猜押08 一次函数与反比例函数综合（8大题型）-2025年中考数学冲刺抢押秘籍（四川成都专用）

猜押08 一次函数与反比例函数综合 猜押考点 3年成都真题 考情分析 押题依据 一次函数与反比例函数（选填题） 2023年成都A卷第10题，2022年成都卷A卷第10题。 从近年成都中考来看，一次函数与反比例函数均出现在数学中考试卷中，在选择填空题中主要以一次函数和反比例函数的基本性质为主，考查学生对基础知识的掌握，在解答题中主要以一次函数与反比例函数以及几何的综合题型，主要以相似问题、存在性问题以及最值问题为主。 在近三年的成都数学中考试卷中一次函数与反比例函数都出现在A卷的第18题，所以在2025年的成都中考数学试卷中一次函数与反比例函数的综合题再次出现的概率还是非常大的，此题型难度较大，综合性非常强，常常结合到相似三角形、四边形的性质与判定、全等三角形等等综合考查，学生需要融会贯通这些知识点。 一次函数与反比例函数（解答题） A卷压轴题 2024年成都卷A卷第18题，2023年成都卷A卷第18题，2022年成都卷A卷第18题 题型一：利用一次函数的增减性求解★★★ 1．（2022·四川成都·一模）点和点在直线上，则m与n的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．先根据直线的解析式判断出函数的增减性，再根据一次函数的性质即可得出结论． 【详解】解：直线中，， 此函数随着的增大而增大， ， ． 故答案为：． 2．（2024·四川成都·一模）已知点都在正比例函数的图象上，则 （填“＞”或“＜”）． 【答案】＞ 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质等知识点，掌握正比例函数的性质成为解题的关键． 根据正比例函数的增减性即可解答． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵点都在正比例函数的图象上，且， ∴． 故答案为：＞． 3．（2024·四川成都·模拟预测）若点，都在一次函数的图象上，则 （填“”或“”）． 【答案】 【分析】根据解析式中，可得y随x的增大而增大，即可求解． 本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是牢记当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 【详解】解：∵在中，， ∴y随x的增大而增大， ∵点，都在一次函数的图象上，， ∴， 故答案为：． 4．（2024·四川成都·二模）若点，都在函数的图象上，则 （填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点．先根据函数解析式判断出函数的增减性，进而可得出结论． 【详解】解：函数中，， 随的增大而增大， ， ． 故答案为：． 5．（2024·四川成都·一模）如图，直线不经过第三象限，若点在该直线上，且的大小关系为 ，则的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据图像经过的象限可得到，推出随x的增大而减小，从而得到结果． 【详解】解：直线不经过第三象限， ， 随x的增大而减小， ， ， 故答案为：． 6．（2024·四川成都·一模）在一次函数中，y的值随着x值的增大而减小，则点在第 象限． 【答案】四 【分析】先根据一次函数中，函数y的值随x值的增大而增大判断出k的符号，求出k的取值范围即可判断出P点所在象限． 【详解】解：∵在一次函数中，函数y的值随x值的增大而减小， ∴， ∴点在第四象限． 故答案为：四． 7．（2023·四川成都·三模）若，是直线上的两点，则 ．（填、或） 【答案】 【分析】根据一次函数的性质，即可解答． 【详解】解：， 直线上的点的随着的增大而减小， ， ， 故答案为：． 8．（2023·四川成都·一模）已知一次函数的图象在第一、三、四象限，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】一次函数的解析式为，当图象经过一、三、四象限时，，据此即可求出k的范围． 【详解】解：∵一次函数的图象在第一、三、四象限， ∴且， 解得， 故答案为：． 9．（2023·四川成都·二模）一次函数中，y的值随x值增大而增大，则k的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】根据题意可得出一次项系数大于0，即得出关于k的不等式，解出k的解集即可． 【详解】∵一次函数中，y的值随x值增大而增大， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（2023·四川成都·一模）已知直线过点和，则______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】由，利用一次函数的性质，可得出随的增大而减小，结合，即可得出． 【详解】解：， 随的增大而减小， 又直线过点和，且， ， 故答案为：． 11．（2023·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，若一次函数经过一、三、四象限，则k的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，根据一次函数经过一、三、四象限，得出，从而求出k的取值范围． 【详解】解：∵一次函数经过一、三、四象限， ∴， ∴， 即k的取值范围是， 故答案为：． 12．（2024·四川成都·模拟预测）一次函数的值随值的增大而减小，则常数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，理解当时，y随x值的增大而减小是解题的关键． 根据一次函数的性质可知，据此求解即可． 【详解】解：∵一次函数的值随值的增大而减小， ∴，解得， 故答案为：． 13．（2024·四川成都·模拟预测）若一次函数的图象不经过第一象限，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数（k为常数，），当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．当，图象与y轴的正半轴相交，当，图象与y轴的负半轴相交，当，图象经过原点．根据一次函数的性质列式求解即可． 【详解】∵一次函数的图象不经过第一象限﹐ ， ． 故答案为． 题型二：利用反比例函数的增减性求解★★★★ 1．（2024·四川成都·一模）已知点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据函数解析式得到反比例函数图象经过第一、三象限，且在每个象限内y随x增大而减小，再由，即可得到． 【详解】解：∵反比例函数解析式为， ∴反比例函数图象经过第一、三象限，且在每个象限内y随x增大而减小， ∵点都在反比例函数的图象上，， ∴， 故选：C． 2．（2023·四川成都·一模）若点，，在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先应用反比例函数的性质和应用，判断出：；然后根据当，在每一象限内y随x的增大而减小，判断出的大小关系，即可推得的大小关系． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵，在反比例函数的图象上，在每一象限内y随x的增大而减小， ∴， ∴的大小关系是：． 故选：B． 3．（2023·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，若反比例函数，当时，随增大而减小，则函数的图象不经过第 象限． 【答案】二 【分析】根据反比例函数的性质求出m的取值范围，然后根据一次函数的性质求解即可． 【详解】解∶∵反比例函数，当时，随增大而减小， ∴， ∴，， ∴函数的图象经过一、三、四象限， ∴函数的图象不经过第二象限． 故答案为：二． 4．（2024·四川成都·模拟预测）点，都在反比例函数的图象上，则 ．（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数解析式得出y的值随x值的增大而减小，结合即可得出答案，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：点，在反比例函数的第一象限图象上，且y的值随x值的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 5．（2024·四川成都·二模）反比例函数的图象经过两点，则m、n的大小关系为 .（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据反比例函数的，得出图象分布在第二四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，结合，即可作答． 【详解】解：∵反比例函数的， ∴图象分布在第二四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵两点都在第二象限，且， ∴ 故答案为：． 6．（2023·四川成都·模拟预测）双曲线的图象分布在第二、四象限，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据双曲线的图象分布在第二、四象限得出，求解即可，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵双曲线的图象分布在第二、四象限， ∴， 解得：． 故答案为：． 7．（2024·四川成都·模拟预测）已知反比例函数图象上的两点，，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知反比例函数的增减性求参数，分类讨论即可求解． 【详解】解；若， ∵， ∴，与矛盾； ∴ 解得： 故答案为： 8．（2024·四川成都·二模）已知点，都在反比例函数的图象上，则 （填“>”、“<”或“=”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数的函数值大小，解题的关键在于根据反比例比例系数的符合判断出反比例函数结果的象限． 根据反比例函数的增减性解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的解析式为，， ∴反比例函数的图象经过第一、三象限， ∵点，都在反比例函数的图象上，， ∴， 故答案为：． 9．（2024·四川成都·模拟预测）若点，，都在同一个反比例函数的图象上，则m、n的大小关系是m n（填“>”、“=”或“<”）． 【答案】> 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特点求出的值，再比较大小即可； 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标适合是解题的关键． 【详解】解：点，，都在同一个反比例函数的图象上 解得，,     故答案为：>． 10．（2024·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第一、三象限，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质．根据反比例函数图象分布情况，继而得到的取值范围即可． 【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限， ， ． 故答案为：． 11．（2024·四川成都·模拟预测）若点都在反比例函数的图象上，则 （填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键． 将点坐标代入解析式求出、比较即可． 【详解】解：∵点都在反比例函数的图象上， 故答案为：． 12．（2023·四川成都·三模）在平面直角坐标系中，对于每一象限内的反比例函数图像，的值都随值的增大而增大，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质得出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：对于每一象限内的反比例函数图像，的值都随值的增大而增大， ， 解得：， 故答案为：． 题型三：一次函数与反比例函数与几何综合★★★★ 1．（2024·四川成都·模拟预测）如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，C是点B关于原点O的对称点，连接，则△ABC的面积为 ． 【答案】10 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特性、点的坐标规律，设，则，，可得，再根据反比例函数图象上点的特征可得，即可求解． 【详解】解：设，则，， ∴，， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故答案为：10． 2．（2024·四川成都·三模）如图，函数的图象上有一点P，延长OP交的图象于点Q，点M，N在的图象上，．过点P作x轴平行线l，过M作于点A，过N作于点B，连接，若，，则点Q的纵坐标 ．    【答案】/ 【分析】过点作x轴的垂线，垂足为点D、E，过点N作于点C，过点M作延长线的垂线，垂足为点F，连接交于点G，记与交于点H，由，得到，由反比例函数k的几何意义得：，故，可证明点C在直线上，而四边形是矩形，故，，设，则，而，故，则，继而可证明，同理，可证明点A在直线上，，故，过作于点，延长交轴于点，解得到，可求，由，得到，故． 【详解】解：过点作x轴的垂线，垂足为点D、E，过点N作于点C，过点M作延长线的垂线，垂足为点F，连接交于点G，记与交于点H，    ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴由反比例函数k的几何意义得：， ∴， 设点， 则， 设直线表达式为：， 代入点B得：， ∴， ∴直线表达式为， 而， ∴点C在直线上， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴设， 则， 而 ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 同理，可证明点A在直线上，， ， 过作于点，延长交轴于点，    ∴， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴， ， ， ∵ ∵， 即：， ， 故答案为：． 3．（2024·四川成都·二模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，若点A的坐标为，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了函数与不等式的关系，先求出点B的坐标，再根据图象求不等式的解集即可． 【详解】∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，若点A的坐标为， ∴， ∴关于x的不等式的解集为或， 故答案为：或． 4．（2024·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点．点，点在平面直角坐标系内且满足，连接，，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，平行四边形的判定与性质，两点之间线段最短，分别求出直线与轴交点坐标以及点的坐标，根据点坐标可得，要求的最小值只要求最小，平移点B，构造平行四边形和直角三角形，根据两点之间线段最短可解决问题 【详解】解：∴直线与反比例函数的图象交于，两点， ∴联立方程组， 解得， ∴ 对于，当时，， ∴， ∵点，点， ∴，轴， 要求的最小值只要求最小，将点B向左平移3个单位，连接，如图， 则， ∴四边形是平行四边形， ∴, ∴ 当三点共线时，最小，即最小， 在中，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 5．（2024·四川成都·二模）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴于点B，点P是y轴上任意一点，连接，则的面积为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查反比例函数中k的几何意义． 连接，由于同底等高的两个三角形面积相等，则，然后根据反比例函数中k的几何意义有|，进而即可求解． 【详解】连接， ∵轴 ∴ 故答案为：3 6．（2024·四川成都·一模）如图，经过原点的直线交反比例函数的图象于，两点，过点作轴于点，连接，当时，的值为 ． 【答案】2 【分析】 本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，反比例函数比例系数的几何意义，先根据反比例函数的对称性得到，进而得到，则由反比例函数比例系数的几何意义即可得到答案． 【详解】解：∵经过原点的直线交反比例函数的图象于，两点， ∴由反比例函数的对称性可知，点A和点B关于原点对称， ∴， ∵， ∴， ∵轴，点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故答案为：2． 7．