6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦平面向量的正交分解及坐标表示、加減运算的坐标法则，从斜面上木块受力的物理情境引入正交分解，建立向量与坐标的联系，通过例题解析与跟踪训练巩固运算规则，形成从具体到抽象的学习支架。 该资料以真实情境培养数学眼光，通过问题探究与例题分析发展数学思维，结合平行四边形顶点坐标求解等应用提升数学语言表达能力。课中助力教师引导学生构建知识体系，课后学生可借助自测与解析查漏补缺，强化知识应用。

6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 学习目标 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示. 2.理解向量坐标的概念，掌握两个向量加、减的坐标运算法则. 新知学习 探究 新课导学 如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为，下滑力为，木块对斜面的压力为. 思考 这三个力的方向如何？三个力之间有什么关系？ 提示：重力 竖直向下，下滑力 沿斜面向下，木块对斜面的压力 垂直于斜面向下；三个力之间的关系是. 一 平面向量的正交分解及坐标表示 【答案】互相垂直； 例1 （1） （多选）（对接教材例3）在平面直角坐标系中，点，，如图所示，与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为和,则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. （2） 已知是坐标原点，点在第一象限，， ，则向量的坐标为____________. 【答案】（1） ACD （2） 【解析】 （1） 由题图可知，，，，，故 正确. （2） 设点，则,,即,所以. 求点和向量坐标的常用方法 （1）求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标. （2）求一个向量的坐标，先求该向量的模在轴、轴上正交分解的长度，其正负需要注意方向. （3）求一个向量的坐标实际上是把该向量的起点平移到坐标原点，其终点的坐标即是该向量的坐标. ［跟踪训练1］． （1） 如图，，是平面内的一个基底，且，，则向量的坐标为（ ） A. B. C. D. （2） 已知长方形的长为4，宽为3，建立如图所示的平面直角坐标系，是与轴方向相同的单位向量，是与轴方向相同的单位向量，则和的坐标分别为__________________________. 【答案】（1） A （2） ， 【解析】 （1） 选A.因为，分别是与 轴、轴方向相同的两个单位向量，由题图可知，根据平面向量坐标的定义可知.故选A. （2） 由题图知，轴，轴，因为，，所以，所以.因为，所以. 二 平面向量加、减运算的坐标表示 设向量，，则 类别 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的①__ ②____________________________ 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的③__ ④____________________________ 重要结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的⑤____的坐标减去⑥____的坐标 已知，，则 【答案】和； ； 差； ； 终点； 起点 例2 （1） 已知点,,向量,则向量（ ） A. B. C. D. （2） 已知点,向量,,当时,点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】（1） A （2） B 【解析】 （1） 方法一：设,则,即,,故，则.故选A.方法二：因为,所以.故选A. （2） 因为,,所以.设点B的坐标为,则,所以由已知得，所以 解得 所以点B的坐标为.故选B. 平面向量加、减坐标运算的方法 （1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量加、减的运算法则进行运算. （2）若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算. ［跟踪训练2］． （1） 已知向量,，则（ ） A. B. C. D. （2） 已知,,和,则的坐标为______________. 【答案】（1） A （2） 【解析】 （1） 选.故选A. （2） ，，，所以. 三 平面向量坐标运算的应用 角度1 由向量相等求参数的值 例3 已知点，，.若，试求 为何值时： （1） 点在第一、三象限的角平分线上; （2） 点在第三象限内. 【答案】 例3 【解】 设点 在坐标为， 则, . 因为， 所以 则 （1） 若点 在第一、三象限的角平分线上， 则 ,所以. （2） 若点 在第三象限内，则 所以. （1）由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相同，即若,,且. （2）利用向量的坐标运算解题，主要是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程（组）进行求解；也可以利用基底法，主要借助向量加、减运算的平行四边形、三角形法则. 角度2 向量坐标运算在平面几何中的应用 例4 （对接教材例5）如图，已知平行四边形的三个顶点，，的坐标分别是，，，求： （1） 向量的坐标； （2） 顶点的坐标. 【答案】 （1） 【解】因为点，的坐标分别是，， 所以. （2） 设顶点 的坐标为， 因为四边形 为平行四边形，点 的坐标是，所以， 所以，即， 所以 解得 所以顶点 的坐标为. 平行四边形顶点坐标的求解思路 （1）已知平行四边形的三个顶点的坐标求第四个顶点的坐标主要是利用平行四边形的对边平行且相等这个性质，则其对应的向量相等，即向量的坐标相等. （2）当平行四边形的顶点位置未确定时，要分类讨论. ［跟踪训练3］．已知点，. （1） 若点,,则为何值时，点在轴上？点在轴上？点在第二象限？ （2） 若，，则四边形能为平行四边形吗？若能，求的值；若不能，请说明理由. 【答案】 （1） 解：， 若点 在 轴上，则,所以. 若点 在 轴上，则,所以. 若点 在第二象限，则 所以. （2） ，. 若四边形 为平行四边形，则，所以 该方程组无解. 故四边形 不能成为平行四边形. 课堂巩固 自测 1．（教材P30T2改编）如果用,分别表示与轴和轴方向相同的单位向量，且,,则可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选C.设 为坐标原点，因为，，所以，， 所以. 2．如图，分别用基底{,}表示向量,,,则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选C.因为,,,所以. 3．（多选）（教材P36习题6.3T3改编）已知，则下列选项中错误的是（ ） A. 点的坐标是 B. 点的坐标是 C. 当是原点时，点的坐标是 D. 当是原点时，点的坐标是 【答案】ABC 【解析】选.由题意，向量 与终点、起点的坐标差有关，所以A点的坐标不一定是，故A错误；同理B点的坐标不一定是，故B错误；当B是原点时，A点的坐标是，故C错误；当A是原点时，B点的坐标是，故D正确.故选. 4．已知向量,,若,则的值为________. 【答案】 【解析】因为, 所以 解得 所以. 5．已知边长为单位长度的正方形，若点与坐标原点重合，边，分别落在轴、轴的非负半轴上，则向量的坐标为____________. 【答案】 【解析】因为, 由题意得，， 所以， 故. 1.已学习：平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量加、减运算的坐标表示. 2.须贯通：平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是要求两个向量互相垂直；向量的和与差的坐标就是它们对应向量坐标的和与差；两个向量相等，则它们的坐标相同；解题中应用了方程思想与数形结合的思想. 3.应注意：（1）向量的坐标不一定是终点的坐标； （2）的坐标一定是终点的坐标减去起点的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $