第六章 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（人教A版2019）

6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示 ［学习目标］　1.掌握平面向量数乘运算的坐标表示.(重点)2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.(难点)3.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.(难点) 导语 上节课，我们根据平面向量基本定理，取平面直角坐标系中，与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，得到平面内任一向量a的坐标表示，即a=(x，y).从而我们得到向量加、减运算的坐标表示，那么平面向量的数乘运算的坐标表示是怎样的呢？ 一、数乘运算的坐标表示 问题1　已知a=(x，y)，你能得出λa的坐标吗？ 提示　λa=λ(xi+yj)=λxi+λyj，即λa=(λx，λy). 知识梳理 已知a=(x，y)，则λa=(λx，λy)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 例1　设向量a，b的坐标分别是(-1，2)，(3，-5)，求下列各向量的坐标： (1)2a+5b； (2)3a-b. 解　(1)2a+5b=2(-1，2)+5(3，-5)=(-2，4)+(15，-25)=(13，-21). (2)3a-b=3(-1，2)-(3，-5)=(-6，11). 反思感悟　平面向量数乘运算的坐标关键在于利用公式进行程序化的代数运算. 跟踪训练1　(1)已知向量a=(1，2)，2a+b=(3，2)，则b等于(　　) A.(1，-2) B.(1，2) C.(5，6) D.(2，0) 答案　A 解析　方法一　(待定系数法)设b=(x，y)，则2a+b=2(1，2)+(x，y)=(2+x，4+y)=(3，2)， 即解得所以b=(1，-2). 方法二　b=(2a+b)-2a=(3，2)-2(1，2)=(3，2)-(2，4)=(1，-2). (2)已知向量a=(1，4)，b=(3，-2)，c=(10，m)，且c=a+λb，则m，λ的值分别为　　　　.  答案　-2，3 解析　因为c=a+λb， 所以(10，m)=(1，4)+λ(3，-2)=(1+3λ，4-2λ)，所以解得λ=3，m=-2. 二、向量共线的坐标表示及应用 问题2　向量a与非零向量b共线的充要条件是什么？如何用坐标表示两个向量共线？ 提示　向量a与非零向量b共线的充要条件是存在实数λ，使a=λb， 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0，若向量a与b共线， 则有(x1，y1)=λ(x2，y2)， 即 消去λ，得x1y2-x2y1=0. 知识梳理 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0. 向量a，b共线的充要条件是x1y2-x2y1=0. 口诀：交叉相乘差为0. 例2　已知a=(λ+1，1)，b=(6，2)，且a∥b，则实数λ=　　　　.  答案　2 解析　∵a∥b，∴2(λ+1)-1×6=0，∴λ=2. 反思感悟　向量共线的判定方法 (1)利用向量共线定理，由a=λb(b≠0)推出a∥b. (2)利用向量共线的坐标表示，由x1y2-x2y1=0(a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，b≠0)直接判断a与b是否平行. 跟踪训练2　已知向量m=(2，λ)，n=(-1，3)，若(2m+n)∥(m-n)，则实数λ的值为(　　) A.6 B.3 C.-3 D.-6 答案　D 解析　根据题意，向量m=(2，λ)，n=(-1，3)， 则2m+n=(3，2λ+3)，m-n=(3，λ-3). 若(2m+n)∥(m-n)，则λ-3=2λ+3，解得λ=-6. 三、三点共线问题 例3　已知=(k，2)，=(1，2k)，=(1-k，-1)，且相异三点A，B，C共线，则实数k=　　　　.  答案　- 解析　由题知，=-=(1-k，2k-2)，=-=(1-2k，-3). 因为相异三点A，B，C共线，所以∥， 则-3(1-k)-(2k-2)(1-2k)=0， 解得k=-或k=1， 当k=1时，=，点A与点B重合，不符合题意，故k=-. 反思感悟　三点共线的判定与证明 (1)判定：判定三点是否共线，就是判断三点确定的两个向量是否共线，其理论依据是向量共线定理. (2)证明：证明三点共线一般分两步完成：①证明三点确定的两个向量平行；②说明两个向量对应的直线有公共点. 跟踪训练3　已知O为坐标原点，=(1，1)，=(3，-1)，=(a，b). (1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系； (2)若= ，求点C的坐标. 解　(1)因为=(1，1)，=(3，-1)， =(a，b)， 所以=-=(a-1，b-1)，=-=(2，-2)， 若A，B，C三点共线，则∥， 所以-2(a-1)-2(b-1)=0， 所以a+b=2. (2)若= ，则(a-1，b-1)=2(2，-2)， 所以a=5，b=-3，所以点C的坐标为(5，-3). 四、向量数乘运算的综合应用 例4　在平面直角坐标系中，O为原点，点A(4，-2)，点P满足=-3，则点P的坐标为　　　　.  答案　(6，-3) 解析　设P(x，y)，因为=-3， 所以(x，y)=-3(4-x，-2-y)， (x，y)=(-12+3x，6+3y)， 解得所以P(6，-3). 反思感悟　应用向量方法求解分点(或交点)坐标的步骤 (1)求：根据题意，求出有关向量的坐标. (2)列：利用向量共线的坐标表示列出方程组. (3)解：求得方程组的解. 易错提醒：若题目中给出了线段长度的关系，需要注意分点的位置情况，必要时要分类讨论. 跟踪训练4　设向量a=(1，-3)，b=(-2，4)，c=(-1，-2)，若表示向量4a，4b-2c，2(a-c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d的坐标为(　　) A.(2，6) B.(-2，6) C.(2，-6) D.(-2，-6) 答案　D 解析　由已知条件可得4a+(4b-2c)+2(a-c)+d=6a+4b-4c+d=0， 所以d=4c-6a-4b=4(-1，-2)-6(1，-3)-4(-2，4)=(-2，-6). 1.知识清单： (1)平面向量数乘运算的坐标表示及简单应用. (2)两个向量共线的坐标表示及应用. (3)三点共线问题. 2.方法归纳：化归与转化. 3.常见误区：两个向量共线的坐标表示的公式易记错. 1.下列各组向量中，不共线的是(　　) A.e1=(2，2)，e2=(1，1) B.e1=(1，-2)，e2=(4，-8) C.e1=(1，0)，e2=(0，-1) D.e1=(1，-2)，e2= 答案　C 解析　对于A，∵2×1-2×1=0，∴e1∥e2，e1，e2共线； 对于B，∵1×(-8)-(-2)×4=0，∴e1∥e2，e1，e2共线； 对于C，∵1×(-1)-0×0=-1≠0，∴e1，e2不共线； 对于D，∵1×1-(-2)×=0，∴e1∥e2，e1，e2共线. 2.已知a-b=(1，2)，a+b=(4，-10)，则a等于(　　) A.(-2，-2) B.(2，2) C.(-2，2) D.(2，-2) 答案　D 解析　因为a-b=(1，2)，所以2a-b=(2，4)，又a+b=(4，-10)， 所以有(2a-b)+(a+b)=(2，4)+(4，-10)=(6，-6)，即3a=(6，-6)，所以a=(2，-2). 3.已知平面向量a=(2λ2+1，λ)，b=(μ，1)，其中λ>0，若a∥b，则实数μ的取值范围是(　　) A.［2，+∞) B.［2，+∞) C.［，+∞) D.［1，+∞) 答案　A 解析　由题意，因为a∥b， 所以λμ=2λ2+1，又λ>0， 所以μ==2λ+≥2=2， 当且仅当2λ=，即λ=时等号成立. 4.已知点O(0，0)，向量=(3，3)，=(6，-3)，点P是线段AB的三等分点且靠近点B，则点P的坐标为　　　　.  答案　(5，-1) 解析　方法一　由已知可得=2，设P(x，y)，则(x-3，y-3)=2(6-x，-3-y)， 即得即P(5，-1). 方法二　由已知=2.由有向线段定比分点坐标公式知λ=2. 则点P的坐标为 =(5，-1). 　　　　 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.已知向量a=(1，2)，b=(2，3)，c=(3，4)，且c=λ1a+λ2b，则λ1，λ2的值分别为(　　) A.-2，1 B.1，-2 C.2，-1 D.-1，2 答案　D 解析　因为c=λ1a+λ2b=λ1(1，2)+λ2(2，3)=(λ1+2λ2，2λ1+3λ2)=(3，4)， 所以解得即λ1，λ2的值分别为-1，2. 2.若a=(2cos α，1)，b=(sin α，1)，且a∥b，则tan α等于(　　) A.2 B. C.-2 D.- 答案　A 解析　由a∥b可得2cos α=sin α，即tan α=2. 3.若三点A(4，3)，B(5，m)，C(6，n)在一条直线上，则下列式子一定正确的是(　　) A.2m-n=3 B.n-m=1 C.m=3，n=5 D.m-2n=3 答案　A 解析　因为三点A(4，3)，B(5，m)，C(6，n)在一条直线上，所以=λ，所以(1，m-3)=λ(2，n-3)，所以λ=，所以m-3=(n-3)，即2m-n=3. 4.