第六章 6.4.3 第2课时 正弦定理-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（人教A版2019）

第六章 <<< 第2课时 正弦定理 1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系. 2.掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判断三角形解的个数问题.(重难点) 学习目标 余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接解三角形的公式.如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？本节课我们就来学习一下！ 导 语 一、正弦定理的推导 二、已知两角及任意一边解三角形 课时对点练 三、已知两边及其中一边的对角解三角形 随堂演练 内容索引 四、三角形解的个数的判断 一 正弦定理的推导 如图，在Rt△ABC中，C=90°，边a，b，c与角A，B的关系是什么？ 问题1 提示　sin A=，sin B=，可以变形写成c==，又sin C=1，则上式可写成==. 在锐角三角形和钝角三角形中，上述关系是否成立？你能用向量的方法证明吗？ 问题2 则j与的夹角为-A，j与的夹角为-C. 因为+=， 所以j·(+)=j·. 由分配律，得j·+j·=j·， 即|j|||cos+|j|||cos =|j|||cos， 提示　如图，在锐角△ABC中，过点A作与垂直的单位向量j， 也即asin C=csin A，所以=. 同理，过点C作与垂直的单位向量m，可得 =.因此==. 当△ABC是钝角三角形时，不妨设A为钝角(如图所示)， 过点A作与垂直的单位向量j，则j与的夹角为A-，j与的夹角为-C， 仿照上述方法， 同样可得==. 在△ABC中，==，那么这个比值与三角形的外接圆有什么关系？ 问题3 提示　如图，圆O是△ABC的外接圆，直径为2R，B'为圆周上一点，满足∠B'CA=，连接AB'，则AB'=2R. 根据圆的性质，∠AB'C=∠ABC， 在Rt△AB'C中，=2R， 所以==2R， 即在△ABC中，有=2R成立， 同理，过B作BC的垂线BA'交圆于A'点，连接A'C， 则有2R==成立， 过B作BA的垂线BC'交圆于C'点，连接AC'， 则有2R==成立， 所以在△ABC中，===2R，2R为△ABC的外接圆直径. 正弦 1.正弦定理语言叙述：在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相 等，即________________=2R(其中R为△ABC的外接圆半径). == 知识梳理 2.正弦定理的变形 若R为△ABC外接圆的半径，则 (1)a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2Rsin C. (2)sin A=_____，sin B=_____，sin C=_____. (3)a∶b∶c=____________________.  (4)=2R. sin A∶sin B∶sin C 边角互化时，边与对角的正弦值不能直接互化，而应考虑式子中的“2R”能否约去. 注 意 点 <<< 15 二 已知两角及任意一边解三角形 在△ABC中，已知B=30°，C=105°，b=4，解这个三角形. 例 1 因为B=30°，C=105°，所以 A=180°-(B+C)=180°-(30°+105°)=45°. 又因为b=4，则由正弦定理， 得==， 解得a==4，c==2+2. 17 反 思 感 悟 (1)已知两角及任意一边解三角形的步骤：①根据三角形的内角和为180°，求出第三个角；②代入正弦定理求其他边长. (2)正弦定理实际上是三个等式：=，=，=，每个等式涉及四个元素，知道其中的三个就可以求另外一个. 　在△ABC中，已知a=10，B=75°，C=60°，则c=　　　　.  跟踪训练 1 ∵A+B+C=180°，∴A=180°-75°-60°=45°.由正弦定理=， 得c===5. 5 19 三 已知两边及其中一边的对角解三角形 在△ABC中，已知c=，A=45°，a=2，解这个三角形. 例 2 21 由正弦定理=， 得sin C===， ∵0°<C<180°，∴C=60°或C=120°. 当C=60°时，B=75°， b===+1； 当C=120°时，B=15°，b===-1. 综上，b=+1，B=75°，C=60°或b=-1，B=15°，C=120°. 22 若把本例中的条件“A=45°”改为“C=45°”，则角A有几个值？ 延伸探究 23 由正弦定理=， 得sin A===. ∵c=>2=a，∴A< C=45°. ∴0°<A< 45°，且sin A=，这样的角A只有一个，即A只有1个值. 24 反 思 感 悟 (1)利用正弦定理解三角形的步骤 ①用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角. ②用三角形内角和定理求出第三个角. ③根据正弦定理求出第三边. 其中进行①时要注意讨论该角是否可能有两个值. (2)利用余弦定理解三角形的步骤 先利用余弦定理求出第三边，再应用其推论求出另外两个角. 已知两边及其中一边的对角，解三角形 　(1)在△ABC中，角A，B，C分别对应边a，b，c，已知a=，b=，B=60°，则C=　　　 .  跟踪训练 2 由正弦定理=， 得=， 解得sin A=， ∵b>a，∴A为锐角，∴A=45°， ∴C=180°-B-A=180°-60°-45°=75°. 75° 26 (2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a=，b=2，A=60°. ①求sin B的值； 由正弦定理=， 可得=，所以sin B=. 27 ②求c的值. 28 方法一　根据条件，b<a，∴B为锐角， 由①sin B=，所以cos B=， 所以sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B =×+×=， 由正弦定理=可得c=3. 29 方法二　由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A， 得()2=22+c2-2×2ccos 60°， 整理得c2-2c-3=0， 解得c=3或c=-1(舍去)， 所以c=3. 30 四 三角形解的个数的判断 下列三角形是否有解？有解的作出解答. (1)a=7，b=8，A=105°； 例 3 由a=7，b=8，可得a<b，所以A<B， 又由A=105°>90°， 所以这样的三角形无解. 32 (2)b=10，c=5，C=60°； 由b=10，c=5， 可得b<c，所以B<C， 又由C=60°<90°，所以这样的三角形只有一解. 由正弦定理，得sin B===， 所以B=45°， 所以A=180°-(B+C)=75°，所以a====5+5. 33 (3)a=2，b=6，A=30°. 34 由a=2，b=6，可得a<b， 又由A=30°<90°，且bsin A=6sin 30°=3，可得a>bsin A， 所以这样的三角形有两解. 由正弦定理，可得sin B===， 所以B=60°或B=120°， 当B=60°时，C=180°-(A+B)=90°， c===4； 35 当B=120°时，C=180°-(A+B)=30°， c===2， 所以B=60°，C=90°，c=4或B=120°，C=30°，c=2. 36 反 思 感 悟 (1)代数法：应用三角形中“大边对大角”的性质以及正弦函数的值域判断另一边对角的可能情况，进而判断三角形解的个数. 已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法 反 思 感 悟 (2)几何法：在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表：   A为钝角 A为直角 A为锐角 a>b 一解 一解 一解 a=b 无解 无解 一解 a<b 无解 无解 a>bsin A 两解 a=bsin A 一解 a<bsin A 无解 　不解三角形，判断下列三角形解的个数. (1)a=5，b=4，A=120°； 跟踪训练 3 sin B=sin 120°=×<，所以三角形有一解. 39 (2)a=9，b=10，A=60°； sin B=sin 60°=×=<<1. 所以当B为锐角时，满足sin B=的角B的取值范围是60°<B<90°.满足A+B<180°； 当B为钝角时，满足sin B=的角B的取值范围是90°<B<120°，也满足A+B<180°.故三角形有两解. 40 (3)b=72，c=50，C=135°. sin B==sin C>sin C=. 所以B>45°，所以B+C>180°，故三角形无解. 41 1.知识清单： (1)正弦定理及变形推论. (2)利用正弦定理解三角形. (3)三角形解的个数的判断. 2.方法归纳：转化化归、数形结合. 3.常见误区：已知两边及一边所对的角解三角形时易忽略分类讨论. 课堂小结 42 随堂演练 五 1 2 3 4 1.在△ABC中，a=5，b=3，则的值是 A. B. C. D. √ 根据正弦定理，得==. 2.在△ABC中，若A=60°，B=45°，BC=3，则AC等于 A.4 B.2 C. D. 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 由正弦定理==， 所以AC=×=2. 3.已知在△ABC中，b=4，c=2，C=30°，那么此三角形 A.有一解 B.有两解 C.无解 D.解的个数不确定 1 2 3 4 √ 由正弦定理和已知条件，得=， ∴sin B=>1，∴此三角形无解. 4.在△ABC中，D为BC边上一点.若AD=CD，B=60°， BA=5，BC=8，则sin∠BAD=　　　　.  1 2 3 4 1 2 3 4 设AD=CD=x，则BD=8-x， 在△ABD中，由余弦定理得AD2=AB2+BD2-2AB·BDcos B， 则x2=52+(8-x)2-2×5(8-x)cos 60°， 解得x=， 于是AD=，BD=8-=， 由正弦定理=，得sin∠BAD==. 课时对点练 六 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C C D ACD B 1 　 题号 11 12 13 14 　15 答案 B A ABD (，2) ACD 对一对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 由正弦定理=， 得a===10. 又∵B=180°-(A+C) =180°-(45°+30°)=105°， 由正弦定理=， 得b===20sin 75°=20×=5(+). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (1)由bsin A=acos B及正弦定理， 得sin Bsin A=sin Acos B. 在△ABC中，sin A≠0， ∴sin B=cos B， ∴tan B=. ∵0<B<π，∴B=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (2)由sin C=sin A及正弦定理， 得c=a， ① 由余弦定理b2=a2+c2-2accos B， 得32=a2+c2-2accos ， 即a2+c2-ac=9， ② 联立①②，解得a=3，c=3(负值舍去). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 由正弦定理 ==， 得===2， ∴b=2sin B，c=2sin C， ∴△ABC的周长L=a+b+c=+2sin B+2sin C =+2sin B+2sin=+3sin B+cos B=+2sin， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 又B∈， ∴B+∈， ∴sin∈， ∴L∈(2，3］. 即△ABC的周长的取值范围为(2，3］. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.在△ABC中，已知A=，a=，b=1，则c的值为 A.1 B.2 C.-1 D.l 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础巩固 √ 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由正弦定理=， 可得=，∴sin B=， 由a>b，得A>B， ∴B∈， ∴B=.故C=，由勾股定理得c=2. 答案 2.在△ABC中，已知AB=AC，B=30°，则C等于 A.45° B.15° C.45°或135° D.15°或105° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 由正弦定理=， 得=，解得sin C=， 由AB=AC可知AB>AC，所以C>B， 因为0°<C<180°，所以C=45°或C=135°. 答案 3.在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，sin B =，c=7，则a等于 A.2 B.4 C.5 D.10 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知，在锐角△ABC中，sin B=，则cos B=， 故sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B =×+×=， 则由正弦定理=得a===5. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.在△ABC中，A∶B∶C=4∶1∶1，则a∶b∶c等于 A.∶1∶1 B.∶1∶1 C.∶1∶1 D.∶1∶1 √ 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵A+B+C=180°，A∶B∶C=4∶1∶1， ∴A=120°，B=30°，C=30°. 由正弦定理的变形公式， 得a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C =sin 120°∶sin 30°∶sin 30° =∶∶=∶1∶1. 答案 5.(多选)下列说法正确的是 A.在△ABC中，a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C B.在△ABC中，若sin 2A=sin 2B，则A=B C.在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B；若A>B，则sin A>sin B D.在△ABC中，= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，由正弦定理===2R，可得a∶b∶c=2Rsin A∶2Rsin B ∶2Rsin C=sin A∶sin B∶sin C，故A正确； 对于B，由sin 2A=sin 2B，可得2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=，故B错误； 对于C，在△ABC中，由正弦定理，可得sin A>sin B⇔a>b⇔A>B，因此A>B是sin A>sin B的充要条件，故C正确； 对于D，由正弦定理===2R， 可得右边==2R=左边，故D正确. 答案 6.在△ABC中，已知B=60°，最大边与最小边的比为，则三角形的最大角为 A.60° B.75° C.90° D.115° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 不妨设a为最大边，c为最小边， 由题意有==， 即=， 整理，得(3-)sin A=(3+)cos A. 所以tan A=2+，所以A=75°. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.在△ABC中，已知a∶b∶c=4∶3∶5，则=　　.  设a=4k，b=3k，c=5k(k>0)，由正弦定理， 得===1. 16 1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A=，cos C=，a=1，则sin B=　　　　，b=　　　.  16 在△ABC中，由cos A=，cos C=， 可得sin A=，sin C=， 所以sin B=sin［π-(A+C)］=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=， 又a=1，故由正弦定理，得b==. 答案 69 9.已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c=10，A=45°，C=30°，求a，b和B的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由正弦定理=， 得a===10. 又∵B=180°-(A+C)=180°-(45°+30°)=105°， 由正弦定理=， 得b===20sin 75° =20×=5(+). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A=acos B. (1)求B； 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由bsin A=acos B及正弦定理， 得sin Bsin A=sin Acos B. 