第二章 §4 4.1 平面向量基本定理-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（北师大版2019）

第二章 <<< 4.1　平面向量基本定理 1.了解平面向量基本定理及其意义，了解基、正交基、正交分解及标准正交基的概念. 2.掌握平面向量基本定理，会用基表示平面向量. 3.会用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题. 学习目标 在物理学中，一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G，其作用力体现在两个方向：与斜面平行的方向和与斜面垂直的方向，故在解决问题时，常常要把重力分解为使物体沿斜面下滑的力F1和垂直于斜面的力F2.在实际应用中，常常需要把一 个力、速度、位移等分解为不同方向的分量的和. 任意两个向量做加法、减法或数乘运算的结果都是 一个向量，反过来，对于平面内给定的两个不共线的向量e1，e2，任一向量a都可以用形如λ1e1+λ2e2的形式来表示. 导 语 一、平面向量基本定理 二、用基表示向量 课时对点练 三、平面向量基本定理的应用 随堂演练 内容索引 一 平面向量基本定理 如图，同一平面内的三个向量e1，e2，a，已知e1，e2不共线，能否把向量a表示成λ1e1+λ2e2的形式？若能，λ1，λ2是否是唯一确定的？ 问题1 提示　在平面内任取一点O，作e1e2a， 过点C作平行于OB的直线，与直线OA交于点M；过点C作 平行于OA的直线，与直线OB交于点N.由共线(平行)向量基 本定理可知，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使得λ1e1 λ2e2.又因为所以a=λ1e1+λ2e2.其中λ1，λ2都是唯一确定的. 如图，e1，e2是两个不共线的向量，试把向量写成λ1e1+λ2e2的形式. 问题2 提示　2e1+3e2-e1+4e2， 4e1-4e2-2e1+5e2. 1.平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理：如果e1和e2是同一平面内两个 的向量，那么对该平面内 向量a，存在 的一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2. (2)基：把不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面向量的一组基，记为{e1，e2}. 2.正交基、正交分解及标准正交基 (1)若基中的两个向量互相 ，则称这组基为正交基. (2)在 下向量的线性表示称为正交分解. (3)若基中的两个向量是互相垂直的 向量，则称这组基为标准正交基. 不共线 任意一个 唯一 垂直 正交基 单位 知识梳理 (1)基{e1，e2}不共线且是非零向量. (2)基不唯一，关键是不共线. (3)由定理可将任一向量a在给出基{e1，e2}的条件下进行分解. (4)基给定时，分解形式唯一. 注 意 点 <<< 10 　　　(多选)设{e1，e2}是平面内的一组基，则下列四组向量中，能作为基的是 A.e1+e2和e1-e2 B.3e1-4e2和6e1-8e2 C.e1+2e2和2e1+e2 D.e1和e1+e2 例 1 √ 选项B中，6e1-8e2=2(3e1-4e2)， ∴6e1-8e2与3e1-4e2共线， ∴不能作为基； 选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基. √ √ 11 考查两个向量是否能构成基，主要看两向量是否不共线.此外，一个平面的基一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基唯一线性表示. 反 思 感 悟 12 　　　　　已知向量{a，b}是一组基，实数x，y满足(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b，则x-y=　　. 跟踪训练 1 因为{a，b}是一组基，所以a与b不共线， 由平面向量基本定理得 解得所以x-y=3. 3 13 二 用基表示向量 　　　如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设ab，选择基{a，b}，试写出向量在此基下的分解式. 例 2 因为DC∥AB，AB=2CD，E，F分别是DC，AB的中点， 所以b. =- =-b-a+bb-a. 15 本例中，若设BC的中点为G，则　　　. 延伸探究 　a+b =-b+a+b=a-b， 所以 =b+a-ba+b. 16 反 思 感 悟 (1)根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一组基都可以表示该平面内的任意一个向量.用基表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算. (2)基的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量. 平面向量基本定理的作用以及注意点 　　　　　如图，在正方形ABCD中，设abc，则在基{a，b}下可表示为　　，在基{a，c}下可表示为　 　. 跟踪训练 2 在基{a，b}下a+b； 在基{a，c}下2a +c. a+b 2a+c 18 三 平面向量基本定理的应用 　　　如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN=2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值. 例 3 20 设e1e2， 则-e1-3e2， 2e1+e2. ∵A，P，M和B，P，N分别共线， ∴存在实数λ，μ使得-λe1-3λe2， 2μe1+μe2. 21 故 =(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2. 而2e1+3e2， 由平面向量基本定理， 得 ∴ ∴AP∶PM=4∶1，BP∶PN=3∶2. 22 反 思 感 悟 如果对于一组基{e1，e2}，有a=λ1e1+μ1e2=λ2e1+μ2e2，那么有这一性质常用于确定未知系数，即利用平面向量基 本定理建立待求向量与基的关系式，再根据同一向量用同一组基表示的唯一性可求解相应的参数. 平面向量基本定理唯一性的应用 　　　　　平行四边形ABCD中，M，N分别为BC，CD边上的点，MC=2BM，NC=3DN，设abλa+μb，则λ+μ=　　　.  跟踪训练 3 　 24 如图，选作为基向量， 则有 可得 又∴a-b+b-aa+b， 又λa+μb，所以λ所以λ+μ. 25 1.知识清单： (1)平面向量基本定理. (2)用基表示向量. (3)平面向量基本定理的应用. 2.方法归纳：列方程(组). 3.常见误区：忽视基中的向量必须是不共线的两个向量. 课堂小结 26 随堂演练 四 1 2 3 4 1.(多选)设点O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组可作为表示该平面向量的一组基的是 A. B. C. D. √ 易知不共线， 故可作为基. √ 2.(多选)下列说法中正确的是 A.一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面向量的基 B.一个平面内有无数组不共线的向量可作为表示该平面向量的基 C.平面内的基一旦确定，该平面内的向量在此基下的线性分解形式就唯 一确定 D.基中的两个向量可以有零向量 1 2 3 4 √ √ 3.已知点D是△ABC所在平面内一点，且满足等于 A. B. C.- D. 1 2 3 4 √ 由题意，D为△ABC所在平面内一点， 且 所以. 4.设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD (λ1，λ2为实数)，则λ1+λ2的值为　　. 1 2 3 4 　 1 2 3 4 如图 ) =- ∵不共线， ∴λ1=-. 课时对点练 五 答案 对一对 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 ABC A AB D A BC 　- a+b 题号 11 12 13 14　 　15 答案 D D B 6 　D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 方法一　设AC，BD交于点O，则有===a，===b. 所以=+=-=a-b， =+=a+b. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 方法二　设=x，=y， 则==y， 又所以 所以=a-b，=a+b. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (1)假设a=λb(λ∈R)， 则e1-2e2=λ(e1+3e2). 由e1，e2不共线，得无解. 故a与b不共线，｛a，b｝可以作为一组基. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (2)设c=ma+nb(m，n∈R)， 则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2) =(m+n)e1+(-2m+3n)e2. 所以 所以c=2a+b. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (1)因为AN=AB， 所以==a， 所以=-=a-b. 因为BM=BC，所以===b， 所以=+=a+b. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (2)因为A，O，M三点共线， 所以∥， 存在实数λ使=λ， 则=-=λ- =λ-b=λa+b. 因为D，O，N三点共线，所以∥，存在实数μ使=μ， 则λa+b=μ=μa-μb. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 由于向量a，b不共线， 则 所以==， 所以AO∶OM=3∶11. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.(多选)若{e1，e2}是平面内的一组基，则下列四组向量中不能作为平面向量的基的是 A.{e1-e2，e2-e1} B. C.{2e2-3e1，6e1-4e2} D.{e1+e2，e1+3e2} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 答案 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选项A中，两个向量互为相反向量，即e1-e2=-(e2-e1)，则e1-e2，e2-e1为共线向量； 选项B中，2e1-e2=2为共线向量； 选项C中，6e1-4e2=-2(2e2-3e1)，为共线向量.根据不共线的向量可以作为一组基，知只有选项D中的两向量可作为基. 