第六章 习题课 平面向量中的最值与范围问题-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（人教A版2019）

习题课　平面向量中的最值与范围问题 ［学习目标］　会利用向量的定义及运算求解最值与范围问题.(重难点) 导语 平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量的夹角、系数的范围等等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合. 一、线性运算中的最值与范围问题 例1　已知向量a，b，c满足a=(3，0)，b=(0，4)，c=λa+(1-λ)b，则|c|的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　∵a=(3，0)，b=(0，4)，c=λa+(1-λ)b=(3λ，4-4λ)， ∴|c|===≥=， 当且仅当λ=时，等号成立，故|c|的最小值为. 反思感悟　利用向量模的公式，把问题转化为二次函数的最值问题，应注意变量的取值范围. 跟踪训练1　设=(1，-2)，=(2m，-1)，=(-2n，0)(m，n∈R，O为坐标原点)，若A，B，C三点共线，则m+n的最大值为(　　) A.-3 B.-2 C.2 D.3 答案　A 解析　由题意易知，∥，其中=-=(2m-1，1)，=-=(-2n-1，2)， ∴(2m-1)×2=1×(-2n-1)，∴2m+1+2n=1， ∵2m+1+2n≥2=2， ∴2m+n+1≤2-2，∴m+n≤-3(当且仅当m=-2，n=-1时取等号). 二、向量数量积的最值与范围问题 例2　在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，A=，点P在边CD上，则·的取值范围是(　　) A.［-1，8］ B.［-1，+∞) C.［0，8］ D.［-1，0］ 答案　A 解析　由题意，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，A=， 以A为原点，AB所在的直线为x轴，过点A作AB的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(0，0)，B(4，0)，D(1，)， 设P(x，)，则1≤x≤5， 所以=(-x，-)，=(4-x，-)， 所以·=x(x-4)+3=x2-4x+3=(x-2)2-1， 设f(x)=(x-2)2-1，可得f(x)在［1，2)上单调递减，在［2，5］上单调递增， 所以f(x)min=f(2)=-1，f(x)max=f(5)=8， 所以·的取值范围是［-1，8］. 反思感悟　建立适当的坐标系，将平面向量数量积的运算坐标化，然后利用二次函数、基本不等式等求最值或范围. 跟踪训练2　已知O为坐标原点，向量=(2，2)，=(4，1)，在x轴上取一点P使·取得最小值，则P点的坐标是(　　) A.(-3，0) B.(2，0) C.(3，0) D.(4，0) 答案　C 解析　设P点坐标为(x，0)，则=(x-2，-2)，=(x-4，-1)， ·=(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1， 当x=3时，·有最小值1，此时P点坐标为(3，0). 三、向量模与夹角的最值问题 例3　已知|a|=1，向量b满足2|b-a|=b·a，设a与b的夹角为θ，则cos θ的最小值为　　　　.  答案　 解析　∵|a|=1，∴设a=(1，0)，b=(x，y)， ∴b-a=(x-1，y)， 由2|b-a|=b·a，得2=x，则x>0， ∴4(x-1)2+4y2=x2， ∴y2=-x2+2x-1， ∴cos θ== == ==， ∴当=1，即x=1时，cos θ取得最小值. 反思感悟　将向量夹角的大小问题转化为夹角余弦值的大小问题，利用函数求最值或范围. 跟踪训练3　已知|a+b|=2，向量a，b的夹角为，则|a|+|b|的最大值为　　　　.  答案　 解析　将|a+b|=2两边平方并化简得(|a|+|b|)2-|a||b|=4，由基本不等式得|a||b|≤=，故(|a|+|b|)2≤4，即(|a|+|b|)2≤，即|a|+|b|≤，当且仅当|a|=|b|=时，等号成立，所以|a|+|b|的最大值为. 1.知识清单： (1)线性运算中的最值与范围问题. (2)向量数量积的最值与范围问题. (3)向量模与夹角的最值问题. 2.方法归纳：转化与化归，数形结合. 3.常见误区：函数的最值范围问题的计算. 1.已知向量a=(1，0)，b=(cos θ，sin θ)，θ∈，则|a+b|的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　因为a+b=(1+cos θ，sin θ)， 所以|a+b|===， 因为θ∈，所以cos θ∈，所以2+2cos θ∈， 所以|a+b|的取值范围是(，2］. 2.在△ABC中，AB=2，AC=1，∠ACB=，F是线段AB上的点，则·的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　因为AB=2，AC=1，∠ACB=， 所以以C为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示， 则C(0，0)，B(，0)，A(0，1)，设F(x，y)，因为F是线段AB上的点， 所以=λ(0≤λ≤1)，即(x，y-1)=λ(，-1)， 所以x=λ， y=-λ+1，所以F(λ，-λ+1)， ·=(-λ，λ)·(λ，-λ+1)=-4λ2+λ=-4+， 则当λ=时，·有最大值，当λ=1时，·有最小值-3. 所以·的取值范围是. 3.已知平面向量a与a+2b的夹角为30°，则的最大值为(　　) A. B.2 C.4 D.8 答案　C 解析　以向量|a|与2|b|为两边作△ABC，如图所示，设a=，2b=， 则a+2b=，∠CAB=30°， 则在△ABC中，||≥||sin∠CAB， 即2|b|≥|a|，则≤4， 所以的最大值为4. 4.平面向量a，b满足|a|=1，=1，记〈a，b〉=θ，则sin θ的最大值为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　因为|a|=1，=1，所以=|b|2-3a·b+|a|2=1， |b|2-3|a|·|b|cos θ+-1=0，即|b|2-3|b|cos θ+=0， 所以cos θ==+≥2=，当且仅当|b|=时等号成立，因为〈a，b〉=θ，θ∈， 所以sin θ=≤=， 则sin θ的最大值为. 　　　　 课时对点练　［分值：80分］ 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.已知向量m=(a-1，1)，n=(2-b，2)(a>0，b>0)，若m∥n，则m·n的取值范围是(　　) A.［2，+∞) B.(0，+∞) C.［2，4) D.(2，4) 答案　C 解析　因为m∥n，所以2a-2=2-b，所以2a+b=4，所以b=4-2a>0，所以0<a<2， 所以m·n=2a+b-ab=4-ab=4-a(4-2a)=2a2-4a+4=2(a-1)2+2∈［2，4). 2.已知向量a=(-2，2)，b=(5，k)，若|a+b|≤5，则实数k的取值范围为(　　) A.［-4，6］ B.［-6，4］ C.［-6，2］ D.［-2，6］ 答案　C 解析　由已知得a+b=(3，k+2)， 若|a+b|≤5，则≤5， 即(k+2)2≤16，即-4≤k+2≤4， ∴-6≤k≤2. 3.如图，在△ABC中，点D是线段BC上的动点，且=x+y，则+的最小值为(　　) A.3 B.4 C.5 D.9 答案　D 解析　由图可知x，y均为正数，且x+y=1， ∴+=(x+y)=5++ ≥5+2=9， 当且仅当=，即x=，y=时，等号成立， 则+的最小值为9. 4.已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=4，BC=2，P是腰DC上的动点，则|+2|的最小值为(　　) A.4 B.6 C.7 D.8 答案　D 解析　在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=4，BC=2，P是腰DC上的动点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则D(0，0)，A(4，0)，设B(2，c)，C(0，c)，P(0，a)(0≤a≤c)， 所以=(4，-a)，=(2，c-a)， +2=(8，2c-3a)， 所以|+2|=≥8. 5.已知A，B，C是锐角△ABC的三个内角，向量p=(sin A，1)，q=(1，-cos B)，则p与q的夹角是(　　) A.锐角 B.钝角 C.直角 D.不确定 答案　A 解析　因为△ABC是锐角三角形，所以A+B>，即A>-B，又因为函数y=sin x在上单调递增，所以sin A>sin =cos B，所以p·q=sin A-cos B>0，又因为p与q不共线，所以p与q的夹角是锐角. 6.若向量a，b，c的模均为1，且a·b=0，则|3a+4b-2c|的最大值为(　　) A.5+2 B.3 C.5 D.7 答案　D 解析　设=a，=b，=c，依题意a·b=0⇔a⊥b， 而向量a，b，c的模均为1. 以O为坐标原点，，分别为x，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，由于|c|=1，所以C点在单位圆上. 由此可得A(1，0)，B(0，1)，C(cos α，sin α)， 所以|3a+4b-2c|=|(3-2cos α，4-2sin α)| = = =，其中tan φ=. 所以当sin(α+φ)=-1时，|3a+4b-2c|取得最大值=7. 二、多项选择题(共6分) 7.一折扇平面图为如图所示的扇形COD，其中∠COD=，OC=4OA=4，动点P在弧CD上(含端点)，连接OP交扇形OAB的弧AB于点Q，且=x+y，则下列说法正确的是(　　) A.若y=x，则x+y=1 B.若y=2x，则·=0 C.·≥-2 D.