第二章 平面向量及其应用 章末复习课-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（北师大版2019）

第二章 <<< 章末复习课 知识网络 一、向量的线性运算 二、向量的数量积运算 三、正弦定理、余弦定理 内容索引 四、余弦、正弦定理在实际问题中的应用 向量的线性运算 一 1.向量的线性运算有平面向量及其坐标运算的加法、减法、数乘运算，以及平面向量基本定理、共线(平行)向量基本定理，主要考查向量的线性运算和根据线性运算求参数问题. 2.通过向量的线性运算，培养数学运算和逻辑推理素养. 5 　　 (1)已知向量a=(2，1)，b=(-3，4)，则2a-b等于 A.(7，-2) B.(1，-2) C.(1，-3) D.(7，2) 例 1 √ ∵a=(2，1)，b=(-3，4)， ∴2a-b=2(2，1)-(-3，4) =(4，2)-(-3，4)=(7，-2). 6 (2)如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB=2CD，E为线段AD的中点，且BF=等于 A. B. C. D. √ 由题意，根据向量的运算法则，可得 . 7 (1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数. (2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算. 反 思 感 悟 向量线性运算的基本方法 8 跟踪训练 1 如图所示，在正方形ABCD中，M是BC的中点，若，则λ+μ等于 A. B. C. D.2 √ 9 因为 ) =(λ-μ)， 且 所以λ+μ=. 10 二 向量的数量积运算 1.平面向量的数量积是向量的核心内容，重点是数量积的运算，利用向量的数量积判断两向量平行、垂直，求两向量的夹角，计算向量的长度等. 2.通过向量的数量积运算，提升逻辑推理和数学运算素养. 例 2 　　 (1)已知平面向量a=(2，λ)，b=(1，-2)，c=(-1，μ)，若a∥b，b⊥c， 则a+b与b+c所成角的余弦值为　　. 　 13 因为a=(2，λ)，b=(1，-2)，c=(-1，μ)，a∥b，b⊥c， 所以，1×(-1)+(-2)μ=0， 解得λ=-4，μ=-， 所以a=(2，-4)，c=， 所以a+b=(3，-6)，b+c=， 所以cos〈a+b，b+c〉=. 14 (2)在矩形ABCD中，边AB，AD的长分别为2和1，若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足的取值范围是　　　　. [1，4] 15 设=λ(0≤λ≤1)， 则， 则) =(] =. 又∵AB⊥AD，∴=0， ∴=4(1-λ)+λ=4-3λ. ∵0≤λ≤1，∴1≤≤4， 即的取值范围是[1，4]. 16 反 思 感 悟 (1)向量数量积的两种计算方法 ①当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b=|a||b|cos θ； ②当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a·b=x1x2+y1y2. 反 思 感 悟 (2)利用向量数量积可以解决以下问题： ①设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)， a∥b⇔x1y2-x2y1=0， a⊥b⇔x1x2+y1y2=0(a，b均为非零向量)； ②求向量的夹角和模的问题 设a=(x1，y1)，则|a|=. 两向量夹角的余弦值(0≤θ≤π，a，b为非零向量) cos θ= . 已知向量，则实数λ的值为　　.  跟踪训练 2 由=0， 即) =(λ-1) =(λ-1)×3×2×-λ×9+4=0， 解得λ=. 　 19 正弦定理、余弦定理 三 1.主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，判断三角形的形状、求三角形的面积以及余弦定理、正弦定理简单的综合应用. 2.借助解三角形，培养逻辑推理和数学运算素养. 21 　如图所示，在平面四边形ABCD中，AB= ，AB⊥AD，AC⊥CD. (1)若sin∠BAC=，求sin∠BCA； 例 3 在△ABC中，由正弦定理得， ， 即， 解得sin∠BCA=. 22 (2)若AD=3AC，求AC. 23 设AC=x，则AD=3x，x>0， 在Rt△ACD中，CD=x， sin∠CAD=. 在△ABC中，由余弦定理的推论得， cos∠BAC=. 又∠BAC+∠CAD=， 所以cos∠BAC=sin∠CAD， 24 即，整理得3x2-8x-3=0， 解得x=3或x=-(舍去)，即AC=3. 25 反 思 感 悟 (1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a=2Rsin A，a2+b2-c2=2abcos C等)，利用三角形变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如在△ABC中，sin A=sin B⇔A=B；sin(A-B)=0 ⇔A=B；sin 2A=sin 2B⇔A=B或A+B=等. (2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A= 等，进行代数变换. 在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足a-2bsin A=0. (1)求角B的大小； 跟踪训练 3 因为a-2bsin A=0， 所以sin A-2sin Bsin A=0. 因为sin A≠0，所以sin B=. 又B为锐角，则B=. 