(多选)下列向量中，与向量c=(2，3)不共线的向量的坐标为(　　) A.(5，4) B. C. D. 答案　AC 解析　对于A，∵2×4-3×5=-7≠0，故(5，4)与c=(2，3)不共线，满足题意； 对于B，∵2×-3×1=0，故与c=(2，3)共线，不满足题意； 对于C，∵2×1-3×=-≠0，故与c=(2，3)不共线，满足题意； 对于D，∵2×-3×=0，故与c=(2，3)共线，不满足题意. 5.已知向量a=(-6，1)，b=(7，-2)，且(a+mb)∥(3a-b)，则m等于(　　) A. B.- C. D. - 答案　B 解析　∵向量a=(-6，1)，b=(7，-2)， ∴a+mb=(-6+7m，1-2m)，3a-b=(-25，5). ∵(a+mb)∥(3a-b)， ∴5(-6+7m)-(-25)×(1-2m)=0， 解得m=-. 6.(多选)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知=(-1，4)，=(8，-5)，若P是线段AB的三等分点，则点P的坐标是(　　) A.(2，1) B.(3，0) C.(4，-1) D.(5，-2) 答案　AD 解析　因为=(-1，4)，=(8，-5)，所以=-=(9，-9). 设P(x，y)，则=(x+1，y-4). 又P是线段AB的三等分点， 所以=或=， 即或 解得或 即点P的坐标是(2，1)或(5，-2). 7.(5分)设=(2，-1)，=(3，0)，=(m，3)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数m的取值范围是　　　　.  答案　｛m|m≠6｝ 解析　∵A，B，C三点能构成三角形， ∴，不共线. 又∵=-=(1，1)，=-=(m-2，4)， ∴1×4-1×(m-2)≠0，解得m≠6. ∴实数m的取值范围是｛m|m≠6｝. 8.(5分)在△ABC中，点P在BC上，且=2，点Q是AC的中点，若=(4，3)，=(1，5)，则=　　　　.  答案　(-6，21) 解析　因为=-=(1，5)-(4，3)=(-3，2)，点Q是AC的中点，所以=，所以=+=(1，5)+(-3，2)=(-2，7).因为=2，所以=+=3=3(-2，7)=(-6，21). 9.(10分) 已知向量a=(3，4)，b=(1，2)，c=(-2，-2). (1)若a=mb+nc，求实数m，n的值；(5分) (2)若(a+b)∥ (-b+kc)，求实数k的值，并判断此时a+b与-b+kc是同向还是反向？(5分) 解　(1)∵a=(3，4)，b=(1，2)， c=(-2，-2)，a=mb+nc， ∴(3，4)=m(1，2)+n(-2，-2)=(m-2n，2m-2n)， ∴得 (2)∵(a+b)∥(-b+kc)， 又-b+kc=(-1-2k，-2-2k )， a+b=(4，6)， ∴6(-1-2k)=4(-2-2k)， 解得k=. 此时-b+kc=(-2，-3)，a+b=(4，6)=-2(-2，-3)， ∴a+b与-b+kc方向相反. 10.(10分)已知两点A(3，-4)，B(-9，2)，点P在直线AB上，且||=||，求点P的坐标. 解　设点P的坐标为(x，y)， ①若点P在线段AB上，则=， ∴(x-3，y+4)=(-9-x，2-y). 解得x=-1，y=-2，∴P(-1，-2). ②若点P在线段BA的延长线上， 则=-， ∴(x-3，y+4)=-(-9-x，2-y). 解得x=7，y=-6，∴P(7，-6). 综上可得，点P的坐标为(-1，-2)或(7，-6). 11.已知a=(1，2)，b=(3，4)，=a+5b，=-2a+8b，=3，则(　　) A.A，B，C三点共线 B.A，C，D三点共线 C.A，B，D三点共线 D.B，C，D三点共线 答案　C 解析　由题意知，=a+5b=(16，22)， =-2a+8b=(22，28)， =3(a-b)=(-6，-6)， ∴=+=(16，22)=， ∴∥，又与有公共点B， ∴A，B，D三点共线，C正确，同理可判断A，B，D错误. 12.(多选)下列结论正确的是(　　) A.向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上 B.已知直线上有P1，P2，P三点，其中P1(2，-1)，P2(-1，3)，且=，则点P的坐标为 C.向量=(k，12)，=(4，5)，=(10，k)，若A，B，C三点共线，则k的值为-2或11 D.已知平面内O，A，B，C四点，其中A，B，C三点共线，O，A，B三点不共线，且=x+y，则x+y=1 答案　BCD 解析　对于A，向量与是共线向量，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上，A错误； 对于B，设P(x，y)，由=， 得(x-2，y+1)=(-1-x，3-y)， 则 解得B正确； 对于C，=-=(k，12)-(4，5)=(k-4，7)， =-=(k，12)-(10，k)=(k-10，12-k). ∵A，B，C三点共线，∴∥， ∴(k-4)(12-k)-7(k-10)=0， 整理得k2-9k-22=0， 解得k=-2或11，C正确； 对于D，∵A，B，C三点共线， ∴存在λ∈R，使=λ， ∴-=λ， ∴=(1-λ)+λ， ∴x=1-λ，y=λ， ∴x+y=1，D正确. 13.