第十章 §10.2 第2课时 事件的相互独立性(二)-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（人教A版2019）

第2课时　事件的相互独立性(二) ［学习目标］　1.掌握事件相互独立的定义，及其与对立事件的区别.(重点)2.会利用相互独立事件概率公式求比较复杂的概率问题.(难点)　　　　　　　　　　　　　　　　 导语 前面我们学习了事件的相互独立性，事件A与事件B相互独立是如何定义的呢？两事件独立，与它们的对立事件又有什么关系呢？ 一、相互独立事件的有关证明 例1　若P(A)>0，P(B)>0，证明：事件A，B相互独立与A，B互斥不能同时成立. 证明　若事件A，B相互独立， 则P(AB)=P(A)P(B)>0； 若事件A，B互斥，则P(AB)=0， 所以当P(A)>0，P(B)>0时，事件A，B相互独立与A，B互斥不能同时成立. 反思感悟　利用两个事件相互独立和互斥的定义证明了在两个事件的概率不为0的情况下，互斥和相互独立不能同时成立，也就是说如果两个事件的概率不是0并且互斥的情况下，这两个事件就不独立. 跟踪训练1　证明必然事件Ω和不可能事件∅与任意事件相互独立. 证明　设任意事件记作A， 则A∩Ω=A，A∩∅=∅. 因为P(Ω)=1，P(∅)=0， 所以P(AΩ)=P(A)=P(A)×1 =P(A)P(Ω)， P(A∅)=P(∅)=0=P(A)×0=P(A)P(∅)， 所以A与Ω，A与∅都相互独立. 二、相互独立事件概率的计算 例2　甲、乙、丙三人分别独立解一道题，甲做对的概率是，三人都做对的概率是，三人全做错的概率是. (1)分别求乙、丙两人各自做对这道题的概率； (2)求甲、乙、丙中恰有一个人做对这道题的概率. 解　(1)分别设“甲、乙、丙三人各自做对这道题”为事件A，B，C， 则P(A)=，由题意得 解得P(B)=，P(C)=或P(B)=， P(C)=. 所以乙、丙两人各自做对这道题的概率分别为和或和. (2)设“甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题”为事件D， 则P(D)=P(A)P()P()+P()P(B)P()+P()P()P(C)=++=.所以甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为. 反思感悟　求解相互独立事件的概率的具体步骤 (1)确定各事件是否相互独立. (2)确定各事件是否会同时发生. (3)先确定每个事件的概率，再计算其积. 跟踪训练2　一次数学考试的试卷上有4道填空题，共20分，每道题完全答对得5分，否则得0分，在试卷命题时，设计第一道题使考生都能完全答对，后三道题能得出正确答案的概率分别为p，，，且每题答对与否相互独立. (1)当p=时，求考生填空题得满分的概率； (2)若考生填空题得10分与得15分的概率相等，求p的值. 解　设“考生填空题得满分、15分 、10分”分别为事件A，B，C. (1)P(A)=××=. (2)P(B)=p××+p××+(1-p)××=+， P(C)=p××+(1-p)××+(1-p)××=-， 因为P(B)=P(C)，所以+=-， 解得p=. 三、相互独立事件的综合应用 例3　有甲、乙、丙三支足球队互相进行比赛，每场都要分出胜负，已知甲队胜乙队的概率是0.4，甲队胜丙队的概率是0.3，乙队胜丙队的概率是0.5，现规定比赛顺序：第一场甲队对乙队，第二场是第一场中的胜者对丙队，第三场是第二场中的胜者对第一场中的败者，以后每一场都是上一场中的胜者对前一场中的败者，若某队连胜四场则比赛结束，求： (1)第四场结束比赛的概率； (2)第五场结束比赛的概率. 解　(1)因为甲连胜四场的概率P1=0.4×0.3×0.4×0.3=0.014 4. 乙连胜四场的概率P2=0.6×0.5×0.6×0.5=0.09， 所以第四场结束比赛的概率P=P1+P2=0.014 4+0.09=0.104 4. (2)第五场结束比赛即某队从第二场起连胜四场，只有丙队有可能. 若甲胜第一场，则丙连胜四场的概率P3=0.4×0.7×0.5×0.7×0.5=0.049， 若乙胜第一场，则丙连胜四场的概率P4=0.6×0.5×0.7×0.5×0.7=0.073 5，所以第五场结束比赛的概率P5=P3+P4=0.122 5. 反思感悟　求较复杂事件的概率的一般步骤 (1)列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示. (2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的)，列出关系式. (3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算. (4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率. 跟踪训练3　某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.在竞赛中，假设甲队每人回答问题的正确率均为，乙队每人回答问题的正确率分别为，，，且两队每人回答问题正确与否相互之间没有影响. (1)求甲队总得分为3分的概率； (2)求甲队总得分为3分且乙队总得分为1分的概率. 解　(1)记“甲队总得分为3分”为事件A， 甲队得3分，即三人都回答正确， 其概率P(A)==. (2)记“乙队总得分为1分”为事件B. 乙队得1分，即乙队三人中只有1人回答正确，其余2人回答错误， 则P(B)=××+××+××=， 由题意得事件A与事件B相互独立， 则甲队总得分为3分且乙队总得分为1分的概率为P(AB)=P(A)P(B)=×=. 1.知识清单： (1)相互独立事件的证明. (2)相互独立事件概率的计算. (3)相互独立事件的综合应用. 2.方法归纳：构造方程(组)、正难则反思想求概率. 3.常见误区：相互独立事件与互斥事件易混淆. 1.一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都熔断的概率为(　　) A.1 B.0.629 C.0 D.0.74或0.85 答案　B 解析　设“甲保险丝熔断”为事件A，“乙保险丝熔断”为事件B， 则P(A)=0.85，P(B)=0.74， 由事件A与B相互独立， 得“两根保险丝都熔断”为事件AB， ∴P(AB)=P(A)·P(B)=0.85×0.74 =0.629. 2.已知一批学生体形合格的概率为，视力合格的概率为，其他综合标准合格的概率为，从中任选一学生，则三项均合格的概率为(假设三项标准互不影响)(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由题意知三项标准互不影响， ∴P=××=. 3.已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为0.7，0.8，0.85，且3人是否击中目标相互独立.若他们3人向目标各发1枪，则目标没有被击中的概率为　　　　.  答案　0.009 解析　3人向目标各发1枪，由相互独立事件的概率计算公式，得目标没有被击中的概率P=(1-0.7)×(1-0.8)×(1-0.85)=0.3×0.2×0.15=0.009. 4.假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是　　　　.  答案　0.98 解析　至少有一个准时响的概率为1-(1-0.90)×(1-0.80)=1-0.10×0.20=0.98. 　　　　 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共24分 1.某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8，0.6，0.5，只有通过前一关才能进入下一关，且通过每关相互独立.一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为(　　) A.0.48 B.0.4 C.0.32 D.0.24 答案　D 解析　由题意可知该选手只闯过前两关，第三关没闯过，由相互独立事件的概率可知P=0.8×0.6×(1-0.5)=0.24，故该选手只闯过前两关的概率为0.24. 2.某零件的加工共需四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为2%，3%，5%，3%，假设各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率约为(　　) A.22.5% B.15.5% C.15.3% D.12.4% 答案　D 解析　四道工序中只要有一道工序加工出次品，则加工出来的零件就是次品.设事件A=“加工出来的零件是次品”，则P()=(1-2%)(1-3%)(1-5%)(1-3%)≈87.6%，故加工出来的零件的次品率约为1-87.6%=12.4%. 3.从甲袋内摸出1个白球的概率为，从乙袋内摸出1个白球的概率是，从两个袋内各摸出1个球，那么概率为的事件是(　　) A.2个球都是白球 B.2个球都不是白球 C.2个球不都是白球 D.2个球恰好有1个白球 答案　C 解析　从甲袋内摸出白球与从乙袋内摸出白球两事件相互独立，故两个球都是白球的概率为×=，所以两个球不都是白球的概率为1-=. 4.如图所示，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是互相独立的，则灯亮的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　灯不亮(A，B至少有一个未闭合，且C，D都未闭合)的概率为××=×=.故灯亮的概率为1-=. 5.(多选)一个正八面体的八个面上分别标有数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为x1，x2，记事件A为“x1=3”，事件B为“x2=6”，事件C为“x1+x2=9”，则(　　) A.AB⊆C B.AC⊆B C.B，C互斥 D.B，C相互独立 答案　ABD 解析　事件AB为“x1=3且x2=6”， 事件C包含的样本点有x1=1，x2=8；x1=2，x2=7；x1=3，x2=6；x1=4，x2=5；x1=5，x2=4；x1=6，x2=3；x1=7，x2=2；x1=8，x2=1，共8个， 所以AB⊆C，故A正确； 事件AC为“x1=3且x1+x2=9”即“x1=3且x2=6”， 所以AC⊆B，故B正确； 当x1=3且x2=6时，事件B，C同时发生， 所以B，C不互斥，故C错误； P(B)=，P(C)==， 而事件BC为“x1=3且x2=6”，则P(BC)==， 所以P(BC)=P(B)P(C)，所以B，C相互独立，故D正确. 6.一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体两次，并记录每次正四面体朝下的面上的数字.记事件A为“两次记录的数字和为奇数”，事件B为“两次记录的数字和大于4”，事件C为“第一次记录的数字为奇数”，事件D为“第二次记录的数字为偶数”，则(　　) A.A与D不相互独立 B.C与D不相互独立 C.B与C相互独立 D.A与C相互独立 答案　D 解析　连续抛掷这个正四面体两次，样本点有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16个. 其中事件A包括(1，2)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，3)，共8个. 事件B包括(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共10个. 事件C包括(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，共8个. 事件D包括(1，2)，(1，4)，(2，2)，(2，4)，(3，2)，(3，4)，(4，2)，(4，4)，共8个. 因为P(A)==，P(D)==， 而P(AD)==， 因为两个事件A，D的发生与否互不影响，且P(AD)=P(A)P(D)，所以A与D相互独立，故A错误； 因为P(C)==，P(D)==， 而P(CD)==. 因为两个事件C，D的发生与否互不影响，且P(CD)=P(C)P(D)，所以C与D相互独立，故B错误； 因为P(B)==，P(C)==， 而P(BC)==. 因为P(BC)≠P(B)P(C)，所以B与C不相互独立，故C错误； 因为P(A)==，P(C)==， 而P(AC)==. 因为两个事件A，C的发生与否互不影响，且P(AC)=P(A)P(C)，所以A与C相互独立，故D正确. 7.(5分)有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是　　　　.  答案　0.26 解析　所求概率P=0.8×0.1+0.2×0.9=0.26. 8.(5分)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)，有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为0.3，0.4，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别是0.4，0.3，两人租车时间都不会超过四小时，则甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为　　　　.  答案　0.33 解析　由题意可得，甲租车在三小时以上且不超过四小时还车的概率为1-0.3-0.4=0.3， 乙租车在三小时以上且不超过四小时还车的概率为1-0.4-0.3=0.3， 记“甲、乙两人所付租车费用相同”为事件A，则P(A)=0.3×0.4+0.4×0.3+0.3×0.3=0.33. 9.(10分)某校组织了一场比赛，最终A，B两队进入决赛，两队各由3名选手组成，每局两队各派一名选手出场，除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，负者得0分.假设每局比赛A队选手获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，求比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率. 解　比赛结束时A队的得分高于B队的得分包含三种情况. ①A全胜；②第一局A胜，第二局B胜，第三局A胜；③第一局B胜，第二局A胜，第三局A胜. 所以比赛结束时，A队的得分高于B队的得分的概率P=+××+××=. 10.(10分)A，B是治疗同一种疾病的药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效，若在一个试验组中，服用A有效的白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组.设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为. (1)求一个试验组为甲类组的概率；(7分) (2)观察3个试验组，求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率.(3分) 解　(1)设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小白鼠有i只”，i=0，1，2.Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i只”，i=0，1，2.依题意得P(A1)=2××=， P(A2)=×=，P(B0)=×=， P(B1)=2××=. 故所求概率P=P(B0A1)+P(B0A2)+P(B1A2)=×+×+×=. (2)所求概率P'=1-=. 11.在东京奥运会乒乓球男子单打决赛中，中国选手马龙战胜队友樊振东，夺得冠军.乒乓球决赛采用7局4胜制.在决胜局的比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方.在10∶10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球.若在决胜局比赛中，马龙发球时马龙得分的概率为，樊振东发球时马龙得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方10∶10平后，马龙先发球，则双方战至13∶11的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　记甲为马龙，乙为樊振东，在比分为10∶10后甲先发球的情况下，甲以13∶11赢下此局分两种情况： ①后四球胜方依次为甲乙甲甲， 概率P1=×××=； ②后四球胜方依次为乙甲甲甲， 概率P2=×××=； 乙以13∶11赢下此局分两种情况： ①后四球胜方依次为乙甲乙乙， 概率P3=×××=， ②后四球胜方依次为甲乙乙乙， 概率P4=×××=， 所以所求事件概率为P1+P2+P3+P4 =+++=. 12.(多选)如图，这是一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，其中n(Ω)=120，n(A)=40，n(B)=30，n(A∩B)=10，则(　　) A.P(AB)= B.P(A∪B)= C.A与B互斥 D.A与B相互独立 答案　ABD 解析　因为n(Ω)=120，n(A)=40，n(B)=30，n(A∩B)=10， 所以P(A)==， P(B)==， P(AB)==， 所以P(AB)=P(A)P(B)，即A与B相互独立，故A，D正确； 因为n(A∩B)=10，所以A与B不互斥，故C错误； P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=+-=，故B正确. 13.(多选)伯努利试验是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是每次试验只有两种可能结果.若连续抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记录这n次试验的结果，设事件M=“n次试验结果中，既出现正面又出现反面”，事件N=“n次试验结果中，最多只出现一次反面”，则下列结论正确的是(　　) A.若n=2，则M与N不互斥 B.若n=2，则M与N相互独立 C.若n=3，则M与N互斥 D.若n=3，则M与N相互独立 答案　AD 解析　当n=2时，所有样本点有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，共4个， 其中(正，反)和(反，正)这两种试验结果，事件M和事件N同时发生，故M与N不互斥，A选项正确； P(M)=，P(N)=，P(MN)=，P(MN)≠P(M)P(N)，则M与N不相互独立，B选项错误； 当n=3时，所有样本点有(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，共8个， 其中(正，正，反)，(正，反，正)和(反，正，正)这三种试验结果，事件M和事件N同时发生，故M与N不互斥，C选项错误； P(M)==，P(N)==，P(MN)=，P(MN)=P(M)P(N)，则M与N相互独立，D选项正确. 14.(5分)某机构对国产杀毒软件进行考核，每个软件进行四轮考核，每轮考核中能够准确对病毒进行查杀的进入下一轮考核，否则被淘汰，已知某个软件在四轮考核中能够准确对病毒进行查杀的概率依次是，，，，且各轮考核能否通过互不影响，则该软件至多进入第三轮考核的概率为　　　　.  答案　 解析　设事件Ai(i=1，2，3，4)表示“该软件在第i轮能够准确对病毒进行查杀”，由已知得P(A1)=，P(A2)=，P(A3)=，P(A4)=，设事件C表示“该软件至多进入第三轮”，则P(C)=P(∪A1∪A1A2)=P()+P(A1)+P(A1A2)=+×+××=. 15.(多选)人类的四种血型与基因类型的对应为O型的基因类型为ii，A型的基因类型为IAi或IAIA，B型的基因类型为IBi或IBIB，AB型的基因类型为IAIB，其中，IA和IB是显性基因，i是隐性基因.则下列说法正确的是(　　) A.若父母的血型不相同，则父母血型的基因类型组合有18种 B.若父母的血型不相同，则父母血型的基因类型组合有26种 C.若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为AB型，孩子与父亲血型相同的概率为 D.若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为AB型，孩子与父亲血型相同的概率为 答案　BC 解析　若父母的血型不相同， 当父亲血型的基因类型为ii时，母亲的可以是IAi，IAIA，IBi，IBIB，IAIB，共5种； 当父亲血型的基因类型为IAi时，母亲的可以是ii，IBi，IBIB，IAIB，共4种； 当父亲血型的基因类型为IAIA时，母亲的可以是ii，IBi，IBIB，IAIB，共4种； 当父亲血型的基因类型为IBi时，母亲的可以是ii，IAi，IAIA，IAIB，共4种； 当父亲血型的基因类型为IBIB时，母亲的可以是ii，IAi，IAIA，IAIB，共4种； 当父亲血型的基因类型为IAIB时，母亲的可以是ii，IAi，IAIA，IBi，IBIB，共5种， 所以父母血型的基因类型组合有5+4+4+4+4+5=26(种)，故A错误，B正确； 若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为AB型，即基因类型为IAIB，则父亲血型的基因类型可能是IAIA，IAIB，IBIB，其对应的概率分别为，，， 当父亲血型的基因类型是IAIA，母亲的为IAIB时，孩子的可能是IAIA，IAIB，对应的概率分别为，，故此时孩子与父亲血型相同的概率为×=； 当父亲血型的基因类型是IAIB，母亲的为IAIB时，孩子的可能是IAIA，IAIB，IBIB，对应的概率分别为，，，故此时孩子与父亲血型相同的概率为×=； 当父亲血型的基因类型是IBIB，母亲的为IAIB时，孩子的可能是IBIB，IAIB，对应的概率分别为，，故此时孩子与父亲血型相同的概率为×=， 综上，若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为AB型，孩子与父亲血型相同的概率为++=，故C正确，D错误. 16.(11分)在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为， 收到1的概率为. (1)重复发送信号1三次，计算至少收到两次1的概率；(4分) (2)依次发送1，1，0，判断以下两个事件：①事件A=“至少收到一个正确信号”；②事件B=“至少收到两个0”，是否相互独立，并给出证明.(7分) 解　(1)重复发送信号1三次，“至少收到两次1”的可能情况为(1，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)， 因为信号的传输相互独立， 故“至少收到两次1”的概率为××+××+××+××=. (2)事件A与事件B不相互独立，证明如下： 若依次发送1，1，0，则“三次都没收到正确信号”的概率为××=，故“至少收到一个正确信号”的概率P(A)=1-=； 若依次发送1，1，0，则“至少收到两个0”的可能情况为(0，0，0)，(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)，根据事件的相互独立性， 故P(B)=××+××+××+××==； 若依次发送1，1，0，“至少收到两个0且至少收到一个正确信号”的可能情况为(0，0，0)，(0，1，0)，(1，0，0)，根据事件的相互独立性， 故P(AB)=××+××+××=， 因为P(A)P(B)≠P(AB)，所以事件A与事件B不相互独立. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时 第十章 <<< 事件的相互独立性(二) 1.掌握事件相互独立的定义，及其与对立事件的区别.(重点) 2.会利用相互独立事件概率公式求比较复杂的概率问题.(难点) 学习目标 前面我们学习了事件的相互独立性，事件A与事件B相互独立是如何定义的呢？两事件独立，与它们的对立事件又有什么关系呢？ 导 语 一、相互独立事件的有关证明 二、相互独立事件概率的计算 课时对点练 三、相互独立事件的综合应用 随堂演练 内容索引 相互独立事件的有关证明 一 　　　若P(A)>0，P(B)>0，证明：事件A，B相互独立与A，B互斥不能同时成立. 例 1 若事件A，B相互独立， 则P(AB)=P(A)P(B)>0； 若事件A，B互斥，则P(AB)=0， 所以当P(A)>0，P(B)>0时，事件A，B相互独立与A，B互斥不能同时成立. 6 利用两个事件相互独立和互斥的定义证明了在两个事件的概率不为0的情况下，互斥和相互独立不能同时成立，也就是说如果两个事件的概率不是0并且互斥的情况下，这两个事件就不独立. 反 思 感 悟 7 　　　　　证明必然事件Ω和不可能事件∅与任意事件相互独立. 跟踪训练 1 设任意事件记作A， 则A∩Ω=A，A∩∅=∅. 因为P(Ω)=1，P(∅)=0， 所以P(AΩ)=P(A)=P(A)×1 =P(A)P(Ω)， P(A∅)=P(∅)=0=P(A)×0=P(A)P(∅)， 所以A与Ω，A与∅都相互独立. 8 二 相互独立事件概率的计算 　　　甲、乙、丙三人分别独立解一道题，甲做对的概率是，三人都做对的概率是，三人全做错的概率是. (1)分别求乙、丙两人各自做对这道题的概率； 例 2 10 分别设“甲、乙、丙三人各自做对这道题”为事件A，B，C， 则P(A)=，由题意得 　 解得P(B)=，P(C)=或P(B)=， P(C)=. 所以乙、丙两人各自做对这道题的概率分别为. 11 (2)求甲、乙、丙中恰有一个人做对这道题的概率. 设“甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题”为事件D， 则P(D)=P(A)P()P()+P()P(B)P()+P()P()P(C)=++=. 所以甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为. 12 反 思 感 悟 (1)确定各事件是否相互独立. (2)确定各事件是否会同时发生. (3)先确定每个事件的概率，再计算其积. 求解相互独立事件的概率的具体步骤 　　　　　一次数学考试的试卷上有4道填空题，共20分，每道题完全答对得5分，否则得0分，在试卷命题时，设计第一道题使考生都能完全答对，后三道题能得出正确答案的概率分别为p，，，且每题答对与否相互独立. (1)当p=时，求考生填空题得满分的概率； 跟踪训练 2 设“考生填空题得满分、15分 、10分”分别为事件A，B，C. P(A)=××=. 14 (2)若考生填空题得10分与得15分的概率相等，求p的值. P(B)=p××+p××+(1-p)××=+， P(C)=p××+(1-p)××+(1-p)××=-， 因为P(B)=P(C)，所以+=-， 解得p=. 15 相互独立事件的综合应用 三 　　　有甲、乙、丙三支足球队互相进行比赛，每场都要分出胜负，已知甲队胜乙队的概率是0.4，甲队胜丙队的概率是0.3，乙队胜丙队的概率是0.5，现规定比赛顺序：第一场甲队对乙队，第二场是第一场中的胜者对丙队，第三场是第二场中的胜者对第一场中的败者，以后每一场都是上一场中的胜者对前一场中的败者，若某队连胜四场则比赛结束，求： (1)第四场结束比赛的概率； 例 3 因为甲连胜四场的概率P1=0.4×0.3×0.4×0.3=0.014 4. 乙连胜四场的概率P2=0.6×0.5×0.6×0.5=0.09， 所以第四场结束比赛的概率P=P1+P2=0.014 4+0.09=0.104 4. 17 (2)第五场结束比赛的概率. 第五场结束比赛即某队从第二场起连胜四场，只有丙队有可能. 若甲胜第一场，则丙连胜四场的概率P3=0.4×0.7×0.5×0.7×0.5=0.049， 若乙胜第一场，则丙连胜四场的概率P4=0.6×0.5×0.7×0.5×0.7=0.073 5， 所以第五场结束比赛的概率P5=P3+P4=0.122 5. 18 反 思 感 悟 (1)列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示. (2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的)，列出关系式. (3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算. (4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率. 求较复杂事件的概率的一般步骤 　　　　　某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.在竞赛中，假设甲队每人回答问题的正确率均为，乙队每人回答问题的正确率分别为，，，且两队每人回答问题正确与否相互之间没有影响. (1)求甲队总得分为3分的概率； 跟踪训练 3 记“甲队总得分为3分”为事件A， 甲队得3分，即三人都回答正确， 其概率P(A)==. 20 (2)求甲队总得分为3分且乙队总得分为1分的概率. 记“乙队总得分为1分”为事件B. 乙队得1分，即乙队三人中只有1人回答正确，其余2人回答错误， 则P(B)=××+××+××=， 由题意得事件A与事件B相互独立， 则甲队总得分为3分且乙队总得分为1分的概率为P(AB)=P(A)P(B)= ×=. 21 1.知识清单： (1)相互独立事件的证明. (2)相互独立事件概率的计算. (3)相互独立事件的综合应用. 2.方法归纳：构造方程(组)、正难则反思想求概率. 3.常见误区：相互独立事件与互斥事件易混淆. 课堂小结 随堂演练 四 1.一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都熔断的概率为 A.1 B.0.629 C.0 D.0.74或0.85 √ 1 2 3 4 设“甲保险丝熔断”为事件A，“乙保险丝熔断”为事件B， 则P(A)=0.85，P(B)=0.74， 由事件A与B相互独立， 得“两根保险丝都熔断”为事件AB， ∴P(AB)=P(A)·P(B)=0.85×0.74 =0.629. 1 2 3 4 2.已知一批学生体形合格的概率为，视力合格的概率为，其他综合标准合格的概率为，从中任选一学生，则三项均合格的概率为(假设三项标准互不影响) A. B. C. 　D. √ 1 2 3 4 由题意知三项标准互不影响， ∴P=××=. 3.已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为0.7，0.8，0.85，且3人是否击中目标相互独立.若他们3人向目标各发1枪，则目标没有被击中的概率为　　　　.  1 2 3 4 0.009 3人向目标各发1枪，由相互独立事件的概率计算公式，得目标没有被击中的概率P=(1-0.7)×(1-0.8)×(1-0.85)=0.3×0.2×0.15=0.009. 4.假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是　　　　.  1 2 3 4 0.98 至少有一个准时响的概率为1-(1-0.90)×(1-0.80)=1-0.10×0.20=0.98. 课时对点练 五 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D C C ABD D 0.26 0.33 题号 11 12 13 14 15 答案 A ABD AD BC 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 比赛结束时A队的得分高于B队的得分包含三种情况. ①A全胜；②第一局A胜，第二局B胜，第三局A胜；③第一局B胜，第二局A胜，第三局A胜. 所以比赛结束时，A队的得分高于B队的得分的概率 P=+××+××=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (1)设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小白鼠有i只”，i=0，1，2.Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i只”，i=0， 1，2.依题意得P(A1)=2××=， P(A2)=×=，P(B0)=×=， P(B1)=2××=. 故所求概率P=P(B0A1)+P(B0A2)+P(B1A2)=×+×+×=. (2)所求概率P'=1-=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (1)重复发送信号1三次，“至少收到两次1”的可能情况为(1，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)， 因为信号的传输相互独立， 故“至少收到两次1”的概率为××+××+××+××=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (2)事件A与事件B不相互独立，证明如下： 若依次发送1，1，0，则“三次都没收到正确信号”的概率为×× =，故“至少收到一个正确信号”的概率P(A)=1-=； 若依次发送1，1，0，则“至少收到两个0”的可能情况为(0，0，0)，(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)，根据事件的相互独立性， 故P(B)=××+××+××+××==； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 若依次发送1，1，0，“至少收到两个0且至少收到一个正确信号”的可能情况为(0，0，0)，(0，1，0)，(1，0，0)，根据事件的相互独立性， 故P(AB)=××+××+××=， 因为P(A)P(B)≠P(AB)，所以事件A与事件B不相互独立. 1.某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8，0.6，0.5，只有通过前一关才能进入下一关，且通过每关相互独立.一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为 A.0.48 B.0.4 C.0.32 D.0.24 由题意可知该选手只闯过前两关，第三关没闯过，由相互独立事件的概率可知P=0.8×0.6×(1-0.5)=0.24，故该选手只闯过前两关的概率为0.24. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 答案 2.某零件的加工共需四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为2%，3%，5%，3%，假设各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率约为 A.22.5% B.15.5% C.15.3% D.12.4% 四道工序中只要有一道工序加工出次品，则加工出来的零件就是次品.设事件A=“加工出来的零件是次品”，则P()=(1-2%)(1-3%)(1-5%)(1-3%)≈87.6%，故加工出来的零件的次品率约为1-87.6%=12.4%. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 3.从甲袋内摸出1个白球的概率为，从乙袋内摸出1个白球的概率是，从两个袋内各摸出1个球，那么概率为的事件是 A.2个球都是白球 B.2个球都不是白球 C.2个球不都是白球 D.2个球恰好有1个白球 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 √ 从甲袋内摸出白球与从乙袋内摸出白球两事件相互独立，故两个球 都是白球的概率为×=，所以两个球不都是白球的概率为1-=. 4.如图所示，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是互相独立的，则灯亮的概率为 A. B. C. D. 灯不亮(A，B至少有一个未闭合，且C，D都未闭合)的概率为 ××=×=.故灯亮的概率为1-=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 √ 5.(多选)一个正八面体的八个面上分别标有数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为x1，x2，记事件A为“x1=3”，事件B为“x2=6”，事件C为“x1+x2=9”，则 A.AB⊆C B.AC⊆B C.B，C互斥 D.B，C相互独立 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 √ √ 事件AB为“x1=3且x2=6”， 事件C包含的样本点有x1=1，x2=8；x1=2，x2=7；x1=3，x2=6；x1=4，x2=5；x1=5，x2=4；x1=6，x2=3；x1=7，x2=2；x1=8，x2=1，共8个， 所以AB⊆C，故A正确； 事件AC为“x1=3且x1+x2=9”即“x1=3且x2=6”， 所以AC⊆B，故B正确； 当x1=3且x2=6时，事件B，C同时发生， 所以B，C不互斥，故C错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 P(B)=，P(C)==， 而事件BC为“x1=3且x2=6”，则P(BC)==， 所以P(BC)=P(B)P(C)，所以B，C相互独立，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 6.一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体两次，并记录每次正四面体朝下的面上的数字.记事件A为“两次记录的数字和为奇数”，事件B为“两次记录的数字和大于4”，事件C为“第一次记录的数字为奇数”，事件D为“第二次记录的数字为偶数”，则 A.A与D不相互独立 B.C与D不相互独立 C.B与C相互独立 D.A与C相互独立 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 连续抛掷这个正四面体两次，样本点有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16个. 其中事件A包括(1，2)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，3)，共8个. 事件B包括(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共10个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 事件C包括(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，共8个. 事件D包括(1，2)，(1，4)，(2，2)，(2，4)，(3，2)，(3，4)，(4，2)，(4，4)，共8个. 因为P(A)==，P(D)==， 而P(AD)==， 因为两个事件A，D的发生与否互不影响，且P(AD)=P(A)P(D)，所以A与D相互独立，故A错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 因为P(C)==，P(D)==， 而P(CD)==. 因为两个事件C，D的发生与否互不影响，且P(CD)=P(C)P(D)，所以C与D相互独立，故B错误； 因为P(B)==，P(C)==， 而P(BC)==. 因为P(BC)≠P(B)P(C)，所以B与C不相互独立，故C错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 因为P(A)==，P(C)==， 而P(AC)==. 因为两个事件A，C的发生与否互不影响，且P(AC)=P(A)P(C)，所以A与C相互独立，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 7.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 0.26 所求概率P=0.8×0.1+0.2×0.9=0.26. 8.本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)，有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为0.3，0.4，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别是0.4，0.3，两人租车时间都不会超过四小时，则甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 0.33 由题意可得，甲租车在三小时以上且不超过四小时还车的概率为1-0.3-0.4=0.3， 乙租车在三小时以上且不超过四小时还车的概率为1-0.4-0.3=0.3， 记“甲、乙两人所付租车费用相同”为事件A，则P(A)=0.3×0.4+0.4×0.3+0.3×0.3=0.33. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 9.某校组织了一场比赛，最终A，B两队进入决赛，两队各由3名选手组成，每局两队各派一名选手出场，除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，负者得0分.假设每局比赛A队选手获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，求比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 比赛结束时A队的得分高于B队的得分包含三种情况. ①A全胜；②第一局A胜，第二局B胜，第三局A胜；③第一局B胜，第二局A胜，第三局A胜. 所以比赛结束时，A队的得分高于B队的得分的概率P=+××+ ××=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 52 10.A，B是治疗同一种疾病的药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效，若在一个试验组中，服用A有效的白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组.设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为. (1)求一个试验组为甲类组的概率； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小白鼠有i只”，i=0，1，2.Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i只”，i=0，1，2. 依题意得P(A1)=2××=， P(A2)=×=，P(B0)=×=， P(B1)=2××=. 故所求概率P=P(B0A1)+P(B0A2)+P(B1A2)=×+×+×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 54 (2)观察3个试验组，求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 所求概率P'=1-=. 11.在东京奥运会乒乓球男子单打决赛中，中国选手马龙战胜队友樊振东，夺得冠军.乒乓球决赛采用7局4胜制.在决胜局的比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方.在10∶10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球.若在决胜局比赛中，马龙发球时马龙得分的概率为，樊振东发球时马龙得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方10∶10平后，马龙先发球，则双方战至13∶11的概率为 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 答案 √ 记甲为马龙，乙为樊振东，在比分为10∶10后甲先发球的情况下，甲以13∶11赢下此局分两种情况： ①后四球胜方依次为甲乙甲甲， 概率P1=×××=； ②后四球胜方依次为乙甲甲甲， 概率P2=×××=； 乙以13∶11赢下此局分两种情况： ①后四球胜方依次为乙甲乙乙， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 概率P3=×××=， ②后四球胜方依次为甲乙乙乙， 概率P4=×××=， 所以所求事件概率为P1+P2+P3+P4 =+++=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 12.(多选)如图，这是一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，其中n(Ω)= 120，n(A)=40，n(B)=30，n(A∩B)=10，则 A.P(AB)= B.P(A∪B)= C.A与B互斥 D.A与B相互独立 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 √ √ 因为n(Ω)=120，n(A)=40，n(B)=30，n(A∩B)=10， 所以P(A)==， P(B)==， P(AB)==， 所以P(AB)=P(A)P(B)，即A与B相互独立，故A，D正确； 因为n(A∩B)=10，所以A与B不互斥，故C错误； P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=+-=，故B正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 13.(多选)伯努利试验是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是每次试验只有两种可能结果.若连续抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记录这n次试验的结果，设事件M=“n次试验结果中，既出现正面又出现反面”，事件N=“n次试验结果中，最多只出现一次反面”，则下列结论正确的是 A.若n=2，则M与N不互斥 B.若n=2，则M与N相互独立 C.若n=3，则M与N互斥 D.