第一章 数列（章末综合检测卷）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第二册)

（试卷满分150分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．4与9的等比中项为（   ） A．6 B． C． D．6.5 2．在数列中，，（，），则（    ） A． B．1 C． D．2 3．等差数列的前项和记为，若，则（   ） A．3033 B．4044 C．6075 D．8075 4．已知数列满足：，若，则（   ） A． B． C． D． 5．已知数列满足，则数列中的最小项为（    ） A． B． C． D． 6．已知数列是正项等比数列，且，又、、成等差数列，则的通项公式为（   ） A． B． C． D． 7．等差数列前5项和为15，等比数列前3项积为8，若，，则的公差d等于（    ） A．4 B．3 C．2 D．1或 8．已知数列满足，则下列说法正确的是（   ） A．若，则所有项恒大于等于 B．若，则是单调递增数列 C．若是常数列，则 D．若，则是单调递增数列 2． 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 9．已知等比数列是递增数列，是其公比，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 10．已知数列满足，则（    ） A． B．的前n项和为 C．的前100项和为100 D．的前30项和为357 11．已知定义在上的函数满足，其中表示不超过x的最大整数，如[，．当时，，设为从小到大的第n个极小值点，则（   ） A． B． C．数列是等差数列 D． 三．填空题 本题共3小题，每小题5分，共15分 12．已知公差不为0的等差数列的前项和为，若，则 . 13．已知数列满足，且对任意正整数n，，则数列的前n项和 . 14．某工厂加工一种电子零件，去年12月份生产1万个，产品合格率为87%.为提高产品合格率，工厂进行了设备更新，今年1月份的产量在去年12月份的基础上提高4%，产品合格率比去年12月份增加0.4%，计划以后两年内，每月的产量和产品合格率都按此标准增长，那么该工厂的月不合格产品个数达到最大是两年内的第 月. 四．解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．（13分）设等差数列的前项和为，已知． (1)若，求的通项公式； (2)若对于任意，都有，求公差的取值范围． 16．（15分）已知数列和首项为2的等比数列的各项均为正数，若，，且. (1)求和的通项公式和的前n项和； (2)若数列的通项公式满足，设为的前n项和，求证:. 17．（15分）已知项数为的数列满足：且． (1)若为等比数列，求的值； (2)若是等差数列，求公差的值． 18．（17分）已知数列是等差数列，且，. (1)求的通项公式. (2)试问有多少项为整数？ (3)求数列的前n项和. 19．（17分）设为正整数，数列是首项为，公差为的等差数列，若存在一组正整数，使得能构成等比数列，则称数列为可拆数列. (1)对任意正整数，判断数列是否为可拆数列； (2)若对任意正整数，数列是可拆数列，求的所有可能值； (3)若存在无穷多个正整数，使得是等比数列，求的取值范围. ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 试卷第1页，共3页 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章：数列章末综合检测卷 （试卷满分150分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．4与9的等比中项为（   ） A．6 B． C． D．6.5 【答案】C 【分析】根据等比中项的概念计算即可. 【详解】设4与9的等比中项为，则，所以或. 故选：C 2．在数列中，，（，），则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】列出数列的前几项，即可得到是以为周期的周期数列，根据周期性计算可得. 【详解】因为，（，）， 所以，，，， 所以是以为周期的周期数列，则. 故选：A 3．等差数列的前项和记为，若，则（   ） A．3033 B．4044 C．6075 D．8075 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质可得，再结合等差数列求和公式运算求解. 【详解】因为数列为等差数列，则， 所以． 故选：C. 4．