第六章 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（人教A版2019）

6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示 ［学习目标］　1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.(重点)2.掌握两个向量加、减运算的坐标表示.(重点) 导语 在初中，我们知道，平面直角坐标系中的每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示，从而可以把有关位置关系的问题转化成计算问题，这给我们的研究带来了很多方便.上节课所学的平面向量基本定理告诉我们，指定基底之后，对平面上的任何一个向量都存在一组有序数对，使该向量具有唯一的分解方式.那这组有序数对能否称为“向量的坐标”呢？建立了“向量的坐标”的概念会给对我们研究向量带来怎样的方便呢？通过今天的学习，我们会找到答案.下面让我们到知识的海洋里遨游吧！ 一、平面向量的正交分解及坐标表示 问题1　平面向量基本定理的内容是怎样的？ 提示　如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2. 问题2　如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，这里的向量i，j长度和方向上有什么特点？能作为平面内的一个基底吗？为什么？ 提示　向量i，j都是单位向量，而且互相垂直.由于i，j不共线，所以能作为平面内的一个基底. 问题3　如上图，在平面直角坐标系中，取｛i，j｝作为基底.对于平面内的任意一个向量a，可以用｛i，j｝表示成什么？ 提示　由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a=xi+yj. 知识梳理 1.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. 2.在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取｛i，j｝作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a=xi+yj，则有序数对(x，y)叫做向量a的坐标. 3.坐标表示：a=(x，y). 4.特殊向量的坐标：i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0). 注意点： (1)表示点的坐标与表示向量的坐标的书写形式不同，A(x，y)，a=(x，y). (2)当向量的起点在原点时，向量的坐标与向量终点的坐标相同. 例1　如图，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i，j，用｛i，j｝作为基底，若|a|=，θ=45°，则向量a的坐标为(　　) A.(1，1) B.(-1，-1) C.(，) D.(-，-) 答案　A 解析　由题意，得a=(cos 45°)i+(sin 45°)j=i+j=(1，1). 反思感悟　求点和向量坐标的常用方法 (1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标. (2)求一个向量的坐标，可以把该向量进行正交分解，在相应的直角三角形内求向量的长度，从而求出对应的坐标. 跟踪训练1　如图所示，在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角.求点B和点D的坐标以及与的坐标. 解　由题意知A(0，0)，B，D分别是30°角、120°角的终边与单位圆的交点. 设B(x1，y1)，D(x2，y2).由三角函数的定义， 得x1=cos 30°=，y1=sin 30°=， ∴B，x2=cos 120°=-， y2=sin 120°=，∴D. ∴=，=. 二、平面向量加、减运算的坐标表示 问题4　已知a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，你能得出a+b，a-b的坐标吗？ 提示　a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(y1+y2)j，即a+b=(x1+x2，y1+y2).同理可得a-b=(x1-x2，y1-y2). 问题5　如图，已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，怎样求的坐标？ 提示　=-=(x2，y2)-(x1，y1)=(x2-x1，y2-y1). 知识梳理 设向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则如表所示. 符号表示 文字叙述 加法 a+b=(x1+x2，y1+y2) 两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差) 减法 a-b=(x1-x2，y1-y2) 重要结论 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=(x2-x1，y2-y1) 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点的坐标 注意点：向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关. 例2　已知点A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4)，设=a，=b，=c，且=c，=b. (1)求a+b-c； (2)求点M，N的坐标及向量的坐标. 解　由已知得a=(5，-5)，b=(-6，-3)，c=(1，8). (1)a+b-c=(5，-5)+(-6，-3)-(1，8) =(-2，-16). (2)设O为坐标原点. ∵=-=c， ∴=c+=(1，8)+(-3，-4)=(-2，4)， ∴M(-2，4).又∵=-=b， ∴=b+=(-6，-3)+(-3，-4)=(-9，-7)， ∴N(-9，-7)， ∴=-=(-9，-7)-(-2，4)=(-7，-11). 反思感悟　平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行运算. (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算. 跟踪训练2　已知=(1，3)，=(-2，1)，则向量的坐标是　　　　.  答案　(3，2) 解析　因为=(1，3)，=(-2，1)，所以=-=(3，2). 三、平面向量坐标运算的应用 例3　在平面直角坐标系Oxy中，点A(-1，2)，B(4，3)，C(3λ，4+2λ)，=+(λ∈R). (1)试求实数λ为何值时，点P在第二、四象限的角平分线上； (2)若点P在第三象限内，求实数λ的取值范围. 解　(1)由题意得，=(3λ+1，2λ+2). ∵=+， ∴=+=+(+)=+=(4，3)+(3λ+1，2λ+2)=(3λ+5，2λ+5)， ∴P(3λ+5，2λ+5). ∵点P在第二、四象限的角平分线上， ∴3λ+5=-(2λ+5)，解得λ=-2. (2)由(1)知，P(3λ+5，2λ+5)， ∵点P在第三象限内，∴ 解得λ<-. ∴λ的取值范围为. 反思感悟　坐标形式下向量相等的条件及其应用 (1)条件：相等向量的对应坐标相等. (2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值或点的坐标. 跟踪训练3　在平行四边形ABCD中，A(1，2)，B(-2，0)，=(2，-3)，则点D的坐标为　　　　　.  答案　(6，1) 解析　因为A(1，2)，B(-2，0)， 所以=(-3，-2)， 又因为+=， 且=(2，-3)， 所以=-=(2，-3)-(-3，-2)=(5，-1). 设点D的坐标为(x，y)，则=(x，y)-(1，2)=(x-1，y-2)， 所以(x-1，y-2)=(5，-1)，即 解得故点D的坐标为(6，1). 1.知识清单： (1)平面向量的正交分解及坐标表示. (2)平面向量加、减运算的坐标表示. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：已知A，B两点求的坐标时，一定是用终点的坐标减去起点的坐标. 1.已知点A(1，2)，B(-1，0)，则等于(　　) A.(2，0) B.(2，2) C.(-2，-2) D.(0，2) 答案　C 解析　因为点A(1，2)，B(-1，0)，所以=(-1-1，0-2)=(-2，-2). 2.已知向量a=(m，2)，b=(1，-2)，若a+b=0，则实数m的值为(　　) A.-4 B.4 C.-1 D.1 答案　C 解析　由题意，向量a=(m，2)，b=(1，-2)，所以a+b=(m+1，0)=(0，0)，可得m+1=0，解得m=-1. 3.已知点A(-1，0)，B(5，-4)，且=，则点P的坐标为　　　　.  答案　(2，-2) 解析　设P(x，y)，因为A(-1，0)，B(5，-4)， 所以=(x，y)-(-1，0)=(x+1，y)，=(5，-4)-(x，y)=(5-x，-4-y). 由=，可得(x+1，y)=(5-x，-4-y)， 即解得 所以点P的坐标为(2，-2). 4.已知作用在坐标原点的三个力分别为F1=(1，2)，F2=(2，-3)，F3=(3，1)，则作用在原点的合力F1+F2+F3的坐标为　　　　.  答案　(6，0) 解析　F1+F2+F3=(1，2)+(2，-3)+(3，1)=(6，0). 　　　　 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.已知点M(-3，3)，N(-5，-1)，那么等于(　　) A.(-2，-4) B.(-4，-2) C.(2，4) D.(4，2) 答案　A 解析　因为M(-3，3)，N(-5，-1)，所以=(-2，-4). 2.已知M(3，-2)，N(5，-1)，若=，则点P的坐标为(　　) A.(3，2) B.(3，-1) C.(7，0) D.(1，0) 答案　C 解析　设点P的坐标为(x，y)，则=(x-5，y+1)，=(2，1)，因为=，即(x-5，y+1)=(2，1)，所以解得所以P(7，0). 3.(多选)下面几种说法中正确的有(　　) A.相等向量的坐标相同 B.平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标 C.一个坐标对应于唯一的一个向量 D.平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应 答案　ABD 解析　由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故C错误. 4.(多选)在平面直角坐标系中，点A(2，3)，B(-3，4)，如图所示，x轴、y轴同方向上的两个单位向量分别为i和j，则下列说法正确的是(　　) A.=2i+3j B.=3i+4j C.=-5i+j D.=5i+j 答案　AC 解析　因为i，j互相垂直，故可作为基底，由平面向量基本定理，可得=2i+3j，=-3i+4j，=-=-5i+j，=5i-j. 5.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线.若=(2，4)，=(1，3)，则等于(　　) A.(-2，-4) B.(-3，-5) C.(3，5) D.(2，4) 答案　B 解析　∵=+，∴=-=(-1，-1)，∴=-=(-3，-5). 6.已知向量与a=(6，-8)的夹角为π，且||=|a|，若点A的坐标为(-1，2)，则点B的坐标为(　　) A.(-7，10) B.(7，10) C.(5，-6) D.(-5，6) 答案　A 解析　由题意知与a的长度相等，方向相反， 所以=-a=(-6，8)， 又因为A(-1，2)， 设B(x，y)，则=(x+1，y-2)=(-6，8)， 所以 解得 即B(-7，10). 7.(5分)在平面直角坐标系中，|a|=2，a的方向相对于x轴正方向的逆时针转角为135°，则a的坐标为　　　　.  答案　(-2，2) 解析　设a的坐标为(x，y)，则x=|a|cos 135°=2×=-2，y=|a|sin 135°=2×=2，所以a的坐标为(-2，2). 8.(5分)已知a+b=(2，-8)，a-b=(-8，16)，则向量a=　　　　，向量b=　　　　.  答案　(-3，4)　(5，-12) 解析　设a=(m，n)，b=(p，q)，则有 解得 所以a=(-3，4)，b=(5，-12). 9.(10分)在平面直角坐标系中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|=2，|b|=3，|c|=4，分别求出它们的坐标. 解　设a=(a1，a2)，b=(b1，b2)，c=(c1，c2)， 则a1=|a|cos 45°=2×=， a2=|a|sin 45°=2×=， b1=|b|cos 120°=3×=-， b2=|b|sin 120°=3×=， c1=|c|cos(-30°)=4×=2， c2=|c|sin(-30°)=4×=-2. 因此a=(，)，b=，c=(2，-2). 10.(10分)在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2).若++=0，求的坐标. 解　设点P的坐标为(x，y)， 因为++=0， 又++=(1-x，1-y)+(2-x，3-y)+(3-x，2-y)=(6-3x，6-3y)， 所以解得 所以点P的坐标为(2，2)，故=(2，2). 11.若i，j分别为与x轴、y轴方向相同的单位向量，取｛i，j｝作为基底，设a=(x2+x+1)i-(x2-x+1)j(其中x∈R)，则向量a对应的坐标位于(　　) A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三象限 D.第四象限 答案　D 解析　向量a对应的坐标为(x2+x+1，-x2+x-1). ∵x2+x+1=+>0，-x2+x-1=--<0， ∴向量a对应的坐标位于第四象限. 12.若将=绕原点O逆时针方向旋转120°得到，则的坐标是(　　) A. B. C.(-1，) D. 答案　D 解析　如图，设绕原点O逆时针方向旋转120°得到的的坐标为(x，y)， 则x=||cos(120°+30°)=-， y=||sin(120°+30°)=， 故的坐标是. 13.(5分)设m=(a，b)，n=(c，d)，规定向量m，n之间的一个运算“⊗”为m⊗n=(ac-bd，ad+bc).已知p=(1，2)，p⊗q=(-4，-3)，则q=　　　　.  答案　(-2，1) 解析　设q=(x，y)， 则p⊗q=(x-2y，y+2x)=(-4，-3)， 所以解得则q=(-2，1). 14.(5分)已知A，B(2，4)，且=(cos α，sin β)，α，β∈(0，π)，则α+β=　　　　　　　　　.  答案　或 解析　由题意知==(cos α，sin β)， ∴cos α=，sin β=， 又∵α，β∈(0，π)，∴α=，β=或， ∴α+β=或. 15.(多选)已知A(3，2)，B(5，4)，C(6，7)，则以A，B，C为顶点的平行四边形的另一个顶点D的坐标可能为(　　) A.(4，5) B.(8，9) C.(10，11) D.(2，-1) 答案　ABD 解析　设点D的坐标为(x，y).若是平行四边形ABCD，则由=，可得(5-3，4-2)=(6-x，7-y)，解得x=4，y=5.故所求顶点D的坐标为(4，5)；若是平行四边形ABDC，则由=，可得(5-3，4-2)=(x-6，y-7)，解得x=8，y=9，故所求顶点D的坐标为(8，9)；若是平行四边形ACBD，则由=，可得(6-3，7-2)=(5-x，4-y)，解得x=2，y=-1，故所求顶点D的坐标为(2，-1).综上可得，以A，B，C为顶点的平行四边形的另一个顶点D的坐标是(4，5)或(8，9)或(2，-1). 16.(12分)如图所示，在平面直角坐标系中，OA=4，AB=3，∠AOx=45°，∠OAB=105°，=a，=b，四边形OABC为平行四边形. (1)求向量a，b的坐标；(7分) (2)求点B的坐标.(5分) 解　(1)过点A作AM⊥x轴于点M(图略)， 则OM=OA·cos 45°=4×=2， AM=OA·sin 45°=4×=2， ∴A(2，2)，故a=(2，2). ∵∠AOC=180°-105°=75°，∠AOy=45°， ∴∠COy=30°.又OC=AB=3， ∴C，∴==， 即b=. (2)∵=+=(2，2)+ =. ∴点B的坐标为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 <<< 6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示 1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.(重点) 2.掌握两个向量加、减运算的坐标表示.(重点) 学习目标 在初中，我们知道，平面直角坐标系中的每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示，从而可以把有关位置关系的问题转化成计算问题，这给我们的研究带来了很多方便.上节课所学的平面向量基本定理告诉我们，指定基底之后，对平面上的任何一个向量都存在一组有序数对，使该向量具有唯一的分解方式.那这组有序数对能否称为“向量的坐标”呢？建立了“向量的坐标”的概念会给对我们研究向量带来怎样的方便呢？通过今天的学习，我们会找到答案.下面让我们到知识的海洋里遨游吧！ 导 语 一、平面向量的正交分解及坐标表示 二、平面向量加、减运算的坐标表示 课时对点练 三、平面向量坐标运算的应用 随堂演练 内容索引 一 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量基本定理的内容是怎样的？ 问题1 提示　如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2. 如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，这里的向量i，j长度和方向上有什么特点？能作为平面内的一个基底吗？为什么？ 问题2 提示　向量i，j都是单位向量，而且互相垂直.由于i，j不共线，所以能作为平面内的一个基底. 如右图，在平面直角坐标系中，取｛i，j｝作为基底.对于平面内的任意一个向量a，可以用｛i，j｝表示成什么？ 问题3 提示　由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a=xi+yj. 1.把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量作正交分解. 2.在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个 分别为i，j，取｛i，j｝作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a= ，则有序数对______ 叫做向量a的坐标. 3.坐标表示：a= . 4.特殊向量的坐标：i= ，j= ，0=(0，0). 互相垂直 单位向量 xi+yj (x，y) (x，y) (1，0) (0，1) 知识梳理 (1)表示点的坐标与表示向量的坐标的书写形式不同，A(x，y)，a=(x，y). (2)当向量的起点在原点时，向量的坐标与向量终点的坐标相同. 注 意 点 <<< 10 　如图，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i，j，用｛i，j｝作为基底，若|a|=，θ=45°，则向量a的坐标为 A.(1，1) B.(-1，-1) C.(，) D.(-，-) 例 1 √ 由题意，得a=(cos 45°)i+(sin 45°)j=i+j=(1，1). 11 (1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标. (2)求一个向量的坐标，可以把该向量进行正交分解，在相应的直角三角形内求向量的长度，从而求出对应的坐标. 反 思 感 悟 求点和向量坐标的常用方法 12 　如图所示，在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角.求点B和点D的坐标以及与的坐标. 跟踪训练 1 13 由题意知A(0，0)，B，D分别是30°角、120°角的终边与单位圆的交点. 设B(x1，y1)，D(x2，y2).由三角函数的定义， 得x1=cos 30°=，y1=sin 30°=， ∴B，x2=cos 120°=-， y2=sin 120°=，∴D. ∴==. 14 二 平面向量加、减运算的坐标表示 已知a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，你能得出a+b，a-b的坐标吗？ 问题4 提示　a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(y1+y2)j，即a+b=(x1+x2，y1+y2).同理可得a-b=(x1-x2，y1-y2). 如图，已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，怎样求的坐标？ 问题5 提示　=-=(x2，y2)-(x1，y1)=(x2-x1，y2-y1). 设向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则如表所示.   符号表示 文字叙述 加法 a+b=(_______，_______) 两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差) 减法 a-b=(_______，_______) 重要结论 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=(_______，______) 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点的坐标 x1+x2 y1+y2 x1-x2 y1-y2 x2-x1 y2-y1 知识梳理 向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关. 注 意 点 <<< 19 　已知点A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4)，设=a，=b，=c，且=c，=b. (1)求a+b-c； 例 2 由已知得a=(5，-5)，b=(-6，-3)，c=(1，8). a+b-c=(5，-5)+(-6，-3)-(1，8) =(-2，-16). 20 (2)求点M，N的坐标及向量的坐标. 设O为坐标原点. ∵=-=c， ∴=c+=(1，8)+(-3，-4)=(-2，4)， ∴M(-2，4).又∵=-=b， ∴=b+=(-6，-3)+(-3，-4)=(-9，-7)， ∴N(-9，-7)， ∴=-=(-9，-7)-(-2，4)=(-7，-11). 21 反 思 感 悟 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行运算. (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算. 平面向量坐标运算的技巧 　已知=(1，3)，=(-2，1)，则向量的坐标是　　　　.  跟踪训练 2 (3，2) 因为=(1，3)，=(-2，1)，所以=-=(3，2). 23 三 平面向量坐标运算的应用 在平面直角坐标系Oxy中，点A(-1，2)，B(4，3)，C(3λ，4+2λ)，=+(λ∈R). (1)试求实数λ为何值时，点P在第二、四象限的角平分线上； 例 3 25 由题意得，=(3λ+1，2λ+2). ∵=+， ∴=+=+(+)=+=(4，3)+(3λ+1，2λ+2)=(3λ+5，2λ+5)， ∴P(3λ+5，2λ+5). ∵点P在第二、四象限的角平分线上， ∴3λ+5=-(2λ+5)，解得λ=-2. 26 (2)若点P在第三象限内，求实数λ的取值范围. 由(1)知，P(3λ+5，2λ+5)， ∵点P在第三象限内，∴ 解得λ<-. ∴λ的取值范围为. 27 反 思 感 悟 (1)条件：相等向量的对应坐标相等. (2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值或点的坐标. 坐标形式下向量相等的条件及其应用 　在平行四边形ABCD中，A(1，2)，B(-2，0)，=(2，-3)，则点D的坐标为　　　　　.  跟踪训练 3 (6，1) 29 因为A(1，2)，B(-2，0)， 所以=(-3，-2)， 又因为+=，且=(2，-3)， 所以=-=(2，-3)-(-3，-2)=(5，-1). 设点D的坐标为(x，y)，则=(x，y)-(1，2)=(x-1，y-2)， 所以(x-1，y-2)=(5，-1)，即 解得故点D的坐标为(6，1). 30 1.知识清单： (1)平面向量的正交分解及坐标表示. (2)平面向量加、减运算的坐标表示. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：已知A，B两点求的坐标时，一定是用终点的坐标减去起点的坐标. 课堂小结 31 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知点A(1，2)，B(-1，0)，则等于 A.(2，0) B.(2，2) C.(-2，-2) D.(0，2) √ 因为点A(1，2)，B(-1，0)，所以=(-1-1，0-2)=(-2，-2). 2.已知向量a=(m，2)，b=(1，-2)，若a+b=0，则实数m的值为 A.-4 B.4 C.-1 D.1 1 2 3 4 √ 由题意，向量a=(m，2)，b=(1，-2)，所以a+b=(m+1，0)=(0，0)，可得m+1=0，解得m=-1. 3.已知点A(-1，0)，B(5，-4)，且=，则点P的坐标为　　　　.  1 2 3 4 (2，-2) 1 2 3 4 设P(x，y)，因为A(-1，0)，B(5，-4)， 所以=(x，y)-(-1，0)=(x+1，y)，=(5，-4)-(x，y)=(5-x，-4-y). 由=，可得(x+1，y)=(5-x，-4-y)， 即 所以点P的坐标为(2，-2). 4.已知作用在坐标原点的三个力分别为F1=(1，2)，F2=(2，-3)，F3=(3，1)，则作用在原点的合力F1+F2+F3的坐标为　　　　.  1 2 3 4 (6，0) F1+F2+F3=(1，2)+(2，-3)+(3，1)=(6，0). 课时对点练 五 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C ABD AC B A (-2，2) (-3，4)　(5，-12) 题号 11 12 13 14 　15 答案 D D (-2，1) 或 　ABD 对一对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 设a=(a1，a2)，b=(b1，b2)，c=(c1，c2)， 则a1=|a|cos 45°=2×=， a2=|a|sin 45°=2×=， b1=|b|cos 120°=3×=-， b2=|b|sin 120°=3×=， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. c1=|c|cos(-30°)=4×=2， c2=|c|sin(-30°)=4×=-2. 因此a=(，)，b=， c=(2，-2). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 设点P的坐标为(x，y)， 因为++=0， 又++=(1-x，1-y)+(2-x，3-y)+(3-x，2-y)=(6-3x，6-3y)， 所以解得 所以点P的坐标为(2，2)， 故=(2，2). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)过点A作AM⊥x轴于点M(图略)，则OM=OA·cos 45°=4×=2， AM=OA·sin 45°=4×=2， ∴A(2，2)，故a=(2，2). ∵∠AOC=180°-105°=75°， ∠AOy=45°，∴∠COy=30°.又OC=AB=3， ∴C，∴==，即b=. 16. (2)∵=+ =(2，2)+ =. ∴点B的坐标为 . 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.已知点M(-3，3)，N(-5，-1)，那么等于 A.(-2，-4) B.(-4，-2) C.(2，4) D.(4，2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础巩固 √ 16 因为M(-3，3)，N(-5，-1)，所以=(-2，-4). 答案 2.已知M(3，-2)，N(5，-1)，若=，则点P的坐标为 A.(3，2) B.(3，-1) C.(7，0) D.(1，0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设点P的坐标为(x，y)，则=(x-5，y+1)，=(2，1)，因为=，即(x-5，y+1)=(2，1)，所以所以P(7，0). 答案 3.(多选)下面几种说法中正确的有 A.相等向量的坐标相同 B.平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标 C.一个坐标对应于唯一的一个向量 D.平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故C错误. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.(多选)在平面直角坐标系中，点A(2，3)，B(-3，4)，如图所示，x轴、y轴同方向上的两个单位向量分别为i和j，则下列说法正确的是 A.=2i+3j B.=3i+4j C.=-5i+j D.=5i+j √ 16 √ 因为i，j互相垂直，故可作为基底，由平面向量基本定理，可得=2i+3j，=-3i+4j，=-=-5i+j，=5i-j. 答案 5.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线.若=(2，4)，=(1，3)，则等于 A.(-2，-4) B.(-3，-5) C.(3，5) D.(2，4) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 ∵=+，∴=-=(-1，-1)，∴=-=(-3，-5). 答案 6.已知向量与a=(6，-8)的夹角为π，且||=|a|，若点A的坐标为(-1，2)，则点B的坐标为 A.(-7，10) B.(7，10) C.(5，-6) D.(-5，6) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知与a的长度相等，方向相反， 所以=-a=(-6，8)，又因为A(-1，2)， 设B(x，y)，则=(x+1，y-2)=(-6，8)， 所以 解得即B(-7，10). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.在平面直角坐标系中，|a|=2，a的方向相对于x轴正方向的逆时针转角为135°，则a的坐标为　　　　.  设a的坐标为(x，y)，则x=|a|cos 135°=2×=-2，y=|a|sin 135° =2×=2，所以a的坐标为(-2，2). (-2，2) 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.已知a+b=(2，-8)，a-b=(-8，16)，则向量a=　　　　，向量b=　　　　　.  (-3，4) 16 (5，-12) 答案 55 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设a=(m，n)，b=(p，q)，则有 答案 56 9.