答案 2.如图所示，在矩形ABCD中5e13e2，则等于 A.(5e1+3e2) B.(5e1-3e2) C.(3e2-5e1) D.(5e2-3e1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ )(5e1+3e2). 答案 3.(多选)如果{e1，e2}是平面α内的一组基，那么下列说法正确的是 A.若存在实数λ1，λ2使λ1e1+λ2e2=0，则λ1=λ2=0 B.平面α中任意向量a都可以表示为a=λ1e1+λ2e2，其中λ1，λ2∈R C.λ1e1+λ2e2(λ1，λ2∈R)不一定在平面α内 D.对于平面α内任意向量a，使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1，λ2有无数对 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A，B正确，平面中的任意向量都可以用一组基唯一表示； C错，平面α内任意向量都可表示为λ1e1+λ2e2的形式，故λ1e1+λ2e2一定在平面α内； D错，这样的λ1，λ2是唯一的，而不是无数对. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.在△ABC中∥ ab，则用a，b表示为 A.(a-b) B.(b-a) C.(a-b) D.(b-a) √ 答案 由题意得) (b-a). 5.如图，在△ABC中等于 A. B. C.3 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 由题意可得 据此可知λ. 6.(多选)如图所示，已知P，Q，R分别是△ABC三边AB，BC，CA上靠近点A，B，C的四等分点，如果ab， 以下向量表示正确的是 A.a-b B.a+b C.a+b D.a-b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由已知可得b-a，故D错误； 因为P，Q，R分别是△ABC三边AB，BC，CA的四等分点， 由 =-a-(b-a)=-a-b，故A错误； =-b+(b-a)=-a+b，故B正确； a+b，故C正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知向量a在基{e1，e2}下可以表示为a=2e1+3e2，若a在基{e1+e2，e1-e2} 下可以表示为a=λ(e1+e2)+μ(e1-e2)，则λ=　　，μ=　　. 由题意可知a=(λ+μ)e1+(λ-μ)e2， 则 答案 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O， 设ab，若　 　. (用a和b表示)  设(λ∈R)，则) =λ. 因为D，O，B三点共线，所以λ+λ=1， 解得λ所以a+b. 答案 　a+b 52 9.如图，在平行四边形ABCD中，设ab，试用a，b表示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 方法一　设AC，BD交于点O，则有a b. 所以a-b， a+b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 方法二　设xy， 则y， 又 所以 所以a-ba+b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.设e1，e2是不共线的非零向量，且a=e1-2e2，b=e1+3e2. (1)证明：{a，b}可以作为一组基； 答案 假设a=λb(λ∈R)， 则e1-2e2=λ(e1+3e2). 由e1，e2不共线，得 无解. 故a与b不共线，{a，b}可以作为一组基. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)选择基{a，b}，试写出向量c=3e1-e2在此基下的分解式. 答案 设c=ma+nb(m，n∈R)， 则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2) =(m+n)e1+(-2m+3n)e2. 所以 所以c=2a+b. 11.若ab等于 A.a+λb B.λa+(1-λ)b C.λa+b D. a+ b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵(λ≠-1)， ∴)， ∴(1+λ) ∴ a+ b. 答案 12.如图，AB是☉O的直径，点C，D是半圆弧ab，则等于 A.a-b B.a-b C.a+b D.a+b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 连接CD，OD(图略)， ∵点C，D是半圆弧上的两个三等分点， ∴∴CD∥AB，∠CAD=∠DAB=30°， ∵OA=OD， ∴∠ADO=∠DAO=30°， ∴∠CAD=∠ADO=30°， ∴AC∥DO， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 ∴四边形ACDO为平行四边形. ∵ab， ∴a+b. 13.已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足则点P一定为 A.AB边中线的中点 B.AB边中线的三等分点(非重心) C.△ABC的重心 D.AB边的中点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵O是△ABC的重心， ∴0， ∴ ∴点P是线段OC的中点， 即AB边中线的三等分点(非重心). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.如图，平面内有三个向量 (λ，μ∈R)，则λ+μ=　　. 答案 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作▱OMCN，使得M在射线OA上，N在射线OB上， 则存在λ，μ，使 即. 在Rt△OCM中，∵|∠COM=30°， ∴| 又| ∴ 即λ=4，μ=2，∴λ+μ=6. 15.某中学八角形校徽由两个正方形叠加组合而成，一是体现“方方正正做人”之意，二是体现“面向四面八方，胸怀博大，广纳新知，锐意进取”之精神.如图所示的多边形是由一个正方形与以该正方形中心为中心逆时针旋转45°后的正方形组合而成的.已知向量n，k，则向量a等于 A.2n+3k B.(2+)n+3k C.(2+)n+(2+)k D.(1+)n+(2+)k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 根据题意可得|n|=|k|， 由对称性可得 AB=BC=CD=DE=EQ=QF， CE=EF=FG|n|， 由图可得点B，C，E，Q共线，点Q，F，G共线. 所以)k， )n， 所以a)k+(1+)n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.如图所示，在▱ABCD中ab，BMAB. (1)试用向量a，b来表示； 答案 因为ANAB， 所以a， 所以a-b. 因为BMb， 所以a+b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若AM交DN于点O，求AO∶OM的值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 因为A，O，M三点共线，所以∥ 存在实数λ使 则-b =λa+b. 因为D，O，N三点共线， 所以∥ 则λa+b=μμa-μb. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由于向量a，b不共线，则 解得 所以 所以AO∶OM=3∶11. 第一章 <<< $$ 4.1　平面向量基本定理 [学习目标]　1.了解平面向量基本定理及其意义，了解基、正交基、正交分解及标准正交基的概念.2.掌握平面向量基本定理，会用基表示平面向量.3.会用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题. 导语 在物理学中，一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G，其作用力体现在两个方向：与斜面平行的方向和与斜面垂直的方向，故在解决问题时，常常要把重力分解为使物体沿斜面下滑的力F1和垂直于斜面的力F2.在实际应用中，常常需要把一个力、速度、位移等分解为不同方向的分量的和. 任意两个向量做加法、减法或数乘运算的结果都是一个向量，反过来，对于平面内给定的两个不共线的向量e1，e2，任一向量a都可以用形如λ1e1+λ2e2的形式来表示. 一、平面向量基本定理 问题1　如图，同一平面内的三个向量e1，e2，a，已知e1，e2不共线，能否把向量a表示成λ1e1+λ2e2的形式？若能，λ1，λ2是否是唯一确定的？ 提示　在平面内任取一点O，作e1e2a，过点C作平行于OB的直线， 与直线OA交于点M；过点C作平行于OA的直线，与直线OB交于点N.由共线(平行)向量基本定理可知，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使得λ1e1λ2e2.又因为所以a=λ1e1+λ2e2.其中λ1，λ2都是唯一确定的. 问题2　如图，e1，e2是两个不共线的向量，试把向量写成λ1e1+λ2e2的形式. 提示　2e1+3e2-e1+4e2， 4e1-4e2-2e1+5e2. 知识梳理 1.平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理：如果e1和e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对该平面内任意一个向量a，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2. (2)基：把不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面向量的一组基，记为{e1，e2}. 2.正交基、正交分解及标准正交基 (1)若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为正交基. (2)在正交基下向量的线性表示称为正交分解. (3)若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为标准正交基. 注意点： (1)基{e1，e2}不共线且是非零向量. (2)基不唯一，关键是不共线. (3)由定理可将任一向量a在给出基{e1，e2}的条件下进行分解. (4)基给定时，分解形式唯一. 例1　(多选)设{e1，e2}是平面内的一组基，则下列四组向量中，能作为基的是(　　) A.e1+e2和e1-e2 B.3e1-4e2和6e1-8e2 C.e1+2e2和2e1+e2 D.e1和e1+e2 答案　ACD 解析　选项B中，6e1-8e2=2(3e1-4e2)， ∴6e1-8e2与3e1-4e2共线， ∴不能作为基； 选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基. 