在△ABC中，sin A≠0，∴sin B=cos B， ∴tan B=. ∵0<B<π，∴B=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若b=3，sin C=sin A，求a，c. 16 由sin C=sin A及正弦定理， 得c=a， ① 由余弦定理b2=a2+c2-2accos B， 得32=a2+c2-2accos ， 即a2+c2-ac=9， ② 联立①②，解得a=3，c=3(负值舍去). 答案 11.在△ABC中，若=，则角B的值为 A.30° B.45° C.60° D.90° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 综合运用 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为=， 所以bsin A=acos B， 由正弦定理，可得sin Bsin A=sin Acos B， 又sin A>0， 所以sin B=cos B， 即tan B=1，又0°<B<180°， 所以B=45°. 答案 12.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b=5c，C=2B，则cos C等于 A. B.- C.± D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且8b=5c，C=2B，所以8sin B=5sin C=5sin 2B=10sin Bcos B，又sin B≠0，所以cos B=，所以cos C=cos 2B=2cos2B-1=. 答案 13.(多选)根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是 A.a=8，b=16，A=30°，有一解 B.b=18，c=20，B=60°，有两解 C.a=5，c=2，A=90°，无解 D.a=30，b=25，A=150°，有一解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A中，∵=，∴sin B==1，∴B=90°，即只有一解，故A正确； B中，∵=，∴sin C==，且c>b，∴C>B，即有两解，故B正确； C中，∵A=90°，a=5，c=2，∴b===，有解，故C错误； D中，∵=，∴sin B==，又b<a，∴角B只有一解，故D正确. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，且A=60°，a=，b=x.若满足条件的三角形有两个，则x的取值范围是　　　　　.  (，2) 16 在△ABC中，a=，b=x，A=60°.若满足条件的△ABC有两个，则bsin A<a<b，即x<<x，解得<x<2，则x的取值范围是(，2). 答案 15.(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11，则下列结论正确的是 A.sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6 B.△ABC是钝角三角形 C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍 D.若c=6，则△ABC外接圆的半径为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 拓广探究 √ 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11， 所以可设(x>0)，解得 所以sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=4∶5∶6， 所以A正确； 由上可知，c最大，所以△ABC中角C最大， 又cos C===>0，所以C为锐角，所以B错误； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由上可知，a最小，所以△ABC中角A最小， 又cos A===，所以cos 2A=2cos2A-1=， 所以cos 2A=cos C. 因为△ABC中角C最大且C为锐角， 所以2A∈(0，π)，C∈， 所以2A=C，所以C正确； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理得2R=， 又sin C==， 所以2R=，解得R=，所以D正确. 答案 16.在△ABC中，a=，A=，试求△ABC的周长的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由正弦定理==， 得===2， ∴b=2sin B，c=2sin C， ∴△ABC的周长L=a+b+c=+2sin B+2sin C =+2sin B+2sin =+3sin B+cos B=+2sin， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又B∈， ∴B+∈， ∴sin∈， ∴L∈(2，3］. 即△ABC的周长的取值范围为(2，3］. 答案 第一章 <<< $$ 第2课时　正弦定理 ［学习目标］　1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系.2.掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判断三角形解的个数问题.(重难点) 导语 余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接解三角形的公式.如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？本节课我们就来学习一下！ 一、正弦定理的推导 问题1　如图，在Rt△ABC中，C=90°，边a，b，c与角A，B的关系是什么？ 