重难点03 应用题（4大题型+高分技巧+限时提升练）-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（重庆专用）

重难点03 应用题 应用题是中考数学的必考考点，此类问题一般设为两问，从2014年到2021年该题型皆涉及a%，通过列出与百分比变化对应的方程求解.但从2022年开始考情发生变化，题目不再涉及a%，题目变得常规，整体难度有所下降.2023年考查二元一次方程组及分式方程的结合，难度降低.熟练掌握方程(组)与不等式的相关知识点,增强阅读能力，学会分析题目中的数量关系,找准题干中确定的量并列出关系式。 题型一：销售问题 此类题考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． 1．（24-25九年级上·重庆巴南·期末）取暖器，又称为“冬日里的小太阳”，是南方居民冬天的取暖神器．某商场有A型、B型两款最受顾客喜爱的取暖器，已知每台A型取暖器的售价比每台B型取暖器售价少40元，顾客用1200元购入A型取暖器的数量与用1440元购入B型取暖器的数量相等． (1)每台A型取暖器与每台B型取暖器的售价分别为多少元？ (2)每台B型取暖器的进价为140元，据统计，商场每月卖出B型取暖器60台，新年前夕，为了尽快减少库存，商场决定对B型取暖器进行降价促销活动，调查发现，每台B型取暖器的售价每降低10元，那么平均每月可多售出25台，若商场要想每月销售B型取暖器的利润达到9600元，则每台B型取暖器应降价多少元？ 2．（珊瑚初级中学校2024-2025学年九年级上学期入学考试）某商家计划购进A，B两种品牌的红酒进行销售，经调查，用30000元购买A品牌红酒的数量是用9000元购买B品牌红酒数量的3倍，一箱A品牌红酒的进价比一箱B品牌红酒的进价多20元． (1)求A，B两种品牌红酒一箱的进价分别为多少元； (2)若该商家购进A，B两种品牌的红酒共210箱进行试销，其中A品牌红酒的数量不多于B品牌红酒数量的2倍，且不少于100箱，已知A品牌红酒的售价为320元/箱，B品牌红酒的售价为280元/箱，且全部售出，设购进A品牌红酒m箱．求商家销售这批红酒的利润P与m之间的关系式，并写出利润最大时的进货方案． 3．（育才中学2023-2024学年九年级下学期数学开学）商店2月份购进了一批鲜花饼，分为型礼盒和型礼盒，已知用4000元购进型礼盒的数量与用5000元购进型礼盒的数量一样多，其中每盒型礼盒的进价比每盒型礼盒的进价多10元． (1)每盒A型礼盒和B型礼盒的进价分别是多少元？ (2)2月份，该店每盒型礼盒和型礼盒的售价分别为60元和80元，销售量分别为100盒和50盒．3月份，该店调整了销售价格，在上月的基础上，每盒型礼盒的售价增加了5元，此时销售量减少了；每盒型礼盒的售价减少了元，此时销售量增加了，3月份的销售利润为3670元．求的值． 4．（第一中学校2023-2024学年下学期九年级开学）自中欧班列开通以来，重庆与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在重庆采购一批特色商品，经调查，用1600元采购A型商品的件数是用1000元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价少20元． (1)求A、B型商品的进价； (2)该客商计划投入18000元用于购进这两种商品，已知购进A、B两种商品共200件，A型商品的售价为160元/件，B型商品的售价为240元/件，若该客商全部销售完这些商品，则可获得的利润是多少元？ 5．（西南大学附属中学校九年级下学期中考一诊）去年寒假，哈尔滨成为了全国的热门旅游城市，滑雪运动也渐渐成为了市民们冬季运动的首选，头盔是重要的滑雪装备之一，可分为半盔型和全盔型两种，某滑雪装备专卖店第一次购进了半盔型和全盔型共个，半盔型进价是元，全盔型进价是元，半盔型售价为元，全盔型售价为元． (1)若该店第一次购买两种头盔共花了元，则购买半盔型和全盔型各多少个？ (2)第一批头盔销量不错，该店又购进一批，第二批两种头盔的进价不变，半盔型售价在第一次的基础上涨了元；全盔型售价比第一次降低了元，结果半盔型获得元的利润和全盔型获得元的利润时售卖数量相同，求的值． 题型二：工程问题 此类问题考查二元一次方程组和分式方程的实际应用．理解题意，找出等量关系是解题关键，工程问题中的等量关系是工作时间×工作效率=工作量，一般以工作量作为等量关系。 6．（第八中学2023-2024学年下期九年级开学）某工厂生产某种罐头食品的外包装铁质罐头盒． (1)一个罐头盒是由一个盒身和两个盒底构成，用1张铁皮可做35个盒身或60个盒底，现有260张铁皮，用多少张做盒身，多少张做盒底才能使盒身与盒底恰好配套？ (2)甲、乙两个车间接到任务生产一批罐头盒，若甲车间单独完成，则需要比规定工期多用3天；若乙车间单独完成，则需要比规定工期少用2天；若甲、乙两车间合作5天，剩下的由甲车间单独完成，则比规定工期提前3天完成．问甲车间单独生产完这批罐头盒的时间为多少天？ 7．（西南大学附属中学校2024-2025学年九年级上学期11月）我校综纷艺术节即将拉开帷幕，学校准备在一文创厂家定制个布艺文化袋发放给师生，该厂家甲车间每天可生产个布艺文化袋，乙车间每天可生产个布艺文化袋，甲车间先单独工作4天后，乙车间加入一起赶工． (1)该厂家完成这批布艺文化袋一共需要多少天？ (2)甲车间按原生产效率单独生产4天后，由于时间紧迫，两个车间改进了生产工艺，并且平分了剩下的生产任务，改进后甲、乙两车间每天生产布艺文化袋的数量之比为．两个车间各自完成剩下生产任务的天数之和为天，问改进工艺后甲车间每天生产多少个布艺文化袋？ 8．（重庆南开(融侨)中学校2022-2023学年九年级下学期3月）重庆巴蜀古代建筑博物馆位于沙坪坝区，是川渝地区首座国有古代建筑类专题博物馆．博物馆馆藏文物千余件，主要为木质、石质、砖雕等建筑构件．市政府计划对该博物馆进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成，已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队单独完成该改造计划比乙队单独完成该计划少用4天． (1)甲、乙两队单独完成该计划分别需要多少天？ (2)若甲队工作一天需付费用8万元，乙队工作一天需付费用6万元，由于项目原因，甲队先做了几天后，由乙队接着将改造计划完成，最后改造费用不超过67万元，甲队至少做了多少天？ 9．（2024年重庆实验外国语学校九年级中考三模）近年来，城市更新行动速度在加快，保障和改善民生的步伐也在加快，人民群众获得感、幸福感、安全感不断提升．某社区在改造中，恢复重现了居民记忆深处的电影院坡坡、戏水河沟、游园坝坝等，新设计了系列文化景观，构建起一个“文化生态”空间． (1)第一期的改造工程面积为88平方米，由甲、乙两人先后接力完成，若甲每天可完成10平方米，乙每天可完成8平方米，共用时10天完成，求甲、乙两人分别工作了多少天？ (2)由于居民对第一期文化改造工程反映很好，引来了不少市民打卡参观．社区计划在A处建造400平方米文化宣传墙，由丙工程队负责；在B处建造160平方米的文化宣传墙，由丁工程队负责．若丙每天可完成的工作量比丁每天可完成的工作量多5平方米，丙完成的时间是丁完成时间的2倍，求丙、丁每天可完成的工作量分别是多少平方米？ 10．（2024年重庆市巴蜀中学九年级下学期第一次模拟）2021年以来，重庆陆续开工渝万、成达万、成渝中线、西渝高铁，加上续建的渝昆、渝湘高铁重庆至黔江段，“米”字形高铁网全面铺开．甲、乙两工程队承接某段高铁隧道挖掘工程．已知甲工程队每天的挖掘长度是乙工程队每天挖掘长度的1.5倍，并且挖掘240米的高铁隧道甲工程队比乙工程队少用4天． (1)求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘多少米的隧道？ (2)已知甲工程队每天的挖掘费用为6万元，乙工程队每天的挖掘费用为3万元，若该段隧道挖掘工程为700米，安排甲队工作若干天后由乙队接收剩余的工程，而总费用不高于115万元，最多能安排甲工程队挖掘多少天？（挖掘天数为整数） 题型三：行程问题 此类题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程组，找到不等关系列出不等式是解题的关键，行程问题中一般以时间或路程为等量关系，求出速度是解题关键。 11．（育才中学2022-2023学年九年级数学上学期二模）九龙坡区有七条特色的山城步道，不仅景色宜人，而且各有特色．中梁山云岭森林公园是主城区首个全开放式无围墙森林公园，公园里有一条长的登山步道，学校两个登山小队组织周末登山活动，计划沿步道登山，若两队同时出发，第一队的登山速度是第二队登山速度的倍，他们比第二队早40分钟到达步道终点． (1)两个小队的登山速度各是多少千米/小时？ (2)到达步道终点后，第一队队长小明继续沿着另一条山路登山，直至山顶．在他从山路登山开始的前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多登山2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在山路登山到山顶的过程中小明共消耗1050卡路里热量，小明从山路登山直至山顶共用多少分钟？ 12．（2024·重庆江津·二模）甲、乙两名同学是骑行爱好者，相约从学校出发，沿相同路线骑车去距离学校的黄庄观赏油菜花，乙速度是甲速度的1.5倍． (1)若甲先行驶，乙才开始从学校出发，乙出发后追上甲，求乙每小时行驶多少千米？ (2)若甲先出发，乙才开始从学校出发，两人同时到达黄庄，求乙每小时行驶多少千米？ 13．（八中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考）某城市自行车赛线路为从起点出发，先骑行一段缓下坡路，再骑行一段平路到达折返点，然后从折返点沿原路线返回起点（起点即终点）．假定某运动员A在平路上骑行的速度始终是25千米/小时，下坡的骑行速度始终是30千米/小时，上坡的骑行速度始终是20千米/小时，已知该运动员从起点到折返点用时46分钟，从折返点回到起点用时51分钟． (1)求比赛的下坡路程、下坡结束到折返点的平路路程分别是多少千米？ (2)某参赛运动员B骑行时，下坡的速度是上坡速度的2倍，且从起点到折返点的用时比从折返点到终点少用10分钟，求该运动员B骑行时的上坡速度是多少千米/小时？ 14．（西南大学附属中学2022-2023学年九年级下学期期中）4月，正是春暖花开，踏青徒步的好时节，某校初三年级开展了“踏青觅春，走进自然”的春游活动．甲、乙两班都从学校出发沿相同路线去距学校千米的徒步终点，已知甲班的步行速度是乙班的倍．（步行过程为匀速运动） (1)若乙班比甲班先走750米，甲班才开始从学校出发，半小时后两班相遇，则两班的速度分别为多少千米/小时？ (2)若乙班在出发后第一小时内按原计划的速度匀速前进，一小时后将速度提高到与甲班一致，并比原计划提前10分钟到达徒步终点，求乙班到达终点用了多少小时？ 15．（2023年重庆市巴蜀中学校中考二模）五一期间，两骑行爱好者甲和乙相约从A地沿着相同路线骑行到距离A地25千米的B地，已知甲的速度是乙的速度的1.5倍． (1)若乙先骑行2.4千米，甲才开始从A地出发，则甲出发24分钟后追上乙，求甲每小时骑行多少千米？ (2)若乙先骑行50分钟，甲才开始从A地出发，则甲乙同时到达B地，求甲每小时骑行多少千米？ 题型四：其他问题 此类题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程和一元一次不等式是解题的关键． 16．（第一中学校2022-2023学年九年级上学期10月）某山区突发森林大火，在这场与山火的拉锯战中，“以火灭火”的方式助力了阶段性胜利时刻的到来．浴火后的山区，一半青山一半黄，为了还山区一抹绿，志愿者协会组织开展“迎国庆植树活动”，计划种植黄桷树和香樟这两种树． (1)该协会计划种植黄桷树和香樟共5000棵，其中黄桷树的数量比香樟的数量的2倍少1000棵，求计划种植黄桷树多少棵？ (2)在实际种植过程中，为了加快进度，将参与活动的志愿者分成甲、乙两组，甲组负责种植香樟，乙组负责种植黄桷树，其中乙组每小时种植的树苗比甲组多50棵，最终两个小组同时完成任务，求乙组每小时种植的数量． 17．（实验外国语学校2023-2024学年九年级下学期3月）为了深刻践行习近平总书记的“绿水青山就是金山银山”重要思想，某校积极开展植树活动，准备购买甲、乙两种树苗．已知用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵树相同，乙种树苗每棵比甲种树苗便宜6元． （1）求甲、乙两种树苗每棵的价格； （2）若购买这两种树苗共100棵，且费用不超过3800元，则至少购买乙种树苗多少棵？ 18．（珊瑚初级中学校2022-2023学年九年级下学期期中）重庆市某垃圾填埋场生态修复工程全面竣工验收，全国最大垃圾填埋场摇身变为环境优美、空气宜人的生态绿地，实现了城市土地的循环再利用．修复之初，一期工程共有吨垃圾要运走，计划由甲、乙两个工程队运走垃圾．已知甲、乙两个工程队，原计划甲平均每天运走的垃圾比乙平均每天运走的垃圾多，这样甲运走吨垃圾的时间比乙运走剩下垃圾的时间少两天． (1)求原计划甲平均每天运垃圾多少吨？ (2)实际施工时，甲平均每天运走的垃圾比原计划增加了吨，乙平均每天运走的垃圾比原计划增加了，甲、乙合作7天后，甲临时有其他任务，剩下的垃圾由乙再单独工作2天完成．若运走每吨垃圾的运输费用为40元，请求出甲工程队的运输费用． 19．（2022年巴蜀中学九年级下学期三诊）“绿水青山就是金山银山”，重庆市政府为了美化生态环境，给居民创造舒适生活，计划将某滨江路段改建成滨江步道．一期工程共有吨渣土要运走，现计划由甲、乙两个工程队运走渣土．已知甲、乙两个工程队，原计划甲平均每天运走的渣土比乙平均每天运走的渣土多，这样甲运走吨渣土的时间比乙运走剩下渣土的时间少两天． (1)求原计划甲平均每天运渣土多少吨？ (2)实际施工时，甲平均每天运走的渣土比原计划增加了m吨，乙平均每天运走的渣土比原计划增加了，甲、乙合作7天后，甲临时有其他任务；剩下的渣土由乙再单独工作2天完成．若运走每吨渣土的运输费用为元，请求出乙工程队的运输费用． 20．（育才中学2022-2023学年九年级上学期期末）“绿水青山就是金山银山”，重庆市政府为了美化生态环境，给居民创造舒适生活，计划将某滨江路段改建成滨江步道．一期工程共有7000吨渣土要运走，现计划由甲、乙两个工程队运走渣土．已知甲、乙两个工程队，原计划甲平均每天运走的渣土比乙平均每天运走的渣土多，这样甲运走4000吨渣土的时间比乙运走剩下渣土的时间少两天． (1)求原计划甲平均每天运渣土多少吨？ (2)实际施工时，甲平均每天运走的渣土比原计划增加了m吨，乙平均每天运走的渣土比原计划增加了，甲、乙合作7天后，甲临时有其他任务；剩下的渣土由乙再单独工作2天完成．若运走每吨渣土的运输费用为40元，请求出甲工程队的运输费用． （建议用时： 30 分钟） 1．“阅百十风华致生涯广大”值此办学110周年之际，西大附中一大批文创产品惊喜上新，“随行杯”和“盲盒”深受师生喜爱．董老师在“阅见书店”购买了2个“随行杯”和3个“盲盒”，共花费420元，谢老师在“阅见书店”购买了3个“随行杯”和2个“盲盒”，共花费380元． (1)求每个“随行杯”和“盲盒”的售价为多少元？ (2)“阅见书店”的文创产品很快售罄，应广大师生需求，“阅见书店”打算再购进一批“随行杯”和“盲盒”，4500元购进的“随行杯”数量比4500元购进的“盲盒”数量多40个，已知每个“盲盒”成本比每个“随行杯”的成本高，在售价不变的前提下，求这一批“随行杯”和“盲盒”全部售罄的利润为多少元？ 2．重外生物组在学习生物解剖这一章节为了让学生体验实验的乐趣，决定从市场购买成年雌蛙和雄蛙若干供实验使用．经调研发现市场每只雌蛙价格比雄蛙少3元，生物组花费140元购买雌蛙，而购买相同数量的雄蛙则需要200元． (1)则市场雌蛙与雄蛙的售价分别为多少元/只？ (2)为了加大培养学生对生物的兴趣，某班级决定再次购买两种蛙，已知班级有54名学生，若刚好花完500元钱，且每个人至少都有一只蛙可以解剖，则至少购买多少只雌蛙？ 3．火树银花不夜天，璀璨多姿中国年．沙坪坝区某街道计划在部分道路挂上迎春灯饰，已知甲种灯笼每个30元，乙种灯笼每个20元．若采购甲、乙两种灯笼共440个，且这两种灯笼的采购费共为11200元． (1)求采购甲、乙两种灯笼各多少个？ (2)某灯笼供应商为了支持迎春灯饰工作，现将甲、乙两种灯笼都降价a元．但街道在实际采购中分别用于这两种灯笼的采购费将保持不变，且采购甲、乙两种灯笼的数量相同，求a的值． 15 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点03 应用题 应用题是中考数学的必考考点，此类问题一般设为两问，从2014年到2021年该题型皆涉及a%，通过列出与百分比变化对应的方程求解.