精品解析：辽宁省沈阳市第二中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试卷

沈阳二中2024-2025学年度下学期4月测试 高一（27届）数学试题 命题人：高一数学组 审校人：高一数学组 说明： 1．测试时间：120分钟 总分：150分 2．客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求． 1. 与角终边相同的角的集合是（ ） A. B. C D. 2. 的值是（ ） A. B. C. D. 3. 设角终边与单位圆交于点，则是的（   ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数在上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，为上一点，且，若，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 4 7. 已知角终边上点坐标为，则（ ） A. B. C. D. 8. 向量，满足，且，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示为函数（，）的部分图象，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. 将的图象向右平移个单位可以得到的图象 D. 方程在上有三个根 11. 已知函数满足，且在上有最小值，无最大值，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 的最小正周期为4 C. 当时，函数在每一个闭区间上单调递增 D. 在上恰有1350个零点 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，且，则__________. 13. 函数在时函数取得最大值，则______． 14. 已知平面向量，，，若存在平面向量，，使得，则的最小值是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，满足. （1）求向量与夹角； （2）求向量在向量上的投影向量； （3）若向量与垂直，求实数的值. 16. 完成求值和函数的值域. （1）求的值． （2）已知，求函数的值域． 17. 已知函数，（其中，）的最小正周期为，它的一个对称中心为. （1）求函数的解析式； （2）当时，方程有两个不等的实根，求实数的取值范围； （3）若方程在上解为、，求. 18. 在中，P为AB中点，O在边AC上，BO交CP于R，且，设. （1）试用表示； （2）若，求的余弦值； （3）若H在BC上，且，设，若，求的范围． 19. 对于函数及给定的实数，若存在正实数t使得函数在区间和上同为增函数或同为减函数，则称函数为区间上的函数； （1）已知，请指出函数是否为区间[0,1]上的函数(不需要说明理由)； （2）已知，且函数是区间上 的函数，请写出t的所有取值，并说明理由； （3）若函数既是区间上的函数又是区间上的函数，当α、β取遍所有可取的值时，求出的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 沈阳二中2024-2025学年度下学期4月测试 高一（27届）数学试题 命题人：高一数学组 审校人：高一数学组 说明： 1．测试时间：120分钟 总分：150分 2．客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求． 1. 与角终边相同的角的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出在中与角终边相同的角，再写成集合的形式即可判断. 【详解】因， 故与角终边相同的角的集合可表示为，C项正确， 而A，B，D项中的角都与终边不同. 故选：C. 2. 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式及两角和的余弦公式求解即可. 【详解】 . 故选：C. 3. 设角的终边与单位圆交于点，则是的（   ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】分别去验证充分性和必要性即可. 【详解】充分性：当，则满足， 必要性：时，，不满足， 所以则是的充分不必要条件. 故选： 4. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据两向量平行的坐标关系求出的值，再将所求式子转化为关于的表达式，最后代入的值进行计算. 【详解】已知，，且. 可得：，即..  ，将其变形为. 分子分母同时除以（因为，若，则，此时，，两向量不平行）， 得到.  将代入可得：  ，则. 故选：D. 5. 函数在上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，再通过特殊值，利用排除法，得到正确答案. 【详解】因为， 所以， 即为奇函数，排除A、B； 又当时，时， 当时，时，排除D. 故选：C. 6. 如图，在中，，为上一点，且，若，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由已知结合向量共线定理可得，进而根据向量数量积的运算律即可求解. 【详解】因为，， 故， 由于在上，所以，故， 则， 又，，， 所以， 则 . 故选：B. 7. 已知角终边上点坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定角的终边所在的位置，再根据诱导公式及商数关系即可得解. 【详解】因为， 所以角的终边在第二象限， 又因为 ， 且， 所以. 故选：B 8. 向量，满足，且，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及定义，结合一元二次不等式恒成立列式求得答案. 【详解】由，得， 因为，， 则， 即，整理得， 即，所以， 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由两角和差三角函数公式、平方关系结合已知运算即可. 【详解】由已知，得，， 两式分别平方相加，得，， 整理得，∴，∴A正确； 同理由，，两式分别平方相加，易得，∴B正确； 由，，两式分别平方相加，易得． ∵，∴，∴， ∴，∴C正确，D错误. 故选：ABC． 10. 如图所示为函数（，）的部分图象，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. 将的图象向右平移个单位可以得到的图象 D. 方程在上有三个根 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，利用五点法作图求出函数解析式，再逐项求解判断. 【详解】观察图象，得的最小正周期，解得， 由，得，而，解得， 对于A，，A正确； 对于B，当时，，当，即时， 取得最大值，因此在区间上不单调，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，当时，，由，得或， 因此方程在上有2个根，D错误. 故选：AC 11. 已知函数满足，且在上有最小值，无最大值，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 的最小正周期为4 C. 当时，函数在每一个闭区间上单调递增 D. 