综合检测卷（数列+导数及其应用）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第二册)

北师大版数学选择性必需第二册全册综合检测卷 （试卷满分150分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知是等差数列的前项和，且，则（   ） A．55 B．50 C．100 D．58 2．函数的图象如图所示，则下列数值排序正确的是（   ）    A． B． C． D． 3．已知是定义在上的可导函数，若，则（   ） A． B． C．1 D． 4．已知函数，则在上的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．若数列是等比数列，且则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．若点是曲线上任意一点，则到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．若等差数列满足，则（   ） A．2025 B． C． D． 8．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2． 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 9．若数列满足：已知，则（    ） A．14 B．15 C．17 D．18 10．已知函数，则下列说法正确的是（ ） A．有两个极值点 B．的极大值为2 C．的极小值为 D．在区间上单调递增 11．对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（   ） A．的极大值为 B．有且仅有2个零点 C．点是的对称中心 D． 三．填空题 本题共3小题，每小题5分，共15分 12．已知数列中，，，，则 . 13．若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为 14．已知数列的前n项和，且，数列，均为等差数列，又数列的前n项和为，且，则的值为 . 四．解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．（13分）已知为数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)若，求取得最大值时的值. 16．（15分）已知函数在处取得极值. (1)求，； (2)证明：时，. 17．（15分）已知数列满足． (1)证明：数列为等差数列； (2)设，记数列的前n项和为． （i）求； （ii）若成立，求m的取值范围． 18．（17分）已知函数． (1)求的零点个数； (2)设是的一个零点，证明：曲线在点处的切线也是曲线的切线． 19（17分）．已知集合，集合满足，当取不同值时，各不相同．记的所有元素之和为，将数列的所有项重新排列为，使得． (1)当时，求． (2)当时，证明：成等差数列． (3)设，证明：． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 试卷第1页，共3页 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大版数学选择性必需第二册全册综合检测卷 （试卷满分150分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知是等差数列的前项和，且，则（   ） A．55 B．50 C．100 D．58 【答案】A 【分析】根据等差数列的前项和公式结合等差数列的性质即可得解. 【详解】由题意，. 故选：A. 2．函数的图象如图所示，则下列数值排序正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数的图象可知单调性，再根据图象切线斜率的变化可判断的单调性，从而得出结果. 【详解】解：由函数的图像可知： 当时，函数单调递增， 又在各点处的切线的斜率越来越大且为正， 所以，即. 故选：A 3．已知是定义在上的可导函数，若，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】将题给的极限表达式转化为导数的定义式，即可得解. 【详解】因为，即， 即，则. 故选：A. 4．已知函数，则在上的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数与函数单调性间的关系，直接求出在上的单调性，即可求解. 【详解】因为在区间上恒成立，当且仅当时，取等号， 所以在区间上单调递减，则在上的最小值是， 故选：C. 5．若数列是等比数列，且则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用等比数列的性质可得，再利用对数法则进行运算化简即可. 【详解】数列是等比数列，则， 则. 故选：B 6．若点是曲线上任意一点，则到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数求得平行于直线与曲线相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】当曲线在点的切线与直线平行时，点到直线的距离的最小， 由，可得， 令，解得或（舍去），则， 所以平行于直线与曲线相切的切点坐标为， 由点到直线的距离公式，可得点到直线的距离为. 所以点到直线的距离的最小值为. 故选：C. 7．若等差数列满足，则（   ） A．2025 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差中项的性质，利用倒序相加法，可得答案. 【详解】由等差数列满足， 则对于，当时，， 则， 设，则， 两式相加可得，解得. 故选：C. 8．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据函数有两个极值点，求导，转化成方程有两个不同的正根.再设函数，分析其单调性即函数值的符号，数形结合，可求的取值范围. 【详解】因为（），所以. 因为函数有两个极值点，所以有两个不同的正的变号根. 由（）. 设（），则. 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 且，，当时，. 所以要想方程（）有两个不同的解，须有， 即. 故选：D 2． 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 9．若数列满足：已知，则（    ） A．14 B．15 C．17 D．18 【答案】ABD 【分析】利用递推关系逐个求解，求和即可. 【详解】因为，所以，由可得或； 若，则或； 若，则； 所以或14或18. 故选：ABD 10．已知函数，则下列说法正确的是（ ） A．有两个极值点 B．的极大值为2 C．的极小值为 D．在区间上单调递增 【答案】ABC 【分析】求导，解不等式，可得的单调性和极值. 【详解】，则， 则得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 则在处取极大值，在处取极小值， 故ABC正确，D错误. 故选：ABC 11．对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（   ） A．的极大值为 B．有且仅有2个零点 C．点是的对称中心 D． 【答案】ACD 【分析】A选项，，得出函数单调性，结合极值的概念，可判定A正确；B选项，根据极大值为，极小值，进而得到函数有3个零点，可判定B错误；C选项，求得，令，求得，得出，可判定C正确；D选项，根据对称性，得到，结合倒序相加法，可判定D正确. 【详解】A选项，由函数， 可得， 令，解得或；令，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 在单调递增，当时，取得极大值， 极大值为，所以A正确； B选项，由A知，当时，取得极小值， 极小值，且当时，， 当时，，， 所以函数有3个零点，所以B错误； C选项，由，可得， 令，可得， 又由， 所以点是函数的对称中心，所以C正确； D选项，因为是函数的对称中心，所以， 令， 可得， 所以 ， 所以，即， 所以D正确 故选：ACD. 三．填空题 本题共3小题，每小题5分，共15分 12．已知数列中，，，，则 . 【答案】15 【分析】根据给定条件，探讨数列的周期，进而求出其前30项的和. 【详解】数列中，由，得， 因此，数列是周期数列，周期为3，， 所以. 故答案为：15 13．若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】利用，经等价转化得到在区间上有解，故只需求在上的最小值即可. 【详解】依题意，在区间上有解， 即在区间上有解， 设，则，故只需求在上的最小值， 而在时，取得最小值，故得， 则实数的取值范围为. 故答案为： 14．已知数列的前n项和，且，数列，均为等差数列，又数列的前n项和为，且，则的值为 . 【答案】/ 【分析】利用等差中项列出①式和②式，消元后求出，进而求出数列的公差，利用与的关系求得，进而得到，最后求即可. 【详解】因数列为等差数列，则，即，化简得：① 又因数列也为等差数列，则，即② 将①代入②：，两边平方整理得：，再两边平方，可得，解得， 故数列 的公差为，故，解得， 当时，，显然时符合， 故数列的通项公式为：， 则， 则 . 故答案为：. 四．解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．（13分）已知为数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)若，求取得最大值时的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据与的关系即可求解； （2）由（1）得，通过作差法比较与的大小，从而得到数列的单调性，即可求解. 【详解】（1）当时，，解得； 当时，，即. 因为也满足，所以. （2）由（1）得，所以， 所以当时，，即； 当时，，即； 当时，，即， 所以， 故当或时，取得最大值. 16．（15分）已知函数在处取得极值. (1)求，； (2)证明：时，. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求导，根据，得到方程组，求出，检验后得到答案； （2）作差得到，构造，，求导，得到函数单调性，求出，得到. 【详解】（1）， 故且， 解得， 故，， 令得，令得， 所以在处取得极值，满足要求； （2）时，， 令，， 则，故在上单调递减， 则， 所以，，证毕. 17．（15分）已知数列满足． (1)证明：数列为等差数列； (2)设，记数列的前n项和为． （i）求； （ii）若成立，求m的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）等式两边同时除以可得； （2）（ii）由错位相减法求和即可； （ii）构造数列，由不等式组求数列的最值大即可. 【详解】（1）因为，即， 所以数列是以为首项，3为公差的等差数列. （2）（i）由（1）知， 所以， 所以， 所以， ， 所以 ， 所以. （ii）因为， 所以， 令， 不妨设的第项取得最大值， 所以，解得， 所以的最大值为， 所以，即m的取值范围是. 18．（17分）已知函数． (1)求的零点个数； (2)设是的一个零点，证明：曲线在点处的切线也是曲线的切线． 【答案】(1)2； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用导数确定单调区间，再用零点存在性定理求出零点个数. （2）利用导数的几何意义求出曲线在点处的切线方程，设曲线在点处的切线斜率为，并求出切线方程，结合（1）证两条切线重合即可. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 函数在和上均单调递增， 由，，得在上有唯一零点， 由，，得在上有唯一零点， 所以有且仅有两个零点. （2）曲线在点处的切线方程为，即， 设曲线在点处的切线斜率为， 则，，，即切点为， 则曲线在点处的切线方程为，即. 由是的一个零点，得，则， 因此直线与直线为同一直线， 所以曲线在点处的切线也是曲线的切线. 19（17分）．已知集合，集合满足，当取不同值时，各不相同．记的所有元素之和为，将数列的所有项重新排列为，使得． (1)当时，求． (2)当时，证明：成等差数列． (3)设，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）当时，集合，再结合新定义求解； （2）设，只需证得恒成立即可得成等差数列； （3）分和不包含于；两种情况进行讨论，结合新定义以及等比数列的前n项和公式化简求解可得证. 【详解】（1）当时，集合，其子集及其对应的为： ①空集：；②：；③：；④：； 重新排列之后：； （2）当时，设， 其中，， 由得，去除的相同元素， 设剩余元素中最大的元素为，设剩余元素中最大的元素为， ， 若，则同理由， 所以对任意的，，即恒成立， 由题意可知，， 因为对任意的，，恒成立，且， 所以，所以， 故，所以成等差数列； （3）①若，， 即， ②若不包含于，则，， 不妨设， 则，，， 由，得， 设， 由，，得， 因为，所以，则， 所以， 因为，所以，因为，，所以， ， 即，得， ，所以， 即， 综上所述：. ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 试卷第1页，共3页 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$