6.2.2 向量的减法运算-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（人教A版2019）

6.2.2　向量的减法运算 [学习目标]　1.借助实例和平面向量的几何表示，理解相反向量的含义、向量减法的意义.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减综合运算． 导语　 上节课我们学习了向量的加法运算，掌握了加法的三角形法则和平行四边形法则，如何进行向量的减法运算呢？ 一、向量的减法运算 问题1　在数的运算中，减法是加法的逆运算，它的运算法则是什么？ 提示　减去一个数等于加上这个数的相反数． 知识梳理　 1．相反向量：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. 2．向量的减法：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算叫做向量的减法． 注意点： (1)零向量的相反向量仍是零向量． (2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0. (3)若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. 例1　(多选)若非零向量m与n是相反向量，则下列正确的是(　　) A．m＝n B．m＝－n C．|m|＝|n| D．m与n方向相反 答案　BCD 解析　相反向量的大小相等、方向相反，故A错误，BCD正确． 跟踪训练1　(多选)下列命题中，正确的是(　　) A．相反向量就是方向相反的向量 B．向量与是相反向量 C．两个向量的差仍是一个向量 D．相反向量是共线向量 答案　BCD 二、向量减法的几何意义 问题2　如何进行向量的减法运算？ 提示　转化为向量的加法来进行，减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量． 知识梳理　 已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b.即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，这就是向量减法的几何意义． 注意点：两向量要共起点，由减向量的终点指向被减向量的终点． 例2　如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. 解　方法一　如图①，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c. 　　　 方法二　如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c. 反思感悟　求作两个向量的差向量的两种思路 (1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可． (2)可以直接用向量减法的几何意义，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量． 跟踪训练2　如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c. 解　如图，在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，则向量＝a－b，再作向量＝c，则向量＝a－b－c. 三、向量加减的混合运算 例3　(1)如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且＝，则化简＋－－的结果为(　　) A．0 B. C. D. 答案　A 解析　＋－－＝(－)＋(－)＝＋＝－＝0. (2)化简：①＋－－； ②(＋＋)－(－－)． 解　①＋－－＝(－)＋(－)＝＋＝. ②(＋＋)－(－－) ＝＋－＋ ＝＋＋＋ ＝＋＝0. 反思感悟　(1)向量减法运算的常用方法 (2)向量加减法化简的两种形式 ①首尾相连且为和． ②起点相同且为差． 跟踪训练3　化简下列各式： (1)－＋－； (2)(－)＋(－)． 解　(1)－＋－＝＋－＝－＝. (2)(－)＋(－)＝＋＋＋＝＋(＋＋)＝＋0＝. 四、向量加减法的综合应用 例4　如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量，，，及. 解　∵四边形ACDE是平行四边形， ∴＝＝c， ＝－＝b－a， ＝－＝c－a， ＝－＝c－b， ∴＝＋＝b－a＋c. 反思感悟　(1)解决此类问题要搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道． (2)主要应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题，在封闭图形中可利用向量加法的多边形法则，提升逻辑推理素养． 跟踪训练4　在正六边形ABCDEF中，记向量＝a，＝b，则向量＝________.(用a，b表示) 答案　b－a 解析　由正六边形的性质知，－＝， ∴＝b－a. 1．知识清单： (1)向量的减法运算． (2)向量减法的几何意义． 2．方法归纳：数形结合法． 3．常见误区：忽视向量共起点时才可进行向量的减法运算． 1．在△ABC中，若＝a，＝b，则等于(　　) A．a B．a＋b C．b－a D．a－b 答案　D 解析　＝－＝a－b. 2．化简－＋＋等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　原式＝(＋)＋(＋)＝＋0＝. 3．已知在四边形ABCD中，－＝－，则四边形ABCD一定是(　　) A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 答案　A 解析　由－＝－，可得＝， 所以四边形ABCD一定是平行四边形． 4．