在平面直角坐标系中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|=2，|b|=3，|c|=4，分别求出它们的坐标. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设a=(a1，a2)，b=(b1，b2)，c=(c1，c2)， 则a1=|a|cos 45°=2×=， a2=|a|sin 45°=2×=， b1=|b|cos 120°=3×=-， b2=|b|sin 120°=3×=， c1=|c|cos(-30°)=4×=2， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 c2=|c|sin(-30°)=4×=-2. 因此a=()，b=，c=(2，-2). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2).若++=0，求的坐标. 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设点P的坐标为(x，y)， 因为++=0， 又++=(1-x，1-y)+(2-x，3-y)+(3-x，2-y)=(6-3x，6-3y)， 所以 所以点P的坐标为(2，2)，故=(2，2). 答案 11.若i，j分别为与x轴、y轴方向相同的单位向量，取｛i，j｝作为基底，设a=(x2+x+1)i-(x2-x+1)j(其中x∈R)，则向量a对应的坐标位于 A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三象限 D.第四象限 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 综合运用 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 向量a对应的坐标为(x2+x+1，-x2+x-1). ∵x2+x+1=+>0，-x2+x-1=--<0， ∴向量a对应的坐标位于第四象限. 答案 12.若将=绕原点O逆时针方向旋转120°得到，则的坐标是 A. B. C.(-1，) D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，设绕原点O逆时针方向旋转120°得到的的坐标为(x，y)， 则x=||cos(120°+30°)=-， y=||sin(120°+30°)=， 故. 答案 13.设m=(a，b)，n=(c，d)，规定向量m，n之间的一个运算“⊗”为m⊗n=(ac-bd，ad+bc).已知p=(1，2)，p⊗q=(-4，-3)，则q=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (-2，1) 设q=(x，y)， 则p⊗q=(x-2y，y+2x)=(-4，-3)， 所以则q=(-2，1). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.已知A，B(2，4)，且=(cos α，sin β)，α，β∈(0，π)，则 α+β=　　　　.  或 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知==(cos α，sin β)， ∴cos α=，sin β=， 又∵α，β∈(0，π)，∴α=，β=， ∴α+β=. 答案 15.(多选)已知A(3，2)，B(5，4)，C(6，7)，则以A，B，C为顶点的平行四边形的另一个顶点D的坐标可能为 A.(4，5) B.(8，9) C.(10，11) D.(2，-1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 拓广探究 √ 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设点D的坐标为(x，y).若是平行四边形ABCD，则由=，可得(5-3，4-2)=(6-x，7-y)，解得x=4，y=5.故所求顶点D的坐标为(4，5)；若是平行四边形ABDC，则由=，可得(5-3，4-2)=(x-6，y-7)，解得x=8，y=9，故所求顶点D的坐标为(8，9)；若是平行四边形ACBD，则由=，可得(6-3，7-2)=(5-x，4-y)，解得x=2，y=-1，故所求顶点D的坐标为(2，-1).综上可得，以A，B，C为顶点的平行四边形的另一个顶点D的坐标是(4，5)或(8，9)或(2，-1). 答案 16.如图所示，在平面直角坐标系中，OA=4，AB=3，∠AOx=45°，∠OAB=105°，=a，=b，四边形OABC为平行四边形. (1)求向量a，b的坐标； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 过点A作AM⊥x轴于点M(图略)， 则OM=OA·cos 45°=4×=2， AM=OA·sin 45°=4×=2， ∴A(2，2)，故a=(2，2). ∵∠AOC=180°-105°=75°，∠AOy=45°， ∴∠COy=30°.又OC=AB=3， ∴C，∴==，即b=. 答案 (2)求点B的坐标. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵=+=(2，2)+ =. ∴点B的坐标为. 答案 第一章 <<< $$