专练01（最新好题速递）排列组合与二项式定理必刷题型（10大题型56题）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第三册）

专练01 排列组合与二项式定理必刷题型（10大题型56题） 题型1 相邻与不相邻问题 一、单选题 1．（24-25高二下·广东汕头·期中）年春节档共有部影片定档，某影城根据第一周的观影情况，决定第二周只播放其中的《哪吒之魔童闹海》、《唐探》、《熊出没·重启未来》及《蛟龙行动》．为了家庭中的大人和孩子观影便利，该影城对第、周影片播放顺序做出如下要求：《哪吒之魔童闹海》不排第一场，《熊出没·重启未来》不排最后一场，《蛟龙行动》和《熊出没·重启未来》必须连续安排，则不同的安排方式有（   ） A．种 B．种 C．10种 D．种 【答案】A 【分析】根据已知条件，分《哪吒之魔童闹海》排最后一场、《哪吒之魔童闹海》排第二场、《哪吒之魔童闹海》排第三场三种情况分别计算安排方法数，最后分类加法公式计算总数即可. 【详解】分三种情况： 第一种：《哪吒之魔童闹海》排最后一场，因为《蛟龙行动》和《熊出没·重启未来》 必须连续安排，所以用捆绑法有种可能，并看成一个元素， 剩下元素有种排法，所以共有种排法； 第二种：《哪吒之魔童闹海》排第二场， 因为《蛟龙行动》和《熊出没·重启未来》必须连续安排，而且《熊出没·重启未来》不排最后一场， 所以《蛟龙行动》和《熊出没·重启未来》只能排在第四、第三两场，《唐探 》排第一场，这种情况共种排法； 第三种：《哪吒之魔童闹海》排第三场， 因为《蛟龙行动》和《熊出没·重启未来》必须连续安排，而且《熊出没·重启未来》不排最后一场， 所以《蛟龙行动》和《熊出没·重启未来》排在前两场有种排法，《唐探》排最后一场，这种情况共有种排法. 综上符合条件的电影安排方法总数为种. 故选：A. 2．（23-24高二下·新疆·期末）一场文艺汇演中共有2个小品节目､2个歌唱类节目和3个舞蹈类节目，若要求2个小品类节目演出顺序不相邻且不在第一个表演，则不同的演出顺序共有（   ） A．480种 B．1200种 C．2400种 D．5040种 【答案】C 【分析】利用排列组合的知识结合分步计数原理的知识求解即可. 【详解】先排2个歌唱类节目和3个舞蹈类节目，共有种不同的演出顺序； 再排2个小品节目，共有种不同的演出顺序. 根据分步乘法计数原理可知，共有2400种不同的演出顺序. 故选：C. 3．（24-25高二下·湖南·阶段练习）某校文艺汇演上有一个合晿节目，3名女同学和4名男同学需从左至右排成一排上台演唱，则男生甲与女生乙相邻，且男生丙与女生丁相邻的排法种数为（   ） A．194 B．240 C．388 D．480 【答案】D 【分析】根据相邻问题捆绑法进行求解即可. 【详解】因为男生甲与女生乙相邻，且男生丙与女生丁相邻， 所以先将男生甲与女生乙、男生丙与女生丁分别看作一个整体， 与剩下3名学生进行排列有种排法， 又男生甲与女生乙之间有种排法，男生丙与女生丁之间有种排法， 因此根据乘法原理得所求种数为， 故选：D 4．（24-25高二下·陕西·阶段练习）2024年4月26日，神舟十九号与神舟十八号航天员顺利会师中国空间站，激发了全国人民的民族自豪感和爱国热情．齐聚“天宫”的6名宇航员分别是“70后”蔡旭哲、“80后”叶光富、李聪、李广苏，“90后”宋令东、王浩泽．为记录这一历史时刻，大家准备拍一张“全家福”．假设6人站成一排，要求三位“80后”相邻，两位“90后”不相邻，则不同的站法共有（    ） A．32种 B．48种 C．64种 D．72种 【答案】D 【分析】先利用捆绑法将三位“80后”看作一个整体后与“70后”蔡旭哲进行排列，再利用插空法即可. 【详解】因三位“80后”相邻，可将其看作一个整体， 再将这三位“80后”和“70后”蔡旭哲先进行排列，有种排法， 在其前后会留下3个空位，再将剩下的两位“90后”插入这3个空位中，有种插法， 因此不同的站法共有种. 故选：D. 5．（24-25高二下·天津·阶段练习）天津国家海洋博物馆，位于天津市滨海新区中新生态城，是集收藏、展示、研究、教育为一体的国家级综合性海洋博物馆.博物馆每周一闭馆，周二至周日开放（节假日除外）.某学校计划于年月日（周二）至月日（周日）组织高二、高二、高二年级的同学去天津国家海洋博物馆参观研学（此周学生不休息），每天只能有一个年级参观，其中高二年级需要连续两天，高二、高二年级各需要一天，则不同的方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】首先确定高二年级的安排方法，再在剩下的四天里安排高二和高二，按照分步乘法计数原理计算可得结果. 【详解】由于周一闭馆，所以高二年级可以选择从周二和周三，周三和周四，周四和周五，周五和周六，周六和周日中选择两天去参观，共种选择方法， 再从剩下的四天里安排高二和高二，共种选择方法， 故不同的方案有种． 故选：C． 6．（24-25高二下·上海松江·阶段练习）某手机专卖店新进，，，，，，这7款充电宝，准备将它们在货柜里摆成一排售卖，则下列说法不正确的是（    ） A．若，，必须摆在前三个位置，则不同的摆法有144种 B．若，，彼此不相邻，，，，也彼此不相邻，则不同的摆法有72种 C．若，，彼此不相邻，则不同的摆法有1440种 D．若不能摆在后两个位置，则不同的摆法有3600种 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用排列计数问题，结合不相邻问题和特殊元素（位置）逐项分析计算得解. 【详解】对A选项：满足条件的摆法有：，故A选项内容正确； 对B选项：满足条件的摆法有：，故B选项内容错误； 对C选项：满足条件的摆法有：，故C选项内容正确； 对D选项：：满足条件的摆法有：，故D选项内容正确. 故选：B 题型2 排数问题 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）从2，3，，8中任意取三个不同的数字，组成无重复数字的三位数，要求个位数最大，百位数最小，则这样的三位数的个数为（    ） A．35 B．42 C．105 D．210 【答案】A 【分析】利用排列与组合的相关知识即可得解. 