在上恰有1350个零点 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：分析可知在处取到最小值，进而可得对称轴；对于B：可知，且在同一递减区间内，解得，即可得最小正周期；对于C：由选项B可知：，进而可求单调递增区间；对于D：举反例说明即可. 【详解】对于选项A：因为，且在上有最小值，无最大值， 可知在处取到最小值， 所以函数的图象关于直线对称，故A正确； 对于选项B：因为，且在同一递减区间内， 可得，两式相减可得， 所以的最小正周期为，故B错误； 对于选项C：当时，由选项B可知：， 则， 令，解得， 可知函数的单调递增区间为， 显然， 所以函数在每一个闭区间上单调递增，故C正确； 对于选项D：例如， 由选项B可知：，即， 可得， 令，解得， 可知的零点为， 令，解得， 所以在上恰有1349个零点，故D错误； 故选：AC. 【点睛】方法点睛：求解函数的性质问题的三种意识： 1.转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为的形式； 2.整体意识：类比的性质，只需将中的“”看成中的“x”，采用整体代入求解； 3.讨论意识：当A为参数时，求最值应分情况讨论. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先由题设求出的范围，结合求出，再通过诱导公式求得的值，再利用同角三角函数的商数关系求得. 【详解】∵，∴， 又∵， ∴， ∴， ， 故. 故答案为：. 13. 函数在时函数取得最大值，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式计算可得时满足题意，再利用诱导公式计算可得结果. 【详解】易知， 其中； 当时，取得最大值，此时需满足， 即可得，所以； 可知. 故答案为： 14. 已知平面向量，，，若存在平面向量，，使得，则的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，结合模长公式证明，即可得，根据求，结合三点共线求解求解. 【详解】设，，，点在单位圆上， 则，，由，可得：， 作矩形，则．下证：． 设AB，CD交于点，连接OP，因，则， 同理可得：，两式左右分别相加得： ． 即，故． 又， 故的最小值是． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15 已知向量，满足. （1）求向量与的夹角； （2）求向量在向量上的投影向量； （3）若向量与垂直，求实数的值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用向量的夹角公式计算即可. （2）利用投影向量的定义求解即得. （3）根据向量垂直关系的坐标表示列式求解即可. 【小问1详解】 由，得，， 因此，而， 所以向量与的夹角. 【小问2详解】 向量在向量上的投影向量为. 【小问3详解】 依题意，，，由向量与垂直， 得，所以. 16. 完成求值和函数值域. （1）求的值． （2）已知，求函数的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系以及辅助角公式对其化简即可； （2）利用换元法以及二次函数的单调性求解其值域. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为 令，则， 且因为，所以，则， 即，且对称轴为， 则，， 所以函数y的值域为 17. 已知函数，（其中，）的最小正周期为，它的一个对称中心为. （1）求函数的解析式； （2）当时，方程有两个不等的实根，求实数的取值范围； （3）若方程在上的解为、，求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦型函数的周期公式可求得的值，利用正弦型函数的对称性结合的取值范围，可得出的值，由此可得出函数的解析式； （2）解法一：由可得，问题等价于与的在内的图象有两个不同的交点，数形结合可得出实数的取值范围； 解法二：由题意可知，直线与函数在上的图象有两个交点，数形结合可得出实数的取值范围； （3）由正弦型函数的对称性可得出，且，利用诱导公式可求得的值. 【小问1详解】 因为函数的最小正周期为，所以， 所以，，则， 因为函数的一个对称中心为， 则，则， 因为，所以，，故. 【小问2详解】 解法一：当时，， 所以，当时，方程有两个不等的实根， 等价于当时，方程有两个不等的实根， 即与的在内的图象有两个不同的交点， 如图可知，解得，即实数的取值范围为. 解法二：由题意可知，直线与函数在上的图象有两个交点， 作与的图象， 如图，可知，解得，即实数的取值范围为. 【小问3详解】 因为，则，由可得， 由图知，点与点关于直线对称，所以，， 且， 所以， . 18. 在中，P为AB的中点，O在边AC上，BO交CP于R，且，设. （1）试用表示； （2）若，求的余弦值； （3）若H在BC上，且，设，若，求的范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，三点共线结合平面向量基本定理可得答案. （2）由（1）及已知条件，利用数量积的运算律及向量的夹角公式求解. （3）设，结合及数量积的运算律得，再列出不等式求出的范围即可. 【小问1详解】 由共线，得，则， 整理得， 由共线，得，则， 整理得，而不共线， 由平面向量基本定理，得，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）得，， 由，得， 则， ， ， 所以. 【小问3详解】 由（1）知，则， 由共线，设. 由，得，而，， 则，整理得， 即，显然，则， 由，得，则，解得， 所以的范围是. 19. 对于函数及给定的实数，若存在正实数t使得函数在区间和上同为增函数或同为减函数，则称函数为区间上的函数； （1）已知，请指出函数是否为区间[0,1]上的函数(不需要说明理由)； （2）已知，且函数是区间上 的函数，请写出t的所有取值，并说明理由； （3）若函数既是区间上的函数又是区间上的函数，当α、β取遍所有可取的值时，求出的取值范围. 【答案】（1）不是[0,1]上的函数，是[0,1]上的函数 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数定义，结合正余弦函数的性质判断给定区间内对应函数是否为函数； （2）由函数新定义及正弦函数性质知在是增函数，根据求t的所有取值； （3）由题意，在和、和上单调性分别相同，讨论的范围，进而求目标式范围. 小问1详解】 由在上为增函数，而在上为减函数， 故两个区间上的增减性不同，不是[0,1]上的函数； 由在上为增函数，在上也为增函数， 故两个区间上的增减性相同，是[0,1]上的函数； 【小问2详解】 由在上为增函数，要使也是增函数，且， 而在，上递增，且， 所以，，故，，故. 【小问3详解】 由在和上单调性相同，即为一个单调区间，且， 若，， 当，则，故，， 当，如，则，故，， 若，， 如，则，故，， 此时，要使α、β取遍所有值，则，而； 又在和上单调性相同，即为一个单调区间，且， 若，， 当时，则，故，， 当，如，则，故，， 若，， 如，则，故，， 此时，要使α、β取遍所有值，则，而； 综上，，而在上值域为， 所以. 【点睛】关键点点睛：首先理解函数定义，再结合正余弦函数的性质研究单调性求参数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$