专题1.1 集合（六类核心考点精讲）-2026年高考数学一轮复习【重点•难点突破】精讲(新教材新高考)

专题1.1 集合 目录 目录 1 一、5年高考•真题感悟 2 二、课程标准•考情分析 4 【课程标准】 4 【考情分析】 4 【2026考向预测】 5 三、知识点•逐点夯实 5 知识点1、集合与元素 5 知识点2、集合间的基本关系 5 知识点3、集合的运算 6 【常用结论】 6 四、重点难点•分类突破 6 考点1 元素与集合的关系 6 考点2 集合中元素的三大特征 8 考点3 集合间的基本关系（子集、真子集与相等） 10 考点4 集合的基本运算（交集、并集、补基与全集） 12 考点5 韦恩图的应用 14 考点6 集合的创新定义运算 17 五、必考题型•分层训练 21 A、基础保分 21 B、综合提升 25 一、5年高考•真题感悟 1．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·全国甲卷·高考真题）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·天津·高考真题）集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2023·全国甲卷·高考真题）设全集,集合，（    ） A． B． C． D． 5．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 2、 课程标准•考情分析 【课程标准】 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题； 2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义； 3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算。 【5年考情分析】 5年考情分析 考题示例 考点分析 难易程度（简单、一般、较难、很难） 2025年新I卷，第2题,5分 集合的补集 简单 2025年新Ⅱ卷，第3题,5分 集合的交集 简单 2024年新I卷，第1题,5分 集合的交集 一般 2023年新I卷，第1题,5分 集合的交集 一般 2023年新Ⅱ卷，第2题,5分 元素的性质、集合的子集 简单 2022年新I卷，第1题,5分 集合的交集 简单 2022年新Ⅱ卷，第1题,5分 集合的交集 简单 【2026考向预测】 高考对集合的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大. 重点是集合间的基本运算，主要考查集合的交、并、补运算，常与一元二次不等式解法、一元一次不等式解法、分式不等式解法、指数、对数不等式解法结合 重点关注：集合与集合之间的关系，子集与真子集的个数及关系。 三、知识点•逐点夯实 知识点1．集合与元素 (1)、集合元素的三个特征： 、 、 ． (2)、元素与集合的关系是 或 关系，用符号 或 表示． (3)、集合的表示法： 、 、 ． (4)、常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 R (5)、集合的分类 若按元素的个数分类，可分为 、 、 ；若按元素的属性分类，可分为 、 等．特别注意空集是一个特殊而又重要的集合，如果一个集合不包含任何元素，这个集合就叫做空集，空集用符号 表示，规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．解题时切勿忽视空集的情形． 知识点2.集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 Venn图 子集 集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B) 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 集合相等 集合A，B中元素完全相同或集合A，B互为子集 子集与真子集的区别与联系：一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集. 知识点3.集合的运算 如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为 全集 ，全集通常用字母 U 表示； 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形 符号 A∪B＝ } A∩B＝ } ∁UA＝ } 【常用结论】 1．若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． 2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B 4．奇数集：. 5. 德▪摩根定律： ①并集的补集等于补集的交集，即； ②交集的补集等于补集的并集，即． 6. 数集运算的封闭性,高考多次考查,基础知识如下:若从某个非空数集中任选两个元素(同一元素可重复选出),选出的这两个元素通过某种(或几种)运算后的得数仍是该数集中的元素,那么,就说该集合对于这种(或几种)运算是封闭的.自然数集N对加法运算是封闭的;整数集Z对加、减、乘法运算是封闭的.有理数集、复数集对四则运算是封闭的.对加、减、乘运算封闭的数集叫数环,有限数集{0}就是一个数环,叫零环.设F是由一些数所构成的集合,其中包含0和1,如果对F中的任意两个数的和、差、积、商(除数不为0),仍是F中的数,即运算封闭,则称F为数域. 四、重点难点•分类突破 考点1 元素与集合的关系 例1．（2025·辽宁沈阳·一模）集合，则集合（    ） A． B． C． D． 例2．（2025·河南·一模）下列表达式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】．