3)当a与b至少有一个是零向量时，a·b=0. 注 意 点 <<< 16 已知正三角形ABC的边长为1，求： (1)； 例 2 ∵的夹角为60°， ∴=||||cos 60° =1×1×=. 17 (2)； ∵的夹角为120°， ∴=||||cos 120° =1×1×=-. 18 (3). ∵的夹角为60°， ∴=||||cos 60° =1×1×=. 19 反 思 感 悟 求向量的数量积时，若已知向量的模及其夹角，则可直接利用公式a·b=|a||b|cos〈a，b〉. 运用此方法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件. 如图，在▱ABCD中，||=4，||=3，∠DAB=60°，求： (1)； 跟踪训练 2 =||||cos 0° =3×3×1=9. (2). ∵的夹角为120°， ∴=||||cos 120°=4×3×=-6. 21 向量数量积的性质 三 1.|a·b|≤_____. 2.a·a=____，即|a|=_______，a2=____. 3.a⊥b⇔a·b=0. 4.如果a，b都是非零向量，则cos〈a，b〉=_____. |a||b| |a|2 |a|2 知识梳理 23 (1)a·b=0不能推出a和b中至少有一个零向量. (2)|a|=是求向量的长度的工具. (3)沟通了向量运算与数量之间的关系. 注 意 点 <<< 24 (1)(多选)已知a，b，c是三个非零向量，则下列命题中正确的是 A.|a·b|=|a||b|⇔a∥b B.a，b反向⇔a·b=-|a||b| C.a⊥b⇔|a+b|=|a-b| D.|a|=|b|⇔|a·c|=|b·c| 例 3 √ √ √ 25 A中，因为a·b=|a||b|cos θ，所以由|a·b|=|a||b|及a，b为非零向量可得 |cos θ|=1，所以θ=0或π，所以a∥b，且以上各步均可逆，故A是真命题； B中，若a，b反向，则a，b的夹角为π，所以a·b=|a||b|cos π=-|a||b|，且以上各步均可逆，故B是真命题； C中，当a⊥b时，将向量a，b的起点确定在同一点，以向量a，b为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两条对角线长度相等，即有|a+b|=|a-b|.反过来，若|a+b|=|a-b|，则以a，b为邻边的四边形为矩形，所以有a⊥b，因此C是真命题； D中，当|a|=|b|时，如果a与c的夹角和b与c的夹角不相等，则|a·c|≠|b·c|，反过来由|a·c|=|b·c|也推不出|a|=|b|，故D是假命题. 26 (2)已知a，b是两个非零向量，若|a|=3，|b|=4，|a·b|=6，求〈a，b〉. 27 因为a·b=|a||b|cos〈a，b〉， 所以|a·b|=||a||b|cos〈a，b〉| =|a||b||cos〈a，b〉|=6. 又|a|=3，|b|=4， 所以|cos〈a，b〉|===， 所以cos〈a，b〉=±. 因为〈a，b〉∈[0，π]， 所以〈a，b〉=或〈a，b〉=. 28 反 思 感 悟 求非零向量的夹角，主要是利用公式cos〈a，b〉=求出 夹角的余弦值，从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间 的关系，然后代入求解. 已知在△ABC中，AB=AC=4，=8，则△ABC的形状是　　 　.  跟踪训练 3 等边三角形 =||||cos∠BAC， 即8=4×4cos∠BAC，于是cos∠BAC=， 因为0°<∠BAC<180°， 所以∠BAC=60°. 又AB=AC，故△ABC是等边三角形. 30 向量的投影与向量数量积的几何意义 四 1.设非零向量=a，过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为A'，B'(如图)，则称向量_______为向量a在直线l上的__________或_____. 2.给定平面上的一个非零向量b，设b所在的直线为l，则a在直线l上的投影称为a在______上的投影，如图，向量a在向量b上的投影为_____.可以看出，一个向量在一个非零向 量上的投影，一定与这个非零向量_____，但它们的方向既有可能_____，也有可能_____. 投影向量 投影 向量b 共线 相同 相反 知识梳理 32 3.一般地，如果a，b都是非零向量，则称_____________为向量a在向量b上的___________，投影的数量与投影的_____有关，投影的数量既可能是_______，也可能是_____.a·b等于a在向量b上的投影的数量与b的____的乘积，即a·b=__________________.特别地，a·e=|a|cos〈a，e〉，其中e为单位向量. |a|·cos〈a，b〉 投影的数量 长度 非负数 负数 模 (|a|cos〈a，b〉)|b| 知识梳理 33 (1)已知|a|=8，|b|=2，〈a，b〉=120°，则向量a在b上的投影为 A.2 B.-2 C.2b D.-2b 例 4 √ 如图所示，=a，=b， 过A作AA'⊥OB，垂足为A'， ∴a在b上的投影为'， ∵∠AOB=120°， ∴∠AOA'=60°，OA=8， ∴OA'=OA·cos 60°=8×=4， 又|b|=2.∴'=-2b. 34 (2)如图，AB为圆O的一条弦，且||=4，则等于 A.4 B.-4 C.8 D.-8 设AB的中点为M，连接OM(图略)，则OM⊥AB，=2=2||·||·cos(π-∠OAB)=-2×2·||·cos∠OAB=-4||=-8. √ 35 反 思 感 悟 (1)a在b上的投影是一个向量，它的方向与b同向或反向，即a在b上的投影与向量b共线. (2)利用向量数量积的几何意义可以求两向量的数量积，即a与b的数量积为a在b上的投影的数量与|b|的乘积，即a·b=(|a|cos〈a，b〉)|b|. 已知a·b=-9，a在b上的投影的数量为-3，b在a上的投影的数 量为-，求a与b的夹角. 跟踪训练 4 由题意，得∴ ∴cos〈a，b〉===-， 又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉=. 37 1.知识清单： (1)向量的夹角，向量数量积的定义. (2)向量数量积的性质. (3)向量的投影及向量数量积的几何意义. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：混淆投影或投影向量与投影的数量的区别. 课堂小结 随堂演练 五 1 2 3 4 1.若|m|=4，|n|=6，m与n的夹角为45°，则m·n等于 A.12 B.12 C.-12 D.-12 √ 由平面向量数量积的定义可得m·n=|m|·|n|·cos 45°=4×6×=12. 1 2 3 4 2.(多选)对于任意向量a，b，c，下列命题中不正确的是 A.若a·b=0，则a与b中至少有一个为0 B.向量a与向量b夹角的范围是[0，π) C.若a⊥b，则a·b=0 D.|a|= √ √ 1 2 3 4 a·b=0⇒a⊥b或a=0或b=0，所以A错误； 向量夹角的范围是[0，π]，所以B错误； 由数量积的性质知，C正确； 因为a·a=|a||a|cos 0=|a|2， 所以|a|=，所以D正确. 3.已知|b|=3，〈a，b〉=150°，则向量b在a上的投影的数量为 A.2 B.-2 C. D.- 1 2 3 4 √ 向量b在a上的投影的数量为 |b|cos〈a，b〉=3×cos 150°=-. 1 2 3 4 4.在△ABC中，||=3，||=4，=-6，则∠B=　　.  cos〈〉===-， ∴〈〉=120°， 又的夹角为∠B的补角， ∴∠B=180°-120°=60°. 60° 课时对点练 六 答案 对一对 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D ACD A C 4 3 - 题号 11 12 13 14　 　15 答案 D CD C 90° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵||=5，||=4，||=3， ∴△ABC为直角三角形，且∠C=90°. ∴cos A==，cos B==. (1) =||·||cos(π-B) =5×4×(-cos B)=20×=-16. (2) 上的投影的数量为||cos〈〉=3×cos A=3×=. (3)由向量数量积的几何意义及(1)知， ==-4. 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (1)因为b2=3，所以|b|=. 当a∥b时，有两种情况， ①当a与b的夹角为0°时，a·b=|a||b|cos 0°=2××1=2； ②当a与b的夹角为180°时，a·b=|a||b|cos 180°=2××(-1)=-2. 所以a·b=2或-2. (2) a·b=|a||b|cos θ=2×2×cos θ=4， 所以cos θ=， 又θ∈[0，π]，所以θ=. (3)当a与b的夹角为150°时， a·b=|a||b|cos 150° =2×|b|×=-6，所以|b|=2. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 如图，过点E作EE'⊥AB，垂足为E'，过点C作CC'⊥AB，垂足为C'. 则'， ∴上的投影的数量为|'|， 由向量数量积的几何意义知 =|'|·||=4|'|. ∵点E在腰BC上运动， ∴点E'在线段C'B上运动， ∴|'|≤|'|≤||，即2≤|'|≤4， ∴8≤4|'|≤16， ∴的取值范围是[8，16]. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.已知|a|=3，|b|=4，且a与b的夹角为150°，则a·b等于 A.-6 B.6 C.-6 D.6 √ a·b=|a||b|cos 150°=3×4×=-6. 答案 2.已知|a|=4，|b|=3，a与b的夹角为30°，则a在b上的投影的数量为 A.2 B.2 C. D.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ a在b上的投影的数量为|a|·cos〈a，b〉=4×cos 30°=2. 答案 3.下列说法不正确的是 A.|a|= B.向量b在向量a上的投影的数量为|b|cos〈a，b〉 C.数量积a·b的几何意义为a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积 D.在△ABC中，<0，则△ABC的形状是钝角三角形. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由数量积的性质及几何意义知A，B，C都正确，<0可得B为锐角，不能判定三角形的形状. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(多选)已知向量a，b和实数λ，则下列选项中正确的是 A.若a与b是两个单位向量，则a2=b2 B.|a·b|=|a||b| C.λ(a+b)=λa+λb D.|a·b|≤|a||b| √ 选项B中，|a·b|=||a||b|cos θ|，其中θ为a与b的夹角，故B错误. √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知|a|=2，|b|=，a·b=3，则a与b的夹角为 A.30° B.45° C.60° D.120° √ 因为|a|=2，|b|=，a·b=3， 所以a·b=|a||b|·cos〈a，b〉=2××cos〈a，b〉=3， 所以cos〈a，b〉=， 因为0°≤〈a，b〉≤180°， 所以〈a，b〉=30°. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.在四边形ABCD中，=0，=，则四边形ABCD是 A.直角梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 √ ∵在四边形ABCD中，=， ∴BC∥AD且BC=AD， ∴四边形ABCD为平行四边形， 又=0，∴AB⊥BC， ∴四边形ABCD为矩形. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵a·b=16，∴|a||b|cos〈a，b〉=16， 又∵a在b方向上的投影的数量为4， ∴|a|cos〈a，b〉=4，∴|b|=4. 7.