2.7 导数的应用（5大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第二册)

2.7 导数的应用 题型一：实际问题中的导数意义 1．已知函数.若，对，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．直线是曲线的切线 C．有一个零点 D．过点与曲线相切的直线有且只有1条 3．一辆正在加速的汽车在5s内速度从0提高到了90．下表给出了它在不同时刻的速度，为了方便起见，已将速度单位转化成了，时间单位为s． 时间t/s 0 1 2 3 4 5 速度v/（m/s） 0 9 15 21 23 25 (1)分别计算当t从0s变到1s、从3s变到5s时，速度v关于时间t的平均变化率，并解释它们的实际意义； (2)根据上面的数据，可以得到速度v关于时间t的函数近似表示式为，求，并解释它的实际意义． 4．某企业在2023年全年内计划生产某种产品的数量为x百件，生产过程中总成本w（x）（万元）是关于x（百件）的一次函数，且，．预计生产的产品能全部售完，且当年产量为x百件时，每百件产品的销售收入（万元）满足． (1)写出该企业今年生产这种产品的利润（万元）关于年产量x（百件）的函数关系式； (2)今年产量为多少百件时，该企业在这种产品的生产中获利最大？最大利润是多少？ （参考数据：，，，） 题型二：利润问题 1．小李准备向银行贷款万元全部用于某产品的加工与销售，据测算每年利润（单位：万元）与贷款满足关系式，要使年利润最大，小李应向银行贷款（    ） A．3万元 B．4万元 C．5万元 D．6万元 2．某莲藕种植塘每年的固定成本是3万元，每年最大规模的种植量是15万斤，每种植1斤莲藕，成本增加1元，销售额（单位：万元）与莲藕种植量（单位：万斤）满足，要使销售利润最大，每年需种植莲藕（    ） A．12万斤 B．10万斤 C．8万斤 D．6万斤 3．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为元，销量（单位：件）与零售价（单位：元）有如下关系：，则该商品利润的最大值为 元． 4．某制造商制造并出售球形瓶装的某饮料.已知瓶子的制造成本是 分，其中（单位：cm）是球形瓶子的半径.每出售1mL的饮料，制造商可获利0.25分，且制造商制作的球形瓶子的最大半径为6cm. (1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大，并求出最大利润为多少分？ (2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小，并求出最小利润为多少分？ 题型三：面积、体积最值问题 1．在我国古代建筑中，梁一直是很重要的组成部分，现代工程科学常用抗弯截面系数来刻画梁的承重能力.若梁的截面形状是圆，且圆形截面的半径为，则抗弯截面系数；若梁的截面形状是正方形，且正方形截面的边长为，则抗弯截面系数；若梁的截面形状是长方形，且长方形截面的长为，宽为，则抗弯截面系数.若上述三种截面形状的梁的截面周长相同，则（    ） A． B． C． D． 2．现有一块边长为米的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个边长相等的小正方形，然后做成一个长方体形的无盖容器，为了使容器的容积最大，则截去的小正方形边长应为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．在边长为的长方形铁片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的长方体箱子，则箱子容积的最大值为 . 4．现有一张长为40，宽为30的长方形铁皮，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为，不考虑焊接处损失.如图，在长方形的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为，高为cm，体积为. (1)求出与的关系式； (2)求该铁皮盒体积的最大值. 题型四：成本问题 1．进入4月份以来，为了支援上海抗击疫情，A地组织物流企业的汽车运输队从高速公路向上海运送抗疫物资.已知A地距离上海500，设车队从A地匀速行驶到上海，高速公路限速为.已知车队每小时运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v的立方成正比，比例系数为b，固定部分为a元.若，，为了使全程运输成本最低，车队速度v应为（    ） A．80 B．90 C．100 D．110 2．已知泳池深度为，其容积为，如果池底每平方米的维修费用为元．设入水处的较短池壁长度为，且据估计较短的池壁维修费用与池壁长度成正比，且比例系数为，较长的池壁总维修费用满足代数式，则当泳池的总维修费用最低时的值为 ． 3．设铁路长为50，，且，为将货物从运往，现在上距点为的点处修一公路至，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4. （1）将总运费表示为的函数； （2）如何选点才使总运费最小？ 