（2025·宁夏银川·一模）已知集合，则集合中元素的个数是（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 【变式训练2】．（2022·全国乙卷·高考真题）设全集，集合M满足，则（    ） A． B． C． D． 考点2 集合中元素的三大特征 例3．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知集合，，若中恰有三个元素，则由a的取值组成的集合为（    ） A． B． C． D． 例4．（2023·河南郑州·模拟预测）已知集合，，则集合中元素的个数为（    ） A．30 B．28 C．26 D．24 【变式训练3】．（2024·四川乐山·三模）已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练4】．（2025·江西新余·模拟预测）已知集合，，若，则实数 . 考点3 集合间的基本关系（子集、真子集与相等） 例5．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 例6．（2025·安徽安庆·二模）已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例7．（2025·河北衡水·模拟预测）设集合，，若，则 . 【变式训练5】．（2025·辽宁·模拟预测）已知集合，则的子集个数为（    ） A．3 B．7 C．8 D．9 【变式训练6】、（2025·广东广州·模拟预测）满足的集合A的个数为（   ） A．3 B．7 C．8 D．15 【变式训练7】．（2023·江西·模拟预测）已知实数集合，若， 则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 考点4 集合的基本运算（交集、并集、全集与补集） 例8．（2025·云南·模拟预测）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 例9．（2024·广东江苏·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 例10．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练8】．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练9】．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练10】．（2025·甘肃·二模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 考点5 韦恩图的应用（容斥原理） 例11．（2025·吉林·二模）设全集，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 例12．（24-25高三上·湖北·阶段练习）向50名学生调查对两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成的比赞成的多3人，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多1人.则下列说法错误的是（    ） A．赞成的不赞成的有9人 B．赞成的不赞成的有11人 C．对都赞成的有21人 D．对都不赞成的有8人 【变式训练11】．（24-25高三上·广东佛山·周测）已知全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合（   ） A．或 B．或 C． D． 【变式训练12】．（2024·河北石家庄·三模）（多选题）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 考点6 集合的创新定义运算 例13．（24-25高三上·河南新乡·期中）定义非空数集的“和睦数”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果.例如，集合的“和睦数”是，的“和睦数”是，的“和睦数”是1.对于集合，其所有非空子集的“和睦数”的总和为（    ） A．82 B．74 C．12 D．70 例14．（2025·浙江温州·模拟预测）（多选题）给定，若集合，且存在，满足，则称P为“广义等差集合”．记P的元素个数为，则（    ） A．是“广义等差集合” B．是“广义等差集合” C．若P不是“广义等差集合”，当时，的最大值为4 D．若P不是“广义等差集合”，若的最大值为4，则n可以是13 【变式训练13】、（2024·全国·模拟预测）大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积．两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作与的笛卡尔积，又称直积，记为．即且．关于任意非空集合，下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练14】（24-25高三上·河北石家庄·阶段练习）（多选题）群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：①对任意的a，，有；②对任意的a，b，，有；③存在，使得对任意的，有，e称为单位元；④对任意的，存在，使，称a与b互为逆元.则称G关于“”新构成一个群.则下列说法不正确的有（    ） A．关于数的乘法构成群 B．自然数集关于数的加法构成群 C．实数集关于数的乘法构成群 D．关于数的加法构成群 五、分层训练 一、单选题 1．（2025·浙江·二模）已知全集，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南长沙·一模）已知集合，那么集合（   ） A． B． C． D． 4．（2025·福建莆田·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·重庆·模拟预测）已知集合，，则（   ）. A． B． C． D． 6．（21-22高三下·四川德阳·期末）已知集合，集合，则的子集个数是（    ） A．8 B．7 C．4 D．3 二、多选题 7．（2024·江西·模拟预测）设集合，，若，则的值可以为（   ） A．1 B．0 C． D． 8．（2024·甘肃定西·一模）设集合，则（    ） A． B．的元素个数为16 C． D．的子集个数为64 三、填空题 9．（2025·上海崇明·二模）已知全集，集合，则 ． 10．（23-24高一上·上海徐汇·期末）已知集合，则 ． 11．（2023·湖北·模拟预测）从集合的非空子集中随机取出两个不同的集合A，，则在的条件下，恰有个元素的概率为（    ） A． B． C． D． 12．（2023·上海普陀·一模）设、、、、是均含有个元素的集合，且，，记，则中元素个数的最小值是（    ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 集合 目录 目录 1 一、5年高考•真题感悟 2 二、课程标准•考情分析 4 【课程标准】 4 【考情分析】 4 【2026考向预测】 5 三、知识点•逐点夯实 5 知识点1、集合与元素 5 知识点2、集合间的基本关系 5 知识点3、集合的运算 6 【常用结论】 6 四、重点难点•分类突破 6 考点1 元素与集合的关系 6 考点2 集合中元素的三大特征 8 考点3 集合间的基本关系（子集、真子集与相等） 10 考点4 集合的基本运算（交集、并集、补基与全集） 12 考点5 韦恩图的应用 14 考点6 集合的创新定义运算 17 五、必考题型•分层训练 21 A、基础保分 21 B、综合提升 25 一、5年高考•真题感悟 1．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】并集的概念及运算 【分析】直接根据并集含义即可得到答案. 【详解】由题意得. 故选：C. 2．（2024·全国甲卷·高考真题）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】交集的概念及运算 【分析】根据集合的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算. 【详解】依题意得，对于集合中的元素，满足， 则可能的取值为，即， 于是. 故选：C 3．（2024·天津·高考真题）集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】交集的概念及运算 【分析】根据集合交集的概念直接求解即可. 【详解】因为集合，， 所以， 故选：B 4．（2023·全国甲卷·高考真题）设全集,集合，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】交并补混合运算 【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出． 【详解】因为整数集，，所以，． 故选：A． 5．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【详解】方法一：因为，而， 所以． 故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以． 故选：C． 6．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可. 【详解】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 2、 课程标准•考情分析 【课程标准】 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题； 2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义； 3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算。 【5年考情分析】 5年考情分析 考题示例 考点分析 难易程度（简单、一般、较难、很难） 2025年新I卷，第2题,5分 集合的补集 简单 2025年新Ⅱ卷，第3题,5分 集合的交集 简单 2024年新I卷，第1题,5分 集合的交集 一般 2023年新I卷，第1题,5分 集合的交集 一般 2023年新Ⅱ卷，第2题,5分 元素的性质、集合的子集 简单 2022年新I卷，第1题,5分 集合的交集 简单 2022年新Ⅱ卷，第1题,5分 集合的交集 简单 【2026考向预测】 高考对集合的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大. 重点是集合间的基本运算，主要考查集合的交、并、补运算，常与一元二次不等式解法、一元一次不等式解法、分式不等式解法、指数、对数不等式解法结合 重点关注：集合与集合之间的关系，子集与真子集的个数及关系。 三、知识点•逐点夯实 知识点1．集合与元素 (1)、集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)、元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示． (3)、集合的表示法：列举法、描述法、Venn图法． (4)、常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N＋(或N*) Z Q R (5)、集合的分类 若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性分类，可分为点集、数集等．特别注意空集是一个特殊而又重要的集合，如果一个集合不包含任何元素，这个集合就叫做空集，空集用符号“∅”表示，规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．解题时切勿忽视空集的情形． 知识点2.集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 Venn图 子集 集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B) A⊆B (或B⊇A) 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 AB (或BA) 集合相等 集合A，B中元素完全相同或集合A，B互为子集 A＝B 子集与真子集的区别与联系：一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集. 知识点3.集合的运算 如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为 全集 ，全集通常用字母 U 表示； 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形 符号 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 【常用结论】 1．若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． 2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B 4．奇数集：. 5. 德▪摩根定律： ①并集的补集等于补集的交集，即； ②交集的补集等于补集的并集，即． 6. 数集运算的封闭性,高考多次考查,基础知识如下:若从某个非空数集中任选两个元素(同一元素可重复选出),选出的这两个元素通过某种(或几种)运算后的得数仍是该数集中的元素,那么,就说该集合对于这种(或几种)运算是封闭的.自然数集N对加法运算是封闭的;整数集Z对加、减、乘法运算是封闭的.有理数集、复数集对四则运算是封闭的.对加、减、乘运算封闭的数集叫数环,有限数集{0}就是一个数环,叫零环.设F是由一些数所构成的集合,其中包含0和1,如果对F中的任意两个数的和、差、积、商(除数不为0),仍是F中的数,即运算封闭,则称F为数域. 四、重点难点•分类突破 考点1 元素与集合的关系 例1．（2025·辽宁沈阳·一模）集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】列举法表示集合 【分析】先解绝对值不等式再结合自然数定义计算即可. 【详解】集合. 故选：B. 例2．（2025·河南·一模）下列表达式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系 【分析】利用元素与集合、集合与集合的关系，逐项判断得解. 【详解】对于正确；对于中无任何元素，而有一个元素错误； 对于C，，C正确；对于D，数对满足，则D正确. 故选：B 【变式训练1】．（2025·宁夏银川·一模）已知集合，则集合中元素的个数是（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】列举法求集合中元素的个数 【分析】根据题意，采用列举法表示集合即可求解. 【详解】由题，可得， 所以集合含有6个元素. 故选：C. 【变式训练2】．（2022·全国乙卷·高考真题）设全集，集合M满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】判断元素与集合的关系、补集的概念及运算 【分析】先写出集合,然后逐项验证即可 【详解】由题知,对比选项知，正确,错误 故选: 考点2 集合中元素的三大特征 例3．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知集合，，若中恰有三个元素，则由a的取值组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】根据并集结果求集合或参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】中恰有三个元素，则两集合中有一个相同元素，分类讨论列方程求解并检验即可. 【详解】因为中恰有三个元素，所以或或， 结合集合中元素的互异性，解得或或（舍去）或. 故选：D． 例4．（2023·河南郑州·模拟预测）已知集合，，则集合中元素的个数为（    ） A．30 B．28 C．26 D．24 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】集合元素互异性的应用、利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】 根据题意得到，再结合求解即可. 【详解】，， 因为， 当时，为偶数，共有个元素. 当时，为奇数， 此时，共有个元素. 当时，为奇数， 此时，有重复数字，去掉，共有个元素. 综上中元素的个数为个. 故选：B 【变式训练3】．（2024·四川乐山·三模）已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】根据集合的定义与运算法则，进行计算即可. 【详解】由题意知，，， 当，时，， 当，时，， 所以， 所以集合中的元素个数为4. 故选：C. 【变式训练4】．（2025·江西新余·模拟预测）已知集合，，若，则实数 . 【答案】或 【难度】0.94 【知识点】根据交集结果求集合或参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】根据集合元素互异性可得，由可得，然后分类讨论即可求得参数. 【详解】由题知，， 因为，所以， 则当时，，而； 当时，(舍)或， 所以或. 故答案为：或 考点3 集合间的基本关系（子集、真子集与相等） 例5．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可. 【详解】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 例6．（2025·安徽安庆·二模）已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据集合的包含关系求参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】先求出集合，然后利用列出方程即可得出答案. 【详解】， 又，所以，得. 故选：C. 例7．（2025·河北衡水·模拟预测）设集合，，若，则 . 【答案】/0.5 【难度】0.94 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据两个集合相等求参数 【分析】根据给定条件，利用集合元素的特性及集合相等求出. 【详解】在中，，则且， 而，，显然，因此，解得， 所以. 故答案为： 【变式训练5】．（2025·辽宁·模拟预测）已知集合，则的子集个数为（    ） A．3 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、交集的概念及运算、列举法求集合中元素的个数 【分析】根据题意先求出集合，利用集合的交集运算得到，再根据交集中元素的个数计算其子集的个数. 【详解】由题意得， 所以，所以的子集个数为. 故选：C. 【变式训练6】、（2025·广东广州·模拟预测）满足的集合A的个数为（   ） A．3 B．7 C．8 D．15 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、根据集合的包含关系求参数、补集的概念及运算 【分析】由一元二次方程以及集合之间的包含关系，可得答案. 【详解】由，整理可得，解得或， 则，设，所以，可得. 故选：B. 【变式训练7】．（2023·江西·模拟预测）已知实数集合，若， 则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】根据得到，或，，然后解方程，再根据集合中元素的互异性得到，，最后计算即可. 【详解】当，时，，或任意，（舍去）； 当，时，，，不成立， 所以，，. 故选：A. 考点4 集合的基本运算（交集、并集、全集与补集） 例8．（2025·云南·模拟预测）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】交并补混合运算 【分析】根据给定条件，利用交并补的运算求解. 【详解】由，得，而， 所以. 故选：B 例9．（2024·广东江苏·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】交集的概念及运算、由幂函数的单调性解不等式 【分析】化简集合，由交集的概念即可得解. 【详解】因为，且注意到， 从而. 故选：A. 例10．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】并集的概念及运算 【分析】直接根据并集含义即可得到答案. 【详解】由题意得. 故选：C. 【变式训练8】．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】求出集合,再求解判断选项. 【详解】解析：由题意可知，集合，或， . 故选：A． 【变式训练9】．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】解一元二次不等式求出集合，再根据补集、交集的定义计算可得. 【详解】由，即，解得， 所以，所以或， 又，所以. 故选：C 【变式训练10】．（2025·甘肃·二模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算、具体函数的定义域、由对数函数的单调性解不等式 【分析】由对数函数单调性解不等式及求解不等式，再由交集运算即可求解. 【详解】， 由可得：，则， 所以， 故选：D 考点5 韦恩图的应用（容斥原理） 例11．（2025·吉林·二模）设全集，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】利用Venn图求集合、交并补混合运算 【分析】先判断表示的集合怎么表示，再利用交集和并集的定义求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以，， 而阴影部分表示的集合是， 则图中阴影部分表示的集合是，故B正确. 故选：B 例12．（24-25高三上·湖北·阶段练习）向50名学生调查对两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成的比赞成的多3人，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多1人.则下列说法错误的是（    ） A．赞成的不赞成的有9人 B．赞成的不赞成的有11人 C．对都赞成的有21人 D．对都不赞成的有8人 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】容斥原理的应用 【分析】根据题意，用韦恩图进行求解即可. 【详解】赞成A的人数为，赞成B的人数为.记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A，赞成事件B的学生全体为集合B.如图所示， 设对事件A，B都赞成的学生人数为x， 则对A，B都不赞成的学生人数为.赞成A而不赞成B的人数为， 赞成B而不赞成的人数为.依题意，解得. 所以赞成A的不赞成B的有9人，赞成B的不赞成A的有12人，对A，B都赞成的有21人，对A，B都不赞成的有8人. 故选：B 【变式训练11】．（24-25高三上·广东佛山·周测）已知全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】利用Venn图求集合、解不含参数的一元二次不等式、并集的概念及运算、交集的概念及运算 【分析】解不等式化简集合，再结合韦恩图及集合运算求出答案. 【详解】依题意，或，而， 则，， 由韦恩图知，阴影部分是或. 故选：A 【变式训练12】．（2024·河北石家庄·三模）（多选题）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】根据交集结果求集合元素个数、容斥原理的应用 【分析】根据总人数和各个项目的人数，可求出三项比赛都参加的人数，从而可判定各选项. 【详解】根据题意，设{是参加100米的同学}， {是参加400米的同学}， {是参加1500米的同学}， 则 且 则， 所以三项比赛都参加的有2人，只参加100米比赛的有3人， 只参加400米比赛的有2人，只参加1500米比赛的有1人. 故选：ABD 考点6 集合的创新定义运算 例13．（24-25高三上·河南新乡·期中）定义非空数集的“和睦数”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果.例如，集合的“和睦数”是，的“和睦数”是，的“和睦数”是1.对于集合，其所有非空子集的“和睦数”的总和为（    ） A．82 B．74 C．12 D．70 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求集合的子集（真子集）、集合新定义 【分析】分别列举子集，根据“和睦数”的定义，即可求解每种情况的“和睦数”，相加即可求解. 【详解】，非空子集有个. 当子集为单元素集，，，时，“和睦数”分别为1，2，3，6，和为12； 当子集为双元素集，，，，，时， “和睦数”分别为3，4，7，5，8，9，和为36； 当子集为三元素集，，，时， “和睦数”分别为4，7，8，7，和为26； 当子集为四元素集时，“和睦数”为. 故“和睦数”的总和为. 故选：A 例14．（2025·浙江温州·模拟预测）（多选题）给定，若集合，且存在，满足，则称P为“广义等差集合”．记P的元素个数为，则（    ） A．是“广义等差集合” B．是“广义等差集合” C．若P不是“广义等差集合”，当时，的最大值为4 D．若P不是“广义等差集合”，若的最大值为4，则n可以是13 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】集合新定义 【分析】根据“广义等差集合”的定义即可列举求解AB,举反例即可求解D，根据时，设，利用裂项相消得矛盾求解C. 【详解】对于A, 取，则符合“广义等差集合”的定义，故A正确， 对于B，取故B正确， 对于C，当时，，如时，设， 由题意可知两两不相同，则矛盾，故，当时，取,满足P不是“广义等差集合”，故的最大值为4，故C正确， 对于D,当时，取，这与矛盾，故D错误， 故选：ABC 【点睛】方法点睛：对于以集合为背景的新定义问题的求解策略： 1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中； 2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素. 3、涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力. 【变式训练13】、（2024·全国·模拟预测）大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积．两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作与的笛卡尔积，又称直积，记为．即且．关于任意非空集合，下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】集合新定义、判断两个集合的包含关系、交集的概念及运算、并集的概念及运算 【分析】举例说明判断ABC；利用给定的定义结合集合运算的意义推理判断D. 【详解】对于A，若，则，A错误； 对于B，若，则， 而，B错误； 对于C，若，则， ，，，C错误； 对于D，任取元素，则且，则且， 于是且，即， 反之若任取元素，则且， 因此且，即且， 所以，即，D正确. 故选：D 【变式训练14】（24-25高三上·河北石家庄·阶段练习）（多选题）群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：①对任意的a，，有；②对任意的a，b，，有；③存在，使得对任意的，有，e称为单位元；④对任意的，存在，使，称a与b互为逆元.则称G关于“”新构成一个群.则下列说法不正确的有（    ） A．关于数的乘法构成群 B．自然数集关于数的加法构成群 C．实数集关于数的乘法构成群 D．关于数的加法构成群 【答案】ABC 【难度】0.15 【知识点】集合新定义 【分析】反例判断A，B，C是否满足④，对于D，对所有的，设，求出，依次看是否满足要求. 【详解】A：由且，使，但，不存在，使，故A错误； B：由且，都有，但，不存在，使，故B错误； C：由且，使，但，不存在，使，故C错误； D：对所有的，可设， 则， ①满足加法结合律，即，有； ②，使得，有； ③，设，使，正确. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：对于D，对所有的，，求出. 五、分层训练 一、单选题 1．