第六章 6.2.2 向量的减法运算-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（人教A版2019）

第六章 <<< 6.2.2 向量的减法运算 1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.(重点) 2.掌握向量减法的几何意义. 3.能熟练地进行向量的加、减综合运算.(难点) 学习目标 上节课我们学习了向量的加法运算，掌握了进行加法运算的三角形法则和平行四边形法则，通过上节课的练习，绝大部分同学都掌握的不错.那么向量有没有减法运算呢？如何进行向量的减法运算呢？今天我们一起来学习一下！ 导 语 一、向量的减法运算及其几何意义 二、向量加减的混合运算 课时对点练 三、向量加减法的综合应用 随堂演练 内容索引 一 向量的减法运算及其几何意义 在初中，我们学过相反数，课本上是怎么给它定义的？互为相反数的两个数有什么性质？结合定义和性质，我们能否给出“相反向量”的定义？ 问题1 提示　只有符号不同的两个数叫做相反数，互为相反数的两个数的绝对值相等.由于向量既有大小，又有方向，所以我们可以从这两个角度，类比相反数的定义和性质，给出如下相反向量的定义，长度相等但方向相反的两个向量称作相反向量. 在数的运算中，减法是求两个实数的差的运算，与加法是互逆运算，其运算法则为“减去一个数等于加上这个数的相反数”，类比上面的这段话，把其中的“数”变为“向量”，上面这段话变成什么了？ 问题2 提示　类比上面的这段话，我们可以得到：在向量的运算中，减法是求两个向量的差的运算，与加法是互逆运算，其运算法则为“减去一个向量等于加上这个向量的相反向量”. 如果已知=a，=b，请利用向量减法与加法的转化规则，用作图的方法得到a-b. 问题3 提示　如图，作=-b，由向量减法与加法的转化规则可知a-b=a+(-b)=+，以和为邻边作平行四边形OACD，则+=，且AC与OD平行且相等.再结合相反向量的定义，在四边形OCAB中，AC与OB平行且相等，所以四边形OCAB是平行四边形，所以==a-b. 1.相反向量：与向量a长度 ，方向 的向量，叫做a的 向量，记作 . 2.相反向量的性质： (1)零向量的相反向量仍是 . (2)对于相反向量有：a+(-a)=(-a)+a= . (3)如果a，b互为相反向量，那么a=-b，b=-a，a+b= . 相等 相反 相反 -a 零向量 0 0 知识梳理 3.向量的减法：向量a加上b的 ，叫做a与b的差，即a-b=a+(-b)，求两个向量 的运算叫做向量的减法.从定义可以看出，向量的减法可以转化成向量的加法来进行：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. 4.已知向量a，b，在平面内任取一点O，作=a，=b，则=a-b.即a-b可以表示为从向量b的 指向向量a的 的向量，这就是向量减法的几何意义.归纳口诀为共起点、连终点、指被减，意思是求两个向量的差向量时，起点要重合，连接它们的终点，方向由减向量的终点指向被减向量的终点. 终点 (1)a的相反向量也是向量，也需要从大小和方向两个角度来理解. (2)相反向量与方向相反的向量不是一回事，两个向量互为相反向量，它们的方向一定是相反的，但当两个向量方向相反时，它们不一定是相反向量，因为它们的模不一定相等. 注 意 点 <<< 12 　如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a+b-c. 例 1 13 方法一　如图①，在平面内任取一点O，作=a，=b，则=a+b，再作=c，则=a+b-c. 方法二　如图②，在平面内任取一点O，作=a，=b，则=a+b，再作=c，连接OC，则=a+b-c. 14 (1)可以直接用向量减法的几何意义，按照“共起点、连终点、指被减”的口诀来计算，共分为两步，第一步通过平移使两向量的起点重合，第二步得到差向量为从减向量的终点指向被减向量的终点的向量. (2)可以转化为向量的加法来进行，如a-b，可以先作-b，然后作a+(-b)即可. 反 思 感 悟 求作两个向量的差向量的两种思路 15 　如图，已知向量a，b，c，求作向量a-b-c. 跟踪训练 1 如图，在平面内任取一点O，作向量=a，=b，则向量=a-b，再作向量=c，则向量=a-b-c. 16 二 向量加减的混合运算 (1)化简： ①---； 例 2 原式=+(-)=+=-=0. 18 ②(-)-(-). 原式=--+=(-)+(-)=+=0. 19 (2)如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且=，则化简+--的结果为 A.0 B. C. D. +--=(-)+(-)=+=-=0. √ 20 反 思 感 悟 (1)向量减法运算的常用方法 (2)向量加减法化简的 两种形式 ①首尾相连且求和. ②起点相同且求差. 提醒：解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用. 　(1)如图，设=a，=b，=c，则等于 A.a-b+c B.b-(a+c) C.a+b+c D.b-a+c 跟踪训练 2 √ ∵=+=a+c， ∴=-=a+c-b. 22 (2)化简下列各式： ①(+)+(--)； 方法一　原式=+++ =(+)+(+)=+=. 方法二　原式=+++ =+(+)+=++=+0=. 方法三　设O是平面内任一点，则原式=(-)+(-)-- =-+--+=-=. 23 ②--. 方法一　原式=-=. 方法二　原式=-(+)=-=. 方法三　设O是平面内任一点，则原式=(-)-(-)-(-) =--+-+ =-=. 24 三 向量加减法的综合应用 通过上节课，我们知道已知a，b，||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.用-b替换式子中的b，有什么结论？总结一下||a|-|b||与|a±b|及|a|+|b|三者有什么样的大小关系？ 问题4 提示　因为|-b|=|b|，所以用-b替换式子中的b可得到||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|，结合两个式子可知||a|-|b||与|a±b|及|a|+|b|的关系为||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.口诀：同号取等方向同，异号取等方向反. 　(1)在四边形ABCD中，=，若|-|=|-|，则四边形ABCD是 A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.不确定 例 3 √ 27 ∵=， ∴四边形ABCD为平行四边形. 又∵|-|=|-|， ∴||=||， ∴四边形ABCD为矩形. 28 (2)已知||=7，||=9，则|-|的取值范围为　　　　　.  ［2，16］ ∵|||-|||≤|-|≤||+||且||=9， ||=7， ∴2≤|-|≤16. ∴|-|的取值范围为［2，16］. 29 思考对任意的向量a与b，|a+b|≥|a-b|是否一定成立？ 不一定. 当a与b不共线时，则|a+b|与|a-b|分别表示以a，b为邻边的平行四边形两条对角线的长度，其大小不定； 当a与b为非零共线向量时，同向则有|a+b|>|a-b|，异向则有|a+b|<|a-b|； 当a，b中有一个为零向量时，|a+b|=|a-b|. 延伸探究 30 反 思 感 悟 (1)用向量法解决平面几何问题的步骤 ①将平面几何问题中的量抽象成向量. ②化归为向量问题，进行向量运算. ③将向量问题还原为平面几何问题. (2)用向量法证明四边形为平行四边形的方法和解题关键 ①利用向量证明线段平行且相等，从而证明四边形为平行四边形，只需证明对应有向线段表示的向量相等即可. ②根据图形灵活应用向量的运算法则，找到向量之间的关系是解决此类问题的关键. 　如图，在四边形ABCD中，||=||=||，且=-，则∠ABC=　　　　. 跟踪训练 3 120° 由向量的减法的几何意义可知， -=， 因为=-=， 所以四边形ABCD是平行四边形， 又因为||=||=||， 所以四边形ABCD是菱形，且∠DAB=60°，所以∠ABC=120°. 32 1.知识清单： (1)向量的减法运算. (2)向量减法的几何意义. (3)向量加减法的混合运算. (4)向量加减法的综合应用. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：忽视向量共起点时才可进行向量的减法运算. 课堂小结 33 随堂演练 四 1 2 3 4 1.在△ABC中，=a，=b，则等于 A.a+b B.-a-b C.a-b D.b-a √ 如图，∵=+=a+b， ∴=-=-a-b. 2.化简-+的结果是 A. B. C.0 D. 1 2 3 4 √ -+=+=0. 3.(多选)若非零向量a，b互为相反向量，则下列说法中正确的是 A.a∥b B.a≠b C.|a|≠|b| D.b=-a 1 2 3 4 非零相反向量a，b的模|a|=|b|. √ √ √ 4.若菱形ABCD的边长为2，则|-+|的长度为　　　.  1 2 3 4 2 |-+|=|++|=||=2. 课时对点练 五 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D BCD A D ABD b-a 0 题号 11 12 13 14 　15 答案 C D C B 对一对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)如图所示，以，为邻边作▱OBDC，连接OD，AD，则=+=b+c， 所以b+c-a=-=. (2)由(1)知， =b+c， 则a-b-c=-=， 如图. 10. 因为a+b=，a-b=， 又|a+b|=|a-b|，故||=||， 故平行四边形ABCD是矩形， 由|a|=6，|b|=2， 得||=||==4， 又a-b-c=--=-+=+， 则|a-b-c|=8. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)由已知得a+b=+=， ∵=c，∴延长AC到E，使得||=||，如图所示， 则a+b+c=， 且||=2. ∴|a+b+c| =2. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)作=，连接CF，DB，如图所示， 则+=， 而=-=-=a-b， ∴|a-b+c|=|+|=||， 又||=2. ∴|a-b+c|=2. 1.化简--的结果为 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础巩固 √ --=-=+=. 16 答案 2.下列各式中，恒成立的是 A.= B.a-a=0 C.-= D.-+=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 选项D中，-+=++=+=0. 答案 3.(多选)下列结果恒为零向量的是 A.-(+) B.-+- C.-+ D.++- √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A项，-(+)=-=+； B项，-+-=+=0； C项，-+=+=0； D项，++-=+=0. 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.如图，在四边形ABCD中，设=a，=b， =c，则等于 A.a-b+c 　　B.b-(a+c) C.a+b+c 　　D.b-a+c √ 16 =-=+-=-+=a-b+c. 答案 5.在边长为1的正三角形ABC中，|-|的值为 A.1 B.2 C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 如图，作菱形ABCD， 则|-|=|-| =||=. 答案 6.(多选)在菱形ABCD中，下列等式中成立的是 A.-= B.-= C.-= D.-= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 对于A，-=，A正确； 对于B，-=+=，B正确； 对于C，-=-=--≠，C错误； 对于D，-=+=，D正确. 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.如图，在正六边形ABCDEF中，记向量=a，=b，则向量=　　　.(用a，b表示)  由正六边形的性质知， -=， ∴=b-a. b-a 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.如图，在三角形ABC中，若D是边BC的中点，E是边AB上一点，则-+=　　　.  16 因为D是边BC的中点， 所以=， 所以-+=+-=-=0. 答案 53 9.如图，O为△ABC内一点，=a，=b，=c.求作： (1)b+c-a； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，以为邻边作▱OBDC，连接OD，AD， 则=+=b+c， 所以b+c-a=-=. 答案 (2)a-b-c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)知， =b+c， 则a-b-c=-=， 如图. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.在平行四边形ABCD中，已知=a，=b，=c，且|a+b|=|a-b|，|a|=6，|b|=2.求|a-b-c|. 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为a+b=，a-b=， 又|a+b|=|a-b|，故||=||， 故平行四边形ABCD是矩形， 由|a|=6，|b|=2， 得||=||==4， 又a-b-c=--=-+=+， 则|a-b-c|=8. 答案 11.已知=a，=b，||=5，||=12，∠AOB=90°，则|a-b|等于 A.7 B.17 C.13 D.8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 综合运用 16 由∠AOB=90°，知△OAB为直角三角形， ∴|a-b|=||==13. 答案 12.已知菱形ABCD的边长为2，则||的取值范围是 A.(0，2) B.(2，3) C.(3，4) D.(0，4) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 ∵=-，又在菱形ABCD中， ||=||=2， ∴|||-|||<||=|-|<||+||， 即0<||<4.故||的取值范围是(0，4). 答案 13.在平面上有A，B，C三点，设m=+，n=-，若m与n的长度恰好相等，则有 A.A，B，C三点必在一条直线上 B.△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角 C.△ABC必为直角三角形且∠B为直角 D.△ABC必为等腰直角三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知A，B，C三点不共线，以为邻边作平行四边形ABCD，则m=+=，n=-=，由m，n的长度相等可知，两对角线相等，因此平行四边形一定是矩形，所以△ABC必为直角三角形且∠B为直角. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.已知非零向量a，b满足|a|=|b|=|a-b|，则=　　　.  16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，在▱OACB中，设=a，=b， 则=+=a+b，=-=a-b， ∵|a|=|b|=|a-b|， ∴OA=OB=BA， ∴△OAB为等边三角形，设其边长为1， 则|a-b|=||=1，|a+b|=2×=， ∴==. 答案 15.若O是△ABC内一点，++=0，则O是△ABC的 A.垂心 B.重心 C.内心 D.外心 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 拓广探究 √ 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，以为邻边作▱OBDC，则=+. 又++=0， ∴+=-，∴=-， 又∵两向量有公共点O， ∴A，O，D三点共线. 设OD与BC的交点为E，则E是BC的中点， ∴AE是△ABC中BC边的中线. 同理可证另两条边的中线也过点O，故O是△ABC的重心. 答案 16.如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，=a，=b，=c，求： (1)|a+b+c|； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知得a+b=+=， ∵=c，∴延长AC到E，使得||=||，如图所示， 则a+b+c=， 且||=2. ∴|a+b+c|=2. 答案 (2)|a-b+c|. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 作=，连接CF，DB，如图所示， 则+=， 而=-=-=a-b， ∴|a-b+c|=|+|=||， 又||=2. ∴|a-b+c|=2. 答案 第一章 <<< $$ 6.2.2　向量的减法运算 ［学习目标］　1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.(重点)2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减综合运算.(难点) 导语 上节课我们学习了向量的加法运算，掌握了进行加法运算的三角形法则和平行四边形法则，通过上节课的练习，绝大部分同学都掌握的不错.那么向量有没有减法运算呢？如何进行向量的减法运算呢？今天我们一起来学习一下！ 一、向量的减法运算及其几何意义 问题1　在初中，我们学过相反数，课本上是怎么给它定义的？互为相反数的两个数有什么性质？结合定义和性质，我们能否给出“相反向量”的定义？ 提示　只有符号不同的两个数叫做相反数，互为相反数的两个数的绝对值相等.由于向量既有大小，又有方向，所以我们可以从这两个角度，类比相反数的定义和性质，给出如下相反向量的定义，长度相等但方向相反的两个向量称作相反向量. 问题2　在数的运算中，减法是求两个实数的差的运算，与加法是互逆运算，其运算法则为“减去一个数等于加上这个数的相反数”，类比上面的这段话，把其中的“数”变为“向量”，上面这段话变成什么了？ 提示　类比上面的这段话，我们可以得到：在向量的运算中，减法是求两个向量的差的运算，与加法是互逆运算，其运算法则为“减去一个向量等于加上这个向量的相反向量”. 问题3　如果已知=a，=b，请利用向量减法与加法的转化规则，用作图的方法得到a-b. 提示　如图，作=-b，由向量减法与加法的转化规则可知a-b=a+(-b)=+，以和为邻边作平行四边形OACD，则+=，且AC与OD平行且相等.再结合相反向量的定义，在四边形OCAB中，AC与OB平行且相等，所以四边形OCAB是平行四边形，所以==a-b. 知识梳理 1.相反向量：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作-a. 2.相反向量的性质： (1)零向量的相反向量仍是零向量. (2)对于相反向量有：a+(-a)=(-a)+a=0. (3)如果a，b互为相反向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 3.向量的减法：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a-b=a+(-b)，求两个向量差的运算叫做向量的减法.从定义可以看出，向量的减法可以转化成向量的加法来进行：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. 4.已知向量a，b，在平面内任取一点O，作=a，=b，则=a-b.即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，这就是向量减法的几何意义.归纳口诀为共起点、连终点、指被减，意思是求两个向量的差向量时，起点要重合，连接它们的终点，方向由减向量的终点指向被减向量的终点. 注意点： (1)a的相反向量也是向量，也需要从大小和方向两个角度来理解. (2)相反向量与方向相反的向量不是一回事，两个向量互为相反向量，它们的方向一定是相反的，但当两个向量方向相反时，它们不一定是相反向量，因为它们的模不一定相等. 例1　如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a+b-c. 解　方法一　如图①，在平面内任取一点O，作=a，=b，则=a+b，再作=c，则=a+b-c. 方法二　如图②，在平面内任取一点O，作=a，=b，则=a+b，再作=c，连接OC，则=a+b-c. 反思感悟　求作两个向量的差向量的两种思路 (1)可以直接用向量减法的几何意义，按照“共起点、连终点、指被减”的口诀来计算，共分为两步，第一步通过平移使两向量的起点重合，第二步得到差向量为从减向量的终点指向被减向量的终点的向量. (2)可以转化为向量的加法来进行，如a-b，可以先作-b，然后作a+(-b)即可. 跟踪训练1　如图，已知向量a，b，c，求作向量a-b-c. 解　如图，在平面内任取一点O，作向量=a，=b，则向量=a-b，再作向量=c，则向量=a-b-c. 二、向量加减的混合运算 例2　(1)化简： ①---； ②(-)-(-). 解　①原式=+(-)=+=-=0. ②原式=--+ =(-)+(-)=+=0. (2)如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且=，则化简+--的结果为(　　) A.0 B. C. D. 答案　A 解析　+--=(-)+(-)=+=-=0. 反思感悟　(1)向量减法运算的常用方法 (2)向量加减法化简的两种形式 ①首尾相连且求和. ②起点相同且求差. 提醒：解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用. 跟踪训练2　(1)如图，设=a，=b，=c，则等于(　　) A.a-b+c B.b-(a+c) C.a+b+c D.b-a+c 答案　A 解析　∵=+=a+c， ∴=-=a+c-b. (2)化简下列各式： ①(+)+(--)； ②--. 解　①方法一　原式=+++ =(+)+(+)=+=. 方法二　原式=+++ =+(+)+ =++=+0=. 方法三　设O是平面内任一点，则原式=(-)+(-)-- =-+--+ =-=. ②方法一　原式=-=. 方法二　原式=-(+)=-=. 方法三　设O是平面内任一点，则原式=(-)-(-)-(-) =--+-+ =-=. 三、向量加减法的综合应用 问题4　通过上节课，我们知道已知a，b，||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.用-b替换式子中的b，有什么结论？总结一下||a|-|b||与|a±b|及|a|+|b|三者有什么样的大小关系？ 提示　因为|-b|=|b|，所以用-b替换式子中的b可得到||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|，结合两个式子可知||a|-|b||与|a±b|及|a|+|b|的关系为||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.口诀：同号取等方向同，异号取等方向反. 例3　(1)在四边形ABCD中，=，若|-|=|-|，则四边形ABCD是(　　) A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.不确定 答案　B 解析　∵=， ∴四边形ABCD为平行四边形. 又∵|-|=|-|， ∴||=||， ∴四边形ABCD为矩形. (2)已知||=7，||=9，则|-|的取值范围为　　　　.  答案　［2，16］ 解析　∵|||-|||≤|-|≤||+||且||=9， ||=7， ∴2≤|-|≤16. ∴|-|的取值范围为［2，16］. 延伸探究　思考对任意的向量a与b，|a+b|≥|a-b|是否一定成立？ 解　不一定. 当a与b不共线时，则|a+b|与|a-b|分别表示以a，b为邻边的平行四边形两条对角线的长度，其大小不定； 当a与b为非零共线向量时，同向则有|a+b|>|a-b|，异向则有|a+b|<|a-b|； 当a，b中有一个为零向量时，|a+b|=|a-b|. 反思感悟　(1)用向量法解决平面几何问题的步骤 ①将平面几何问题中的量抽象成向量. ②化归为向量问题，进行向量运算. ③将向量问题还原为平面几何问题. (2)用向量法证明四边形为平行四边形的方法和解题关键 ①利用向量证明线段平行且相等，从而证明四边形为平行四边形，只需证明对应有向线段表示的向量相等即可. ②根据图形灵活应用向量的运算法则，找到向量之间的关系是解决此类问题的关键. 跟踪训练3　如图，在四边形ABCD中，||=||=||，且=-，则∠ABC=　　　　. 答案　120° 解析　由向量的减法的几何意义可知， -=， 因为=-，所以=， 所以四边形ABCD是平行四边形， 又因为||=||=||， 所以四边形ABCD是菱形，且∠DAB=60°，所以∠ABC=120°. 1.知识清单： (1)向量的减法运算. (2)向量减法的几何意义. (3)向量加减法的混合运算. (4)向量加减法的综合应用. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：忽视向量共起点时才可进行向量的减法运算. 1.在△ABC中，=a，=b，则等于(　　) A.a+b B.-a-b C.a-b D.b-a 答案　B 解析　如图，∵=+=a+b， ∴=-=-a-b. 2.化简-+的结果是(　　) A. B. C.0 D. 答案　C 解析　-+=+=0. 3.(多选)若非零向量a，b互为相反向量，则下列说法中正确的是(　　) A.a∥b B.a≠b C.|a|≠|b| D.b=-a 答案　ABD 解析　非零相反向量a，b的模|a|=|b|. 4.若菱形ABCD的边长为2，则|-+|的长度为　　　　.  答案　2 解析　|-+|=|++|=||=2. 　　　　 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.化简--的结果为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　--=-=+=. 2.下列各式中，恒成立的是(　　) A.= B.a-a=0 C.-= D.-+=0 答案　D 解析　选项D中，-+=++=+=0. 3.(多选)下列结果恒为零向量的是(　　) A.-(+) B.-+- C.-+ D.++- 答案　BCD 解析　A项，-(+)=-=+；B项，-+-=+=0；C项，-+=+=0；D项，++-=+=0. 4.如图，在四边形ABCD中，设=a，=b，=c，则等于(　　) A.a-b+c 　　B.b-(a+c) C.a+b+c 　　D.b-a+c 答案　A 解析　=- =+- =-+ =a-b+c. 5.在边长为1的正三角形ABC中，|-|的值为(　　) A.1 B.2 C. D. 答案　D 解析　如图，作菱形ABCD， 则|-|=|-| =||=. 6.(多选)在菱形ABCD中，下列等式中成立的是(　　) A.-= B.-= C.-= D.-= 答案　ABD 解析　对于A，-=，A正确； 对于B，-=+=，B正确； 对于C，-=-=--≠，C错误； 对于D，-=+=，D正确. 7.(5分)如图，在正六边形ABCDEF中，记向量=a，=b，则向量=　　　　　.(用a，b表示)  答案　b-a 解析　由正六边形的性质知， -=， ∴=b-a. 8.(5分)如图，在三角形ABC中，若D是边BC的中点，E是边AB上一点，则-+=　　　.  答案　0 解析　因为D是边BC的中点， 所以=， 所以-+=+-=-=0. 9.(10分)如图，O为△ABC内一点，=a，=b，=c.求作： (1)b+c-a；(5分) (2)a-b-c.(5分) 解　(1)如图所示，以，为邻边作▱OBDC，连接OD，AD，则=+=b+c， 所以b+c-a=-=. (2)由(1)知， =b+c， 则a-b-c=-=， 如图. 10.(11分)在平行四边形ABCD中，已知=a，=b，=c，且|a+b|=|a-b|，|a|=6，|b|=2.求|a-b-c|. 解　因为a+b=，a-b=， 又|a+b|=|a-b|，故||=||， 故平行四边形ABCD是矩形， 由|a|=6，|b|=2， 得||=||==4， 又a-b-c=--=-+=+， 则|a-b-c|=8. 11.已知=a，=b，||=5，||=12，∠AOB=90°，则|a-b|等于(　　) A.7 B.17 C.13 D.8 答案　C 解析　由∠AOB=90°，知△OAB为直角三角形， ∴|a-b|=||==13. 12.已知菱形ABCD的边长为2，则||的取值范围是(　　) A.(0，2) B.(2，3) C.(3，4) D.(0，4) 答案　D 解析　∵=-，又在菱形ABCD中， ||=||=2， ∴|||-|||<||=|-|<||+||， 即0<||<4. 故||的取值范围是(0，4). 13.在平面上有A，B，C三点，设m=+，n=-，若m与n的长度恰好相等，则有(　　) A.A，B，C三点必在一条直线上 B.△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角 C.△ABC必为直角三角形且∠B为直角 D.△ABC必为等腰直角三角形 答案　C 解析　由题意知A，B，C三点不共线，以，为邻边作平行四边形ABCD，则m=+=，n=-=，由m，n的长度相等可知，两对角线相等，因此平行四边形一定是矩形，所以△ABC必为直角三角形且∠B为直角. 14.(5分)已知非零向量a，b满足|a|=|b|=|a-b|，则=　　　　　.  答案　 解析　如图，在▱OACB中，设=a， =b， 则=+=a+b，=-=a-b， ∵|a|=|b|=|a-b|， ∴OA=OB=BA， ∴△OAB为等边三角形，设其边长为1， 则|a-b|=||=1，|a+b|=2×=， ∴==. 15.若O是△ABC内一点，++=0，则O是△ABC的(　　) A.垂心 B.重心 C.内心 D.外心 答案　B 解析　如图，以，为邻边作▱OBDC，则=+. 又++=0， ∴+=-， ∴=-， 又∵两向量有公共点O， ∴A，O，D三点共线. 设OD与BC的交点为E，则E是BC的中点， ∴AE是△ABC中BC边的中线. 同理可证另两条边的中线也过点O，故O是△ABC的重心. 16.(12分)如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，=a，=b，=c，求： (1)|a+b+c|；(6分) (2)|a-b+c|.(6分) 解　(1)由已知得a+b=+=， ∵=c，∴延长AC到E，使得||=||，如图所示， 则a+b+c=， 且||=2. ∴|a+b+c|=2. (2)作=，连接CF，DB，如图所示， 则+=， 而=-=-=a-b， ∴|a-b+c|=|+|=||， 又||=2. ∴|a-b+c|=2. 学科网（北京）股份有限公司 $$