反思感悟　考查两个向量是否能构成基，主要看两向量是否不共线.此外，一个平面的基一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基唯一线性表示. 跟踪训练1　已知向量{a，b}是一组基，实数x，y满足(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b，则x-y=　　　　.  答案　3 解析　因为{a，b}是一组基，所以a与b不共线， 由平面向量基本定理得 解得所以x-y=3. 二、用基表示向量 例2　如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设ab，选择基{a，b}，试写出向量在此基下的分解式. 解　因为DC∥AB，AB=2CD，E，F分别是DC，AB的中点， 所以b. =- =-b-a+bb-a. 延伸探究　本例中，若设BC的中点为G，则　　　　　　　.  答案　a+b 解析　 =-b+a+b=a-b， 所以 =b+a-ba+b. 反思感悟　平面向量基本定理的作用以及注意点 (1)根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一组基都可以表示该平面内的任意一个向量.用基表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算. (2)基的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量. 跟踪训练2　如图，在正方形ABCD中，设abc，则在基{a，b}下可表示为　　　，在基{a，c}下可表示为　　　.  答案　a+b　2a+c 解析　在基{a，b}下a+b； 在基{a，c}下2a+c. 三、平面向量基本定理的应用 例3　如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN=2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值. 解　设e1e2， 则-e1-3e2， 2e1+e2. ∵A，P，M和B，P，N分别共线， ∴存在实数λ，μ使得-λe1-3λe2， 2μe1+μe2. 故 =(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2. 而2e1+3e2， 由平面向量基本定理， 得 ∴ ∴AP∶PM=4∶1，BP∶PN=3∶2. 反思感悟　平面向量基本定理唯一性的应用 如果对于一组基{e1，e2}，有a=λ1e1+μ1e2=λ2e1+μ2e2，那么有这一性质常用于确定未知系数，即利用平面向量基本定理建立待求向量与基的关系式，再根据同一向量用同一组基表示的唯一性可求解相应的参数. 跟踪训练3　平行四边形ABCD中，M，N分别为BC，CD边上的点，MC=2BM，NC=3DN，设abλa+μb，则λ+μ=　　　　.  答案　 解析　如图，选作为基向量，则有 可得 又 ∴a-b+b-aa+b， 又λa+μb，所以λ 所以λ+μ. 1.知识清单： (1)平面向量基本定理. (2)用基表示向量. (3)平面向量基本定理的应用. 2.方法归纳：列方程(组). 3.常见误区：忽视基中的向量必须是不共线的两个向量. 1.(多选)设点O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组可作为表示该平面向量的一组基的是(　　) A. B. C. D. 答案　AC 解析　易知不共线， 故可作为基. 2.(多选)下列说法中正确的是(　　) A.一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面向量的基 B.一个平面内有无数组不共线的向量可作为表示该平面向量的基 C.平面内的基一旦确定，该平面内的向量在此基下的线性分解形式就唯一确定 D.基中的两个向量可以有零向量 答案　BC 3.已知点D是△ABC所在平面内一点，且满足等于(　　) A. B. C.- D. 答案　D 解析　由题意，D为△ABC所在平面内一点， 且 所以. 4.设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD(λ1，λ2为实数)，则λ1+λ2的值为　　　　.  答案　 解析　如图 ) =- ∵不共线， ∴λ1=-. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.(多选)若{e1，e2}是平面内的一组基，则下列四组向量中不能作为平面向量的基的是(　　) A.{e1-e2，e2-e1} B. C.{2e2-3e1，6e1-4e2} D.{e1+e2，e1+3e2} 答案　ABC 解析　选项A中，两个向量互为相反向量，即e1-e2=-(e2-e1)，则e1-e2，e2-e1为共线向量；选项B中，2e1-e2=2为共线向量；选项C中，6e1-4e2=-2(2e2-3e1)，为共线向量.根据不共线的向量可以作为一组基，知只有选项D中的两向量可作为基. 2.如图所示，在矩形ABCD中5e13e2，则等于(　　) A.(5e1+3e2) B.(5e1-3e2) C.(3e2-5e1) D.(5e2-3e1) 答案　A 解析　) (5e1+3e2). 3.(多选)如果{e1，e2}是平面α内的一组基，那么下列说法正确的是(　　) A.若存在实数λ1，λ2使λ1e1+λ2e2=0，则λ1=λ2=0 B.平面α中任意向量a都可以表示为a=λ1e1+λ2e2，其中λ1，λ2∈R C.λ1e1+λ2e2(λ1，λ2∈R)不一定在平面α内 D.对于平面α内任意向量a，使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1，λ2有无数对 答案　AB 解析　A，B正确，平面中的任意向量都可以用一组基唯一表示；C错，平面α内任意向量都可表示为λ1e1+λ2e2的形式，故λ1e1+λ2e2一定在平面α内；D错，这样的λ1，λ2是唯一的，而不是无数对. 4.在△ABC中∥△ab，则用a，b表示为(　　) A.(a-b) B.(b-a) C.(a-b) D.(b-a) 答案　D 解析　由题意得) (b-a). 5.如图，在△ABC中等于(　　) A. B. C.3 D. 答案　A 解析　由题意可得 据此可知λ. 6.(多选)如图所示，已知P，Q，R分别是△ABC三边AB，BC，CA上靠近点A，B，C的四等分点，如果ab，以下向量表示正确的是(　　) A.a-b B.a+b C.a+b D.a-b 答案　BC 解析　由已知可得b-a，故D错误； 因为P，Q，R分别是△ABC三边AB，BC，CA的四等分点， 由 =-a-(b-a)=-a-b，故A错误； =-b+(b-a)=-a+b，故B正确； a+b，故C正确. 7.(5分)已知向量a在基{e1，e2}下可以表示为a=2e1+3e2，若a在基{e1+e2，e1-e2}下可以表示为a=λ(e1+e2)+μ(e1-e2)，则λ=　　　，μ=　　　.  答案　 解析　由题意可知a=(λ+μ)e1+(λ-μ)e2， 则 8.(5分)如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设ab，若　　　　.(用a和b表示)  答案　a+b 解析　设(λ∈R)，则) =λ. 因为D，O，B三点共线，所以λ+λ=1， 解得λ 所以a+b. 9.(10分)如图，在平行四边形ABCD中，设ab，试用a，b表示. 解　方法一　设AC，BD交于点O，则有ab. 所以a-b， a+b. 方法二　设xy， 则y， 又 所以 所以a-ba+b. 10.(10分)设e1，e2是不共线的非零向量，且a=e1-2e2，b=e1+3e2. (1)证明：{a，b}可以作为一组基；(4分) (2)选择基{a，b}，试写出向量c=3e1-e2在此基下的分解式.(6分) (1)证明　假设a=λb(λ∈R)， 则e1-2e2=λ(e1+3e2). 由e1，e2不共线，得 无解. 故a与b不共线，{a，b}可以作为一组基. (2)解　设c=ma+nb(m，n∈R)， 则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2) =(m+n)e1+(-2m+3n)e2. 所以 所以c=2a+b. 11.若ab等于(　　) A.a+λb B.λa+(1-λ)b C.λa+b D. a+ b 答案　D 解析　∵(λ≠-1)， ∴)， ∴(1+λ) ∴ a+ b. 12.如图，AB是☉O的直径，点C，D是半圆弧ab，则等于(　　) A.a-b B.a-b C.a+b D.a+b 答案　D 解析　连接CD，OD(图略)， ∵点C，D是半圆弧上的两个三等分点， ∴∴CD∥AB，∠CAD=∠DAB=30°， ∵OA=OD， ∴∠ADO=∠DAO=30°， ∴∠CAD=∠ADO=30°， ∴AC∥DO， ∴四边形ACDO为平行四边形. ∵ab， ∴a+b. 13.已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足则点P一定为(　　) A.AB边中线的中点 B.AB边中线的三等分点(非重心) C.△ABC的重心 D.AB边的中点 答案　B 解析　∵O是△ABC的重心， ∴0， ∴ ∴点P是线段OC的中点， 即AB边中线的三等分点(非重心). 14.(5分)如图，平面内有三个向量(λ，μ∈R)，则λ+μ=　　　　.  答案　6 解析　如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作▱OMCN，使得M在射线OA上，N在射线OB上， 则存在λ，μ，使 即. 在Rt△OCM中，∵|∠COM=30°， ∴| 又| ∴ 即λ=4，μ=2，∴λ+μ=6. 15.某中学八角形校徽由两个正方形叠加组合而成，一是体现“方方正正做人”之意，二是体现“面向四面八方，胸怀博大，广纳新知，锐意进取”之精神.如图所示的多边形是由一个正方形与以该正方形中心为中心逆时针旋转45°后的正方形组合而成的.已知向量n，k，则向量a等于(　　) A.2n+3k B.(2+)n+3k C.(2+)n+(2+)k D.(1+)n+(2+)k 答案　D 解析　根据题意可得|n|=|k|， 由对称性可得 AB=BC=CD=DE=EQ=QF， CE=EF=FG|n|， 由图可得点B，C，E，Q共线，点Q，F，G共线. 所以)k， )n， 所以a)k+(1+)n. 16.(12分)如图所示，在▱ABCD中ab，BMAB. (1)试用向量a，b来表示；(5分) (2)若AM交DN于点O，求AO∶OM的值.(7分) 解　(1)因为ANAB， 所以a， 所以a-b. 因为BMb， 所以a+b. (2)因为A，O，M三点共线，所以∥ 存在实数λ使 则-b =λa+b. 因为D，O，N三点共线， 所以∥ 则λa+b=μμa-μb. 由于向量a，b不共线，则 解得 所以 所以AO∶OM=3∶11. 学科网（北京）股份有限公司 $$