若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|的长度为________． 答案　2 解析　|－＋|＝|＋＋|＝||＝2. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.如图所示，在▱ABCD中，＝a，＝b，则用a，b表示向量和分别是(　　) A．a＋b和a－b B．a＋b和b－a C．a－b和b－a D．b－a和b＋a 答案　B 解析　由向量的加法、减法法则，得 ＝＋＝a＋b， ＝－＝b－a. 2．下列各式中，恒成立的是(　　) A.＝ B．a－a＝0 C.－＝ D.－＋＝0 答案　D 解析　选项D中，－＋＝＋＋＝＋＝0. 3.如图所示，在矩形ABCD中，O是两条对角线AC，BD的交点，则＋－等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 4．在边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为(　　) A．1 B．2 C. D. 答案　D 解析　如图，作菱形ABCD， 则|－|＝|－| ＝||＝. 5．(多选)下列结果恒为零向量的是(　　) A.－(＋) B.－＋－ C.－＋ D.＋＋－ 答案　BCD 解析　A项，－(＋)＝－＝＋；B项，－＋－＝＋＝0；C项，－＋＝＋＝0；D项，＋＋－＝＋＝0. 6．点D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则－等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　∵＝，∴－＝－＝.由三角形中位线定理得＝，故选D. 7．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________. 答案　0　2 解析　若a，b为相反向量，则a＋b＝0，所以|a＋b|＝0，又a＝－b，所以|a|＝|－b|＝1，因为a与－b同向，所以|a－b|＝2. 8．在矩形ABCD中，||＝2，||＝4，则|＋－|＝________，|＋＋|＝________. 答案　4　8 解析　在矩形ABCD中，因为＋－＝＋＋＝＋，所以|＋－|＝2||＝4.因为＋＋＝＋＋＝＋，所以|＋＋|＝2||＝8. 9.如图，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c.求作： (1)b＋c－a； (2)a－b－c. 解　(1)如图所示，以，为邻边作▱OBDC，连接OD，AD， 则＝＋＝b＋c， 所以b＋c－a＝－＝. (2)由图可知，＝， 则a－b－c＝－－＝－＝. 10.如图所示，在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，先用a，b表示向量和，并回答：当a，b分别满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形？ 解　由向量的平行四边形法则，得＝a＋b，＝－＝a－b. 当a，b满足|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线的长度相等，四边形ABCD为矩形； 当a，b满足|a|＝|b|时，平行四边形的两条邻边的长度相等，四边形ABCD为菱形； 当a，b满足|a＋b|＝|a－b|且|a|＝|b|时，四边形ABCD为正方形． 11．已知O是平面上一点，＝a，＝b，＝c，＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则(　　) A．a＋b＋c＋d＝0 B．a－b＋c－d＝0 C．a＋b－c－d＝0 D．a－b－c＋d＝0 答案　B 解析　易知－＝，－＝，而在平行四边形ABCD中有＝，所以－＝－，即b－a＝c－d，也即a－b＋c－d＝0.故选B. 12．若||＝5，||＝8，则||的取值范围是(　　) A．[3,8] B．(3,8) C．[3,13] D．(3,13) 答案　C 解析　∵||＝|－|且 |||－|||≤|－|≤|A|＋||， ∴3≤|－|≤13，∴3≤||≤13. 13.如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，则＝________.(用a，b，c表示) 答案　a＋c－b 解析　由已知得＝， 则＝＋＝＋＝＋－＝a＋c－b. 14．已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则＝__________. 答案　 解析　如图，设＝a，＝b， 则＝＋＝a＋b，＝－＝a－b， ∵|a|＝|b|＝|a－b|， ∴BA＝OA＝OB， ∴△OAB为等边三角形， 设其边长为1， 则|a－b|＝||＝1，|a＋b|＝2×＝， ∴＝＝. 15．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且||＝4，|＋|＝|－|，则||＝______. 答案　2 解析　以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB(图略)， 由向量加减法的几何意义可知， ＝＋，＝－， ∵|＋|＝|－|， ∴||＝||， 又||＝4，M是线段BC的中点， ∴||＝||＝||＝2. 16.如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，求： (1)|a＋b＋c|； (2)|a－b＋c|. 解　(1)由已知得a＋b＝＋＝， ∵＝c，∴延长AC到E，使||＝||，如图所示， 则a＋b＋c＝， 且||＝2. ∴|a＋b＋c|＝2. (2)作＝，连接CF，BD，则＋＝， 而＝－＝－＝a－b， ∴|a－b＋c|＝|＋|＝||且||＝2. ∴|a－b＋c|＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $$