第六章 §4 4.2 平面与平面平行-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（北师大版2019）

4.2　平面与平面平行 [学习目标]　1.理解并掌握平面与平面平行的性质定理.2.理解并掌握平面与平面平行的判定定理. 导语 上海世界博览会的中国国家馆被永久保留.中国国家馆表达了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化的精神与气质，展馆共分三层，这三层给人以平行平面的感觉. 一、平面与平面平行的性质定理 问题1　若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？ 提示　平行. 问题2　若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一个平面的直线有什么位置关系？ 提示　平行或异面. 知识梳理 文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 符号语言 α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b⇒a∥b 图形语言 注意点： 夹在两个平行平面间的平行线段长度相等. 例1　(1)如图所示，已知三棱柱ABC-A'B'C'中，D是BC的中点，D'是B'C'的中点，设平面A'D'B∩平面ABC=a，平面ADC'∩平面A'B'C'=b，试判断直线a，b的位置关系，并证明. 证明　直线a与b平行.证明如下： 连接DD'(图略). ∵平面ABC∥平面A'B'C'， 平面A'D'B∩平面ABC=a， 平面A'D'B∩平面A'B'C'=A'D'， ∴A'D'∥a. 同理可证AD∥b. ∵D是BC的中点，D'是B'C'的中点，BC綊B'C'， ∴BD綊B'D'， ∴四边形BB'D'D是平行四边形， ∴DD'綊BB'. 又BB'綊AA'，∴DD'綊AA'， ∴四边形AA'D'D为平行四边形， ∴A'D'∥AD，∴a∥b. (2)如图，平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且AS=8，BS=20，CD=15，求SC的长. 解　设AB，CD都在平面γ上， 因为γ∩α=AC，γ∩β=BD，且α∥β， 所以AC∥BD， 所以△SAC∽△SBD， 所以， 即， 所以SC=10. 延伸探究　若将本例(2)改为点S在平面α，β之间(如图)，其他条件不变，求CS的长. 解　设AB，CD确定平面γ，γ∩α=AC，γ∩β=BD. 因为α∥β，所以AC∥BD， 所以△ACS∽△BDS， 所以. 设CS=x，则， 所以x=， 即CS=. 反思感悟　应用平面与平面平行性质定理的基本步骤 二、平面与平面平行的判定定理 问题3　一个平面内的一条直线与另一个平面平行，则这两个平面有什么位置关系？ 提示　平行或相交. 问题4　一个平面内的无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面有什么位置关系？ 提示　平行或相交. 知识梳理 文字语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 符号语言 a⊂α，b⊂α，a∩b=A，a∥β，b∥β⇒α∥β 图形语言 例2　如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点. 求证：(1)B，C，H，G四点共面； (2)平面EFA1∥平面BCHG. 证明　(1)∵GH是△A1B1C1的中位线， ∴GH∥B1C1. 又B1C1∥BC，∴GH∥BC， ∴B，C，H，G四点共面. (2)∵E，F分别为AB，AC的中点， ∴EF∥BC. ∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG， ∴EF∥平面BCHG. ∵A1G∥EB且A1G=EB， ∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB. ∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG， ∴A1E∥平面BCHG. ∵A1E∩EF=E，A1E，EF⊂平面EFA1， ∴平面EFA1∥平面BCHG. 反思感悟　应用平面与平面平行的判定定理，解答问题时一定要注意判定定理所需要的条件中与已知平面平行的两条直线必须是相交的. 跟踪训练1　如图，在四棱锥P-ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，DC∥AB，求证：平面PAB∥平面EFG. 证明　∵E，G分别是PC，BC的中点， ∴EG∥PB， 又∵EG⊄平面PAB，PB⊂平面PAB， ∴EG∥平面PAB， ∵E，F分别是PC，PD的中点， ∴EF∥CD，又∵AB∥CD， ∴EF∥AB，∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB， ∴EF∥平面PAB，又EF∩EG=E， EF，EG⊂平面EFG， ∴平面EFG∥平面PAB. 