10.3乘法公式第2课时完全平方公式　课件　2024—2025学年青岛版数学七年级下册

第10章 整式的乘法与除法 数与式 ………… 青岛版 七年级下册 内容提要 幂的运算 整式的乘法 乘法公式 代数式 整式 整式的加减 整式的除法 整式的乘除 乘法公式 温故而知新 1.平方差公式： 两数和与这两数差的积,等于它们的平方差. (a+b)(a−b)=a2−b2 2.平方差公式的特点： 相同的项为a，异号的项为b. (1)两个二项式相乘；(2)有一项相同，另一项互为相反数。 右边是相同项的平方减去相反项的平方。 如图，某中学计划将一个边长为xm的正方形花坛，如果每条边的长度都增加2m，新花坛的面积是多少?如果都减少1m呢? 观察与发现 由于新花坛依然呈正方形， 因此改造后的花坛面积分别为： (x+2)² 和(x一1)²这两个式子有什么特征？如何计算？ (x+2)²m2 创设情境 导入新课 这两个式子都表示两个相同多项式的积，既和或差的平方形式。这也是一种特殊形式的整式乘法。 (x一1)²m²， 类比平方差公式的学习过程，下面我们将研究形如(x+2)² 和(x一1)²都表示两个相同多项式的积，既和或差的平方形式，这种特殊形式的整式乘法------完全平方公式。 创设情境 导入新课 10.3 乘法公式 第10章 整式的乘法与除法 第2课时 完全平方公式 5 新知探究一 完全平方公式 观察与发现 （1）如何计算(x+2)² 和(x一1)²？ (x+2)² =(x+2)（x+2) =x2+4x+4; =x·x+x·2+2·x+2×2 =x2+2x+2x+4 (x一1)² =(x-1)（x-1) =x·x - x·1-1·x+（-1）×（-1） =x2-x-x+1 =x2-2x+1 能否用平方差公式计算？ 新知探究一 完全平方公式 观察与发现 (2)观察上面的算式及其运算结果，你有什么发现? 1.上面的算式表示的是两数和(差)的平方的运算。 (x+2)² =x2+4x +4; (x一1)² =x2-2x +1 2.其运算结果有三项，分别是这两个数的平方和， 加上这两个数乘积的二倍。 换成其他数或式还符合这个规律吗？ 新知探究一 完全平方公式 思考与交流 （3）计算下列算式： (x+5)²= ; (2y-1)²= . x2+10x+25 4y2-4y+1 两数和(差)的平方的运算。 其运算结果有三项，分别是这两个数的平方和， 加上这两个数乘积的二倍。 能得出 一般式吗？ 猜想：(a + b)2= ； (a－ b)2= 。 新知探究一 完全平方公式 思考与交流 a2+2ab+b2 a2-2ab+b2 (a + b)2 =(a + b)(a + b) =a2 +a b+ab + b2 =a2+2ab+b2 (a－ b)2 =(a－ b)(a－ b) =a2 -a b+ab - b2 =a2-2ab+b2 两数和(差)的平方等于这两个数的平方和加上或减去 这两个数乘积的二倍。 概括与表达 新知探究一 完全平方公式 完全平方公式 两个数的和(差)的平方，等于这两个数的平方和加上（或减去）它们乘积的二倍。 (a + b)2=a2+2ab+b2 (a－ b)2= a2-2ab+b2 ⑴ 四块实验田的面积分别为： ____ 、 ____ 、 ____ 、 ____ 。 ⑵ 两种形式表示实验田的总面积： ① 整体看：边长为 的大正方形， S= ； ② 部分看：四块面积的和，S= 。 a b b 1.观察图形，回答： 新知探究二 完全平方公式几何验证 根据面积相等，验证 . a2 b2 ab ab (a + b) (a + b)2 a2 +a b+ab + b2 (a + b)2=a2+2ab+b2 a a b b (a-b)² a² ab ab b² b b 新知探究二 完全平方公式几何验证 利用几何图形怎样验证 (a－ b)2= a2-2ab+b2？ (a－ b)2 表示哪一个图形的面积？ a2 -ab -ab +b2 这一个图形的面积还可以怎么表示？ = a2-2ab+b2 根据面积相等，验证 . (a－ b)2= a2-2ab+b2 (a+b) 2=a2+2ab+b2 (a－b) 2=a2－2ab+b2 完全平方公式： 两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和加上（或减去）这两数积的2倍. 