【详解】由于取出三个数字后大小次序已确定， 只需把最小的数字放在百位，最大的数字放在个位，剩下的数字放在十位， 因此满足条件的三位数的个数为. 故选：A. 2．（2024·全国·模拟预测）对于各数位均不为0的三位数，若两位数和均为完全平方数，则称具有“性质”，则具有“性质”的三位数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】完全平方数、新定义问题 【详解】因为两位数的完全平方数有（提示：完全平方数指一个数能表示成某个整数的平方的形式），所以具有“性质”的三位数有，共4个． 故选：D. 3．（24-25高二上·山西大同·开学考试）某商场举办购物抽奖活动，其中将抽到的各位数字之和为8的四位数称为“幸运数”（如2024是“幸运数”），并获得一定的奖品，则首位数字为2的“幸运数”共有（    ） A．32个 B．28个 C．27个 D．24个 【答案】B 【分析】根据题意，“幸运数”的后三位数字的和为6，故可以分成七类进行计数，利用分类加法计数原理即得. 【详解】依题意，首位数字为2的“幸运数”中其它三位数字的组合有以下七类： ①“006”组合，有种，②“015”组合，有种，③“024”组合，有种， ④“033”组合，有种，⑤“114”组合，有种，⑥“123”组合，有种， ⑦“222”组合，有1种. 由分类加法计数原理，首位数字为2的“幸运数”共有个. 故选：B. 4．（23-24高二下·新疆克拉玛依·期中）在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的共有（    ）个 A．44 B．45 C．54 D．55 【答案】B 【分析】分别讨论个位上的数字是0和个位上的数字不是0两种情况，即可求出结果. 【详解】对于一个两位数，个位上的数字能取的值分别为：0~9之间的任意一个数字， 十位上的数字能取的值为：1~9之间的任意一个数字， 为使个位上的数字小于十位上的数字， 当个位上的数字是0时，十位上的数字可以取1~9之间的任意一个数字，共9种情况； 当个位上的数字不是0时，只需从1~9之间任取两个数字， 较大的数字当做十位上的数字即可，此时共有. 故满足题意的两位数共有个. 故选：B 5．（24-25高二下·广东东莞·阶段练习）用这五个数组成无重复数字的五位数，则不同的奇数共有（    ） A．24个 B．48个 C．60个 D．72个 【答案】B 【分析】根据分步乘法原理，先安排个位数字，再安排余下的4个位置． 【详解】根据题意，先安排个位数字，在3和5中选一个共有种， 再安排余下的4个位置，有种， 所以组成无重复数字的五位数，不同的奇数共有种． 故选：B． 6．（24-25高二下·江苏苏州·阶段练习）只用2，3，4，5四个数字组成一个五位数，规定这四个数字必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数有（   ） A．96 B．144 C．240 D．288 【答案】B 【分析】由分步乘法计数原理分三步求解即可. 【详解】从2，3，4，5四个数字选个作为重复数字，共有种选法， 将不重复的个数字全排列，有种排法， 不重复的个数字排好后形成个空位，从中选个空位插入重复数字， 共有种选法， 根据分步乘法计数原理，可得， 所以这样的五位数有个. 故选：. 题型3 染色问题 一、单选题 1．（23-24高二下·山东淄博·期中）如图，用四种不同颜色给矩形A、B、C、D涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（    ）    A．12种 B．24种 C．48种 D．72种 【答案】C 【分析】先A区域，再涂B，涂C，涂D，根据分步乘法计数原理可得解. 【详解】先A区域，再涂B，涂C，涂D，根据分步乘法计数原理共有种涂法. 故选：C. 2．（24-25高二上·全国·单元测试）用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域涂色，要求同一区域用同一种颜色，相邻区域使用不同颜色，则共有涂色方法（    ）    A．120种 B．720种 C．840种 D．960种 【答案】D 【分析】利用分步乘法计数原理可得答案. 【详解】有5种颜色可选，有4种颜色可选，有3种颜色可选， ，均有4种颜色可选，故共有涂色方法（种）． 故选：D. 3．（23-24高二下·江苏·期中）如图所示，一环形花坛分成四块，现有四种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的两块种不同的花，则不同的种法种数为（ ） A．96 B．84 C．60 D．48 【答案】B 【分析】按所用颜色数分类求解. 【详解】由题意，当用4种颜色时，有种方法； 当用3种颜色时，则同色或同色，有种方法； 当用2种颜色时，则同色且同色，有种方法； 故共有种方法. 故选：B. 4．（25-26高二上·上海·单元测试）如题图所示是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供选择，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有（    ）．    A．240种 B．300种 C．360种 D．420种 【答案】D 【分析】先安排中心区域A，再从B开始沿逆时针方向进行布置四周的区域，分D与B选用同一种和选用不同种类菊花两种情况，结合计数原理得到答案. 【详解】先布置中心区域A共有5种方法，从B开始沿逆时针方向进行布置四周的区域， 则B有4种布置方法，C有3种布置方法． 如果D与B选用同一种菊花，则E有3种布置方法； 如果D与B选用不同种类菊花，则D有2种布置方法，E有2种布置方法． 按照分步乘法与分类加法计数原理， 则全部的布置方法有（种）. 故选：D． 5．（24-25高二下·天津东丽·阶段练习）现给如图所示的五个区域A，B，C，D，E涂色，有5种不同的颜色可供选择，每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（   ）    A．420 B．340 C．260 D．120 【答案】A 【分析】讨论同色、同色，、一组同色一组不同色，的颜色互不相同，结合排列组合数求对应涂色方法，应用分类加法求不同涂色方案数. 【详解】若同色、同色，有，此时有3种涂法，共有种， 若同色、不同色，有，此时有种涂法，共有种， 同理同色、不同色也有120种， 若的颜色互不相同，则有种， 综上，共有种. 故选：A 6．（2025·辽宁·模拟预测）树人中学的科学社团设计了一块如下图所示的正反面内容相同的双面团牌，给团牌的正反两面6个区域涂色，有3种不同颜色可选，要求同面有公共边的区域不同色，同一区域的两面也不同色，则不同的涂色方法的种数为（    ） A．36 B．48 C．54 D．56 【答案】C 【分析】利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理，结合排列组合，计算求解. 【详解】若只用2种不同的颜色，则正反面的上下区域同色，中间区域涂剩下的一种颜色即可，所以有种涂色方法. 若用3种不同的颜色，当正反面都只用2种颜色时，有种涂色方法； 当正面用2种颜色，反面用3种颜色时，则在正面未用的颜色不能涂在反面的中间，所以有种涂色方法； 同理，当正面用3种颜色，反面用2种颜色时，也有种涂色方法； 当正反两面都用3种颜色时，有种涂色方法. 所以共有54种不同的涂色方法. 故选：C. 题型4 定序问题(倍缩法) 一、单选题 1．（24-25高二下·山东菏泽·阶段练习）某5位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来5位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（   ） A．21 B．30 C．42 D．60 【答案】C 【分析】结合排列数的运算，利用缩倍法求解即可. 【详解】7位同学排成一排准备照相时，共有种排法， 如果保持原来5位同学的相对顺序不变，则有种排法. 故选：C 2．（24-25高二下·全国·单元测试）小明参加“江南六地游”旅行，其中，，三地游览的先后顺序一定（游，，三地的顺序可以相邻也可以不相邻），则小明“江南六地游”旅行的不同的出游方法有（   ） A．120种 B．180种 C．240种 D．480种 【答案】A 【分析】由题意，小明参加“江南六地游”旅行，共有种，，，三地游览的顺序有种，利用除法可得结论. 【详解】由题意，小明参加“江南六地游”旅行，共有种，，，三地游览的顺序有种， 所以，，三地游览的先后顺序一定，小明“江南六地游”旅行共有种不同的出游方法． 故选：A. 3．（24-25高二下·全国·课后作业）春节是团圆的日子，为了烘托这一喜庆的气氛，某村组织了“村晚”．通过海选，现有6个自编节目需要安排演出，为了更好地突出演出效果，对这6个节目的演出顺序有如下要求：“杂技节目”排在后三位，“相声”与“小品”必须相继演出，则不同的演出方案有（    ） A．240种 B．188种 C．144种 D．120种 【答案】D 【分析】先将“相声”与“小品”排在一起再与其它4个节目排序，最后考虑杂技节目在前三位或在后三位情况一样,即可得出答案. 【详解】先将“相声”与“小品”排在一起，有种排法，再与其它4个节目排序，有种排法， 最后考虑杂技节目在前三位或在后三位情况一样，所以有种． 故选：D. 4．（24-25高二下·江苏淮安·阶段练习）如图所示，某码头有两堆集装箱，一堆2个，另一堆是3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运过程中不同取法的种数是（ ） A．10 B．20 C．60 D．120 【答案】A 【分析】根据排列即可求解. 【详解】如下图所示，对集装箱编号，则可知排列相对顺序为1,2,3（即1号箱子一定在2号箱子前被取走，2号箱子一定在3号箱子前被取走）4,5,故不同取法的种数是 ， 故选：A 二、填空题 5．（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有 种. 【答案】 【分析】利用捆绑法结合倍缩法可得出不同的下锅顺序种数. 【详解】根据题意，将香菌、新笋、豆腐干三种原料进行捆绑，且这三种原料无顺序， 茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅， 所以，不同的下锅顺序种数为种. 故答案为：. 题型5 分组分配问题 一、单选题 1．（24-25高二下·湖南长沙·阶段练习）若将4名志愿者分配到3个服务点参加抗疫工作，每人只去1个服务点，每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法共有（    ） A．36种 B．48种 C．96种 D．108种 【答案】A 【分析】利用分组分配方法求解即可. 【详解】将4个人分成3个组有种方法， 再将3个组分配到3个服务点有种方法， 故选:A. 2．（24-25高二下·北京顺义·阶段练习）北京市某高中高二年级5名学生参加“传承诗词文化，赓续青春华章”古诗词知识竞赛，比赛包含“唐诗”、“宋词”、“元曲”三个项目，规定每个项目至少有一名学生参加，则符合要求的参赛方法种类数为（    ） A．60 B．90 C．150 D．240 【答案】C 【分析】根据分组分配问题，结合排列组合即可求. 【详解】依题意5名同学参加三个项目比赛，每个项目至少有一名同学先分组再排列， 5人分为：1,1,3，则有种； 5人分为：1,2,2，则有种， 所以一共有种方法； 故选：C. 3．（24-25高二下·浙江杭州·阶段练习）甲、乙两位老师带领六位同学分别去、两所学校参加交流活动，甲、乙老师将去往不同的学校，甲老师的队伍中至少需要有两位学生，乙老师的队伍中至少需要有三位学生，且所有学生均参与活动，则不同的参会方案的种数为（  ） A．50 B．60 C．70 D．80 【答案】C 【分析】分两种情况，求出每种情况下的方案数相加可得结果. 【详解】甲老师的队伍有3位学生，乙老师的队伍有3位学生的情况有种， 甲老师的队伍有2位学生，乙老师的队伍有4位学生的情况有种情况， 故不同的参会方案的种数为. 故选：C 4．（24-25高二下·江西·阶段练习）将6本不同的书（包括1本物理书和1本历史书）平均分给甲、乙两人，其中物理书和历史书不能分给同一个人，则不同的分配种数是（    ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】利用分步乘法原理和分组分配方法求解. 