第二章 §4 4.2 平面向量及运算的坐标表示-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（北师大版2019）

第二章 <<< 4.2　平面向量及运算 的坐标表示 1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的坐标表示. 2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则. 3.理解用坐标表示的平面向量共线的充要条件，能根据平面向量的坐标表示解决一些实际问题. 学习目标 在初中，我们知道，平面直角坐标系中的每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示，从而可以把有关位置关系的问题转化成计算问题，这给我们的研究带来了很多方便.上节课所学的平面向量基本定理告诉我们，指定基底之后，对平面上的任何一个向量都存在一组有序数对，使该向量具有唯一的分解方式.那这组有序数对能否称为“向量的坐标”呢？建立了“向量的坐标”的概念会给对我们研究向量带来怎样的方便呢？通过今天的学习，我们会找到答案.下面让我们到知识的海洋里遨游吧！ 导 语 一、平面向量的坐标表示 二、平面向量运算的坐标表示 课时对点练 三、平面向量平行的坐标表示 随堂演练 内容索引 一 平面向量的坐标表示 我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数(即它的坐标)表示，那么，如何表示直角坐标平面内的一个向量呢？ 问题1 提示　分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为标准正交基.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得a=xi+yj，把(x，y)叫作向量a的坐标，记作a=(x，y)，其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫作a在y轴上的坐标. 1.标准正交基 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为 . 2.坐标：对于坐标平面内的任意向量a，以坐标原点O为起点作=a(通常称 = ，我们把(x，y)称为向量a在标准正交基{i，j｝下的坐标. 3.坐标表示：a=(x，y). 标准正交基 xi+yj 知识梳理 (1)每个向量都有唯一的坐标. (2)相等的向量坐标相同. (3)注意点的坐标与向量的坐标的区别. 注 意 点 <<< 8 　　　在平面直角坐标系中，向量a，b的位置如图所示，|a|=4，|b|=3，且∠AOx=45°，∠OAB=105°，分别求向量a，b的坐标. 例 1 9 如图，设a=(a1，a2)，b=(b1，b2)，由于∠AOx=45°， 所以a1=|a|cos 45°=4×a2=|a|sin 45°=4×. 由已知条件可以求得向量b与x轴正方向的夹角为120°， 所以b1=|b|cos 120°=3× b2=|b|sin 120°=3×. 故a=(2)，b=. 10 求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算. 反 思 感 悟 11 　　　　　在平面直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|=2，|b|=1，|c|=3，分别计算出它们的坐标. 跟踪训练 1 12 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，c=(x3，y3)， 则x1=|a|cos 60°=2×=1，y1=|a|sin 60°=2×； x2=|b|cos 150°=1× y2=|b|sin 150°=1×； x3=|c|cos(-135°)=3× y3=|c|sin(-135°)=3×. 因此a=(1)，b=c=. 13 二 平面向量运算的坐标表示 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2).   数学公式 文字语言表述 向量加法 a+b=(x1+x2，y1+y2) 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和 向量减法 a-b=(x1-x2，y1-y2) 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差 向量数乘 λa=(λx1，λy1) 实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向量的相应坐标的乘积 知识梳理 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量=(x2-x1，y2-y1)，即任意一个向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标. (1)当向量起点在原点时，终点坐标就是向量的坐标. (2)若点A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点M的坐标为(x，y)， 则此公式为线段AB的中点坐标公式. (3)若△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)， C(x3，y3)，则三角形的重心坐标为. 注 意 点 <<< 17 　　　(1)若向量等于 A.(-6，-10) B.(2，4) C.(6，10) D.(-2，-4) 例 2 √ =-(4，7)+(2，3)=(-2，-4). 18 (2)已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10).若(λ∈R)，试求当λ为何值时： ①点P在第一、三象限的角平分线上； 19 设点P的坐标为(x，y)， 则=(x，y)-(2，3)=(x-2，y-3)， =(5，4)-(2，3)+λ[(7，10)-(2，3)] =(3，1)+λ(5，7)=(3+5λ，1+7λ). ∵ ∴ 则 20 若点P在第一、三象限的角平分线上， 则5+5λ=4+7λ，∴λ=. 21 若点P在第三象限内， 则∴λ<-1. ②点P在第三象限内. 22 反 思 感 悟 (1)待定系数法是最基本的数学方法之一，将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用. (2)坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量.由此可建立相等关系求某些参数的值. 　　　　　已知平面上三点的坐标分别为A(-2，1)，B(-1，3)，C(3，4)，求点D的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点. 跟踪训练 2 24 设D(x，y)，当平行四边形为ABCD时， 由=(3-x，4-y)， 且得D(2，2)； 当平行四边形为ACDB时， 由得D(4，6)； 当平行四边形为ACBD时， 由得D(-6，0)， 故点D的坐标为(2，2)或(4，6)或(-6，0). 25 三 平面向量平行的坐标表示 提示　a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，b≠0. 向量a，b(b≠0)共线等价于存在实数λ，使得a=λb， 即(x1，y1)=λ(x2，y2)=(λx2，λy2)， 所以消去λ可得，x1y2-x2y1=0. 如何用坐标表示向量共线(平行)的等价条件？ 问题2 在平面直角坐标系中，已知a=(x1，y1)，b=(x2，y2). 当b≠0时，向量a，b共线的充要条件是 . x1y2-x2y1=0 知识梳理 当x2y2≠0时即两向量的相应坐标成比例. 注 意 点 <<< 29 　　　(1)已知向量a=(1，-2)，b=(3，4).若(3a-b)∥(a+kb)，则k=　　. 例 3 　- 3a-b=(0，-10)，a+kb=(1+3k，-2+4k)， 因为(3a-b)∥(a+kb)，所以0-(-10-30k)=0， 解得k=-. 30 (2)已知=(1-k，-1)，且相异的三点A，B，C共线，则实数k=　　. 　- =(1-k，2k-2)， =(1-2k，-3)， 由题意可知∥ 所以(-3)×(1-k)-(2k-2)(1-2k)=0， 解得k=-(k=1不符合题意，舍去). 31 反 思 感 悟 (1)根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路，一是利用共线(平行)向量基本定理a=λb(b≠0)列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x1y2-x2y1=0求解. (2)若A，B，C三点共线，即由这三个点组成的任意两个向量共线. 　　　　　(1)下列各组向量中，共线的是 A.a=(-2，3)，b=(4，6) B.a=(2，3)，b=(3，2) C.a=(1，-2)，b=(7，14) D.a=(-3，2)，b=(6，-4) 跟踪训练 3 √ A中，因为-2×6-3×4≠0，所以a与b不共线； B中，因为2×2-3×3≠0，所以a与b不共线； C中，因为1×14-(-2)×7≠0，所以a与b不共线； D中，因为(-3)×(-4)-2×6=0，所以a与b共线. 33 (2)若a=(cos α)，b=(3，sin α)，且a∥b，则锐角α=　　. ∵a=(cos α)，b=(3，sin α)，a∥b， ∴ 又0<α<. 　 34 1.知识清单： (1)平面向量的坐标表示. (2)平面向量的加、减、数乘运算的坐标表示. (3)两个向量共线(平行)的坐标表示. 2.方法归纳：化归与转化、待定系数法. 3.常见误区：两个向量共线的坐标表示的公式易记错. 课堂小结 35 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知向量a=(5，2)，b=(-4，-3)，若c满足3a-2b+c=0，则c等于 A.(-23，-12) B.(23，12) C.(7，0) D.(-7，0) √ ∵3a-2b+c=0， ∴c=-3a+2b=-3(5，2)+2(-4，-3) =(-23，-12). 2.已知向量a=(x，1)，b=(1，2)，且a∥b，则x的值是 A. B.0 C.1 D.2 1 2 3 4 √ ∵a∥b，∴2x-1=0，解得x=. 3.已知点A(2，1)，B(-2，3)，O为坐标原点，且则点C的坐标为　　　　. 1 2 3 4 设C(x，y)，则=(x+2，y-3)， 得x=0，y=4. 故点C的坐标为(0，4). (0，4) 4.若点A(-2，0)，B(3，4)，C(2，a)共线，则a=　　. 1 2 3 4 ∥. 　 课时对点练 五 答案 对一对 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C ABD B D AC 4 4 题号 11 12 13 14　 　15 答案 C ABD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. (1)∵A(5，-2)，B(-1，4)， M是线段AB的中点，∴M(2，1). =(-1，4)-(5，-2)=(-6，6). (2)设D(x，0)， 则=(x+1，-4)，=(-1，-2)， ∵∥， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. ∴(x+1)×(-2)-(-4)×(-1)=0， 解得x=-3， ∴点D的坐标是(-3，0). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. ma+4b=(2m，3m)+(-4，8)=(2m-4，3m+8)， a-2b=(2，3)-(-2，4)=(4，-1)， 因为ma+4b与a-2b共线， 所以4(3m+8)-(-1)×(2m-4)=0，得m=-2. 当m=-2时，ma+4b=(-8，2)， 所以 ma+4b=-2(a-2b)， 所以ma+4b与a-2b反向共线. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 由a=2b， 知 ∴ 又cos2α+2sin α=-sin2α+2sin α+1=-(sin α-1)2+2， ∴-2≤cos2α+2sin α≤2， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. ∴-2≤λ2-m=(2m-2)2-m≤2， ∴≤m≤2， ∵==2-，∴-6≤2-≤1，∴的取值范围为［-6，1］. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.已知平面向量a=(-2，0)，b=(-1，-1)，则a-2b等于 A.(1，2) B.(-1，-2) C.(-1，2) D.(1，-2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 答案 a-2b=(-1，0)-(-2，-2)=(1，2). 2.如图所示，{e1，e2}为单位正交基底，则向量a，b 的坐标分别是 A.(3，4)，(2，-2) B.(2，3)，(-2，-3) C.(2，3)，(2，-2) D.(3，4)，(-2，-3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由题图可知，a=2e1+3e2，b=2e1-2e2， ∴a=(2，3)，b=(2，-2). 答案 3.(多选)下列说法正确的有 A.相等向量的坐标相同 B.平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标 C.一个坐标对应于唯一的一个向量 D.平面上一个点与以原点为起点、该点为终点的向量一一对应 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故C错误. 答案 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知向量a=(1，2)，b=(1，0)，c=(3，4).若λ为实数，(a+λb)∥c，则λ等于 A. B. C.1 D.2 √ 答案 因为向量a=(1，2)，b=(1，0)， 所以a+λb=(1，2)+λ(1，0)=(1+λ，2)， 因为(a+λb)∥c，c=(3，4)， 所以4(1+λ)=3×2，解得λ=. 5.如果将的坐标是 A. B. C.(-1 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 因为 . 6.(多选)已知λ，μ∈R=(1，μ)，那么 A.=(λ-1，1-μ) B.若∥ C.若A是BD的中点，则B，C两点重合 D.若点B，C，D共线，则μ=1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A选项=(λ，1)-(1，μ)= (λ-1，1-μ)，A选项正确； B选项，若∥B选项错误； C选项，若A是BD的中点，则 即(λ，1)=(-1，-μ)⇒λ=μ=-1， 所以=(-1，1)，所以B，C两点重合，C选项正确； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 D选项，由于B，C，D三点共线，所以 =(-1，1)-(λ，1)=(-1-λ，0)， =(1，μ)-(λ，1)=(1-λ，μ-1)， 则(-1-λ)×(μ-1)=0×(1-λ)⇒λ=-1或μ=1，所以D选项错误. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知=(2，1).若A，C，D三点共线，则k=　　. 因为=(2，1)， 所以=(10，k+1). 又A，C，D三点共线， 所以∥ 所以10×1-2(k+1)=0，解得k=4. 答案 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c=λa+μb(λ，μ∈R)，则的值为　　. 