1.1 集合（精讲）-2026年高考数学一轮复习《一隅三反》系列（新高考新题型）

1.1 集合（精讲） 考向一 元素的互异性 【例1-1】（2025高三·全国·专题练习）已知集合若，则的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．或 【例1-2】（24-25高三上·安徽宣城·期末）已知集合，，若，则a的值是（   ） A．1或2 B．或0 C．1 D． 【一隅三反】 1．（23-24高三下·山东青岛·开学考试）已知，则的取值为（   ） A．1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2 2.（2025·河北衡水·模拟预测）设集合，，若，则 . 3.（2025高三·全国·专题练习）已知，若，则 ． 考向二 无参集合间的关系 【例2-1】（2024·福建福州）已知集合，则下列关系中，正确的是（     ）. A． B． C． D． 【例2-2】（2025·宁夏吴忠·一模）已知集合，则（    ） A． B． C．⫋ D．⫋ 【一隅三反】 1.（2024·广东·一模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2（浙江省金华市十校2025届高三下学期4月模拟考试数学试题）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 3.（23-24黑龙江大庆·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 考向三 无参集合间的运算 【例3-1】（2025·天津南开·一模）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【例3-2】（2025高三下·全国·专题练习）（多选）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1.（2024·辽宁·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）已知集合，且，则集合B可以是（   ） A． B． C． D． 3.（24-25高三上·甘肃白银·期末）（多选）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4.（2025海南）（多选）已知集合，集合，则下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 考向四 （真）子集的个数 【例4-1】（2025·湖北武汉·一模）已知集合，，则的子集个数为（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（2025·河北沧州·一模）集合的真子集个数为（   ） A．15 B．16 C．31 D．32 【例4-3】（2025·广东广州·模拟预测）满足的集合A的个数为（   ） A．3 B．7 C．8 D．15 【一隅三反】 1.（24-25贵州黔西·阶段练习）已知集合，集合，则集合子集个数是（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 2（24-25高三下·安徽·阶段练习）已知集合，则集合A的子集个数为（     ） A．4 B．8 C．16 D．32 3.（2025·河北秦皇岛·一模）已知集合，集合，若集合满足⫋，则这样的集合共有 个. 考向五 集合中求参数 【例5-1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知集合，，若，则（   ） A．0 B． C．1 D．0或1 【例5-2】（2025·河南·三模）设集合，若，则（    ） A． B． C． D． 【例5-3】（2025·山东·模拟预测）已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例5-4】（2025·安徽安庆·二模）已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2024·四川绵阳·一模）集合，，且，实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或或 2.（2025·江西赣州·一模）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3（24-25高三上·河北承德·阶段练习）已知集合，．若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·河南·二模）已知集合，，若，则（   ） A． B． C． D． 5（2025·河北衡水·三模）（多选）已知集合，，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则 考向六 韦恩图及其应用 【例6-1】（2025·吉林·二模）设全集，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【例6-2】（24-25重庆·期末）如图，为全集，为的子集，则阴影部分所表示的集合可以为（    ） A． B． C． D． 