【详解】第一步：把1本物理书和1本历史书分给两个人，1人一本，有种分配方法, 第二步：把剩下4本书平均的分给两个人，有种分配方法, 所以共有种分配方法， 故选:B. 5．（24-25高二下·福建福州·期中）距离期中考试即将到来的20天之际，平潭某中学高二（1）班的五位同学打算利用周末时间来亲近大自然，陶冶情操，释放压力.这五位同学准备星期六在平潭龙王头风景区、壳丘头遗址考古生态公园、北部湾生态风景区三个景点中选择一个进行游玩，已知每个景点至少有一位同学会选，五位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙准备选同一个景点，则不同的选法种数为（    ） A．46 B．56 C．36 D．66 【答案】C 【分析】将5人按两种方式分组，然后作全排求不同选法数. 【详解】将除甲乙外其他3人分成两组，有种，再把三组分配到三个景区有种； 把其他3人中的一个分到甲乙同一组，有种，再让余下2人各自成组，把三组人分配到三个景区有种； 所以共有种. 故选：C 6．（24-25高二上·湖北武汉·期末）某校举办中学生运动会，某班的甲，乙，丙，丁，戊名同学分别报名参加跳远，跳高，铅球，跑步个项目，每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名，且甲不能参加跳远，则不同的报名方法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】在甲单独参加某项比赛条件下，结合分堆问题的处理方法及分步乘法计数原理求满足条件的方法数，再在甲不单独参加某项比赛条件下，.由分步乘法计数原理及排列知识求满足条件的方法数，最后利用分类加法原理求结论. 【详解】满足条件的报名方法可分为两类： 第一类：甲单独参加某项比赛， 先安排甲，由于甲不能参加跳远，故甲的安排方法有种， 再将余下人，安排到与下的三个项目， 由于每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名， 故满足条件的报名方法有, 所以甲单独参加某项比赛的报名方法有种， 第二类：甲与其他一人一起参加某项比赛， 先选一人与甲一起，再将两人安排至某一项目，有种方法， 再安排余下三人，有种方法， 所以甲不单独参加某项比赛的报名方法有种， 所以满足条件的不同的报名方法共有种方法. 故选：C. 7．（23-24高二上·辽宁·期末）某校高二年级有8名同学计划高考后前往武当山､黄山､庐山三个景点旅游.已知8名同学中有4名男生，4名女生.每个景点至少有2名同学前往，每名同学仅选一处景点游玩，其中男生甲与女生不去同一处景点游玩，女生与女生去同一处景点游玩，则这8名同学游玩行程的方法数为（    ） A．564 B．484 C．386 D．640 【答案】A 【分析】先将不平均分组问题分成两大类，然后由排列组合知识结合加法、乘法计数原理即可得解. 【详解】8人分三组可分为2人，2人，4人和2人，3人，3人，共两种情况. 第一种情况分成2人，2人，4人：女生去同一处景点，当成2人组时， 其他6人分成2人，4人两组且男生甲与女生不同组，有种方法； 当在4人组时，有种方法. 第二种情况分成2人，3人，3人：当成2人组时，有种方法； 当在3人组时，有种方法. 故这8名同学游玩行程的方法数为. 故选：A. 题型6 两个二项式乘积展开问题 一、单选题 1．（2024·山东济南·三模）展开式中的系数为（    ） A． B．5 C．15 D．35 【答案】A 【分析】由分类、分步计数原理结合组合数即可运算求解. 【详解】若要产生这一项，则 当在中取1时，再在中取2个、取4个1， 当在中取时，再在中取3个、取3个1， 所以展开式中的系数为. 故选：A. 2．（24-25高二下·湖北·期中）的展开式中的系数为（   ） A．12 B．40 C．60 D．100 【答案】C 【分析】由，再写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】因为， 其中展开式的通项为（）， 所以的展开式中含的项为， 所以展开式中的系数为. 故选：C 3．（24-25高二上·湖南·阶段练习）若的展开式中的系数为，则a的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】利用二项展开式定理，即可求解. 【详解】因为，的展开式的通项公式为 所以，的展开式中的系数为， 解得， 故选：B. 4．（23-24高二下·云南丽江·阶段练习）在的展开式中，的系数为（    ） A．200 B．180 C．150 D．120 【答案】D 【分析】利用二项展开式的通项公式进行合理赋值即可得到答案. 【详解】的展开式的二项式通项为，令，则． 的展开式的二项式通项为， 令，可得． 故项的系数为． 故选：D. 5．（24-25高二上·甘肃白银·期末）若的展开式中含的系数为15，则实数（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据二项式展开式的通项公式列方程来求得的值. 【详解】的展开式的通项， 所以的展开式中含的系数为， 令，即，解得． 故选：D 题型7 三项展开式问题 一、单选题 1．（23-24高二下·湖北武汉·期末）的展开式中的系数是（    ） A．20 B．30 C．40 D．50 【答案】A 【分析】根据二项式定理的通项公式确定r的值即可求出系数. 【详解】因为的展开式中，通项公式 , 令，得，则， 又, 所以的系数为. 故选：A. 2．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）展开式中，的系数为（   ） A．320 B．320 C．240 D．240 【答案】D 【分析】根据已知二项式写出含的项，即可得答案. 【详解】由题设，含的项为. 所以的系数为. 故选：D 3．（23-24高二下·安徽阜阳·期末）的展开式中的系数为（    ） A．120 B．80 C．60 D．40 【答案】D 【分析】写出展开式通项，令指数为2，即可求解. 【详解】展开式通项为：， 令，即， 当时，的系数为； 当时，的系数为； 所以的系数为， 故选：D 4．（24-25高二下·宁夏银川·阶段练习）的展开式中常数项为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知及二项式定理写出相关展开式通项，进而令确定参数，即可得常数项. 【详解】由题设，， 对于，有，且为正整数， 令，则，故或或， 所以常数项为. 故选：A 5．（2025·河北保定·模拟预测）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D．20 【答案】B 【分析】根据二项式定理展开式计算即可. 【详解】先求展开式中含，的项， 易知，显然其不含， 含的项分别为：，， 所以在的展开式中， 的系数为. 故选：B. 题型8 赋值法解决系数问题 一、单选题 1．（24-25高二下·北京·阶段练习）若且，则实数m的值为（   ） A．1 B． C． D．1或 【答案】D 【分析】采用赋值法令代入计算可得结果. 【详解】令可得， 因此可得，解得或. 故选：D 2．（2025·福建泉州·二模）若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（    ） A．32 B．64 C．80 D．16 【答案】C 【分析】根据二项式系数和公式可得，利用赋值法可得，即可利用二项式展开式的通项特征求解. 【详解】因为的二项式系数之和为32，则，解得， 即二项式为， 因为展开式各项系数和为243，令，代入可得，解得， 即二项式为，则该二项式展开式的通项为， 令，解得，则展开式中的系数为. 故选：C 3．（2025高二·全国·专题练习）已知，则等于（    ） A．1094 B．1093 C． D． 【答案】D 【分析】利用赋值法即可得所求系数之和. 【详解】令，得， 再令，所以， 两式相加再除以得：， 故选：D. 4．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知二项式，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用赋值法可得特定项的系数及项的系数之和. 【详解】, 令，则， 即， 又， 所以， 故选：D. 5．（24-25高二上·辽宁·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二项式定理展开式的通项公式，结合赋值法逐项计算可判断每个选项的正误. 【详解】由， 所以，，皆为负值，，，皆为正值，令，则， 令，则①，故C项错误； 即，故A项正确； 由①知，故B项错误； 在中， 令，则，故D项错误. 故选：A. 6．（24-25高二上·广西·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合二项式定理，利用赋值法逐项求解各个选项即可. 【详解】令，得，故A不正确； 令，得，所以，故B不正确； 令，得， 所以，故C正确； 令，得，所以D不正确. 故选：C 7．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知，则（    ） A．9 B．10 C．19 D．29 【答案】C 【分析】先将等式两边同时乘以，再将两边同时求导后，令可得. 【详解】因为， 所以 分别对两边进行求导得 ， 令，得， 所以， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题关键将原式两边同时乘以，再将两边对求导. 题型9 二项式定理中系数最大问题 一、单选题 1．（24-25高二上·云南昆明·阶段练习）若的展开式中第2项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【答案】C 【分析】由的展开式的二项式系数和项的系数相等，因此由题意可得，求出，即可求得展开式中系数最大的项. 【详解】由的展开式中第2项与第8项的系数相等， 由的展开式的二项式系数和项的系数相等， 所以，所以， 则展开式中共有9项，系数最大的项为第5项， 故选：C． 2．（24-25高二上·重庆长寿·期末）设，则中最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二项展开式的通项公式，得展开式各项的系数与二项式系数相等或互为相反数，再利用二式系数的性质，即可求解. 【详解】因为展开式的通项公式为， 所以展开式各项的系数与二项式系数相等或互为相反数， 又由二项式系数的性质知，二项式系数最大的项为第五、第六项，即，， 所以中最大的是. 故选：B. 3．（24-25高二下·全国·课后作业）的展开式中系数最小的项和二项式系数最大的项分别为（    ） A．第1项和第3项 B．第2项和第4项 C．第3项和第1项 D．第4项和第2项 【答案】B 【分析】写出的二项展开式的通项，进而可知项的系数为，进而可知当取奇数时，系数为负值，因此分别求出、、时的项的系数，进而可知最小值；因为的展开式有7项，因此中间一项的二项式系数最大. 【详解】的展开式的通项为， 当取奇数时，系数为负值， 当时，，当时，，当时，， 所以第2项的系数最小； 因为的展开式有7项，所以中间一项的二项式系数最大，即第项的二项式系数最大. 故选：B. 4．（23-24高二下·上海长宁·期末）二项式的展开式中，系数最大项的是（    ） A．第项 B．第项和第项 C．第项 D．第项 【答案】A 【分析】根据该展开式中项的系数与二项式系数的关系，结合二项式中最大系数的项，分析中间的两项即可． 【详解】由二项展开式的通项公式， 可知系数为，与二项式系数相比只是符号的区别， 二项式系数最大的项为第项和第项， 又由第项系数为， 第项系数为， 故系数最大项为第项. 故选：A. 5．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据第4项的二项式系数最大求出，再通过通项公式得出展开式中项的系数为，接着由即可求解. 【详解】由题意二项式系数仅最大，故， 所以二项式为，其通项公式为， 设二项式展开式中第项的系数最大，则有， ，即，故，经经验符合题意， 所以展开式中系数最大的项是第3项. 故选：B. 6．