三、线面平行、面面平行的应用 例3　如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点. (1)求证：平面A1C1G∥平面BEF； (2)若平面A1C1G∩BC=H，求证：H为BC的中点. 证明　(1)∵E，F分别为B1C1，A1B1的中点， ∴EF∥A1C1. ∵A1C1⊂平面A1C1G，EF⊄平面A1C1G， ∴EF∥平面A1C1G. 又F，G分别为A1B1，AB的中点， ∴A1F=BG，A1F∥BG， ∴四边形A1GBF为平行四边形，∴BF∥A1G. ∵A1G⊂平面A1C1G，BF⊄平面A1C1G， ∴BF∥平面A1C1G. 又EF∩BF=F，EF，BF⊂平面BEF， ∴平面A1C1G∥平面BEF. (2)∵平面A1C1G与平面ABC有公共点G， 且平面A1C1G∩BC=H， ∴平面A1C1G∩平面ABC=GH. 又平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1=A1C1，∴A1C1∥GH，∴GH∥AC. ∵G为AB的中点，∴H为BC的中点. 反思感悟　(1)证明线面平行的两种方法：一是由线线平行推出线面平行；二是由面面平行推出线面平行. (2)线线平行、线面平行、面面平行三者之间可以相互转化，要注意转化思想的灵活运用. 跟踪训练2　如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，N是PM与DE的交点，求证：NF∥CM. 证明　因为D，E分别是PA，PB的中点， 所以DE∥AB. 又DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC， 所以DE∥平面ABC， 同理DF∥平面ABC，又DE∩DF=D， DE，DF⊂平面DEF， 所以平面DEF∥平面ABC. 又平面PMC∩平面DEF=NF， 平面PMC∩平面ABC=CM， 所以NF∥CM. 1.知识清单： (1)平面与平面平行的性质定理. (2)平面与平面平行的判定定理. 2.方法归纳：转化与化归. 3.常见误区：判定平面与平面平行的条件不充分. 1.下列命题正确的是(　　) A.一个平面内两条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 B.如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 C.平行于同一直线的两个平面一定互相平行 D.如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 答案　B 解析　如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，即两个平面没有公共点，则两平面平行. 2.已知直线m，n，平面α，β，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n的关系是(　　) A.平行 B.异面 C.相交 D.平行或异面 答案　D 解析　∵α∥β，∴α与β无公共点， 又m⊂α，n⊂β，∴m与n无公共点， ∴m与n平行或异面. 3.如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB的位置关系是(　　) A.异面 B.平行 C.相交 D.以上均有可能 答案　B 解析　因为平面A1B1C1∥平面ABC，平面A1B1ED∩平面A1B1C1=A1B1，平面A1B1ED∩平面ABC=DE，所以A1B1∥DE.又因为A1B1∥AB，所以DE∥AB. 4.如图所示，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A'，B'，C'，若PA'∶AA'=2∶3，则S△A'B'C'∶S△ABC=　　　　.  答案　 解析　∵平面α∥平面ABC，平面PAB与它们的交线分别为A'B'，AB， ∴AB∥A'B'，同理B'C'∥BC，A'C'∥AC， 易得△ABC∽△A'B'C'， S△A'B'C'∶S△ABC=. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共12分 1.已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是(　　) A.平面α内有一条直线与平面β平行 B.平面α内有两条直线与平面β平行 C.平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行 D.平面α与平面β无公共点 答案　D 解析　选项A，C不正确，因为两个平面可能相交；选项B不正确，因为平面α内的这两条直线必须相交才能得到平面α与平面β平行；由平面与平面平行的定义知，D正确. 2.设α，β表示两个不同平面，m表示一条直线，下列命题正确的是(　　) A.若m∥α，α∥β，则m∥β B.若m∥α，m∥β，则α∥β C.若m⊂α，α∥β，则m∥β D.若m⊂α，m∥β，则α∥β 答案　C 解析　若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β，A不正确； 若m∥α，m∥β，则α∥β或α，β相交，B不正确； 若m⊂α，α∥β，可得m，β没有公共点，即m∥β，C正确； 若m⊂α，m∥β，则α∥β或α，β相交，D不正确. 3.