以向量a和b的交点为原点，正方形网格的边长为一个单位长度，建立平面直角坐标系(图略)，则a=(-1，1)，b=(6，2)，c=(-1，-3)， 根据c=λa+μb得(-1，-3)=λ(-1，1)+μ(6，2)，有 =4. 答案 4 57 9.已知点A(5，-2)，B(-1，4)，C(3，3)，M是线段AB的中点. (1)求点M和的坐标； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵A(5，-2)，B(-1，4)， M是线段AB的中点， ∴M(2，1). =(-1，4)-(5，-2)=(-6，6). 答案 (2)若D是x轴上一点，且满足∥求点D的坐标. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设D(x，0)， 则=(-1，-2)， ∵∥ ∴(x+1)×(-2)-(-4)×(-1)=0， 解得x=-3， ∴点D的坐标是(-3，0). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知向量a=(2，3)，b=(-1，2)，若ma+4b与a-2b共线，求m的值，并判断ma+4b与a-2b是同向还是反向. 答案 ma+4b=(2m，3m)+(-4，8)=(2m-4，3m+8)， a-2b=(2，3)-(-2，4)=(4，-1)， 因为ma+4b与a-2b共线， 所以4(3m+8)-(-1)×(2m-4)=0，得m=-2. 当m=-2时，ma+4b=(-8，2)， 所以 ma+4b=-2(a-2b)， 所以ma+4b与a-2b反向共线. 11.已知向量=(k+1，k-2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是 A.k=-2 B.k= C.k=1 D.k=-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 综合运用 答案 因为A，B，C三点不能构成三角形，则A，B，C三点共线， 则=(k，k+1)，所以2k-(k+1)=0，即k=1. 12.(多选)已知A(3，2)，B(5，4)，C(6，7)，则以A，B，C为顶点的平行四边形的另一个顶点D的坐标可能为 A.(4，5) B.(8，9) C.(10，11) D.(2，-1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设点D的坐标为(x，y).若是平行四边形ABCD，则由 可得(6-3，7-2)=(5-x，4-y)，解得x=2，y=-1，故所求顶点D的坐标为(2，-1).综上可得，以A，B，C为顶点的平行四边形的另一个顶点D的坐标是(4，5)或(8，9)或(2，-1). 答案 13.已知A(0，0)，B(2，0)，C(0，2)，D为线段AB上的点，且 则xy=　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵D为线段AB上的点，且=2， ∴ 设D(m，n)，则 ∴D 由=x(0，-2)+y(2，-2) =(2y，-2x-2y)= 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知向量的最小值为　　　. 答案 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，得=(-a+2，-2)=(b+2，-4). 又∥所以-4(-a+2)=-2(b+2)， 整理得2a+b=2， 所以 = a时等号成立. 答案 15.如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2，6)，B(6，4)，C(5，0)，D(1，0)，则直线AC与BD的交点P的坐标为　　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 答案 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 设P(x，y)，则 =(4，0). 由B，P，D三点共线可得=(5λ，4λ). 又因为=(5λ-4，4λ)， 由共线得，(5λ-4)×6+12λ=0. 解得λ= 所以点P的坐标为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.设向量a=(λ+2，λ2-cos2α)，b=其中λ，m，α为实数，若a=2b，求的取值范围. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由a=2b，知 ∴ 又cos2α+2sin α=-sin2α+2sin α+1 =-(sin α-1)2+2， ∴-2≤cos2α+2sin α≤2， ∴-2≤λ2-m=(2m-2)2-m≤2， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴≤m≤2， ∵==2-∴-6≤2-≤1， ∴的取值范围为[-6，1]. 答案 第一章 <<< $$ 4.2　平面向量及运算的坐标表示 [学习目标]　1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.理解用坐标表示的平面向量共线的充要条件，能根据平面向量的坐标表示解决一些实际问题. 导语 在初中，我们知道，平面直角坐标系中的每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示，从而可以把有关位置关系的问题转化成计算问题，这给我们的研究带来了很多方便.上节课所学的平面向量基本定理告诉我们，指定基底之后，对平面上的任何一个向量都存在一组有序数对，使该向量具有唯一的分解方式.那这组有序数对能否称为“向量的坐标”呢？建立了“向量的坐标”的概念会给对我们研究向量带来怎样的方便呢？通过今天的学习，我们会找到答案.下面让我们到知识的海洋里遨游吧！ 一、平面向量的坐标表示 问题1　我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数(即它的坐标)表示，那么，如何表示直角坐标平面内的一个向量呢？ 提示　分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为标准正交基.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得a=xi+yj，把(x，y)叫作向量a的坐标，记作a=(x，y)，其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫作a在y轴上的坐标. 知识梳理 1.标准正交基 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为标准正交基. 2.坐标：对于坐标平面内的任意向量a，以坐标原点O为起点作=a(通常称=xi+yj，我们把(x，y)称为向量a在标准正交基{i，j｝下的坐标. 3.坐标表示：a=(x，y). 注意点： (1)每个向量都有唯一的坐标. (2)相等的向量坐标相同. (3)注意点的坐标与向量的坐标的区别. 例1　在平面直角坐标系中，向量a，b的位置如图所示，|a|=4，|b|=3，且∠AOx=45°，∠OAB=105°，分别求向量a，b的坐标. 解　如图，设a=(a1，a2)，b=(b1，b2)，由于∠AOx=45°， 所以a1=|a|cos 45°=4×a2=|a|sin 45°=4×. 由已知条件可以求得向量b与x轴正方向的夹角为120°，所以b1=|b|cos 120°=3× b2=|b|sin 120°=3×. 故a=(2)，b=. 反思感悟　求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算. 跟踪训练1　在平面直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|=2，|b|=1，|c|=3，分别计算出它们的坐标. 解　设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，c=(x3，y3)， 则x1=|a|cos 60°=2×=1， y1=|a|sin 60°=2×； x2=|b|cos 150°=1× y2=|b|sin 150°=1×； x3=|c|cos(-135°)=3× y3=|c|sin(-135°)=3×. 因此a=(1)，b=c=. 二、平面向量运算的坐标表示 知识梳理 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2). 数学公式 文字语言表述 向量加法 a+b=(x1+x2，y1+y2) 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和 向量减法 a-b=(x1-x2，y1-y2) 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差 向量数乘 λa=(λx1，λy1) 实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向量的相应坐标的乘积 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量=(x2-x1，y2-y1)，即任意一个向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标. 注意点： (1)当向量起点在原点时，终点坐标就是向量的坐标. (2)若点A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点M的坐标为(x，y)， 则此公式为线段AB的中点坐标公式. (3)若△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则三角形的重心坐标为. 例2　(1)若向量等于(　　) A.(-6，-10) B.(2，4) C.(6，10) D.(-2，-4) 答案　D 解析　=-(4，7)+(2，3)=(-2，-4). (2)已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10).若(λ∈R)，试求当λ为何值时： ①点P在第一、三象限的角平分线上； ②点P在第三象限内. 解　设点P的坐标为(x，y)， 则=(x，y)-(2，3)=(x-2，y-3)， =(5，4)-(2，3)+λ[(7，10)-(2，3)] =(3，1)+λ(5，7)=(3+5λ，1+7λ). ∵ ∴ 则 ①若点P在第一、三象限的角平分线上， 则5+5λ=4+7λ，∴λ=. ②若点P在第三象限内， 则∴λ<-1. 反思感悟　(1)待定系数法是最基本的数学方法之一，将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用. (2)坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量.由此可建立相等关系求某些参数的值. 跟踪训练2　已知平面上三点的坐标分别为A(-2，1)，B(-1，3)，C(3，4)，求点D的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点. 解　设D(x，y)，当平行四边形为ABCD时， 由=(3-x，4-y)， 且得D(2，2)； 当平行四边形为ACDB时， 由 得D(4，6)； 当平行四边形为ACBD时， 由 得D(-6，0)， 故点D的坐标为(2，2)或(4，6)或(-6，0). 三、平面向量平行的坐标表示 问题2　如何用坐标表示向量共线(平行)的等价条件？ 提示　a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，b≠0. 向量a，b(b≠0)共线等价于存在实数λ，使得a=λb， 即(x1，y1)=λ(x2，y2)=(λx2，λy2)， 所以消去λ可得，x1y2-x2y1=0. 知识梳理 在平面直角坐标系中，已知a=(x1，y1)，b=(x2，y2). 当b≠0时，向量a，b共线的充要条件是x1y2-x2y1=0. 注意点： 当x2y2≠0时即两向量的相应坐标成比例. 例3　(1)已知向量a=(1，-2)，b=(3，4).若(3a-b)∥(a+kb)，则k=　　　　.  答案　- 解析　3a-b=(0，-10)，a+kb=(1+3k，-2+4k)， 因为(3a-b)∥(a+kb)，所以0-(-10-30k)=0， 解得k=-. (2)已知=(1-k，-1)，且相异的三点A，B，C共线，则实数k=　　　　.  答案　- 解析　=(1-k，2k-2)， =(1-2k，-3)， 由题意可知∥ 所以(-3)×(1-k)-(2k-2)(1-2k)=0， 解得k=-(k=1不符合题意，舍去). 反思感悟　(1)根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路，一是利用共线(平行)向量基本定理a=λb(b≠0)列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x1y2-x2y1=0求解. (2)若A，B，C三点共线，即由这三个点组成的任意两个向量共线. 跟踪训练3　(1)下列各组向量中，共线的是(　　) A.a=(-2，3)，b=(4，6) B.a=(2，3)，b=(3，2) C.a=(1，-2)，b=(7，14) D.a=(-3，2)，b=(6，-4) 答案　D 解析　A中，因为-2×6-3×4≠0，所以a与b不共线； B中，因为2×2-3×3≠0，所以a与b不共线； C中，因为1×14-(-2)×7≠0，所以a与b不共线； D中，因为(-3)×(-4)-2×6=0，所以a与b共线. (2)若a=(cos α)，b=(3，sin α)，且a∥b，则锐角α=　　　　.  答案　 解析　∵a=(cos α)，b=(3，sin α)，a∥b， ∴ 又0<α<. 1.知识清单： (1)平面向量的坐标表示. (2)平面向量的加、减、数乘运算的坐标表示. (3)两个向量共线(平行)的坐标表示. 2.方法归纳：化归与转化、待定系数法. 3.常见误区：两个向量共线的坐标表示的公式易记错. 1.已知向量a=(5，2)，b=(-4，-3)，若c满足3a-2b+c=0，则c等于(　　) A.(-23，-12) B.(23，12) C.(7，0) D.(-7，0) 答案　A 解析　∵3a-2b+c=0， ∴c=-3a+2b=-3(5，2)+2(-4，-3) =(-23，-12). 2.已知向量a=(x，1)，b=(1，2)，且a∥b，则x的值是(　　) A. B.0 C.1 D.2 答案　A 解析　∵a∥b，∴2x-1=0，解得x=. 3.已知点A(2，1)，B(-2，3)，O为坐标原点，且则点C的坐标为　　　　.  答案　(0，4) 解析　设C(x，y)，则=(x+2，y-3)， 得x=0，y=4. 故点C的坐标为(0，4). 4.若点A(-2，0)，B(3，4)，C(2，a)共线，则a=　　.  答案　 解析　∥. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共18分 1.已知平面向量a=(-2，0)，b=(-1，-1)，则a-2b等于(　　) A.(1，2) B.(-1，-2) C.(-1，2) D.(1，-2) 答案　A 解析　a-2b=(-1，0)-(-2，-2)=(1，2). 2.如图所示，{e1，e2}为单位正交基底，则向量a，b的坐标分别是(　　) A.(3，4)，(2，-2) B.(2，3)，(-2，-3) C.(2，3)，(2，-2) D.(3，4)，(-2，-3) 答案　C 解析　由题图可知，a=2e1+3e2，b=2e1-2e2， ∴a=(2，3)，b=(2，-2). 3.(多选)下列说法正确的有(　　) A.相等向量的坐标相同 B.平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标 C.一个坐标对应于唯一的一个向量 D.平面上一个点与以原点为起点、该点为终点的向量一一对应 答案　ABD 解析　由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故C错误. 4.