猜押09 函数和几何中最值问题（六大题型）-2025年中考数学冲刺抢押秘籍（四川成都专用）

猜押09 函数和几何中最值问题 猜押考点 3年成都真题 考情分析 押题依据 函数中最值问题（填空压轴） 2024年成都卷A卷第13题。 从最近三年的成都中考数学试卷中分析，最值问题时长出现在A卷或B卷的填空压轴题位置，主要考查函数最值问题和几何最值问题，常常结合相似三角形、动点问题以及特殊四边形的判定等进行考查。 分析近三年成都数学中考试卷，有2年都出现了最值问题，所以在2025年的成都中考试卷中出现的概率还是非常大的，最值问题一直是初中数学中的重难点。此题型综合性强，难度大，考查学生综合知识运用的能力。 几何中最值问题（选填压轴） 2022年成都卷B卷第23题 题型一：函数中的最值问题（选填压轴）★★★ 1．（2024·四川成都·二模）如图，在正方形，点，在射线上，，则最大值是 ． 2．（2024·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点．点，点在平面直角坐标系内且满足，连接，，，则的最小值为 ． 3．（2023·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示，对任意的，称W为a到b时y的值的“极差”（即时y的最大值与最小值的差），L为a到b时x的值的“极宽”（即b与a的差值），则当时，W的取值范围是 ．    4．（2024·四川成都·一模）如图，二次函数的图象交轴于点（点在点的左侧），交轴于点．现有一长为的线段在直线上移动，且在移动过程中，线段上始终存在点，使得三条线段能与某个等腰三角形的三条边对应相等．若线段左端点的横坐标为，则的取值范围是 ． 5．（2025·四川成都·一模）若二次函数 满足∶ 当时，，则称这个二次函数是上的“封闭二次函数”．已知是上的“封闭二次函数”，且图象过点和，则 ；若二次函数是上的“封闭二次函数”，其图象过点和，则a的取值范围是 ． 6．（2024·四川成都·模拟预测）定义：若x，y满足，（k为常数），且，则称点为“优点”．若是“优点”，则 ；若抛物线上至少存在一个“优点”，则的取值范围为 ． 7．（2024·四川成都·一模）如图，已知，直线l：经过点，点O关于直线l的对称点落在三角形内（不含边界），则b的取值范围是 ． 8．（2024·四川成都·三模）在平面直角坐标系中给出以下定义：点，点，，，则我们称B是A的“跳跃点”．若二次函数的图象上恰有两个点的“跳跃点”在直线上，则a的取值范围为 ． 9．（2024·四川成都·二模）若点的坐标满足其中，t为常数，则称点M为“好点”．若双曲线上存在“好点”，则k的取值范围是 ． 10．（2023·四川成都·二模）新定义：对于三个数a、b、c，我们用表示这三个数中最大的数，如：．若直线与函数的图象有且只有2个交点，则b的取值范围为 ． 11．（2024·四川成都·二模）利用数学公式处理原始数据是数据加密的一种有效方式．在平面直角坐标系中，定义一种坐标加密方式：将点变换得到点，则称点Q是点P的“加密点”．例如，点的“加密点”是点．已知点A在x轴的上方，且，若点A的“加密点”B在直线上，则m的取值范围是 ． 12．（2023·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于点，我们称直线为点的相关直线．例如，点的相关直线为．已知点，点．点为直线上的动点．以为圆心，6为半径作圆．在点运动过程中，当点的相关直线与圆交于，两点时，的最小值为8，则的值为 ． 13．（2023·四川成都·三模）在平面直角坐标系中，对于两点，，给出如下定义：以线段为边的等边三角形称为点，的“确定三角形”．如果点在以边长为的等边△ABC的边上，且轴，的中点为，点在直线上，若要使所有的，的“确定三角形”的周长都不小于，那么的取值范围为 ．    题型二：几何最值中线段和最值问题★★★★★ （2023·四川成都·二模）2．（2024·四川成都·二模）如图，在边长为4的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，则的最小值为 ． 3．（2024·四川成都·二模）如图，在中，，是以为直径的圆，点D为上一点，连接，点E是的中点，连接，则的最小值是 ． 4．（2024·四川成都·三模）如图，在正方形中，，点E在边上运动，连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接，则的最小值为 ． 5．（2024·四川成都·二模）如图，在菱形中，，，M，N分别是边的动点，满足，连接，E是边上的动点，F是上靠近C的四等分点，连接，当面积最小时，的最小值为 ．    6．（2023·四川成都·二模）如图，矩形中，，点E是的中点，点F是边上一动点．将沿着翻折，使得点B落在点处，若点P是矩形内一动点，连接，则的最小值为 ． ​ 7．（2023·四川成都·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，是边上的两个动点，，连接，，则 的最小值为 ． 8．（2024·四川成都·一模）如图，矩形中，已知为边上一动点，将沿边翻折到．点与点重合．连接．则的最小值为 ． 9．（2023·四川成都·一模）如图，在菱形中，点P为对角线上的动点（不与端点重合）．过点P作于点M，于点N，连接，已知，，则的最小值等于 ． 10．（2023·四川成都·模拟预测）如图所示，在边长为2的等边三角形中，为的中点，为的中点，过点作交于，交于，是线段上一个动点，连接，，则的周长的最小值是 ． 11．（2024·四川成都·一模）如图，已知菱形的周长为8，面积为为的中点，若为对角线上一动点，记的最大值为，记的最小值为，则 ． 12．（2022·四川成都·二模）如图所示，在四边形中，，，，，在上找一点，使的值最小，则的最小值为 ． 13．（2023·四川成都·三模）如图所示，在四边形中，，，，，在上找一点P，使的值最小，则的最小值为 ． 题型三：几何最值中线段的取值范围★★★ 1．（2023·四川成都·模拟预测）如图，菱形中，，，点为上一点，连接，以为斜边作等腰直角三角形，，则的取值范围是 ．    2．（2022·四川成都·一模）如图，在矩形中，，，动点P从点D出发，在边上以每秒1个单位的速度向点A运动，连接，作点D关于直线的对称点E，设点P的运动时间为．在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻，使点E到直线的距离等于3，则所有这样的m的取值范围为 ． 3．（2024·四川成都·二模）如图，正方形的边长为2，点是边上的动点，连接、，将绕点顺时针旋转得到，将绕点逆时针旋转得到，连接，则线段的取值范围为   ． 4．（2024·四川成都·模拟预测）我国古代直至世纪六七十年代，民间航海主要依靠海图指引航行，海图上有详尽数据，包括岛屿，灯塔，暗礁，水深等，船长结合灯塔的位置，通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图，表示灯塔，暗礁分布在经过两点的一个圆形区域内，是有触礁危险的临界点，就是“危险角”，船与暗礁在的同侧，若，，，当船位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角的取值范围是 ． 5．（2024·四川成都·三模）如图，在矩形纸片中，，折叠纸片，使点A落在边上的点处，折痕交边于点，交边于点S，P为的中点，连接，则线段长度的取值范围是 ． 题型四：几何最值中线段的最值问题★★★ 1．（2023·四川成都·一模）如图，在正方形中，，点和分别为上的动点，且，以为底边在右侧构造等腰且满足，连接，则的最小值为 ． 2．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在矩形中，，点E、F分别为线段上的动点，且，四边形关于直线对称后得到四边形，连接，则的最小值为 ． 3．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，，，，于点，点是线段上一动点，以为直角边作，且，连接，则当时，的长为 ；点在运动过程中，的最小值为 ． 4．（2024·四川成都·二模）如图，已知矩形中，，，点在边上，连接，沿折叠△BCF，点落在点处，连接，则长度的最小值为 ． 5．（2024·四川成都·三模）如图，△ABC是等腰直角三角形，，若，是中点，则的最小值为 ． 6．（2024·四川成都·三模）如图，，点 P在射线上，且，点 Q是射线 上一动点． 将沿折叠，点O落在平面内点 C处．点 D在射线上，且，则的最小值为 ． 7．（2023·四川成都·一模）如图，四边形为矩形，对角线与相交于点，点在边上，连接，过做，垂足为，连接，若，，则的最小值为 ． 8．（2024·四川成都·一模）如图，在四边形中，，，，若点M，点N分别在边和边上运动，且，连接，则的最小值为 ． 9．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在△ABC中，，，按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，是线段上的一个动点．若，则的最小值是 ． 题型五：几何最值中最大值问题★★★★ 1．（2023·四川成都·二模）在等边△ABC中（其中），点P在边上运动，点Q在边上运动，且满足（点P，Q都不与B重合），以为底边在左侧做等腰三角形，使得．则四边形的面积的最大值是 ． 2．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在菱形中，，．点E，F分别在边，上，沿折叠该菱形，使点A落在边上的点M处．当点M的位置变化时，的长的最大值为 ． 3．（2024·四川成都·二模）如图，在矩形中，，为对角线，为的中点，过点作，与交于点，与交于点，为上一点（包含顶点，），则的最大值为 ． 4．（2023·四川成都·一模）如图，点为等边△ABC的边上的一个动点，，过点作于点，交边于点，连接，则的面积最大值为 ． 5．（2024·四川成都·三模）如图，在中，是斜边边上一点，且，分别过点、作、平行于，若，则与之间的最大距离为 ． 6．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在正方形中，，E为边上的动点，连接，以为边作正方形，连接，，则面积的最大值为 ．    7．（2024·四川成都·二模）在四边形中，，，，且，则四边形面积最大值为 ． 8．（2022·四川成都·二模）如图，等腰中，是上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，当的面积最大值时，的值是 ． 题型六：圆中最值问题之“隐圆”问题★★★ 1．（2023·四川成都·二模）如图，在中，，为边上的动点，过作于点，连接并延长交于点．当取得最小值时，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·四川成都·一模）如图，在正方形中，对角线与相交于点，点为边的中点，于点，，交的延长线于点，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．（2024·四川成都·二模）如图，在△ABC中， ， ．以为斜边作等腰直角，连接，则的最大值为 ．    4．（2024·四川成都·三模）如图，在菱形中，，，点E为边上一动点，点F为中点，点G为上一点，满足，连接，则的最小值为 ． 5．（2024·四川成都·二模）如图，为的直径，C为半圆上的一动点，以为边向外作等边（点D在直线的上方），连接．若的半径为2，则线段的最大值为 ． 6．（2023·四川成都·一模）点P在平面内一动点，，，点M是上一点，且，连接，则的最小值为 ． 7．（2023·四川成都·二模）如图，在矩形中，米，米．点P以每秒5米的速度沿折线运动，总有，垂足为Q．当取得最小值时，点P运动了 秒． 8．（2024·四川成都·模拟预测）如图，，在中，，，当点分别在射线上滑动时，连结，则的最大值为 ． 9．（2024·四川成都·模拟预测）如图，是半的直径，点在半上，，，是上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点移动的过程中，的最小值为 ． 10．（2024·四川成都·二模）如图，在△ABC中，，，，点是△ABC内部的一动点，且满足．则线段的最小值为 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 猜押09 函数和几何中最值问题 猜押考点 3年成都真题 考情分析 押题依据 函数中最值问题（填空压轴） 2024年成都卷A卷第13题。 从最近三年的成都中考数学试卷中分析，最值问题时长出现在A卷或B卷的填空压轴题位置，主要考查函数最值问题和几何最值问题，常常结合相似三角形、动点问题以及特殊四边形的判定等进行考查。 分析近三年成都数学中考试卷，有2年都出现了最值问题，所以在2025年的成都中考试卷中出现的概率还是非常大的，最值问题一直是初中数学中的重难点。此题型综合性强，难度大，考查学生综合知识运用的能力。 几何中最值问题（选填压轴） 2022年成都卷B卷第23题 题型一：函数中的最值问题（选填压轴）★★★ 1．（2024·四川成都·二模）如图，在正方形，点，在射线上，，则最大值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式等，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式是解决问题的关键．过点E作交于G，过点G作于H，设，正方形的边长为，，其中，证先，再证和全等得，然后证得，则，，进而得，则：，依题意得关于x的方程有两个实数根，得到根的判别式，得，由此解得，据此可得k的最大值，进而可得的最大值． 【详解】解：过点E作交于G，过点G作于H，如下图所示： 设，正方形的边长为，，其中， ，， ， 四边形为正方形，， 又， ，， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， 整理得∶， 依题意得关于x的方程有两个实数根 根的判别式 ， 将上式两边同时除以，得：， 整理得：， ， ， ， 的最大值为， 的最大值为． 故答案为：． 2．（2024·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点．点，点在平面直角坐标系内且满足，连接，，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，平行四边形的判定与性质，两点之间线段最短，分别求出直线与轴交点坐标以及点的坐标，根据点坐标可得，要求的最小值只要求最小，平移点B，构造平行四边形和直角三角形，根据两点之间线段最短可解决问题 【详解】解：∴直线与反比例函数的图象交于，两点， ∴联立方程组， 解得， ∴ 对于，当时，， ∴， ∵点，点， ∴，轴， 要求的最小值只要求最小，将点B向左平移3个单位，连接，如图， 则， ∴四边形是平行四边形， ∴, ∴ 当三点共线时，最小，即最小， 在中，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 3．（2023·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示，对任意的，称W为a到b时y的值的“极差”（即时y的最大值与最小值的差），L为a到b时x的值的“极宽”（即b与a的差值），则当时，W的取值范围是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 依据题意，由，从而可得抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为，再由，从而，结合题意可得，结合二次函数的性质可得，当时，有最大值，最大值为；当时，有最小值，最小值为，故，进而可得的范围． 【详解】解：根据题意可得：， 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为． ，即与的差值为7， ． ，即， ． ． 当时，随增大而增大，当时，随的增大而减小， 当时，有最大值，最大值为． 当时，有最小值，最小值为， ． 对称轴是直线． 当时，随的增大而增大． 当时，有最小值，最小值为4． 当时，有最大值，最大值为． 综上所述：． 故答案为： 4．（2024·四川成都·一模）如图，二次函数的图象交轴于点（点在点的左侧），交轴于点．现有一长为的线段在直线上移动，且在移动过程中，线段上始终存在点，使得三条线段能与某个等腰三角形的三条边对应相等．若线段左端点的横坐标为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，两点距离公式，轴对称的性质，三角形三边关系，先求出点A，点B，点C坐标，分三种情况讨论，由两点间距离公式和三角形三边关系可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象交轴于点（点在点的左侧），交轴于点 当时，， 当时，， 解得： ∴，对称轴为直线 如图所示， ∵线段上始终存在点，使得三条线段能与某个等腰三角形的三条边对应相等 ∴或或， ∵段在直线上移动， ∴点的纵坐标为, 设 ①若， ∴ 解得： ∴ ∴ ∵ ∴不能构成三角形，舍去； ②若， ∴ 解得： ∴ ∵ ∴能构成三角形， ③若 ∴ 解得： ∴ ∵， ∴能组成三角形； ∵点在长为的线段上， ∴线段左端点的横坐标为的取值范围为，即 故答案为：． 5．（2025·四川成都·一模）若二次函数 满足∶ 当时，，则称这个二次函数是上的“封闭二次函数”．已知是上的“封闭二次函数”，且图象过点和，则 ；若二次函数是上的“封闭二次函数”，其图象过点和，则a的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查二次函数图象及性质，依据题意结合函数增减性及最值思考是解决本题的关键．根据题意把和代入相减得到，求出结果即可；把和代入求出解析式为，继而得到对称轴为，再分为和，根据题意分情况讨论即可得到本题答案． 【详解】解：把和代入可得：， 两式相减得， 即， ∵， ∴； 把和代入得， 解得：， ∴， ∴抛物线的对称轴是直线， 当时，则， 若时，即， 在范围内，y随x的增大而减小， 则当时，取最大值，最大值为； 当时，y取最小值，最小值为； 即此时在范围内，，满足“闭函数”的定义； 当，即， 最大值为时，y有最大值，最大值大于，不满足“闭函数”的定义； 当时，则， 若时，即， 在范围内，y随x的增大而减小， 则当时，取最大值，最大值为； 当时，y取最小值，最小值为； 即此时在范围内，，满足“闭函数”的定义； 当，即， 最大值为时，y有最大值，最大值大于，不满足“闭函数”的定义； 综上所述，a的取值范围为或． 6．（2024·四川成都·模拟预测）定义：若x，y满足，（k为常数），且，则称点为“优点”．若是“优点”，则 ；若抛物线上至少存在一个“优点”，则的取值范围为 ． 【答案】 6 【分析】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征以及新定义问题，根据“优点”定义得出，进而计算即可得出的值，求出直线解析式，根据二次函数的性质并结合题意，计算即可得答案，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：由“优点”定义可知，， 解得或6． 由题意可知，． ∴． ∴． ∴，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴直线上的点都是“优点”． 对于直线，当时，；当时，． 设，． 由题意可知，抛物线上至少存在一个“优点”，即转化为抛物线与直线至少有一个交点． 如图1，当抛物线与有且只有一个交点时，联立， 整理，得． ∴． 解得， 此时取得最小值． 如图2，当抛物线过点A时，． 解得， 此时取得最大值． ∴的取值范围为． 故答案为6，． ． 7．（2024·四川成都·一模）如图，已知，直线l：经过点，点O关于直线l的对称点落在三角形内（不含边界），则b的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查轴对称的性质、坐标与图形等知识点，确定临界点是解题的关键． 由轴对称的性质可得点在以点M为圆心，的长为半径的上，当点落在三角形内（不含边界）时，点落在与，的交点之间的弧上，因此确定临界点，①点在线段上，②在点在线段上，求出点的坐标，进而求得的中点N的坐标，进而根据待定系数法即可解答． 【详解】解：如图，设直线l：经过的点为点M，则 ∵点与点关于直线l对称， ∴ ∴点在以点M为圆心，的长为半径的上． 当点在上时， 设过点，的直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵点在线段上， ∴设点的坐标为， ∵， ∴， ∴，（舍去） ∴， 连接，交直线l于点N，则点N是的中点， ∴， ∵直线l：过点，， ∴，解得． 当点在上时， 可得过点，的直线的解析式为， ∵点在线段上， ∴设点的坐标为， ∵， ∴， ∴，（舍去） ∴， ∴的中点N的坐标为， ∵直线l：过点，， ∴，解得． 综上，点落在三角形内（不含边界），b的取值范围是． 故答案为：． 8．（2024·四川成都·三模）在平面直角坐标系中给出以下定义：点，点，，，则我们称B是A的“跳跃点”．若二次函数的图象上恰有两个点的“跳跃点”在直线上，则a的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，涉及到新定义，一次函数的图象，解不等式，解题的关键是利用数形结合的思想． 先求出点C、D所在的直线表达式为，当时，还出抛物线与直线的大致图象，联立直线和抛物线的表达式，用a的代数式表示出x，根据x的范围求出a的范围，还需考虑根的判别式；当时，不成立． 【详解】解：设二次函数图象上的两点为点C、D， 题意得点 的“跳跃点”为，将代入， 得：， ∴，则点C在直线上，同理点D也在直线上， 对于二次函数， 令，则， 解得：或， ∴抛物线与x轴交于和， 当时，抛物线与直线的大致图象如图： 直线也经过，设为点D，另一个交点设为点C， 则联立直线和抛物线的表达式得到， 则， 则，解得， 则，而， ∴ ， ∴， 对于，化简为：， 而直线和抛物线在时有两个交点，故 ∴ ∴， ∴且； 当时，如图： 直线不可能与抛物线在时有两个交点，故舍， 综上：且． 9．（2024·四川成都·二模）若点的坐标满足其中，t为常数，则称点M为“好点”．若双曲线上存在“好点”，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．根据题意列出方程组，解方程组得到，依据条件得到，整理出的代数式按照自变量取值范围确定的范围即可． 【详解】解：双曲线上存在“好点”， ， ①②得：， ， ， ， 整理得：， ， ． 故答案为：． 10．（2023·四川成都·二模）新定义：对于三个数a、b、c，我们用表示这三个数中最大的数，如：．若直线与函数的图象有且只有2个交点，则b的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查在新定义下直线与抛物线相交的问题，根据题意得知是直线与抛物线相交是解决本题的前提，分类讨论思想的运用是解题的关键．求得、点的坐标，根据题意，分三种情况说明从而求解． 【详解】解：如图，    ①直线经过得，则， ②解得或， ， 代入得，， 解得， ③直线与抛物线相切时，则，即， 则 ， 解得：． 故答案为：或． 11．（2024·四川成都·二模）利用数学公式处理原始数据是数据加密的一种有效方式．在平面直角坐标系中，定义一种坐标加密方式：将点变换得到点，则称点Q是点P的“加密点”．例如，点的“加密点”是点．已知点A在x轴的上方，且，若点A的“加密点”B在直线上，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象和性质，直线与圆的位置关系； 设，则，可得，进而得当直线与半圆相切时，，当直线过点时，，进而得到答案 【详解】解：设，则 ∵B在直线上， ∴，即， ∵点A在x轴的上方，且， ∴， ∴是直线与半圆的交点， 当直线与半圆相切时， ∴中，，即， 当直线过点时，， ∴ 故答案为： 12．（2023·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于点，我们称直线为点的相关直线．例如，点的相关直线为．已知点，点．点为直线上的动点．以为圆心，6为半径作圆．在点运动过程中，当点的相关直线与圆交于，两点时，的最小值为8，则的值为 ． 【答案】或/或1 【分析】求出直线的解析式为：，求出点M的关联直线经过定点；如图所示，过点C作于H，连接，则，得出，说明要想最小，则要使最大，根据的最小值为8，得出的最小值为4，求出，根据当点H与点重合时，最大，得出，解方程即可． 【详解】解：设直线的解析式为：，把点，点代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设点M的坐标为， ∴点M的关联直线为， ∴点M的关联直线经过定点； 如图所示，过点C作于H，连接，则， ∴， ∴要想最小，则要使最大， ∵的最小值为8，即的最小值为4， ∴， 当点H与点重合时，最大， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或． 故答案为：或 13．（2023·四川成都·三模）在平面直角坐标系中，对于两点，，给出如下定义：以线段为边的等边三角形称为点，的“确定三角形”．如果点在以边长为的等边△ABC的边上，且轴，的中点为，点在直线上，若要使所有的，的“确定三角形”的周长都不小于，那么的取值范围为 ．    【答案】或 【分析】本题考查一次函数的图象性质，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．先根据题意求出、、的长，然后设点的坐标，从而表示出点的坐标，再表示出点到直线的距离，构造不等式即可解答． 【详解】解：等边△ABC的边长为， ，， ，， ， ， 过作直线于点，设直线与x轴y轴分别交于点，如图：    当时，，当时，， ，， ， ∵点E，F的“确定三角形”是等边三角形， ∴当点与点C重合时，点E到直线的距离最短， 此时点E，F的“确定三角形”边最短，即为的长，故“确定三角形”的周长最小， 在中，， 点到直线的距离为， ， 或， 解得或． 故答案为：或． 题型二：几何最值中线段和最值问题★★★★★ 1．（2023·四川成都·二模）如图，在中，，，．D，E分别是边，上的动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】过作于，使，连接、，即可得到，，即最小值为的长． 【详解】方法一：过作于，使，连接、， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴当三点共线时有最小值，最小值为的长 ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴的最小值为， 故答案为：． 方法二：，则，， ∴， 设， ∴ ∴可以看成点到点和的距离之和， ∴当、、三点共线时最小，最小值， ∴最小值为． 2．（2024·四川成都·二模）如图，在边长为4的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称－最短路线问题，菱形的性质，含的直角三角形的性质，平移的性质，正确地理解题意是解题的关键． 根据菱形的性质得到，，得出，根据平移的性质得到，，推出四边形是平行四边形，得到，于是得到的最小值为的最小值，根据平移的性质得到点D′在过点D且平行于AC的定直线上，作点C关于定直线的对称点E，连接交定直线于D′，则的长度即为的最小值，求得，得到，于是得到结论． 【详解】解：在边长为4的菱形中，， ∴，，， 将沿射线的方向平移得到， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的最小值的最小值， ∵点在过点且平行于的定直线上， ∴作点关于定直线的对称点，连接交定直线于， 则的长度即为的最小值，令交于， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，则， ∴，， ∴． 故答案为：． 3．（2024·四川成都·二模）如图，在中，，是以为直径的圆，点D为上一点，连接，点E是的中点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】题目主要考查圆的综合问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，根据题意构造相似三角形是解题关键． 连接，取的中点H，确定一点G，连接，使得，连接，根据相似三角形的判定和性质得出，再由三角形中位线确定，得出当点H、E、G三点共线时，取得最小值，即取得最小值，过点H作于点F，连接，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，取的中点H，确定一点G，连接，使得，连接，如图所示： 根据题意得：， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点H为的中点， ∴， ∴， 当点H、E、G三点共线时，取得最小值，即取得最小值， 过点H作于点F，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴则的最小值是， 故答案为：． 4．（2024·四川成都·三模）如图，在正方形中，，点E在边上运动，连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】将绕点旋转90度得到，连接，得到，证明，得到，将绕点旋转90度，得到，连接，证明，得到点在直线上运动，作点关于的对称点，连接，得到，过点作，交的延长线于点，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵正方形， ∴， 将绕点旋转90度得到，连接， 则：，， ∴， ∵将绕点E顺时针旋转得到， ∴， ∴，即：， ∵，， ∴， ∴， ∴， 将绕点旋转90度，得到，连接， 则：，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点在直线上运动， 作点关于的对称点，连接，则：， ， 过点作，交的延长线于点，则：， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； ∴的最小值为． 故答案为：． 5．（2024·四川成都·二模）如图，在菱形中，，，M，N分别是边的动点，满足，连接，E是边上的动点，F是上靠近C的四等分点，连接，当面积最小时，的最小值为 ．    【答案】3 【分析】连接，取的中点，连接，得到是等边三角形，进而判断当面积最小时，，根据为上的动点，当重合时，最小，进而可得的最小值． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接，   四边形是菱形，， ， 是等边三角形 ， 为等边三角形， 点是上靠近点的四等分点， 的面积最小时，的面积也最小 当最小时，的面积最小   当时，最小 是等边三角形， 点是上的动点， 当点与点重合时，最小 的最小值为 故答案为： 6．（2023·四川成都·二模）如图，矩形中，，点E是的中点，点F是边上一动点．将沿着翻折，使得点B落在点处，若点P是矩形内一动点，连接，则的最小值为 ． ​ 【答案】/ 【分析】本题考查了图形的折叠与旋转，两点之间线段最短的应用，勾股定理等知识点，将绕点C顺时针旋转得到，连接，连接，由等腰三角形得出，再由折叠得出点的轨迹在以点E为圆心，为半径的圆周上，所以的最小值为，即的最小值为，经计算得出答案即可，熟练掌握图形的旋转及图形的折叠对称的性质是解决此题的关键． 【详解】将绕点C顺时针旋转得到，连接，连接， 则三点共线，， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， 由折叠成， ∴， ∴点在以点E为圆心，为半径的圆上， ∴， ∵两点间线段最短， ∴， 即， ∴， ∴， 则的最小值为， 故答案为：． 7．（2023·四川成都·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，是边上的两个动点，，连接，，则 的最小值为 ． 【答案】 【分析】确定，延长线的交点，判定是等边三角形，过点作的垂线，用特殊角三角函数求解，确定长度，用勾股定理逆定理判定，过点作的垂线，使得，判定，得到，确定，由两点间线段最短可知的最小值为．过点作的垂线，交的延长线于点，用特殊角三角函数求解，最后用勾股定理求解即可． 【详解】解：如解图，延长，交于点． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，，， 过点作的垂线，垂足为点． 在中，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 过点作的垂线，使得，连接，． ∵，，， ∴， ∴， ∴． ∵两点之间线段最短， ∴的最小值为，即的最小值为． 过点作的垂线，交的延长线于点． ∵，， ∴，，， ∴， ，即的最小值为． 8．（2024·四川成都·一模）如图，矩形中，已知为边上一动点，将沿边翻折到．点与点重合．连接．则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，在上取点G，使，连接，，证明，可得出，则，当D、F、G三点共线时，最小，在中，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：在上取点G，使，连接，， ∵翻折， ∴， 又， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 当D、F、G三点共线时，最小， 在中，，，， ∴， 即的的最小值为． 故答案为：． 9．（2023·四川成都·一模）如图，在菱形中，点P为对角线上的动点（不与端点重合）．过点P作于点M，于点N，连接，已知，，则的最小值等于 ． 【答案】/ 【分析】过点P作，垂足为，过点D作，垂足为，交于点，连接，交于点，连接，根据菱形的性质，得到，，由，，结合，推出点三点共线，即是定值，当点三点共线时，即点G，M重合，有最小值，最小值为的长，进而得到有最小，最小值为，根据，，求出，利用菱形的面积公式即可求出，由菱形的性质，易证，利用三角形的性质得到，即可求解． 【详解】解：过点P作，垂足为，过点作，垂足为，交于点，，连接，交于点， 是菱形，，， ，， ，，， 三点共线，即是定值， 当点三点共线时，即点G，M重合，有最小值，最小值为的长， 有最小，最小值为， ，， ，， ，， ， 菱形的面积为：， ， ，， ， ， ， ， ，即， ， 故答案为：． 10．（2023·四川成都·模拟预测）如图所示，在边长为2的等边三角形中，为的中点，为的中点，过点作交于，交于，是线段上一个动点，连接，，则的周长的最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，轴对称最短路线问题，熟练掌握将军饮马基本模型是解题的关键．连接，首先证明是的垂直平分线，得，则的周长为，当、、共线时，的最小值为2，从而得出答案． 【详解】解：连接， 点是的中点，是等边三角形， ， ， ， 点为的中点， 是的垂直平分线， ， 的周长为， 当、、共线时，的最小值为2， 的周长最小值为3， 故答案为：3 11．（2024·四川成都·一模）如图，已知菱形的周长为8，面积为为的中点，若为对角线上一动点，记的最大值为，记的最小值为，则 ． 【答案】/ 【分析】过点C作，交与点，再根据菱形的面积求出，根据勾股定理求出，可得点E和点重合，即可得出的最小值为，然后根据点C和点A关于对称，可知，进而当点P与点B重合时，得出的最大值为，即可得出答案． 【详解】解：过点C作，交与点， ∵菱形的周长为8，面积为， ∴， ∴， ∴． 在中，． ∵点E是的中点， ∴， ∴点E和点重合． 根据三角形的三边关系可知， ∴． ∵点C和点A关于对称， ∴， 即． 当点P与点B重合时，得出的最大值为， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（2022·四川成都·二模）如图所示，在四边形中，，，，，在上找一点，使的值最小，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】此题主要考查了轴对称的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，判断出是解本题的关键． 先作出点C关于的对称点，判断出，进而判断出，再构造出直角三角形，利用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：如图，延长至，使， ∵， ∴点与点C关于对称， 连接交于，此时最小， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点B作交的延长线于E， 则（平行线间的距离处处相等）， 在中，， ∴， 即的值最小值为6， 故答案为：6． 13．（2023·四川成都·三模）如图所示，在四边形中，，，，，在上找一点P，使的值最小，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】作关于的对称点，连接、、，可得，当、、三点共线时，最小，即最小，此时过作交的延长线于，过作交于，可求，即可求解． 【详解】解：作关于的对称点，连接、、， ， ， ， ， 如图，   ， 当、、三点共线时，最小， 即最小， 此时 过作交的延长线于，过作交于， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， 同理可证：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 的最小值为； 故答案：． 题型三：几何最值中线段的取值范围★★★ 1．（2023·四川成都·模拟预测）如图，菱形中，，，点为上一点，连接，以为斜边作等腰直角三角形，，则的取值范围是 ．    【答案】 【分析】画出最大值和最小值时相应的图形，过点作于点，连接，过点作于点，根据证明，可证明再点的运动轨迹是，根据垂线段最短、等腰直角三角形、含角的直角三角形的性质及菱形的性质进行计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点，连接，过点作交于点，   ，， ，， 又， ， ， ， 点在直线上运动， 当时，有最小值，此时是等腰直角三角形； ，， ， ， ， ， 的最短距离为， 如图，当点移动到点时，最大，       ，， 是等边三角形， ， 在等腰直角三角形中，， ， 的取值范围为， 故答案为：． 2．（2022·四川成都·一模）如图，在矩形中，，，动点P从点D出发，在边上以每秒1个单位的速度向点A运动，连接，作点D关于直线的对称点E，设点P的运动时间为．在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻，使点E到直线的距离等于3，则所有这样的m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分两种情形求出的值即可解决问题：①如图2中，当点P与A重合时，点E在的下方，点E到的距离为3．②如图3中，当点P与A重合时，点E在的上方，点E到的距离为3． 【详解】解：如图2中，当点P与A重合时，点E在的下方，点E到的距离为3． 作于Q，于M．则， ∴ ∴四边形是矩形， ∴ ∴， ∵关于对称， ∴ ∴ ， ∴， ∴， ∴ ∴，（当时，直线上方还有一个点满足条件，见图2） 如图3中，当点P与A重合时，点E在的上方，点E到的距离为3． 作于Q，延长交于M．则 ， 在中，， 同理可得：， ∴ ， ∴ ∴， 综上所述，在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t，使点E到直线的距离等于3，这样的m的取值范围． 3．（2024·四川成都·二模）如图，正方形的边长为2，点是边上的动点，连接、，将绕点顺时针旋转得到，将绕点逆时针旋转得到，连接，则线段的取值范围为   ． 【答案】/ 【分析】本题是正方形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，不等式的性质等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，作于点，可证得，得出，，同理：，，得出，再证得四边形是矩形，得出，，，再运用勾股定理即可求得答案． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，作于点， 则， 由旋转得：，，， ，， ，， ，， 正方形的边长为2，点是边上的动点， 设，则， ，， 在和中， ， ， ，， 同理：，， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，， ， ， ， 即， ， 线段的取值范围为． 故答案为：． 4．（2024·四川成都·模拟预测）我国古代直至世纪六七十年代，民间航海主要依靠海图指引航行，海图上有详尽数据，包括岛屿，灯塔，暗礁，水深等，船长结合灯塔的位置，通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图，表示灯塔，暗礁分布在经过两点的一个圆形区域内，是有触礁危险的临界点，就是“危险角”，船与暗礁在的同侧，若，，，当船位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，三角函数，圆周角定理，三角形外角性质，过点作于，设与相交于点，连接，设，则，利用勾股定理可得，进而可得，得到，再根据三角形外角性质可得，据此即可求解，利用勾股定理和三角函数求出是解题的关键． 【详解】解：过点作于，设与相交于点，连接，则， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（2024·四川成都·三模）如图，在矩形纸片中，，折叠纸片，使点A落在边上的点处，折痕交边于点，交边于点S，P为的中点，连接，则线段长度的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 根据题意，由折叠的性质以及直角三角形的性质，知，分以下两种情况当时，最长， 最长；当时，最短，最短，分别讨论，设，则，结合勾股定理即可得出线段长度的取值范围，线段长度的取值范围即可求解． 【详解】由折叠的性质可知：， 在中，P为的中点 ， 由题可得：当时，最长，最长值为6，如下图： 当时，最短，如下图： 设，则， 在中， ，， ， ， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ， ． 题型四：几何最值中线段的最值问题★★★ 1．（2023·四川成都·一模）如图，在正方形中，，点和分别为上的动点，且，以为底边在右侧构造等腰且满足，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等，过点作于，过点作与过点作的垂线相交于点, 根据中位线定理设，则，根据 推出 ，再证明得出，，过点作于，利用勾股定理表示出的长即可得出结果，正确作出辅助线构造相似三角形，根据勾股定理得出的长是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，过点作与过点作的垂线相交于点，则， ∵，， ∴为的中点， ∴，而， ∴， ∴，， 设，则, ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 过点作于， 则， ∴，， ∴， 当时，有最小值为， 故答案为：． 2．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在矩形中，，点E、F分别为线段上的动点，且，四边形关于直线对称后得到四边形，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，延长、交于点P，连接、，证明，可得，即，由对称的性质可得，根据三角形三边关系可得，利用勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：如图，延长、交于点P，连接、， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点P为定点， ∵四边形与四边形关于直线对称， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 3．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，，，，于点，点是线段上一动点，以为直角边作，且，连接，则当时，的长为 ；点在运动过程中，的最小值为 ． 【答案】 【分析】由勾股定理得，，则，即，可求，，，如图1，连接，证明，则，，，，证明，则，，由，可知在与直线夹角为的直线上运动，当时，，则，如图1，过作于，则，，由，可得，计算求解即可；点在运动过程中，运动到使点满足时，的值最小，根据，计算求解即可． 【详解】解：由勾股定理得，， ∴，即， 解得，， ∴， 如图1，连接，         图1 ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴在与直线夹角为的直线上运动， 当时，， ∴， 如图1，过作于， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，； 点在运动过程中，运动到使点满足时，的值最小， ∴， 故答案为：，． 4．（2024·四川成都·二模）如图，已知矩形中，，，点在边上，连接，沿折叠△BCF，点落在点处，连接，则长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、矩形的性质、平行四边形的判定与性质．熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 结合题意，当点和点重合时，取最小值，过点作交于点，过点作交于点，根据轴对称和矩形性质，得到，，根据相似比性质，通过证明四边形为平行四边形，求出；当取最小值时，长度取最小值． 【详解】解：∵，，点在边上，连接，沿折叠，点落在点处， ∴， 如下图，当点和点重合时，取最小值， 过点作交于点，过点作交于点， ∴，， ∵沿折叠矩形使点C落在点E处， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， ， ， ， ∴，， ，， ∴，，，，，， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， 当取最小值时，长度取最小值，长度的最小值为， 故答案为：． 5．（2024·四川成都·三模）如图，△ABC是等腰直角三角形，，若，是中点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及其应用，熟练运用等腰三角形性质是解题的关键；延长到，使，连接；过作，并截取，连接， 连接交圆上于点，在中，根据，即可求出的最小值． 【详解】延长到，使，连接， ， 过作，并截取，连接， ， 在中，，， 在中，，， ， ， ， ， ， ， ， 点在以为圆心，为半径作的圆上， 连接交圆上于点，如图所示； 的最小值， 在中，， ， 的最小值为：． 故答案为：． 6．（2024·四川成都·三模）如图，，点 P在射线上，且，点 Q是射线 上一动点． 将沿折叠，点O落在平面内点 C处．点 D在射线上，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数、勾股定理，先判断出最小时，点C在的延长线上，再用锐角三角函数和勾股定理计算即可． 【详解】解：过点D作于E， 在中，， ∴， ∴， 在中， ∴． 故答案为：． 7．（2023·四川成都·一模）如图，四边形为矩形，对角线与相交于点，点在边上，连接，过做，垂足为，连接，若，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，含直角三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，先根据面积法可计算的长为，根据三角形的三边关系可得：是一个定点，的轨迹为中垂线上的一部分，所以垂线段最短，可知的长是的最小值，最后由等边三角形三线合一的性质可得结论． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， ， ，， ，， ， ， 是一个定点，的轨迹为中垂线上的一部分，如下图所示，过点作于，过点作于，过点作于，所以垂线段最短，则的最小值为的值， ， ， ， 中，， ，， ， ， 即的最小值为． 故答案为：． 8．（2024·四川成都·一模）如图，在四边形中，，，，若点M，点N分别在边和边上运动，且，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】作的平分线交于点O，连接，交于点F.通过证明三角形全等、相似，利用全等三角形、相似三角形的性质及勾股定理，最后得结果. 【详解】解：如图：作的平分线交于点O，连接，交于点F.     则， 在和中， ，     ， ， 在和中， ，， ， ，    ， ，     在和中 ， ，，， ， ，， ， ， 又， ， ， ， 过点O作于E， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当取最小值时的值最小， 点O为定点， 当时的值最小， ， 的最小值为的值， ， 的最小值为， 故答案为： . 