27 由(1)知B=， 根据余弦定理，得b2=a2+c2-2accos ， 整理，得(a+c)2-3ac=7. 由已知a+c=5，得ac=6， 又a>c，可得a=3，c=2， 于是cos A=， 所以|·cos A=cbcos A=2×=1. (2)若a+c=5，且a>c，b=的值. 28 四 余弦、正弦定理在实际问题中的应用 1.余弦定理和正弦定理在实际生活中，有着非常广泛的应用，常见的问题涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面.解决这类问题，关键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定理求解.注意隐含条件和最后将结果还原为实际问题进行检验. 2.将生活中的实际问题转化为三角形模型，提升逻辑推理和数学建模素养. 30 　为了测量两山顶M，N之间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量.A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图).飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离.请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤. 例 4 31 ①需要测量的数据有A观测M，N的俯角α1，β1，B观测M，N的俯角α2，β2；A，B间的距离d(如图所示). ②方法一　第一步，计算AM.在△ABM中， 由正弦定理得，AM=； 第二步，计算AN.在△ABN中，由正弦定理得， AN=； 第三步，计算MN.在△AMN中，由余弦定理得， MN=. 32 方法二　第一步，计算BM.在△ABM中， 由正弦定理得，BM=； 第二步，计算BN.在△ABN中，由正弦定理得， BN=； 第三步，计算MN.在△BMN中，由余弦定理得， MN=. 33 反 思 感 悟 正弦、余弦定理在实际应用中应注意的问题 (1)分析题意，弄清已知元素和未知元素，根据题意画出示意图. (2)明确题目中的一些名词、术语的意义，如仰角、俯角、方向角、方位角等. (3)将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用学过的几何知识，作出辅助线，将已知与未知元素归结到同一个三角形中，然后解此三角形. (4)在选择关系时，一是力求简便，二是要尽可能使用题目中的原有数据，尽量减少计算中误差的积累. 　　　　　已知海岛A周围8海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，望见岛A在北偏东75°方向，航行20 跟踪训练 4 35 如图所示，在△ABC中， 依题意得BC=20(海里)， ∠ABC=90°-75°=15°， ∠BAC=60°-∠ABC=45°. 由正弦定理，得，所以AC=)(海里). 过点A作AD⊥BC于点D. 故A到航线的距离为AD=ACsin 60° =10()(海里). 36 因为15>8， 所以货轮无触礁危险. 37 第一章 <<< $$ 一、向量的线性运算 1.向量的线性运算有平面向量及其坐标运算的加法、减法、数乘运算，以及平面向量基本定理、共线(平行)向量基本定理，主要考查向量的线性运算和根据线性运算求参数问题. 2.通过向量的线性运算，培养数学运算和逻辑推理素养. 例1　(1)已知向量a=(2，1)，b=(-3，4)，则2a-b等于(　　) A.(7，-2) B.(1，-2) C.(1，-3) D.(7，2) 答案　A 解析　∵a=(2，1)，b=(-3，4)， ∴2a-b=2(2，1)-(-3，4) =(4，2)-(-3，4)=(7，-2). (2)如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB=2CD，E为线段AD的中点，且BF=等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由题意，根据向量的运算法则，可得. 反思感悟　向量线性运算的基本方法 (1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数. (2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算. 跟踪训练1　如图所示，在正方形ABCD中，M是BC的中点，若，则λ+μ等于(　　) A. B. C. D.2 答案　B 解析　因为) =(λ-μ)， 且 所以λ+μ=. 二、向量的数量积运算 1.平面向量的数量积是向量的核心内容，重点是数量积的运算，利用向量的数量积判断两向量平行、垂直，求两向量的夹角，计算向量的长度等. 2.通过向量的数量积运算，提升逻辑推理和数学运算素养. 例2　(1)已知平面向量a=(2，λ)，b=(1，-2)，c=(-1，μ)，若a∥b，b⊥c，则a+b与b+c所成角的余弦值为　　　　.  答案　 解析　因为a=(2，λ)，b=(1，-2)，c=(-1，μ)，a∥b，b⊥c， 所以，1×(-1)+(-2)μ=0， 解得λ=-4，μ=-， 所以a=(2，-4)，c=， 所以a+b=(3，-6)，b+c=， 所以cos〈a+b，b+c〉=. (2)在矩形ABCD中，边AB，AD的长分别为2和1，若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足的取值范围是　　　　.  答案　[1，4] 解析　设=λ(0≤λ≤1)， 则， 则) =(] =. 又∵AB⊥AD，∴=0， ∴=4(1-λ)+λ=4-3λ. ∵0≤λ≤1，∴1≤≤4， 即的取值范围是[1，4]. 反思感悟　(1)向量数量积的两种计算方法 ①当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b=|a||b|cos θ； ②当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a·b=x1x2+y1y2. (2)利用向量数量积可以解决以下问题： ①设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)， a∥b⇔x1y2-x2y1=0， a⊥b⇔x1x2+y1y2=0(a，b均为非零向量)； ②求向量的夹角和模的问题 设a=(x1，y1)，则|a|=. 两向量夹角的余弦值(0≤θ≤π，a，b为非零向量) cos θ= . 跟踪训练2　已知向量，则实数λ的值为　　　　.  答案　 解析　由=0， 即) =(λ-1) =(λ-1)×3×2×-λ×9+4=0， 解得λ=. 三、正弦定理、余弦定理 1.主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，判断三角形的形状、求三角形的面积以及余弦定理、正弦定理简单的综合应用. 2.借助解三角形，培养逻辑推理和数学运算素养. 例3　如图所示，在平面四边形ABCD中，AB=，AB⊥AD，AC⊥CD. (1)若sin∠BAC=，求sin∠BCA； (2)若AD=3AC，求AC. 解　(1)在△ABC中，由正弦定理得， ， 即， 解得sin∠BCA=. (2)设AC=x，则AD=3x，x>0， 在Rt△ACD中，CD=x， sin∠CAD=. 在△ABC中，由余弦定理的推论得， cos∠BAC=. 又∠BAC+∠CAD=， 所以cos∠BAC=sin∠CAD， 即，整理得3x2-8x-3=0， 解得x=3或x=-(舍去)，即AC=3. 反思感悟　(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a=2Rsin A，a2+b2-c2=2abcos C等)，利用三角形变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如在△ABC中，sin A=sin B⇔A=B；sin(A-B)=0⇔A=B；sin 2A=sin 2B⇔A=B或A+B=等. (2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A=等，进行代数变换. 跟踪训练3　在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足a-2bsin A=0. (1)求角B的大小； (2)若a+c=5，且a>c，b=的值. 解　(1)因为a-2bsin A=0， 所以sin A-2sin Bsin A=0. 因为sin A≠0，所以sin B=. 又B为锐角，则B=. (2)由(1)知B=， 根据余弦定理，得b2=a2+c2-2accos ， 整理，得(a+c)2-3ac=7. 由已知a+c=5，得ac=6， 又a>c，可得a=3，c=2， 于是cos A=， 所以|·cos A=cbcos A =2×=1. 四、余弦、正弦定理在实际问题中的应用 1.余弦定理和正弦定理在实际生活中，有着非常广泛的应用，常见的问题涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面.解决这类问题，关键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定理求解.注意隐含条件和最后将结果还原为实际问题进行检验. 2.将生活中的实际问题转化为三角形模型，提升逻辑推理和数学建模素养. 例4　为了测量两山顶M，N之间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量.A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图).飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离.请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤. 解　①需要测量的数据有A观测M，N的俯角α1，β1，B观测M，N的俯角α2，β2；A，B间的距离d(如图所示). ②方法一　第一步，计算AM.在△ABM中，由正弦定理得，AM=； 第二步，计算AN.在△ABN中，由正弦定理得， AN=； 第三步，计算MN.在△AMN中，由余弦定理得， MN=. 方法二　第一步，计算BM.在△ABM中，由正弦定理得，BM=； 第二步，计算BN.在△ABN中，由正弦定理得， BN=； 第三步，计算MN.在△BMN中，由余弦定理得， MN=. 反思感悟　正弦、余弦定理在实际应用中应注意的问题 (1)分析题意，弄清已知元素和未知元素，根据题意画出示意图. (2)明确题目中的一些名词、术语的意义，如仰角、俯角、方向角、方位角等. (3)将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用学过的几何知识，作出辅助线，将已知与未知元素归结到同一个三角形中，然后解此三角形. (4)在选择关系时，一是力求简便，二是要尽可能使用题目中的原有数据，尽量减少计算中误差的积累. 跟踪训练4　已知海岛A周围8海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，望见岛A在北偏东75°方向，航行20 解　如图所示，在△ABC中， 依题意得BC=20(海里)， ∠ABC=90°-75°=15°， ∠BAC=60°-∠ABC=45°. 由正弦定理，得， 所以AC=)(海里). 过点A作AD⊥BC于点D. 故A到航线的距离为AD=ACsin 60° =10()(海里). 因为15>8， 所以货轮无触礁危险. 学科网（北京）股份有限公司 $$