4．2023年我国汽车出口跃居世界首位.整车出口491万辆，同比增长.作为中国外贸“新三样”之一，新能源汽车成为出口增长新动能.已知某款新能源汽车在匀速行驶状态下每千米的耗电量（单位：）与速度（单位：）在的函数关系为.假设电价是1元. (1)当车速为多少时，车辆每千米的耗电量最低？ (2)已知司机的工资与开车时间成正比例关系，若总费用=电费+司机的工资，甲地到乙地的距离为，最经济的车速是，则司机每小时的工资为多少元？ 题型五：用料问题 1．某工厂需要建一个面积为的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用材料最省，则堆料场的长和宽各为（    ） A．16 m，16m B．32m，16m C．32 m，8m D．16m，8m 2．某城市要在广场中央的圆形地面设计一块浮雕，彰显城市积极向上的活力.某公司设计方案如图，等腰△PMN的顶点P在半径为20的大⊙O上，点M，N在半径为10的小⊙O上，点O，P在弦MN的同侧.设，当△PMN的面积最大时，对于其它区域中的某材料成本最省，则此时（    ） A． B． C． D．0 3．工厂需要围建一个面积为的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，我们知道，砌起的新墙的总长度（单位：）是利用原有墙壁长度（单位：）的函数． (1)写出关于的函数解析式，并确定的取值范围； (2)当堆料场的长、宽比为多少时，需要砌起的新墙用的材料最省？（运用导数知识解决） 4．工厂需要围建一个面积为512的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁．我们知道，砌起的新墙的总长度y（单位：m）是利用原有墙壁长度x（单位：m）的函数． (1)写出y关于x的函数解析式，并确定x的取值范围； (2)随着x的变化，y的变化有何规律？ (3)当堆料场的长、宽比为多少时，需要砌起的新墙用的材料最省？ 1．已知一个边长为6的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做一个无盖方盒，当无盖方盒的容积V最大时，x的值应为（    ） A．6 B．3 C．1 D． 2．在“全面脱贫”行动中，某银行向某贫困地区的贫困户提供10万元以内的免息贷款，贫困户小李准备向银行贷款x万元全部用于农产品土特产的加工与销售，据测算每年利润y（单位：万元）与贷款x满足关系式，要使年利润最大，小李应向银行贷款（    ） A．3万元 B．4万元 C．5万元 D．6万元 3．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为，贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为，为使银行获得最大收益，则存款利率应定为（    ） A．0.032 B．0.04 C．0.042 D．0.038 4．在直角坐标系中，一个矩形的四个顶点都在椭圆：上，将该矩形绕轴旋转180°，得到一个圆柱体，则该圆柱体的体积最大时，其侧面积为（    ） A． B． C． D． 5．在经济学中，收益是指产品售出后所得的收入，收益函数可表示为销售量与销售单价的乘积.若某商品的单价为，经市场研究分析表明，销售量可表示为（其中均为正数，且，则此时的最大收益为（    ） A． B． C． D． 6．如图，圆的半径为1，从中剪出扇形围成一个圆锥（无底），所得的圆锥的体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．函数的图象与直线的交点个数的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．三棱锥的所有棱长均为2，O是的中心，在三棱锥内放置一个以直线为轴的圆柱，则圆柱的体积不能超过（   ） A． B． C． D． 9．（多选）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵一些？高二某研究小组针对饮料瓶的大小对饮料公司利润的影响进行了研究，调查如下：某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径．已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分（不考虑瓶子的成本的前提下），且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm．下面结论正确的有（    ）（注：；利润可为负数） A．利润随着瓶子半径的增大而增大 B．半径为6cm时，利润最大 C．半径为2cm时，利润最小 D．半径为3cm时，制造商不获利 10．（多选）若将一边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，然后做成一个无盖的方盒，则下列说法正确的是（    ） A．当时，方盒的容积最大 B．方盒的容积没有最小值 C．方盒容积的最大值为 D．方盒容积的最大值为 11．（多选）生产函数是宏观经济学和微观经济学中最常用的生产函数之一，函数的数学形式为其中Y是总产出，K是资本存量，L是劳动力，A是技术参数，是资本和劳动的产出弹性．当A不变时，下列说法正确的是（    ） A．若 K与 L均变为原来的倍，且，则 Y变为原来的 m倍 B．若 K与 L均变为原来的倍，且，则 Y最少可变为原来的 m倍 C．若 K与 L均变为原来的倍，且，则 Y最少可变为原来的 m倍 D．若均不变，则函数的增长速度越来越慢 12．在半径为的球内作内接于球的圆柱，则圆柱体积取最大值时，对应的高为 . 13．已知正四棱锥的底面边长为，高为，且，该四棱锥的外接球的表面积为，则的取值范围为 ． 14．某校高二年级学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．某学生准备做一个体积为的圆柱形模型，当模型的表面积最小时，其底面半径为 ． 15．某工厂生产某产品的固定成本为万元，每生产万箱，需另投入成本万元，当产量不足万箱时，；当产量不小于万箱时，，若每箱产品的售价为200元，通过市场分析，该厂生产的产品可以全部销售完. (1)求销售利润（万元）关于产量（万箱）的函数关系式； (2)当产量为多少万箱时，该厂在生产中所获得利润最大？ 16．某市城郊由3条公路围成的不规则的一块土地（其平面图形为图所示）．市政府为积极落实“全民健身”国家战略，准备在此地块上规划一个体育馆．建立图所示的平面直角坐标系，函数的图象由曲线段和直线段构成，已知曲线段可看成函数的一部分，直线段（百米），体育馆平面图形为直角梯形（如图所示），，．（参考数据：）    (1)求函数的解析式； (2)在线段上是否存在点，使体育馆平面图形面积最大？若存在，求出该点到原点的距离；若不存在，请说明理由． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.7 导数的应用 题型一：实际问题中的导数意义 1．已知函数.若，对，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知：在上有最小值，即有极小值点，根据极小值点的定义和零点存在定理列式即可。 【详解】，由条件可知在有极小值点，根据零点存在定理可得： 且，即且，所以。 故选：B 2．（多选）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．直线是曲线的切线 C．有一个零点 D．过点与曲线相切的直线有且只有1条 【答案】AC 【分析】对函数求导, 判断其单调性和极值情况, 即可判断选项AC；假设是曲线的切线, 设切点为, 求出的值, 验证点 是否在曲线 上即可；过点与曲线相切的直线，而点不一定为切点，可设切点，并求出有两个值，从而可判断D选项. 【详解】, 令 , 解得 或 , 令 , 解得 ； 在 上单调递增, 在 上单调递减, 且 ,. 有两个极值点, 有且仅有一个零点, 故选项A，C正确， 假设 是曲线 的切线, 设切点为 , 则 ，解得 或 ， 显然 和 均不在曲线 ， 上, 故选项B错误. 对于选项D，设切点为 , 可得切线的斜率为, 切线方程为, 代入点 , 可得, 化为 , 即, 解得 或 , 可得切线的斜率为 2 或 , 则切线方程为 或 .故过点与曲线相切的直线有2条.故选项D错误； 故选：AC. 3．一辆正在加速的汽车在5s内速度从0提高到了90．下表给出了它在不同时刻的速度，为了方便起见，已将速度单位转化成了，时间单位为s． 时间t/s 0 1 2 3 4 5 速度v/（m/s） 0 9 15 21 23 25 (1)分别计算当t从0s变到1s、从3s变到5s时，速度v关于时间t的平均变化率，并解释它们的实际意义； (2)根据上面的数据，可以得到速度v关于时间t的函数近似表示式为，求，并解释它的实际意义． 【答案】(1)平均变化率分别为，，它们分别表示在相应的时间内，时间每经过1s，速度增加9和2，也就是加速度分别为 (2)，它的意义是在t＝1s这一时刻，每过1s，汽车的速度增加8，也就是这一时刻汽车的加速度为 【分析】（1）根据平均变化率的公式及意义求解； （2）根据导数公式及导数的实际意义求解. 【详解】（1）当t从0s变到1s、从3s变到5s时，速度v关于时间t的平均变化率分别为，， 它们分别表示在相应的时间内，时间每经过1s，速度增加9和2，也就是加速度分别为. （2）∵，∴， 它的意义是在s这一时刻，每过1s，汽车的速度增加8，也就是这一时刻汽车的加速度为. 4．某企业在2023年全年内计划生产某种产品的数量为x百件，生产过程中总成本w（x）（万元）是关于x（百件）的一次函数，且，．预计生产的产品能全部售完，且当年产量为x百件时，每百件产品的销售收入（万元）满足． (1)写出该企业今年生产这种产品的利润（万元）关于年产量x（百件）的函数关系式； (2)今年产量为多少百件时，该企业在这种产品的生产中获利最大？最大利润是多少？ （参考数据：，，，） 【答案】(1) (2)当产量为7百件时，该企业在这种生产中获利最大且最大利润为51万元 【分析】（1）根据利用等于销售收入减去生产成本即可求解； （2）利用导函数与单调性的关系讨论利润函数的单调性以及最值. 【详解】（1）设 由，可得，解得， 所以， 依题意得， ． （2）由（1）得，， 则， 令，得，，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，有， 答：当产量为7百件时，该企业在这种生产中获利最大且最大利润为51万元． 题型二：利润问题 1．小李准备向银行贷款万元全部用于某产品的加工与销售，据测算每年利润（单位：万元）与贷款满足关系式，要使年利润最大，小李应向银行贷款（    ） A．3万元 B．4万元 C．5万元 D．6万元 【答案】B 【分析】利用导数研究函数的单调性，利用单调性即可求出最值. 【详解】依题意，得， 令，得， 令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数取得最大值. 故选：B. 2．某莲藕种植塘每年的固定成本是3万元，每年最大规模的种植量是15万斤，每种植1斤莲藕，成本增加1元，销售额（单位：万元）与莲藕种植量（单位：万斤）满足，要使销售利润最大，每年需种植莲藕（    ） A．12万斤 B．10万斤 C．8万斤 D．6万斤 【答案】A 【分析】写出销售利润，求导得到函数单调性和最值，得到答案. 【详解】设销售利润为， 则， 所以， 令得，令得， 可知在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，销售利润最大. 故选：A 3．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为元，销量（单位：件）与零售价（单位：元）有如下关系：，则该商品利润的最大值为 元． 【答案】23000 【分析】求出该商品利润的表达式，利用导数求出最值可得答案. 【详解】该商品利润， 则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以当时有最大值， 为元. 故答案为：23000. 4．某制造商制造并出售球形瓶装的某饮料.已知瓶子的制造成本是 分，其中（单位：cm）是球形瓶子的半径.每出售1mL的饮料，制造商可获利0.25分，且制造商制作的球形瓶子的最大半径为6cm. (1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大，并求出最大利润为多少分？ (2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小，并求出最小利润为多少分？ 【答案】(1)6，（分） (2)2，最小利润为（分） 【分析】（1）设每瓶饮料的利润为（分），由题意列出其解析式，通过求导判断其单调性，即得及此时瓶子的半径； （2）由（1）分析，易得及此时瓶子的半径. 【详解】（1）设每瓶饮料的利润为（分）， 由题可知 ， 则，由，可得，或（舍） 当时，；当时，， 故在上单调递减；在上单调递增 由上分析，当时，利润最大，， 故当时，利润最大，此时最大利润为（分） （2）由上分析，当时，利润最小，， 故当时，利润最小，此时利润为负值，最小利润为. 题型三：面积、体积最值问题 1．在我国古代建筑中，梁一直是很重要的组成部分，现代工程科学常用抗弯截面系数来刻画梁的承重能力.若梁的截面形状是圆，且圆形截面的半径为，则抗弯截面系数；若梁的截面形状是正方形，且正方形截面的边长为，则抗弯截面系数；若梁的截面形状是长方形，且长方形截面的长为，宽为，则抗弯截面系数.若上述三种截面形状的梁的截面周长相同，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分别得到的表达式，即可构造函数，根据导数求解函数的单调性求解。 【详解】记这三种截面的周长为C，则，从而， ，. 由，得. 令，，则， 显然在上恒成立，故在上单调递增， 因为，，所以. 因为，所以.     故选:D 2．现有一块边长为米的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个边长相等的小正方形，然后做成一个长方体形的无盖容器，为了使容器的容积最大，则截去的小正方形边长应为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】设截去的小正方形边长为米，再根据题意得出无盖容器的体积，进而求导分析体积最大值时的值即可. 【详解】设截去的小正方形边长为米，由题意容器底边长为米，高为米， 故体积，则. 故当时，单调递增；当时，单调递减. 故为了使容器的容积最大，则截去的小正方形边长应为米. 故选：C 3．在边长为的长方形铁片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的长方体箱子，则箱子容积的最大值为 . 