4.3+用乘法公式分解因式第2课时 课件 2025-2026学年浙教版数学七年级下册

浙教版 七年级 数学 下册 4.3 用乘法公式分解因式 第4章 因式分解 第2课时 教学目标 1. 会用完全平方公式分解因式 2. 会综合运用提取公因式法、公式法分解因式 3. 经历利用完全平方公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，培养运算能力和推理能力 下面的因式分解正确吗？为什么？ 复习回顾 知识回顾 问题：1.因式分解的一般步骤是什么？ 有公因式先提公因式，再检查是否可用平方差公式. 问题2：因式分解的平方差公式与整式乘法的平方差公式有什么关系? 方向相反的等式变形. 知识回顾 问题3：除了平方差公式我们还学过其他乘法公式吗？ 完全平方公式: (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 乘法运算 我们把完全平方公式反过来写，可得: a2+2ab+b2=(a+b)2, a2-2ab+b2 = (a-b)2 因式分解 可得： 由完全平方公式： 两数的平方和，加上 这两数的 积的2倍，等于这两数和 的平方。 （或者减去） （或者差） 新知探究 概念生成 我们把多项式 及 称为完全平方式。 辨析：下列多项式中，哪些是完全平方式？ 是 是 不是 不是 02 知识精讲 用完全平方公式分解因式： 由完全平方公式： ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2，( a - b )2 = a2 - 2ab + b2，可得： a2 + 2ab + b2 = ( a + b )2；a2 - 2ab + b2 = ( a - b )2。 两数的平方和，加上(或者减去)这两数的积的2倍， 等于这两数和(或者差)的平方。 因式分解 整式乘法 ( a ± b )2 a2 ± 2ab + b2 02 知识精讲 完全平方式： 我们把多项式a2 + 2ab + b2及a2 - 2ab + b2叫作完全平方式。 在运用完全平方公式进行因式分解时， 关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式。 eg：9x2 - 6x + 1 = ( 3x )2 - 2·( 3x )·1 + 12 = ( 3x - 1 )2。 a2 - 2 a b + b2 = ( a - b )2 两个数的平方和，加上(或减去)这两个数的积的两倍等于 这两数和(或者差)的平方 完全平方式 a2+2ab+b2 a2-2ab+b2 =(a+b)2 =(a-b)2 整式乘法的完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 完全平方式 新知讲解 新知讲解 我们把多项式 a2+2ab+b2 及 a2-2ab+b2 叫作完全平方式。在运用完全平方公式进行因式分解时, 关键 是 判断 这个多项式是不是一个完全平方式。 9x2-6x+1=( )2-2·( )·1+12=( )2 3x 3x 3x－1 a2 - 2 a b + b2=（a - b)2 一般地，利用公式a2-b2=(a-b)(a+b), 或 a2+2ab+b2=(a±b)2 把个多项式分解因式的方法, 叫作公式法 完全平方式： 特征：（1）多项式有3项； （2）两项平方项，且符号都为正，另 一项为中间项（这两项积的2倍）。 新知归纳 用完全平方公式分解因式的关键是： 判断这个多项式是不是一个完全平方式。 先确定平方项，再检查剩余项是否符合 这两项积的2倍（中间项）。 判断方法： 能用完全平方公式因式分解吗？ 新知归纳 公式中的a,b可以是数，也可以是整式。 02 知识精讲 公式法： 一般地，利用公式a2 - b2 = ( a + b ) ( a - b )， 或a2 ± 2ab + b2 = ( a ± b )2把一 个多项式分解因式的方法， 叫作公式法。 做 一做 02 知识精讲 填写下表： 多项式 是不是完全平方式 表示成( a + b )2或( a - b )2的形式 a，b各表示什么 x2 - 6x + 9 是 ( x - 3 )2 a表示x，b表示3 4y2 + 4y + 1 1 + 4a2 x2 + x + 1 + m + 4y2 - 12xy + 9x2 是 ( 2y + 1 )2 a表示2y，b表示1 不是 不是 是 ( 1 + )2 a表示1，b表示 是 ( 2y - 3x )2 a表示2y，b表示3x 归纳总结 定义：由两个数的平方加上或减去两个数的积的2倍构成的多项式叫做完全平方式. a2+2ab+b2 a2-2ab+b2 =(a+b)2 =(a-b)2 1、含有三项； 2、其中两项可写成两数的平方和的形式，另一项刚好是两项积的2倍； 3、a和b即可以是数，也可以是单项式或多项式. 完全平方式的特点： 新知讲解 2026/5/15 16 方法应用 多项式 整式的积 因式分解 利用完全平方公式 把相等的代数式用线连起来。 例1 把下列各式分解因式： 例题解析 解：原式 解： 首项为负时，需在负号后面添上括号。 02 知识精讲 例2 把下列各式分解因式： ( 1 ) 4a2 + 12ab + 9b2； ( 2 ) -x2 + 4xy - 4y2； ( 3 ) 3ax2 + 6axy + 3ay2。 解：( 1 ) 4a2 + 12ab + 9b2 = ( 2a )2 + 2·( 2a )·( 3b ) + ( 3b )2 = ( 2a + 3b )2； ( 2 ) -x2 + 4xy - 4y2 = - ( x2 - 4xy + 4y2 ) = - [x2 - 2·x·( 2y ) + ( 2y )2] = - ( x - 2y )2； ( 3 ) 3ax2 + 6axy + 3ay2 = 3a ( x2 + 2xy + y2 ) = 3a ( x + y )2。 02 知识精讲 例3 分解因式：( 2x + y )2 - 6 ( 2x + y ) + 9。 分析：把( 2x + y )看作一个整体，多项式就是一个关于( 2x + y )的完全平方式。 解：( 2x + y )2 - 6 ( 2x + y ) + 9 = ( 2x + y )2 - 2·( 2x + y )·3 + 32 = [( 2x + y ) - 3]2 = ( 2x + y - 3 )2。 例4 分解因式： 一“提”： 有公因式，先提取公因式 二“用”： 运用公式，用公式法（平方差公式、完全平方公式）来分解因式 三“查”： 因式分解要彻底，分解到不能再分解为止 例题解析 解：原式 解：原式 整体思想 有公因式要先提公因式 分解因式： 巩固练习 解：原式=(2y+1)2 解：原式=3ab(9a2-b2)=3ab(3a+b)(3a-b) 解：原式=(a-b-5)2 02 知识精讲 因式分解的综合： ( 1 ) 通常，把一个多项式分解因式， 应先提公因式，再运用公式， 重点强调：因式分解的第一步永远都是提公因式； ( 2 ) 进行多项式因式分解时， 必须把每一个因式都分解到不能再分解为止。 典例精析 例3：把下列各式分解因式： (1)原式=(2a)2+2·2a·3b+(3b)2 =(2a+3b)2 (2) 原式=-(x2-4xy+4y2) =-[x2-2·x·(2y)+(2y)2] =-(x-2y)2 (3) 原式=3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y)2 首项有负先提负 1. 能提公因式先提公因式 2. 符合公式再分解 课后总结 用完全平方公式分解因式： 由完全平方公式：( a + b )2 = a2 + 2ab + b2，( a - b )2 = a2 - 2ab + b2，可得： a2 + 2ab + b2 = ( a + b )2；a2 - 2ab + b2 = ( a - b )2。 两数的平方和，加上(或者减去)这两数的积的2倍，等于这两数和(或者差)的平方。 完全平方式： 我们把多项式a2 + 2ab + b2及a2 - 2ab + b2叫作完全平方式。 在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式。 因式分解的综合： ( 1 ) 通常，把一个多项式分解因式，应先提公因式，再运用公式， 重点强调：因式分解的第一步永远都是提公因式； ( 2 ) 进行多项式因式分解时，必须把每一个因式都分解到不能再分解为止。 知识梳理 归纳1： 若多项式可先转化为 的形式，那么可用完全平方公式来分解。 归纳2：①公式中 a、b可以是数也可以是整式 ②整体思想 归纳3：①分解因式时有公因式的，要先提取公因式 ②因式分解要分解彻底 $