若n=3，则M与N相互独立 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 √ 当n=2时，所有样本点有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，共4个， 其中(正，反)和(反，正)这两种试验结果，事件M和事件N同时发生，故M与N不互斥，A选项正确； P(M)=，P(N)=，P(MN)=，P(MN)≠P(M)P(N)，则M与N不相互独立， B选项错误； 当n=3时，所有样本点有(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，共8个， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 其中(正，正，反)，(正，反，正)和(反，正，正)这三种试验结果，事件M和事件N同时发生，故M与N不互斥，C选项错误； P(M)==，P(N)==，P(MN)=，P(MN)=P(M)P(N)，则M与N相互独立，D选项正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 14.某机构对国产杀毒软件进行考核，每个软件进行四轮考核，每轮考核中能够准确对病毒进行查杀的进入下一轮考核，否则被淘汰，已知某个软件在四轮考核中能够准确对病毒进行查杀的概率依次是，，，，且各轮考核能否通过互不影响，则该软件至多进入第三轮考核的概率 为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 设事件Ai(i=1，2，3，4)表示“该软件在第i轮能够准确对病毒进行查 杀”，由已知得P(A1)=，P(A2)=，P(A3)=，P(A4)=，设事件C表示 “该软件至多进入第三轮”，则P(C)=P(∪A1∪A1A2)=P()+ P(A1)+P(A1A2)=+×+××=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 拓广探究 15.(多选)人类的四种血型与基因类型的对应为O型的基因类型为ii，A型的基因类型为IAi或IAIA，B型的基因类型为IBi或IBIB，AB型的基因类型为IAIB，其中，IA和IB是显性基因，i是隐性基因.则下列说法正确的是 A.若父母的血型不相同，则父母血型的基因类型组合有18种 B.若父母的血型不相同，则父母血型的基因类型组合有26种 C.若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为AB型，孩子与父亲血型相同的概率为 D.若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为AB型，孩子与父亲血型相同的概率为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 √ 若父母的血型不相同， 当父亲血型的基因类型为ii时，母亲的可以是IAi，IAIA，IBi，IBIB，IAIB，共5种； 当父亲血型的基因类型为IAi时，母亲的可以是ii，IBi，IBIB，IAIB，共4种； 当父亲血型的基因类型为IAIA时，母亲的可以是ii，IBi，IBIB，IAIB，共4种； 当父亲血型的基因类型为IBi时，母亲的可以是ii，IAi，IAIA，IAIB，共4种； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 当父亲血型的基因类型为IBIB时，母亲的可以是ii，IAi，IAIA，IAIB，共4种； 当父亲血型的基因类型为IAIB时，母亲的可以是ii，IAi，IAIA，IBi，IBIB，共5种， 所以父母血型的基因类型组合有5+4+4+4+4+5=26(种)，故A错误，B正确； 若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为AB型，即基因类型为IAIB，则父亲血型的基因类型可能是IAIA，IAIB，IBIB，其对应的概率分别为， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 当父亲血型的基因类型是IAIA，母亲的为IAIB时，孩子的可能是IAIA， IAIB，对应的概率分别为，，故此时孩子与父亲血型相同的概率为 ×=； 当父亲血型的基因类型是IAIB，母亲的为IAIB时，孩子的可能是IAIA， IAIB，IBIB，对应的概率分别为，故此时孩子与父亲血型相同的概率为×=； 当父亲血型的基因类型是IBIB，母亲的为IAIB时，孩子的可能是IBIB， IAIB，对应的概率分别为， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 故此时孩子与父亲血型相同的概率为×=， 综上，若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为AB型，孩子与父亲血型相同的概率为++=，故C正确，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 16.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为， 收到1的概率为. (1)重复发送信号1三次，计算至少收到两次1的概率； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 重复发送信号1三次，“至少收到两次1”的可能情况为(1，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)， 因为信号的传输相互独立， 故“至少收到两次1”的概率为××+××+××+××=. (2)依次发送1，1，0，判断以下两个事件：①事件A=“至少收到一个正确信号”；②事件B=“至少收到两个0”，是否相互独立，并给出证明. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 事件A与事件B不相互独立，证明如下： 若依次发送1，1，0，则“三次都没收到正确信号”的概率为×× =，故“至少收到一个正确信号”的概率P(A)=1-=； 若依次发送1，1，0，则“至少收到两个0”的可能情况为(0，0，0)，(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)，根据事件的相互独立性， 故P(B)=××+××+××+××==； 若依次发送1，1，0，“至少收到两个0且至少收到一个正确信号”的可能情况为(0，0，0)，(0，1，0)，(1，0，0)，根据事件的相互独立性， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 73 故P(AB)=××+××+××=， 因为P(A)P(B)≠P(AB)，所以事件A与事件B不相互独立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 74 第一章 <<< $$