【答案】18 【分析】根据长方体的体积公式求得，求得函数的定义域，利用导数法求得最大值即可. 【详解】设小正方形的边长为，依题意，箱子容积， 由，解得，所以的定义域为. 则， 所以在区间单调递增； 在区间单调递减， 所以当时，取到最大值，且最大值为. 故答案为：18 4．现有一张长为40，宽为30的长方形铁皮，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为，不考虑焊接处损失.如图，在长方形的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为，高为cm，体积为. (1)求出与的关系式； (2)求该铁皮盒体积的最大值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题意得到，化简得到，并由实际情境得到； （2）表达出，求导得到其单调性，进而得到最大值. 【详解】（1）因为材料利用率为， 所以，即； 因为长方形铁皮长为40，宽为30，故， 综上，，； （2）铁皮盒体积， ，令，得 的变化情况如下： 20 + 0 - 在上为增函数，在上为减函数， 则当时，取最大值， 最大值为. 题型四：成本问题 1．进入4月份以来，为了支援上海抗击疫情，A地组织物流企业的汽车运输队从高速公路向上海运送抗疫物资.已知A地距离上海500，设车队从A地匀速行驶到上海，高速公路限速为.已知车队每小时运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v的立方成正比，比例系数为b，固定部分为a元.若，，为了使全程运输成本最低，车队速度v应为（    ） A．80 B．90 C．100 D．110 【答案】C 【分析】设运输成本为元，依题意可得，利用导数求出函数的单调性，即可得到函数的极小值点，从而得解； 【详解】解：设运输成本为元，依题意可得， 则 所以当时，当时，当时， 即函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时取得极小值即最小值， 所以时全程运输成本最低； 故选：C 2．已知泳池深度为，其容积为，如果池底每平方米的维修费用为元．设入水处的较短池壁长度为，且据估计较短的池壁维修费用与池壁长度成正比，且比例系数为，较长的池壁总维修费用满足代数式，则当泳池的总维修费用最低时的值为 ． 【答案】 【分析】将池壁的总维修费用表示为关于的函数，利用导数可求得的单调性，结合单调性可得最小值点，从而得到结果. 【详解】由题意知：池底面积为，则池底维修费用为（元）； 表示较短池壁长，，解得：， 池壁的总维修费用表达式为， ， 令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值，即此时泳池的总维修费用最低. 故答案为：. 3．设铁路长为50，，且，为将货物从运往，现在上距点为的点处修一公路至，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4. （1）将总运费表示为的函数； （2）如何选点才使总运费最小？ 【答案】（1）；（2）在距离点为时的点处修筑公路至时总运费最小. 【分析】（1）根据题意，结合勾股定理直接求出函数关系式； （2）利用导数进行求解即可. 【详解】解：（1）依题意，铁路上的运费为， 公路上的运费为， 则由到的总运费为. （2）. 令，解得，(舍). 当时，，当时，. 故当时，取得最小值，即当在距离点为时的点处修筑公路至时总运费最小. 4．2023年我国汽车出口跃居世界首位.整车出口491万辆，同比增长.作为中国外贸“新三样”之一，新能源汽车成为出口增长新动能.已知某款新能源汽车在匀速行驶状态下每千米的耗电量（单位：）与速度（单位：）在的函数关系为.假设电价是1元. (1)当车速为多少时，车辆每千米的耗电量最低？ (2)已知司机的工资与开车时间成正比例关系，若总费用=电费+司机的工资，甲地到乙地的距离为，最经济的车速是，则司机每小时的工资为多少元？ 【答案】(1) (2)150元. 【分析】（1）利用导数求函数的最小值； （2）首先计算汽车行驶的总费用，并求函数的导数，由题意可知，是函数的极值点，代入即可求解. 【详解】（1）由 有，令，得或（舍）， 当时，,单调递减， 当时，,单调递增， 所以当车速为时，车辆每千米的耗电量最低； （2）设司机的工资为元，则行车的总费用为 ，由题意知时，， 得，即司机每小时的工资为150元. 题型五：用料问题 1．某工厂需要建一个面积为的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用材料最省，则堆料场的长和宽各为（    ） A．16 m，16m B．32m，16m C．32 m，8m D．16m，8m 【答案】B 【分析】求出新墙总长度的表达式，利用导数判断其单调性，确定最小值点，即可求得答案. 【详解】如图所示，设场地一边长为xm，则另一边长为m， 因此新墙总长度，则， 令，得或(舍去)， 当时，，当时，， 则L在上单调递减，在上单调递增， ∴是L的最小值点，此时， 故当堆料场的宽为16 m，长为32 m时，可使砌墙所用的材料最省. 故选：B 2．某城市要在广场中央的圆形地面设计一块浮雕，彰显城市积极向上的活力.某公司设计方案如图，等腰△PMN的顶点P在半径为20的大⊙O上，点M，N在半径为10的小⊙O上，点O，P在弦MN的同侧.设，当△PMN的面积最大时，对于其它区域中的某材料成本最省，则此时（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】设△PMN的面积为，进而得，利用导数研究函数的单调性求出函数的最大值，结合二倍角的余弦公式计算即可得出结果. 【详解】等腰△PMN中，，设△PMN的面积为， 则，， 求导 ， 令，即，解得：（舍去负根）， 记，， 当，，函数单调递增； 当，，函数单调递减； 故当时，即，取得极大值，即最大值， 则 故选：C. 3．工厂需要围建一个面积为的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，我们知道，砌起的新墙的总长度（单位：）是利用原有墙壁长度（单位：）的函数． (1)写出关于的函数解析式，并确定的取值范围； (2)当堆料场的长、宽比为多少时，需要砌起的新墙用的材料最省？（运用导数知识解决） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用矩形堆料场的面积可整理得到函数关系式，结合实际意义可得的范围； （2）利用导数可求得函数的单调性，得到函数的最值点，进而得到长宽比. 【详解】（1）由题意知：与原有墙壁垂直的新墙长度为，的取值范围为， 则，整理可得：， 关于的函数解析式为. （2）由（1）可得：， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， 当时，，此时， 当堆料场的长、宽比为时，需要砌起的新墙用的材料最省. 4．工厂需要围建一个面积为512的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁．我们知道，砌起的新墙的总长度y（单位：m）是利用原有墙壁长度x（单位：m）的函数． (1)写出y关于x的函数解析式，并确定x的取值范围； (2)随着x的变化，y的变化有何规律？ (3)当堆料场的长、宽比为多少时，需要砌起的新墙用的材料最省？ 【答案】(1) (2)见解析； (3). 【分析】（1）利用题意建立函数关系即可； （2）根据函数关系利用导数研究其单调性即可； （3）根据（2）求函数的极值、最值即可. 【详解】（1）由题意可知与原有墙壁垂直的新墙长度为：， 则， 所以y关于x的函数解析式为，； （2）由（1）， 显然当时，，即此时随着x的增大，y也增大； 当时，，即此时随着x的增大，y减小； （3）由（2）可知，当时，y可取得极小值也是最小值，此时， 所以长和宽分别为32，16时最省料，此时长宽比为. 1．已知一个边长为6的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做一个无盖方盒，当无盖方盒的容积V最大时，x的值应为（    ） A．6 B．3 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据棱柱的体积公式，结合导数的性质进行求解即可. 【详解】由题意可知这个无盖方盒的共顶点的三条棱长分别为：， 显然， 因此无盖方盒的容积， 所以， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减，所以当时，函数有最大值， 故选：C 2．在“全面脱贫”行动中，某银行向某贫困地区的贫困户提供10万元以内的免息贷款，贫困户小李准备向银行贷款x万元全部用于农产品土特产的加工与销售，据测算每年利润y（单位：万元）与贷款x满足关系式，要使年利润最大，小李应向银行贷款（    ） A．3万元 B．4万元 C．5万元 D．6万元 【答案】B 【分析】利用导数对问题进行求解，从而得出正确答案. 【详解】依题意，且， ， 所以函数在，函数递增；在，函数递减. 所以当万元时，函数取得最大值. 故选：B 3．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为，贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为，为使银行获得最大收益，则存款利率应定为（    ） A．0.032 B．0.04 C．0.042 D．0.038 【答案】A 【分析】设存款利率为，由题意可得银行的收益是，利用导数求出函数的最大值即可. 【详解】设存款利率为， 依题意，存款量是，银行应支付的利息是，贷款的收益是，． 所以银行的收益是， 由于，令，得或（舍去）． 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值． 故选：A 4．在直角坐标系中，一个矩形的四个顶点都在椭圆：上，将该矩形绕轴旋转180°，得到一个圆柱体，则该圆柱体的体积最大时，其侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点在第一象限，表示出圆柱的底面圆半径和母线长，求得圆柱的体积表达式，利用导数分析得出时，圆柱体的体积最大，继而求得其侧面积. 【详解】 如图，设点在第一象限，则有，且. 由椭圆和矩形的对称性，把矩形绕着轴旋转180°得圆柱， 则圆柱的底面圆半径为，母线长为， 于是该圆柱体的体积为：， 将对求导，可得：，由可得， 当时，；当时，， 即在上单调递增；在上单调递减. 故当时，圆柱体的体积最大，此时，. 则圆柱的侧面积为：. 故选：A. 5．在经济学中，收益是指产品售出后所得的收入，收益函数可表示为销售量与销售单价的乘积.若某商品的单价为，经市场研究分析表明，销售量可表示为（其中均为正数，且，则此时的最大收益为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】表达出，求导得到函数单调性，从而求出最大值，得到答案. 【详解】由题意可知，收益函数， 所以，令，得， 且当时，单调递增； 当时，单调递减． 所以最大收益为． 故选：B 6．如图，圆的半径为1，从中剪出扇形围成一个圆锥（无底），所得的圆锥的体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆锥的体积公式，结合不等式或者利用导数求解单调性，即可求解最值. 【详解】设圆锥的底面圆半径为 则圆锥的高为，所以圆锥的体积为，当且仅当时取等号， 或者：，令 ，则，故当 时， ，此时 单调递增，当 ，此时 单调递减， 故当时，取最大值，故体积的最大值为， 故选：D 7．函数的图象与直线的交点个数的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】对函数求导，再令函数，求导进而得到函数单调递增，再设新函数利用函数的单调性即可得到结果. 【详解】解：易得， 设函数，则， 易知是单调递增函数，且. 故在区间上单调递减，于是. 故，即在区间上单调递增， 联立有，易知函数在上单调递增， 故的零点个数最多为1， 即函数的图象与直线的交点个数的最大值为1. 故选：A 【点睛】方法总结：求函数交点的方法： （1）代数法：联立方程组法、消元法； （2）函数法：手工做图、利用软件作图； （3）导数法. 8．三棱锥的所有棱长均为2，O是的中心，在三棱锥内放置一个以直线为轴的圆柱，则圆柱的体积不能超过（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画图，求出各边长，设，结合三角形相似和柱体体积公式得到圆柱体积，，求导，得到其单调性，求出最值. 【详解】如图所示，圆柱的上底面内切于，分别为的中点， 则三点共线，三点共线， 因为三棱锥的所有棱长均为， 所以，， 又O是的中心，故， 由勾股定理得， 其中∽，故， 设，则，故， 其中， 所以圆柱的体积，其中， 则， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故当时，圆柱的体积取得极大值，也是最大值， 最大值为， 故圆柱的体积不能超过. 故选：A. 9．（多选）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵一些？高二某研究小组针对饮料瓶的大小对饮料公司利润的影响进行了研究，调查如下：某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径．已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分（不考虑瓶子的成本的前提下），且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm．下面结论正确的有（    ）（注：；利润可为负数） A．利润随着瓶子半径的增大而增大 B．半径为6cm时，利润最大 C．半径为2cm时，利润最小 D．半径为3cm时，制造商不获利 【答案】BCD 【分析】先根据条件及球的体积公式求出每瓶液体材料的利润的解析式，再利用导数的性质即可逐一判断． 【详解】由已知，每个瓶子的利润为，， 则， 所以当时，，此时函数单调递减，故A错误； 又当时，，函数单调递增， 又，则当时，函数取得最大值，故B正确； 当时，函数取得最小值，故C正确； 又，故D正确． 故选：BCD． 10．（多选）若将一边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，然后做成一个无盖的方盒，则下列说法正确的是（    ） A．当时，方盒的容积最大 B．方盒的容积没有最小值 C．方盒容积的最大值为 D．方盒容积的最大值为 【答案】ABC 【分析】将方盒容积表示为关于的函数的形式，利用导数可求得单调性、最值点和最值，由此可得结果. 【详解】由题意知：方盒的底面为边长为的正方形，高为，其中， 则方盒的容积为， ， 则当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， ，无最小值，ABC正确，D错误. 