下列四个正方体图形中，A，B，C为所在棱的中点，D，E，F为正方体的顶点，则能得出平面ABC∥平面DEF的是(　　) 答案　B 解析　B中，可证AB∥DE，BC∥DF，又DE，DF⊂平面DEF，故可以证明AB∥平面DEF，BC∥平面DEF.又AB∩BC=B，且AB，BC⊂平面ABC，所以平面ABC∥平面DEF. 4.如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD为底面，则四边形EFGH的形状为(　　) A.梯形 B.平行四边形 C.可能是梯形也可能是平行四边形 D.矩形 答案　B 解析　因为平面ABFE∥平面CGHD，且平面EFGH∩平面ABFE=EF，平面EFGH∩平面CGHD=GH，根据平面与平面平行的性质定理可知EF∥GH，同理可证明EH∥FG. 所以四边形EFGH为平行四边形. 5.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点E在棱A1B1上，且B1E=1，平面α∥平面BC1E，若平面α∩平面AA1B1B=A1F，则AF的长为(　　) A.1 B.1.5 C.2 D.3 答案　A 解析　∵平面α∥平面BC1E，平面α∩平面ABB1A1=A1F，平面BC1E∩平面ABB1A1=BE， ∴A1F∥BE，又A1E∥FB， ∴四边形A1FBE为平行四边形， ∴FB=A1E=3-1=2， ∴AF=1. 6.(多选)如图是某正方体的平面展开图(表面朝下).关于这个正方体，有以下判断，其中正确的是(　　) A.BM∥DE B.CN∥平面AF C.平面BDM∥平面AFN D.平面BDE∥平面NCF 答案　BCD 解析　以平面ABCD为下底面还原正方体，如图，则易判定B，C，D正确. 7.(5分)如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是　　　　.  答案　平行四边形 解析　由夹在两平行平面间的平行线段相等可得. 8.(5分)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于M，交BC于N，则=　　　　.  答案　 解析　∵平面MNE∥平面ACB1， 由面面平行的性质定理可得EN∥B1C，EM∥B1A， 又∵E为BB1的中点， ∴M，N分别为BA，BC的中点， ∴MN=. 9.(10分)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，E，F，H分别为AB，CD，PD的中点，求证：平面AFH∥平面PCE. 证明　因为点F为CD的中点，点H为PD的中点， 所以FH∥PC， 又FH⊄平面PCE，PC⊂平面PCE， 所以FH∥平面PCE. 又AE∥CF且AE=CF， 所以四边形AECF为平行四边形， 所以AF∥CE， 又AF⊄平面PCE，CE⊂平面PCE， 所以AF∥平面PCE. 又FH⊂平面AFH，AF⊂平面AFH，FH∩AF=F， 所以平面AFH∥平面PCE. 10.(11分)如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D. 证明　因为BE∥AA1， AA1⊂平面AA1D，BE⊄平面AA1D， 所以BE∥平面AA1D. 因为BC∥AD，AD⊂平面AA1D， BC⊄平面AA1D，所以BC∥平面AA1D. 又BE∩BC=B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE， 所以平面BCE∥平面AA1D. 又平面A1DCE∩平面BCE=EC， 平面A1DCE∩平面AA1D=A1D， 所以EC∥A1D. 11.已知a，b，c，d是四条直线，α，β是两个不重合的平面，若a∥b∥c∥d，a⊂α，b⊂α，c⊂β，d⊂β，则α与β的位置关系是(　　) A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.以上都不对 答案　C 解析　根据图①和图②可知α与β平行或相交. 12.(多选)在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为线段AB，A1B1，AA1的中点，下列说法正确的是(　　) A.平面AC1F∥平面B1CE B.直线FG∥平面B1CE C.直线CG与BF异面 D.直线C1F与平面CGE相交 答案　AC 解析　对于A，在三棱柱ABC-A1B1C1中， E，F，G分别为线段AB，A1B1，AA1的中点， 所以B1E∥AF，又AF⊂平面AC1F，B1E⊄平面AC1F，所以B1E∥平面AC1F， 同理可证CE∥平面AC1F， 又B1E∩CE=E，B1E，CE⊂平面B1CE， 所以平面AC1F∥平面B1CE，所以A正确； 对于B，因为F，G分别是线段A1B1，AA1的中点， 所以FG∥AB1，AB1∩B1E=B1，所以FG与B1E相交，所以直线FG与平面B1CE相交，所以B错误； 对于C，CG与BF不同在任何一个平面内，所以CG与BF是异面直线，所以C正确； 对于D，因为CE∥C1F，CE⊂平面CGE， C1F⊄平面CGE， 所以直线C1F∥平面CGE，所以D错误. 13.(5分)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的形状是　　　　　　，截面的面积是　　　　.  