【例6-3】（2025·江苏·一模）我市某校共有1500名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在楼上或楼下的一个食堂用餐，经统计，当天在楼上食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼下食堂用午餐：而当天在楼下食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼上食堂用楼午餐，则一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为（    ） A．700 B．800 C．900 D．1000 【一隅三反】 1.（2025北京）已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（    ） A． B．或 C． D． 2.（2025·湖南）（多选）图中阴影部分用集合符号可以表示为（   ） A． B． C． D． 3.（2025辽宁）（多选）某校举办运动会，高一的两个班共有120名同学，已知参加跑步､拔河､篮球比赛的人数分别为58，38，52，同时参加跑步和拔河比赛的人数为18，同时参加拔河和篮球比赛的人数为16，同时参加跑步､拔河､篮球三项比赛的人数为12，三项比赛都不参加的人数为20，则（    ） A．同时参加跑步和篮球比赛的人数为24 B．只参加跑步比赛的人数为26 C．只参加拔河比赛的人数为16 D．只参加篮球比赛的人数为22 考向七 函数集合 【例7】（2025·陕西咸阳·二模）已知集合，，则下列关系中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1（24-25高三下·山东聊城·阶段练习）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 2.（2025高三·全国·专题练习）已知集合，集合，则等于（    ） A． B． C． D． 3.．（24-25重庆）（多选）已知集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 考向八 点集合 【例8-1】（2025甘肃兰州·开学考试）已知集合，则集合的元素个数为 . 【例8-2】（2024·河南新乡·二模）（多选）已知，集合，，，，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1.（23-24海南·阶段练习）已知集合，且，则中元素的个数为 个. 2.（24-25高三上·上海浦东新·期中）已知集合，，则中有 个元素. 3.（24-25高三下·上海·开学考试）若集合，若集合恰有两个元素，则所有满足要求的实数组成的集合为 . 考向九 新定义 【例9】（2025高三·全国·专题练习）若平面点集满足：任意点，存在，都有，则称该点集是阶聚合点集． ①若，则是3阶聚合点集 ②存在对任意正数，使不是阶聚合点集 ③若，则不是阶聚合点集 ④ “”是“是阶聚合点集”的充要条件 其中所有正确结论的序号是 . 【一隅三反】 1.（2025海南·阶段练习）（多选）集合，是实数集的子集，定义，叫做集合的对称差．若集合，，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（2025·湖北武汉·二模）（多选）已知，记为集合中元素的个数，为集合中的最小元素．若非空数集，且满足，则称集合为“阶完美集”．记为全部阶完美集的个数，下列说法中正确的是（    ） A． B．将阶完美集的元素全部加1，得到的新集合，是阶完美集 C．若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为 D．若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为 3.（2025·浙江温州·模拟预测）（多选）给定，若集合，且存在，满足，则称P为“广义等差集合”．记P的元素个数为，则（    ） A．是“广义等差集合” B．是“广义等差集合” C．若P不是“广义等差集合”，当时，的最大值为4 D．若P不是“广义等差集合”，若的最大值为4，则n可以是13 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1 集合（精讲） 考向一 元素的互异性 【例1-1】（2025高三·全国·专题练习）已知集合若，则的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】B 【解析】因为所以或， 当时，，此时，，故舍去： 当时，解得或（舍去）， 综上．故选：B 【例1-2】（24-25高三上·安徽宣城·期末）已知集合，，若，则a的值是（   ） A．1或2 B．或0 C．1 D． 【答案】C 【解析】由题设，可得或， 当时，，满足题设； 当时，，不符合集合元素的互异性； 所以.故选：C 【一隅三反】 1．（23-24高三下·山东青岛·开学考试）已知，则的取值为（   ） A．1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2 【答案】C 【解析】由元素和集合关系可知：或或，解的或或， 由集合的性质可知，当时，不满足互异性，所以的取值为或.故选：C. 2.（2025·河北衡水·模拟预测）设集合，，若，则 . 【答案】 【解析】在中，，则且， 而，，显然，因此，解得，所以.故答案为： 3.（2025高三·全国·专题练习）已知，若，则 ． 【答案】1 【解析】由已知得，则，所以，于是，即或， 又由集合中元素的互异性知应舍去，故，所以．故答案为：1. 考向二 无参集合间的关系 【例2-1】（2024·福建福州）已知集合，则下列关系中，正确的是（     ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为集合， 对于A，因为，故选项A错误； 对于B，是一个集合，且，故选项B错误； 对于C，因为集合，所以集合与集合不存在包含关系，故选项C错误； 对于D，因为集合，任何集合都是它本身的子集，所以，故选项D正确， 故选：D. 【例2-2】（2025·宁夏吴忠·一模）已知集合，则（    ） A． B． C．⫋ D．⫋ 【答案】C 【解析】由，显然为奇数， 而，所以⫋.故选：C 【一隅三反】 1.（2024·广东·一模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由集合，，得.故选：D 2（浙江省金华市十校2025届高三下学期4月模拟考试数学试题）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，， 所以.故选：D. 3.（23-24黑龙江大庆·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由解得，由解得， 所以，， 所以，，， 又，所以，故选：B 考向三 无参集合间的运算 【例3-1】（2025·天津南开·一模）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题设，，则. 故选：A 【例3-2】（2025高三下·全国·专题练习）（多选）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于选项A：由，得4，所以，则，故A错误； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：由于，故，故C正确； 对于选项D：由于，故，故D错误 故选：BC 【一隅三反】 1.（2024·辽宁·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ，所以，故选：B 2（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）已知集合，且，则集合B可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，显然A中集合不合题意； B中集合为或，也不合题意， C中集合为，满足题意， D中集合为，不合题意. 故选：C 3.（24-25高三上·甘肃白银·期末）（多选）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】由题易知，，所以，， 所以，，，故选项A错误，选项B，C，D正确. 故选：BCD. 4.（2025海南）（多选）已知集合，集合，则下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】因为， 所以，故A错误； ，故B正确； 因为， 所以，故C错误； ，故D正确.故选：BD. 考向四 （真）子集的个数 【例4-1】（2025·湖北武汉·一模）已知集合，，则的子集个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知，，则，则子集的个数为个，故选：B. 【例4-2】（2025·河北沧州·一模）集合的真子集个数为（   ） A．15 B．16 C．31 D．32 【答案】A 【解析】不等式的解为，因为，所以， 所以集合的真子集个数为.故选：A. 【例4-3】（2025·广东广州·模拟预测）满足的集合A的个数为（   ） A．3 B．7 C．8 D．15 【答案】B 【解析】由，整理可得，解得或， 则，设，所以，可得. 故选：B. 【一隅三反】 1.（24-25贵州黔西·阶段练习）已知集合，集合，则集合子集个数是（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【解析】∵集合，集合， ∴.∴集合子集个数是.故选：B. 2（24-25高三下·安徽·阶段练习）已知集合，则集合A的子集个数为（     ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【解析】由，得或，解得或空集， 又，所以，则集合A的子集个数为.故选：C 3.（2025·河北秦皇岛·一模）已知集合，集合，若集合满足⫋，则这样的集合共有 个. 【答案】7 【解析】由⫋，则集合中一定有元素，且至少含有其中一个元素， 则这样的集合共有个.故答案为：7. 考向五 集合中求参数 【例5-1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知集合，，若，则（   ） A．0 B． C．1 D．0或1 【答案】C 【解析】因为集合，，， 所以，所以或， 若，则，此时，满足题意； 若，则，此时集合不满足集合元素的互异性，舍去． 综上，． 故选：C． 【例5-2】（2025·河南·三模）设集合，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，又， 所以当时，可得.故选：C. 【例5-3】（2025·山东·模拟预测）已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】有或，所以，， 由有，所以，即.故选：A. 【例5-4】（2025·安徽安庆·二模）已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，又，所以，得.故选：C. 【一隅三反】 1．（2024·四川绵阳·一模）集合，，且，实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或或 【答案】D 【解析】由集合，且，又由，可得， 当时，此时集合，满足； 当时，可得，要使得，则满足或，解得或， 综上可得，实数的值为或或.故选：D. 2.（2025·江西赣州·一模）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解集合，解集合， 因为，所以，故选：B. 3（24-25高三上·河北承德·阶段练习）已知集合，．若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 因为，且满足，，所以当时满足， 此时，解得，当时，则有，解得,综上，， 即实数的取值范围为．故选：A． 4．（2025·河南·二模）已知集合，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，， 所以是方程的根，则，解得， 故，合乎题意，故. 故选：C 5（2025·河北衡水·三模）（多选）已知集合，，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则 【答案】ABC 【解析】由已知得：，令 A：若，即是方程的两个根，则，得，正确； B：若，则，解得，正确； C：当时，，解得或，正确； D：当时，有，所以，错误； 故选：ABC. 考向六 韦恩图及其应用 【例6-1】（2025·吉林·二模）设全集，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 因为，所以，， 而阴影部分表示的集合是， 则图中阴影部分表示的集合是，故B正确. 故选：B 【例6-2】（24-25重庆·期末）如图，为全集，为的子集，则阴影部分所表示的集合可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由韦恩图知，阴影部分不在集合中，在集合中，其集合表示为. 故选：C 【例6-3】（2025·江苏·一模）我市某校共有1500名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在楼上或楼下的一个食堂用餐，经统计，当天在楼上食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼下食堂用午餐：而当天在楼下食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼上食堂用楼午餐，则一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为（    ） A．700 B．800 C．900 D．1000 【答案】C 【解析】设一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为， 则楼下食堂用午餐的学生数大约为， 原本在楼上食堂且留下的学生：占比，即， 从楼下食堂转来的学生：楼下食堂人数的，即， 所以，解得. 所以一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为. 故选：C 【一隅三反】 1.（2025北京）已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【解析】由图可知，阴影部分的元素为属于但不属于的元素构成， 所以集合表示为. 故选：A. 2.（2025·湖南）（多选）图中阴影部分用集合符号可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】如图，在阴影部分区域内任取一个元素，则或，所以阴影部分所表示的集合为 ，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为， 所以选项AD正确，选项BC不正确. 故选：AD. 3.（2025辽宁）（多选）某校举办运动会，高一的两个班共有120名同学，已知参加跑步､拔河､篮球比赛的人数分别为58，38，52，同时参加跑步和拔河比赛的人数为18，同时参加拔河和篮球比赛的人数为16，同时参加跑步､拔河､篮球三项比赛的人数为12，三项比赛都不参加的人数为20，则（    ） A．同时参加跑步和篮球比赛的人数为24 B．只参加跑步比赛的人数为26 C．只参加拔河比赛的人数为16 D．只参加篮球比赛的人数为22 【答案】BCD 【解析】设同时参加跑步和篮球比赛的人数为，由Venn图可得，，得，则只参加跑步比赛的人数为，只参加拔河比赛的人数为，只参加篮球比赛的人数为. 故选：BCD． 考向七 函数集合 【例7】（2025·陕西咸阳·二模）已知集合，，则下列关系中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由函数，可得，解得，所以， 又由，解得或，所以或， 则，，且，，故选：D. 【一隅三反】 1（24-25高三下·山东聊城·阶段练习）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】有意义，即有，解得， 故，则或}. ∵， ∴. 故选：B 2.（2025高三·全国·专题练习）已知集合，集合，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，， 得，，所以． 故选：C． 3.．（24-25重庆）（多选）已知集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】由可得 得， 故,A错误， ,B正确， ，C正确， ，D正确，故选：BCD 考向八 点集合 【例8-1】（2025甘肃兰州·开学考试）已知集合，则集合的元素个数为 . 【答案】1 【解析】集合， 把代入，得，， 集合中元素的个数为1.故答案为：1 【例8-2】（2024·河南新乡·二模）（多选）已知，集合，，，，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】表示过定点,且斜率为的直线的点构成的集合， 表示过定点且斜率为的直线的点构成的集合， 表示圆心为，半径为的圆上的点构成的集合， 表示圆心为，半径为的圆上的点构成的集合， 对于A，集合中的直线平行，故，故A正确， 对于B，由于，故在圆内， 故经过点的直线与圆相交，，故B正确， 对于C，由于，故在圆外， 故当经过点的直线与圆相离时，此时，故C错误， 对于D，由于，故两圆相交，，D错误， 故选：AB 【一隅三反】 1.（23-24海南·阶段练习）已知集合，且，则中元素的个数为 个. 【答案】 【解析】因为，且， 所以， 则中元素的个数为个. 故答案为： 2.（24-25高三上·上海浦东新·期中）已知集合，，则中有 个元素. 【答案】2 【解析】由且知，为偶函数， 故函数图象关于y轴对称， 当时，作出与圆的图象，如图， 由图象知，当时，有一个交点， 再由偶函数图象的对称性可知，当时，也有一个交点． 综上，图象与圆有两个交点， 所以中的元素个数为2个． 故答案为：. 3.（24-25高三下·上海·开学考试）若集合，若集合恰有两个元素，则所有满足要求的实数组成的集合为 . 【答案】 【解析】联立，得， 由，可知直线过点，则有一个公共点， 由，得， 当时，有，即，则有唯一解， 对的情况进行讨论： ①，此时有，，符合题意； ②，，符合题意； ③当是方程的一个解时，有，此时， 此时另外一个解为，符合题意， 综上，所有满足要求的实数组成的集合为. 故答案为： 考向九 新定义 【例9】（2025高三·全国·专题练习）若平面点集满足：任意点，存在，都有，则称该点集是阶聚合点集． ①若，则是3阶聚合点集 ②存在对任意正数，使不是阶聚合点集 ③若，则不是阶聚合点集 ④ “”是“是阶聚合点集”的充要条件 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①③④ 【解析】对于①，由可得，故是3阶聚合点集，即①正确； 对于②，对任意的点集，总存在，使得是1阶聚合点集，故②错误； 对于③，因，而， 故不是阶聚合点集，即③正确； 对于④，因是阶聚合点集等价于， 因，可得，又因，依题意可得，反之也成立， 故“是阶聚合点集”是“”的充要条件，即④正确. 故答案为：①③④ 【一隅三反】 1.（2025海南·阶段练习）（多选）集合，是实数集的子集，定义，叫做集合的对称差．若集合，，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】，A错误； ，，B正确； ，C正确； ，D错误. 故选：BC. 2.（2025·湖北武汉·二模）（多选）已知，记为集合中元素的个数，为集合中的最小元素．若非空数集，且满足，则称集合为“阶完美集”．记为全部阶完美集的个数，下列说法中正确的是（    ） A． B．将阶完美集的元素全部加1，得到的新集合，是阶完美集 C．若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为 D．若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为 【答案】ABD 【解析】当非空数集是子集中含个元素的子集时，.根据“n阶完美集”的定义，中大于等于的数有、、、共个，所以此时可以是、、、. 当非空数集是子集中含个元素的子集时，.中大于等于的数有、、共个，所以此时可以是、、. 当非空数集是子集中含个元素的子集时，.中大于等于的数有、共个，不满足“n阶完美集”的定义，所以中个元素的子集不满足. 同理，中含个元素的子集也不满足. 综上，4阶完美集有、、、、、、，所以，故A正确. 若将“n阶完美集”中元素全部加，中元素个数不变，但加变大，均不违背“阶完美集”的定义，所以得到的新集合是一个“阶完美集”，故B正确. 若，满足条件的集合的个数为7，而,C错误； 对于满足“阶完美集”的所有，不属于所有，可视为退化为“阶完美集”的情况，总个数为. 又因为，所以满足条件的集合要排除掉“阶完美集”中只含有个元素的情形（排除个单元素集合），因此满足条件的集合的个数均为，D正确. 故选：ABD. 3.（2025·浙江温州·模拟预测）（多选）给定，若集合，且存在，满足，则称P为“广义等差集合”．记P的元素个数为，则（    ） A．是“广义等差集合” B．是“广义等差集合” C．若P不是“广义等差集合”，当时，的最大值为4 D．若P不是“广义等差集合”，若的最大值为4，则n可以是13 【答案】ABC 【解析】对于A, 取，则符合“广义等差集合”的定义，故A正确， 对于B，取故B正确， 对于C，当时，，如时，设， 由题意可知两两不相同，则矛盾，故，当时，取,满足P不是“广义等差集合”，故的最大值为4，故C正确， 对于D,当时，取，这与矛盾，故D错误， 故选：ABC 1 学科网（北京）股份有限公司 $$