提示　sin A=，sin B=，可以变形写成c==，又sin C=1，则上式可写成==. 问题2　在锐角三角形和钝角三角形中，上述关系是否成立？你能用向量的方法证明吗？ 提示　如图，在锐角△ABC中，过点A作与垂直的单位向量j， 则j与的夹角为-A，j与的夹角为-C. 因为+=， 所以j·(+)=j·. 由分配律，得j·+j·=j·， 即|j|||cos+|j|||cos =|j|||cos， 也即asin C=csin A，所以=. 同理，过点C作与垂直的单位向量m，可得 =.因此==. 当△ABC是钝角三角形时，不妨设A为钝角(如图所示)， 过点A作与垂直的单位向量j，则j与的夹角为A-，j与的夹角为-C， 仿照上述方法， 同样可得==. 问题3　在△ABC中，==，那么这个比值与三角形的外接圆有什么关系？ 提示　如图，圆O是△ABC的外接圆，直径为2R，B'为圆周上一点，满足∠B'CA=，连接AB'，则AB'=2R. 根据圆的性质，∠AB'C=∠ABC， 在Rt△AB'C中，=2R， 所以==2R， 即在△ABC中，有=2R成立， 同理，过B作BC的垂线BA'交圆于A'点，连接A'C， 则有2R==成立， 过B作BA的垂线BC'交圆于C'点，连接AC'， 则有2R==成立， 所以在△ABC中，===2R，2R为△ABC的外接圆直径. 知识梳理 1.正弦定理语言叙述：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即===2R(其中R为△ABC的外接圆半径). 2.正弦定理的变形 若R为△ABC外接圆的半径，则 (1)a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2Rsin C. (2)sin A=，sin B=，sin C=. (3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.  (4)=2R. 注意点：边角互化时，边与对角的正弦值不能直接互化，而应考虑式子中的“2R”能否约去. 二、已知两角及任意一边解三角形 例1　在△ABC中，已知B=30°，C=105°，b=4，解这个三角形. 解　因为B=30°，C=105°，所以 A=180°-(B+C)=180°-(30°+105°)=45°. 又因为b=4，则由正弦定理， 得==， 解得a==4，c==2+2. 反思感悟　(1)已知两角及任意一边解三角形的步骤：①根据三角形的内角和为180°，求出第三个角；②代入正弦定理求其他边长. (2)正弦定理实际上是三个等式：=，=，=，每个等式涉及四个元素，知道其中的三个就可以求另外一个. 跟踪训练1　在△ABC中，已知a=10，B=75°，C=60°，则c=　　　　.  答案　5 解析　∵A+B+C=180°，∴A=180°-75°-60°=45°.由正弦定理=， 得c===5. 三、已知两边及其中一边的对角解三角形 例2　在△ABC中，已知c=，A=45°，a=2，解这个三角形. 解　由正弦定理=， 得sin C===， ∵0°<C<180°，∴C=60°或C=120°. 当C=60°时，B=75°， b===+1； 当C=120°时，B=15°， b===-1. 综上，b=+1，B=75°，C=60°或b=-1，B=15°，C=120°. 延伸探究　若把本例中的条件“A=45°”改为“C=45°”，则角A有几个值？ 解　由正弦定理=， 得sin A===. ∵c=>2=a，∴A< C=45°. ∴0°<A< 45°，且sin A=，这样的角A只有一个，即A只有1个值. 反思感悟　已知两边及其中一边的对角，解三角形 (1)利用正弦定理解三角形的步骤 ①用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角. ②用三角形内角和定理求出第三个角. ③根据正弦定理求出第三边. 其中进行①时要注意讨论该角是否可能有两个值. (2)利用余弦定理解三角形的步骤 先利用余弦定理求出第三边，再应用其推论求出另外两个角. 跟踪训练2　(1)在△ABC中，角A，B，C分别对应边a，b，c，已知a=，b=，B=60°，则C=　　　　 .  答案　75° 解析　由正弦定理=， 得=， 解得sin A=， ∵b>a，∴A为锐角， ∴A=45°， ∴C=180°-B-A=180°-60°-45°=75°. (2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a=，b=2，A=60°. ①求sin B的值； ②求c的值. 解　①由正弦定理=， 可得=，所以sin B=. ②方法一　根据条件，b<a，∴B为锐角， 由①sin B=，所以cos B=， 所以sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B =×+×=， 由正弦定理=可得c=3. 方法二　由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A， 得()2=22+c2-2×2ccos 60°， 整理得c2-2c-3=0， 解得c=3或c=-1(舍去)， 所以c=3. 四、三角形解的个数的判断 例3　下列三角形是否有解？有解的作出解答. (1)a=7，b=8，A=105°； (2)b=10，c=5，C=60°； (3)a=2，b=6，A=30°. 解　(1)由a=7，b=8，可得a<b，所以A<B， 又由A=105°>90°， 所以这样的三角形无解. (2)由b=10，c=5， 可得b<c，所以B<C， 又由C=60°<90°， 所以这样的三角形只有一解. 由正弦定理，得sin B===， 所以B=45°， 所以A=180°-(B+C)=75°， 所以a====5+5. (3)由a=2，b=6，可得a<b， 又由A=30°<90°，且bsin A=6sin 30°=3，可得a>bsin A， 所以这样的三角形有两解. 