答案　等腰梯形　 解析　如图，取AA1的中点N，连接MN，NB，MC1，BC1，AD1， 因为MN∥AD1，AD1∥BC1， 故MN∥BC1， 且MN=. 则截面MNBC1为梯形， 又BN=C1M=，故梯形MNBC1为等腰梯形， 易得梯形的高为， 所以梯形的面积为. 14.(5分)已知直线l与平面α，β，γ依次交于点A，B，C，直线m与平面α，β，γ依次交于点D，E，F，若α∥β∥γ，AB=EF=3，BC=4，则DE=　　　　.  答案　 解析　如图，连接CD交平面β于点G，连接EG，BG，AD，CF， 设l与CD确定的平面为α1， 因为α∩α1=AD，β∩α1=BG， 且α∥β，所以AD∥BG， 所以， 同理可得，GE∥CF，， 所以， 所以DE=. 15.(5分)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足　　　　　　　　　时，有MN∥平面B1BDD1.  答案　M在线段FH上 解析　如图，连接HN，FH，FN. 则HN∥BD，FH∥D1D， ∵HN∥BD， HN⊄平面B1BDD1， BD⊂平面B1BDD1， ∴HN∥平面B1BDD1，同理HF∥平面B1BDD1， 又∵HN∩HF=H，HN，HF⊂平面FHN， ∴平面FHN∥平面B1BDD1. ∵点M在四边形EFGH上及其内部运动， ∴M∈FH. 16.(12分)如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=4，BB1=2，点E，F，M分别为C1D1，A1D1，B1C1的中点，过点M的平面α与平面DEF平行，且与长方体的面相交，交线围成一个平面图形.在图中，画出这个平面图形，并求出这个平面图形的面积(不必说明画法与理由). 解　如图，设N为A1B1的中点，连接MN，AN，AC，CM， 则四边形MNAC为所求的平面图形. 因为M，N，E，F均为所在棱的中点， 所以MN∥EF， 又EF⊂平面DEF，MN⊄平面DEF， 所以MN∥平面DEF， 又AN∥DE，AN⊄平面DEF，DE⊂平面DEF， 所以AN∥平面DEF， 又MN∩AN=N，MN，AN⊂平面MNAC， 所以平面MNAC∥平面DEF. 易知MN∥AC，四边形MNAC为梯形， 且MN=， 又AN=MC=，所以梯形MNAC为等腰梯形，过点M作MP⊥AC于点P， PC=， 所以MP=， 所以S梯形MNAC=. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 <<< 4.2　平面与平面平行 1.理解并掌握平面与平面平行的性质定理. 2.理解并掌握平面与平面平行的判定定理. 学习目标 上海世界博览会的中国国家馆被永久保留.中国国家馆表达了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化的精神与气质，展馆共分三层，这三层给人以平行平面的感觉. 导 语 一、平面与平面平行的性质定理 二、平面与平面平行的判定定理 课时对点练 三、线面平行、面面平行的应用 随堂演练 内容索引 平面与平面平行的性质定理 一 提示　平行. 若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？ 问题1 提示　平行或异面. 若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一个平面的直线有什么位置关系？ 问题2 文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线______ 符号语言 α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b⇒_________ 图形语言   平行 a∥b 知识梳理 夹在两个平行平面间的平行线段长度相等. 注 意 点 <<< 9 　(1)如图所示，已知三棱柱ABC-A'B'C'中，D是BC的中点，D'是B'C'的中点，设平面A'D'B∩平面ABC=a，平面ADC'∩平面A'B'C'=b，试判断直线a，b的位置关系，并证明. 例 1 10 直线a与b平行.证明如下： 连接DD'(图略). ∵平面ABC∥平面A'B'C'， 平面A'D'B∩平面ABC=a， 平面A'D'B∩平面A'B'C'=A'D'， ∴A'D'∥a. 同理可证AD∥b. 11 ∵D是BC的中点，D'是B'C'的中点，BC綊B'C'， ∴BD綊B'D'， ∴四边形BB'D'D是平行四边形， ∴DD'綊BB'. 又BB'綊AA'，∴DD'綊AA'， ∴四边形AA'D'D为平行四边形， ∴A'D'∥AD，∴a∥b. 12 (2)如图，平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且AS=8，BS=20，CD=15，求SC的长. 13 设AB，CD都在平面γ上， 因为γ∩α=AC，γ∩β=BD，且α∥β， 所以AC∥BD， 所以△SAC∽△SBD， 所以， 即， 所以SC=10. 14 　若将本例(2)改为点S在平面α，β之间(如图)，其他条件不变，求CS的长. 延伸探究 15 设AB，CD确定平面γ，γ∩α=AC，γ∩β=BD. 因为α∥β，所以AC∥BD， 所以△ACS∽△BDS， 所以. 