·≥ 答案　BD 解析　如图，作OE⊥OC，分别以OC，OE所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，则A(1，0)，C(4，0)， B， D， 设∠COP=θ，则Q(cos θ，sin θ)，θ∈， 则P(4cos θ，4sin θ)， 由=x+y，可得cos θ=4x-2y， sin θ=2y，且x>0，y>0， 若y=x，则cos2θ+sin2θ=(4x-2y)2+(2y)2=1， 解得x=y=(负值舍去)，x+y=，故A错误； 若y=2x，则cos θ=4x-2y=0，θ=，·=0，故B正确； ·=·(4cos θ，4sin θ) =-6cos θ+2sin θ=4sin， 由于θ∈，故θ-∈， 故-6≤4sin≤6， 即-6≤·≤6，故C错误； 由于=(1-4cos θ，-4sin θ)， =， ·=(1-4cos θ)×+(-4sin θ)× =-2cos θ-2sin θ=-4sin， 而θ+∈， 所以sin∈， 所以·=-4sin≥-4=，故D正确. 三、填空题(共5分) 8.已知向量a，b满足a=(t，2-t)，|b|=1，且(a-b)⊥b，则a与b的夹角的最小值为　　　　　.  答案　 解析　设a与b的夹角为θ，因为(a-b)⊥b， 所以(a-b)·b=0，即a·b=b2， cos θ=====， 又因为2t2-4t+8=2(t-)2+4≥4， 所以0<cos θ≤，又θ∈［0，π］， 所以a与b的夹角的最小值为. 四、解答题(共39分) 9.(12分)已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，a·(a+b)=2.求|a-λb|的最小值. 解　由|a|=1，a·(a+b)=2，可知a·b=1， 根据向量求模公式得|a-λb| = ==， 易知，当λ=时，|a-λb|取得最小值. 10.(13分)在△ABC中，AB=2，AC=2，∠BAC=45°，P为线段AC上任意一点，求·的取值范围. 解　设=t(0≤t≤1)， 则=(1-t)， 因为=-=-(1-t)， 所以·=［-(1-t)］·t =t·-t(1-t) =2×2t·cos 45°-t(1-t)×(2)2 =8t2-4t =8-. 因为0≤t≤1，所以-≤·≤4， 所以·的取值范围为. 11.(14分)已知向量a=，b=，x∈. (1)求a·b及|a+b|；(6分) (2)若f(x)=a·b-2λ|a+b|的最小值是-，求λ的值.(8分) 解　(1)a·b=coscos-sinsin=cos 2x， |a+b|= = ==2， 因为x∈，所以cos x≥0， 所以|a+b|=2cos x. (2)由(1)可得f(x)=a·b-2λ|a+b|=cos 2x-4λcos x， 即f(x)=2cos2x-1-4λcos x =2(cos x-λ)2-1-2λ2. 因为x∈，所以0≤cos x≤1. ①当λ<0时，当且仅当cos x=0时， f(x)取得最小值-1，这与已知矛盾； ②当0≤λ≤1时，当且仅当cos x=λ时，f(x)取得最小值-1-2λ2， 由已知得-1-2λ2=-，解得λ=； ③当λ>1时，当且仅当cos x=1时，f(x)取得最小值1-4λ， 由已知得1-4λ=-，解得λ=，这与λ>1相矛盾. 综上所述，λ=. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 <<< 习题课 平面向量中的最值与范围问题 会利用向量的定义及运算求解最值与范围问题.(重难点) 学习目标 平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量的夹角、系数的范围等等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合. 导 语 内容索引 一、线性运算中的最值与范围问题 二、向量数量积的最值与范围问题 课时对点练 三、向量模与夹角的最值问题 随堂演练 一 线性运算中的最值与范围问题 已知向量a，b，c满足a=(3，0)，b=(0，4)，c=λa+(1-λ)b，则|c|的最小值为 A. B. C. D. 例 1 √ 6 ∵a=(3，0)，b=(0，4)，c=λa+(1-λ)b=(3λ，4-4λ)， ∴|c|===≥=， 当且仅当λ=时，等号成立，故|c|的最小值为. 7 利用向量模的公式，把问题转化为二次函数的最值问题，应注意变量的取值范围. 反 思 感 悟 8 　设=(1，-2)，=(2m，-1)，=(-2n，0)(m，n∈R，O为坐标原点)，若A，B，C三点共线，则m+n的最大值为 A.-3 B.-2 C.2 D.3 跟踪训练 1 √ 9 由题意易知，∥=-=(2m-1，1)，=-= (-2n-1，2)， ∴(2m-1)×2=1×(-2n-1)，∴2m+1+2n=1， ∵2m+1+2n≥2=2， ∴2m+n+1≤2-2，∴m+n≤-3(当且仅当m=-2，n=-1时取等号). 10 二 向量数量积的最值与范围问题 在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，A=，点P在边CD上，则·的取值范围是 A.［-1，8］ B.［-1，+∞) C.［0，8］ D.［-1，0］ 例 2 √ 12 由题意，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，A=， 以A为原点，AB所在的直线为x轴，过点A作AB的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(0，0)，B(4，0)，D(1，)， 设P(x，)，则1≤x≤5， 所以=(-x，-=(4-x，-)， 13 所以·=x(x-4)+3=x2-4x+3=(x-2)2-1， 设f(x)=(x-2)2-1，可得f(x)在［1，2)上单调递减，在［2，5］上单调递增， 所以f(x)min=f(2)=-1，f(x)max=f(5)=8， 所以·的取值范围是［-1，8］. 14 反 思 感 悟 建立适当的坐标系，将平面向量数量积的运算坐标化，然后利用二次函数、基本不等式等求最值或范围. 　已知O为坐标原点，向量=(2，2)，=(4，1)，在x轴上取一点P使·取得最小值，则P点的坐标是 A.(-3，0) B.(2，0) C.(3，0) D.(4，0) 跟踪训练 2 √ 设P点坐标为(x，0)，则=(x-2，-2)，=(x-4，-1)， ·=(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1， 当x=3时，·有最小值1，此时P点坐标为(3，0). 16 三 向量模与夹角的最值问题 已知|a|=1，向量b满足2|b-a|=b·a，设a与b的夹角为θ，则cos θ的最 小值为　　　　.  例 3 18 ∵|a|=1，∴设a=(1，0)，b=(x，y)， ∴b-a=(x-1，y)， 由2|b-a|=b·a，得2=x，则x>0， ∴4(x-1)2+4y2=x2， ∴y2=-x2+2x-1， ∴cos θ======， ∴当=1，即x=1时，cos θ取得最小值. 19 反 思 感 悟 将向量夹角的大小问题转化为夹角余弦值的大小问题，利用函数求最值或范围. 已知|a+b|=2，向量a，b的夹角为，则|a|+|b|的最大值 为　　　　.  跟踪训练 3 将|a+b|=2两边平方并化简得(|a|+|b|)2-|a||b|=4，由基本不等式得|a||b|≤=(|a|+|b|)2≤4，即(|a|+|b|)2≤，即|a|+|b|≤，当且仅当|a|=|b|=时，等号成立，所以|a|+|b|的最大值为. 21 1.知识清单： (1)线性运算中的最值与范围问题. (2)向量数量积的最值与范围问题. (3)向量模与夹角的最值问题. 2.方法归纳：转化与化归，数形结合. 3.常见误区：函数的最值范围问题的计算. 课堂小结 22 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知向量a=(1，0)，b=(cos θ，sin θ)，θ∈，则|a+b|的取值范围是 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 因为a+b=(1+cos θ，sin θ)， 所以|a+b|== =， 因为θ∈，所以cos θ∈，所以2+2cos θ∈， 所以|a+b|的取值范围是(，2］. 2.在△ABC中，AB=2，AC=1，∠ACB=，F是线段AB上的点，则·的取值范围是 A. B. C. D. 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 因为AB=2，AC=1，∠ACB=， 所以以C为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示， 则C(0，0)，B(，0)，A(0，1)，设F(x，y)，因为F是线段AB上的点， 所以=λ(0≤λ≤1)，即(x，y-1)=λ(，-1)， 所以x=λ， y=-λ+1，所以F(λ，-λ+1)， ·=(-λ，λ)·(λ，-λ+1)=-4λ2+λ=-4+， 1 2 3 4 则当λ=·，当λ=1时， ·有最小值-3. 所以·. 3.已知平面向量a与a+2b的夹角为30°，则的最大值为 A. B.2 C.4 D.8 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 以向量|a|与2|b|为两边作△ABC，如图所示，设a=，2b=， 则a+2b=，∠CAB=30°， 则在△ABC中，||≥||sin∠CAB， 即2|b|≥|a|，则≤4， 所以的最大值为4. 4.平面向量a，b满足|a|=1，=1，记〈a，b〉=θ，则sin θ的最大值为 A. B. C. D. 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 因为|a|=1，=1，所以=|b|2-3a·b+|a|2=1， |b|2-3|a|·|b|cos θ+-1=0，即|b|2-3|b|cos θ+=0， 所以cos θ==+≥2=，当且仅当|b|=时等号成立，因为〈a，b〉=θ，θ∈， 所以sin θ=≤=，则sin θ的最大值为. 课时对点练 五 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C D D A D BD 对一对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9. 由|a|=1，a·(a+b)=2，可知a·b=1， 根据向量求模公式得|a-λb| = ==， 易知，当λ=时，|a-λb|取得最小值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10. 