(5分)已知A(2，4)，B(-4，6)，若=，=，则的坐标为　　　　.  答案　 解析　设C(x1，y1)，D(x2，y2)， 由题意知=， 则(x1-2，y1-4)=(-6，2)=(-9，3)， ∴x1=-7，y1=7，即C(-7，7). 又=， 则(x2+4，y2-6)=(6，-2)=， ∴x2=4，y2=，即D， 则=. 14.(5分)设=(-2，4)，=(-a，2)，=(b，0)，a>0，b>0，若A，B，C三点共线，则+的最小值为　　　　.  答案　 解析　由题意，得=-=(-a+2，-2)，=-=(b+2，-4).又A，B，C三点共线，则∥， 所以-4(-a+2)=-2(b+2)，整理得2a+b=2， 所以+=(2a+b) =≥ =，当且仅当b=a时等号成立. 所以+的最小值为. 15.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c=λa+μb(λ，μ∈R)，则的值为(　　) A.4 B. C.-4 D.- 答案　A 解析　以a，b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系， 则a=(-1，1)，b=(6，2)，c=(-1，-3)， ∵c=λa+μb，即(-1，-3)=λ(-1，1)+μ(6，2)=(-λ+6μ，λ+2μ)， ∴解得∴==4. 16.(12分)如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2，6)，B(6，4)，C(5，0)，D(1，0)，求直线AC与BD的交点P的坐标. 解　由已知得，=(5，4)，=(-3，6)，=(4，0). 由B，P，D三点共线可得存在实数λ， 使得=λ=(5λ，4λ). 又因为=-=(5λ-4，4λ)， 由与共线得，6(5λ-4)+12λ=0. 解得λ=，所以==， 所以交点P的坐标为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 <<< 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 1.掌握平面向量数乘运算的坐标表示.(重点) 2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.(难点) 3.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.(难点) 学习目标 上节课，我们根据平面向量基本定理，取平面直角坐标系中，与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，得到平面内任一向量a的坐标表示，即a=(x，y).从而我们得到向量加、减运算的坐标表示，那么平面向量的数乘运算的坐标表示是怎样的呢？ 导 语 一、数乘运算的坐标表示 二、向量共线的坐标表示及应用 课时对点练 三、三点共线问题 随堂演练 内容索引 四、向量数乘运算的综合应用 一 数乘运算的坐标表示 已知a=(x，y)，你能得出λa的坐标吗？ 问题1 提示　λa=λ(xi+yj)=λxi+λyj，即λa=(λx，λy). 已知a=(x，y)，则λa= ，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数 . (λx，λy) 乘原来向量的相应坐标 知识梳理 设向量a，b的坐标分别是(-1，2)，(3，-5)，求下列各向量的坐标： (1)2a+5b； 例 1 2a+5b=2(-1，2)+5(3，-5)=(-2，4)+(15，-25)=(13，-21). 8 (2)3a-b. 3a-b=3(-1，2)-(3，-5)=(-6，11). 9 平面向量数乘运算的坐标关键在于利用公式进行程序化的代数运算. 反 思 感 悟 10 (1)已知向量a=(1，2)，2a+b=(3，2)，则b等于 A.(1，-2) B.(1，2) C.(5，6) D.(2，0) 跟踪训练 1 √ 11 方法一　(待定系数法)设b=(x，y)，则2a+b=2(1，2)+(x，y)=(2+x，4+y)=(3，2)， 即所以b=(1，-2). 方法二　b=(2a+b)-2a=(3，2)-2(1，2)=(3，2)-(2，4)=(1，-2). 12 (2)已知向量a=(1，4)，b=(3，-2)，c=(10，m)，且c=a+λb，则m，λ的值分别为　　　　.  -2，3 13 因为c=a+λb， 所以(10，m)=(1，4)+λ(3，-2)=(1+3λ，4-2λ)，所以解得λ=3，m=-2. 14 二 向量共线的坐标表示及应用 向量a与非零向量b共线的充要条件是什么？如何用坐标表示两个向量共线？ 问题2 提示　向量a与非零向量b共线的充要条件是存在实数λ，使a=λb， 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0，若向量a与b共线， 则有(x1，y1)=λ(x2，y2)， 即 消去λ，得x1y2-x2y1=0. 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0. 向量a，b共线的充要条件是 . 口诀：交叉相乘差为0. x1y2-x2y1=0 知识梳理 　已知a=(λ+1，1)，b=(6，2)，且a∥b，则实数λ=　　.  例 2 ∵a∥b，∴2(λ+1)-1×6=0，∴λ=2. 18 反 思 感 悟 (1)利用向量共线定理，由a=λb(b≠0)推出a∥b. (2)利用向量共线的坐标表示，由x1y2-x2y1=0(a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，b≠0)直接判断a与b是否平行. 向量共线的判定方法 　已知向量m=(2，λ)，n=(-1，3)，若(2m+n)∥(m-n)，则实数λ的值为 A.6 B.3 C.-3 D.-6 跟踪训练 2 √ 根据题意，向量m=(2，λ)，n=(-1，3)， 则2m+n=(3，2λ+3)，m-n=(3，λ-3). 若(2m+n)∥(m-n)，则λ-3=2λ+3，解得λ=-6. 20 三 三点共线问题 已知=(k，2)，=(1，2k)，=(1-k，-1)，且相异三点A，B， C共线，则实数k=　　　.  例 3 - 22 由题知，=-=(1-k，2k-2)，=-=(1-2k，-3). 因为相异三点A，B，C共线，所以∥， 则-3(1-k)-(2k-2)(1-2k)=0， 解得k=-或k=1， 当k=1时，=，点A与点B重合，不符合题意，故k=-. 23 反 思 感 悟 (1)判定：判定三点是否共线，就是判断三点确定的两个向量是否共线，其理论依据是向量共线定理. (2)证明：证明三点共线一般分两步完成：①证明三点确定的两个向量平行；②说明两个向量对应的直线有公共点. 三点共线的判定与证明 　已知O为坐标原点，=(1，1)，=(3，-1)，=(a，b). (1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系； 跟踪训练 3 25 因为=(1，1)，=(3，-1)， =(a，b)， 所以=-=(a-1，b-1)，=-=(2，-2)， 若A，B，C三点共线，则∥， 所以-2(a-1)-2(b-1)=0， 所以a+b=2. 26 (2)若= ，求点C的坐标. 若= ，则(a-1，b-1)=2(2，-2)， 所以a=5，b=-3，所以点C的坐标为(5，-3). 27 四 向量数乘运算的综合应用 　在平面直角坐标系中，O为原点，点A(4，-2)，点P满足=-3，则点P的坐标为　　　　　.  例 4 (6，-3) 29 设P(x，y)，因为=-3， 所以(x，y)=-3(4-x，-2-y)， (x，y)=(-12+3x，6+3y)， 30 反 思 感 悟 (1)求：根据题意，求出有关向量的坐标. (2)列：利用向量共线的坐标表示列出方程组. (3)解：求得方程组的解. 易错提醒：若题目中给出了线段长度的关系，需要注意分点的位置情况，必要时要分类讨论. 应用向量方法求解分点(或交点)坐标的步骤 　设向量a=(1，-3)，b=(-2，4)，c=(-1，-2)，若表示向量4a，4b-2c，2(a-c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d的坐标为 A.(2，6) B.(-2，6) C.(2，-6) D.(-2，-6) 跟踪训练 4 √ 由已知条件可得4a+(4b-2c)+2(a-c)+d=6a+4b-4c+d=0， 所以d=4c-6a-4b=4(-1，-2)-6(1，-3)-4(-2，4)=(-2，-6). 32 1.知识清单： (1)平面向量数乘运算的坐标表示及简单应用. (2)两个向量共线的坐标表示及应用. (3)三点共线问题. 2.方法归纳：化归与转化. 3.常见误区：两个向量共线的坐标表示的公式易记错. 课堂小结 33 随堂演练 五 1 2 3 4 1.下列各组向量中，不共线的是 A.e1=(2，2)，e2=(1，1) B.e1=(1，-2)，e2=(4，-8) C.e1=(1，0)，e2=(0，-1) D.e1=(1，-2)，e2= √ 1 2 3 4 对于A，∵2×1-2×1=0，∴e1∥e2，e1，e2共线； 对于B，∵1×(-8)-(-2)×4=0，∴e1∥e2，e1，e2共线； 对于C，∵1×(-1)-0×0=-1≠0，∴e1，e2不共线； 对于D，∵1×1-(-2)×=0，∴e1∥e2，e1，e2共线. 2.已知a-b=(1，2)，a+b=(4，-10)，则a等于 A.(-2，-2) B.(2，2) C.(-2，2) D.(2，-2) 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 因为a-b=(1，2)，所以2a-b=(2，4)，又a+b=(4，-10)， 所以有(2a-b)+(a+b)=(2，4)+(4，-10)=(6，-6)，即3a=(6，-6)，所以a=(2，-2). 3.已知平面向量a=(2λ2+1，λ)，b=(μ，1)，其中λ>0，若a∥b，则实数μ的取值范围是 A.［2，+∞) B.［2，+∞) C.［，+∞) D.［1，+∞) 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 由题意，因为a∥b， 所以λμ=2λ2+1，又λ>0， 所以μ==2λ+≥2=2， 当且仅当2λ=，即λ=时等号成立. 4.已知点O(0，0)，向量=(3，3)，=(6，-3)，点P是线段AB的三等分点且靠近点B，则点P的坐标为　　　　.  1 2 3 4 1 2 3 4 方法一　由已知可得=2，设P(x，y)，则(x-3，y-3)=2(6-x，-3-y)， 即即P(5，-1). 方法二　由已知=2.由有向线段定比分点坐标公式知λ=2. 则点P的坐标为=(5，-1). 课时对点练 六 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A A AC B AD ｛m|m≠6｝ (-6，21) 题号 11 12 13 14 15 答案 C BCD A 对一对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. (1)∵a=(3，4)，b=(1，2)， c=(-2，-2)，a=mb+nc， ∴(3，4)=m(1，2)+n(-2，-2) =(m-2n，2m-2n)， ∴得 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. (2)∵(a+b)∥(-b+kc)， 又-b+kc=(-1-2k，-2-2k )， a+b=(4，6)， ∴6(-1-2k)=4(-2-2k)， 解得k=. 此时-b+kc=(-2，-3)，a+b=(4，6)=-2(-2，-3)， ∴a+b与-b+kc方向相反. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 设点P的坐标为(x，y)， ①若点P在线段AB上， 则=， ∴(x-3，y+4)=(-9-x，2-y). 解得x=-1，y=-2，∴P(-1，-2). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. ②若点P在线段BA的延长线上， 则=-， ∴(x-3，y+4)=-(-9-x，2-y). 解得x=7，y=-6，∴P(7，-6). 综上可得，点P的坐标为(-1，-2)或(7，-6). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 由已知得，=(5，4)，=(-3，6)，=(4，0). 由B，P，D三点共线可得存在实数λ， 使得=λ=(5λ，4λ). 又因为=-=(5λ-4，4λ)， 由与共线得，6(5λ-4)+12λ=0.解得λ=， 所以==，所以交点P的坐标为. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 1.已知向量a=(1，2)，b=(2，3)，c=(3，4)，且c=λ1a+λ2b，则λ1，λ2的值分别为 A.-2，1 B.1，-2 C.2，-1 D.-1，2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础巩固 √ 16 因为c=λ1a+λ2b=λ1(1，2)+λ2(2，3)=(λ1+2λ2，2λ1+3λ2)=(3，4)， 所以即λ1，λ2的值分别为-1，2. 答案 2.若a=(2cos α，1)，b=(sin α，1)，且a∥b，则tan α等于 A.2 B. C.-2 D.- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 由a∥b可得2cos α=sin α，即tan α=2. 答案 3.若三点A(4，3)，B(5，m)，C(6，n)在一条直线上，则下列式子一定正确的是 A.2m-n=3 B.n-m=1 C.m=3，n=5 D.m-2n=3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为三点A(4，3)，B(5，m)，C(6，n)在一条直线上，所以=λ，所以(1，m-3)=λ(2，n-3)，所以λ=，所以m-3=(n-3)，即2m-n=3. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.(多选)下列向量中，与向量c=(2，3)不共线的向量的坐标为 A.(5，4) B. C. D. √ 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，∵2×4-3×5=-7≠0，故(5，4)与c=(2，3)不共线，满足题意； 对于B，∵2×-3×1=0，故与c=(2，3)共线，不满足题意； 对于C，∵2×1-3×=-≠0，故与c=(2，3)不共线，满足题意； 对于D，∵2×-3×=0，故与c=(2，3)共线，不满足题意. 答案 5.已知向量a=(-6，1)，b=(7，-2)，且(a+mb)∥(3a-b)，则m等于 A. B.- C. D. - 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 ∵向量a=(-6，1)，b=(7，-2)， ∴a+mb=(-6+7m，1-2m)，3a-b=(-25，5). ∵(a+mb)∥(3a-b)， ∴5(-6+7m)-(-25)×(1-2m)=0， 解得m=-. 答案 6.(多选)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知=(-1，4)，=(8，-5)，若P是线段AB的三等分点，则点P的坐标是 A.(2，1) B.(3，0) C.(4，-1) D.(5，-2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为=(-1，4)，=(8，-5)，所以=-=(9，-9). 设P(x，y)，则=(x+1，y-4).又P是线段AB的三等分点， 所以==， 即 解得即点P的坐标是(2，1)或(5，-2). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.设=(2，-1)，=(3，0)，=(m，3)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数m的取值范围是　　　　　　.  ∵A，B，C三点能构成三角形， ∴不共线. 又∵=-=(1，1)，=-=(m-2，4)， ∴1×4-1×(m-2)≠0，解得m≠6. ∴实数m的取值范围是｛m|m≠6｝. ｛m|m≠6｝ 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.在△ABC中，点P在BC上，且=2，点Q是AC的中点，若=(4，3)，=(1，5)，则=　　　　　　.  (-6，21) 16 答案 60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为=-=(1，5)-(4，3)=(-3，2)，点Q是AC的中点，所以 ==+=(1，5)+(-3，2)=(-2，7).因为=2=+=3=3(-2，7)=(-6，21). 答案 61 9.已知向量a=(3，4)，b=(1，2)，c=(-2，-2). (1)若a=mb+nc，求实数m，n的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵a=(3，4)，b=(1，2)， c=(-2，-2)，a=mb+nc， ∴(3，4)=m(1，2)+n(-2，-2)=(m-2n，2m-2n)， ∴ 答案 (2)若(a+b)∥(-b+kc)，求实数k的值，并判断此时a+b与-b+kc是同向还是反向？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵(a+b)∥(-b+kc)， 又-b+kc=(-1-2k，-2-2k )，a+b=(4，6)， ∴6(-1-2k)=4(-2-2k)，解得k=. 此时-b+kc=(-2，-3)，a+b=(4，6)=-2(-2，-3)， ∴a+b与-b+kc方向相反. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.已知两点A(3，-4)，B(-9，2)，点P在直线AB上，且||=||，求点P的坐标. 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设点P的坐标为(x，y)， ①若点P在线段AB上，则=， ∴(x-3，y+4)=(-9-x，2-y). 解得x=-1，y=-2，∴P(-1，-2). ②若点P在线段BA的延长线上， 则=-，∴(x-3，y+4)=-(-9-x，2-y). 解得x=7，y=-6，∴P(7，-6). 综上可得，点P的坐标为(-1，-2)或(7，-6). 答案 11.已知a=(1，2)，b=(3，4)，=a+5b，=-2a+8b，=3，则 A.A，B，C三点共线 B.A，C，D三点共线 C.A，B，D三点共线 D.B，C，D三点共线 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 综合运用 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知，=a+5b=(16，22)， =-2a+8b=(22，28)， =3(a-b)=(-6，-6)， ∴=+=(16，22)=， ∴∥有公共点B， ∴A，B，D三点共线，C正确，同理可判断A，B，D错误. 答案 12.(多选)下列结论正确的是 A.向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上 B.已知直线上有P1，P2，P三点，其中P1(2，-1)，P2(-1，3)，且= ，则点P的坐标为 C.向量=(k，12)，=(4，5)，=(10，k)，若A，B，C三点共线，则 k的值为-2或11 D.已知平面内O，A，B，C四点，其中A，B，C三点共线，O，A，B三点 不共线，且=x+y，则x+y=1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，向量是共线向量，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上，A错误； 对于B，设P(x，y)，由=， 得(x-2，y+1)=(-1-x，3-y)， 则解得B正确； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于C，=-=(k，12)-(4，5)=(k-4，7)， =-=(k，12)-(10，k)=(k-10，12-k). ∵A，B，C三点共线，∴∥， ∴(k-4)(12-k)-7(k-10)=0， 整理得k2-9k-22=0， 解得k=-2或11，C正确； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于D，∵A，B，C三点共线， ∴存在λ∈R，使=λ， ∴-=λ， ∴=(1-λ)+λ， ∴x=1-λ，y=λ， ∴x+y=1，D正确. 答案 13.已知A(2，4)，B(-4，6)，若=，=，则的坐标为 　　　　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设C(x1，y1)，D(x2，y2)， 由题意知=， 则(x1-2，y1-4)=(-6，2)=(-9，3)， ∴x1=-7，y1=7，即C(-7，7). 又=， 则(x2+4，y2-6)=(6，-2)=， ∴x2=4，y2=，即D，则=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.设=(-2，4)，=(-a，2)，=(b，0)，a>0，b>0，若A，B，C三点共线，则+的最小值为　　　　.  16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，得=-=(-a+2，-2)，=-=(b+2，-4).又A，B，C三点共线，则∥， 所以-4(-a+2)=-2(b+2)，整理得2a+b=2， 所以+=(2a+b) =≥=，当且仅当b=a时等号成立. 所以+. 答案 15.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c=λa+μb(λ，μ∈R)，则的值为 A.4 B. C.-4 D.- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 拓广探究 √ 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以a，b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系， 则a=(-1，1)，b=(6，2)，c=(-1，-3)， ∵c=λa+μb，即(-1，-3)=λ(-1，1)+μ(6，2) =(-λ+6μ，λ+2μ)， ∴∴==4. 答案 16.如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2，6)，B(6，4)，C(5，0)，D(1，0)，求直线AC与BD的交点P的坐标. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知得，=(5，4)，=(-3，6)，=(4，0). 由B，P，D三点共线可得存在实数λ， 使得=λ=(5λ，4λ). 又因为=-=(5λ-4，4λ)， 由共线得，6(5λ-4)+12λ=0. 解得λ===， 所以交点P的坐标为. 答案 第一章 <<< $$