设CS=x，则， 所以x=， 即CS=. 16 应用平面与平面平行性质定理的基本步骤 反 思 感 悟 17 二 平面与平面平行的判定定理 提示　平行或相交. 一个平面内的一条直线与另一个平面平行，则这两个平面有什么位置关系？ 问题3 提示　平行或相交. 一个平面内的无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面有什么位置关系？ 问题4 文字语言 如果一个平面内的 与另一个平面平行，那么这两个平面平行 符号语言 a⊂α，b⊂α，a∩b=A，a∥β，b∥β⇒α∥β 图形语言   两条相交直线 知识梳理 21 　如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点. 求证：(1)B，C，H，G四点共面； 例 2 ∵GH是△A1B1C1的中位线， ∴GH∥B1C1. 又B1C1∥BC，∴GH∥BC， ∴B，C，H，G四点共面. 22 (2)平面EFA1∥平面BCHG. 23 ∵E，F分别为AB，AC的中点， ∴EF∥BC. ∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG， ∴EF∥平面BCHG. ∵A1G∥EB且A1G=EB， ∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB. ∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG， ∴A1E∥平面BCHG. ∵A1E∩EF=E，A1E，EF⊂平面EFA1， ∴平面EFA1∥平面BCHG. 24 反 思 感 悟 应用平面与平面平行的判定定理，解答问题时一定要注意判定定理所需要的条件中与已知平面平行的两条直线必须是相交的. 　如图，在四棱锥P-ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，DC∥AB，求证：平面PAB∥平面EFG. 跟踪训练 1 26 ∵E，G分别是PC，BC的中点， ∴EG∥PB， 又∵EG⊄平面PAB，PB⊂平面PAB， ∴EG∥平面PAB， ∵E，F分别是PC，PD的中点， ∴EF∥CD，又∵AB∥CD， ∴EF∥AB，∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB， ∴EF∥平面PAB，又EF∩EG=E，EF，EG⊂平面EFG， ∴平面EFG∥平面PAB. 27 线面平行、面面平行的应用 三 　如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点. (1)求证：平面A1C1G∥平面BEF； 例 3 29 ∵E，F分别为B1C1，A1B1的中点， ∴EF∥A1C1. ∵A1C1⊂平面A1C1G，EF⊄平面A1C1G， ∴EF∥平面A1C1G. 又F，G分别为A1B1，AB的中点， ∴A1F=BG，A1F∥BG， ∴四边形A1GBF为平行四边形，∴BF∥A1G. ∵A1G⊂平面A1C1G，BF⊄平面A1C1G， ∴BF∥平面A1C1G. 又EF∩BF=F，EF，BF⊂平面BEF， ∴平面A1C1G∥平面BEF. 30 (2)若平面A1C1G∩BC=H，求证：H为BC的中点. ∵平面A1C1G与平面ABC有公共点G， 且平面A1C1G∩BC=H， ∴平面A1C1G∩平面ABC=GH. 又平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1=A1C1，∴A1C1∥GH，∴GH∥AC. ∵G为AB的中点，∴H为BC的中点. 31 反 思 感 悟 (1)证明线面平行的两种方法：一是由线线平行推出线面平行；二是由面面平行推出线面平行. (2)线线平行、线面平行、面面平行三者之间可以相互转化，要注意转化思想的灵活运用. 　如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，N是PM与DE的交点，求证：NF∥CM. 跟踪训练 2 33 因为D，E分别是PA，PB的中点， 所以DE∥AB. 又DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC， 所以DE∥平面ABC， 同理DF∥平面ABC，又DE∩DF=D， DE，DF⊂平面DEF， 所以平面DEF∥平面ABC. 又平面PMC∩平面DEF=NF， 平面PMC∩平面ABC=CM， 所以NF∥CM. 34 1.知识清单： (1)平面与平面平行的性质定理. (2)平面与平面平行的判定定理. 2.方法归纳：转化与化归. 3.常见误区：判定平面与平面平行的条件不充分. 课堂小结 随堂演练 四 1.下列命题正确的是 A.一个平面内两条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 B.如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面 平行 C.平行于同一直线的两个平面一定互相平行 D.如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一个平面，那么这两个平 面平行 √ 1 2 3 4 如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，即两个平面没有公共点，则两平面平行. 2.已知直线m，n，平面α，β，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n的关系是 A.平行 B.异面 C.相交 D.平行或异面 ∵α∥β，∴α与β无公共点， 又m⊂α，n⊂β，∴m与n无公共点， ∴m与n平行或异面. √ 1 2 3 4 3.如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB的位置关系是 A.异面 B.平行 C.相交 D.以上均有可能 因为平面A1B1C1∥平面ABC，平面A1B1ED∩平面A1B1C1=A1B1，平面A1B1ED∩平面ABC=DE，所以A1B1∥DE.又因为A1B1∥AB，所以DE∥AB. √ 1 2 3 4 4.如图所示，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A'，B'，C'， 若PA'∶AA'=2∶3，则S△A'B'C'∶S△ABC=　　　.  ∵平面α∥平面ABC，平面PAB与它们的交线分别为A'B'，AB， ∴AB∥A'B'，同理B'C'∥BC，A'C'∥AC， 易得△ABC∽△A'B'C'，S△A'B'C'∶S△ABC=. 1 2 3 4 课时对点练 五 对一对 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D C B B A BCD 平行四边形 题号 8 11 12　 13 14 15 答案 C AC 等腰梯形　 M在线段FH上 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 因为点F为CD的中点，点H为PD的中点， 所以FH∥PC， 又FH⊄平面PCE，PC⊂平面PCE， 所以FH∥平面PCE. 又AE∥CF且AE=CF， 所以四边形AECF为平行四边形，所以AF∥CE， 又AF⊄平面PCE，CE⊂平面PCE， 所以AF∥平面PCE. 又FH⊂平面AFH，AF⊂平面AFH，FH∩AF=F， 所以平面AFH∥平面PCE. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 因为BE∥AA1，AA1⊂平面AA1D，BE⊄平面AA1D， 所以BE∥平面AA1D. 因为BC∥AD，AD⊂平面AA1D，BC⊄平面AA1D，所以BC∥平面AA1D. 又BE∩BC=B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE， 所以平面BCE∥平面AA1D. 又平面A1DCE∩平面BCE=EC， 平面A1DCE∩平面AA1D=A1D，所以EC∥A1D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 如图，设N为A1B1的中点，连接MN，AN，AC，CM， 则四边形MNAC为所求的平面图形. 因为M，N，E，F均为所在棱的中点， 所以MN∥EF， 又EF⊂平面DEF，MN⊄平面DEF， 所以MN∥平面DEF， 又AN∥DE，AN⊄平面DEF，DE⊂平面DEF， 所以AN∥平面DEF， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 又MN∩AN=N，MN，AN⊂平面MNAC， 所以平面MNAC∥平面DEF. 易知MN∥AC，四边形MNAC为梯形， 且MN=AC=2， 又AN=MC==2，所以梯形MNAC为等腰梯形，过点M作MP⊥AC于点P，PC==， 所以MP==， 所以S梯形MNAC=×(2+4)×=6. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是 A.平面α内有一条直线与平面β平行 B.平面α内有两条直线与平面β平行 C.平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行 D.平面α与平面β无公共点 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 答案 选项A，C不正确，因为两个平面可能相交； 选项B不正确，因为平面α内的这两条直线必须相交才能得到平面α与平面β平行； 由平面与平面平行的定义知，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 48 2.设α，β表示两个不同平面，m表示一条直线，下列命题正确的是 A.若m∥α，α∥β，则m∥β B.若m∥α，m∥β，则α∥β C.若m⊂α，α∥β，则m∥β D.若m⊂α，m∥β，则α∥β √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β，A不正确； 若m∥α，m∥β，则α∥β或α，β相交，B不正确； 若m⊂α，α∥β，可得m，β没有公共点，即m∥β，C正确； 若m⊂α，m∥β，则α∥β或α，β相交，D不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 3.