但从2022年开始考情发生变化，题目不再涉及a%，题目变得常规，整体难度有所下降.2023年考查二元一次方程组及分式方程的结合，难度降低.熟练掌握方程(组)与不等式的相关知识点,增强阅读能力，学会分析题目中的数量关系,找准题干中确定的量并列出关系式。 题型一：销售问题 此类题考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． 1．（24-25九年级上·重庆巴南·期末）取暖器，又称为“冬日里的小太阳”，是南方居民冬天的取暖神器．某商场有A型、B型两款最受顾客喜爱的取暖器，已知每台A型取暖器的售价比每台B型取暖器售价少40元，顾客用1200元购入A型取暖器的数量与用1440元购入B型取暖器的数量相等． (1)每台A型取暖器与每台B型取暖器的售价分别为多少元？ (2)每台B型取暖器的进价为140元，据统计，商场每月卖出B型取暖器60台，新年前夕，为了尽快减少库存，商场决定对B型取暖器进行降价促销活动，调查发现，每台B型取暖器的售价每降低10元，那么平均每月可多售出25台，若商场要想每月销售B型取暖器的利润达到9600元，则每台B型取暖器应降价多少元？ 【答案】(1)A型号取暖器的售价为200元，则B型号取暖器的售价为240元 (2)每台B型取暖器应降价40元 【详解】（1）解：设A型号取暖器的售价为x元，则B型号取暖器的售价为元． 根据题意得：， 解得：， 检验：当时，． 所以，原分式方程的解为． 则B型号取暖器的售价为． 答：A型号取暖器的售价为200元，则B型号取暖器的售价为240元． （2）设每台B型取暖器应降价m元． 根据题意有： 整理得： 解得：， ∵为了尽快减少库存 ∴ 答：每台B型取暖器应降价40元． 2．（珊瑚初级中学校2024-2025学年九年级上学期入学考试）某商家计划购进A，B两种品牌的红酒进行销售，经调查，用30000元购买A品牌红酒的数量是用9000元购买B品牌红酒数量的3倍，一箱A品牌红酒的进价比一箱B品牌红酒的进价多20元． (1)求A，B两种品牌红酒一箱的进价分别为多少元； (2)若该商家购进A，B两种品牌的红酒共210箱进行试销，其中A品牌红酒的数量不多于B品牌红酒数量的2倍，且不少于100箱，已知A品牌红酒的售价为320元/箱，B品牌红酒的售价为280元/箱，且全部售出，设购进A品牌红酒m箱．求商家销售这批红酒的利润P与m之间的关系式，并写出利润最大时的进货方案． 【答案】(1)一箱品牌红酒的进价为200元，一箱品牌红酒的进价为180元 (2)，当商家购进品牌红酒140箱，品牌红酒70箱时，所获利润最大 【详解】（1）设一箱品牌红酒的进价为元，则一箱品牌红酒的进价为元， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解， ， 答：一箱品牌红酒的进价为200元，一箱品牌红酒的进价为180元； （2）由题意得：， 品牌红酒的数量不多于品牌红酒数量的2倍，且不少于100箱， ， 解得， 在中，， 随的增大而增大， 当时，最大， 商家购进品牌红酒140箱，品牌红酒70箱时，所获利润最大． 3．（育才中学2023-2024学年九年级下学期数学开学）商店2月份购进了一批鲜花饼，分为型礼盒和型礼盒，已知用4000元购进型礼盒的数量与用5000元购进型礼盒的数量一样多，其中每盒型礼盒的进价比每盒型礼盒的进价多10元． (1)每盒A型礼盒和B型礼盒的进价分别是多少元？ (2)2月份，该店每盒型礼盒和型礼盒的售价分别为60元和80元，销售量分别为100盒和50盒．3月份，该店调整了销售价格，在上月的基础上，每盒型礼盒的售价增加了5元，此时销售量减少了；每盒型礼盒的售价减少了元，此时销售量增加了，3月份的销售利润为3670元．求的值． 【答案】(1)每盒A型礼盒的进价是40元，每盒B型礼盒的进价是50元 (2)a的值为30 【详解】（1）解：设每盒型礼盒的进价是元，则每盒型礼盒的进价是元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （元）． 答：每盒型礼盒的进价是40元，每盒型礼盒的进价是50元； （2）解：， 整理得：， 解得：． 答：的值为30． 4．（第一中学校2023-2024学年下学期九年级开学）自中欧班列开通以来，重庆与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在重庆采购一批特色商品，经调查，用1600元采购A型商品的件数是用1000元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价少20元． (1)求A、B型商品的进价； (2)该客商计划投入18000元用于购进这两种商品，已知购进A、B两种商品共200件，A型商品的售价为160元/件，B型商品的售价为240元/件，若该客商全部销售完这些商品，则可获得的利润是多少元？ 【答案】(1)一件A型商品的进价为80元，一件B型商品的进价为100元 (2)若该客商全部销售完这些商品，则可获得的利润是22000元 【详解】（1）解：设一件A型商品的进价为x元，则一件B型商品的进价为元， 由题意得：， 解得：, 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：一件A型商品的进价为80元，一件B型商品的进价为100元； （2）解：设购进A种商品m件，购进B种商品n件， 由题意得，， 解得，， 即购进A种商品100件，购进B种商品100件， ∴（元）， 答：若该客商全部销售完这些商品，则可获得的利润是22000元． 