2025年九年级中考数学模拟卷03（武汉专用）-备战2025年中考数学复习质量检测卷

2025年九年级中考数学模拟卷01 武 汉 专 用 测试时间：120分钟 试卷满分：120分 1、 选择题（每小题3分，共10题，共30分） 1．下面是大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学四个杰出科技企业的标志，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列成语所描述的事件中，表示不可能事件的是（　　） A．守株待兔 B．缘木求鱼 C．探囊取物 D．百步穿杨 3．从正面观察如图所示的几何体，看到的形状图是（　　） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（　　） A．a2﹣4a2＝﹣3 B．（a+b）2＝a2+b2 C．4a6÷2a2＝2a4 D．a2•a4＝a8 5．2024年10月30日，“神舟十九号”载人飞船发射取得圆满成功．在发射过程中，“神舟十九号”载人飞船的飞行速度约为484000米/分，数据“484000”用科学记数法表示应是（　　） A．4.84×105 B．4.84×106 C．48.4×104 D．0.484×106 6．如图，已知直角△ABC，①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AC于点M，交AB于点N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点P；③作射线AP交BC于点D；④分别以A，D为圆心，以大于AD的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点；⑤作直线GH，分别交AC，AB于点E，F． 依据以上作图，若AF＝3，CE＝1，则CD的长是（　　） A． B．2 C． D．3 7．晋剧是我省国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱，正面印有晋剧经典剧目Q版人物的三张卡片（其中有1名男性角色，2名女性角色），它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面人物性别都为女性的概率为（　　） A． B． C． D． 8．在⊙O中，AB，CD是两条弦，交于点E，AB＝CD，CE＝2，ED＝8，∠AED＝60°，则⊙O的直径为（　　） A． B．4 C．2 D．2 9．匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器内水面高度h随时间t变化的大致图象是（　　） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（0，1），（﹣1，2），（0，2），（1，2），（2，3），（1，3），（0，3），…，根据这个规律探索可得第2024个点的坐标是（　　） A．（43，45） B．（44，45） C．（﹣43，45） D．（﹣42，45） 二．填空题（每小题3分，共6小题，共18分） 11．当下“微信支付”已经成为人们普遍使用的一种货币流通方式．若转入100元记作+100元，那么转出40元记作 　 元． 12．写一个合适的整数，使反比例函数的图象在每一象限内y随x的增大而减小，k的值为 　 　 ． 13．分式方程的解为x＝　 　 ． 14．如图，某校数学兴趣小组为了测量塔AB的高度，将无人机飞升至距水平地面64.5米的C处，测得塔顶端A的俯角为45°，底端B的俯角为72°，则该塔的高度是 　 米．（参考数据：tan72°≈3） 15．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形ABCD与四边形EFGH都是正方形，连结EG并延长交AB于点M，交CD于点N，连结MF．当AM：MB＝3：4时，tan∠MFB＝　 　 ． 16．已知x＝1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根．下列四个结论：①若方程ax2+bx+c＝0的另一个根为﹣3，则b＝2a；②若b＝c，则方程cx2+bx+a＝0一定有根x＝﹣2；③方程ax2+bx+c＝0一定有两个不同的实数根；④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2+bx+c上，若0＜a＜c，则当x1＜x2＜1时，y1＞y2．其中结论正确的是 　 　 （填写序号）． 三．解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）解不等式组，并写出它的所有正整数解． 18．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥DC，垂足分别为E，F，且BE＝DF． （1）求证：△ABE≌△ADF； （2）平行四边形ABCD是菱形吗？为什么？ 19．（8分）某校为了解学生家长对孩子使用手机的态度情况，随机抽取部分学生家长进行问卷调查，发出问卷140份，每位家长1份，每份问卷仅表明一种态度，将回收的问卷进行整理（假设回收的问卷都有效），并绘制了如图两幅不完整的统计图． 根据以上信息解答下列问题： （1）回收的问卷数为 　 　 份，“科学管理”部分对应扇形的圆心角度数为 　 　 ； （2）把条形统计图补充完整； （3）若将“稍加询问”和“从来不管”视为“管理不科学”，学校准备请这些家长到学校进行沟通．已知全校共1200名学生，请估计应该参加沟通的家长大约有多少人？ 20．（8分）如图，在△ABC中，AC＝AB，AC是⊙O的弦，D为AC的中点，连接OD，OA，分别交CB于点E，点F，OE＝OF． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）若OE＝3，sin∠AOD，求BF的长． 21．（8分）如图是由小正方形组成的7×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点． 图中A，B，C，D都是格点，E为AD与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）如图1，先将线段AE绕点A顺时针旋转90°到AF，再在AB上画点G，使tan∠AEG； （2）如图2，先在AB上画一点H，使CH⊥AB，再在AB上画点P，使CP＝BC． 22．（10分）为有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛．如图1，在一个废弃高楼距地面10m的点A和15m的点B处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分．第一次灭火时站在水平地面的点C处，水流从C点射出恰好到达点A处，且水流的最大高度为16m，水流的最高点到高楼的水平距离为4m，建立如图1所示的平面直角坐标系，水流的高度y（m）与出水点到高楼的水平距离x（m）之间满足二次函数关系． （1）直接写出消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式：　yx2+3x+10　 ； （2）待A处火熄灭后，消防员前进2m到点D（水流从D点射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，请判断水流是否到达点B处，并说明理由； （3）若消防员从点C前进tm到点T（水流从T点射出）处，水流未达到最高点且恰好到达点A处，求请直接写出t的值．（水流所在抛物线形状与第一次完全相同） 23．（10分）综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动． 【问题发现】 如图1，在矩形ABCD中，AD：CD＝1：，点F在对角线AC上，过F点分别作AB和AD的垂线，垂足为E，G，则四边形AEFG为矩形．请问线段CF与DG的数量关系为 　 　 ． 【拓展探究】 如图2，将图1中的矩形AEFG绕点A逆时针旋转，记旋转角为α，当0°＜α＜180°时，连接CF，DG，在旋转的过程中，CF与DG的数量关系是否仍然成立？请利用图2进行证明． 【解决问题】 如图3，当矩形ABCD的边AD＝AB时，点E为直线CD上异于D，C的一点，以AE为边作正方形AEFG，点H为正方形AEFG的中心，连接DH，若AD＝4，DE＝2，直接写出DH的长． 24．（12分）已知抛物线：y＝ax2+bx+c（a＞0），交x轴于A、B、与y轴的交点C在负半轴． （1）若A（﹣1，0），B（3，0），OB＝OC． ①求抛物线的解析式． ②若P（x1，y1）在对称轴右侧抛物线上，且△APC为锐角三角形，求x1的取值范围． （2）如图2，D在y轴上点C的下方，过D的直线DE、DF与抛物线y＝ax2+bx+c都只有唯一公共点E、F，EF交y轴于Q，EM∥x轴交y轴于N，交FM∥y轴交EM于M，求． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年九年级中考数学模拟卷01 武 汉 专 用 测试时间：120分钟 试卷满分：120分 1、 选择题（每小题3分，共10题，共30分） 1．下面是大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学四个杰出科技企业的标志，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：选项A、C、D的图形均不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 选项B的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：B． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．下列成语所描述的事件中，表示不可能事件的是（　　） A．守株待兔 B．缘木求鱼 C．探囊取物 D．百步穿杨 【分析】必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【解答】解：A．是随机事件，故不符合题意； B．是不可能事件，故符合题意； C．是必然事件，故不符合题意； D．是随机事件，故不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，解题的关键是掌握相关知识． 3．（2024秋•深圳期末）从正面观察如图所示的几何体，看到的形状图是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据观察方向即可求解． 【解答】解：从正面看，下方长方体看到的是长方形，上方圆柱看到的也是长方形， 且两个长方形在左侧位置对齐， 故选：A． 【点评】本题考查几何体的三视图，解题的关键是具有一定的空间观念． 4．下列运算正确的是（　　） A．a2﹣4a2＝﹣3 B．（a+b）2＝a2+b2 C．4a6÷2a2＝2a4 D．a2•a4＝a8 【分析】根据对应的运算法则逐一判断即可． 【解答】解：逐项分析判断如下： a2﹣4a2＝﹣3a2，A选项运算错误，不符合题意； （a+b）2＝a2+2ab+b2，B选项运算错误，不符合题意； 4a6÷2a2＝2a4，C选项运算正确，符合题意； a2•a4＝a6，D选项运算错误，不符合题意； 故答案为：C． 【点评】本题考查整式的运算，包括整式的加减乘除以及幂的运算和乘法公式的应用． 5．2024年10月30日，“神舟十九号”载人飞船发射取得圆满成功．在发射过程中，“神舟十九号”载人飞船的飞行速度约为484000米/分，数据“484000”用科学记数法表示应是（　　） A．4.84×105 B．4.84×106 C．48.4×104 D．0.484×106 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：484000＝4.84×105． 故选：A． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 6．如图，已知直角△ABC，①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AC于点M，交AB于点N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点P；③作射线AP交BC于点D；④分别以A，D为圆心，以大于AD的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点；⑤作直线GH，分别交AC，AB于点E，F． 依据以上作图，若AF＝3，CE＝1，则CD的长是（　　） A． B．2 C． D．3 【分析】利用基本作图得到AD平分∠BAC，EF垂直平分AD，连接DE，如图，先利用等腰三角形的判定方法得到AE＝AF＝3，再根据线段垂直平分线的性质得到ED＝AE＝3，然后利用勾股定理可计算出CD． 【解答】解：由作法得AD平分∠BAC，EF垂直平分AD， 连接DE，如图， ∵AD平分∠EAF，AD⊥EF， ∴AE＝AF＝3， ∵EF垂直平分AD， ∴ED＝AE＝3， 在Rt△CDE中，CD2． 故选：A． 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质． 7．晋剧是我省国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱，正面印有晋剧经典剧目Q版人物的三张卡片（其中有1名男性角色，2名女性角色），它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面人物性别都为女性的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意，利用树状图法将所有结果都列举出来，然后根据概率公式计算解决即可． 【解答】解：1名男性角色记为A，2名女性角色分别记为B、C， 画树状图如下： 由图可知，共有9种等可能的结果，其中B、B；B、C；C、B；C、C四种结果为女性， ∴两次抽取的卡片正面人物性别都为女性的概率为． 故选：D． 【点评】本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确画出树状图得到所有的等可能的结果数． 8．在⊙O中，AB，CD是两条弦，交于点E，AB＝CD，CE＝2，ED＝8，∠AED＝60°，则⊙O的直径为（　　） A． B．4 C．2 D．2 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系可得OF＝OG，再根据角平分线的性质得出OE是∠AED的平分线，进而得出∠OEG＝30°，在直角三角形OED中，由特殊锐角三角形的边角关系可求出OG，在根据勾股定理求出半径OD，进而得出直径即可． 【解答】解：如图，过点O作OF⊥AB，OG⊥CD，垂足分别为F、G，则CG＝DGCD（2+8）＝5， 连接OE，OD， ∵AB＝CD，OF⊥AB，OG⊥CD， ∴OF＝OG， ∴∠OEG＝∠OEF∠AED60°＝30°， 在Rt△OEG中，∠OEG＝30°，EG＝CG﹣CE＝5﹣2＝3， ∴OGEG， 在Rt△ODG中，OG，DG＝CG＝5， ∴OD2， ∴⊙O的直径为4， 故选：B． 【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系，垂径定理、勾股定理以及特殊锐角三角形的边角关系，掌握圆心角、弧、弦的关系，垂径定理、勾股定理以及特殊锐角三角形的边角关系是正确解答的前提． 9．匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器内水面高度h随时间t变化的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据图象可知，物体的形状为首先小然后变大最后又变小．故注水过程的水的高度是先快后慢再快． 【解答】解：因为根据图象可知，物体的形状为首先小然后变大最后又变小， 所以注水过程的水的高度是先快后慢再快，且第三段的上升速度比第一段慢，故选项C正确． 故选：C． 【点评】本题主要考查了函数的图象，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 10．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（0，1），（﹣1，2），（0，2），（1，2），（2，3），（1，3），（0，3），…，根据这个规律探索可得第2024个点的坐标是（　　） A．（43，45） B．（44，45） C．（﹣43，45） D．（﹣42，45） 【分析】根据所给点的排列顺序，发现点的横纵坐标的变化规律即可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知， 从下往上看， 第一行有1个点， 第二行有3个点， 第三行有5个点， …， 第n行有（2n﹣1）个点． 所以前n行点的总个数为：1+3+5+…+2n﹣1＝n2（n为正整数）， 当n＝45时， n2＝2025，2×45﹣1＝89， 所以前45行一共有2025个点，且第45行有89个点． 又因为第n行的纵坐标为n，且n为奇数时，点是从右向左依次排列的， 所以（89﹣1）÷2＝44， 则第2025个点的坐标为（﹣44，45）， 所以第2024个点的坐标为（﹣43，45）． 故选：C． 【点评】本题考查点的坐标变化规律，能根据题意发现前n行点的总数及每行点的排列规律是解题的关键． 二．填空题（每小题3分，共6小题，共18分） 11．当下“微信支付”已经成为人们普遍使用的一种货币流通方式．若转入100元记作+100元，那么转出40元记作 　 元． 【分析】如果转入100元记作+100元，那么转出40元记作﹣40元，即可得出答案． 【解答】解：因为转入100元记作+100元， 所以转入为“+”，转出为“﹣”， 所以转出40元记作﹣40元． 故答案为：﹣40． 【点评】本题主要考查用正负数表示相反意义的量．理解正负数表示相反意义的量是解题的关键． 12．写一个合适的整数，使反比例函数的图象在每一象限内y随x的增大而减小，k的值为 　 　 ． 【分析】根据反比例函数的性质得出k的取值范围，进而可得出结论． 【解答】解：∵反比例函数的图象在每一象限内y随x的增大而减小， ∴1﹣k＞0， 解得k＜1， ∴k可以等于﹣1． 故答案为：﹣1（答案不唯一）． 【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 13．分式方程的解为x＝　 　 ． 【分析】观察可得最简公分母是x（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 【解答】解：方程两边同时乘以x（x﹣2）得，（x﹣2）2﹣3x＝x（x﹣2）， 去括号得：x2﹣4x+4﹣3x＝x2﹣2x， 移项得：﹣4x﹣3x+2x＝﹣4， 合并同类项得：﹣5x＝﹣4， 把x的系数化为1得：， 检验：当时，， ∴分式方程的解为， 故答案为：． 【点评】本题考查了解分式方程，按照解分式方程的步骤解答即可求解，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 14．如图，某校数学兴趣小组为了测量塔AB的高度，将无人机飞升至距水平地面64.5米的C处，测得塔顶端A的俯角为45°，底端B的俯角为72°，则该塔的高度是 　 米．（参考数据：tan72°≈3） 【分析】延长BA交距水平地面64.5米的水平线于点D，根据tan72°≈3，求出DC＝AD＝21.5米，即可求解． 【解答】解：延长BA交距水平地面64.5米的水平线于点D，如图， 由题可知，BD＝64.5米， 设AD＝x米， ∵∠DCA＝45°， ∴DC＝AD＝x米， ∴tan72°3， ∴DC＝AD＝21.5（米）， ∴AB＝BD﹣AD＝64.5﹣21.5＝43（米）， 故答案为：43． 【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角与俯角问题，理解题意，作出辅助线是解题关键． 15．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形ABCD与四边形EFGH都是正方形，连结EG并延长交AB于点M，交CD于点N，连结MF．当AM：MB＝3：4时，tan∠MFB＝　 　 ． 【分析】过点M作MP⊥BG于点P，MQ⊥AF于点Q，证明四边形MPFQ为矩形，得出MQ＝PF，MP＝FQ，证明△MEQ为等腰直角三角形，设MQ＝EQ＝x，证明△AMQ∽△ABF，得出，求出MP＝QF＝AF﹣AQxxx，根据正切函数的定义求出tan∠MFB． 【解答】解：过点M作MP⊥BG于点P，MQ⊥AF于点Q，如图所示： 则∠MPF＝∠MQF＝∠BFA＝90°， ∴四边形MPFQ为矩形， ∴MQ＝PF，MP＝FQ， ∵四边形EFGH为正方形， ∴∠FEG＝45°， ∴∠MEQ＝∠FEG＝45°， ∴△MEQ为等腰直角三角形， 设MQ＝EQ＝x， ∵AM：MB＝3：4， ∴AM：AB＝3：7， ∵∠MAQ＝∠BAF，∠AQM＝∠AFB＝90°， ∴△AMQ∽△ABF， ∴， ∴BFMQx， ∴AE＝BFx， ∴AQ＝AE﹣EQx， ∴AFAQxx， ∴MP＝QF＝AF﹣AQxxx， ∵PF＝MQ＝x， ∴tan∠MFB． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，求一个角的正切值，矩形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 16．已知x＝1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根．下列四个结论：①若方程ax2+bx+c＝0的另一个根为﹣3，则b＝2a；②若b＝c，则方程cx2+bx+a＝0一定有根x＝﹣2；③方程ax2+bx+c＝0一定有两个不同的实数根；④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2+bx+c上，若0＜a＜c，则当x1＜x2＜1时，y1＞y2．其中结论正确的是 　 　 （填写序号）． 【分析】由于方程ax2+bx+c＝0的根为﹣3和1，则根据根与系数的关系得到﹣3+1，于是可对①进行判断；由x＝1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根得到a+b+c＝1，则利用b＝c得到a＝﹣2c，所以方程cx2+bx+a＝0化为x2+x﹣2＝0，然后解方程可对②进行判断；由a+b＝c＝0得到b＝﹣（a+c），再计算根的判别式的值得到Δ＝（a﹣c）2≥0，然后根据根的判别式的意义可对③进行判断；根据二次函数的性质，由0＜a＜c得到抛物线开口向上，由于1，于是可判断点A（x1，y1），B（x2，y2）在对称轴的左侧，然后根据二次函数的性质可对④进行判断． 【解答】解：∵方程ax2+bx+c＝0的根为﹣3和1， ∴﹣3+1， ∴b＝2a，所以①正确； ∵x＝1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根， ∴a+b+c＝1， 当b＝c时，a+c+c＝0， ∴a＝﹣2c， ∴方程cx2+bx+a＝0化为cx2+cx﹣2c＝0，即x2+x﹣2＝0， 解得x1＝﹣2，x2＝1，所以②正确； ∵a+b＝c＝0， ∴b＝﹣（a+c）， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2， ∵（a﹣c）2≥0， ∴Δ≥0， ∴方程ax2+bx+c＝0有两个的实数根，所以③错误； ∵0＜a＜c， ∴抛物线开口向上， 抛物线的对称轴为直线x， ∵1， 而x1＜x2＜1， ∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在对称轴的左侧， ∴y1＞y2．所以④正确． 故答案为：①②④． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了根的判别式、根与系数的关系和二次函数的性质． 三．解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）解不等式组，并写出它的所有正整数解． 【分析】根据解一元一次不等式组的步骤，对所给不等式组进行求解，再根据题意写出正整数解即可． 【解答】解：， 解不等式①得，x＞﹣2； 解不等式②得，x≤3， 所以不等式组的解集为：﹣2＜x≤3， 则不等式组的正整数解为1，2，3． 【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解及解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 18．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥DC，垂足分别为E，F，且BE＝DF． （1）求证：△ABE≌△ADF； （2）平行四边形ABCD是菱形吗？为什么？ 【分析】（1）由平行四边形的性质得∠B＝∠D，由AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F，得∠AEB＝∠AFD＝90°，而BE＝DF，即可根据“ASA”证明△ABE≌△ADF； （2）由全等三角形的性质得AB＝AD，而四边形ABCD是平行四边形，即可根据菱形的定义证明平行四边形ABCD是菱形． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D， ∵AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F， ∴∠AEB＝∠AFD＝90°， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（ASA）． （2）解：平行四边形ABCD是菱形， 理由：由（1）得△ABE≌△ADF， ∴AB＝AD， ∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝AD， ∴平行四边形ABCD是菱形． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的定义等知识，推导出∠B＝∠D，∠AEB＝∠AFD，进而证明△ABE≌△ADF是解题的关键． 19．（8分）某校为了解学生家长对孩子使用手机的态度情况，随机抽取部分学生家长进行问卷调查，发出问卷140份，每位家长1份，每份问卷仅表明一种态度，将回收的问卷进行整理（假设回收的问卷都有效），并绘制了如图两幅不完整的统计图． 根据以上信息解答下列问题： （1）回收的问卷数为 　 　 份，“科学管理”部分对应扇形的圆心角度数为 　 　 ； （2）把条形统计图补充完整； （3）若将“稍加询问”和“从来不管”视为“管理不科学”，学校准备请这些家长到学校进行沟通．已知全校共1200名学生，请估计应该参加沟通的家长大约有多少人？ 【分析】（1）用“从来不管”的问卷数除以其所占百分比求出回收的问卷总数；用“科学管理”部分的问卷数除以问卷总数得出百分比，再乘以360°即可； （2）用问卷总数减去其他两个部分的问卷数，得到“稍加询问”的问卷数，进而补全条形统计图； （3）用“稍加询问”和“从来不管”两部分所占的百分比的和乘以1200即可得到结果． 【解答】解：（1）回收的问卷数为：30÷25%＝120（份）， “科学管理”部分对应扇形的圆心角度数为：360°＝30°． 故答案为：120，30°； （2）“稍加询问”的问卷数为：120﹣（30+10）＝80（份）， 补全条形统计图，如图所示： （3）根据题意得：12001100（人）， 答：估计应该参加沟通的家长大约有1100人． 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了利用样本估计总体． 20．（8分）如图，在△ABC中，AC＝AB，AC是⊙O的弦，D为AC的中点，连接OD，OA，分别交CB于点E，点F，OE＝OF． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）若OE＝3，sin∠AOD，求BF的长． 【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠CED＝∠AFB，∠ACB＝∠B，∠DCE+∠DEC＝90°，进而推出∠AFB+∠B＝90°，根据切线的判定即可得出结论； （2）在Rt△AOD中，设AD＝3x，OA＝5x，则OD＝4x，根据tan∠ACB＝tanB列出关于x的方程，求出x＝1，进而求出由AF＝2，AB＝6，在Rt△ABF中，根据勾股定理可得出BF． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵OC＝OA，D为AC的中点， ∴OD⊥AC， ∴∠DCE+∠DEC＝90°， ∵AC＝AB， ∴∠ACB＝∠B， ∵OE＝OF， ∴∠OEF＝∠OFE， ∵∠DEC＝∠OEF，∠AFB＝∠OFE， ∴∠DEC＝∠AFB， ∴∠AFB+∠B＝90°， ∴∠OAB＝90°， ∵OA是⊙O的半径， ∴AB是⊙O的切线； （2）解：在Rt△AOD中， ∵sin∠AOD， ∴， 设AD＝3x，OA＝5x， ∴OD4x， ∵OE＝OF＝3， ∴DE＝4x﹣3，AF＝5x﹣3， ∴AC＝2AD＝6x， ∴AB＝6x， ∵∠ACB＝∠B， ∴tan∠ACB＝tanB， ∴， ∴， 解得x＝1， ∴AF＝2，AB＝6， 在Rt△ABF中， ∴BF2． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，切线的判定，锐角三角函数的定义，勾股定理，根据tan∠ACB＝tanB列出关于x的方程，进而求出x＝1是解题的关键． 21．（8分）如图是由小正方形组成的7×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点． 图中A，B，C，D都是格点，E为AD与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）如图1，先将线段AE绕点A顺时针旋转90°到AF，再在AB上画点G，使tan∠AEG； （2）如图2，先在AB上画一点H，使CH⊥AB，再在AB上画点P，使CP＝BC． 【分析】（1）结合旋转的性质作图可得线段AF；在AF上取点H，使AF＝3AH，连接EH并延长，交AB于点G，则点G即为所求． （2）结合垂线的定义作图可得点H；在BC的延长线上取点Q，使BC＝CQ，过点Q作AB的垂线，交AB于点P，则点P即为所求． 【解答】解：（1）如图1，线段AF即为所求． 在AF上取点H，使AF＝3AH，连接EH并延长，交AB于点G， 则AH：AE＝AH：AF＝1：3， 即tan∠AEH＝tan∠AEG， 则点G即为所求． （2）如图2，CH即为所求． 在BC的延长线上取点Q，使BC＝CQ，过点Q作AB的垂线，交AB于点P， 则CH∥PQ， 可得CH为△BPQ的中位线， ∴CH垂直平分BP， ∴CP＝BC， 则点P即为所求． 【点评】本题考查作图﹣旋转变换、垂线的定义、线段垂直平分线的性质、解直角三角形等知识点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22．（10分）为有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛．如图1，在一个废弃高楼距地面10m的点A和15m的点B处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分．第一次灭火时站在水平地面的点C处，水流从C点射出恰好到达点A处，且水流的最大高度为16m，水流的最高点到高楼的水平距离为4m，建立如图1所示的平面直角坐标系，水流的高度y（m）与出水点到高楼的水平距离x（m）之间满足二次函数关系． （1）直接写出消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式：　yx2+3x+10　 ； （2）待A处火熄灭后，消防员前进2m到点D（水流从D点射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，请判断水流是否到达点B处，并说明理由； （3）若消防员从点C前进tm到点T（水流从T点射出）处，水流未达到最高点且恰好到达点A处，求请直接写出t的值．（水流所在抛物线形状与第一次完全相同） 【分析】（1）根据函数顶点坐标（4，16）且过A（0，10），可设抛物线解析式为y＝a（x﹣4）2+16，再待定系数法求解析式即可求解； （2）利用平移求出消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式，再令x＝0，即可求解； （3）利用平移求出消防员到点T处时水流所在抛物线的解析式，再结合水流未达到最高点且恰好到达点A（0，10），即可求解． 【解答】解：（1）依题意顶点坐标为（4，16）， ∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣4）2+16，将点A（0，10）代入得， 10＝a（0﹣4）2+16， 解得：a， ∴消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式为：y（x﹣4）2+16x2+3x+10； 故答案为：yx2+3x+10； （2）不能，理由如下， 依题意，消防员第二次灭火时水流所在抛物线是第一次抛物线向左平移2个单位得到， ∴消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式为：y（x﹣4+2）2+16（x﹣2）2+16， 令x＝0，解得：y16＝14.5≠15， 即消防员第二次灭火时水流所在抛物线不过B（0，15）， ∴水流不能到达点B（0，15）处， （3）依题意，消防员从点C前进tm到点T（水流从工点射出）处，可以看成把第一次抛物线向左平移t个单位得到， ∴消防员到点T处时水流所在抛物线的解析式为：y（x﹣4+t）2+16， ∵水流未达到最高点且恰好到达点A处， ∴y （x﹣4+t）+16过点A（0，10），且对称轴x＝4﹣t＜0， ∴t＞4， 将点A（0，10）代入得， 10（0﹣4+t）2+16， 解得t＝8或t＝0， ∴t＝8． 【点评】本题考查了二次函数的应用，二次函数的平移，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 23．（10分）综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动． 【问题发现】 如图1，在矩形ABCD中，AD：CD＝1：，点F在对角线AC上，过F点分别作AB和AD的垂线，垂足为E，G，则四边形AEFG为矩形．请问线段CF与DG的数量关系为 　 　 ． 【拓展探究】 如图2，将图1中的矩形AEFG绕点A逆时针旋转，记旋转角为α，当0°＜α＜180°时，连接CF，DG，在旋转的过程中，CF与DG的数量关系是否仍然成立？请利用图2进行证明． 【解决问题】 如图3，当矩形ABCD的边AD＝AB时，点E为直线CD上异于D，C的一点，以AE为边作正方形AEFG，点H为正方形AEFG的中心，连接DH，若AD＝4，DE＝2，直接写出DH的长． 【分析】【问题发现】先证△FAG∽△CAD，推出，利用等比的性质可得； 【拓展探究】由旋转的性质可得∴∠CAF＝∠DAG，进而证明△ACF∽△ADG，利用相似三角形对应边成比例即可求解； 【解决问题】分“点E在线段CD上”和“点E在线段CD延长线上”两种情况，证明△ACE∽△ADH，利用相似三角形的性质求解即可． 【解答】解：【问题发现】在矩形ABCD中，， ∴， ∵EG⊥AD，CD⊥AD， ∴∠FGA＝∠CDA＝90°， 又∵∠FAG＝∠CAD， ∴△FAG∽△CAD， ∴， ∴， ∴，即， ∴CF＝2GD， 故答案为：CF＝2GD； 【拓展探究】仍然成立．理由如下： 图1中，∠FAG＝∠CAD，∠FGA＝∠CDA， ∴△AFG∽△ACD， ∴， 图2中，由旋转可得：∠CAF＝∠DAG， ∴△ACF∽△ADG， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴CF＝2GD； 【解决问题】①如图3，当点E在线段CD上时，连接AC、AH， ∵四边形ABCD，四边形AEFG为正方形， ∴∠CAD＝∠EAH＝45°，， ∴∠CAE＝∠DAH， ∴△ACE∽△ADH， ∴， ∵AD＝CD＝4，DE＝2， ∴CE＝4﹣2＝2， ∴； ②如图4，当点E在线段CD延长线上时，连接AC、AH， ∵四边形ABCD，四边形AEFG为正方形， ∴∠CAD＝∠EAH＝45°，， ∴∠CAE＝∠DAH， ∴△ACE∽△ADH， ∴， ∵AD＝CD＝4，DE＝2， ∴CE＝4+2＝6， ∴； 综上所述，DH的长为或． 【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质．解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 24．（12分）已知抛物线：y＝ax2+bx+c（a＞0），交x轴于A、B、与y轴的交点C在负半轴． （1）若A（﹣1，0），B（3，0），OB＝OC． ①求抛物线的解析式． ②若P（x1，y1）在对称轴右侧抛物线上，且△APC为锐角三角形，求x1的取值范围． （2）如图2，D在y轴上点C的下方，过D的直线DE、DF与抛物线y＝ax2+bx+c都只有唯一公共点E、F，EF交y轴于Q，EM∥x轴交y轴于N，交FM∥y轴交EM于M，求． 【分析】（1）①根据OB＝OC可得点C坐标为C（0，﹣3），由待定系数法即可求出解析式； ②求出当△APC为直角三角形时P（x1，y1）的特殊位置，再根据图形即可得出x1的取值范围即可； （2）根据直线与抛物线只有一个交点，设D点坐标为（0，m），E（e，ae2+be+c），F（f，af2+bf+c），根据直线与抛物线有唯一交点求出e+f＝0，从而求出QN与ME的长，即可求解． 【解答】解：（1）①∵B（3，0），OB＝OC， ∴点C（0，﹣3）， 将A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），代入y＝ax2+bx+c（a＞0）， 得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； ②如图： ∵A（﹣1，0），，C（0，﹣3）， ∴AC2＝12+32＝10， ， ， 当∠PAC＝90°时，CP2﹣AP2＝AC2， ∴， 整理得：， 解得：x1＝﹣1（与点A重合，舍去）或； 当∠PCA＝90°时，AP2﹣CP2＝AC2， ∴[（x+1）2+（2x﹣3）2]﹣[（2x）2]＝10， 整理得：， 解得：x1＝0（与点C重合，舍去）或， ∴△APC为锐角三角形，x1的取值范围； （2）设D点坐标为（0，m），E（e，ae2+be+c），F（f，af2+bf+c）， ∵D点在C点下方， ∴m＜c， 直线DE的解析式为yx+m， 直线DF的解析式为yx+m， 直线EF的解析式为y＝（ae﹣af+b）x+aef+c， ∵直线DE与抛物线y＝ax2+bx+c有唯一交点， ∴ax2+bx+cx中Δ＝0， ∴Δ＝（ae）2﹣4a（c﹣m）＝0， ∵直线DF与抛物线y＝ax2+bx+c有唯一交点， ∴ax2+bx+cx+m中Δ＝0， ∴Δ＝（af）2﹣4a（c﹣m）＝0， ∴（ae）2＝（ae）2， ∴aef＝c﹣m或e+f＝0， ∵ef＜0，a＞0，c﹣m＞0， ∴e+f＝0， ∴直线EF的解析式为y＝bx+ae2+c， ∴Q（0，ae2+c）， ∵ME＝﹣2e，NQ＝be， ∴． 【点评】本题考查了二次函数与几何综合，解题关键是利用直线与抛物线交点个数与系数的关系，设参数表示线段从而求解． 学科网（北京）股份有限公司 $$