下列四个正方体图形中，A，B，C为所在棱的中点，D，E，F为正方体的顶点，则能得出平面ABC∥平面DEF的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 B中，可证AB∥DE，BC∥DF，又DE，DF⊂平面DEF，故可以证明AB∥平面DEF，BC∥平面DEF.又AB∩BC=B，且AB，BC⊂平面ABC，所以平面ABC∥平面DEF. √ 答案 4.如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD为底面，则四边形EFGH的形状为 A.梯形 B.平行四边形 C.可能是梯形也可能是平行四边形 D.矩形 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 因为平面ABFE∥平面CGHD，且平面EFGH∩平面ABFE=EF，平面EFGH∩平面CGHD=GH，根据平面与平面平行的性质定理可知EF∥GH，同理可证明EH∥FG. 所以四边形EFGH为平行四边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 5.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点E在棱A1B1上，且B1E=1，平面α∥平面BC1E，若平面α∩平面AA1B1B=A1F，则AF的长为 A.1 B.1.5 C.2 D.3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 ∵平面α∥平面BC1E，平面α∩平面ABB1A1=A1F， 平面BC1E∩平面ABB1A1=BE， ∴A1F∥BE，又A1E∥FB， ∴四边形A1FBE为平行四边形， ∴FB=A1E=3-1=2， ∴AF=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 6.(多选)如图是某正方体的平面展开图(表面朝下).关于这个正方体，有以下判断，其中正确的是 A.BM∥DE B.CN∥平面AF C.平面BDM∥平面AFN D.平面BDE∥平面NCF √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 以平面ABCD为下底面还原正方体，如图， 则易判定B，C，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 7.如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是　 　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 平行四边形 由夹在两平行平面间的平行线段相等可得. 答案 8.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1 平行的平面交AB于M，交BC于N，则=　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 ∵平面MNE∥平面ACB1， 由面面平行的性质定理可得 EN∥B1C，EM∥B1A， 又∵E为BB1的中点， ∴M，N分别为BA，BC的中点， ∴MN=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 9.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，E，F，H分别为AB，CD，PD的中点，求证：平面AFH∥平面PCE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为点F为CD的中点，点H为PD的中点， 所以FH∥PC， 又FH⊄平面PCE，PC⊂平面PCE， 所以FH∥平面PCE. 又AE∥CF且AE=CF， 所以四边形AECF为平行四边形， 所以AF∥CE， 答案 62 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又AF⊄平面PCE，CE⊂平面PCE， 所以AF∥平面PCE. 又FH⊂平面AFH，AF⊂平面AFH，FH∩AF=F， 所以平面AFH∥平面PCE. 答案 63 10.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为BE∥AA1，AA1⊂平面AA1D，BE⊄平面AA1D， 所以BE∥平面AA1D. 因为BC∥AD，AD⊂平面AA1D， BC⊄平面AA1D，所以BC∥平面AA1D. 又BE∩BC=B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE， 所以平面BCE∥平面AA1D. 又平面A1DCE∩平面BCE=EC，平面A1DCE∩平面AA1D=A1D， 所以EC∥A1D. 答案 65 11.已知a，b，c，d是四条直线，α，β是两个不重合的平面，若a∥b∥c∥d，a⊂α，b⊂α，c⊂β，d⊂β，则α与β的位置关系是 A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.以上都不对 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 答案 根据图①和图②可知α与β平行或相交. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 12.(多选)在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为线段AB，A1B1，AA1的中点，下列说法正确的是 A.平面AC1F∥平面B1CE B.直线FG∥平面B1CE C.直线CG与BF异面 D.直线C1F与平面CGE相交 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 对于A，在三棱柱ABC-A1B1C1中， E，F，G分别为线段AB，A1B1，AA1的中点， 所以B1E∥AF，又AF⊂平面AC1F，B1E⊄平面AC1F， 所以B1E∥平面AC1F， 同理可证CE∥平面AC1F， 又B1E∩CE=E，B1E，CE⊂平面B1CE， 所以平面AC1F∥平面B1CE，所以A正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 对于B，因为F，G分别是线段A1B1，AA1的中点， 所以FG∥AB1，AB1∩B1E=B1，所以FG与B1E相交，所以直线FG与平面B1CE相交，所以B错误； 对于C，CG与BF不同在任何一个平面内，所以CG与BF是异面直线，所以C正确； 对于D，因为CE∥C1F，CE⊂平面CGE， C1F⊄平面CGE， 所以直线C1F∥平面CGE，所以D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 13.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B， M作正方体的截面，则这个截面的形状是　 　　　，截面的面积是　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 等腰梯形 　 答案 如图，取AA1的中点N，连接MN，NB，MC1，BC1，AD1， 因为MN∥AD1，AD1∥BC1， 故MN∥BC1， 且MN=. 则截面MNBC1为梯形， 又BN=C1M=，故梯形MNBC1为等腰梯形， 易得梯形的高为， 所以梯形的面积为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 14.已知直线l与平面α，β，γ依次交于点A，B，C，直线m与平面α，β，γ依次交于点D，E，F，若α∥β∥γ，AB=EF=3，BC=4，则DE=　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 　 答案 如图，连接CD交平面β于点G，连接EG，BG，AD，CF， 设l与CD确定的平面为α1， 因为α∩α1=AD，β∩α1=BG， 且α∥β，所以AD∥BG， 所以， 同理可得，GE∥CF，， 所以， 所以DE=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 拓广探究 15.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足　　　　　　　时，有MN∥平面B1BDD1.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 M在线段FH上 答案 如图，连接HN，FH，FN. 则HN∥BD，FH∥D1D， ∵HN∥BD，HN⊄平面B1BDD1，BD⊂平面B1BDD1， ∴HN∥平面B1BDD1，同理HF∥平面B1BDD1， 又∵HN∩HF=H，HN，HF⊂平面FHN， ∴平面FHN∥平面B1BDD1. ∵点M在四边形EFGH上及其内部运动， ∴M∈FH. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 16.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=4，BB1=2，点E，F，M分别为C1D1，A1D1，B1C1的中点，过点M的平面α与平面DEF平行，且与长方体的面相交，交线围成一个平面图形.在图中，画出这个平面图形，并求出这个平面图形的面积(不必说明画法与理由). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 如图，设N为A1B1的中点，连接MN，AN，AC，CM， 则四边形MNAC为所求的平面图形. 因为M，N，E，F均为所在棱的中点， 所以MN∥EF， 又EF⊂平面DEF，MN⊄平面DEF， 所以MN∥平面DEF， 又AN∥DE，AN⊄平面DEF，DE⊂平面DEF， 所以AN∥平面DEF， 又MN∩AN=N，MN，AN⊂平面MNAC， 所以平面MNAC∥平面DEF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 78 易知MN∥AC，四边形MNAC为梯形， 且MN=， 又AN=MC=， 所以梯形MNAC为等腰梯形， 过点M作MP⊥AC于点P，PC=， 所以MP=， 所以S梯形MNAC=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 79 第一章 <<< $$