由正弦定理，可得sin B===， 所以B=60°或B=120°， 当B=60°时，C=180°-(A+B)=90°， c===4； 当B=120°时，C=180°-(A+B)=30°， c===2， 所以B=60°，C=90°，c=4或B=120°，C=30°，c=2. 反思感悟　已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法 (1)代数法：应用三角形中“大边对大角”的性质以及正弦函数的值域判断另一边对角的可能情况，进而判断三角形解的个数. (2)几何法：在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表： A为钝角 A为直角 A为锐角 a>b 一解 一解 一解 a=b 无解 无解 一解 a<b 无解 无解 a>bsin A 两解 a=bsin A 一解 a<bsin A 无解 跟踪训练3　不解三角形，判断下列三角形解的个数. (1)a=5，b=4，A=120°； (2)a=9，b=10，A=60°； (3)b=72，c=50，C=135°. 解　(1)sin B=sin 120°=×<，所以三角形有一解. (2)sin B=sin 60°=×=，而<<1. 所以当B为锐角时，满足sin B=的角B的取值范围是60°<B<90°.满足A+B<180°； 当B为钝角时，满足sin B=的角B的取值范围是90°<B<120°，也满足A+B<180°.故三角形有两解. (3)sin B==sin C>sin C=. 所以B>45°，所以B+C>180°，故三角形无解. 1.知识清单： (1)正弦定理及变形推论. (2)利用正弦定理解三角形. (3)三角形解的个数的判断. 2.方法归纳：转化化归、数形结合. 3.常见误区：已知两边及一边所对的角解三角形时易忽略分类讨论. 1.在△ABC中，a=5，b=3，则的值是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　根据正弦定理，得==. 2.在△ABC中，若A=60°，B=45°，BC=3，则AC等于(　　) A.4 B.2 C. D. 答案　B 解析　由正弦定理=，得=， 所以AC=×=2. 3.已知在△ABC中，b=4，c=2，C=30°，那么此三角形(　　) A.有一解 B.有两解 C.无解 D.解的个数不确定 答案　C 解析　由正弦定理和已知条件，得=， ∴sin B=>1，∴此三角形无解. 4.在△ABC中，D为BC边上一点.若AD=CD，B=60°，BA=5，BC=8，则sin∠BAD=　　　　.  答案　 解析　设AD=CD=x，则BD=8-x， 在△ABD中，由余弦定理得AD2=AB2+BD2-2AB·BDcos B， 则x2=52+(8-x)2-2×5(8-x)cos 60°， 解得x=， 于是AD=，BD=8-=， 由正弦定理=， 得sin∠BAD==. 　　　　 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.在△ABC中，已知A=，a=，b=1，则c的值为(　　) A.1 B.2 C.-1 D. 答案　B 解析　由正弦定理=， 可得=，∴sin B=， 由a>b，得A>B， ∴B∈， ∴B=.故C=，由勾股定理得c=2. 2.在△ABC中，已知AB=AC，B=30°，则C等于(　　) A.45° B.15° C.45°或135° D.15°或105° 答案　C 解析　由正弦定理=， 得=，解得sin C=， 由AB=AC可知AB>AC，所以C>B， 因为0°<C<180°，所以C=45°或C=135°. 3.在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，sin B=，c=7，则a等于(　　) A.2 B.4 C.5 D.10 答案　C 解析　由题意可知，在锐角△ABC中，sin B=，则cos B=， 故sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B =×+×=， 则由正弦定理=得 a===5. 4.在△ABC中，A∶B∶C=4∶1∶1，则a∶b∶c等于(　　) A.∶1∶1 B.∶1∶1 C.∶1∶1 D.∶1∶1 答案　D 解析　∵A+B+C=180°，A∶B∶C=4∶1∶1， ∴A=120°，B=30°，C=30°. 由正弦定理的变形公式， 得a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C =sin 120°∶sin 30°∶sin 30° =∶∶=∶1∶1. 5.(多选)下列说法正确的是(　　) A.在△ABC中，a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C B.在△ABC中，若sin 2A=sin 2B，则A=B C.在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B；若A>B，则sin A>sin B D.在△ABC中，= 答案　ACD 解析　对于A，由正弦定理===2R，可得a∶b∶c=2Rsin A∶2Rsin B∶2Rsin C=sin A∶sin B∶sin C，故A正确； 对于B，由sin 2A=sin 2B，可得2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=，故B错误； 对于C，在△ABC中，由正弦定理，可得sin A>sin B⇔a>b⇔A>B，因此A>B是sin A>sin B的充要条件，故C正确； 对于D，由正弦定理===2R， 可得右边==2R=左边，故D正确. 6.在△ABC中，已知B=60°，最大边与最小边的比为，则三角形的最大角为(　　) A.60° B.75° C.90° D.115° 答案　B 解析　不妨设a为最大边，c为最小边， 由题意有==， 即=， 整理，得(3-)sin A=(3+)cos A. 