猜押07 圆的基本性质以及综合应用（7大题型）-2025年中考数学冲刺抢押秘籍（四川成都专用）

猜押07 圆的基本性质以及综合应用 猜押考点 3年成都真题 考情分析 押题依据 圆的基本性质 （选填题） 2024年成都卷A卷第11题，2023年成都B卷第21题，2022年成都卷A卷第6题，B卷第21题。 从近年成都中考来看，圆这方面的知识点在成都中考试卷中属于必考内容，主要考查以下两个方面①求扇形的面积、弧长公式、扇形面积与概率的结合、圆的基本性质（选填题）；②在解答题中每年位于第17题位置，都是在考查圆综合大题，此题型综合性非常强，常常结合解直角三角形、相似三角形全等三角形等几何知识点进行考查 在近三年的成都中考试卷中，圆的综合应用属于这三年的必考内容，每年都出现在解答题第17题，其中在选择填空题中任然在考查圆的基本性质，所以在2025年的成都中考数学试卷中，不难想象圆的综合题很大概率的任然会出现，要拿下此题型的分，需要巩固复习三角形、四边形以及解直角三角形等相关内容，往往这些内容会综合在圆中一起考查。 圆的综合应用 （解答题） 2024年成都卷A卷第17题，2023年成都卷A卷第17题，2022年成都卷A卷第17题 题型一：圆与多边形综合★★★★★ 1．（2023·四川成都·一模）如图，已知的周长等于，则该圆内接正六边形的边心距为 ． 【答案】/ 【分析】连接，，由正六边形可求出，进而可求出，根据角的锐角三角函数值即可求出边心距的长． 【详解】解：连接，， 正六边形是圆的内接多边形， ， ，， ， 的周长等于， ， ， 故答案为：． 2．（2024·四川成都·模拟预测）如图，正八边形内接于，连接，若，则的半径为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查正多边形与圆、解一元二次方程、锐角三角函数，连接，过点A作于点M，设的半径为r，根据多边形的性质求得，利用锐角三角形函数求得，再利用，求解即可． 【详解】解：连接，过点A作于点M， 设的半径为r， 在正八边形中，， ∵， 在中，， ∵是的直径， ∴， ∴， 解得或（舍）， 故选：D． 3．（2024·四川成都·三模）如图，把圆分成六等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的图形是这个圆的外切正六边形，的半径是，它的外切正六边形的边长为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正多边形与圆，解直角三角形，如图，连接，求出的度数，得到为等边三角形，再根据切线的性质，结合勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，与边相切于点，连接， 则：，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴； 故选A． 4．（2024·四川成都·模拟预测）如图，的半径为2，正六边形内接于，则这个正六边形的边心距的长为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是正多边形和圆，根据正六边形的性质求出，根据等边三角形的判定定理得到△AOB为等边三角形，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出． 【详解】解：∵六边形为正六边形， ∴， ∵， ∴△AOB为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D 5．（2023·四川成都·模拟预测）如图，正五边形内接于，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，多边形内角的知识点，解答本题的关键是求出正五边形的内角；连接，先求出的度数，然后在等腰中，根据三角形内角和求出的度数． 【详解】解：连接， ∵四边形为正五边形， ∴， 而为外接圆圆心， ∴有， 在四边形中，， 即， ∴， 又∵， ∴， 故选：． 6．（2023·四川成都·二模）如图，是正五边形的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据正多边形的性质求出，进而求出，，再解直角三角形即可得到答案． 【详解】解：是正五边形的外接圆， ， ∵， ，， ∴，即，故B不符合题意；D符合题意； ，即，故C不符合题意； ，即，故A不符合题意； 故选：D． 7．（2023·四川成都·二模）如图，把圆分成六等分，经过各分点作圆的切线，的半径是R，它的外切正六边形的边长为（　　）    A． B． C．2 D．6R 【答案】A 【分析】求出，然后解直角三角形求出，再根据边长计算即可求解． 【详解】解：如图，，    所以，， 所以，外切六边形的边长． 故选：A． 8．（2023·四川成都·二模）如图，正五边形内接于，连接，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，再根据圆的性质得，从而得到，根据正多边形的性质可得的度数，根据圆周角定理得的度数，再根据三角形内角和定理求出的度数即可求解． 【详解】解：如图，连接， 则有， ∴， 根据正多边形的性质可得：， ∴， 根据圆周角定理可得：， ∴， 故选：A． 9．（2023·四川成都·模拟预测）如图，正六边形ABCDEF的边长为3，G，H分别是CD，DE上两个动点，且CG＝DH，BG，CH交于点P，点Q是AB的中点，连接PQ，则PQ长度的最大值为 ． 【答案】 【分析】先证明，得，从而求得，再设正六边形的中心O，连接，，证明为正三角形，得到，设正的中心为I，连接，，，得，得出点P在上，所以当时，最大，最大值为，连接，过点I 作于M，利用正三角形的性质和解直角三角形，求出，，即可求解． 【详解】解：∵正六边形 ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设正六边形的中心O，连接，， ∵O为正六边形的中心， ∴，， ∴为正三角形，， 设正的中心为I，连接，，， ∴ ∴正的外接圆为， ∴点P在上， ∴当时，最大，最大值为， 连接，过点I 作于M， ∵I是正的中心， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵Q为中点， ∴ 由勾股定理，得， ∴最大值． 故答案为：． 10．（2023·四川成都·三模）如图，多边形为内接正五边形，与相切于点A，则 ． 【答案】/36度 【分析】本题主要考查了正多边形和圆、圆周角定理、切线的性质定理等知识点；．连接，多边形是正五边形，可求出的度数，再根据三角形内角和即可求出的度数，利用切线的性质求出即可，作出适当的辅助线是解答此题的关键． 【详解】连接， ∵多边形是正五边形， ∴， ∵， ∴， ∵直线与相切于点A， ∴， ∴． 故答案为：． 题型二：求扇形的面积★★★★ 1．（2024·四川成都·二模）如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边三角形ABC；分别以点A，B，C为圆心，以AB长为半径作，，．三段弧所围成的封闭图形就是一个曲边三角形．若一个曲边三角形的周长为π，则这个曲边三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】此三角形是由三段弧组成，如果周长为，则其中的一段弧长就是，所以根据弧长公式可得，解得，即正三角形的边长为1．那么曲边三角形的面积就等于三角形的面积三个弓形的面积，根据三角形和扇形面积公式即可得答案． 【详解】解：由题意得：， ∵曲边三角形的周长为π， ∴， 解得：，即， ∴S△ABC=，S弓形BC=S扇形ABC-S△ABC=， ∴曲边三角形的面积为． 故答案为： 2．（2024·四川成都·二模）如图，是的直径，与弦交于点，，、，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形面积的计算，掌握等腰三角形的性质、三角形内角和定理、扇形的面积公式和三角形的面积公式是解题的关键． 连接、，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，求得，从而求得，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式，根据“”求出阴影部分的面积公式即可． 【详解】解：连接、． ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 3．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，，，D是的中点，以点D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好在上（点E，F不与点C重合），半径，分别与，相交于点G，H，则阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，扇形的面积，作辅助线构造全等三角形是解问题的关键． 连接，过点D作于点M，过点D作于点N，先证明是正方形，然后证明，最后运用解题即可． 【详解】如图，连接，过点D作于点M，过点D作于点N， 则 ∵， ∴，，四边形是矩形 ∵，D是的中点， ∴ ∴ 同理 ∴四边形是正方形 ∴， 由题可知，， ∴ 在与中， ， ∴ ∴ ∵ ∴ 故答案为 4．（2024·四川成都·模拟预测）如图，分别以边长为1的等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径作弧，三段弧所围成的图形是一个曲边三角形，则这个曲边三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查求不规则图形面积，勾股定理，扇形面积，等边三角形面积及性质等知识，过点作交于点，利用勾股定理求出的长，从而求出三角形面积，根据题意可知曲边三角形的三个弓形部分面积相等，为，即可求出． 【详解】解：三角形是等边三角形， ， ， 如图，过点作交于点， ， , ， 分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径作弧， 可知曲边三角形的三个弓形部分面积相等，为， 曲边三角形的面积为． 故答案为：． 5．（2024·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知经过原点，与轴，轴交于点，两点，点坐标为，点为上的一点，已知．现假设可以随意在中取点，则这个点取在阴影部分的概率是 ．    【答案】 【分析】连接，根据可知是直径，根据圆周角定理求出，由锐角三角函数的定义得出及的长，根据即可得出阴影部分的面积，而后利用概率的公式作答． 【详解】解：连接， ∵， ∴是的直径， ∵圆周角和所对的弧是， ∴， ∵点坐标为，， ∵， ∴， ，即圆的半径为， ∴，圆的面积为：， ∴这个点取在阴影部分的概率是：。 故答案为：．    6．（2023·四川成都·模拟预测）如图，是⊙O的直径，点是上一点，，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积，熟悉掌握扇形面积公式是解题的关键． 利用圆的性质求出的度数后，再利用扇形面积公式运算求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积为：； 故答案为：． 7．（2024·四川成都·二模）如图，直径为的圆形图形中，点均在圆上，且，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ．（取3） 【答案】 【分析】本题考查了几何概率、扇形面积、三角形面积，设直径为的圆形的圆心为，半径为，连接，推出阴影部分的面积扇形的面积的面积，求出阴影部分的面积，再利用几何概率公式计算即可． 【详解】解：设直径为的圆形的圆心为，半径为，连接， ，， 由圆的对称性可知封闭图形和面积相等，， 阴影部分的面积扇形的面积的面积， 针尖落在阴影区域的概率， 故答案为：． 8．（2023·四川成都·三模）如图，在矩形中，，，以B为圆心，的长为半径画弧，交于点E．若将一骰子（看成一个点）投到矩形中，则骰子落在阴影部分的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率，先根据锐角三角函数求出，再根据扇形面积公式求出阴影部分的面积，最后根据几何概率的求法解答即可． 【详解】解：∵以B为圆心，的长为半径画弧，交于点E， ∴， 在矩形中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积：， ∵矩形的面积为2， ∴将一骰子（看成一个点）投到矩形中，则骰子落在阴影部分的概率为， 故答案为：． 9．（2023·四川成都·二模）圆拱门是中国古典园林建筑元素之一，如图，花园边墙上有一宽为的矩形门，量得门框对角线的长为，现准备打掉部分墙体，使其变成以为直径的圆弧形拱门，那么需要打掉墙体的面积是 ． 【答案】 【分析】根据矩形的性质以及直角三角形的边角关系求出拱门圆弧形的半径以及相应的圆心角的度数，再根据进行计算即可． 【详解】如图，连接交于点，则点是拱门圆弧形的圆心， ∵四边形是矩形，，， ∴， ∴， ∴， ∴, 故填：． 10．（2023·四川成都·二模）如图，在由小正方形组成的矩形网格飞镖游戏板中，扇形的圆心及弧的两端点均为格点．任意投掷飞镖（均击中游戏板），则飞镖击中扇形（阴影部分）的概率是 ． 【答案】/ 【分析】计算出网格的面积与扇形面积，根据概率的计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接 ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∴飞镖击中扇形的概率是， 故答案为：． 11．（2023·四川成都·二模）如图，已知圆周角，半径，则扇形的面积是 ． 【答案】 【分析】根据圆周角定理可得出，进而由扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 题型三：利用弧长公式求长度★★★ 1．（2024·四川成都·二模）如图，已知点在上，为的中点．若，，则的长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆的性质及弧长公式，解题的关键是掌握圆周角定理和圆心角，弧的关系．连接，由，得，又为的中点．故，即知，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：连接，如图： C为的中点， ， ， ， ， ， 故选：B． 2．（2023·四川成都·二模）如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边△ABC；分别以点A，B，C为圆心，以AB的长为半径作，，，三条弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如果，那么这个曲边三角形的周长是（　　）． A．π B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等边三角形的定义和性质得出，，从而得出．再根据弧长公式求出，即可求出这个曲边三角形的周长是． 【详解】解：∵△ABC为等边三角形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴这个曲边三角形的周长是． 故选：D． 3．（2023·四川成都·三模）如图，是的直径，是的弦，若，则弧长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连结，根据，得到，根据三角形内角和定理求出圆心角的度数，根据直径的长求出半径，根据弧长公式即可得出答案． 【详解】解：如图，连结， ∵， ∴， ∴， ∵直径， ∴半径， ∴弧长， 故选：C． 4．（2024·四川成都·模拟预测）如图，已知圆锥的侧面展开图的圆心角为，半径长为6，则该圆锥的主视图的周长为 ．    【答案】16 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，一元一次方程的应用，几何体的三视图，掌握弧长公式是解题关键．设圆周的底面半径为，根据圆的底面周长等于侧面展开图的弧长列方程，求出圆锥底面半径，进而得到圆锥的主视图为腰长6，底边长4的等腰三角形，即可求出周长． 【详解】解：设圆周的底面半径为， 由题意得：， 解得： 圆锥的主视图为腰长6，底边长4的等腰三角形， 该圆锥的主视图的周长为， 故答案为：16． 5．（2023·四川成都·模拟预测）如图，△ABC内接于，是的直径，若，则劣弧长度为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键．连接，求出即可根据弧长公式求出答案． 【详解】解：如解图，连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， 劣弧的长为． 故答案为：． 6．（2024·四川成都·模拟预测）“不倒翁”玩具的主视图如图所示，分别与不倒翁底部所在的相切于点A，B，若的半径为，，则劣弧的长为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】 本题考查由三视图，切线的性质，弧长公式，解题的关键是掌握切线的性质，属于中考常考题型．连接，由切线的性质得，求出，然后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：连接． ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， 劣弧的长为： 故答案为：． 7．（2023·四川成都·三模）“斐波那契螺旋线”（也称“黄金螺旋”）是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，人类耳朵的形状也符合这种螺旋形状，这种形状的构造帮助人类可以更好地接收声波，从而增强听觉．现依次取边长为1，1，2，3，5……的正方形按如图所示方式拼接，分别以每个正方形的一个顶点为圆心，边长为半径作圆弧，连接形成的螺旋曲线即为“斐波那契螺旋线”．那么前五个正方形内形成的曲线的长度是 ．    【答案】 【分析】观察图形可知，螺旋曲线的每一段都是以正方形的边长为半径的圆弧构成，计算出每个正方形的边长，再根据圆的周长公式即可求解． 【详解】解：由图可知，正方形的边长依次为：1，1，2，3，5……，螺旋曲线的每一段都是以正方形的边长为半径的圆弧构成， 故前五个正方形内形成的曲线的长度是：， 故答案为：． 8．（2024·四川成都·一模）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=，点E为边AD上一动点，点F为EC的中点，连接BE，点G在BE上，且EF=GF，在点E从点D运动到点A的过程中，点G运动的路径长为 ． 【答案】 【分析】连接，，取的中点，连接，证明在圆上，进而可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得是定值，进而可得点的运动轨迹，然后求得的长度即可． 【详解】如图，连接，，取的中点，连接 四边形是矩形，AB=4，AD=， , 是的中点， 在以为圆心， 为直径的圆上， 是的中点，则中， 的在以为半径，为圆心的弧上运动 当在点时，如图， 点的运动的路径长为 故答案为： 题型四：利用垂径定理求解★★★ 1．（2024·四川成都·二模）如图，是的弦，若的半径，圆心O到弦的距离，则弦的长为(　　) A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【分析】根据垂径定理，得，且，解答即可． 本题考查了勾股定理，垂径定理，熟练掌握两个定理是解题的关键． 【详解】解：根据垂径定理，得， 根据勾股定理，得， 故． 故选：C． 2．（2024·四川成都·模拟预测）如图，中，点C为弦的中点，连接，，，则的值为（  ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据垂径定理，得到，利用勾股定理计算即可，本题考查了勾股定理，垂径定理，熟练掌握两个定理是解题的关键． 【详解】∵点C为弦的中点，连接， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选C． 3．（2023·四川成都·三模）如图，是的直径，弦，，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂径定理求得，然后由圆周角定理知，通过解直角三角形求得线段、的长度；最后将相关线段的长度代入． 【详解】解：如图，设线段、交于点，    ∵是的直径，弦，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故选：A． 4．（2023·四川成都·一模）如图，是的直径，弦，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂径定理可得，再由圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵是的直径，弦， ∴， ∴． 故选：B 5．（2023·四川成都·模拟预测）如图，是的直径，为弦中点，过点作于点，交于点，若，则 ．    【答案】/2 【分析】本题考查了垂径定理以及圆周角定理，连接、，根据垂径定理可得，进而得出点、、、四点共圆，再根据圆周角定理可得，再根据所对的直角边等于斜边的一般解答即可． 【详解】解：如图，连接、，   是的中点， ，， ， ， ， 点、、、四点共圆， ， ， ， ， 故答案为：． 6．（2023·四川成都·二模）如图，半圆的直径，正方形的顶点C，D在半圆上，一边在上，则这个正方形的边长等于 ． 【答案】 【分析】根据题意得，设,则，由勾股定理得，从而求得正方形的面积． 【详解】如图，找到半圆的圆心O，根据题意得，    设，则， 由勾股定理得， 解得． ∴（负值舍去）． ∴正方形的边长为， 故答案为： 7．（2023·四川成都·二模）如图，是的直径，点是上的一点，若，，于点，则的长为 ．    【答案】 【分析】先利用圆周角定理得到，则可根据勾股定理计算出，再根据垂径定理得到，则可判断为△ABC的中位线，然后根据三角形中位线性质求解． 【详解】解：是的直径， ， ∵，， ， ， ， 而， 为的中位线， ∴． 故答案为：． 8．（2023·四川成都·二模）如图，已知是的弦，，，垂足为，交于点，若为上一点，连接、，则的度数是 ． 