9．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在△ABC中，，，按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，是线段上的一个动点．若，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了角平分线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识，熟练掌握这些知识并作出辅助线是关键． 由题意得是的平分线，过点D作于点E，则当与重合时，最短，其最小值为的长． 【详解】解：如图，过点D作于点E ∴ 由题意得是的平分线 ∴ 在和中 ∴≌ 在中，，， ∴ ∴ ∵， ∴当与重合时，取得最小值，且最小值为 故答案为：． 题型五：几何最值中最大值问题★★★★ 1．（2023·四川成都·二模）在等边△ABC中（其中），点P在边上运动，点Q在边上运动，且满足（点P，Q都不与B重合），以为底边在左侧做等腰三角形，使得．则四边形的面积的最大值是 ． 【答案】 【分析】过点D作于点E，过点B作于点F．由等边三角形的性质得出，结合题意即可求出．再根据等腰三角形的性质即得出，结合所作辅助线可求出，进而可求出，再由三角形的面积公式可求出．由，可得出当最大时，最大．再由，可得出当最大时最大．由图形可知的最大值即为的长，此时B，，D三点共线．易证，即得出，从而证明为等边三角形，求出等边的面积，即可求出四边形的面积的最大值． 【详解】解：如图，过点D作于点E，过点B作于点F． ∵为等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∵为等腰三角形，且， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴当最大时，最大． ∵， ∴当最大时最大． ∵， ∴的最大值即为的长，此时B，E（F），D三点共线，如图， . ∵在和中，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴此时，即四边形的面积的最大值是． 故答案为：． 2．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在菱形中，，．点E，F分别在边，上，沿折叠该菱形，使点A落在边上的点M处．当点M的位置变化时，的长的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】连接交于点O，过点O作于点K，交于点T，过点A作交的延长线于点G，取的中点R，连接．根据垂线段最短，求出的最小值，可得结论． 【详解】如图，连接交于点O，取的中点R，连接，过点A作交的延长线于点G，过点O作于点K，交于点T． ∵，， ， ， 四边形是矩形， ． 由折叠可知，． 又∵，， ， ． ∵， 当时，取得最小值， ∵，， ， 的最小值为． ∵四边形为菱形， ． 又∵． 的最大值． 故答案为． 3．（2024·四川成都·二模）如图，在矩形中，，为对角线，为的中点，过点作，与交于点，与交于点，为上一点（包含顶点，），则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形三边关系，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意可证明，得到，继而得到，，当三点共线（点与点）时，的值最大，即，根据勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ， ， 在矩形中， ， ， ， ， ， ， 当三点共线（点与点）时，的值最大，即， ，， ， 在中，， ， ， 的最大值为， 故答案为：． 4．（2023·四川成都·一模）如图，点为等边△ABC的边上的一个动点，，过点作于点，交边于点，连接，则的面积最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质，直角三角形的性质，二次函数的最值，过作于，根据等边三角形可得，，都是直角三角形，设，利用直角三角形的性质和勾股定理即可表示出，，然后根据列出解析式，最后根据二次函数的性质求最大值即可． 【详解】解：过作于， ∵等边，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 中，，， ∴，， 同理，中，由可得， 中，由可得， ∴， ∵， ∴当时，最大， 即的面积最大值为． 5．（2024·四川成都·三模）如图，在中，是斜边边上一点，且，分别过点、作、平行于，若，则与之间的最大距离为 ． 【答案】9 【分析】本题分为A点在P点左侧与P点在A点右侧两种情况考虑，当点A在P点右侧时，过点A作于点G，延长交于点F，证明，过点C作于点D交与点E，证明，可得，由，，， ，整理得，当对称轴时，AF取最大值，因为，所以时不符合题意舍去，所以时，取得最大值为8，所以，；当点A在点P左侧时，利用相似三角形的性质同样可以求出其最大值为9，综合以上情况即可解决问题． 【详解】解：当点A在点P右侧时，如图，过点A作于点G，延长交于点F， ∴， ∴， ∴， ∵， 设，，，（）， ∴，， 过点C作于点D，交于点E， 由题意得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， 同理，四边形也为矩形， ∴，，， ∴， 在中，根据勾股定理，得 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， ∴， 因为二次函数开口向下，当对称轴时，取最大值， ∵， ∴时不符合题意舍去， ∴时，取得最大值为8， ∴， ∴， ∴与之间的最大距离为； 当点A在点P左侧时，延长交于点D，过C点作，垂足为G，取中点E，连接， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设A点到的距离为h， ∴， ∴， ∴与之间的距离为， ∵， ∴与之间的距离最大值为9， 综上可得：与之间的距离为9． 故答案为：9． 6．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在正方形中，，E为边上的动点，连接，以为边作正方形，连接，，则面积的最大值为 ．    【答案】 【分析】连接，设，则，证明，得出，根据，由此利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：连接，如图所示：    ∵四边形是正方形， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ， ∴当时，最大，且最大值为， 即面积的最大值为． 故答案为：． 7．（2024·四川成都·二模）在四边形中，，，，且，则四边形面积最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了直角三角形与二次函数综合．熟练掌握勾股定理，一元二次方程根与系数的关系，添加辅助线构建直角三角形，是解题的关键． 连接， 可得，设，令，得，得，令，得且，解得，四边形面积最大值为． 【详解】连接，如图： ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， 设，由勾股定理可得：， ， 令， ， 两边平方整理得：， ， ， 令， ， ，， 关于的函数对称轴在轴右侧，且与轴交点大于， 当时，， 要使有到之间正数解，需要方程，对称轴在左侧， 且， 解得：， 四边形面积最大值为． 故答案为：． 8．（2022·四川成都·二模）如图，等腰中，是上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，当的面积最大值时，的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，二次函数的应用，过点作的垂线段，交于点，设，则，根据面积公式表示出的面积，根据二次函数的性质，可得当的面积最大值时的值，即可解答，正确利用二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：为等腰直角三角形， 根据旋转的性质可得， ，， ， 设，则， 的面积为， 当时，即时，的面积最大， 如图，过点作的垂线段，交于点， 此时， ， ， ， ， 故答案为：． 题型六：圆中最值问题之“隐圆”问题★★★ 1．（2023·四川成都·二模）如图，在中，，为边上的动点，过作于点，连接并延长交于点．当取得最小值时，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角，点到圆上的距离，勾股定理，相似三角形的判定和性质，根据题意判断出点的运动轨迹是解题关键．根据直径所对的圆周角是直角，得到点在以为直径的圆上运动，取的中点，以为圆心，的长为半径作，连接与交于点，连接并延长交于点，由点到圆上的距离可知，当点在位置时，取得最小值为,由勾股定理可得，再证明,得到，求出的长即可． 【详解】解：， ， 点在以为直径的圆上运动， 如图，取的中点，以为圆心，的长为半径作，连接与交于点，连接并延长交于点， 由点到圆上的距离可知，当点在位置时，取得最小值为, 在中，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， , , ， ， 即当取得最小值时，则的长为， 故选：C． 2．（2024·四川成都·一模）如图，在正方形中，对角线与相交于点，点为边的中点，于点，，交的延长线于点，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质和勾股定理，圆内接四边形，求正切值，过点作于点，设，然后根据正方形的性质求出，然后利用勾股定理求出，，，，利用面积法求出，，从而求出，最后求出，从而求出的正弦值，然后证明，，，四点共圆，从而得到，求出答案即可，解题关键是添加辅助线改造直角三角形，熟练掌握利用面积法求线段的长． 【详解】解：如图所示：过点作于点， 设， 为边的中点， ， 四边形是正方形， ， 在中，由勾股定理得： ， ， 的面积， ， ， ， 的面积， ， ， ， ， 在中，， ， ， ，，，四点共圆， ， ， 故选：B． 3．（2024·四川成都·二模）如图，在△ABC中， ， ．以为斜边作等腰直角，连接，则的最大值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了圆与几何的综合问题，直径所对的圆周角是，见详解图利用两边之和大于第三边可以得出的最大值即为图中的． 【详解】解：点A在以BC为直径的圆上；找的中点为点E，连结、；以为直径作半圆．   当点从点运动到点的时候，点是从点运动到点，且始终为， 点在以为直径作圆上， 在变化过程中和的大小始终不变， 的最大值为：即为图上， 在等腰直角中， ， ,即， 在中， , 的最大值为：． 4．（2024·四川成都·三模）如图，在菱形中，，，点E为边上一动点，点F为中点，点G为上一点，满足，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查菱形的性质，解直角三角形，圆周角等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造动点的轨迹来解决问题． 连接，根据中点的性质和直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可得推得，则，根据圆周角定理可知：点在以为直径的圆上运动，取的中点，当，，三点共线时，的值最小，由此可解答． 【详解】解：如图，连接， 是的中点， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ， 点在以为直径的圆上运动，取的中点，连接，如图： 当，，三点共线时，的值最小， 四边形是菱形，，， ，， ∴， ∵，， ∴ ， 的最小值为． 故答案为：． 5．（2024·四川成都·二模）如图，为的直径，C为半圆上的一动点，以为边向外作等边（点D在直线的上方），连接．若的半径为2，则线段的最大值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，点到圆的距离，以为边作等边三角形，连接，证明，可得点D在以点E为圆心，半径为2的圆上运动，即可解答，正确做出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，以为边作等边三角形，连接， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 点D在以点E为圆心，半径为2的圆上运动， 当O，E，D三点共线时，OD最大，最大值为． 故答案为：． 6．（2023·四川成都·一模）点P在平面内一动点，，，点M是上一点，且，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】取中点C，连接，作于B，且，连接，构造，推出，进而可得点M在以点O为圆心，3为半径的圆上，因此求的最小值转化为求点A到距离的最值，可知当点M，O，A共线时，取最小值． 【详解】解：点P在平面内一动点，，， 点P在以为直径的圆上， 取中点C，连接，作于B，且，连接， ，， ，， 又， ， ， 在和中， ， ， ， ， 当点P在上方时，点M在以点O为圆心，3为半径的圆上， 当点M，O，A共线时，取最小值， ， 的最小值， 当点P在下方时，同理可得的最小值， 故答案为：． 7．（2023·四川成都·二模）如图，在矩形中，米，米．点P以每秒5米的速度沿折线运动，总有，垂足为Q．当取得最小值时，点P运动了 秒． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理．由，知点P在以为直径的上，当三点共线时，取得最小值，证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴米，米，． ∵，∴， ∴点P在以为直径的上， ∴当三点共线时，取得最小值，如图， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴点P运动了米， ∴点P运动了秒． 故答案为：． 8．（2024·四川成都·模拟预测）如图，，在中，，，当点分别在射线上滑动时，连结，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，定边对定角确定点的运动路径，以及对角互补模型是解题的关键，难度较大． 在的下方作等腰直角，，作于，勾股定理得，点在以点为圆心，为半径的圆上，当点、、共线时，最大，再求出的长即可． 【详解】在中，由勾股定理得：． 如图所示，在下方作等腰直角，过点作于点， 则点在以点为圆，为半径的圆上． 又， ∴点四点共圆． ∴． ∴． 在中，由勾股定理得，， 即， 解得：． 在中，由勾股定理得： 当点共线时，最大，则的最大值为． 故答案为． 9．（2024·四川成都·模拟预测）如图，是半的直径，点在半上，，，是上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点移动的过程中，的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了勾股定理、点与圆的位置关系等知识．如图，取的中点为，连接、，在点D移动的过程中，点E在以为直径的圆上运动，当、E、B三点共线时，的值最小，最小值为，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：如图，取的中点为，连接、， ， ， ， 在点D移动的过程中，点E在以为直径的圆上运动， 是直径， ， 在中， ， ， 在中，， ， 当、E、B三点共线时，的值最小，最小值为：， 故答案为：． 10．（2024·四川成都·二模）如图，在△ABC中，，，，点是△ABC内部的一动点，且满足．则线段的最小值为 【答案】 【分析】本题考查了确定圆的条件，勾股定理，最短线段问题等知识，首先证明点在以为直径的上，连接与交于点，此时最小，利用勾股定理求出即可解决问题，根据题意确定点的运动轨迹是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的上， 连接交于点，此时最小， 在中，，，， ∴， ∴， ∴最小值为， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$