已知数列满足：，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据递推公式依次计算数列前5项后可知数列为周期数列，再根据周期求解即可 【详解】解：因为且 所以,, ,, ,, 所以数列是周期数列，且周期为4， 所以. 故选：C 5．已知数列满足，则数列中的最小项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的通项可得，计算，结合即可求解. 【详解】由可知为等差数列，且公差为2，首项为， 因此， 由于且， 故中的最小项为， 故选：B 6．已知数列是正项等比数列，且，又、、成等差数列，则的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意求出等比数列的公比的值，再由已知条件求出的值，结合等比数列的通项公式可求得数列的通项公式. 【详解】设等比数列的公比为，则，则，即，解得， 因为、、成等差数列，即，可得，解得， 因此，. 故选：D. 7．等差数列前5项和为15，等比数列前3项积为8，若，，则的公差d等于（    ） A．4 B．3 C．2 D．1或 【答案】D 【分析】结合等差、等比数列的通项公式和性质，可求数列的公差. 【详解】因为为等差数列，且， 因为为等比数列，且. 由或. 故选：D 8．已知数列满足，则下列说法正确的是（   ） A．若，则所有项恒大于等于 B．若，则是单调递增数列 C．若是常数列，则 D．若，则是单调递增数列 【答案】C 【分析】由值不定即可判断A；由题设求出和即可判断B；由求出即可求出判断C；由和即可判断D. 【详解】对于A，当时，，当且仅当即时等号成立， 所以，但值不定， 所以若，则所有项不一定恒大于等于，故A错误； 对于B，若时，，，而，故B错； 对于C，若是常数列，则，即， 所以，故C正确； 对于D，由题， 因为，所以由递推关系可知，且，， 所以，.故D错误. 故选：C. 2． 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 9．已知等比数列是递增数列，是其公比，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据等比数列的性质可知，递增的等比数列包括两种情况：时或时. 【详解】由题意知， 递增的等比数列包括两种情况：时或时. 故，， 故选：BD 10．已知数列满足，则（    ） A． B．的前n项和为 C．的前100项和为100 D．的前30项和为357 【答案】AD 【分析】当时，，两式相减可求出，检验满足，可判断A；由等差数列的前项和公式可判断B；由分组求和法可判断C，D. 【详解】当时，， 当时，， 两式相减可得：， 所以， 显然当时，满足，故，故A正确； 由等差数列求和公式知的前项和为，故B错误； 令，的前100项和为： ，故C错误； 令， 所以的前30项和为： ，故D正确. 故选：AD. 11．已知定义在上的函数满足，其中表示不超过x的最大整数，如[，．当时，，设为从小到大的第n个极小值点，则（   ） A． B． C．数列是等差数列 D． 【答案】BC 【分析】应用已知计算判断A，化简计算判断B，应用极值点定义结合等差数列定义判断C，应用递推公式得出等比数列计算判断D. 【详解】因为，故A选项错误； 当时，，等式两边同时加，得， 故，，故B选项正确； 当时，设，则极小值点为， 所以当时，，此时，的极小值点为， 即，所以，数列是等差数列，故C选项正确； 所以设，则，，， 为首项是，公比为2的等比数列， 所以，当时，，故D选项错误． 综上所述，应选BC． 故选：BC. 三．填空题 本题共3小题，每小题5分，共15分 12．已知公差不为0的等差数列的前项和为，若，则 . 【答案】9 【分析】设公差为，利用等差数列的通项公式和求和公式化简计算即得. 【详解】设等差数列的公差为， 由可得， 化简得，因，解得. 故答案为：9. 13．已知数列满足，且对任意正整数n，，则数列的前n项和 . 【答案】 【分析】利用的关系式，即可求得前项和的等比递推，从而可求通项. 【详解】由， 又因为，所以， 因为，所以是等比数列，公比为，首项为， 即. 故答案为：. 14．某工厂加工一种电子零件，去年12月份生产1万个，产品合格率为87%.为提高产品合格率，工厂进行了设备更新，今年1月份的产量在去年12月份的基础上提高4%，产品合格率比去年12月份增加0.4%，计划以后两年内，每月的产量和产品合格率都按此标准增长，那么该工厂的月不合格产品个数达到最大是两年内的第 月. 【答案】7 【分析】根据给定条件，将每月产量及合格率依次排列分别构成等比数列和等差数列，再求出不合格品数，并借助单调性求解最大问题. 【详解】设从今年1月份起，每月的产量和产品的合格率都按题中的标准增长， 该工厂每月的产量、不合格率分别用、表示，月份用表示， 则，，， 则从今年1月份起，各月不合格产品数量为（万个）， ， 当时，，即，此时数列单调递增， 当且时，，即，此时数列单调递减， 即， 则当时，最大，所以该工厂的月不合格产品个数达到最大是今年的7月份. 故答案为：7 【点睛】关键点点睛：求出各月的不合格品数构成数列的通项是求解问题的关键. 四．解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．（13分）设等差数列的前项和为，已知． (1)若，求的通项公式； (2)若对于任意，都有，求公差的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列性质计算可得，可求通项公式； （2）依题意可得，，再由得出不等式可求得公差的取值范围． 【详解】（1）易知，所以． 因为，所以公差． 得． （2）因为对任意，都有， 所以，，得，． 由（1）知，所以，， 解得； 即公差的取值范围为. 16．（15分）已知数列和首项为2的等比数列的各项均为正数，若，，且. (1)求和的通项公式和的前n项和； (2)若数列的通项公式满足，设为的前n项和，求证:. 【答案】(1)；； (2)证明见详解 【分析】（1）设等比数列的公比为，由即可求出，进而得，令，由得即可求出，进而得，令，利用错位相减法即可求出； （2）由，利用裂项相消法即可证明. 【详解】（1）设等比数列的公比为，首项，， 所以，，， 又因为，所以， 令，，又有， 则有 ， 所以， 又因为数列的各项均为正数，所以， 令， 所以①， ②， 由①—②有： ， （2）因为， 所以. 17．（15分）已知项数为的数列满足：且． (1)若为等比数列，求的值； (2)若是等差数列，求公差的值． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）设等比数列的公比为，由题设结合等比数列前n项和公式求出，再由题设即可求出. （2）先由等差数列前n项和公式求得，即，接着分、和三种情况结合题设列出关于首项和公差列出不等式组即可求解. 【详解】（1）设等比数列的公比为，显然． 由，得，解得． 由，得，所以或． （2）由，得，所以，即． 当时，，此时（舍去）； 当时，则且， 即解得； 当时，则且，即解得． 综上所述，公差的值为或． 18．（17分）已知数列是等差数列，且，. (1)求的通项公式. (2)试问有多少项为整数？ (3)求数列的前n项和. 【答案】(1) (2)5 (3) 【分析】（1）应用等差数列求出公差，再结合通项公式计算即可； （2）根据通项公式特征计算求解； （3）应用分组求和结合错位相减计算求解. 【详解】（1）数列是等差数列，且，， 所以，设等差数列公差为， 所以， 所以， 所以， 所以. （2）因为， 当为整数时，则为整数，所以，所以有5项为整数； （3）因为，所以， 数列的前n项和. 设， 于是， 两式相减得， 所以， 所以 19．（17分）设为正整数，数列是首项为，公差为的等差数列，若存在一组正整数，使得能构成等比数列，则称数列为可拆数列. (1)对任意正整数，判断数列是否为可拆数列； (2)若对任意正整数，数列是可拆数列，求的所有可能值； (3)若存在无穷多个正整数，使得是等比数列，求的取值范围. 【答案】(1)是 (2)全体正有理数 (3) 【分析】（1）利用可拆数列的定义即可求解； （2）根据定义证明命题等价于是正有理数； （3）利用（2）的结论即可得到结果. 【详解】（1）根据定义，取，即可得到构成等比数列. 所以是可拆数列. （2）先证明一个引理：对任意的正整数，数列包含一个无穷等比数列. 证明：由于. 故可以取，则此时. 从而得到是等比数列. 引理证毕，回到原题. ①由于包含构成等比数列的三项，故存在非负整数使得，即. 从而，这得到一定是正有理数. ②若是正有理数，设，则根据引理知数列包含无穷等比数列. 所以也包含无穷等比数列，这就意味着对任意正整数，存在使得构成等比数列，从而一定是可拆数列，条件满足. 综合①②可知，的所有可能值为全体正有理数. （3）①在此条件下，显然对任意正整数，数列都是可拆数列，根据（2）的结论可知. ②若，设，则同样根据（2）中的引理，知数列包含无穷等比数列. 所以也包含无穷等比数列，条件满足. 综合①②可知，的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于理解可拆数列的定义，只有理解了定义，方可解决相应问题. ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 试卷第1页，共3页 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$