已知向量a=(1，2)，b=(1，0)，c=(3，4).若λ为实数，(a+λb)∥c，则λ等于(　　) A. B. C.1 D.2 答案　B 解析　因为向量a=(1，2)，b=(1，0)， 所以a+λb=(1，2)+λ(1，0)=(1+λ，2)， 因为(a+λb)∥c，c=(3，4)， 所以4(1+λ)=3×2，解得λ=. 5.如果将的坐标是(　　) A. B. C.(-1 D. 答案　D 解析　因为 . 6.(多选)已知λ，μ∈R=(1，μ)，那么(　　) A.=(λ-1，1-μ) B.若∥ C.若A是BD的中点，则B，C两点重合 D.若点B，C，D共线，则μ=1 答案　AC 解析　A选项=(λ，1)-(1，μ)=(λ-1，1-μ)，A选项正确； B选项，若∥B选项错误； C选项，若A是BD的中点，则 即(λ，1)=(-1，-μ)⇒λ=μ=-1， 所以=(-1，1)，所以B，C两点重合，C选项正确； D选项，由于B，C，D三点共线，所以 =(-1，1)-(λ，1)=(-1-λ，0)， =(1，μ)-(λ，1)=(1-λ，μ-1)， 则(-1-λ)×(μ-1)=0×(1-λ)⇒λ=-1或μ=1，所以D选项错误. 7.(5分)已知=(2，1).若A，C，D三点共线，则k=　　　　.  答案　4 解析　因为=(2，1)， 所以=(10，k+1). 又A，C，D三点共线， 所以∥ 所以10×1-2(k+1)=0，解得k=4. 8.(5分)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c=λa+μb(λ，μ∈R)，则的值为　　　　.  答案　4 解析　以向量a和b的交点为原点，正方形网格的边长为一个单位长度，建立平面直角坐标系(图略)，则a=(-1，1)，b=(6，2)，c=(-1，-3)，根据c=λa+μb得(-1，-3)=λ(-1，1)+μ(6，2)，有=4. 9.(10分)已知点A(5，-2)，B(-1，4)，C(3，3)，M是线段AB的中点. (1)求点M和的坐标；(4分) (2)若D是x轴上一点，且满足∥求点D的坐标.(6分) 解　(1)∵A(5，-2)，B(-1，4)， M是线段AB的中点， ∴M(2，1). =(-1，4)-(5，-2)=(-6，6). (2)设D(x，0)， 则=(-1，-2)， ∵∥ ∴(x+1)×(-2)-(-4)×(-1)=0， 解得x=-3， ∴点D的坐标是(-3，0). 10.(10分)已知向量a=(2，3)，b=(-1，2)，若ma+4b与a-2b共线，求m的值，并判断ma+4b与a-2b是同向还是反向. 解　ma+4b=(2m，3m)+(-4，8)=(2m-4，3m+8)， a-2b=(2，3)-(-2，4)=(4，-1)， 因为ma+4b与a-2b共线， 所以4(3m+8)-(-1)×(2m-4)=0，得m=-2. 当m=-2时，ma+4b=(-8，2)， 所以 ma+4b=-2(a-2b)， 所以ma+4b与a-2b反向共线. 11.已知向量=(k+1，k-2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是(　　) A.k=-2 B.k= C.k=1 D.k=-1 答案　C 解析　因为A，B，C三点不能构成三角形，则A，B，C三点共线，则=(k，k+1)，所以2k-(k+1)=0，即k=1. 12.(多选)已知A(3，2)，B(5，4)，C(6，7)，则以A，B，C为顶点的平行四边形的另一个顶点D的坐标可能为(　　) A.(4，5) B.(8，9) C.(10，11) D.(2，-1) 答案　ABD 解析　设点D的坐标为(x，y).若是平行四边形ABCD，则由可得(6-3，7-2)=(5-x，4-y)，解得x=2，y=-1，故所求顶点D的坐标为(2，-1).综上可得，以A，B，C为顶点的平行四边形的另一个顶点D的坐标是(4，5)或(8，9)或(2，-1). 13.(5分)已知A(0，0)，B(2，0)，C(0，2)，D为线段AB上的点，且则xy=　　　　.  答案　 解析　∵D为线段AB上的点，且=2， ∴ 设D(m，n)，则 ∴D 由=x(0，-2)+y(2，-2) =(2y，-2x-2y)= ∴. 14.(5分)已知向量的最小值为　　　　.  答案　 解析　由题意，得=(-a+2，-2)=(b+2，-4). 又∥所以-4(-a+2)=-2(b+2)， 整理得2a+b=2， 所以 =a时等号成立. 15.(5分)如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2，6)，B(6，4)，C(5，0)，D(1，0)，则直线AC与BD的交点P的坐标为　　　　.  答案　 解析　设P(x，y)，则=(4，0). 由B，P，D三点共线可得=(5λ，4λ). 又因为=(5λ-4，4λ)， 由共线得，(5λ-4)×6+12λ=0. 解得λ= 所以点P的坐标为. 16.(12分)设向量a=(λ+2，λ2-cos2α)，b=其中λ，m，α为实数，若a=2b，求的取值范围. 解　由a=2b，知 ∴ 又cos2α+2sin α=-sin2α+2sin α+1 =-(sin α-1)2+2， ∴-2≤cos2α+2sin α≤2， ∴-2≤λ2-m=(2m-2)2-m≤2， ∴≤m≤2， ∵==2-∴-6≤2-≤1， ∴的取值范围为[-6，1]. 学科网（北京）股份有限公司 $$