（2024·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点A、点B，将直线向下平移b个单位后双曲线交于点C、点D，M是第二象限内一点，连接、，若以M为位似中心的与位似，位似比为，则b的值为 ．    【答案】9 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数的性质，勾股定理．由题意可得，设直线的解析式为，点，，根据两点间距离公式求得，整理得，进而得到，由点恰好都落在反比例函数图象上得到，即，由根和系数的关系得，求出的值，据此即可求解． 【详解】解：联立，解得或， ∴点，， ∴， ∵与位似，相似比为， ∴， ∴，    ∵将直线向下平移b个单位， ∴设直线的解析式为，点，， ∴， 整理得，， ∴， ∵点恰好都落在反比例函数图象上， ∴与反比例函数的交点方程为， 即， 由根与系数的关系得，， 解得或(不合，舍去)， 令，则， ∴直线和与的交点分别为和， ∴， 故答案为：9． 8．（2024·四川成都·一模）已知矩形的面积为，以它对角线的交点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，使得矩形的各边与坐标轴平行或垂直．若反比例函数经过矩形的顶点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握是解题的关键．由图得，轴、轴把矩形平均分为份，即可得矩形的面积公式，可得，又由于点在反比例函数图象上，则可求得答案． 【详解】解：轴，轴都为该矩形的对称轴，且矩形的面积为， ， ， 故答案为． 9．（2023·四川成都·一模）如图，反比例函数的图形过点A，反比例函数的图象与直线交于点B，C，已知，则 ；过点A分别作y轴和x轴的平行线，分别交反比例函数的图象于点D和E，连接交y轴于G，连接交x轴于点F，当的面积为1时， ．    【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何综合，求一次函数解析式，三角形面积的计算，相似三角形的判定与性质，延长交x轴于点N，过点B作轴于点M，证明，得出，求出，设点且，则，，求出点B的坐标，从而得出点C的坐标，求出直线的解析式，得出，求出直线的解析式，得出，根据面积列式求解即可得到答案； 【详解】解：延长交x轴于点N，过点B作轴于点M，如图所示，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点且，则，， ∵， ∴， ∴， ∴点坐标为 ∵、两点是正比例函数图象与反比例函数图象的两个交点， ∴与关于原点对称， ∴点坐标为， 设直线的解析式为，把，代入得， ，解得：， ∴的解析式为：， 把代入得，， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得， ，解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得，， 解得：， ∴， ∵的面积为1， ∴， 即：， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：，． 10．（2024·四川成都·一模）如图，已知，直线l：经过点，点O关于直线l的对称点落在三角形内（不含边界），则b的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查轴对称的性质、坐标与图形等知识点，确定临界点是解题的关键． 由轴对称的性质可得点在以点M为圆心，的长为半径的上，当点落在三角形内（不含边界）时，点落在与，的交点之间的弧上，因此确定临界点，①点在线段上，②在点在线段上，求出点的坐标，进而求得的中点N的坐标，进而根据待定系数法即可解答． 【详解】解：如图，设直线l：经过的点为点M，则 ∵点与点关于直线l对称， ∴ ∴点在以点M为圆心，的长为半径的上． 当点在上时， 设过点，的直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵点在线段上， ∴设点的坐标为， ∵， ∴， ∴，（舍去） ∴， 连接，交直线l于点N，则点N是的中点， ∴， ∵直线l：过点，， ∴，解得． 当点在上时， 可得过点，的直线的解析式为， ∵点在线段上， ∴设点的坐标为， ∵， ∴， ∴，（舍去） ∴， ∴的中点N的坐标为， ∵直线l：过点，， ∴，解得． 综上，点落在三角形内（不含边界），b的取值范围是． 故答案为：． 11．（2023·四川成都·二模）如图，平面直角坐标系中，点在反比例函数的图像上，直线与反比例函数图像交于点，过点作轴，垂足为，连接，若三角形的面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数图像的性质（图像关于原点对称），设，则，，如图所示，过点作轴于点，用含的式子分别表示的长，根据三角形的面积即可求解． 【详解】解：∵点，点在反比例函数的图像上， ∴设，则，，过点作轴于点，如图所示， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵三角形的面积为， ∴， ∴，即， 故答案为：． 12．（2023·四川成都·二模）如图，在△AOB中，，射线AB分别交y轴于点D，交双曲线于点B，C，连接，当平分时，与满足，若的面积为4，则 ． 【答案】/ 【分析】由等腰三角形的性质结合三角形外角的性质可得出．再根据角平分线的定义即得出，即易证，得出，设，则，从而可求出，，，．过点B作轴于点E，作轴于点G，过点C作轴于点F，作轴于点H，易证，即得出，从而得出．设，则，，，从而可求出，，进而可求出，即可求出，最后由三角形面积公式，代入数据，即可求出k的值． 【详解】解：∵， ∴． ∵，， ∴． ∵平分， ∴， ∴，即． 又∵， ∴， ∴， ∴． 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图，过点B作轴于点E，作轴于点G，过点C作轴于点F，作轴于点H， ∴， ∴ ∴， ∴，即． 设，则， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（2023·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像交于A，B两点，C是反比例函数位于第一象限内的图像上的一点，作射线交y轴于点D，连接，，若，的面积为30，则 ． 【答案】6 【分析】由，设，代入中，得，设，由反比例函数的中心对称性得，作轴，作轴，证明出，再根据，得出，得出，再利用，从而求解． 【详解】解：由，设，代入中， 得， 设， 由反比例函数的中心对称性得， 得，． ∴，作轴，作轴， ， ， ． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴， ∴． ∴． 作轴， ∴，． ∴． ∴， ∴． ∴， 故答案为：6． 题型四：一次函数与反比例函数与定义新运算★★★★ 1．（2024·四川成都·二模）若点的坐标满足其中，t为常数，则称点M为“好点”．若双曲线上存在“好点”，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．根据题意列出方程组，解方程组得到，依据条件得到，整理出的代数式按照自变量取值范围确定的范围即可． 【详解】解：双曲线上存在“好点”， ， ①②得：， ， ， ， 整理得：， ， ． 故答案为：． 2．（2023·四川成都·模拟预测）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知在某一平衡状态下阻力和阻力臂分别是和，若动力（单位：N），则动力臂与（单位：m）之间的关系为 （填“”“”或“”） 【答案】 【分析】 此题主要考查了反比例函数的应用，直接利用阻力阻力臂动力动力臂，进而将已知量据代入得出函数关系式． 【详解】 解：阻力阻力臂动力动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是和， 动力（单位：关于动力臂（单位：的函数解析式为：， 则， 动力（单位：关于动力臂（单位：是成反比例， 动力臂随动力的增大而减小， 动力（单位：， 动力臂， 故答案为：． 3．（2024·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，，．给出如下定义：若点先向上平移个单位（若，即向下平移个单位），再向右平移3个单位后的对应点Q在△ABC的内部或边上，则称点P为的“平移关联点”．若直线上的一点P是△ABC的“平移关联点”，且是等腰三角形，则点P的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数的综合应用，等腰三角形的性质，坐标与图形，设，得到，根据等腰三角形的性质分两种情况进行讨论即可． 【详解】，， ，， 设，则：， 点在直线上， 当是等腰三角形，分两种情况： ①当时，过点作，则：， ， 两点重合， ， ， ， ； ②当时，过点作，则：， ， ， ， ， ， 故答案为：或． 4．（2024·四川成都·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，若点满足，则称点为“积和点”．例如：，就是“积和点”．若直线上所有的点中只有唯一一个“积和点”，则 ． 【答案】0或4 【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征和一元二次方程根的判别式，设直线上所有的点中唯一一个“积和点”为点，根据“积和点”定义可得，再由唯一一个“积和点”可知关于a的方程只有一个解，一元二次方程的根判别式等于0即可求解． 【详解】解：设直线上所有的点中唯一一个“积和点”为点，依题意得：， 代入得：， 整理得：， 由点是唯一一个“积和点”可知：，解得：，． 故答案为：0或4． 5．（2024·四川成都·三模）对于平面直角坐标系中的点P和线段，其中、两点，有如下定义：若在线段上存在一点Q，使得P，Q两点间的距离小于或等于1，则称P为线段AB的“附庸点”．在点，，中，线段的“附庸点”是 ；在直线上存在线段的“附庸点”M，N，且，则b的取值范围是 ． 【答案】 ， 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，两点间距离公式等知识，分别求出，，到线段最短距离，然后根据“附庸点”定义判断即可；设，，不妨设，根据可求出，，则M，N的纵坐标之差为2，横坐标之差为1，由直线上存在线段的“附庸点”M，N，得出M的纵坐标最小值为，N的纵坐标最大值为1，然后求出分别经过，时，对应b的值即可求解． 【详解】解：∵、， ∴到线段最短距离为， 到线段最短距离为， 到线段最短距离为， ∴线段的“附庸点”是，； 设，，不妨设， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴M，N的纵坐标之差为2，横坐标之差为1， ∵直线上存在线段的“附庸点”M，N， ∴M的纵坐标最小值为，N的纵坐标最大值为1， ∴当直线经过时，b取最大值，此时，∴； 当直线经过时，b取最小值，此时，∴； ∴b的取值范围为． 故答案为：，；． 6．（2024·四川成都·二模）利用数学公式处理原始数据是数据加密的一种有效方式．在平面直角坐标系中，定义一种坐标加密方式：将点变换得到点，则称点Q是点P的“加密点”．例如，点的“加密点”是点．已知点A在x轴的上方，且，若点A的“加密点”B在直线上，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象和性质，直线与圆的位置关系； 设，则，可得，进而得当直线与半圆相切时，，当直线过点时，，进而得到答案 【详解】解：设，则 ∵B在直线上， ∴，即， ∵点A在x轴的上方，且， ∴， ∴是直线与半圆的交点， 当直线与半圆相切时， ∴中，，即， 当直线过点时，， ∴ 故答案为： 7．（2023·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于点，我们称直线为点的相关直线．例如，点的相关直线为．已知点，点．点为直线上的动点．以为圆心，6为半径作圆．在点运动过程中，当点的相关直线与圆交于，两点时，的最小值为8，则的值为 ． 【答案】或/或1 【分析】求出直线的解析式为：，求出点M的关联直线经过定点；如图所示，过点C作于H，连接，则，得出，说明要想最小，则要使最大，根据的最小值为8，得出的最小值为4，求出，根据当点H与点重合时，最大，得出，解方程即可． 【详解】解：设直线的解析式为：，把点，点代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设点M的坐标为， ∴点M的关联直线为， ∴点M的关联直线经过定点； 如图所示，过点C作于H，连接，则， ∴， ∴要想最小，则要使最大， ∵的最小值为8，即的最小值为4， ∴， 当点H与点重合时，最大， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或． 故答案为：或 8．（2023·四川成都·三模）在平面直角坐标系中，对封闭图形和不重合的两点，给出如下定义：点关于点的中心对称点为，若点在图形内（包含边界），则称图形为点经点投射的“靶区”．如图，拋物线与轴的交点A，位于原点两侧（点A在点的左侧），且，则抛物线的函数表达式为 ，记轴上方的拋物线与轴所围成的封闭图形为，点为轴上一动点，若直线上存在点，使得图形为点经点投射的“靶区”，则的取值范围是 ．    【答案】 ； 且． 【分析】由，以及抛物线的对称轴，可得出点的坐标，进而求出函数表达式；求出直线关于轴的对称直线，再由对称直线与封闭图象的交点，可求出的取值范围． 【详解】解：由题知， 抛物线的对称轴为， 令，又，两点关于对称， 所以，则． 所以，． 又， 所以，得． 故． 将点坐标代入抛物线解析式得，，则． 所以抛物线的函数表达式为． 直线关于轴的对称直线为，    记直线与封闭区域的交点为，， 则，解得或． 故． 所以的取值范围是且． 故答案为：，且． 题型五：一次函数与反比例函数综合之相似问题★★★★★ 1．（2024·四川成都·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)过的另一条直线与轴，轴分别交于两点，若的面积与的面积比为，求点的坐标； (3)点都在直线上，过分别作轴的平行线交双曲线与，设的横坐标分别为，且，，连接、，若，求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数的解析式为 (2)点的坐标为或 (3) 【分析】（）把点代入即可求出，进而求得，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式； （）分两种情况：在轴的正半轴和负半轴，根据同高三角形面积的比等于对应底边的比可解答； （）由题意可知，，，，，根据，点到的距离点到的距离，列方程可解答． 【详解】（1）解：∵反比例函数经过点、， ∴， ∴，， ∴反比例函数解析式为， ∵一次函数经过点、， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：分两种情况： ①如图，当直线经过第二、三、四象限时，过点作轴于， ∵的面积与的面积比为， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图，当直线经过第一、二、三象限时，过点作轴于， ∵的面积与的面积比为， ∴， ∴ 同理得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，点的坐标为或； （3）解：如图， 由题意可知， ，，，， ∵，， ∴， ∵， ∴，点到的距离点到的距离， ∴，， 由②得，③， 把③代入①得，， 解得，， ∵， ∴， ∴． 2．（2023·四川成都·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点．与坐标轴交于C、D两点，连接，已知，的面积为1． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)P是线段的中点，直线向上平移个单位长度后，将△AOB的面积分成两部分，求b的值； (3)我们把只有一组邻边相等，且只有一组对角为直角的四边形，叫作“直角等补形”；设M为y轴负半轴上一点，N为平面内一点，当四边形是直角等补形时，求点M的坐标． 【答案】(1)一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为(2) (3)点M的坐标为或 【分析】（1）根据三角函数定义即可求得，设，根据三角形面积可得，再利用待定系数法即可求得反比例函数解析式． （2）联立方程组可得，，进而可得，直线的解析式为，将直线向上平移b个单位长度后得到直线，交y轴于F，交于H，交于G，过点A作交y轴于E，则，再由相似三角形性质即可求得答案． （3）运用新定义“直角等补形”，分两种情况：当，时，当时，分别求得点M的坐标． 【详解】（1）解：∵直线与坐标轴交于C、D两点， ∴，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴一次函数的解析式为， 设， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵直线经过点， ∴， 解得：， ∴反比例函数的解析式为． （2）联立方程组， 解得：，， ∴，， ∵P是线段的中点， ∴， ∴直线的解析式为， 将直线向上平移个单位长度后得到直线，交y轴于F，交于H，交于G，如图， 过点A作交y轴于E， 设解析式为， 将点A代入求得， 故解析式为， 则， ∵点P是线段的中点， ∴， ∵直线向上平移个单位将的面积分成两部分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，代入， 得． （3）根据“四边形是直角等补形”可知：四边形中只有一组邻边相等，且只有一组对角为直角，当，时，如图，过点A、B分别作y轴，x轴的平行线交于点K，交y轴于L，则， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴即， ∴， ∴， ∴， 当时，如图，过点B作轴于L， 则，，， ∴， ∴， ∴． 3．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与反比例函数的图象交于点A，C，点A的横坐标为．    (1)求点B的坐标和反比例函数的表达式； (2)设P是x轴上一点，若是以为腰的等腰三角形，求点P的坐标； (3)若D是线段上一动点，过点D作垂线交反比例函数图象于点E，F，连接，当△ADE与△ADF相似时，求点D的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为：，点 (2)点的坐标为：或或或 (3)点 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）当时，列出等式即可求解；当时，同理可解； （3）与相似时，则，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 即点， 则， 则反比例函数的表达式为：， 与轴交于点， 令，解得， 则点； （2）解：设点， 由点的坐标得，， 当时， 则， 解得：或， 则点的坐标为：或； 当时， 则， 解得：， 则点的坐标为：或， 综上，点的坐标为：或或或； （3）解：过点作轴，过点作交于点，过点作轴，过点作轴，则， 则 ， 则，，    设点， ∵直线， 则直线的表达式为：， 则， 同理可得：， 联立反比例函数表达式和的表达式得：， 整理得：， 则， 当△ADE与△ADF相似时， 则， 即， 即， 即， 整理得：， 解得：(舍去)或， 即点． 4．（2024·四川成都·二模）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，．P是反比例函数的图象在第一象限内的一动点，当轴时，的面积为． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图2，当点P在射线上时，Q为x轴正半轴上一点，若以P，O，Q为顶点的三角形与相似，求点Q的坐标； (3)若点P是使的面积取得最小值的点，将线段沿着x轴向右平移n个单位长度，平移后对应的线段为的垂直平分线恰好经过点P，求n的值． 【答案】(1)(2)或(3) 【分析】（1）设点，根据的面积为，列出方程，解得，求出反比例函数解析式即可； （2）先求出点坐标及长，分两种情况①当时，，②当与不平行时，讨论求出点坐标即可； （3）先求出当面积最小时点坐标，再求出线段的垂直平分线解析式为：，根据平移法则得到，代入点坐标求出值即可． 【详解】（1）解：设点， 轴， ， 的面积为， ，解得， ，， 点在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为：； （2）解：点， 直线解析式为， 点是射线与反比例函数交点， ，， ， ①当时，， ，即， ， ，； ②当与不平行时，， ，即， ， ，． 综上分析，符合条件的点坐标为或； （3）解：设直线解析式为， 把点，代入 得， 解得， 直线解析式为， 设直线向上平移个单位与双曲线相切， 则有， 整理得：， ， 解得或（舍去）， 当时，， 解得， 即点是使的面积取得最小值的点坐标为， 此时轴， 点，， 线段的中点坐标为， 线段的垂直平分线解析式为：， 将线段沿着轴向右平移个单位长度，即将线段的垂直平分线向右平移个单位长度， 平移后线段的垂直平分线解析式为：， 此时解析式过点， ， 解得：． 5．（2024·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于点和点B． (1)求和的值，及点坐标； (2)将直线沿着轴向上平移个单位与轴，轴分别交于点，点，若，求的值； (3)若点在反比例函数图象上，点是线段延长线上一点，过点作直线，交反比例函数于点，若，求点的坐标． 【答案】(1)；；(2)或(3) 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形综合，一次函数与反比例函数综合，相似三角形的性质与判定； （1）先求点坐标，再求反比例函数的解析式，通过求点坐标即可； （2）由题可知平移后的函数解析式为，则，再由，列出方程，求出的值即可； （3）先判断是直角三角形，且，则，当时，过点作，则，先求出直线的解析式为，设点关于直线的对称点为，根据对称的性质确定，再由，求出，直线与反比例函数的交点即为点． 【详解】（1）解：将代入 ∴ 解得： ∴， 将代入，得 ∴反比例函数解析式为 联立 解得：或 ∴ （2）由题可知平移后的函数解析式为 当时，， 当时， ∴， 又， ∵，则 ∴ 解得： （3）∵点在反比例函数图象上， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵， ∴， 当时，过点作， ， ， 直线的解析式为， 又， 设直线的解析式为，代入 解得： 直线的解析式为， 设点关于直线的对称点为，， 的中点为， 的中点在直线上， ， ， ， ， 解得（舍去）或， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 联立 解得 舍或 ． 6．（2024·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，点．      (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)过点的直线与轴交于点，与轴负半轴交于点．若，求的面积； (3)点在第三象限内的反比例函数图象上，横坐标和纵坐标相等．点关于原点的对称点为点．平面内是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的表达式为；的坐标为(2) (3)的坐标为，或， 【分析】（1）将代入得：，，把代入得反比例函数的表达式为；联立可解得点的坐标为； （2）过作轴于，过作轴交于，由，，，可得，，直线的解析式为，即可得，，故，从而； （3）由点在第三象限内的反比例函数图象上，横坐标和纵坐标相等，可得，而点关于原点的对称点为点，故，即可求出，，，，根据，知，，，设，可得，解得或，即可得的坐标为，或，． 【详解】（1）解：将代入得：， ， 把代入得：， 反比例函数的表达式为； 联立， 解得或， 点的坐标为； （2）解：过作轴于，过作轴交于，如图：   ， ， ， ，， ， ，， 由，得直线的解析式为， 在中，令得，令得， ，， ， ； （3）解：平面内存在点，使得，理由如下： 如图：    在中，令得：， 解得或， 点在第三象限内的反比例函数图象上，横坐标和纵坐标相等， ， 点关于原点的对称点为点， ， ，， ，，，， ， ，即， ，， 设， ， 解得或， 的坐标为或． 7．（2024·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第一象限内的图象相交于点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)将直线沿y轴向上平移b个单位后与反比例函数在第一象限内的图象相交于点B，与y轴交于点C，若，求b的值； (3)在（2）的条件下，若直线上有一点P（且不与O重合），使，求点P的坐标． 【答案】(1)；(2)；(3)或． 【分析】（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）连接，根据题意可知，利用面积建立关于的方程，解出值即可； （3）根据（2）可得到直线解析式及点、坐标，利用勾股定理逆定理判定，再根据相似三角形的两种情况∶ 当点P在的延长线上时，当点P在的延长线上时，进行解答点坐标即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴．∴． ∴点． ∵点A在反比例函数上， ∴． ∴反比例函数的表达式为； （2）解：连接， 由平移可设直线的解析式为．从而点C的坐标为． ∵， ∴． 由，得． （3）解：由直线与双曲线联立，可得 ，解得，， ，，． 当点P在的延长线上时，过点P作轴于H．如图： ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 由射线的解析式可得． ∴，． ∴点． 当点P在的延长线上时， ∴由中点坐标公式可得，点P关于的对称点． ∵， ∴，， ∴，， ． ∴所求点P坐标为或． 8．（2024·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象如图所示，直线分别交x轴，y轴于A，B两点． (1)求A，B两点的坐标； (2)在该反比例函数的图象上取一点C，连接，其中交线段于点D，若，且相似比为2，求该反比例函数的表达式； (3)在的内部取一点P，以P为位似中心画，使它与位似，且相似比为5，若M，N两点恰好都落在（2）中所求出的反比例函数的图象上，求位似中心P的坐标． 【答案】(1)(2)(3)或 【分析】本题考查相似三角形的性质，反比例函数与几何综合； （1）令，则；，则，进而即可求解； （2）由相似三角形的性质得，从而得的解析式为：，设，进而即可求解； （3）分①当M、N在直线的左侧时，②当M、N在直线的右侧时，两种情况画出图形，利于相似三角形的性质，表示出M、N的坐标即可求解 【详解】（1）解：令中，，则；，则， ∴A，B两点的坐标分别是：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴的解析式为：， ∵，相似比为2， ∴， 设，则， ∴，即， ∴该反比例函数的表达式：； （3）解：①当M、N在直线的左侧时， ∵以P为位似中心画，使它与位似，M，N两点恰好都落在（2）中所求出的反比例函数的图象上， ∴， ∴M、N关于直线对称， ∴点P在直线上， 设，（）， ∵相似比为5， ∴， ∴，即， 同理：， ∵M，N两点恰好都落在（2）中所求出的反比例函数的图象上， ∴，， ∴，， ∵与位似，且相似比为5， ∴， ∴，解得：（舍去）或， ∴； ②同理：当M、N在直线的右侧时，设，， ， 同理：， ∵M，N两点恰好都落在（2）中所求出的反比例函数的图象上， ∴，， ∴，， ∵与位似，且相似比为5， ∴， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， 综上所述：或 9．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，D是反比例函数图象上的一个动点，过点向轴作垂线与一次函数图象交于点，其中点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)连接，当的面积等于面积的2倍时，求点的坐标； (3)若P是x轴上的一个动点，连接，当与△AOB相似时，求点D的纵坐标． 【答案】(1)(2)(3)，， 【分析】本题考查反比例函数与一次函数综合，相似三角形的判定与性质； （1）先把代入求出一次函数解析式，再求出交点，最后代入反比例函数解析式即可． （2）当的面积等于面积的2倍时即可得到，表示出、坐标，再计算即可； （3）表示出、、坐标，根据与△AOB相似计算即可，注意分情况讨论． 【详解】（1）把代入得到， 解得， ∴一次函数解析式为， ∴ 把代入得到， ∴， 把代入得到， ∴反比例函数的表达式为； （2）如图， ∵过点向轴作垂线与一次函数图象交于点， ∴设，则点纵坐标为， ∴，解得 ∴， ∵的面积等于面积的2倍 ∴， ∴， 解得， ∴ （3）设，由（2）可得，，其中 当时，当轴时，此时， ∴， ∴ 当时，，此时 解得 ∴， ∴， 当时，，此时 解得 ∴， ∴， 同理，当轴时，此时， ∴， ∴ 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，作于，于，则 ∴ 此时， 当时，， ∴， ∴，， ∴， 解得 ∴， ∴， 同理当时，， ∴， ∴，， ∴， 解得 ∴， ∴， 综上所述，当与△AOB相似时，求点D的纵坐标为，，． 10．（2023·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，在第一象限内以为边作，点C在反比例函数的图象上，D是边的中点，点C的横坐标为2． (1)如图1，若点D的纵坐标为，求反比例函数的解析式； (2)如图2，若点D在反比例函数图象上且，求的面积． (3)如图3，在（1）的条件下，将直线：向上平移得到直线，直线与双曲线交于，两点，点P为的中点，过点作于点N．试探究的值是否为定值，若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)为定值 【分析】（1）设，由题分别求出，，，再由点D的纵坐标为，得到方程，求出k的值即可确定函数的解析式． （2）设，由题分别求出，，，由D点在反比例函数上能求出，再由，可求出，从而确定点，则的面积． （3）设直线：向上平移b个单位长度，与y轴交于点E，与x轴交于G点，过点O作交于点F，求出，当时，，，求出，可得，即可求得． 【详解】（1）解：∵点C的横坐标为2， ∴， 设， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵D是边AB的中点， ∴， ∵点D的纵坐标为， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为． （2）设， 由（1）可知，，， ∵点D在反比例函数上， ∴， 解得， ∴，，， ∵， ∴，即， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴的面积． （3）解：的值为定值，理由如下： 设直线：向上平移b个单位长度，与y轴交于点E，与x轴交于G点， ∴直线的解析式为， ∴， 点O作交于点F， ∵， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∴，则， ∵点P为的中点， ∴， ∴， ∴． 题型六：一次函数与反比例函数综合之三角形问题★★★★★ 1．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，．将直线绕点A顺时针旋转交y轴于点M，连接． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)若，求点M的坐标； (3)当是以为腰的等腰三角形时，求的值． 【答案】(1)，(2)(3)或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）设点M的坐标为，分割法求面积，列出方程，进行求解即可； （3）分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴． ∴反比例函数的表达式为． ∵点在反比例函数的图象上， ∴． ∴． ∴． 将，代入一次函数表达式，得．解得． ∴一次函数的表达式为． （2）如图1，设一次函数的图象与y轴相交于点C， ∴．设点M的坐标为， ∴． ∴．解得． ∴点M的坐标为． （3）①设，则：， 当时，如图2，过点M作，垂足为G，则垂直平分， ． ∴G为中点，． ∴， ∵，， ∴． ∴，． ∴． ②当时，如图3，过点M作，垂足为H，过点A作轴，垂足为N，则，． ∵，， ∴． ∴． 在中，，， ∴． ∴． 设交轴于点， ∵，当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴． 综上所述，当是以为腰的等腰三角形时，的值为或． 2．（2024·四川成都·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C，连接． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)将直线向下平移个单位长度得到直线l：，设直线l与反比例函数的图象交于点P，与x轴交于点D． ①连接，，若，求m的值； ②连接，，当是等腰三角形时，请直接写出点D到直线的距离． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，点B的坐标为 (2)①；②当是等腰三角形时，点D到直线AB的距离为或 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的图像和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）求出，代入反比例函数即可求出答案； （2）①过点P作轴交直线于点Q，设点，将各线段分别表示出来，根据等量关系列出方程求解即可． ②分类讨论，当时，如图2，过点D作于点E，过点E作轴于点M，过点A作，交的延长线于点N；当时，由于直线l是由直线向下平移个单位长度得到．分别进行求解即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点， ．解得． ． 将代入，得．解得． 反比例函数的表达式为． 对于一次函数，令，则． 解得． 点B的坐标为． （2）解：①如图1，过点P作轴交直线于点Q，设点， 则点． ． ． 一次函数的图象与y轴交于点C， ． ． ， ．