5．（西南大学附属中学校九年级下学期中考一诊）去年寒假，哈尔滨成为了全国的热门旅游城市，滑雪运动也渐渐成为了市民们冬季运动的首选，头盔是重要的滑雪装备之一，可分为半盔型和全盔型两种，某滑雪装备专卖店第一次购进了半盔型和全盔型共个，半盔型进价是元，全盔型进价是元，半盔型售价为元，全盔型售价为元． (1)若该店第一次购买两种头盔共花了元，则购买半盔型和全盔型各多少个？ (2)第一批头盔销量不错，该店又购进一批，第二批两种头盔的进价不变，半盔型售价在第一次的基础上涨了元；全盔型售价比第一次降低了元，结果半盔型获得元的利润和全盔型获得元的利润时售卖数量相同，求的值． 【答案】(1)购买半盔型个，全盔型个 (2) 【详解】（1）解：（1）设购买半盔型个，则全盔型个． 由题意得：， 解得 故半盔型个，全盔型为：． 答：购买半盔型个，全盔型个． （2）第二批半盔型涨价后，一个半盔型的获利为， 全盔型降价后，一个全盔型的获利为， 根据题意可得， 解得： 经检验，为原方程的解，且符合题意． 故． 题型二：工程问题 此类问题考查二元一次方程组和分式方程的实际应用．理解题意，找出等量关系是解题关键，工程问题中的等量关系是工作时间×工作效率=工作量，一般以工作量作为等量关系。 6．（第八中学2023-2024学年下期九年级开学）某工厂生产某种罐头食品的外包装铁质罐头盒． (1)一个罐头盒是由一个盒身和两个盒底构成，用1张铁皮可做35个盒身或60个盒底，现有260张铁皮，用多少张做盒身，多少张做盒底才能使盒身与盒底恰好配套？ (2)甲、乙两个车间接到任务生产一批罐头盒，若甲车间单独完成，则需要比规定工期多用3天；若乙车间单独完成，则需要比规定工期少用2天；若甲、乙两车间合作5天，剩下的由甲车间单独完成，则比规定工期提前3天完成．问甲车间单独生产完这批罐头盒的时间为多少天？ 【答案】(1)120张做盒身，140张做盒底 (2)甲单独完成需要30天 【详解】（1）解：设用x张做盒身，y张做盒底，根据题意，得 ， 解得：， 答∶用120张做盒身，140张做盒底才能使盒身与盒底恰好配套． （2）解：设甲单独完成需要m天，根据题意，得 ， 解得： 经检验：是该分式方程的解，符合题意， 答：甲单独完成需要30天． 7．（西南大学附属中学校2024-2025学年九年级上学期11月）我校综纷艺术节即将拉开帷幕，学校准备在一文创厂家定制个布艺文化袋发放给师生，该厂家甲车间每天可生产个布艺文化袋，乙车间每天可生产个布艺文化袋，甲车间先单独工作4天后，乙车间加入一起赶工． (1)该厂家完成这批布艺文化袋一共需要多少天？ (2)甲车间按原生产效率单独生产4天后，由于时间紧迫，两个车间改进了生产工艺，并且平分了剩下的生产任务，改进后甲、乙两车间每天生产布艺文化袋的数量之比为．两个车间各自完成剩下生产任务的天数之和为天，问改进工艺后甲车间每天生产多少个布艺文化袋？ 【答案】(1)该厂家完成这批布艺文化袋一共需要天 (2)改进工艺后甲车间每天生产个布艺文化袋． 【详解】（1）解∶设该厂家完成这批布艺文化袋一共需要x天，则 ． 解得∶． 答∶ 该厂家完成这批布艺文化袋一共需要天． （2）解∶设改进工艺后甲车间每天生产个布艺文化袋，乙车间每天生产个布艺文化袋． 甲车间按原生产效率单独生产4天后还剩∶(个)，每个车间完成 (个) 由题意得∶， 解得∶， 经检验∶是原分式方程的解，且符合题意． 甲车间每天生产 (个)． 答∶ 改进工艺后甲车间每天生产个布艺文化袋． 8．（重庆南开(融侨)中学校2022-2023学年九年级下学期3月）重庆巴蜀古代建筑博物馆位于沙坪坝区，是川渝地区首座国有古代建筑类专题博物馆．博物馆馆藏文物千余件，主要为木质、石质、砖雕等建筑构件．市政府计划对该博物馆进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成，已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队单独完成该改造计划比乙队单独完成该计划少用4天． (1)甲、乙两队单独完成该计划分别需要多少天？ (2)若甲队工作一天需付费用8万元，乙队工作一天需付费用6万元，由于项目原因，甲队先做了几天后，由乙队接着将改造计划完成，最后改造费用不超过67万元，甲队至少做了多少天？ 【答案】(1)甲队单独完成该计划需要8天，乙队单独完成该计划需要12天 (2)5天 【详解】（1）解：设乙队单独完成该计划需要x天，则甲队单独完成该计划需要天，根据题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 此时， 答：甲队单独完成该计划需要8天，乙队单独完成该计划需要12天； （2）解：设甲队做了m天，则乙队做了天，根据题意得： ， 解得：， 答：甲队至少做了5天． 9．（2024年重庆实验外国语学校九年级中考三模）近年来，城市更新行动速度在加快，保障和改善民生的步伐也在加快，人民群众获得感、幸福感、安全感不断提升．某社区在改造中，恢复重现了居民记忆深处的电影院坡坡、戏水河沟、游园坝坝等，新设计了系列文化景观，构建起一个“文化生态”空间． (1)第一期的改造工程面积为88平方米，由甲、乙两人先后接力完成，若甲每天可完成10平方米，乙每天可完成8平方米，共用时10天完成，求甲、乙两人分别工作了多少天？ (2)由于居民对第一期文化改造工程反映很好，引来了不少市民打卡参观．社区计划在A处建造400平方米文化宣传墙，由丙工程队负责；在B处建造160平方米的文化宣传墙，由丁工程队负责．若丙每天可完成的工作量比丁每天可完成的工作量多5平方米，丙完成的时间是丁完成时间的2倍，求丙、丁每天可完成的工作量分别是多少平方米？ 【答案】(1)甲工作了4天，乙工作了6天 (2)丙每天可完成的工作量是25平方米，丁每天可完成的工作量是20平方米 【详解】（1）解：设甲工作了天，乙工作了天， 由题意得：， 解得：， 答：甲工作了4天，乙工作了6天； （2）设丙每天可完成的工作量是平方米，则丁每天可完成的工作量是平方米， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：丙每天可完成的工作量是25平方米，丁每天可完成的工作量是20平方米． 10．（2024年重庆市巴蜀中学九年级下学期第一次模拟）2021年以来，重庆陆续开工渝万、成达万、成渝中线、西渝高铁，加上续建的渝昆、渝湘高铁重庆至黔江段，“米”字形高铁网全面铺开．甲、乙两工程队承接某段高铁隧道挖掘工程．已知甲工程队每天的挖掘长度是乙工程队每天挖掘长度的1.5倍，并且挖掘240米的高铁隧道甲工程队比乙工程队少用4天． (1)求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘多少米的隧道？ (2)已知甲工程队每天的挖掘费用为6万元，乙工程队每天的挖掘费用为3万元，若该段隧道挖掘工程为700米，安排甲队工作若干天后由乙队接收剩余的工程，而总费用不高于115万元，最多能安排甲工程队挖掘多少天？（挖掘天数为整数） 【答案】(1)甲工程队每天挖30米隧道，乙工程队每天挖20米隧道 (2)最大为6 【详解】（1）解：设乙工程队每天挖米隧道，则甲工程队每天挖米隧道． ， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， 答：甲工程队每天挖30米隧道，乙工程队每天挖20米隧道； （2）解：设安排甲工程队挖掘天。 整理得，   ∴ 为整数   最大为6 题型三：行程问题 此类题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程组，找到不等关系列出不等式是解题的关键，行程问题中一般以时间或路程为等量关系，求出速度是解题关键。 11．（育才中学2022-2023学年九年级数学上学期二模）九龙坡区有七条特色的山城步道，不仅景色宜人，而且各有特色．中梁山云岭森林公园是主城区首个全开放式无围墙森林公园，公园里有一条长的登山步道，学校两个登山小队组织周末登山活动，计划沿步道登山，若两队同时出发，第一队的登山速度是第二队登山速度的倍，他们比第二队早40分钟到达步道终点． (1)两个小队的登山速度各是多少千米/小时？ (2)到达步道终点后，第一队队长小明继续沿着另一条山路登山，直至山顶．在他从山路登山开始的前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多登山2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在山路登山到山顶的过程中小明共消耗1050卡路里热量，小明从山路登山直至山顶共用多少分钟？ 【答案】(1)第一队的登山速度为3千米/小时， 第二队的登山速度为千米/小时 (2)60分钟 【详解】（1）解；设第二队的登山速度为x千米/小时，则第一队的登山速度为千米/小时， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴第一队的登山速度为3千米/小时， 第二队的登山速度为千米/小时； （2）解：小明从山路登山直至山顶共用m分钟， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：小明从山路登山直至山顶共用60分钟． 12．（2024·重庆江津·二模）甲、乙两名同学是骑行爱好者，相约从学校出发，沿相同路线骑车去距离学校的黄庄观赏油菜花，乙速度是甲速度的1.5倍． (1)若甲先行驶，乙才开始从学校出发，乙出发后追上甲，求乙每小时行驶多少千米？ (2)若甲先出发，乙才开始从学校出发，两人同时到达黄庄，求乙每小时行驶多少千米？ 【答案】(1)乙每小时行驶 (2)乙每小时行驶 【分析】此题考查了一元一次方程和分式方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）设甲每小时行驶，根据路程相等列出方程，解方程即可； （2）设甲每小时行驶，根据时间关系列出方程，解方程并检验即可得到答案． 【详解】（1）设甲每小时行驶， 由题意得： 解得， 则 答：乙每小时行驶； （2）设甲每小时行驶，由题意得 解得 经检验，是原分式方程的根 答：乙每小时行驶 13．（八中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考）某城市自行车赛线路为从起点出发，先骑行一段缓下坡路，再骑行一段平路到达折返点，然后从折返点沿原路线返回起点（起点即终点）．假定某运动员A在平路上骑行的速度始终是25千米/小时，下坡的骑行速度始终是30千米/小时，上坡的骑行速度始终是20千米/小时，已知该运动员从起点到折返点用时46分钟，从折返点回到起点用时51分钟． (1)求比赛的下坡路程、下坡结束到折返点的平路路程分别是多少千米？ (2)某参赛运动员B骑行时，下坡的速度是上坡速度的2倍，且从起点到折返点的用时比从折返点到终点少用10分钟，求该运动员B骑行时的上坡速度是多少千米/小时？ 【答案】(1)比赛的下坡路程、下坡结束到折返点的平路路程分别是5千米、15千米 (2)该运动员B骑行时的上坡速度是15千米/小时 【详解】（1）设比赛的下坡路程、下坡结束到折返点的平路路程分别是x千米、y千米． 根据题意，得：， 解这个方程组，得， 答：比赛的下坡路程、下坡结束到折返点的平路路程分别是5千米、15千米； （2）该运动员B骑行时的上坡速度是a千米/小时． 根据题意，得：， 解这个方程，得， 经检验，是原方程的解， 答：该运动员B骑行时的上坡速度是15千米/小时． 14．（西南大学附属中学2022-2023学年九年级下学期期中）4月，正是春暖花开，踏青徒步的好时节，某校初三年级开展了“踏青觅春，走进自然”的春游活动．甲、乙两班都从学校出发沿相同路线去距学校千米的徒步终点，已知甲班的步行速度是乙班的倍．（步行过程为匀速运动） (1)若乙班比甲班先走750米，甲班才开始从学校出发，半小时后两班相遇，则两班的速度分别为多少千米/小时？ (2)若乙班在出发后第一小时内按原计划的速度匀速前进，一小时后将速度提高到与甲班一致，并比原计划提前10分钟到达徒步终点，求乙班到达终点用了多少小时？ 【答案】(1)甲班的步行速度为，乙班的步行速度为 (2)乙班到达终点用了小时 【详解】（1）解：设乙班的步行速度为，则甲班的步行速度为， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：甲班的步行速度为，乙班的步行速度为． （2）设乙班原计划的速度为， 则， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合实际， ∴， 答：乙班到达终点用了小时． 15．（2023年重庆市巴蜀中学校中考二模）五一期间，两骑行爱好者甲和乙相约从A地沿着相同路线骑行到距离A地25千米的B地，已知甲的速度是乙的速度的1.5倍． (1)若乙先骑行2.4千米，甲才开始从A地出发，则甲出发24分钟后追上乙，求甲每小时骑行多少千米？ (2)若乙先骑行50分钟，甲才开始从A地出发，则甲乙同时到达B地，求甲每小时骑行多少千米？ 【答案】(1)甲每小时骑行18千米 (2)甲每小时骑行15千米 【详解】（1）解：设乙每小时骑行千米，则甲每小时骑行千米， 依题意得：， 解得：， ∴， 答：甲每小时骑行18千米； （2）解：设乙每小时骑行千米，则甲每小时骑行1.5y千米， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲每小时骑行15千米． 题型四：其他问题 此类题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程和一元一次不等式是解题的关键． 16．（第一中学校2022-2023学年九年级上学期10月）某山区突发森林大火，在这场与山火的拉锯战中，“以火灭火”的方式助力了阶段性胜利时刻的到来．浴火后的山区，一半青山一半黄，为了还山区一抹绿，志愿者协会组织开展“迎国庆植树活动”，计划种植黄桷树和香樟这两种树． (1)该协会计划种植黄桷树和香樟共5000棵，其中黄桷树的数量比香樟的数量的2倍少1000棵，求计划种植黄桷树多少棵？ (2)在实际种植过程中，为了加快进度，将参与活动的志愿者分成甲、乙两组，甲组负责种植香樟，乙组负责种植黄桷树，其中乙组每小时种植的树苗比甲组多50棵，最终两个小组同时完成任务，求乙组每小时种植的数量． 【答案】(1)3000棵 (2)150棵 【详解】（1）解：设计划种植香樟x棵，则计划种植黄桷树棵， 则有：， 解得：， ∴ 答：计划种植黄桷树3000棵． （2）设乙组每小时种植的数量为y棵，则甲每小时种植的数量为棵， 则有， 解得：， 经检验，是原方程的根，且符合题意， 答：乙组每小时种植的数量为150棵． 17．（实验外国语学校2023-2024学年九年级下学期3月）为了深刻践行习近平总书记的“绿水青山就是金山银山”重要思想，某校积极开展植树活动，准备购买甲、乙两种树苗．已知用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵树相同，乙种树苗每棵比甲种树苗便宜6元． （1）求甲、乙两种树苗每棵的价格； （2）若购买这两种树苗共100棵，且费用不超过3800元，则至少购买乙种树苗多少棵？ 【答案】（1）甲种树苗每棵40元，乙种树苗每棵34元；（2）至少购买乙种树苗34棵 【详解】解：（1）设甲种树苗每棵x元，则乙种树苗每棵（x－6）元 由题意得： 解得x＝40 经检验x＝40是原方程的解 答：甲种树苗每棵40元，乙种树苗每棵34元． （2）设购买乙种树苗y棵，则购买甲种树苗（100－y）棵 40（100－y）＋34y≤3800 为正整数，的最小值是 答：至少购买乙种树苗34棵 18．（珊瑚初级中学校2022-2023学年九年级下学期期中）重庆市某垃圾填埋场生态修复工程全面竣工验收，全国最大垃圾填埋场摇身变为环境优美、空气宜人的生态绿地，实现了城市土地的循环再利用．修复之初，一期工程共有吨垃圾要运走，计划由甲、乙两个工程队运走垃圾．已知甲、乙两个工程队，原计划甲平均每天运走的垃圾比乙平均每天运走的垃圾多，这样甲运走吨垃圾的时间比乙运走剩下垃圾的时间少两天． (1)求原计划甲平均每天运垃圾多少吨？ (2)实际施工时，甲平均每天运走的垃圾比原计划增加了吨，乙平均每天运走的垃圾比原计划增加了，甲、乙合作7天后，甲临时有其他任务，剩下的垃圾由乙再单独工作2天完成．若运走每吨垃圾的运输费用为40元，请求出甲工程队的运输费用． 【答案】(1)原计划甲平均每天运垃圾吨 (2)甲工程队的运输费用为元 【详解】（1）解：设原计划乙平均每天运垃圾吨，则甲平均每天运垃圾吨， 根据题意得：， 解得， 经检验是原方程的解且符合题意， 则， 答：原计划甲平均每天运垃圾吨． （2）解：根据题意得： ， 解得， 则， 答：甲工程队的运输费用为元． 19．（2022年巴蜀中学九年级下学期三诊）“绿水青山就是金山银山”，重庆市政府为了美化生态环境，给居民创造舒适生活，计划将某滨江路段改建成滨江步道．一期工程共有吨渣土要运走，现计划由甲、乙两个工程队运走渣土．已知甲、乙两个工程队，原计划甲平均每天运走的渣土比乙平均每天运走的渣土多，这样甲运走吨渣土的时间比乙运走剩下渣土的时间少两天． (1)求原计划甲平均每天运渣土多少吨？ (2)实际施工时，甲平均每天运走的渣土比原计划增加了m吨，乙平均每天运走的渣土比原计划增加了，甲、乙合作7天后，甲临时有其他任务；剩下的渣土由乙再单独工作2天完成．若运走每吨渣土的运输费用为元，请求出乙工程队的运输费用． 【答案】(1)原计划甲平均每天运渣上吨 (2)乙工程队的运输费用为元 【详解】（1）解：设原计划乙平均每天运渣土x吨，则甲平均每天运渣土吨， 根据题意得：， 解得， 经检验是原方程的解且符合题意， 则， 答：原计划甲平均每天运渣上吨． （2）解：根据题意得： ， 解得， 则， 答：乙工程队的运输费用为元． 20．（育才中学2022-2023学年九年级上学期期末）“绿水青山就是金山银山”，重庆市政府为了美化生态环境，给居民创造舒适生活，计划将某滨江路段改建成滨江步道．一期工程共有7000吨渣土要运走，现计划由甲、乙两个工程队运走渣土．已知甲、乙两个工程队，原计划甲平均每天运走的渣土比乙平均每天运走的渣土多，这样甲运走4000吨渣土的时间比乙运走剩下渣土的时间少两天． (1)求原计划甲平均每天运渣土多少吨？ (2)实际施工时，甲平均每天运走的渣土比原计划增加了m吨，乙平均每天运走的渣土比原计划增加了，甲、乙合作7天后，甲临时有其他任务；剩下的渣土由乙再单独工作2天完成．若运走每吨渣土的运输费用为40元，请求出甲工程队的运输费用． 【答案】(1)原计划甲平均每天运渣土500吨； (2)甲工程队的运输费用15400元 【详解】（1）解：设原计划乙平均每天运渣土吨，则原计划甲平均每天运渣土吨， 由题意得： ， 解得，， 经检验是原方程的解，且符合题意， 则， 答：原计划甲平均每天运渣土500吨； （2）解：由题意得： ， 解得，， （元， 答：甲工程队的运输费用15400元． （建议用时： 30 分钟） 1．“阅百十风华致生涯广大”值此办学110周年之际，西大附中一大批文创产品惊喜上新，“随行杯”和“盲盒”深受师生喜爱．董老师在“阅见书店”购买了2个“随行杯”和3个“盲盒”，共花费420元，谢老师在“阅见书店”购买了3个“随行杯”和2个“盲盒”，共花费380元． (1)求每个“随行杯”和“盲盒”的售价为多少元？ (2)“阅见书店”的文创产品很快售罄，应广大师生需求，“阅见书店”打算再购进一批“随行杯”和“盲盒”，4500元购进的“随行杯”数量比4500元购进的“盲盒”数量多40个，已知每个“盲盒”成本比每个“随行杯”的成本高，在售价不变的前提下，求这一批“随行杯”和“盲盒”全部售罄的利润为多少元？ 【答案】(1)每个随行杯”售价为60元，每个“盲盒”售价为100元 (2)这一批“随行杯”和“盲盒”全部售罄的利润为1400元 【详解】（1）解：设每个“随行杯”售价为元，每个“盲盒”售价为元．根据题意列方程组： 解得：． 答：每个随行杯”售价为60元，每个“盲盒”售价为100元； （2）解：设“随行杯”的成本为元，则“盲盒”的成本为元．根据题意列方程： 解得：， 经检验是原方程的解， 故“盲盒”成本为元， 所以“随行杯”数量：（个），“盲盒”数量：（个）， 则每个“随行杯”利润：（元）．每个“盲盒”利润：（元）， 则总利润：（元）， 答：这一批“随行杯”和“盲盒”全部售罄的利润为1400元． 2．重外生物组在学习生物解剖这一章节为了让学生体验实验的乐趣，决定从市场购买成年雌蛙和雄蛙若干供实验使用．经调研发现市场每只雌蛙价格比雄蛙少3元，生物组花费140元购买雌蛙，而购买相同数量的雄蛙则需要200元． (1)则市场雌蛙与雄蛙的售价分别为多少元/只？ (2)为了加大培养学生对生物的兴趣，某班级决定再次购买两种蛙，已知班级有54名学生，若刚好花完500元钱，且每个人至少都有一只蛙可以解剖，则至少购买多少只雌蛙？ 【答案】(1)雌蛙的售价为7元/只，雄蛙的售价为10元/只 (2)20只 【详解】（1）解：设雌蛙的售价为元/只，则雄蛙的售价为元/只， 由题意得，， 解得：， 经检验，是原方程的解， 则． 答：雌蛙的售价为7元/只，雄蛙的售价为10元/只． （2）解：设购买只雌蛙，只雄蛙， 由题意得，， ， 又为整数， 是10的倍数， 当时，，此时，不符合题意； 当时，，此时，不符合题意； 当时，，此时，符合题意； 答：至少购买20只雌蛙． 3．火树银花不夜天，璀璨多姿中国年．沙坪坝区某街道计划在部分道路挂上迎春灯饰，已知甲种灯笼每个30元，乙种灯笼每个20元．若采购甲、乙两种灯笼共440个，且这两种灯笼的采购费共为11200元． (1)求采购甲、乙两种灯笼各多少个？ (2)某灯笼供应商为了支持迎春灯饰工作，现将甲、乙两种灯笼都降价a元．但街道在实际采购中分别用于这两种灯笼的采购费将保持不变，且采购甲、乙两种灯笼的数量相同，求a的值． 【答案】(1)采购甲种灯笼240个，乙种灯笼200个 (2)a的值为 【详解】（1）解：设采购甲种灯笼x个，则采购乙种灯笼个． 根据题意，得， 解得． ． 答：采购甲种灯笼240个，乙种灯笼200个． （2）由（1）得，甲种灯笼的采购费用为：元， 乙种灯笼的采购费用为：元． 根据题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解且符合题意． 答：a的值为． 15 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$