（2025·浙江·二模）已知全集，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】交并补混合运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】确定全集和集合，再求出，最后根据补集的定义求出． 【详解】已知全集，表示自然数集，所以． 对于集合，解不等式，则其解为． 又因为，所以． 已知，，可得． 因为，，所以． 故选：C． 2．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】交并补混合运算、由指数函数的单调性解不等式 【分析】先求解集合，再求出集合在中的补集，最后求出集合与的交集. 【详解】已知，因为，所以. 根据指数函数的单调性，对于指数函数，函数在上单调递增. 那么由可得，即，所以. 已知，，所以. 故选：D. 3．（2025·湖南长沙·一模）已知集合，那么集合（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】交集的概念及运算、由对数函数的单调性解不等式 【分析】分别求出集合，利用交集的定义求解即可. 【详解】因为,所以, 故选：A. 4．（2025·福建莆田·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算 【分析】根据题意求集合B，进而可得交集. 【详解】因为，则， 所以． 故选：A． 5．（2025·重庆·模拟预测）已知集合，，则（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算 【分析】集合A，B可化为分母相同的元素，其中分子分别为除3余2整数，除2余1整数，据此可得出交集. 【详解】集合，, 所以， 故选：C 6．（21-22高三下·四川德阳·期末）已知集合，集合，则的子集个数是（    ） A．8 B．7 C．4 D．3 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、并集的概念及运算 【分析】根据并运算可得，即可根据子集个数公式求解. 【详解】,所以子集个数为， 故选：A 二、多选题 7．（2024·江西·模拟预测）设集合，，若，则的值可以为（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】根据并集结果求集合或参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】由，可得，再分和两种情况讨论即可. 【详解】， 因为，所以， 当时，， 当时，， 则或，所以或， 综上所述，或或. 故选：ABD. 8．（2024·甘肃定西·一模）设集合，则（    ） A． B．的元素个数为16 C． D．的子集个数为64 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、解不含参数的一元二次不等式、交集的概念及运算、并集的概念及运算 【分析】解二次不等式化简集合，进而求得集合，利用集合的交并运算与常用数集的定义，结合集合子集个数的求法逐一分析各选项即可得解. 【详解】对于ABC，因为， 所以，即， 所以有个元素，故A错误，BC正确； 对于D，而有个元素，所以的子集个数为，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 9．（2025·上海崇明·二模）已知全集，集合，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】交并补混合运算 【分析】由集合运算求出，然后得到. 【详解】，∴， 故答案为： 10．（23-24高一上·上海徐汇·期末）已知集合，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据集合交集运算律即可求解. 【详解】因为， 又， 所以. 故答案为： 11．（2023·湖北·模拟预测）从集合的非空子集中随机取出两个不同的集合A，，则在的条件下，恰有个元素的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】交并补混合运算、计算古典概型问题的概率、求集合的子集（真子集）、实际问题中的组合计数问题 【分析】按照要求分类讨论计算即可. 【详解】由题意可分以下四种情况讨论： ①若A中有一个元素，则B中至少有三个元素，此时满足的情况有种，而满足恰有个元素的有种； ②若A中有两个元素，则B中至少有两个元素，此时满足的情况有种，而满足恰有个元素的有种； ③若A中有三个元素，则B中至少有一个元素，此时满足的情况有种，而满足恰有个元素的有种； ④若A中有四个元素，则B中至少有一个元素，此时满足的情况 有种，而满足恰有个元素的有种； 故满足题意的概率为：， 故选：B 【点睛】本题考查集合与古典概型，较为新颖，属于较难题.关键在于分类讨论要不重复不遗漏，需要较高的逻辑思维. 12．（2023·上海普陀·一模）设、、、、是均含有个元素的集合，且，，记，则中元素个数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】根据交集结果求集合元素个数、根据并集结果求集合元素个数 【分析】设、、、是集合互不相同的元素，分析可知，然后对的取值由小到大进行分析，验证题中的条件是否满足，即可得解. 【详解】解：设、、、是集合互不相同的元素，若，则，不合乎题意. ①假设集合中含有个元素，可设，则， ，这与矛盾； ②假设集合中含有个元素，可设，， ，，，满足题意. 综上所述，集合中元素个数最少为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查集合元素个数的最值的求解，解题的关键在于对集合元素的个数由小到大进行分类，对集合中的元素进行分析，验证题中条件是否成立即可. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$