整理，得． 解得，（舍去）． ． 将代入，得． 解得． ②或． ，，， ，，． （ⅰ）当时，如图2，过点D作于点E，过点E作轴于点M，过点A作，交的延长线于点N． ，， ． ，， E是中点， ． ，． ，，． ， ，即． 解得． （ⅱ）当时，由于直线l是由直线向下平移个单位长度得到， ∴此时点D在x轴正半轴．如图3，过点D作于点F，过点D作轴交直线于点G． ． ． ． ．将代入，得．解得． 轴， ． ． ． 由平移可知，． ， 解得． 综上所述，当是等腰三角形时，点D到直线AB的距离为或． 3．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点A，B（点A在点B的左侧），已知点A的纵坐标是1． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图，将直线向上平移2个单位长度后得到新的直线，点M在直线上，设点M的横坐标为．连接，． ①求的面积； ②当是直角三角形时，求点M的坐标． 【答案】(1)(2)①4；②或 【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数的图像和性质，一次函数和反比例函数的交点问题，熟练掌握一次函数和反比例函数的图像和性质是解题的关键． （1）根据题意求出，代入反比例函数即可求出答案； （2）①过点M作轴交直线于点N，则，根据对称性质得到，分情况计算出面积即可； ②分当时，当时两种情况分类讨论即可． 【详解】（1）解：把代入，得 又∵直线与反比例函数的图象交于点A，B 故反比例函数的表达式为 （2）解：①如图， 过点M作轴交直线于点N，则，由对称性可知， 当时， 当时， 综上所述，的面积为4 ②由题意可知，直线的函数表达式为，令，则；令，则 直线与x轴的交点为，与y轴的交点为 ， 点M在直线的第一象限图象上，当是直角三角形时，存在以下两种情况. （i）当时， 设，过点作一条直线平行轴，过点作垂线交直线于点，使． 根据坐标系可知，， 根据勾股定理可得，，， 由①得： ， 解得， ； （ii）当时，设，连接 是直角三角形，且点O是线段的中点， . 整理，得，解得，（舍去） 综上所述，当是直角三角形时，点M的坐标为或． 4．（2024·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像交于A、B两点，其中点A的坐标为． (1)求反比例函数的函数表达式和点B的坐标． (2)若是A点关于原点的对称点，连接，求的面积． (3)连接，将线段绕点O顺时针旋转交反比例函数的图像于点C，D是x轴上一点，是否存在这样的点D，使得以O、C、D为顶点，为腰的等腰三角形？若存在，请写点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，．(2)8(3) 【分析】（1）将代入可求出m值，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先求出直线与x轴的交点E的坐标，再依据并代入数据计算即可； （3）如图：先根据勾股定理可得，如图：过A作，过作轴，则，进而得到，再结合勾股定理可得，即，则；设的坐标为，可列出方程组可得，进而得出直线解析式为，再与双曲线联立求得点C的坐标，求得，最后根据等腰三角形性质确定符合题意的点D坐标即可． 【详解】（1）解：∵点在一次函数的图像上， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为 联立方程组得：，解得或． ∴． （2）解：如图1，连接，延长交反比例函数图像于点，直线交x轴于点E， ∵是A点关于原点的对称点， ∴， 在直线中，当时，， ∴，即， ∴， 根据反比例函数的图像关于原点成中心对称图形， ∴， ∴． （3）解：如图：存在这样的点D，点D位置有三处： ∵， ∴， 如图：过A作，过作轴， ∵线段绕点O顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴ ∴, 设的坐标为， ∴①， ∵， ∴②， 联立，解得：（舍弃负值）， ∴， ∴直线解析式为， ∵直线与反比例函数图像交于点C， ∴直线解析式为， ∴，解得：或（不合题意舍弃）， ∴， ∴， 如图：当为等腰三角形，则，即； 当为等腰三角形，则，即； 当为等腰三角形，过C作轴，则， ∵， ∴，即； ∴． 5．（2024·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数的图象在第一象限相交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)点，连接，点E是反比例函数图象第一象限内一点，且点E在点C的右侧，连接，，若的面积是的面积的2倍，求点E的坐标； (3)在（2）的条件下，若点M是反比例函数的图象第一象限上的动点，连接，以点D为直角顶点作等腰直角三角形．当顶点F恰好落在直线上时，求M的坐标． 【答案】(1)(2)(3)或 【分析】（1）先求出C的坐标，然后把C的坐标代入求解即可； （2）在x轴正半轴，D的右侧取点G，使，则可得出，，过G作交反比例函数图象于E，连接，，则，利用待定系数法求出直线解析式为，联立方程组求出公共解即可； （3）设，，分M在D的左侧和右侧两种情况讨论，利用证明，得出，，则可得出关于m，n的方程，然后求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：对于， 当时，则，解得， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴，， 在x轴正半轴，D的右侧取点G，使， ∴， ∴， 过G作交反比例函数图象于E，连接，， 则， 设直线解析式为， 则， ∴， ∴， 联立方程组， 解得或（舍去）， ∴； （3）解：设，， ①如图，当M在D的左侧时， 过D作轴，过M作轴，过F作轴，则， ∵以点D为直角顶点作等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴； ②如图，当M在D的右侧时， 过M作轴，过F作轴，则， ∵以点D为直角顶点作等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 综上，M的坐标为或． 6．（2024·四川成都·三模）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点；与x轴交于点C． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点P在y轴上，且满足求点P的坐标； (3)我们将有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．反比例函数在第四象限的图象上是否存在点Q，使得是不以为“半直角边”的“半直角三角形”？若存在，请求出点`Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，(2)或(3)或 【分析】（1）待定系数法进行求解即可； （2）设，根据，结合，列出方程进行求解即可； （3）分和两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点； ∴， ∴， ∴，， ∴，解得：， ∴； （2）设直线交轴与点， ∵， ∴当时，，时，， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或； （3）存在； ①当时，将绕点旋转90度得到，连接，交的延长线于点，如图，则：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为：，则：， ∴， ∴， 联立，解得：或（舍去）； ∴； ②当时，将绕点旋转90度得到，连接交于点，则，， ∴， ∴， 同法可得：的解析式为：， 联立，解得：或， ∴； 综上：或． 7．（2024·四川成都·二模）如图，矩形的顶点A，C分别在y轴和x轴的正半轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象与，分别交于点，点，连接，，． (1)若的面积为3， ①当，求k的值和的面积； ②当直线的解析式为，求的面积． (2)我们定义有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．若，当为“半直角三角形”时，求反比例函数的解析式． 【答案】(1)①k的值为6，的面积为8；②的面积为 (2)或 【分析】本题主要考查反比例函数的综合题，熟练掌握反比例函数的图象和性质，一次函数的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键． （1）①根据三角形面积得出的值，求出点坐标，再根据的面积矩形的面积的面积的面积的面积计算三角形面积即可； ②根据三角形面积得出的值，根据点和点的坐标在直线上，列方程组求解的值，再根据①中式子，计算三角形面积即可； （2）分和两种情况讨论，构造全等三角形，然后根据交点坐标及直线解析式求出的值即可． 【详解】（1）解：①点的坐标为，， ，， 设反比例函数的解析式为， 则， 的面积为3， ， 解得， 即反比例函数解析式为， ， 的面积矩形的面积的面积的面积的面积， 的值为6，的面积为8； ②设，的面积为3， ， ， ，直线的解析式为， ， 解得或（不符合题意，舍去）或（舍去是负数的情况）， 的面积矩形的面积的面积的面积的面积， 代入的值得， 的面积为； （2）解：， ，，， ①当时，作，交延长线于点，作，交延长线于， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ，， ， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， ， 解得（舍去负值）， ②当时，作，交延长线于点，过点作轴于点， 同理①可证， ，， ， 设直线的解析式为， ， 解得或， 当时，点和点与点重合，此情况舍去， 综上所述，符合条件的值为或12， 即反比例函数解析式为或． 8．（2024·四川成都·二模）如图①，为坐标原点，点在轴的正半轴上，四边形是平行四边形，，反比例函数在第一象限内的图象经过点，与交于点． (1)若，求反比例函数解析式； (2)若点为的中点，且的面积，求的长和点的坐标； (3)在（2）中的条件下，过点作，交于点（如图②，点为直线上的一个动点，连接，．是否存在这样的点，使以、、为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)； (3)存在，满足条件的点的坐标为，或，或，或， 【分析】（1）先过点作，根据，，求出和的值，从而得出点坐标，再把它代入反比例函数中，求出的值，即可求出反比例函数的解析式； （2）先设，过点作轴于，根据，得出，，求出的值，根据，求出平行四边形的面积，根据为的中点，求出，根据，，得出，，再根据点，都在的图象上，，求出，最后根据，得出，即可求出点的坐标； （3）分别根据当时，在的两侧各有一点，得出，；当时，求出；当时，求出即可． 【详解】（1）解：过点作于， ，， ，， 点坐标为，根据题意得： ，可得：， 反比例函数解析式：； （2）设，过点作轴于，过点作轴于点， 由平行四边形性质可证得， ， ，， ， ， ， 为的中点， ， ，， ，， ， ， 点，都在的图象上， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，； （3）由（2）可知，，，，． 存在三种情况： 当时，在的两侧各有一点，如图，设交于点，则， 此时，， ，，，， 当时，如图，过点作于点，交于点． 由，可得 ，， 当时，同理可得，． 综上所述，满足条件的点的坐标为，或，或，或，． 9．（2023·四川成都·二模）如图，已知一次函数分别与x轴和反比例函数交于点．    (1)求b和k； (2)C为直线上一动点，过点C作x轴的平行线，与反比例函数交于点D，若四边形为平行四边形，求点C的坐标； (3)我们把两直角边比为1：2的直角三角形称为“黄金直角三角形”，点P为x轴上一动点，Q为反比例函数上一点，当三角形是以为斜边的“黄金直角三角形”时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)（，0）或（，0）或（，0）或（，0） 【分析】（1）采用待定系数法计算即可求出． （2）设出C点坐标，结合平行四边形的性质，表示出D点坐标，再代入到反比例函数中即可求出． （3）判定出，根据对应边成比例，再结合，解出数值即可． 【详解】（1）解：将点B的坐标代入一次函数表达式得：，则， 则一次函数的表达式为：； 将点A的坐标代入上式得：，则， 即点A， 将点A的坐标代入反比例函数表达式得：， 即反比例函数的表达式为：， 即，． （2）设点C， ∵四边形为平行四边形， ∴CD＝OB＝2，点C与点D的纵坐标相同， 则点D（m﹣2，m﹣2）， 将点D的坐标代入反比例函数表达式得：， 解得：或（舍）， 故点C的坐标为：． （3）设点Q，P 如图所示，分别过点A、Q作x轴的垂线M、N，    ∵是直角三角形的斜边，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵直角边比为1：2，则上述两个三角形的相似比为或2， 即，即＝2或， 又 解得：或 即点P的坐标为：（，0）或（，0）或（，0）或（，0）． 10．（2023·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点M为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点M作x轴垂线，交一次函数图象于点N，连接，若是以为底边的等腰三角形，求的面积； (3)点P为反比例函数图象上一点，连接，若，求点P的坐标． 【答案】(1)(2)8(3)点P坐标为 【分析】（1）先求出一次函数的解析式，然后可得点B坐标，进而问题可求解； （2）设点M坐标为，则点N坐标为，过点B作于点H，然后可得，进而问题可求解； （3）取中点C，过点C作交x轴于点D，连接，则与反比例函数图象交点即为点P，过点B作轴于点H，然后可得，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）解：将代入，得， 把点代入一次函数得：， ， ； （2）解：设点M坐标为，则点N坐标为， 过点B作于点H， ， ， 由（1）可知， ， 解得：，（舍）， ； （3）解：取中点C，过点C作交x轴于点D 连接，则与反比例函数图象交点即为点P 过点B作轴于点H ， ∵，，且点C为的中点 ∴，， 直线的函数表达式为 联立，解得或（舍） 点P坐标为． 题型七：一次函数与反比例函数综合之四边形问题★★★★★ 1．（2023·四川成都·二模）如图，直线与双曲线相交于，两点，点坐标为，点的坐标，点是轴负半轴上的一点． 备用图 (1)分别求出直线和双曲线的表达式； (2)连接，，，，若，求点的坐标； (3)我们把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做"美丽四边形"．在（2）的条件下，平面内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是美丽四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，(2) (3)平面内存在点，使得以，，，为顶点的四边形是美丽四边形，点的坐标为或或或 【分析】此题属于反比例函数与一次函数综合题，涉及的知识有：勾股定理，坐标与图形性质，待定系数法求函数解析式，面积问题，平行四边形存在性问题，三角函数的性质，利用了分类讨论的思想，理解新定义是解本题第三问的关键． （1）把分别代入两个解析式计算即可； （2）设，表示出和的面积，再根据列方程计算即可； （3）设，分四种情况：当时，利用平移的性质可得；当时，运用平移的性质可得；当时，通过构造全等三角形建立方程即可得出；当时，利用平移的性质可得． 【详解】（1）解：（1）直线经过点， ， 解得：， ； 双曲线经过点， ， 解得：， ； （2）如图，设直线交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点， 上点的坐标为， ， 又， ，， 在中，令，得， 解得：， ， ， 设，且， ， ，即， ， ，即， 解得：， ； （3）平面内存在点，使得以，，，为顶点的四边形是美丽四边形． ，，， ，， ， ，， ， 是直角三角形，， 设，当时，如图， 则，，． 解得：， ； 当时，如图， 则，，， 解得：， ； 当时，如图，设直线交轴于点，过点作轴于，作轴，过点作于， 则，， 由（2）知：， ，， ， ，， 是等腰直角三角形，， 轴， ， ， ，即， ，， ， ，， ，， ，， ； 当时，如图， 则，， ， 解得：， ； 综上所述，平面内存在点，使得以，，，为顶点的四边形是美丽四边形，点的坐标为或或或． 2．（2024·四川成都·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点为线段上一点，且，连接、，求； (3)如果一个矩形的长宽之比为，我们把该矩形称为“倍边矩形”．请探究，在平面内是否存在、两点（点在直线上方），使得四边形为倍边矩形，若存在，请求、两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的表达式为：，直线的表达式为：(2)3 (3)存在，、点或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）利用，而，则，即可求解； （3）证明和的相似比为2，设，，分为和两种情况分别得到得关于、的方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 则反比例函数的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 即点， 由点、的坐标得，， 解得， 直线的表达式为：； （2）解：连接、， 由一次函数的表达式知，点， 则， ， 则； （3）解：存在，理由： 由题意得，，， 过点作轴的平行线分别交过点、和轴的平行线于点、， 则和的相似比为， 设，， 则，， 则且， 解得：，， 则点， 由中点坐标公式得：点， 当时， 则和的相似比为， 设，， 则，， 则且， 解得：，， 则点， 由中点坐标公式得：点， 即、点或点、点． 3．（2024·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)点在直线上，若，求点的坐标； (3)我们把有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．设是反比例函数图象上一点，是坐标轴上一点，当四边形是以两邻边相等且对角线互相垂直的“等邻边四边形”时，求两点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，；(2)或； (3)，或，． 【分析】（）利用待定系数法求出反比例函数的表达式，再联立两函数解析式解所得方程组即可求出点坐标； （）分两种情况：点在线段上，点在线段的延长线上，画出图形，根据解答即可求解； （）分两种情况：点在轴上和点在轴上，画出图形，进行解答即可求解； 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，坐标与图形，中点坐标公式，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， ∴， 把代入得，， ∴， ∴反比例函数的表达式为， 由，解得或， ∴； （2）解：有两种情况： 点在线段上，如图， ∵， ∴点为线段的中点， ∴； 点在线段的延长线上，如图， ∵， ∴， 设， 则， 整理得，， 解得（不合，舍去）或， ∴； 综上，点的坐标为或； （3）解：∵， ∴， 当点在轴上时，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴平分，即点为的中点， ∴， 设直线的解析式为，把代入得，， ∴， ∴直线的解析式为， 由，解得或（不合，舍去）， ∴； 当点在轴上时，如图， 同理可得，， 设直线的解析式为，把代入得，， ∴， ∴直线的解析式为， 由，解得或（不合，舍去）， ∴； 综上，，或，． 4．（2024·四川成都·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B． (1)求反比例函数的解析式； (2)若C为反比例函数图象上一点，直线AC与x轴交于点D，且满足，求点C的坐标． (3)若点P在反比例函数图象上，点Q在x轴上，且以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点P的坐标． 【答案】(1)(2)或(3)或 【分析】（1）先求出a值，再用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）分两种情况进行解答，①如图1当点C在A点下方时，②如图2当C在A点上方时解出点C坐标即可； （3）分两种情况进行解答，①当为平行四边形的边时，是平行四边形，②当为平行四边形的对角线时，是平行四边形，分别求出点P坐标即可． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得， ∴， 将代入得，， 解得，， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：由题意知，分两种情况求解， ①如图1，当点C在A点下方时，           图1 ∵，， ∴点C为中点， ∴点C纵坐标为， 当时，， 解得，， ∴C； ②如图2，当C在A点上方时，作轴于，于， ∵，， ∴，即，解得， 当时，， 解得，， ∴C ， 综上所述，点C坐标为或． （3）解：当时，，即， 如图3， ①当为平行四边形的边时，是平行四边形， 则，即， 解得， ∴； ②当为平行四边形的对角线时，是平行四边形， ∵，， Q点纵坐标为0， ∴对角线中点的纵坐标相同，即， 解得，， 当 时，， 解得， ∴． 综上所述，符合条件的点P的坐标为或． 5．（2024·四川成都·一模）如图，矩形交反比例函数于点D，已知点，点，． (1)求k的值； (2)若过点D的直线分别交x轴，y轴于R，Q两点，，求该直线的解析式； (3)若四边形有一个内角为，且有一条对角线平分一个内角，则称这个四边形为“角分四边形”．已知点P在y轴负半轴上运动，点Q在x轴正半轴上运动，若四边形为“角分四边形”，求点P与点Q的坐标． 【答案】(1)；(2)或； (3)或 或 【分析】（1）利用面积及矩形的性质，用待定系数法即可求解； （2）分两种情况讨论求解：R在x轴正半轴上和在负半轴上两种情况分别求解即可； （3）分三种情况：当平分，时，当平分，时，当平分，时，分别结合图形求解. 【详解】（1）解：， 即， ， ， ， ， ， ； （2）①如图，当时， ， ， ， ， ， ， 设直线为， 把，代入， 得， 解得， 直线为， ②如图，当时， ， ， ， ， ， ， 设直线为， 把，代入， 得， 解得， 直线为， 综上所述，直线的表达式为或； （3）解：①当平分，时， ， ， 即垂直平分， ， ， ， ， ， ②当平分，时， 同理，得， ，， 作于M， ， ，， ， ， ，即， ， 联立①，②， 解得或(舍）， ， ③ 当平分，时， 同理  ，得， 同理，得 ∴是等边三角形 ，， ， 综上所述，P、Q的坐标为或 或. 6．（2024·四川成都·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，是轴上的一个定点，连接，．    (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)若经过点的 直线交线段于点，且，求的值； (3)如图2，是一次函数与轴的交点，将直线沿轴正半轴平移，平移过程中，直线在第一象限与反比例函数的图象交于点（点不与点重合），与轴交于点．平移过程中，平面内是否存在某一点，使得四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，(2)(3) 【分析】 （1）待定系数法求出函数解析式，联立两个解析式求出点的坐标； （2）根据，得到，求出的长，设与轴交于点，过点作轴，过点作轴，证明，进而求出的长，利用正切的定义进行求解即可； （3）求出直线的解析式，设平移距离为，求出平移后的解析式，进而求出点的坐标，分点在点左侧和右侧，两种情况，结合菱形的性质，解直角三角形求出点坐标，根据点在双曲线上，列出方程求出的值，进一步求出点坐标即可． 【详解】（1）解：把代入，得：， ∴ ∴， ∴反比例函数的解析式为：， 联立，解得：或， ∴； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设与轴交于点， ∴， ∴，， ∴， 过点作轴，过点作轴，则：，    ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）∵，当时，， ∴， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 设直线与轴交于点，当时，， ∴， 由勾股定理，得：， 设直线沿着轴正半轴平移个单位长度，则：平移后的直线的解析式为：， 当时，，解得：， ∴， 当点在点左侧时，则：，    过点作轴， ∵平移， ∴， ∴， ∴，， 当四边形为菱形时，轴， ∴，， ∴， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴，解得：或（舍去）； ∴，， ∴； 当在点右侧时，则：，    同法可得：， ∴，解得：（舍去）或（舍去）； 故此种情况不存在； 综上：． 7．（2023·四川成都·模拟预测）如图1，一次函数与反比例函数在第一象限交于、两点，点P是x轴负半轴上一动点，连接，． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)若的面积为12，求点P的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，若点E为直线上一点，点F为y轴上一点，是否存在这样的点E和点F，使得以点E、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函为，一次函数表达式为(2) (3)存在，点E的坐标为或或 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，平行四边形性质等，解题关键是运用分类讨论思想解决问题， （1）将点的坐标代入反比例函数解析式可求得，进而可得，再利用待定系数法即可求得一次函数解析式; （2）如图，设直线交x轴于H，过点M作轴于D，过点N作轴于E，设，根据三角形的面积，建立方程求解即可，得出答案; （3）利用待定系数法可直线PM的解析式为，设，分三种情况∶ 当、为平行四边形对角线时； 当、为平行四边形对角线时，当、为平行四边形对角线时；分别建立方程求解即可得出答案． 【详解】（1）∵反比例函数 的图象经过、两点， ， 解得：， ， 由点M、N的坐标得，直线的表达式为：； 反比例函数表达式为，一次函数表达式为； （2）如图，设直线交x轴于H，过点M作轴于D，过点N作轴于E， 设， ，， ， 直线的表达式为：， 则， ， ， 解得：， ； （3）存在，点E的坐标为或或． 由点P、M的坐标得，直线PM的解析式为， 设， ，， 当、为平行四边形对角线时，与的中点重合， 则，解得：， ，； 当、为平行四边形对角线时，与的中点重合， 则，解得：， ，； 当、为平行四边形对角线时，与的中点重合， 则，解得：， ，； 综上所述，点E的坐标为或或． 8．（2024·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点． (1)求直线的函数表达式及点的坐标； (2)如图1，过点的直线分别与轴，反比例函数的图象（）交于点，，且，连接，求的面积； (3)如图2，点在另一条反比例函数（）的图像上，点在轴正半轴上，连接交该反比例函数图像于点，且，再连接，，若此时四边形恰好为平行四边形，求的值． 【答案】(1)的函数表达式为，点B的坐标为(2)(3) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合，掌握待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）过点A作轴交x轴于点H，交过点N垂直y轴的直线与点G，设直线与x轴交于点K，先根据平行线分线段成比例得到点N的纵坐标为代入求出点N的坐标，然后求出直线的解析式，解出与x轴交点M的坐标，然后根据解题即可； （3）根据平行设直线的解析式为，然后得到点C的坐标，由平移得到点D的坐标，然后利用相似三角形的判定和性质得到点E的坐标，然后根据题意列方程解题即可． 【详解】（1）解：把代入得， ∴点A的坐标为， 把代入得，解得， ∴直线的函数表达式为， 解方程组得：或， ∴点B的坐标为； （2）解：过点A作轴交x轴于点H，交过点N垂直y轴的直线与点G，设直线与x轴交于点K， 则， ∴， ∵， ∴， ∴点N的纵坐标为 当，， ∴点N的坐标为， 设直线的解析式为：，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为：， 令，则，解得， ∴点M的坐标为， 令，则，解得， ∴ ∴； （3）解：∵为平行四边形， ∴，， 设的解析式为， 令，则，解得：， ∴点C的坐标为， 根据平移可得点D的坐标为， 过点E作轴于点P，点D作轴于点Q， 则， ∴， ∴，即， 解得：，， ∴， ∴点E的坐标为， 又∵点D和点E在同一曲线上， ∴， 解得：，． 9．（2023·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)当时，根据图象直接写出自变量x的取值范围； (3)我们把对角线与一边垂直的平行四边形叫做“铅垂平行四边形”．设C是第一象限内反比例函数图象上一点，点在x轴上方，当以为顶点的四边形是“铅垂平行四边形”时，求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为；一次函数的表达式为 (2)或 (3)当以为顶点的四边形是“铅垂平行四边形”时，，或或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合 （1）依据题意，先将代入反比例函数解析式求得,再将代入反比例函数解析式求得,最后将点的坐标代入一次函数解析式，即可得解； （2）依据题意，由可知，当时，即为一次函数的图象在反比例函数图象的下方时对应的自变量x的取值范围，结合图象可以得解； （3）设 ，分两种情况进行讨论即可，当为边，为对角线时；当为边，为对角线时；总共存在三种答案. 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为. ∵在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴. 将点代入得 解得 ∴一次函数的表达式为； （2）解：或； 当时，，即一次函数的图象在反比例函数图象的下方，观察图象可知，此时x的取值范围是或. （3）解：设 ①如图①，当为边，为对角线时，由题意知， ∴ ∴， 整理得， ∴或（舍）， ∴ ∵四边形为平行四边形， ∴即 解得 ∴； ②如图①，当为边，为对角线时， 同①可得. ∵四边形ABDC为平行四边形， ∴即 解得 ∴ ③如图②，当为边，为对角线时，由题意得. 联立解得或 ∴. ∵四边形为平行四边形， ∴ 即解得 ∴. 综上所述，当以为顶点的四边形是“铅垂平行四边形”时，，或或 10．（2023·四川成都·三模）如图，直线与x轴交于点A，与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点D在点C上方的反比例函数的图象上，的面积为9，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，点M在x轴上的图象上，若以点M，N，B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标． 【答案】(1)(2)(3)，或或， 【分析】（1）把代入得到，由于点在双曲线上，求得，于是得到反比例函数的解析式为； （2）由可知的坐标为，得到的坐标为，求得，，过作轴于，轴于，设，则，，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论； （3）分当，为平行四边形的对角线时，当，是对角线时，当，是对角线时，三种情况讨论，设，，根据中点坐标公式得方程：即可得到结论． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得：， ， 点在双曲线上， ， 反比例函数的解析式为； （2）解：由可知的坐标为， 当时，， ， 的坐标为， ，， 过作轴于，轴于， 设，则，， ∵的面积为9， ， 解得（负值舍去）， ； （3）解：点在轴上，点在反比例函数的图象上， 设，， 以点，，，为顶点的四边形是平行四边形， 当以，为平行四边形的对角线时， 由中点坐标公式得： ， 解得：． 即点，； 当，是对角线时，由中点坐标公式得： ，解得：， 即点的坐标为：， 当，是对角线时，由中点坐标公式得： ， 解得， ，， 综上，点的坐标为，或或，． 题型八：一次函数与反比例函数综合之其他问题★★★★★ 1．（2023·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，点A坐标为，反比例函数的图象分别交矩形的两边，于点，（点，不与点重合），沿着将折叠，点落在点处． (1)如图1，当点E为中点时，求点F的坐标，并直接写出与对角线的关系； (2)如图2，当点E位置发生改变时，与是否存在（1）中的位置关系，请说明理由； (3)如图3，连接，当平分时，求出此时反比例函数的表达式． 【答案】(1)点F的坐标为；，(2)存在，理由见解析(3) 【分析】（1）用待定系数法求出反比例函数表达式，得到分别为、的中点，进而求解； （2）求出点的坐标为，得到，则，得到，即可求解； （3）当在轴上时，推出，求出的表达式，又由平分，，联立两条直线，得到的中点的坐标，再求出的表达式，求得的表达式，进而求解． 【详解】（1）解：点为中点， 由中点坐标公式得：， 将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 解得：， 当时，，即点的坐标为， 、分别为、的中点， ，； （2）解：，理由如下： 将代入，得， 点的坐标为， ， 将代入，得， 点的坐标为， ， ， 又， ， ∴, ； （3）当在轴上时，如图： 沿着折叠至△D1EF， ， ， ， ， ， ， ， 在矩形中，，， ， ， ， ， 设直线的表达式为：，代入，，得， 解得， 的表达式为：， 如图，当平分时，， ， 与轴的交点坐标为：， 表达式为：， 联立， 解得， 点坐标为， 的中点的坐标为， 设直线的表达式为：，代入，，得， 解得：， 故直线表达式为：， 设直线表达式为：，代入， 的表达式为：， 当时，， 点坐标为， ， 此时反比例函数的表达式为． 2．（2024·四川成都·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为，点P是第一象限反比例函数图象上一动点 (1)求k的值及点B的坐标； (2)连接，若的面积为，求点P坐标： (3)过点P作直线平行于交反比例函数于点Q，是否存在点P使得?若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，(2)点坐标为，或(3)，或， 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，反比例函数的图象和性质，反比例函数中的几何意义，一次函数与反比例函数的图象交点坐标，三角形面积，两点间距离公式等，运用分类讨论思想和方程思想是解题关键． （1）运用待定系数法即可求得的值，联立方程组可求得点的坐标； （2）设，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，则，，分两种情况：当时，当时，分别利用三角形面积建立方程即可求得答案； （3）设直线的解析式为，与反比例函数解析式联立可得，则，，进而可得，根据，建立方程求解可得，即直线的解析式为，联立方程组即可求得答案． 【详解】（1）把代入，得， ， 代入，得， ， 反比例函数的解析式为， 联立方程组得：， 解得：，， ； （2）设，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、， 则，， 当时，如图1，则， ，，， ， ，即， 解得：（舍去），， ，； 当时，如图2，则， ，，， ， ，即， 解得：，（舍去）， ； 综上所述，点坐标为，或； （3）存在点使得，点坐标为，或，． ， 设直线的解析式为， 联立，得， 整理得：， 则，， 又，，则， ， ，， ， ， 、均在第一象限， ， ， 直线的解析式为， 联立得， 解得：，， ，或，． 3．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，与x轴交于点C． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)点E为x轴正半轴上一点，过点E作x轴的垂线，交反比例函数图象于点F，交一次函数图象于点G．当E、F、G三点恰好满足其中一点为另外两点连线的中点时，求点的坐标； (3)在该反比例函数图象上是否存在点P，使，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，(2)点E的坐标为或(3) 【分析】（1）把点代入求得，再把点A坐标代入反比例函数解析式求得，联立方程组，求解即可； （2）设，可得、，分类讨论：①若E为的中点，②若F为的中点，③若G为的中点，利用中点坐标公式列方程求解即可； （3）求得，利用锐角三角函数可得，，分类讨论：当点P在直线左侧时，如图3，过点A作轴于点N，过点P作交延长线于点M，连接，利用锐角三角函数列方程求解；当点P在直线右侧时，，故此情况不存在，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在一次函数的图象上， 把点代入得，， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点B， 联立方程组得，， 解得或， ∴； （2）解：设， ∵点F在反比例函数的图象上，点G在一次函数的图象上， ∴、， ①若E为的中点， ∴， 整理得，，方程无解， ∴该情况不存在； ②若F为的中点，如图1， ∴， 整理得，， 解得或（舍去）， ∴； ③若G为的中点，如图2， ∴， 整理得，， 解得或（舍去）， ∴， 综上所述，点E的坐标为或； （3）解：∵一次函数的图象与x轴交于点C． 把代入得，， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点P在反比例函数图象上， 设， 当点P在直线左侧时，如图3，过点A作轴于点N，过点P作交延长线于点M，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 解得或（舍）， ∴； 当点P在直线右侧时， ∵， ∴当时，点P在的延长线上， ∴此种情况不存在， 综上所述，点P坐标为． 4．（2024·四川成都·二模）如图所示，已知一次函数与反比例函数的图像在第二象限交于A，B两点，其中． (1)求反比例函数的函数表达式； (2)若把一次函数图像向下平移n个单位，使之与反比例函数的图像只有一个交点，求n的值． (3)在（2）小问的基础上，若平移后一次函数与反比例函数的交点为C，连接，，求的面积． 【答案】(1)(2)或1(3)或 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数，以及函数的平移， 根据一次函数求得点A，结合点A过反比例函数代入即可求得其解析式， 根据平移求得一次函数解析式，结合交点联立使用判别式求解即可； 由（2）的平移后一次函数解析式为或，即可求得交点坐标，联立一次函数与反比例函数求得点A和点B，利用分割法即可求得对应三角形的面积． 【详解】（1）解：∵过一次函数， ∴，解得，即， ∵过反比例函数， ∴，解得， 则反比例函数； （2）解：∵一次函数图像向下平移n个单位， ∴， ∵与反比例函数的图像只有一个交点， ∴，得， 则，解得或1， 故或1； （3）解：由（2）的平移后一次函数解析式为或， 则或，解得或， ∴点或， 由，解得或， 则， 当，则，解得； 当，则，解得； 那么，或， 故的面积或． 5．（2024·四川成都·三模）如图，直线：与反比例函数图象交于点和点B， (1)求a，k的值和点B的坐标； (2)将直线向下平移4个单位后得到直线，分别与反比例函数图象交于C，D两点，点C在第一象限，连接和，求四边形的面积； (3)若（2）中得到的平行四边形内（不含边界）的点称为“规矩点”，将反比例函数图象上的一点绕直线上的一个点逆时针旋转90度得到点，如果点是“规矩点”时，求的取值范围． 【答案】(1)，，(2)(3) 【分析】（1）先求出即可求出反比例函数解析式为：，再联立，即可得，问题得解； （2）根据平移可得直线：，再联立，可得，，连接，证明是直角三角形，即可得四边形是矩形，问题随之得解； （3）先求出，过点P作轴于点N，过Q点作于点M，设直线：分别与x轴、y轴交于点H、G，在求出，当点在矩形的边上时，将绕点Q逆时针旋转，可得到，表示出，结合，可得，利用待定系数法可得直线的解析式为：，代入点可得：；当点在矩形的边上时，设交直线于点K，证明是等腰直角三角形，即有，即可得，问题得解． 【详解】（1）当时，， ∴，即， 将代入中，有， ∴反比例函数解析式为：， 联立：， 解得：，或， ∴， 综上所述：，，； （2）∵直线：向下平移4个单位后得到直线， ∴直线：， 联立：， 解得：，或者， ∴，， 连接，如图， ∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴是直角三角形，且， 同理可证明， ∴四边形是矩形， ∴； （3）当时，， ∴， 过点P作轴于点N，过Q点作于点M，设直线：分别与x轴、y轴交于点H、G， 当时，， 当时，有，解得：， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形，即， 当点在矩形的边上时，将绕点Q逆时针旋转，可得到，如图， 根据旋转有：，，，，， 又∵，轴， ∴，轴，轴， ∴轴， ∵，， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点在直线：上， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， ∵，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 当点在矩形的边上时，， 解得：； 当点在矩形的边上时，设交直线于点K，如图， 根据旋转有：， ∴， ∵轴，， ∴轴， 又∵直线的解析式是：， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即，点与点重合， 又∵， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上可知：如果点是“规矩点”时，求的取值范围为：． 6．（2024·四川成都·三模）已知直线与x轴相交于点A，与双曲线相交于点B． (1)若，请直接写出当时，x的取值范围； (2)如图，以为边在直线l上方作正方形，点D恰好落在反比例函数的图象上，求k的值； (3)在（2）的条件下，将正方形沿着射线的方向平移，当点C落在反比例函数的图象上时，试求出此时的平移距离． 【答案】(1)或(2)15 (3)． 【分析】（1）依题意，列式，进行计算，得出，运用数形结合思想，得出当时，x的取值范围为或，即可作答． （2）结合正方形的性质以及角的等量代换，得证，表达出以及结合在直线上，得出，因为点和点在上，则，列式 进行计算，即可作答． （3）结合正方形的性质，以及一次函数的性质得出此时的平移距离．结合（2）得出，，运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴直线与x轴相交于点A，与双曲线相交于点B． ∴ 整理得 ∴ 解得 经检验，是原方程的解， 记直线与x轴相交于点A，与双曲线相交于点E(第三象限) ∴结合图象，当时，x的取值范围为或 （2）解：分别过点作轴、轴，如图所示： 当时，则，解得 ∴点的坐标为 ∵轴、轴， ∴， ∵四边形是正方形 ∴ ∴ ∴ 设，则 ∴ 则 ∴ ∵在直线上 ∴ ∴ ∵点和点在上 则 ∵ ∴ ∵ ∴ 解得 把代入 解出； （3）解：∵在（2）的条件下，将正方形沿着射线的方向平移，当点C落在反比例函数的图象上时， ∴此时的平移距离． ∵，， ∴， 在中， 即此时的平移距离为． 7．（2024·四川成都·三模）如图1，反比例函数 与一次函数的图象交于点 ，点，一次函数与y轴相交于点 C． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接、，在x轴上是否存在一点D使的面积是面积的2倍，请求出点D的坐标； (3)如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接，把线段绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标． 【答案】(1)；(2)或(3)点E的坐标为 【分析】（1）将代入反比例函数的解析式求得m的值，再将代入，即可求解； （2）首先利用的面积求出的面积为4，然后得到的面积为8，然后根据题意分两种情况：点D在x轴负半轴和点D在x轴正半轴，然后利用求解即可． （3）设点，，又，利用等腰直角三角形的性质列方程组，解方程组即可求解． 【详解】（1）解：将代入反比例函数， 解得， ∴， 将代入， 得， ∴ 将，点代入， ，解得， ∴； （2）解：设一次函数与x轴交于点E， 令，则，令，则， ∴， ∴的面积 ∵的面积是面积的2倍， ∴的面积为8 设，如图所示，当点D在x轴正半轴时，连接，， 则， ∴ ∴ 解得 ∴； 如图所示，当点D在x轴负半轴时，连接，， 则， ∴ ∴ 解得 ∴； 综上所述，点D的坐标为或； （3）解：设点，又， 由旋转知：为等腰直角三角形， ∴， 解得， ∴． 8．（2024·四川成都·二模）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点B． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)连接，，点P为反比例函数图象第一象限上一点，连接，，若，求点P的坐标； (3)已知为x轴上一点，作直线关于点T中心对称的直线，交反比例函数的图象于点E，F，若，求t的值． 【答案】(1)，(2)或(3)或 【分析】（1）利用一次函数的解析式求得的坐标，即可利用待定系数法求得反比例函数的解析式，然后解析式联立成方程组，解方程组即可求得点的坐标； （2）延长，交反比例函数的图象于点，则则此时，故与重合时，符合题意，作，交轴于，求得直线的解析式，求得点的坐标，即可求得直线向下平移6个单位得到直线，关于向上平移6单位得到的直线与反比例函数图象第一象限上的交点也为点； （3）设直线为，由中心对称可知与x轴交点为，从而求出函数表达式，与反比例函数联立，得二次方程，由根于系数关系可得，即可求得T点的坐标，得到的值． 【详解】（1）将代入，得：， ， 反比例函数表达式为：， 联立，求得点； （2）①延长交图象于点， 反比例函数与正比例函数关于原点O中心对称， 交点B和关于原点O中心对称， 即， ，则， 点即为所求； ②， 取点，连接，， ， 过点Q作平行线交图象于点， 则的函数表达式为，联立，解得， 综上，点P坐标为或； （3）与x轴交于， 由中心对称可知与x轴交点为， 且， 直线函数表达式为， 化简得：， 联立，得：， ，； ， ， 即： 解得或． 9．（2024·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，与双曲线交于点，两点，直线分别与直线和双曲线交于，连接，． (1)求的值； (2)点在线段上（不与端点重合），若，求的面积； (3)将点沿直线翻折后的对应点为，当落在轴上时，求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）先求出，再代入反比例函数解析式计算即可得解； （2）结合题意得出坐标，坐标，过作于点，求出纵坐标为，得到，求出的值即可得解； （3）将轴沿直线翻折得直线，过点作交直线于点，交直线于点，由题意得出直线解析式，求出，从而得到，待定系数法求出直线解析式，联立，求出的值即可得解． 【详解】（1）解：将代入直线得：， 解得：， 再将代入得：； （2）解：由（1）得直线，双曲线，点坐标， 坐标，坐标， 过作于点， ， 为中点， 纵坐标为， ， 解的，（舍）， ， 可得，，， ∴； （3）解：将轴沿直线翻折得直线，过点作交直线于点，交直线于点， 由直线可得直线解析式， 联立得：， ∴， 为中点，则， 设直线的解析式为：， 将及代入直线解析式可得：， 解得：， ∴直线解析式， 联立得， 解得：， 当时，将点沿直线翻折后的对应点会落在轴上， ． 10．（2024·四川成都·二模）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，其中点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图2，连接，，求△AOB的面积； (3)作直线，分别垂直于轴和轴，垂足为，，与交于点，在第一象限内存在一点使得，连接，若点是的中点，连接，当最大时，求出此时点的坐标及的值． 【答案】(1)；(2)(3)，． 【分析】（1）求得，再利用待定系数法求解即可； （2）联立，求得，再利用割补法求解即可； （3）取中点，求得，再取中点，求得，根据斜边中线的性质，三角形中位线定理结合勾股定理求得，，由两点之间线段最短知，当共线时，即可求得的最大值；利用待定系数法求得直线的解析式，设点，利用两点之间的距离公式列式计算求得的值，求得，再中点坐标，据此求解即可． 【详解】（1）解：直线过点， ∴，解得， ∴， ∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：联立，， 解得或， 当时，， ∴， ∴ ； （3）解：∵，， ∴，，， 取中点，连接，，则， 再取中点，连接，，则， ∵，点为中点， ∴， ∵点为中点，点为中点， ∴，， 又，， ∴， ∵点为中点，， ∴， 由两点之间线段最短知，当共线时，有最大值，最大值为； 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点在直线上，设点，且， ∵，， ∴， 整理得， 解得， ∴，， ∴点， 设， ∵点为中点， ∴，， 解得，， ∴． 11．（2024·四川成都·二模）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A的坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图2，连接，求△AOB的面积； (3)作直线分别垂直于x轴和y轴，垂足为M，N，与交于点C，在第一象限内存在一点D使得，连接，若点P是的中点，连接，当最大时，求出此时点D的坐标及的值． 【答案】(1)(2)(3)， 【分析】（1）将代入，可求，则，将代入，可求，进而可得反比例函数的解析式；   （2）如图1，记直线与轴的交点为，则，联立，可求，根据，计算求解即可； （3）如图2，取中点为G，连接，取中点Q，连接，，则，，在中，，则，，则，，由，可知当C，P，Q三点共线时，有最大值，即，如图2，过点P作PH⊥BC于点H，则，此时点P的坐标为，进而可求点D坐标． 【详解】（1）解：将代入得， 解得，， ∴， 将代入得，， 解得，， 反比例函数的解析式为； （2）解：如图1，记直线与轴的交点为， 当时，， ∴， 联立， 解得，， ， ∴， ∴△AOB的面积为； （3）解：如图2，取中点为G，连接，取中点Q，连接，， ，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴等腰中，， ∴， 在中，， ∵， 当C，P，Q三点共线时，有最大值，即， 如图2，过点P作PH⊥BC于点H， ，此时点P的坐标为，                         P是的中点， 点D的坐标为， ∴点D的坐标为，的值为． 12．（2024·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴交于点，与反比例函数交于点． (1)求点和点的坐标； (2)点是轴正半轴上一点，连接交反比例函数于点，连接，若，求的面积； (3)在（2）的条件下，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．点是反比例函数的图象上一点，连接，若，求点的坐标． 【答案】(1)(2)1(3)或 【分析】（1）在中，令，可求得点的坐标，联立方程组可求得点的坐标； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，设交轴于点，由，得，可得，求得，再求得，进而可得，运用待定系数法可得直线的解析式为，进而求得，即可求得答案； （3）过点作轴，作于，于，连接，先证得，可得，，得出，进而得出，再求得直线的解析式为，联立方程组即可求得答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， ， 联立方程组， 解得：，（舍去）， ； （2）解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设交轴于点， ， ， ， ， ， 当时，， 解得：， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， ， ， ； （3）过点作轴，作于，于，连接，如图， 由旋转得：，， ，， ， ， ， ，， ， 轴， ，， ， ， 设直线交轴于， ， 直线的解析式为， ， 解得：，， 点的坐标为或． 13．（2024·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与双曲线的交点为，且△AOB的面积为． (1)求，的值； (2)直线与双曲线的交点为，（在的左边）． ①连接，，若的面积为，求点的坐标； ②直线与直线交于点，过点作，交直线于点，为线段上一点，且，连接，求的最小值． 【答案】(1)，(2)①点的坐标为；② 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的图像交点问题，相似三角形的性质与判定； （1）根据的面积为，得出点的坐标为，分别代入一次函数与反比例函数解析式，即可求解； （2）①根据点在双曲线上，点坐标为，的面积为，所以其高为，得出点的坐标为； ②设直线与直线交于点，则点的坐标为，连接，，则，且，证明得出，证明得出则点的运动轨迹是直线．作点关于直线的对称点，则，当点，，三点在同一直线上时，的值最小，即为，进而勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：直线与轴交于点， ， △AOB的面积为， ， 点的坐标为， ∴， 解得：， 直线的函数表达式为，双曲线的函数表达式为． （2）①， 直线过定点， 点在双曲线上，点坐标为， 的一边平行于轴，且其长为 又的面积为，所以其高为，所以此点的坐标为， 在的左边， 点的坐标为，点的坐标为 ②设直线与直线交于点，则点的坐标为， 连接，，则，且， ， ， ，，， ， ， ，即，且， ， ， 又， ， ， ， 点的运动轨迹是直线． 作点关于直线的对称点，则， 当点，，三点在同一直线上时，的值最小，即为， ， 的最小值为的最小值，即， ，， ， ， ， 的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 猜押08 一次函数与反比例函数综合 猜押考点 3年成都真题 考情分析 押题依据 一次函数与反比例函数（选填题） 2023年成都A卷第10题，2022年成都卷A卷第10题。 从近年成都中考来看，一次函数与反比例函数均出现在数学中考试卷中，在选择填空题中主要以一次函数和反比例函数的基本性质为主，考查学生对基础知识的掌握，在解答题中主要以一次函数与反比例函数以及几何的综合题型，主要以相似问题、存在性问题以及最值问题为主。 在近三年的成都数学中考试卷中一次函数与反比例函数都出现在A卷的第18题，所以在2025年的成都中考数学试卷中一次函数与反比例函数的综合题再次出现的概率还是非常大的，此题型难度较大，综合性非常强，常常结合到相似三角形、四边形的性质与判定、全等三角形等等综合考查，学生需要融会贯通这些知识点。 一次函数与反比例函数（解答题） A卷压轴题 2024年成都卷A卷第18题，2023年成都卷A卷第18题，2022年成都卷A卷第18题 题型一：利用一次函数的增减性求解★★★ 1．（2022·四川成都·一模）点和点在直线上，则m与n的大小关系是 ． 2．（2024·四川成都·一模）已知点都在正比例函数的图象上，则 （填“＞”或“＜”）． 3．（2024·四川成都·模拟预测）若点，都在一次函数的图象上，则 （填“”或“”）． 4．（2024·四川成都·二模）若点，都在函数的图象上，则 （填“”或“”）． 5．（2024·四川成都·一模）如图，直线不经过第三象限，若点在该直线上，且的大小关系为 ，则的大小关系为 ． 6．（2024·四川成都·一模）在一次函数中，y的值随着x值的增大而减小，则点在第 象限． 7．（2023·四川成都·三模）若，是直线上的两点，则 ．（填、或） 8．（2023·四川成都·一模）已知一次函数的图象在第一、三、四象限，则k的取值范围为 ． 9．（2023·四川成都·二模）一次函数中，y的值随x值增大而增大，则k的取值范围是 ． 10．（2023·四川成都·一模）已知直线过点和，则______（填“”、“”或“”）． 11．（2023·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，若一次函数经过一、三、四象限，则k的取值范围是 ． 12．（2024·四川成都·模拟预测）一次函数的值随值的增大而减小，则常数的取值范围为 ． 13．（2024·四川成都·模拟预测）若一次函数的图象不经过第一象限，则m的取值范围为 ． 题型二：利用反比例函数的增减性求解★★★★ 1．（2024·四川成都·一模）已知点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 2．（2023·四川成都·一模）若点，，在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是(    ) A． B． C． D． 3．（2023·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，若反比例函数，当时，随增大而减小，则函数的图象不经过第 象限． 4．（2024·四川成都·模拟预测）点，都在反比例函数的图象上，则 ．（填“”或“”） 5．（2024·四川成都·二模）反比例函数的图象经过两点，则m、n的大小关系为 .（用“”连接） 6．（2023·四川成都·模拟预测）双曲线的图象分布在第二、四象限，则的取值范围是 ． 7．（2024·四川成都·模拟预测）已知反比例函数图象上的两点，，且，则的取值范围是 ． 8．（2024·四川成都·二模）已知点，都在反比例函数的图象上，则 （填“>”、“<”或“=”）． 9．（2024·四川成都·模拟预测）若点，，都在同一个反比例函数的图象上，则m、n的大小关系是m n（填“>”、“=”或“<”）． 10．（2024·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第一、三象限，则k的取值范围是 ． 11．（2024·四川成都·模拟预测）若点都在反比例函数的图象上，则 （填“”或“”）． 12．（2023·四川成都·三模）在平面直角坐标系中，对于每一象限内的反比例函数图像，的值都随值的增大而增大，则的取值范围是 ． 题型三：一次函数与反比例函数与几何综合★★★★ 1．（2024·四川成都·模拟预测）如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，C是点B关于原点O的对称点，连接，则△ABC的面积为 ． 2．（2024·四川成都·三模）如图，函数的图象上有一点P，延长OP交的图象于点Q，点M，N在的图象上，．过点P作x轴平行线l，过M作于点A，过N作于点B，连接，若，，则点Q的纵坐标 ．    3．（2024·四川成都·二模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，若点A的坐标为，则关于x的不等式的解集为 ． 4．（2024·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点．点，点在平面直角坐标系内且满足，连接，，，则的最小值为 ． 5．（2024·四川成都·二模）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴于点B，点P是y轴上任意一点，连接，则的面积为 ． 6．（2024·四川成都·一模）如图，经过原点的直线交反比例函数的图象于，两点，过点作轴于点，连接，当时，的值为 ． 7．（2024·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点A、点B，将直线向下平移b个单位后双曲线交于点C、点D，M是第二象限内一点，连接、，若以M为位似中心的与位似，位似比为，则b的值为 ．    8．（2024·四川成都·一模）已知矩形的面积为，以它对角线的交点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，使得矩形的各边与坐标轴平行或垂直．若反比例函数经过矩形的顶点，则的值为 ． 9．（2023·四川成都·一模）如图，反比例函数的图形过点A，反比例函数的图象与直线交于点B，C，已知，则 ；过点A分别作y轴和x轴的平行线，分别交反比例函数的图象于点D和E，连接交y轴于G，连接交x轴于点F，当的面积为1时， ．    10．（2024·四川成都·一模）如图，已知，直线l：经过点，点O关于直线l的对称点落在三角形内（不含边界），则b的取值范围是 ． 11．（2023·四川成都·二模）如图，平面直角坐标系中，点在反比例函数的图像上，直线与反比例函数图像交于点，过点作轴，垂足为，连接，若三角形的面积为，则的值为 ． 12．（2023·四川成都·二模）如图，在△AOB中，，射线AB分别交y轴于点D，交双曲线于点B，C，连接，当平分时，与满足，若的面积为4，则 ． 13．（2023·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像交于A，B两点，C是反比例函数位于第一象限内的图像上的一点，作射线交y轴于点D，连接，，若，的面积为30，则 ． 题型四：一次函数与反比例函数与定义新运算★★★★ 1．（2024·四川成都·二模）若点的坐标满足其中，t为常数，则称点M为“好点”．若双曲线上存在“好点”，则k的取值范围是 ． 2．（2023·四川成都·模拟预测）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知在某一平衡状态下阻力和阻力臂分别是和，若动力（单位：N），则动力臂与（单位：m）之间的关系为 （填“”“”或“”） 3．（2024·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，，．给出如下定义：若点先向上平移个单位（若，即向下平移个单位），再向右平移3个单位后的对应点Q在△ABC的内部或边上，则称点P为的“平移关联点”．若直线上的一点P是△ABC的“平移关联点”，且是等腰三角形，则点P的坐标为 ． 4．（2024·四川成都·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，若点满足，则称点为“积和点”．例如：，就是“积和点”．若直线上所有的点中只有唯一一个“积和点”，则 ． 5．（2024·四川成都·三模）对于平面直角坐标系中的点P和线段，其中、两点，有如下定义：若在线段上存在一点Q，使得P，Q两点间的距离小于或等于1，则称P为线段AB的“附庸点”．在点，，中，线段的“附庸点”是 ；在直线上存在线段的“附庸点”M，N，且，则b的取值范围是 ． 6．（2024·四川成都·二模）利用数学公式处理原始数据是数据加密的一种有效方式．在平面直角坐标系中，定义一种坐标加密方式：将点变换得到点，则称点Q是点P的“加密点”．例如，点的“加密点”是点．已知点A在x轴的上方，且，若点A的“加密点”B在直线上，则m的取值范围是 ． 7．（2023·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于点，我们称直线为点的相关直线．例如，点的相关直线为．已知点，点．点为直线上的动点．以为圆心，6为半径作圆．在点运动过程中，当点的相关直线与圆交于，两点时，的最小值为8，则的值为 ． 8．（2023·四川成都·三模）在平面直角坐标系中，对封闭图形和不重合的两点，给出如下定义：点关于点的中心对称点为，若点在图形内（包含边界），则称图形为点经点投射的“靶区”．如图，拋物线与轴的交点A，位于原点两侧（点A在点的左侧），且，则抛物线的函数表达式为 ，记轴上方的拋物线与轴所围成的封闭图形为，点为轴上一动点，若直线上存在点，使得图形为点经点投射的“靶区”，则的取值范围是 ．    题型五：一次函数与反比例函数综合之相似问题★★★★★ 1．（2024·四川成都·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)过的另一条直线与轴，轴分别交于两点，若的面积与的面积比为，求点的坐标； (3)点都在直线上，过分别作轴的平行线交双曲线与，设的横坐标分别为，且，，连接、，若，求点的坐标． 2．（2023·四川成都·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点．与坐标轴交于C、D两点，连接，已知，的面积为1． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)P是线段的中点，直线向上平移个单位长度后，将△AOB的面积分成两部分，求b的值； (3)我们把只有一组邻边相等，且只有一组对角为直角的四边形，叫作“直角等补形”；设M为y轴负半轴上一点，N为平面内一点，当四边形是直角等补形时，求点M的坐标． 3．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与反比例函数的图象交于点A，C，点A的横坐标为．    (1)求点B的坐标和反比例函数的表达式； (2)设P是x轴上一点，若是以为腰的等腰三角形，求点P的坐标； (3)若D是线段上一动点，过点D作垂线交反比例函数图象于点E，F，连接，当△ADE与△ADF相似时，求点D的坐标． 4．（2024·四川成都·二模）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，．P是反比例函数的图象在第一象限内的一动点，当轴时，的面积为． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图2，当点P在射线上时，Q为x轴正半轴上一点，若以P，O，Q为顶点的三角形与相似，求点Q的坐标； (3)若点P是使的面积取得最小值的点，将线段沿着x轴向右平移n个单位长度，平移后对应的线段为的垂直平分线恰好经过点P，求n的值． 5．（2024·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于点和点B． (1)求和的值，及点坐标； (2)将直线沿着轴向上平移个单位与轴，轴分别交于点，点，若，求的值； (3)若点在反比例函数图象上，点是线段延长线上一点，过点作直线，交反比例函数于点，若，求点的坐标． 6．（2024·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，点．      (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)过点的直线与轴交于点，与轴负半轴交于点．若，求的面积； (3)点在第三象限内的反比例函数图象上，横坐标和纵坐标相等．点关于原点的对称点为点．平面内是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（2024·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第一象限内的图象相交于点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)将直线沿y轴向上平移b个单位后与反比例函数在第一象限内的图象相交于点B，与y轴交于点C，若，求b的值； (3)在（2）的条件下，若直线上有一点P（且不与O重合），使，求点P的坐标． 8．（2024·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象如图所示，直线分别交x轴，y轴于A，B两点． (1)求A，B两点的坐标； (2)在该反比例函数的图象上取一点C，连接，其中交线段于点D，若，且相似比为2，求该反比例函数的表达式； (3)在的内部取一点P，以P为位似中心画，使它与位似，且相似比为5，若M，N两点恰好都落在（2）中所求出的反比例函数的图象上，求位似中心P的坐标． 9．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，D是反比例函数图象上的一个动点，过点向轴作垂线与一次函数图象交于点，其中点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)连接，当的面积等于面积的2倍时，求点的坐标； (3)若P是x轴上的一个动点，连接，当与△AOB相似时，求点D的纵坐标． 10．（2023·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，在第一象限内以为边作，点C在反比例函数的图象上，D是边的中点，点C的横坐标为2． (1)如图1，若点D的纵坐标为，求反比例函数的解析式； (2)如图2，若点D在反比例函数图象上且，求的面积． (3)如图3，在（1）的条件下，将直线：向上平移得到直线，直线与双曲线交于，两点，点P为的中点，过点作于点N．试探究的值是否为定值，若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由． 题型六：一次函数与反比例函数综合之三角形问题★★★★★ 1．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，．将直线绕点A顺时针旋转交y轴于点M，连接． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)若，求点M的坐标； (3)当是以为腰的等腰三角形时，求的值． 2．（2024·四川成都·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C，连接． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)将直线向下平移个单位长度得到直线l：，设直线l与反比例函数的图象交于点P，与x轴交于点D． ①连接，，若，求m的值； ②连接，，当是等腰三角形时，请直接写出点D到直线的距离． 3．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点A，B（点A在点B的左侧），已知点A的纵坐标是1． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图，将直线向上平移2个单位长度后得到新的直线，点M在直线上，设点M的横坐标为．连接，． ①求的面积； ②当是直角三角形时，求点M的坐标． 4．（2024·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像交于A、B两点，其中点A的坐标为． (1)求反比例函数的函数表达式和点B的坐标． (2)若是A点关于原点的对称点，连接，求的面积． (3)连接，将线段绕点O顺时针旋转交反比例函数的图像于点C，D是x轴上一点，是否存在这样的点D，使得以O、C、D为顶点，为腰的等腰三角形？若存在，请写点D的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2024·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数的图象在第一象限相交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)点，连接，点E是反比例函数图象第一象限内一点，且点E在点C的右侧，连接，，若的面积是的面积的2倍，求点E的坐标； (3)在（2）的条件下，若点M是反比例函数的图象第一象限上的动点，连接，以点D为直角顶点作等腰直角三角形．当顶点F恰好落在直线上时，求M的坐标． 6．（2024·四川成都·三模）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点；与x轴交于点C． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点P在y轴上，且满足求点P的坐标； (3)我们将有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．反比例函数在第四象限的图象上是否存在点Q，使得是不以为“半直角边”的“半直角三角形”？若存在，请求出点`Q的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（2024·四川成都·二模）如图，矩形的顶点A，C分别在y轴和x轴的正半轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象与，分别交于点，点，连接，，． (1)若的面积为3， ①当，求k的值和的面积； ②当直线的解析式为，求的面积． (2)我们定义有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．若，当为“半直角三角形”时，求反比例函数的解析式． 8．（2024·四川成都·二模）如图①，为坐标原点，点在轴的正半轴上，四边形是平行四边形，，反比例函数在第一象限内的图象经过点，与交于点． (1)若，求反比例函数解析式； (2)若点为的中点，且的面积，求的长和点的坐标； (3)在（2）中的条件下，过点作，交于点（如图②，点为直线上的一个动点，连接，．是否存在这样的点，使以、、为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（2023·四川成都·二模）如图，已知一次函数分别与x轴和反比例函数交于点．    (1)求b和k； (2)C为直线上一动点，过点C作x轴的平行线，与反比例函数交于点D，若四边形为平行四边形，求点C的坐标； (3)我们把两直角边比为1：2的直角三角形称为“黄金直角三角形”，点P为x轴上一动点，Q为反比例函数上一点，当三角形是以为斜边的“黄金直角三角形”时，求点P的坐标． 10．（2023·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点M为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点M作x轴垂线，交一次函数图象于点N，连接，若是以为底边的等腰三角形，求的面积； (3)点P为反比例函数图象上一点，连接，若，求点P的坐标． 题型七：一次函数与反比例函数综合之四边形问题★★★★★ 1．（2023·四川成都·二模）如图，直线与双曲线相交于，两点，点坐标为，点的坐标，点是轴负半轴上的一点． 备用图 (1)分别求出直线和双曲线的表达式； (2)连接，，，，若，求点的坐标； (3)我们把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做"美丽四边形"．在（2）的条件下，平面内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是美丽四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2024·四川成都·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点为线段上一点，且，连接、，求； (3)如果一个矩形的长宽之比为，我们把该矩形称为“倍边矩形”．请探究，在平面内是否存在、两点（点在直线上方），使得四边形为倍边矩形，若存在，请求、两点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2024·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)点在直线上，若，求点的坐标； (3)我们把有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．设是反比例函数图象上一点，是坐标轴上一点，当四边形是以两邻边相等且对角线互相垂直的“等邻边四边形”时，求两点的坐标． 4．（2024·四川成都·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B． (1)求反比例函数的解析式； (2)若C为反比例函数图象上一点，直线AC与x轴交于点D，且满足，求点C的坐标． (3)若点P在反比例函数图象上，点Q在x轴上，且以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点P的坐标． 5．（2024·四川成都·一模）如图，矩形交反比例函数于点D，已知点，点，． (1)求k的值； (2)若过点D的直线分别交x轴，y轴于R，Q两点，，求该直线的解析式； (3)若四边形有一个内角为，且有一条对角线平分一个内角，则称这个四边形为“角分四边形”．已知点P在y轴负半轴上运动，点Q在x轴正半轴上运动，若四边形为“角分四边形”，求点P与点Q的坐标． 6．（2024·四川成都·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，是轴上的一个定点，连接，．    (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)若经过点的 直线交线段于点，且，求的值； (3)如图2，是一次函数与轴的交点，将直线沿轴正半轴平移，平移过程中，直线在第一象限与反比例函数的图象交于点（点不与点重合），与轴交于点．平移过程中，平面内是否存在某一点，使得四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（2023·四川成都·模拟预测）如图1，一次函数与反比例函数在第一象限交于、两点，点P是x轴负半轴上一动点，连接，． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)若的面积为12，求点P的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，若点E为直线上一点，点F为y轴上一点，是否存在这样的点E和点F，使得以点E、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（2024·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点． (1)求直线的函数表达式及点的坐标； (2)如图1，过点的直线分别与轴，反比例函数的图象（）交于点，，且，连接，求的面积； (3)如图2，点在另一条反比例函数（）的图像上，点在轴正半轴上，连接交该反比例函数图像于点，且，再连接，，若此时四边形恰好为平行四边形，求的值． 9．（2023·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)当时，根据图象直接写出自变量x的取值范围； (3)我们把对角线与一边垂直的平行四边形叫做“铅垂平行四边形”．设C是第一象限内反比例函数图象上一点，点在x轴上方，当以为顶点的四边形是“铅垂平行四边形”时，求点的坐标． 10．（2023·四川成都·三模）如图，直线与x轴交于点A，与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点D在点C上方的反比例函数的图象上，的面积为9，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，点M在x轴上的图象上，若以点M，N，B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标． 题型八：一次函数与反比例函数综合之其他问题★★★★★ 1．（2023·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，点A坐标为，反比例函数的图象分别交矩形的两边，于点，（点，不与点重合），沿着将折叠，点落在点处． (1)如图1，当点E为中点时，求点F的坐标，并直接写出与对角线的关系； (2)如图2，当点E位置发生改变时，与是否存在（1）中的位置关系，请说明理由； (3)如图3，连接，当平分时，求出此时反比例函数的表达式． 2．（2024·四川成都·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为，点P是第一象限反比例函数图象上一动点 (1)求k的值及点B的坐标； (2)连接，若的面积为，求点P坐标： (3)过点P作直线平行于交反比例函数于点Q，是否存在点P使得?若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由． 3．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，与x轴交于点C． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)点E为x轴正半轴上一点，过点E作x轴的垂线，交反比例函数图象于点F，交一次函数图象于点G．当E、F、G三点恰好满足其中一点为另外两点连线的中点时，求点的坐标； (3)在该反比例函数图象上是否存在点P，使，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2024·四川成都·二模）如图所示，已知一次函数与反比例函数的图像在第二象限交于A，B两点，其中． (1)求反比例函数的函数表达式； (2)若把一次函数图像向下平移n个单位，使之与反比例函数的图像只有一个交点，求n的值． (3)在（2）小问的基础上，若平移后一次函数与反比例函数的交点为C，连接，，求的面积． 5．（2024·四川成都·三模）如图，直线：与反比例函数图象交于点和点B， (1)求a，k的值和点B的坐标； (2)将直线向下平移4个单位后得到直线，分别与反比例函数图象交于C，D两点，点C在第一象限，连接和，求四边形的面积； (3)若（2）中得到的平行四边形内（不含边界）的点称为“规矩点”，将反比例函数图象上的一点绕直线上的一个点逆时针旋转90度得到点，如果点是“规矩点”时，求的取值范围． 6．（2024·四川成都·三模）已知直线与x轴相交于点A，与双曲线相交于点B． (1)若，请直接写出当时，x的取值范围； (2)如图，以为边在直线l上方作正方形，点D恰好落在反比例函数的图象上，求k的值； (3)在（2）的条件下，将正方形沿着射线的方向平移，当点C落在反比例函数的图象上时，试求出此时的平移距离． 7．（2024·四川成都·三模）如图1，反比例函数 与一次函数的图象交于点 ，点，一次函数与y轴相交于点 C． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接、，在x轴上是否存在一点D使的面积是面积的2倍，请求出点D的坐标； (3)如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接，把线段绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标． 8．（2024·四川成都·二模）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点B． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)连接，，点P为反比例函数图象第一象限上一点，连接，，若，求点P的坐标； (3)已知为x轴上一点，作直线关于点T中心对称的直线，交反比例函数的图象于点E，F，若，求t的值． 9．（2024·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，与双曲线交于点，两点，直线分别与直线和双曲线交于，连接，． (1)求的值； (2)点在线段上（不与端点重合），若，求的面积； (3)将点沿直线翻折后的对应点为，当落在轴上时，求的值． 10．（2024·四川成都·二模）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，其中点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图2，连接，，求△AOB的面积； (3)作直线，分别垂直于轴和轴，垂足为，，与交于点，在第一象限内存在一点使得，连接，若点是的中点，连接，当最大时，求出此时点的坐标及的值． 11．（2024·四川成都·二模）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A的坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图2，连接，求△AOB的面积； (3)作直线分别垂直于x轴和y轴，垂足为M，N，与交于点C，在第一象限内存在一点D使得，连接，若点P是的中点，连接，当最大时，求出此时点D的坐标及的值． 12．（2024·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴交于点，与反比例函数交于点． (1)求点和点的坐标； (2)点是轴正半轴上一点，连接交反比例函数于点，连接，若，求的面积； (3)在（2）的条件下，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．点是反比例函数的图象上一点，连接，若，求点的坐标． 13．（2024·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与双曲线的交点为，且△AOB的面积为． (1)求，的值； (2)直线与双曲线的交点为，（在的左边）． ①连接，，若的面积为，求点的坐标； ②直线与直线交于点，过点作，交直线于点，为线段上一点，且，连接，求的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$