设=t(0≤t≤1)， 则=(1-t)， 因为=-=-(1-t)， 所以·=［-(1-t)］·t =t·-t(1-t)=2×2t·cos 45°-t(1-t)×(2)2 =8t2-4t=8-. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10. 因为0≤t≤1， 所以-≤·≤4， 所以·的取值范围为. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11. (1)a·b=coscos-sinsin=cos 2x， |a+b|= ===2， 因为x∈，所以cos x≥0， 所以|a+b|=2cos x. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11. (2)由(1)可得f(x)=a·b-2λ|a+b|=cos 2x-4λcos x， 即f(x)=2cos2x-1-4λcos x =2(cos x-λ)2-1-2λ2. 因为x∈，所以0≤cos x≤1. ①当λ<0时，当且仅当cos x=0时， f(x)取得最小值-1，这与已知矛盾； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11. ②当0≤λ≤1时，当且仅当cos x=λ时，f(x)取得最小值-1-2λ2， 由已知得-1-2λ2=-， 解得λ=； ③当λ>1时，当且仅当cos x=1时，f(x)取得最小值1-4λ， 由已知得1-4λ=-，解得λ=，这与λ>1相矛盾. 综上所述，λ=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 一、单项选择题 1.已知向量m=(a-1，1)，n=(2-b，2)(a>0，b>0)，若m∥n，则m·n的取值范围是 A.［2，+∞) B.(0，+∞) C.［2，4) D.(2，4) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 因为m∥n，所以2a-2=2-b，所以2a+b=4，所以b=4-2a>0，所以0<a<2， 所以m·n=2a+b-ab=4-ab=4-a(4-2a)=2a2-4a+4=2(a-1)2+2∈［2，4). 答案 2.已知向量a=(-2，2)，b=(5，k)，若|a+b|≤5，则实数k的取值范围为 A.［-4，6］ B.［-6，4］ C.［-6，2］ D.［-2，6］ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 由已知得a+b=(3，k+2)， 若|a+b|≤5，则≤5， 即(k+2)2≤16，即-4≤k+2≤4， ∴-6≤k≤2. 答案 3.如图，在△ABC中，点D是线段BC上的动点，且=x+y，则+的最小值为 A.3 B.4 C.5 D.9 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 由图可知x，y均为正数，且x+y=1， ∴+=(x+y)=5++ ≥5+2=9， 当且仅当=，即x=，y=时，等号成立， 则+的最小值为9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4.已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=4，BC=2，P是腰DC上的动点，则|+2|的最小值为 A.4 B.6 C.7 D.8 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=4，BC=2，P是腰DC上的动点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则D(0，0)，A(4，0)，设B(2，c)，C(0，c)，P(0，a)(0≤a≤c)， 所以=(4，-a)，=(2，c-a)， +2=(8，2c-3a)， 所以|+2|=≥8. 答案 5.已知A，B，C是锐角△ABC的三个内角，向量p=(sin A，1)，q=(1，-cos B)， 则p与q的夹角是 A.锐角 B.钝角 C.直角 D.不确定 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 因为△ABC是锐角三角形，所以A+B>，即A>-B，又因为函数y=sin x 在上单调递增，所以sin A>sin =cos B，所以p·q=sin A -cos B>0，又因为p与q不共线，所以p与q的夹角是锐角. 答案 6.若向量a，b，c的模均为1，且a·b=0，则|3a+4b-2c|的最大值为 A.5+2 B.3 C.5 D.7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 设=a，=b，=c，依题意a·b=0⇔a⊥b， 而向量a，b，c的模均为1. 以O为坐标原点，分别为x，y轴正方向 建立平面直角坐标系，如图所示，由于|c|=1， 所以C点在单位圆上. 由此可得A(1，0)，B(0，1)，C(cos α，sin α)， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 所以|3a+4b-2c|=|(3-2cos α，4-2sin α)| = = =，其中tan φ=. 所以当sin(α+φ)=-1时，|3a+4b-2c|取得最大值=7. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 二、多项选择题 7.一折扇平面图为如图所示的扇形COD，其中∠COD=，OC=4OA=4，动点P在弧CD上(含端点)，连接OP交扇形OAB的弧AB于点Q，且=x+y，则下列说法正确的是 A.若y=x，则x+y=1 B.若y=2x，则·=0 C.·≥-2 D.·≥ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 如图，作OE⊥OC，分别以OC，OE所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，则A(1，0)，C(4，0)， B， D， 设∠COP=θ，则Q(cos θ，sin θ)，θ∈， 则P(4cos θ，4sin θ)， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 由=x+y，可得cos θ=4x-2y， sin θ=2y，且x>0，y>0， 若y=x，则cos2θ+sin2θ=(4x-2y)2+(2y)2=1， 解得x=y=(负值舍去)，x+y=，故A错误； 若y=2x，则cos θ=4x-2y=0，θ=·=0，故B正确； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ·=·(4cos θ，4sin θ) =-6cos θ+2sin θ=4sin， 由于θ∈，故θ-∈， 故-6≤4sin≤6， 即-6≤·≤6，故C错误； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 由于=(1-4cos θ，-4sin θ)， =， ·=(1-4cos θ)×+(-4sin θ)× =-2cos θ-2sin θ=-4sin， 而θ+∈，所以sin∈， 所以·=-4sin≥-4=，故D正确. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 三、填空题 8.已知向量a，b满足a=(t，2-t)，|b|=1，且(a-b)⊥b，则a与b的夹角的最 小值为　　　.  答案 56 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 设a与b的夹角为θ，因为(a-b)⊥b， 所以(a-b)·b=0，即a·b=b2， cos θ=====， 又因为2t2-4t+8=2(t-)2+4≥4， 所以0<cos θ≤，又θ∈［0，π］， 所以a与b的夹角的最小值为. 答案 57 四、解答题 9.已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，a·(a+b)=2.求|a-λb|的最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 由|a|=1，a·(a+b)=2，可知a·b=1， 根据向量求模公式得|a-λb|= ==， 易知，当λ=时，|a-λb|取得最小值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10.在△ABC中，AB=2，AC=2，∠BAC=45°，P为线段AC上任意一点，求·的取值范围. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 设=t(0≤t≤1)， 则=(1-t)， 因为=-=-(1-t)， 所以·=［-(1-t)］·t=t·-t(1-t) =2×2t·cos 45°-t(1-t)×(2)2=8t2-4t=8-. 因为0≤t≤1，所以-≤·≤4， 所以·. 答案 11.已知向量a=，b=，x∈. (1)求a·b及|a+b|； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 a·b=coscos-sinsin=cos 2x， |a+b|= = ==2， 因为x∈，所以cos x≥0，所以|a+b|=2cos x. 答案 (2)若f(x)=a·b-2λ|a+b|的最小值是-，求λ的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 由(1)可得f(x)=a·b-2λ|a+b|=cos 2x-4λcos x， 即f(x)=2cos2x-1-4λcos x =2(cos x-λ)2-1-2λ2. 因为x∈，所以0≤cos x≤1. ①当λ<0时，当且仅当cos x=0时， f(x)取得最小值-1，这与已知矛盾； ②当0≤λ≤1时，当且仅当cos x=λ时，f(x)取得最小值-1-2λ2， 由已知得-1-2λ2=-，解得λ=； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ③当λ>1时，当且仅当cos x=1时，f(x)取得最小值1-4λ， 由已知得1-4λ=-，解得λ=，这与λ>1相矛盾. 综上所述，λ=. 答案 第一章 <<< $$