（24-25高二下·广东深圳·阶段练习）在的展开式中，若仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（  ）项. A． B． C．2或3 D．3或4 【答案】D 【分析】首先根据二项式系数最大值问题求，再根据第项的系数大于前一项，也大于后一项，根据不等式，即可求解. 【详解】由的展开式中，仅第5项的二项式系数最大，得展开式共9项，则， 的展开式的通项公式， 设展开式中系数最大项是，则，即， 解得，而，因此或，，， 所以展开式中系数最大的项是第3或4项. 故选：D. 题型10 整除和余数问题 一、单选题 1．（24-25高二下·山东菏泽·阶段练习）我国农历用“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”这12种动物按顺序轮流代表各年的生肖年号.已知2024年是龙年，那么年后是（   ） A．羊年 B．马年 C．龙年 D．兔年 【答案】A 【分析】根据，结合二项式展开式的性质及余数，即可期间. 【详解】由 ，故除以12的余数为1. 故除以12的余数为3，所以年后是羊年. 故选：A 2．（23-24高二下·河北秦皇岛·阶段练习）被10除所得的余数为（    ） A．1 B．2 C．0 D．9 【答案】C 【分析】显然211被10除所得的余数为1，故只需由二项式定理求得被10除所得的余数即可. 【详解】 ， 因为能被10整除， 所以被10除所得的余数9； 因为211被10除所得的余数为1，所以被10除所得的余数为0． 故选：C. 3．（23-24高二下·江苏镇江·期中）的个位数是（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】A 【分析】由二项式定理即可求解. 【详解】因为， 而是10的倍数， 所以的个位数是. 故选：A. 4．（24-25高二下·河南驻马店·阶段练习）已知除以13所得余数为m，除以14所得余数为n，则（   ） A．1 B． C．13 D．14 【答案】C 【分析】由，，结合二项式定理即可求解. 【详解】因为， 所以除以13所得余数为1，则； 因为， 所以除以14所得余数为13，则，因此． 故选：C 5．（24-25高二下·湖北·阶段练习）南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设、、为整数，若和被除得余数相同，则称和对模同余，记为．已知，若，，则的值可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】写出二项展开式通项，分析可知，当为奇数时，；当为偶数时，.利用赋值法可求出，利用二项展开式求出被除的余数，即可得出合适的选项. 【详解】的展开式通项为， 又因为， 所以，， 当为奇数时，；当为偶数时，. 令，则， 所以，， 所以， 又， 故被除余，而被除余数为，被整除，被除余数为， 被除余数为， 故选：A. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专练01 排列组合与二项式定理必刷题型（10大题型56题） 题型1 相邻与不相邻问题 一、单选题 1．（24-25高二下·广东汕头·期中）年春节档共有部影片定档，某影城根据第一周的观影情况，决定第二周只播放其中的《哪吒之魔童闹海》、《唐探》、《熊出没·重启未来》及《蛟龙行动》．为了家庭中的大人和孩子观影便利，该影城对第、周影片播放顺序做出如下要求：《哪吒之魔童闹海》不排第一场，《熊出没·重启未来》不排最后一场，《蛟龙行动》和《熊出没·重启未来》必须连续安排，则不同的安排方式有（   ） A．种 B．种 C．10种 D．种 2．（23-24高二下·新疆·期末）一场文艺汇演中共有2个小品节目､2个歌唱类节目和3个舞蹈类节目，若要求2个小品类节目演出顺序不相邻且不在第一个表演，则不同的演出顺序共有（   ） A．480种 B．1200种 C．2400种 D．5040种 3．（24-25高二下·湖南·阶段练习）某校文艺汇演上有一个合晿节目，3名女同学和4名男同学需从左至右排成一排上台演唱，则男生甲与女生乙相邻，且男生丙与女生丁相邻的排法种数为（   ） A．194 B．240 C．388 D．480 4．（24-25高二下·陕西·阶段练习）2024年4月26日，神舟十九号与神舟十八号航天员顺利会师中国空间站，激发了全国人民的民族自豪感和爱国热情．齐聚“天宫”的6名宇航员分别是“70后”蔡旭哲、“80后”叶光富、李聪、李广苏，“90后”宋令东、王浩泽．为记录这一历史时刻，大家准备拍一张“全家福”．假设6人站成一排，要求三位“80后”相邻，两位“90后”不相邻，则不同的站法共有（    ） A．32种 B．48种 C．64种 D．72种 5．（24-25高二下·天津·阶段练习）天津国家海洋博物馆，位于天津市滨海新区中新生态城，是集收藏、展示、研究、教育为一体的国家级综合性海洋博物馆.博物馆每周一闭馆，周二至周日开放（节假日除外）.某学校计划于年月日（周二）至月日（周日）组织高二、高二、高二年级的同学去天津国家海洋博物馆参观研学（此周学生不休息），每天只能有一个年级参观，其中高二年级需要连续两天，高二、高二年级各需要一天，则不同的方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 6．（24-25高二下·上海松江·阶段练习）某手机专卖店新进，，，，，，这7款充电宝，准备将它们在货柜里摆成一排售卖，则下列说法不正确的是（    ） A．若，，必须摆在前三个位置，则不同的摆法有144种 B．若，，彼此不相邻，，，，也彼此不相邻，则不同的摆法有72种 C．若，，彼此不相邻，则不同的摆法有1440种 D．若不能摆在后两个位置，则不同的摆法有3600种 题型2 排数问题 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）从2，3，，8中任意取三个不同的数字，组成无重复数字的三位数，要求个位数最大，百位数最小，则这样的三位数的个数为（    ） A．35 B．42 C．105 D．210 2．（2024·全国·模拟预测）对于各数位均不为0的三位数，若两位数和均为完全平方数，则称具有“性质”，则具有“性质”的三位数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高二上·山西大同·开学考试）某商场举办购物抽奖活动，其中将抽到的各位数字之和为8的四位数称为“幸运数”（如2024是“幸运数”），并获得一定的奖品，则首位数字为2的“幸运数”共有（    ） A．32个 B．28个 C．27个 D．24个 4．（23-24高二下·新疆克拉玛依·期中）在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的共有（    ）个 A．44 B．45 C．54 D．55 5．（24-25高二下·广东东莞·阶段练习）用这五个数组成无重复数字的五位数，则不同的奇数共有（    ） A．24个 B．48个 C．60个 D．72个 6．（24-25高二下·江苏苏州·阶段练习）只用2，3，4，5四个数字组成一个五位数，规定这四个数字必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数有（   ） A．96 B．144 C．240 D．288 题型3 染色问题 一、单选题 1．（23-24高二下·山东淄博·期中）如图，用四种不同颜色给矩形A、B、C、D涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（    ）    A．12种 B．24种 C．48种 D．72种 2．（24-25高二上·全国·单元测试）用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域涂色，要求同一区域用同一种颜色，相邻区域使用不同颜色，则共有涂色方法（    ）    A．120种 B．720种 C．840种 D．960种 3．（23-24高二下·江苏·期中）如图所示，一环形花坛分成四块，现有四种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的两块种不同的花，则不同的种法种数为（ ） A．96 B．84 C．60 D．48 4．（25-26高二上·上海·单元测试）如题图所示是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供选择，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有（    ）．    A．240种 B．300种 C．360种 D．420种 5．（24-25高二下·天津东丽·阶段练习）现给如图所示的五个区域A，B，C，D，E涂色，有5种不同的颜色可供选择，每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（   ）    A．420 B．340 C．260 D．120 6．（2025·辽宁·模拟预测）树人中学的科学社团设计了一块如下图所示的正反面内容相同的双面团牌，给团牌的正反两面6个区域涂色，有3种不同颜色可选，要求同面有公共边的区域不同色，同一区域的两面也不同色，则不同的涂色方法的种数为（    ） A．36 B．48 C．54 D．56 题型4 定序问题(倍缩法) 一、单选题 1．（24-25高二下·山东菏泽·阶段练习）某5位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来5位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（   ） A．21 B．30 C．42 D．60 2．（24-25高二下·全国·单元测试）小明参加“江南六地游”旅行，其中，，三地游览的先后顺序一定（游，，三地的顺序可以相邻也可以不相邻），则小明“江南六地游”旅行的不同的出游方法有（   ） A．120种 B．180种 C．240种 D．480种 3．（24-25高二下·全国·课后作业）春节是团圆的日子，为了烘托这一喜庆的气氛，某村组织了“村晚”．通过海选，现有6个自编节目需要安排演出，为了更好地突出演出效果，对这6个节目的演出顺序有如下要求：“杂技节目”排在后三位，“相声”与“小品”必须相继演出，则不同的演出方案有（    ） A．240种 B．188种 C．144种 D．120种 4．（24-25高二下·江苏淮安·阶段练习）如图所示，某码头有两堆集装箱，一堆2个，另一堆是3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运过程中不同取法的种数是（ ） A．10 B．20 C．60 D．120 二、填空题 5．（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有 种. 题型5 分组分配问题 一、单选题 1．（24-25高二下·湖南长沙·阶段练习）若将4名志愿者分配到3个服务点参加抗疫工作，每人只去1个服务点，每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法共有（    ） A．36种 B．48种 C．96种 D．108种 2．（24-25高二下·北京顺义·阶段练习）北京市某高中高二年级5名学生参加“传承诗词文化，赓续青春华章”古诗词知识竞赛，比赛包含“唐诗”、“宋词”、“元曲”三个项目，规定每个项目至少有一名学生参加，则符合要求的参赛方法种类数为（    ） A．60 B．90 C．150 D．240 3．（24-25高二下·浙江杭州·阶段练习）甲、乙两位老师带领六位同学分别去、两所学校参加交流活动，甲、乙老师将去往不同的学校，甲老师的队伍中至少需要有两位学生，乙老师的队伍中至少需要有三位学生，且所有学生均参与活动，则不同的参会方案的种数为（  ） A．50 B．60 C．70 D．80 4．（24-25高二下·江西·阶段练习）将6本不同的书（包括1本物理书和1本历史书）平均分给甲、乙两人，其中物理书和历史书不能分给同一个人，则不同的分配种数是（    ） A．6 B．12 C．18 D．24 5．（24-25高二下·福建福州·期中）距离期中考试即将到来的20天之际，平潭某中学高二（1）班的五位同学打算利用周末时间来亲近大自然，陶冶情操，释放压力.这五位同学准备星期六在平潭龙王头风景区、壳丘头遗址考古生态公园、北部湾生态风景区三个景点中选择一个进行游玩，已知每个景点至少有一位同学会选，五位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙准备选同一个景点，则不同的选法种数为（    ） A．46 B．56 C．36 D．66 6．（24-25高二上·湖北武汉·期末）某校举办中学生运动会，某班的甲，乙，丙，丁，戊名同学分别报名参加跳远，跳高，铅球，跑步个项目，每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名，且甲不能参加跳远，则不同的报名方法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 7．（23-24高二上·辽宁·期末）某校高二年级有8名同学计划高考后前往武当山､黄山､庐山三个景点旅游.已知8名同学中有4名男生，4名女生.每个景点至少有2名同学前往，每名同学仅选一处景点游玩，其中男生甲与女生不去同一处景点游玩，女生与女生去同一处景点游玩，则这8名同学游玩行程的方法数为（    ） A．564 B．484 C．386 D．640 题型6 两个二项式乘积展开问题 一、单选题 1．（2024·山东济南·三模）展开式中的系数为（    ） A． B．5 C．15 D．35 2．（24-25高二下·湖北·期中）的展开式中的系数为（   ） A．12 B．40 C．60 D．100 3．（24-25高二上·湖南·阶段练习）若的展开式中的系数为，则a的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 4．（23-24高二下·云南丽江·阶段练习）在的展开式中，的系数为（    ） A．200 B．180 C．150 D．120 5．（24-25高二上·甘肃白银·期末）若的展开式中含的系数为15，则实数（    ） A．2 B．1 C． D． 题型7 三项展开式问题 一、单选题 1．（23-24高二下·湖北武汉·期末）的展开式中的系数是（    ） A．20 B．30 C．40 D．50 2．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）展开式中，的系数为（   ） A．320 B．320 C．240 D．240 3．（23-24高二下·安徽阜阳·期末）的展开式中的系数为（    ） A．120 B．80 C．60 D．40 4．（24-25高二下·宁夏银川·阶段练习）的展开式中常数项为（  ） A． B． C． D． 5．（2025·河北保定·模拟预测）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D．20 题型8 赋值法解决系数问题 一、单选题 1．（24-25高二下·北京·阶段练习）若且，则实数m的值为（   ） A．1 B． C． D．1或 2．（2025·福建泉州·二模）若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（    ） A．32 B．64 C．80 D．16 3．（2025高二·全国·专题练习）已知，则等于（    ） A．1094 B．1093 C． D． 4．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知二项式，则 （    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·辽宁·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·广西·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知，则（    ） A．9 B．10 C．19 D．29 题型9 二项式定理中系数最大问题 一、单选题 1．（24-25高二上·云南昆明·阶段练习）若的展开式中第2项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 2．（24-25高二上·重庆长寿·期末）设，则中最大的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·全国·课后作业）的展开式中系数最小的项和二项式系数最大的项分别为（    ） A．第1项和第3项 B．第2项和第4项 C．第3项和第1项 D．第4项和第2项 4．（23-24高二下·上海长宁·期末）二项式的展开式中，系数最大项的是（    ） A．第项 B．第项和第项 C．第项 D．第项 5．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．5 6．（24-25高二下·广东深圳·阶段练习）在的展开式中，若仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（  ）项. A． B． C．2或3 D．3或4 题型10 整除和余数问题 一、单选题 1．（24-25高二下·山东菏泽·阶段练习）我国农历用“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”这12种动物按顺序轮流代表各年的生肖年号.已知2024年是龙年，那么年后是（   ） A．羊年 B．马年 C．龙年 D．兔年 2．（23-24高二下·河北秦皇岛·阶段练习）被10除所得的余数为（    ） A．1 B．2 C．0 D．9 3．（23-24高二下·江苏镇江·期中）的个位数是（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 4．（24-25高二下·河南驻马店·阶段练习）已知除以13所得余数为m，除以14所得余数为n，则（   ） A．1 B． C．13 D．14 5．（24-25高二下·湖北·阶段练习）南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设、、为整数，若和被除得余数相同，则称和对模同余，记为．已知，若，，则的值可以是（ ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$