专题04 有理数的混合运算问题的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材鲁教版五四制六年级上册

**基本信息** 以“解题通法-题型归纳-压轴挑战”为框架，系统提炼有理数混合运算的核心方法，构建从基础运算到实际应用的知识逻辑链，培养运算能力与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1（含3要点）|运算顺序“先乘方再乘除后加减”，运算律简化，符号与易错点提醒|从运算规则到错误规避，奠定基础| |题型归纳|5类（每类1典例+3变式）|乘除混合（除法转乘法）、简便运算（拆项法）、含乘方（底数符号区分）、错题复原（错因分析）、实际应用（情境转化）|从单一运算到综合应用，层层递进| |压轴挑战|13题（选择4+填空4+解答5）|新定义运算、跨学科情境、复杂算式转化|对接中考命题，提升思维上限|

专题04 有理数的混合运算问题的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、有理数的乘除混合运算 题型二、有理数的简便运算 题型三、含乘方的有理数混合运算 题型四、有理数混合运算错题复原问题 题型五、有理数运算的实际应用问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：含加、减、乘、除、乘方及括号的有理数综合算式，考查运算顺序与法则。 - 解题方法：遵循“先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内”；利用运算律（交换、结合、分配）简化计算；带分数化为假分数，小数化分数。 - 易错提醒：符号处理失误（特别是负数的乘方与乘法）；混淆(-2)4与-24；去括号时漏变号；除法未化为乘法再约分；运算顺序颠倒。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、有理数的乘除混合运算 典例1（25-26七年级上·四川绵阳·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查有理数的乘除法混合运算： （1）将小数化为分数，将带分数化为假分数，化除为乘再计算即可； （2）将带分数化为假分数，化除为乘再计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 题型模版 1.特征：含乘除法及括号，需按从左到右顺序，先确定符号再计算绝对值。 2.方法：先将除法转化为乘法，再统一约分；符号由负因数的个数决定（奇数个负号为负）。 变式1-1（25-26七年级上·重庆渝北·期中）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则，是解题的关键： （1）除法变乘法，约分化简即可； （2）利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 变式1-2（25-26七年级上·四川广元·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数乘除混合运算和利用运算律简便计算，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）先把除法统一成乘法，再按有理数乘法法则计算即可； （2）先把改写成，再按乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 变式1-3（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先把带分数化为假分数，再化除为乘，然后按照有理数乘法运算法则进行计算即可． （2）先把带分数化为假分数，再化除为乘，然后按照有理数乘法运算法则进行计算即可． （3）先化除为乘，然后按照有理数乘法运算法则进行计算即可． （4）先去括号，再化除为乘，然后按照有理数乘法运算法则进行计算即可． 本题考查了有理数的乘除混合运算，正确掌握相关的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 题型二、有理数的简便运算 典例2（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的除法运算，能够进行简便计算是解题的关键． （1）先将原式转化为，再利用乘法分配律进行简便运算； （2）先将原式转化为，再利用乘法分配律进行简便运算． 【详解】（1）解： ； （2） ． 题型模版 1.特征：利用运算律（交换、结合、分配）简化计算，减少繁琐步骤。 2.方法：先观察式子结构，用加法交换律、乘法分配律等凑整或抵消，再按常规顺序计算。 变式2-1（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）阅读下面文字： 对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加法，正确理解拆项法，把带分数拆成整数与分数两个部分是解题的关键． 根据拆项法的定义，先把带分数拆成整数与分数两个部分，然后分别进行计算即可． 【详解】解　原式 变式2-2（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）先阅读理解第（1）小题的计算方法，再计算第（2）小题． （1）计算： 解：原式 上面的计算方法叫做拆项法． （2）请用拆项法计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算．根据（1）的拆项法即可解答本题． 【详解】解： ． 变式2-3（25-26七年级上·四川成都·开学考试）用适当方法计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将原式拆分为两部分求和，分别计算后作差得结果； （2）先化简找出规律，再用裂项相消法抵消中间项，计算剩余项得结果． 【详解】（1）解： ∵，，，，共项，和为， ，，，，共项，和为， ∴原式； （2）解：对于第项，， ∴分母乘积为， ∴第项为， ∴ ． 题型三、含乘方的有理数混合运算 典例3（25-26七年级上·重庆九龙坡·周测）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算乘方和括号里的运算，再算乘法，最后算减法即可； （2）先计算乘方和绝对值，再算乘除，最后加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 题型模版 1.特征：包含乘方、乘除、加减及括号，需按“先乘方，再乘除，后加减”顺序。 2.方法：先算乘方，再算乘除，最后加减；有括号先算括号内，注意符号和底数区分。 变式3-1（25-26七年级下·辽宁盘锦·开学考试）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式3-2（25-26七年级上·湖南怀化·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式先计算乘方，再计算括号内的，然后计算乘法，最后计算减法即可； （2）原式先计算乘方，再计算括号内的，然后计算乘法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式3-3（25-26九年级上·山东青岛·期中）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先计算乘方和乘除法，再计算加减法即可； （2）先计算乘方和括号内通分作差，再计算乘法，最后计算加减法即可； （3）先计算括号内减法和乘方，将除法化为乘法，再计算连乘即可． 【详解】（1） 解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型四、有理数混合运算错题复原问题 典例4（25-26七年级上·江西赣州·期中）老师在黑板上写了一道计算题： 计算： 下面是小丽的解答过程： 解：原式（第一步） （第二步） ．（第三步） (1)小丽的解答过程从第_______步开始是错误的． (2)请你写出这道题正确的解答过程． 【答案】(1)二 (2)27 【分析】本题考查有理数的四则运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据题目中的解答过程可以解答； （2）先算括号内的式子，然后将除法转化为乘法，再根据乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：小丽的解答过程从第二步开始是错误的，错误的原因是没有按照运算顺序计算， 故答案为：二； （2）解： ． 题型模版 1.特征：给出错误运算过程或结果，需找出错因并改正，培养检查习惯。 2.方法：按正确顺序逐步验算，对比错误步骤，指出符号、顺序或约分错误，重新计算得正确结果。 变式4-1（25-26七年级上·广东惠州·期末）方方和圆圆两位同学计算的过程如下： 方方： ① ② ③ 圆圆： ① ② ③ (1)以上计算过程中，方方开始出错的是第________步，圆圆开始出错的是第________步（填序号）； (2)写出你的计算过程． 【答案】(1)①；② (2) 解： 【分析】（1）方方第一步在计算时出错了，结果应为；圆圆在第二步计算乘除时，没有按照同级运算从左往右的顺序进行计算； （2）先计算乘方，再从左到右进行乘除运算的顺序计算，最后算加减即可求解． 【详解】（1）解：∵方方第一步在计算时出错了，结果应为， ∴方方开始出错的是第①步， ∵圆圆在第二步计算乘除时，没有按照同级运算从左往右的顺序进行计算， ∴圆圆开始出错的是第②步． （2）略 变式4-2（25-26七年级上·山西太原·阶段检测）老师在黑板上出了一道有理数的混合运算题：．下面是小丽的解答过程： 解：第一步 第二步 第三步 第四步 ．第五步 任务1：小丽的解答过程共存在_________处错误，分别是_________； 任务2：第二处错误的错误原因是_________； 任务3：请你写出正确的解答结果_________； 任务4：请根据平时的学习经验，就乘方运算给出一些运算时的注意事项，从而尽量避免运算错误．（一条即可） 【答案】任务一：两，第一步和第四步；任务二：是同级运算，没有按照从左往右的运算顺序进行运算；任务三：；任务四：看清底数的正负，明确结果的正负 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟知其原运算法则． 根据有理数的混合运算法则即可求解． 【详解】解：任务1，小丽的解答过程共存在两处错误，分别是第一步和第四步； 任务2，是同级运算，没有按照从左往右的运算顺序进行运算； 任务3， ； 任务4：看清底数的正负，明确结果的正负． 变式4-3（25-26七年级上·福建厦门·阶段检测）在学习《有理数》时，陈老师布置同学们计算课本第页第（）题：，下面是小凯和小丽的计算过程： 小凯： 解：原式 第一步 第二步 第三步 第四步 小丽： 解：原式 (1)请你指出这两个人的错误各自在第几步：小凯错误在第___________步，小丽的错误在第___________步； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)一，三； (2)． 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （）小凯第一步计算乘方时没有考虑负号，小丽第三步没有先计算除法； （）按照先乘方，再乘除，最后加减的顺序进行计算即可． 【详解】（1）解：小凯第一步计算乘方时没有考虑负号，小丽第三步没有先计算除法， 故答案为：一，三； （2）解： ． 题型五、有理数运算的实际应用问题 典例5（25-26六年级上·山东泰安·期中）2023年9月23日至10月8日，杭州成功举办第19届亚运会.在前期准备中，各个部门不断调试，某检修小组驾车从地出发，在东西方向公路上检修线路.如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，某一天中行驶记录如下（单位：）：，，，，，． (1)检修小组最终停在距A地多远的地方？ (2)若汽车每千米耗油0.15升，当天从出发到收工回到地共耗油多少升？若油价为8元/升，该检修小组这一天的油费是多少？ (3)若该检修小组使用新能源汽车，该新能源汽车每行驶耗电12度，且使用充电桩充电的价格是每度电1.5元，那么该汽车这天的耗电费用约为多少元？ 【答案】(1)检修小组最终停在距地2千米的地方 (2)当天从出发到收工回到地共耗油6.3升，该检修小组这一天的油费是50.4元 (3)该汽车该天的耗电费用约为7.56元 【分析】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义，将各数相加并计算即可； （2）根据绝对值的实际意义，将各数及（1）中求得的结果的绝对值相加并计算求得总路程，然后将其与0.15相乘并计算求得耗油量，最后把它与8相乘求得油费即可； （3）结合（2）中所求结果列式计算即可． 【详解】（1）解： （千米）， 答：检修小组最终停在距地2千米的地方. （2）解： （千米）， （千米）， （升）， （元）， 答：当天从出发到收工回到地共耗油6.3升，该检修小组这一天的油费是50.4元； （3）解：该新能源汽车每行驶100km耗电12度， 行驶耗电（度）， 该汽车该天的耗电费用约为（元） 题型模版 1.特征：将现实情境（如盈亏、温度变化、库存）转化为有理数运算，求结果。 2.方法：读懂题意，提取正负数表示变化量，按运算顺序列式，计算得实际数值并解释含义。 变式5-1（25-26七年级上·山东聊城·期中）2025年9月3日阅兵式现场，中央广播电视总台设置170个直播机位、850多个分镜头，凭借国产8K超高清转播系统创新视角拍摄，借助一系列特种拍摄设备创造震撼视觉，不少直播“神级镜头”引得网友连连赞叹．其中，在长安街和天安门广场周围启用的高点索道拍摄系统，是通过索道实现摄像机东西滑行，摄像头转向进行拍摄，全景展现受阅部队的昂扬风貌和威武声势…… 下表是当天一台高点索道系统的摄像机连续八次东西滑行的情况记录，规定以天安门广场中轴线为基准，向东滑行记为正，向西滑行记为负． 次序 1 2 3 4 5 6 7 8 滑行情况 (1)根据表中记录，这台摄像机连续滑行八次后在天安门广场的哪个位置？ (2)这台摄像机八次滑行总距离是多少米？ 【答案】(1)在天安门广场中轴线西侧7米处 (2)353米 【分析】（1）计算滑行距离的和，正表示向东，负表示向西，0表示回到原来位置解答即可； （2） 计算变化量的绝对值即可． 本题考查了正负数的实际应用，绝对值的应用，有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减混合运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： （米） 答：在天安门广场中轴线西侧7米处． （2）解： （米） 答：这台摄像机八次滑行总距离是353米． 变式5-2（25-26七年级上·湖北荆州·期中）某超市以每斤8元的价格，购进了200斤火龙果．为了合理定价，在前5天试行机动价格，卖出时每斤以10元为标准，超出10元的部分记为正，不足10元的部分记为负，超市记录这5天火龙果的售价情况和售出情况： 第几天 一 二 三 四 五 每斤价格相对于标准价格 0 售出斤数 15 18 22 26 34 (1)这5天里超市售出的火龙果，单价最高与最低价格相差多少元？ (2)这5天超市出售的火龙果收益是多少元？（盈利或亏损的钱数） (3)5天后，部分火龙果开始出现变质，超市选取5天中单日销售量最高的那天售价，卖掉剩余的火龙果，求超市购进全部火龙果的总收益是多少元？ 【答案】(1)相差4元 (2)获益299元 (3)获益384元 【分析】本题考查正负数的应用和有理数的混合运算，理解表格数据是解题关键． （1）直接计算最高与最低单价差； （2）计算每天每斤利润乘以售出斤数再求和； （3）先计算前5天售出总量，得剩余斤数，再以销售量最高那天的售价卖出剩余火龙果，计算该部分收益，与前5天收益相加得总收益． 【详解】（1）解：单价最高为第1天元， 最低为第5天元， 相差元． （2）解：第1天利润元， 第2天利润元， 第3天利润元， 第4天利润元， 第5天利润元， 总收益元， 答：这5天获益299元． （3）解：前5天售出斤， 剩余斤， 销售量最高为第5天，售价元， 剩余部分利润元， 总收益元， 答：总收益获益384元． 变式5-3（25-26七年级上·广西崇左·期中）某水果批发店购进柿子售卖，原计划每天卖500柿子，由于种种原因，实际每天的销售量与计划的销售量相比有出入，下表是该水果批发店一周的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)水果批发店星期六实际销售柿子______； (2)根据表中的数据可知前三天共卖出柿子______； (3)若水果批发店以5元/的价格购进柿子，又按6.2元/kg出售柿子，且水果批发店需按0.5元/的价格支付柿子的运费，求水果批发店这七天一共赚了多少元？ 【答案】(1)410 (2)1572 (3)2331元 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的混合运算，正确进行计算是解题关键． （1）星期六实际销售柿子的重量为计划销售量加上差值，由此进行计算即可； （2）用前三天的计划量，加上三天的差值即可； （3）首先计算每天实际销售量与计划量差值的总和，再计算原计划一周销售柿子：，那么实际一周销售柿子：． 每千克柿子的利润为售价减去进价再减去运费，最后可得答案． 【详解】（1）解：已知原计划每天卖柿子，星期六与计划量的差值为，用那么星期六实际销售柿子的重量为计划销售量加上差值，即． 故答案为：410； （2）解：星期一实际销售柿子：； 星期二实际销售柿子：； 星期三实际销售柿子：； 所以前三天共卖出柿子：． 故答案为：1572； （3）解：首先计算每天实际销售量与计划量差值的总和： 原计划一周销售柿子：， 那么实际一周销售柿子：． 每千克柿子的利润为售价减去进价再减去运费，即元． 所以这七天一共赚的钱数为：． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（2026·吉林长春·模拟预测）计算的结果是（     ） A．1 B．3 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据有理数减法法则计算即可得到结果． 【详解】解： 2．（24-25七年级上·广东茂名·期末）下列运算错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A、B、D的运算结果均正确，不符合题意； ，选项C运算错误，符合题意． 3．（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数的加减法运算法则计算判断A，B，再根据有理数的除法计算判断C，然后根据有理数的乘方解答D． 【详解】解：因为，所以A不正确； 因为，所以B不正确； 因为，所以C正确； 因为，所以D不正确． 4．（2026·四川攀枝花·中考真题）“快乐数”是指将正整数的每一位数字平方后相加，得到的新数再重复这一过程，最后结果为1的数．以“快乐数”70为例：，则下列数中不是“快乐数”的是（     ） A．3 B．7 C．13 D．31 【答案】A 【分析】根据“快乐数”的定义，对各选项依次重复计算每一位数字的平方和，最终结果为1就是快乐数，否则不是． 【详解】解：A、∵，，，，，，，，，，，，， ∴计算进入循环，无法得到1，故3不是快乐数； B、∵， ∴最终结果为1，故7是快乐数； C、∵，， ∴最终结果为1，故13是快乐数； D、∵，， ∴最终结果为1，故31是快乐数． 二、填空题 5．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）计算：________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算．先计算乘除运算，将除法转化为乘法，利用有理数运算法则，负负得正，最后计算数值． 【详解】解：原式 故答案为：． 6．（25-26七年级上·河北沧州·期末）已知互为相反数，互为倒数、则___________． 【答案】 【分析】本题考查相反数，倒数，含乘方的有理数的混合运算，利用相反数和倒数的性质，得出 和，再根据有理数的混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：由题意，，， ∴； 故答案为： 7．（25-26七年级下·山东枣庄·期末）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：，．根据上述规定，填空：___________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 8．（25-26七年级上·宁夏吴忠·期中）把二进制数，改写成十进制数，只要把它写成各位数字与基数2的幂的乘积之和的形式，然后按通常的方法进行计算即可． ， 所以二进制数转换成十进制数为89．（注：规定当时，） 请通过计算将二进制数，改写成十进制数是__________． 【答案】51 【分析】根据题干给出的二进制转化为十进制的规则，列式计算即可． 【详解】解： ． 三、解答题 9．（25-26七年级上·陕西西安·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 10．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 11．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解：原式 ． 12．（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算题． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)16 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 13．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：. 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，乘法分配律的运用，熟练掌握有理数混合运算的法则和乘法分配律是解题的关键.计算，把除法变成乘法，再利用乘法分配律求解，所得结果取倒数即为答案. 【详解】解：原式的倒数为： ， ∴． 故答案为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 有理数的混合运算问题的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、有理数的乘除混合运算 题型二、有理数的简便运算 题型三、含乘方的有理数混合运算 题型四、有理数混合运算错题复原问题 题型五、有理数运算的实际应用问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：含加、减、乘、除、乘方及括号的有理数综合算式，考查运算顺序与法则。 - 解题方法：遵循“先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内”；利用运算律（交换、结合、分配）简化计算；带分数化为假分数，小数化分数。 - 易错提醒：符号处理失误（特别是负数的乘方与乘法）；混淆(-2)4与-24；去括号时漏变号；除法未化为乘法再约分；运算顺序颠倒。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、有理数的乘除混合运算 典例1（25-26七年级上·四川绵阳·期中）计算： (1)； (2)． 题型模版 1.特征：含乘除法及括号，需按从左到右顺序，先确定符号再计算绝对值。 2.方法：先将除法转化为乘法，再统一约分；符号由负因数的个数决定（奇数个负号为负）。 变式1-1（25-26七年级上·重庆渝北·期中）计算： (1) (2)． 变式1-2（25-26七年级上·四川广元·阶段检测）计算： (1)； (2)． 变式1-3（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二、有理数的简便运算 典例2（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 题型模版 1.特征：利用运算律（交换、结合、分配）简化计算，减少繁琐步骤。 2.方法：先观察式子结构，用加法交换律、乘法分配律等凑整或抵消，再按常规顺序计算。 变式2-1（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）阅读下面文字： 对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 变式2-2（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）先阅读理解第（1）小题的计算方法，再计算第（2）小题． （1）计算： 解：原式 上面的计算方法叫做拆项法． （2）请用拆项法计算：． 变式2-3（25-26七年级上·四川成都·开学考试）用适当方法计算 (1) (2) 题型三、含乘方的有理数混合运算 典例3（25-26七年级上·重庆九龙坡·周测）计算 (1) (2) 题型模版 1.特征：包含乘方、乘除、加减及括号，需按“先乘方，再乘除，后加减”顺序。 2.方法：先算乘方，再算乘除，最后加减；有括号先算括号内，注意符号和底数区分。 变式3-1（25-26七年级下·辽宁盘锦·开学考试）计算 (1) (2) 变式3-2（25-26七年级上·湖南怀化·期末）计算： (1)； (2)． 变式3-3（25-26九年级上·山东青岛·期中）计算： (1)． (2)． (3)． 题型四、有理数混合运算错题复原问题 典例4（25-26七年级上·江西赣州·期中）老师在黑板上写了一道计算题： 计算： 下面是小丽的解答过程： 解：原式（第一步） （第二步） ．（第三步） (1)小丽的解答过程从第_______步开始是错误的． (2)请你写出这道题正确的解答过程． 题型模版 1.特征：给出错误运算过程或结果，需找出错因并改正，培养检查习惯。 2.方法：按正确顺序逐步验算，对比错误步骤，指出符号、顺序或约分错误，重新计算得正确结果。 变式4-1（25-26七年级上·广东惠州·期末）方方和圆圆两位同学计算的过程如下： 方方： ① ② ③ 圆圆： ① ② ③ (1)以上计算过程中，方方开始出错的是第________步，圆圆开始出错的是第________步（填序号）； (2)写出你的计算过程． 变式4-2（25-26七年级上·山西太原·阶段检测）老师在黑板上出了一道有理数的混合运算题：．下面是小丽的解答过程： 解：第一步 第二步 第三步 第四步 ．第五步 任务1：小丽的解答过程共存在_________处错误，分别是_________； 任务2：第二处错误的错误原因是_________； 任务3：请你写出正确的解答结果_________； 任务4：请根据平时的学习经验，就乘方运算给出一些运算时的注意事项，从而尽量避免运算错误．（一条即可） 变式4-3（25-26七年级上·福建厦门·阶段检测）在学习《有理数》时，陈老师布置同学们计算课本第页第（）题：，下面是小凯和小丽的计算过程： 小凯： 解：原式 第一步 第二步 第三步 第四步 小丽： 解：原式 (1)请你指出这两个人的错误各自在第几步：小凯错误在第___________步，小丽的错误在第___________步； (2)请你写出正确的解答过程． 题型五、有理数运算的实际应用问题 典例5（25-26六年级上·山东泰安·期中）2023年9月23日至10月8日，杭州成功举办第19届亚运会.在前期准备中，各个部门不断调试，某检修小组驾车从地出发，在东西方向公路上检修线路.如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，某一天中行驶记录如下（单位：）：，，，，，． (1)检修小组最终停在距A地多远的地方？ (2)若汽车每千米耗油0.15升，当天从出发到收工回到地共耗油多少升？若油价为8元/升，该检修小组这一天的油费是多少？ (3)若该检修小组使用新能源汽车，该新能源汽车每行驶耗电12度，且使用充电桩充电的价格是每度电1.5元，那么该汽车这天的耗电费用约为多少元？ 题型模版 1.特征：将现实情境（如盈亏、温度变化、库存）转化为有理数运算，求结果。 2.方法：读懂题意，提取正负数表示变化量，按运算顺序列式，计算得实际数值并解释含义。 变式5-1（25-26七年级上·山东聊城·期中）2025年9月3日阅兵式现场，中央广播电视总台设置170个直播机位、850多个分镜头，凭借国产8K超高清转播系统创新视角拍摄，借助一系列特种拍摄设备创造震撼视觉，不少直播“神级镜头”引得网友连连赞叹．其中，在长安街和天安门广场周围启用的高点索道拍摄系统，是通过索道实现摄像机东西滑行，摄像头转向进行拍摄，全景展现受阅部队的昂扬风貌和威武声势…… 下表是当天一台高点索道系统的摄像机连续八次东西滑行的情况记录，规定以天安门广场中轴线为基准，向东滑行记为正，向西滑行记为负． 次序 1 2 3 4 5 6 7 8 滑行情况 (1)根据表中记录，这台摄像机连续滑行八次后在天安门广场的哪个位置？ (2)这台摄像机八次滑行总距离是多少米？ 变式5-2（25-26七年级上·湖北荆州·期中）某超市以每斤8元的价格，购进了200斤火龙果．为了合理定价，在前5天试行机动价格，卖出时每斤以10元为标准，超出10元的部分记为正，不足10元的部分记为负，超市记录这5天火龙果的售价情况和售出情况： 第几天 一 二 三 四 五 每斤价格相对于标准价格 0 售出斤数 15 18 22 26 34 (1)这5天里超市售出的火龙果，单价最高与最低价格相差多少元？ (2)这5天超市出售的火龙果收益是多少元？（盈利或亏损的钱数） (3)5天后，部分火龙果开始出现变质，超市选取5天中单日销售量最高的那天售价，卖掉剩余的火龙果，求超市购进全部火龙果的总收益是多少元？ 变式5-3（25-26七年级上·广西崇左·期中）某水果批发店购进柿子售卖，原计划每天卖500柿子，由于种种原因，实际每天的销售量与计划的销售量相比有出入，下表是该水果批发店一周的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)水果批发店星期六实际销售柿子______； (2)根据表中的数据可知前三天共卖出柿子______； (3)若水果批发店以5元/的价格购进柿子，又按6.2元/kg出售柿子，且水果批发店需按0.5元/的价格支付柿子的运费，求水果批发店这七天一共赚了多少元？ 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（2026·吉林长春·模拟预测）计算的结果是（     ） A．1 B．3 C．3 D．2 2．（24-25七年级上·广东茂名·期末）下列运算错误的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·四川攀枝花·中考真题）“快乐数”是指将正整数的每一位数字平方后相加，得到的新数再重复这一过程，最后结果为1的数．以“快乐数”70为例：，则下列数中不是“快乐数”的是（     ） A．3 B．7 C．13 D．31 二、填空题 5．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）计算：________． 6．（25-26七年级上·河北沧州·期末）已知互为相反数，互为倒数、则___________． 7．（25-26七年级下·山东枣庄·期末）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：，．根据上述规定，填空：___________． 8．（25-26七年级上·宁夏吴忠·期中）把二进制数，改写成十进制数，只要把它写成各位数字与基数2的幂的乘积之和的形式，然后按通常的方法进行计算即可． ， 所以二进制数转换成十进制数为89．（注：规定当时，） 请通过计算将二进制数，改写成十进制数是__________． 三、解答题 9．（25-26七年级上·陕西西安·期中）计算： (1)． (2)． 10．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 11．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算题． (1) (2) (3) (4) 13．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：. 1 / 10 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