故选：ABC. 11．（多选）生产函数是宏观经济学和微观经济学中最常用的生产函数之一，函数的数学形式为其中Y是总产出，K是资本存量，L是劳动力，A是技术参数，是资本和劳动的产出弹性．当A不变时，下列说法正确的是（    ） A．若 K与 L均变为原来的倍，且，则 Y变为原来的 m倍 B．若 K与 L均变为原来的倍，且，则 Y最少可变为原来的 m倍 C．若 K与 L均变为原来的倍，且，则 Y最少可变为原来的 m倍 D．若均不变，则函数的增长速度越来越慢 【答案】ABD 【分析】由，得代入判断A；利用基本不等式判断B；利用判断C；利用导函数的单调性判断D. 【详解】由题意可知，， 当时，，故A对； 当时，， 所以， 当且仅当时，取等号，故B对； 当时，因为， 所以， 当且仅当时，取等号，故C错； 若均不变，Y是K的函数，且, 因为，所以是减函数，故D对； 故选：ABD 12．在半径为的球内作内接于球的圆柱，则圆柱体积取最大值时，对应的高为 . 【答案】2 【分析】设出球的内接圆柱的高，再表示出圆柱底面圆半径，列出圆柱体积的函数关系，借助导数求解作答. 【详解】设球的内接圆柱的高为，底面半径为，于是球心到圆柱底面距离为， 因此，即，则圆柱体积， 显然，求导得，当时，，当时，， 于是函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值. 故答案为：2 13．已知正四棱锥的底面边长为，高为，且，该四棱锥的外接球的表面积为，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】作出辅助线，找到球心的位置，列出方程，求出半径与的关系式，利用导函数得到其单调性和最值情况，得到表面积的取值范围. 【详解】连接相交于点，连接，则⊥平面， 球心在上，连接，则，， 因为正四棱锥的底面边长为，所以， 在直角三角形上，由勾股定理得， 即，，解得， 由， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在取得极小值，也是最小值，此时， 又当和时，， 所以，则. 故答案为： 14．某校高二年级学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．某学生准备做一个体积为的圆柱形模型，当模型的表面积最小时，其底面半径为 ． 【答案】 【分析】设圆柱模型的底面半径为，高为，由已知得，再表示出圆柱模型的表面积为，令，利用导函数分析出的单调性，由此可求得模型的表面积取最小值时的值. 【详解】设圆柱模型的底面半径为，高为，则圆柱模型的体积为，即， 所以圆柱模型的表面积为， 令，，则， 令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在取得最小值，即当圆柱模型的底面半径为时，模型的表面积最小， 故答案为：. 15．某工厂生产某产品的固定成本为万元，每生产万箱，需另投入成本万元，当产量不足万箱时，；当产量不小于万箱时，，若每箱产品的售价为200元，通过市场分析，该厂生产的产品可以全部销售完. (1)求销售利润（万元）关于产量（万箱）的函数关系式； (2)当产量为多少万箱时，该厂在生产中所获得利润最大？ 【答案】(1) (2)当产量为80万箱时，所获利润最大 【分析】（1）分和两种情况讨论，分别求出函数解析式； （2）利用导数求出函数在时的最大值，利用基本不等式求出当时的最大值，即可得解. 【详解】（1）由题意可知，销售收入为万元， 当产量不足万箱，即时， . 当产量不小于万箱，即时， . 综上可得. （2）设， 当时，， 则当时，当时， 可知在上单调递增，在上单调递减. 则， 当时，由基本不等式可知， 当且仅当，即时取等号. 又，所以当产量为万箱时，所获利润最大值为万元. 16．某市城郊由3条公路围成的不规则的一块土地（其平面图形为图所示）．市政府为积极落实“全民健身”国家战略，准备在此地块上规划一个体育馆．建立图所示的平面直角坐标系，函数的图象由曲线段和直线段构成，已知曲线段可看成函数的一部分，直线段（百米），体育馆平面图形为直角梯形（如图所示），，．（参考数据：）    (1)求函数的解析式； (2)在线段上是否存在点，使体育馆平面图形面积最大？若存在，求出该点到原点的距离；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，（百米）． 【分析】（1）根据函数图象即可得出解析式； （2）写出面积表达式，利用导数求函数单调性，即可得出点的位置. 【详解】（1）由题意，因为在曲线上，即，， 所以，． 又因为，，所以线段方程为， 所以，． 所以函数的解析式为：． （2）由题意及（1）得， 在中， 设点坐标为，则． 又，，点坐标为， 所以直角梯形的面积， 即， 所以． 令，解得． 当时，； 当时，． 所以在上单调递增，在上单调递减． 所以时，函数取得最大值． 故在线段上存在点，使体育馆平面图形面积最大，且到的距离（百米）． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$