完全平方公式的特征 结构特点： 左边是一个二项式（和或差）的完全平方； 右边是一个二次三项式，其中有两项是平方的形式且符号相同，还有一项是它们乘积的2倍，正负均可。 语言描述： 简记为： “首平方，尾平方， 积的2倍放中间。” ⑴ (x+2y)2 解: ⑴ ( x +2y)2 = x2 + 2 ·x ·2y + (2y)2 + 2 a b a 2 ( a + b )2 = + b 2 + b 2 = x 2 + 4xy + 4y2 注意括号哦 x a 2y b a 2 + 2 a b 分析：使用完全平方公式与平方差公式的使用一样,先把要计算的式子与完全平方公式对照,明确个是 a , 哪个是 b. 例1.计算下列各题： (2) (x-2y)2 例题讲析 (x-2y)2= =x2 (2) (x-2y)2 (a - b)2= a2 - 2 ab + b2 x2 -2•x •2y +(2y)2 -4xy +4y2 归纳与总结 利用完全平方公式计算的基本步骤: ①确定公式中的a和b; ②确定和差关系; ③选择公式; ④计算结果. 注意：公式中的字母a,b可以表示具体的数,也可以表示含字母的单项式或多项式. 针对练习 练习1.计算下列各式 ⑴ (x+3)2 （2） (x+6)2 （3） (x-2)2 （4） (x-1)2 =x2 +2•x•3 + 32 =x2 +6x +9 =x2 +2•x•6 + 62 =x2 +12x + 36 =x2 -2•x•2 + 22 =x2 +4x + 4 =x2 -2•x•1 + 12 =x2 -2x + 1 例2：利用完全平方公式计算： (1) (2) 解： 例题讲析 (1)(2m-5n)2 =(2m)2-2·2m·5n+(5n)2 =4x2-20x+25n2.  解:(1)(2x-3)2 =(2x)2-2·2x·3+32 =4x2-12x+9. (1)(2x-3)2 (2)(4x+5y)2 =(4x)2+2·4x·5y+(5y)2 =16x2+40xy+25y2. (2)(4x+5y)2 (3)(mn-a)2 =(mn)2-2·mn·a+a2 =m2n2-2amn+a2. (3)(mn-a)2 针对练习 练习2.计算下列各式 例题讲析 例3.利用完全平方公式计算： （1）（－3a＋b）2； （2）（－3m－4n）2； ＝9a2－6ab＋b2. 方法二： 原式＝[－（3m＋4n）]2 ＝（3m）2＋2·3m·4n＋（4n）2 ＝9m2＋24mn＋16n2. 解：=[－（3a－b）]2 ＝（3a－b）2 ＝（3a）2－2·3a·b＋b2 方法一： ＝（－3m）2－2·（－3m）·4n+（4n）2 ＝9m2＋24mn＋16n2. 针对练习 练习3.计算下列各式 （1）（－4a－3b）2； （2） ( x－ y2 ) 2； 解：原式＝（4a＋3b）2 ＝（4a）2＋2×4a×3b＋（3b）2 ＝16a2＋24ab＋9b2； ＝ －2× x× y2＋ ＝ x2－ xy2＋ y4. 怎样计算1012，1972更简单呢? 你是怎样做的?与同伴进行交流。 新知探究三 完全平方公式的应用 思考与交流 (1) 1012=(100+1)2 =1002+2×100×1+12 =10000+200+1 =10201 (2)1972=(200-3)2 =2002-2×200×3+32 =40000-1200+9 =38809 （1）2032， （2）982 针对练习 练习3.利用完全平方公式计算： (1) 2032=(200+3)2 =2002+2×200×3+32 =40000+1200+9 =41209 (2)982=(100-2)2 =1002-2×100×2+22 =10000-400+4 =9604 完全平方公式 结果是三项，不要漏掉中间项 (a±b)2=a2±2ab+b2 两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍 符号表示 注意 内容 中间项的符号要正确 图形变形前后阴影部分面积相等 几何解释 课堂小结 $$