所以tan A=2+，所以A=75°. 7.(5分)在△ABC中，已知a∶b∶c=4∶3∶5，则=　　　　　.  答案　1 解析　设a=4k，b=3k，c=5k(k>0)，由正弦定理， 得===1. 8.(5分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A=，cos C=，a=1，则sin B=　　　　，b=　　　　.  答案　　 解析　在△ABC中，由cos A=，cos C=， 可得sin A=，sin C=， 所以sin B=sin［π-(A+C)］=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=， 又a=1，故由正弦定理，得b==. 9.(10分)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c=10，A=45°，C=30°，求a，b和B的值. 解　由正弦定理=， 得a===10. 又∵B=180°-(A+C)=180°-(45°+30°)=105°， 由正弦定理=， 得b===20sin 75° =20×=5(+). 10.(10分) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A=acos B. (1)求B；(5分) (2)若b=3，sin C=sin A，求a，c.(5分) 解　(1)由bsin A=acos B及正弦定理， 得sin Bsin A=sin Acos B. 在△ABC中，sin A≠0，∴sin B=cos B， ∴tan B=. ∵0<B<π，∴B=. (2)由sin C=sin A及正弦定理， 得c=a， ① 由余弦定理b2=a2+c2-2accos B， 得32=a2+c2-2accos ， 即a2+c2-ac=9， ② 联立①②，解得a=3，c=3(负值舍去). 11.在△ABC中，若=，则角B的值为(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 答案　B 解析　因为=， 所以bsin A=acos B， 由正弦定理，可得sin Bsin A=sin Acos B， 又sin A>0， 所以sin B=cos B， 即tan B=1，又0°<B<180°， 所以B=45°. 12.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b=5c，C=2B，则cos C等于(　　) A. B.- C.± D. 答案　A 解析　因为在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且8b=5c，C=2B，所以8sin B=5sin C=5sin 2B=10sin Bcos B，又sin B≠0，所以cos B=，所以cos C=cos 2B=2cos2B-1=. 13.(多选)根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是(　　) A.a=8，b=16，A=30°，有一解 B.b=18，c=20，B=60°，有两解 C.a=5，c=2，A=90°，无解 D.a=30，b=25，A=150°，有一解 答案　ABD 解析　A中，∵=，∴sin B==1，∴B=90°，即只有一解，故A正确； B中，∵=，∴sin C==，且c>b，∴C>B，即有两解，故B正确； C中，∵A=90°，a=5，c=2，∴b===，有解，故C错误； D中，∵=，∴sin B==，又b<a，∴角B只有一解，故D正确. 14.(5分)已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，且A=60°，a=，b=x.若满足条件的三角形有两个，则x的取值范围是　　　　　.  答案　(，2) 解析　在△ABC中，a=，b=x，A=60°.若满足条件的△ABC有两个，则bsin A<a<b，即x<<x，解得<x<2，则x的取值范围是(，2). 15.(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11，则下列结论正确的是(　　) A.sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6 B.△ABC是钝角三角形 C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍 D.若c=6，则△ABC外接圆的半径为 答案　ACD 解析　因为(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11， 所以可设(x>0)，解得 所以sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=4∶5∶6， 所以A正确； 由上可知，c最大，所以△ABC中角C最大， 又cos C===>0，所以C为锐角，所以B错误； 由上可知，a最小，所以△ABC中角A最小， 又cos A===，所以cos 2A=2cos2A-1=， 所以cos 2A=cos C. 因为△ABC中角C最大且C为锐角， 所以2A∈(0，π)，C∈， 所以2A=C，所以C正确； 设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理得2R=，又sin C==， 所以2R=，解得R=，所以D正确. 16.(12分)在△ABC中，a=，A=，试求△ABC的周长的取值范围. 解　由正弦定理==， 得===2， ∴b=2sin B，c=2sin C， ∴△ABC的周长L=a+b+c=+2sin B+2sin C =+2sin B+2sin =+3sin B+cos B =+2sin， 又B∈， ∴B+∈， ∴sin∈， ∴L∈(2，3］. 即△ABC的周长的取值范围为(2，3］. 学科网（北京）股份有限公司 $$