已知a·b=16，若a在b方向上的投影的数量为4，则|b|=　　.  4 答案 8.在边长为3的等边三角形ABC中，点D在BC上，且=2，则=　　　，=　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 - 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵=2，∴点D为BC上靠近点B的三等分点，如图所示. ∴||=||=2， ||=||=1， 又〈〉=〈〉=60°， 〈〉=〈〉=120°， ∴=||||cos 60°=3×2×=3. =||||cos 120°=3×1×=-. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.在△ABC中，已知||=5，||=4，||=3，求：(1)； ∵||=5，||=4，||=3， ∴△ABC为直角三角形，且∠C=90°. ∴cos A==，cos B==. =||·||cos(π-B) =5×4×(-cos B)=20×=-16. 答案 (2)在上的投影的数量； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 上的投影的数量为||cos〈〉=3×cos A=3×=. (3)在上的投影的数量. 由向量数量积的几何意义及(1)知， ==-4. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知|a|=2， (1)若b2=3，a∥b，求a·b； 因为b2=3，所以|b|=. 当a∥b时，有两种情况， ①当a与b的夹角为0°时，a·b=|a||b|cos 0°=2××1=2； ②当a与b的夹角为180°时，a·b=|a||b|cos 180°=2××(-1)=-2. 所以a·b=2或-2. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若a·b=4，|b|=2，求a与b的夹角θ； a·b=|a||b|cos θ=2×2×cos θ=4， 所以cos θ=， 又θ∈[0，π]，所以θ=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)若a·b=-6，a与b的夹角为150°，求|b|. 当a与b的夹角为150°时， a·b=|a||b|cos 150° =2×|b|×=-6，所以|b|=2. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60° ，则等于 A.-a2 B.-a2 C.a2 D.a2 √ 综合运用 如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴∠BDC=30°，〈〉=30°. 又菱形的边长为a，∴BD=a. ∴=||||cos〈〉=a×a×cos 30°=a2. 答案 12.(多选)已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列结论中正确的有 A.e1在e2上的投影为cos θ B.e1·e2=1 C.= D.(e1+e2)⊥(e1-e2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 e1在e2上的投影是一个向量，故A不正确. e1·e2=|e1||e2|cos〈e1，e2〉=cos θ，故B不正确. =|e1|2=1，=|e2|2=1， 故C正确. 如图所示，设=e1，=e2， 作平行四边形ABCD， 则平行四边形ABCD为菱形. 则=e1+e2，=e1-e2. ∵⊥，∴(e1+e2)⊥(e1-e2)，故D正确. 答案 cos〈a，b〉===-， 又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉=， 如图，=a，=b，过B作BB'⊥OA， 垂足为B'，则b在a上的投影为'，∵|b|=12， ∴|'|=12×cos =6，又|a|=2，∴'=-3a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知|a|=2，|b|=12，a·b=-12，则b在a上的投影为 A.-3 B.3 C.-3a D.3a √ 答案 14.已知非零向量a，b，c满足a+b+c=0，向量a，b的夹角为120°，且|b|= 2|a|，则向量a与c的夹角为　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可画出图形，如图所示，在△OAB中， 因为∠OAB=60°，|b|=2|a|， 所以∠ABO=30°， OA⊥OB， 即向量a与c的夹角为90°. 90° 答案 15.已知|a|=2|b|≠0，且关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实根，则a与b的夹角的 取值范围为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 Δ=|a|2-4a·b=|a|2-4|a||b|cos θ(θ为向量a与b的夹角)， 若方程有实根，则Δ≥0，即|a|2-4|a||b|cos θ≥0， 又|a|=2|b|，∴Δ=4|b|2-8|b|2cos θ≥0， ∴cos θ≤.又∵0≤θ≤π，∴≤θ≤π. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.如图，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，且AB=2DC=4. E为腰BC上的动点.求的取值范围. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，过点E作EE'⊥AB，垂足为E'，过点C作CC'⊥AB，垂足为C'. 则'， ∴上的投影的数量为|'|， 由向量数量积的几何意义知 =|'|·||=4|'|. ∵点E在腰BC上运动， ∴点E'在线段C'B上运动， ∴|'|≤|'|≤||，即2≤|'|≤4， ∴8≤4|'|≤16， ∴的取值范围是[8，16]. 答案 第一章 <<< $$