广东省广东仲元中学、深圳龙城高级中学2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题

龙城高级中学-广东仲元中学2024-2025学年度 第二学期高二年级期中联考数学试题 命题人：周俊武 审题人：张婷 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试时间120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知等比数列则（　　） A. 8 B. ±8 C. 10 D. ±10 2. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 在处取得最大值 B. 在区间上单调递减 C. 在处取得极大值 D. 在区间上有2个极大值点 3. 某班准备从甲、乙、丙、丁4位同学中挑选3人，分别担任2025年元旦晚会的主持人、记分员和秩序员，每个职务最多一人担任且每个职务必须有一人担任，已知甲同学不能担任主持人，则不同的安排方法有（ ）种. A. 18 B. 24 C. 27 D. 64 4. 在的展开式中，含的项的系数是（ ） A. 74 B. 121 C. D. 5. 已知直线与圆，点，则下列说法错误的是（ ） A. 若点在圆上，则直线与圆相切 B. 若点在圆内，则直线与圆相离 C. 若点在圆外，则直线与圆相离 D. 若点在直线上，则直线与圆相切 6. 某教学楼从二楼到三楼的楼梯共级，上楼可以一步向上走一级，也可以一步向上走两级，某同学从二楼到三楼准备用步恰好走完，则该同学从二楼到三楼共有（ ）种不同上法． A. B. C. D. 7. 已知椭圆为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，连接并延长交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若、、成等差数列，则、、成等差数列 B. 若、、成等差数列，则、、成等比数列 C. 若、、成等比数列，则、、成等差数列 D. 若、、成等比数列，则、、成等比数列 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，A，P，B为双曲线上不同的三点，且A，B两点关于原点对称，直线与斜率的乘积为1，则（ ） A. B. 双曲线C的离心率为2 C. 直线倾斜角的取值范围为 D. 若，则三角形的面积为2 11. 数学探究课上，小王从世界名画《记忆的永恒》中获得灵感，创作出了如图1所示的《垂直时光》.已知《垂直时光》是由两块半圆形钟组件和三根指针组成的，它如同一个标准的圆形钟沿着直径折成了直二面角（其中对应钟上数字对应钟上数字9）.设的中点为，若长度为2的时针指向了钟上数字8，长度为3的分针指向了钟上数字12.现在小王准备安装长度为3的秒针（安装完秒针后，不考虑时针与分针可能产生的偏移，不考虑三根指针的粗细），则下列说法正确的是（ ） A. 若秒针指向了钟上数字5，如图2，则 B. 若秒针指向了钟上数字5，如图2，则平面 C. 若秒针指向了钟上数字4，如图3，则与所成角的余弦值为 D. 若秒针指向了钟上数字4，如图3，则四面体的外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若（为正常数）的展开式中所有项的系数之和为81，则展开式中的常数项为__________． 13. 已知数列的前项和为，若，则__________. 14. 若存在实数使得，则实数的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的图象过点，且． （1）求函数在点处的切线方程 （2）求函数在上的值域． 16. 如图，在斜三棱柱中，侧面底面，侧棱与底面成的角，．底面是边长为2的正三角形，其重心为G点，E是线段上一点，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的正切值． 17. 已知抛物线，为的焦点，为的准线是上两点，且（O为坐标原点），过作，垂足为D，点D的坐标为. （1）求C的方程； （2）在C上是否存在点，使得过F的任意直线交C于S，T两点，交l于M，直线的斜率均成等差数列？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 18. 已知函数且． （1）当时，判断函数零点的个数； （2）讨论函数的单调区间； （3）当时，证明：． 19. 角谷猜想，也称为“”猜想，其内容是：任取一个正整数，如果是偶数，将它除以；如果是奇数，则将它乘以再加上，如此反复运算，该数最终将变为；这就是对一个正整数运算时“万数归”现象的猜想，假如对任意正整数，按照上述规则实施第次运算后的结果记，实施第2次运算后的结果记为，…实施第次运算后的结果记为，实施第次运算后得到数，则停止运算，即可以得到有穷数（其中）其递推关系式为，称作数列的原始项；将此递推公式推广为：，其它规则不变，得到的数列记作，试解答以下问题： （1）若，求数列的项数； （2）若数列满足，求原始项的所有可能取值构成的集合； （3）对任意的数列，求证：． 龙城高级中学-广东仲元中学2024-2025学年度 第二学期高二年级期中联考数学试题 命题人：周俊武 审题人：张婷 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试时间120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】AD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】24 【13题答案】 【答案】54 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）证明如下： 延长交于点，连接，， ，且， ， 点为的中点， 为的重心， 、、三点共线，且， ， 又侧面，侧面， 侧面； （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2）存在，或 【18题答案】 【答案】（1）个 （2） 当时，函数的增区间为、，减区间为； 当时，函数的增区间为、，减区间为. （3）证明：当时，， 要证，即证， 即证， 令，其中，则， 所以，函数在上单调递增， 当时，；当时，. 所以，函数的值域为， 要证，即证， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以，函数的减区间为，增区间为， 所以，， 因此，对任意的，，故原不等式得证. 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3）依题意，，， 当时，显然成立；当时，，即也成立； 当时，对任意，， 故，即， ①当时，由，， 所以； ②当时，由，， ，所以. 综上所述，任意的数列，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $