2025年九年级中考数学模拟卷02（湖北专用）-备战2025年中考复习质量检测卷（湖北专用）

2025年九年级中考数学模拟卷02 测试时间：120分钟 试卷满分：120分 1、 选择题（每小题3分，共30分） 1．的相反数是（　　） A．2025 B．﹣2025 C． D． 【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 【解答】解：的相反数是． 故选：D． 【点评】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键． 2．我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转180°，能够与自身重合的图形．轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断． 【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． C．是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意． D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键． 3．不等式3x+1≤2x+2的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【分析】先求出不等式的解集，再对所给选项依次进行判断即可． 【解答】解：3x+1≤2x+2， 3x﹣2x≤2﹣1， x≤1， 显然只有B选项符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式的步骤及数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． 4．下列说法正确的是（　　） A．（a2）3＝a5 B．3ab﹣2ab＝ab C．（a+b）2＝a2+b2 D． 【分析】根据二次根式的加减法、合并同类项的方法以及幂的乘法与积的乘方法则进行解题即可． 【解答】解：A、（a2）3＝a6≠a5，故该选项是错误的； B、3ab﹣2ab＝ab，故该选项是正确的； C、（a+b）2＝a2+2ab+b2≠a2+b2，故该选项是错误的； D、，故该选项是错误的； 故选：B． 【点评】本题考查了完全平方公式、幂的乘方，合并同类项，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 5．如图，将一含45°角的直角三角板的直角顶点和一个锐角顶点分别放在一把直尺的两条边上，若∠1＝60°，则∠2的度数为（　　） A．75° B．85° C．95° D．105° 【分析】求出∠3＝90°﹣60°＝30°，由平行线的性质推出∠4＝∠3＝30°，由平角定义即可求出∠2的度数． 【解答】解：∵∠1＝60°， ∴∠3＝90°﹣60°＝30°， ∵AB∥CD， ∴∠4＝∠3＝30°， ∴∠2＝180°﹣30°﹣45°＝105°． 故选：D． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠4＝∠3＝30°． 6．《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了y步，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据走路快的人追上走路慢的人时，两人所走的步数相等，走路快的人走x步和走路慢的人走y步用的时间相等，即可列出相应的方程组． 【解答】解：由题意可得， ， 故选：A． 【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题本题的关键是明确题意，找到等量关系，列出相应的方程组． 7．下列事件中，属于随机事件的是（　　） A．太阳从东方升起 B．抛一枚硬币，正面朝上 C．用长度分别是3cm，2cm，1cm的细木条首尾顺次相连，可组成一个三角形 D．通常情况下，温度降到0℃以下纯净的水会结冰 【分析】根据事件发生的可能性大小判断． 【解答】解：A．太阳从东方升起，是必然事件，不符合题意； B．抛一枚硬币，正面朝上，是随机事件，符合题意； C．用长度分别是3cm，2cm，1cm的细木条首尾顺次相连，可组成一个三角形，是不可能事件，不符合题意； D．通常情况下，温度降到0℃以下，纯净的水会结冰，是必然事件，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查的是随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 8．如图，C、D是以线段AB为直径的⊙O上两点（位于AB两侧），CD＝AD，且∠ABC＝70°，则∠BAD的度数是（　　） A．20° B．35° C．40° D．55° 【分析】根据圆周角定理及三角形内角和定理求出∠ADC＝∠B＝70°，∠BAC＝20°，根据等腰三角形的性质求出∠ACD＝55°，再根据角的和差及圆周角定理求解即可． 【解答】解：∵AB是⊙O 直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠ABC＝70°， ∴∠BAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°，∠ADC＝∠B＝70°， ∵CD＝AD， ∴∠DAC＝∠ACD（180°﹣70°）＝55°， ∴∠BAD＝∠BCD＝90°﹣∠ACD＝35°， 故选：B． 【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 9．在平面直角坐标系中，将线段AB向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后，得到如图所示的线段A'B'，线段A'B'的中点N的坐标如图，则平移前线段AB的中点的坐标是（　　） A．（﹣5，﹣3） B．（﹣2，﹣1） C．（1，1） D．（1，﹣1） 【分析】逆向思考，把点N（﹣2，﹣1）先向右平移3个单位，再向上平移2个单位后可得到平移前该点的坐标． 【解答】解：根据平移法则，把点N（﹣2，﹣1）先向右平移3个单位，再向上平移2个单位后，可得到平移前该点的坐标为（﹣2+3，﹣1+2），即（1，1）． 故选：C． 【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，用到的知识点为：左右平移只改变点的横坐标，左减右加；上下平移只改变点的纵坐标，上加下减． 10．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，且与x轴的一个交点为（﹣3，0），与y轴交点的纵坐标在﹣3～﹣2之间，根据图象判断以下结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③；④a+b+c＝0：⑤若且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的结论是（　　） A．②④ B．②③④ C．②③⑤ D．②③④⑤ 【分析】①由图象开口及与y轴的交点可判断a，c的符号，再根据对称轴判断b的符号即可；②由抛物线的对称轴可推出a，b的关系；④由图象与x的一个交点及对称轴可推出图象与x的另一个交点即可得出结论；③先求得c＝﹣3a，根据与y轴交点的纵坐标在﹣3～﹣2之间得到﹣3＜﹣3a＜﹣2，据此可判断；⑤把b＝2a代入，然后利用因式分解法解方程即可判断． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上， ∴a＞0， ∵在负半轴， ∴c＜0， ∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1， ∴， ∴b＞0， ∴abc＜0，故①不正确； ∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1， ∴，即b＝2a， ∴2a﹣b＝0，故②正确； ∵图象与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），且对称轴为x＝﹣1 ∴图象与x轴的另一个交点坐标为（1，0） ∴x＝1时，y＝0 ∴a+b+c＝0，故④正确； ∵a+b+c＝0，b＝2a， ∴c＝﹣3a， ∵点C的纵坐标在﹣3～﹣2之间， ∴﹣3＜﹣3a＜﹣2，即， ∴，故③正确； ∵，b＝2a， ∴，即， ∴（x1+x2﹣2）（x1﹣x2）＝0， 又∵x1≠x2， ∴x1+x2＝2，故⑤正确． 故选：D． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 2、 填空题（每小题3分，共15分） 11．请你写出一个大于1，且小于3的无理数是　 　 ． 【分析】根据算术平方根的性质可以把1和3写成带根号的形式，再进一步写出一个被开方数介于两者之间的数即可． 【解答】解：∵1，3， ∴写出一个大于1且小于3的无理数是． 故答案为（本题答案不唯一）． 【点评】此题考查了无理数大小的估算，熟悉算术平方根的性质． 12．中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》的概率是 　 　 ． 【分析】直接利用概率公式计算． 【解答】解：根据题意，恰好选中《算学启蒙》的概率为． 故答案为：． 【点评】本题考查了概率公式，某事件的概率＝某事件所占的计算数与总的结果数之比． 13．计算的结果是　 　 ． 【分析】先通分，再计算，化成最简分式即可． 【解答】解：原式 故答案为：． 【点评】本题考查了分式的加减法，掌握分式的加减法的运算法则是的关键． 14．某长途汽车客运公司规定旅客可免费携带一定质量的行李．当行李的质量超过规定时，需付的行李费y（元）与行李质量x（kg）之间满足一次函数关系，部分对应值如下表： x（kg） … 30 40 50 … y（元） … 4 6 8 … 则旅客最多可免费携带行李的质量是 　 　 kg． 【分析】设需付的行李费y（元）与行李质量x（kg）之间的关系为y＝kx+b，用待定系数法求出解析式，再令y＝0解得x的值，即可得到答案． 【解答】解：∵需付的行李费y（元）与行李质量x（kg）之间满足一次函数关系， ∴设需付的行李费y（元）与行李质量x（kg）之间的关系为y＝kx+b， 将x＝30时y＝4和x＝40时y＝6代入得： ，解得， ∴需付的行李费y（元）与行李质量x（kg）之间的关系为yx﹣2， 令y＝0得x﹣2＝0， ∴x＝10， ∴行李质量为10kg时，行李费为0，即旅客最多可免费携带行李的质量是10kg， 故答案为：10． 【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是求出需付的行李费y（元）与行李质量x（kg）之间的函数关系式． 15．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E，F分别在边AB，AD上，且AF＝4，将正方形沿CE，CF折叠，使点B和点D恰好重合于点G，则△AEF的周长为 　 　 ，cos∠AEF的值为 　 　 ． 【分析】由题意可知，BE＝GE，GF＝FD，AB＝AD，∠A＝90°，所以△AEF的周长＝AE+AF+EF＝AE+BE+AF+FD＝AB+AD＝2×6＝12，推出AE＝AF，∠AFE＝∠AEF＝45°，即可求出cos∠AEF＝cos45°． 【解答】解：由对折可知，BE＝GE，GF＝FD， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠A＝90°， ∴△AEF的周长＝AE+AF+EF＝AE+BE+AF+FD＝AB+AD＝2×6＝12， ∵AD=6,AF=4,∴DF=GF=2, 设AE=x,则EF=12-AF-AE=8-x, ∵∠A=90°, ∴AE²+AF²=EF², ∴ x²+4²=(8﹣x)², 解得：x=3 , ∴EF=5, ∴cos∠AEF= 故答案为：12，． 【点评】此题考查了正方形的性质、翻折变换以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 三、解答题（共9个大题，共75分） 16．（6分）计算：． 【分析】直接利用负整数指数幂，特殊角的三角函数值，立方根和绝对值的性质分别化简得出答案． 【解答】解：原式． 【点评】本题考查了实数的运算，特殊的三角函数值，负整数指数幂，掌握相应的运算法则是关键． 17．（6分）已知点E是平行四边形ABCD边AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F，连接BD，AF，且AD＝BF．求证：四边形ABDF为矩形． 【分析】根据平行四边形的性质及平行线的性质求出∠EAB＝∠EDF，利用ASA证明△AEB≌△DEF，得出BE＝FE，即可判定四边形ABDF是平行四边形，再根据“对角线相等的平行四边形是矩形”即可得解． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，AB＝DC， ∴∠EAB＝∠EDF， ∵点E为AD的中点， ∴AE＝DE， 又∵∠AEB＝∠DEF， ∴△AEB≌△DEF（ASA）， ∴BE＝FE， ∵AE＝DE， ∴四边形ABDF是平行四边形， 又∵AD＝BF， ∴▱ABDF是矩形． 【点评】此题考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键． 18．（6分）数学综合实践小组进行了项目式学习的实践探究，请根据表格内容完成任务． 课题 探究经十路非机动车道遮阳棚相关问题 素材背景 济南经十路沿线非机动车道上的遮阳棚，采用高级玻璃丝纤维材料，能够抵抗雨淋和日晒，如图1． 抽象测量 实地测得相关数据，并画出了侧面示意图．如图2，立柱FD与地面MN垂直，CD的长为2m，AB＝CB＝4m，∠ABC＝22°．经过点B的太阳光线照射在点E处． 任务1 求出遮阳棚前端B到地面MN的距离． 任务2 当太阳光线与地面夹角∠BEN为61°时，求非机动车道有效遮阳宽度DE的长． （结果精确到0.01m．参考数据：sin11°≈0.191，cosl1°≈0.982，tanl1°≈0.194，sin61°≈0.875，cos61°≈0.485，tan61°≈1.804） 【分析】任务1．作BH⊥AC于点H，则遮阳棚前端B到地面MN的距离为DH的长，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠HBC＝11°，根据11°的正弦值和BC的长可得CH的长，加上CD的长即为DH的长； 任务2．作BG⊥MN于点G，易得四边形HDGB是矩形，根据61°的正切值和BG的长可得EG的长，根据11°的余弦值和BC的长可得BH的长，也就是DG的长，减去EG的长即为DE的长． 【解答】解：任务1．作BH⊥AC于点H，则∠BHC＝90°，遮阳棚前端B到地面MN的距离为DH的长， ∵AB＝CB＝4m，∠ABC＝22°， ∴∠HBC＝11°， ∴CH＝BC•sin∠HBC≈4×0.191≈0.764（m）， ∵CD＝2m， ∴DH＝CH+CD＝0.764+2＝2.764≈2.76（m）， ∴遮阳棚前端B到地面MN的距离约为2.76m； 任务2．作BG⊥MN于点G，则∠BGE＝90°， ∵FD⊥MN， ∴∠ADG＝90°， ∴四边形HDGB是矩形， ∴BG＝DH＝2.76m，BH＝DG， ∵∠BEN＝61°， ∴EG1.53（m）， ∵∠HBC＝11°，CB＝4m， ∴BH＝4×cos11°≈4×0.982≈3.928（m）， ∴DG≈3.928（m）， ∴DE＝DG﹣EG＝3.928﹣1.53＝2.398≈2.40（m）． 答：非机动车道有效遮阳宽度DE的长约为2.40m． 【点评】本题考查解直角三角形的应用．把所给的角合理的整理到直角三角形中是解决本题的关键． 19．（8分）2025年3月12日，长征八号遥六运载火箭以“一箭十八星”的方式，在海南商业航天发射场将千帆星座第五批组网卫星送入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为了激发学生对航天的热情和兴趣，某学校开展了航空航天知识竞赛活动．赛后，校团委从八、九年级中各随机抽取了20名学生．统计这部分学生的竞赛成绩（单位：分，竞赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）．相关数据统计、整理如下： 八年级抽取的学生的竞赛成绩： 5，6，7，7，7，7，7，7，7，7，8，8，8，8，9，9，9，10，10，10． 八、九年级抽取学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 a b 7 九年级 7.8 8 8 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝　 　 ，b＝　 ； （2）估计该校八年级1000名学生和九年级600名学生中竞赛成绩达到优秀的总人数； （3）根据上述数据，你认为该校八、九年级的此次竞赛哪个年级的学生成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）． 【分析】（1）根据加权平均数和中位数的定义求解； （2）利用样本估计总体思想求解； （3）从平均数、中位数或优秀率等方面进行比较即可． 【解答】解：（1）由题意得，a（5+6+7×8+8×4+9×3+10×3）＝7.8；把八年级抽取的学生的竞赛成绩中从小到大的顺序排列，第10位学生的成绩是7分，第11位学生的成绩是8分， ∴八年级抽取学生的成绩的中位数是b7.5； 故答案为：7.8，7.5． （2）（名）， ∴估计该校八年级1000名学生和九年级600名学生中竞赛成绩为优秀的总人数是510名． （3）九年级成绩相对更好．理由如下： 九年级竞赛成绩的众数、中位数大于八年级．（答案不唯一，说法合理即可）． 【点评】本题考查了扇形统计图，众数，中位数，算术平均数以及用样本估计总体，掌握众数、中位数、平均数定义是解题的关键． 20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A（a，﹣2），B两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）P是第一象限内直线AB上方反比例函数图象上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，交AB于点C，连接PO，若CD＝1，求△POC的面积． 【分析】（1）由正比例好的解析式求得A点的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式； （2）设P（m，），则C（m，m），由CD＝1，即可求得m＝3，求得P（3，4），然后根据三角形面积公式即可求得△POC的面积． 【解答】解：（1）把A（a，﹣2）代入得﹣2， ∴a＝﹣6， ∴A（﹣6，﹣2）， 设反比例函数解析式为： 把A（﹣6，﹣2）代入得k＝12， ∴反比例函数解析式为 ； （2）设P（m，），则C（m，m）， ∵CD＝1， ∴1， ∴m＝3， ∴P（3，4）， ∴PC＝4﹣1＝3， ∴△POC的面积为：． 【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式． 21．（8分）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上不同于A，B的两点，∠ABD＝2∠BAC，连接CD．过点C作CE⊥DB，垂足为E，直线CE与AB交于点F． （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）当BD＝6，sinF时，求BF的长． 【分析】（1）连接OC．先根据等边对等角及三角形外角的性质得出∠3＝2∠1，由已知∠4＝2∠1，得到∠4＝∠3，则OC∥DB，再由CE⊥DB，得到OC⊥CF，根据切线的判定即可证明CF为⊙O的切线； （2）连接AD．解直角三角形即可求得OF，进而得到答案． 【解答】（1）证明：连接OC． ∵OA＝OC， ∴∠1＝∠2． 又∵∠3＝∠1+∠2， ∴∠3＝2∠1． 又∵∠4＝2∠1， ∴∠4＝∠3， ∴OC∥DB． ∵CE⊥DB， ∴OC⊥CF． 又∵OC为⊙O的半径， ∴CF为⊙O的切线； （2）解：连接AD．如图所示： ∵AB是直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ADB＝∠FED， ∴CF∥AD， ∴∠BAD＝∠F， ∴sin∠BAD＝sinF， ∴ABBD＝10， ∴OB＝OC＝5， ∵OC⊥CF， ∴∠OCF＝90°， ∴sinF， 解得：OF， ∴BF＝OF﹣OB5． 【点评】本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可． 22．（10分）2024年巴黎奥运会跳水比赛项目中，中国“梦之队”以8金2银1铜完美收官．如图，某跳水运动员进行3米跳板跳水比赛，身体（看成一点）在空中运动的路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板AB长为2米，跳板距离水面CD的高BC为3米，跳水曲线在离起跳点A水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以CD所在直线为x轴，CB所在直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）当k时，求这条抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，求运动员落水点与点C的距离； （3）图中米，CF＝6米，若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水时才能达到训练要求，求k的取值范围． 【分析】（1）根据抛物线顶点坐标（3，k），结合k，可设抛物线解析为：y＝a（x﹣3）2，将点A（2，3）代入可得； （2）依据题意，由（1）求出函数解析式，再令y＝0，求出x即可； （3）若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水达到训练要求，则在函数y＝a（x﹣3）2+k中当x米，y≥0，当x＝6米时y≤0，解不等式即可得． 【解答】解：（1）根据题意，可得抛物线顶点坐标M（3，k），A（2，3）， 又∵k， ∴可设抛物线解析为：y＝a（x﹣3）2， 则3＝a（2﹣3）2， 解得：a， 故抛物线解析式为：y（x﹣3）2； （2）根据题意，抛物线解析式为：y（x﹣3）2， 令y＝0，则0（x﹣3）2， 解得：x1＝3，x2＝3（舍去）． ∴运动员落水点与点C的距离为（3）米； （3）根据题意，抛物线解析式为：y＝a（x﹣3）2+k， 将点A（2，3）代入可得：a+k＝3，即a＝3﹣k 若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水， 则当x时，ya+k≥0，即（3﹣k）+k≥0， 解得：k， 当x＝6时，y＝9a+k≤0，即9（3﹣k）+k≤0， 解得：k， 故k． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，根据题意利用顶点式求出二次函数解析式是解题基础，判断入水的位置对应的抛物线上点的坐标特点是解题关键． 23．（11分）综合实践课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片ABC和DEC中，CB＝CE＝3，AB＝DE＝4，∠ABC＝∠DEC＝90°． 【初步感知】 （1）如图1，连接AD、BE，在纸片CDE绕点C旋转过程中，求BE：AD的值． 【尝试证明】 （2）如图2，在纸片CDE绕点C旋转过程中，当点E恰好落在△ABC的中线BG的延长线上时，求证：BE∥CD． 【深入探究】 （3）如图3，在（2）的条件下，延长DE交AC于点F，求tan∠ECF． 【分析】（1）根据勾股定理可得AC＝DC＝5，再由△ABC≌△DEC，可得∠BCE＝∠ACD，然后根据，可得∠BCE＝∠ACD，即可求解； （2）根据直角三角形斜边中线的性质得到，得到∠GBC＝∠GCB，然后结合等边对等角和全等三角形的性质得到∠CEB＝∠CBE＝∠BCA＝∠ECD，即可求证； （3）先证明△BCG∽△BEC，可得，从而得到，进而得到，再根据△FGE∽△FCD，可得，从而得到，在Rt△ECF中，利用锐角三角函数解答，即可求解． 【解答】（1）解：已知三角形纸片ABC和DEC中，CB＝CE＝3，AB＝DE＝4，∠ABC＝∠DEC＝90°， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：， ∵△ABC≌△DEC， ∴∠BCE＝∠ACD， ∵， ∴△CBE∽△CAD， ∴BE：AD＝CB：CA＝3：5； （2）证明：∵∠ABC＝90°，BG是△ABC的中线， ∴， ∴∠GBC＝∠GCB， ∵CB＝CE， ∴∠CEB＝∠CBE， ∵△ABC≌△DEC， ∴∠BCA＝∠ECD， ∴∠CEB＝∠CBE＝∠BCA＝∠ECD， ∴BE∥CD； （3）解：由（2）得：∠GBC＝∠CBE，∠BCG＝∠CEB， ∴△BCG∽△BEC， ∴， ∴， ∴， ∵BE∥CD， ∴△FGE∽△FCD， ∴， ∴， ∴， 在Rt△ECF中，． 【点评】本题属于几何变换综合题，主要考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解答本题的关键． 24．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A，C两点，交y轴于点B，对称轴为x＝2，若点A的坐标为（﹣1，0），OB＝OC，点D（m，8）为某个动点． （1）直接写出点B，C的坐标； （2）当点D在抛物线上且在对称轴右侧时，设直线AD的解析式为y＝kx+d，依据函数图象试求不等式ax2+（b﹣k）x+c﹣d＜0的解集； （3）如图2，过点D作x轴的垂线DE，交抛物线于点E，记DE＝n，求n关于m的函数解析式．当n随m的增大而增大时，求m的取值范围． 【分析】（1）先由二次函数的对称性可得C（5，0），再结合OB＝OC即可确定点B的坐标； （2）先求出二次函数解析式y＝﹣x2+4x+5，由题意可得﹣m2+4m+5＝8，解得：m＝1或m＝3，进而确定m＝3，即D（3，8），再结合函数图象即可解答； （3）由第（2）问可知：点D在直线MN上运动，其中M（1，8），N（3，8），进而可得DE＝n＝|﹣m2+4m+5﹣8|＝|m2﹣4m+3|；再分当m＜1或m＞3时，n＝m2﹣4m+3；当1＜m＜3时，n＝﹣m2+4m﹣3两种情况，分别利用二次函数的增减性解答即可． 【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A，C两点，交y轴于点B，对称轴为x＝2，若点A的坐标为（﹣1，0）， ∴C（5，0）， ∴OC＝5， ∵OB＝OC＝5， ∴B（0，5）； （2）抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A，C两点，交y轴于点B，将点A，点B，点C的坐标代入得： ， 解得：， ∴函数解析式为y＝﹣x2+4x+5， ∵函数解析式为y＝﹣x2+4x+5，将点D（m，8）代入得： ﹣m2+4m+5＝8， 解得：m＝1或m＝3， ∵D点在对称轴的右边， ∴m＞2， ∴m＝3，即D（3，8）； ∴ax2+（b﹣k）x+c﹣d＜0可以看作抛物线y＝ax2+bx+c在直线y＝kx+d的下方， ∴由以上函数图象可知：x＜﹣1或x＞3； （3）点D在直线MN上运动，其中M（1，8），N（3，8），DF＝8，FE＝﹣m2+4m+5， ∴DE＝n＝|﹣m2+4m+5﹣8|＝|m2﹣4m+3|， 当m＜1或m＞3时，n＝m2﹣4m+3， ∵1＞0，对称轴m＝2，当m＞2时，n随m的增大而增大， ∴m＞3时，n随m的增大而增大； 当1＜m＜3时，n＝﹣m2+4m﹣3， ∵﹣1＜0，抛物线开口向下，对称轴为m＝2；当m＜2时，n随m的增大而增大， ∴1＜m＜2时，n随m的增大而增大； 综上所述：当n随m的增大而增大时，1＜m＜2或m＞3． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考出了二次函数的性质、二次函数与不等式的综合、二次函数的综合等知识点，掌握数形结合思想以及灵活运用二次函数的性质成为解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年九年级中考数学模拟卷02 测试时间：120分钟 试卷满分：120分 1、 选择题（每小题3分，共30分） 1．的相反数是（　　） A．2025 B．﹣2025 C． D． 2．我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．不等式3x+1≤2x+2的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 4．下列说法正确的是（　　） A．（a2）3＝a5 B．3ab﹣2ab＝ab C．（a+b）2＝a2+b2 D． 5．如图，将一含45°角的直角三角板的直角顶点和一个锐角顶点分别放在一把直尺的两条边上，若∠1＝60°，则∠2的度数为（　　） A．75° B．85° C．95° D．105° 6．《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了y步，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 7．下列事件中，属于随机事件的是（　　） A．太阳从东方升起 B．抛一枚硬币，正面朝上 C．用长度分别是3cm，2cm，1cm的细木条首尾顺次相连，可组成一个三角形 D．通常情况下，温度降到0℃以下纯净的水会结冰 8．如图，C、D是以线段AB为直径的⊙O上两点（位于AB两侧），CD＝AD，且∠ABC＝70°，则∠BAD的度数是（　　） A．20° B．35° C．40° D．55° 9．在平面直角坐标系中，将线段AB向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后，得到如图所示的线段A'B'，线段A'B'的中点N的坐标如图，则平移前线段AB的中点的坐标是（　　） A．（﹣5，﹣3） B．（﹣2，﹣1） C．（1，1） D．（1，﹣1） 10．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，且与x轴的一个交点为（﹣3，0），与y轴交点的纵坐标在﹣3～﹣2之间，根据图象判断以下结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③；④a+b+c＝0：⑤若且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的结论是（　　） A．②④ B．②③④ C．②③⑤ D．②③④⑤ 2、 填空题（每小题3分，共15分） 11．请你写出一个大于1，且小于3的无理数是　 　 ． 12．中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》的概率是 　 　 ． 13．计算的结果是　 　 ． 14．某长途汽车客运公司规定旅客可免费携带一定质量的行李．当行李的质量超过规定时，需付的行李费y（元）与行李质量x（kg）之间满足一次函数关系，部分对应值如下表： x（kg） … 30 40 50 … y（元） … 4 6 8 … 则旅客最多可免费携带行李的质量是 　 　 kg． 15．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E，F分别在边AB，AD上，且AF＝4，将正方形沿CE，CF折叠，使点B和点D恰好重合于点G，则△AEF的周长为 　 　 ，cos∠AEF的值为 　 　 ． 三、解答题（共9个大题，共75分） 16．（6分）计算：． 17．（6分）已知点E是平行四边形ABCD边AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F，连接BD，AF，且AD＝BF．求证：四边形ABDF为矩形． 18．（6分）数学综合实践小组进行了项目式学习的实践探究，请根据表格内容完成任务． 课题 探究经十路非机动车道遮阳棚相关问题 素材背景 济南经十路沿线非机动车道上的遮阳棚，采用高级玻璃丝纤维材料，能够抵抗雨淋和日晒，如图1． 抽象测量 实地测得相关数据，并画出了侧面示意图．如图2，立柱FD与地面MN垂直，CD的长为2m，AB＝CB＝4m，∠ABC＝22°．经过点B的太阳光线照射在点E处． 任务1 求出遮阳棚前端B到地面MN的距离． 任务2 当太阳光线与地面夹角∠BEN为61°时，求非机动车道有效遮阳宽度DE的长． （结果精确到0.01m．参考数据：sin11°≈0.191，cosl1°≈0.982，tanl1°≈0.194，sin61°≈0.875，cos61°≈0.485，tan61°≈1.804） 19．（8分）2025年3月12日，长征八号遥六运载火箭以“一箭十八星”的方式，在海南商业航天发射场将千帆星座第五批组网卫星送入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为了激发学生对航天的热情和兴趣，某学校开展了航空航天知识竞赛活动．赛后，校团委从八、九年级中各随机抽取了20名学生．统计这部分学生的竞赛成绩（单位：分，竞赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）．相关数据统计、整理如下： 八年级抽取的学生的竞赛成绩： 5，6，7，7，7，7，7，7，7，7，8，8，8，8，9，9，9，10，10，10． 八、九年级抽取学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 a b 7 九年级 7.8 8 8 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝　 　 ，b＝　 ； （2）估计该校八年级1000名学生和九年级600名学生中竞赛成绩达到优秀的总人数； （3）根据上述数据，你认为该校八、九年级的此次竞赛哪个年级的学生成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）． 20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A（a，﹣2），B两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）P是第一象限内直线AB上方反比例函数图象上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，交AB于点C，连接PO，若CD＝1，求△POC的面积． 21．（8分）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上不同于A，B的两点，∠ABD＝2∠BAC，连接CD．过点C作CE⊥DB，垂足为E，直线CE与AB交于点F． （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）当BD＝6，sinF时，求BF的长． 22．（10分）2024年巴黎奥运会跳水比赛项目中，中国“梦之队”以8金2银1铜完美收官．如图，某跳水运动员进行3米跳板跳水比赛，身体（看成一点）在空中运动的路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板AB长为2米，跳板距离水面CD的高BC为3米，跳水曲线在离起跳点A水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以CD所在直线为x轴，CB所在直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）当k时，求这条抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，求运动员落水点与点C的距离； （3）图中米，CF＝6米，若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水时才能达到训练要求，求k的取值范围． 23．（11分）综合实践课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片ABC和DEC中，CB＝CE＝3，AB＝DE＝4，∠ABC＝∠DEC＝90°． 【初步感知】 （1）如图1，连接AD、BE，在纸片CDE绕点C旋转过程中，求BE：AD的值． 【尝试证明】 （2）如图2，在纸片CDE绕点C旋转过程中，当点E恰好落在△ABC的中线BG的延长线上时，求证：BE∥CD． 【深入探究】 （3）如图3，在（2）的条件下，延长DE交AC于点F，求tan∠ECF． 24．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A，C两点，交y轴于点B，对称轴为x＝2，若点A的坐标为（﹣1，0），OB＝OC，点D（m，8）为某个动点． （1）直接写出点B，C的坐标； （2）当点D在抛物线上且在对称轴右侧时，设直线AD的解析式为y＝kx+d，依据函数图象试求不等式ax2+（b﹣k）x+c﹣d＜0的解集； （3）如图2，过点D作x轴的垂线DE，交抛物线于点E，记DE＝n，求n关于m的函数解析式．当n随m的增大而增大时，求m的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$