【答案】/35度 【分析】根据垂径定理得出，进而求出，再根据圆周角定理可得． 【详解】解：，为半径， ， ， ， ， ， 故答案为：． 题型五：圆性质的综合应用（选填题）★★★ 1．（2024·四川成都·二模）已知：如图，，，，是上的四个点，，，交于点，，，则的半径为 ． 【答案】 【分析】根据圆周角定理可得，根据可得，再利用三角形相似，即可得，连接，则，根据垂径定理以及勾股定理求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． ∵AE=4， ED=10 ，则AD=14 ，即， ． 如图，连接，则， 中， 设半径为，则 在中， 解得 故答案为：． 2．（2024·四川成都·模拟预测）如图，是△ABC的外接圆，，交于点P，，则的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握相关性质定理是解题的关键． 根据圆周角定理得出，由根据“等边对等角”可求得，利用含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接，， ∵是的外接圆，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的半径为． 故答案为： 3．（2024·四川成都·模拟预测）如图，已知是的直径，C，D是上的点，且位于直径的两侧，连接．若，则的度数为 ． 【答案】/57度 【分析】本题考查了圆周角定理．由圆周角定理得出，，即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（2024·四川成都·模拟预测）如图，已知是的直径，，是上的点，且位于直径的两侧，连接，，，．若，则的度数为 ． 【答案】/57度 【分析】本题考查了圆周角定理，由圆周角定理得出，，再结合计算即可得出答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为． 5．（2023·四川成都·三模）如图，是的直径，是弦（点C不与点A，点B重合，且点C与点D位于直径两侧），若，则的大小为 ． 【答案】/36度 【分析】本题考查了圆周角定理，先利用邻补角定义求出的度数，然后利用圆周角定理求解即可． 【详解】∵， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（2024·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，经过点O，与y轴交于点，与x轴交于点，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了90度圆周角所对的弦为直径，勾股定理，连接，通过题意判断出为直径，圆心P在上，根据勾股定理计算出的长，从而得出结果． 【详解】解：如图，连接，   为直角，且点都在圆上， 为直径，圆心P在上， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 题型六：圆与三角形综合（解答题）★★★★★ 1．（2024·四川成都·模拟预测）如图，点A，B，C，D是直径为的上四个点，C是劣弧的中点，交于点E，． (1)求证：； (2)求的直径； (3)延长到H，使．求证：是的切线． 【答案】(1)证明见解析(2)(3)证明见解析 【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，切线的判定，综合性较强，熟练掌握这些知识点是解题的关键． （1）根据圆周角定理，由得到，则根据相似三角形的判定方法，即可求证； （2）由，利用相似比可计算出，再证明，可得，设，则，在中，利用勾股定理，即可求解； （3）连接，根据圆周角定理得到，再利用正弦定义可求出，可得 为等边三角形，可得，，再由，可得 ，从而得到，然后根据切线的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵C是劣弧的中点． ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 由（1）知， ． 在中，， ∴． 解得， ∴， 即的直径为． （3）证明：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． 2．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，，D是边上的一点，以为直径的与边交于点E，连接． (1)求证∶是的切线； (2)若，，求的半径和的长． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题考查了切线的判定定理、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形、圆周角定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，根据，，可得，即可求证； （2）设的半径为r，则，根据，可得，在中，根据勾股定理可求出的值；过点C作于点H，则，求出，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是的切线； （2）解：设的半径为r，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：或（舍去）， 即的半径为3， ∴， ∴， 如图，过点C作于点H，则， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 3．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，是一条不过圆心O的弦，C，D是的三等分点，直径交于点F，连接交于点G，连接，过点C的切线交的延长线于点H． (1)求：； (2)若的半径为6，，求的长． 【答案】(1)见详解(2) 【分析】（1）由是的三等分点，可得，则，由是直径，可得，证明，进而可得； （2）如图，连接，作的延长线于，由题意得，由勾股定理得，，则，由切线的性质可知，，则，，则，即，可得，设，则，由勾股定理得，，即，可求满足要求的解为，则，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的三等分点， ， ， 是直径， ， ， ， ； （2）解：如图，连接，作的延长线于， ， ， 由题意知，， ， ， 由勾股定理得，， ， 由切线的性质可知，， ， ， ， ，即， 解得，， ， 设，则， 由勾股定理得，， 即， 解得，或(舍去)， ， 由勾股定理得，， 的长度为． 4．（2025·四川成都·一模）已知点是以为直径的圆上一点，连结，在上截取，连结并延长交圆于点，连结，设． (1)如图1，若时，求度数； (2)如图2，过点作，证明：； (3)如图3，若，连结并延长，交的延长线于点，设△BCF的面积为，设面积为，用含的代数式表示． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，作于点，由等腰三角形的性质可得，由圆周角定理可得，则，据此求解； （2）连接，由两角对应相等的两个三角形相似可得，由相似三角形的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，由对顶角的性质可得，则，推出，据此证明； （3）作的垂直平分线，交于，则，由外角的性质可得，由（2）知，则，结合三角函数的概念可得 ，设，由勾股定理可得，表示出，进而可得，由圆周角定理可得，由两角对应相等的两个三角形相似可得，然后根据相似三角形的性质进行解答． 【详解】（1）解：连接，作于点，如图所示： ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ； （2）证明：连接，如图所示： ，， ， ，， ，， ，，， ， ， ， ， ； （3）解：作的垂直平分线，交于，连接，如图所示： ， ， ， 由（2）知：， ， ， ， 设，，， ， ， 在中，，则， ， 是直径， ， ， ， ， 即． 5．（2024·四川成都·一模）如图，是的直径，点为上一点，连接，过点作的垂线交于点，交于点，与交于点，是的切线，交延长线于，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析； (2)半径为． 【分析】（1）由切线性质得，结合可得，根据圆周角定理得后即可得证； （2），由垂径定理得，垂直平分，可得，再根据可证，根据相似三角形性质可得，即，由勾股定理求得长后，再根据正切值和勾股定理可求得的长，即得到圆的半径． 【详解】（1）证明：是的切线，是的直径， ，                                                 又， ，                                             又， （2）， 垂直平分， ，，                                         ， 又， ，                                             ，                                                 又为的直径， ， 在中，， ， ，                                                 ， 或（舍），                                         ， ， ， 的半径为． 6．（2024·四川成都·一模）如图，为外一点，、为的两条切线，和为切点，为直径． (1)求证：； (2)若，，求及的长 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质，平行线的判定，勾股定理，等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握切线的性质是解题的关键． （1）连接，根据切线长定理得出，，利用等腰三角形三线合一的性质得出．根据圆周角定理得出，进而得到； （2）由勾股定理及锐角三角函数的定义可得出答案． 【详解】（1）证明：连接， 、是的两条切线，、是切点， ， ， ． 是直径， ， ， ； （2）解：，，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 7．（2024·四川成都·模拟预测）如图，正方形内接于，点E为的中点，连接交于点F，延长交于点G，连接． (1)求证：； (2)若，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）证明，利用相似三角形性质解答即可； （2）连接，证明，利用相似三角形性质求得；勾股定理求出，进而求出，利用（1）中结论求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ， ． ． ， ∴， ， ； （2）解：连接，如图，     ，， ． ． 点为的中点， ， 四边形是正方形， ，，， ， ， ． ． ，， ， ； 点为的中点， ， ． ∴， 由（1）知：， ， ． 8．（2024·四川成都·三模）如图，在中，，D为边上的点，以为直径作交于点E，与相切． (1)求证：； (2)若，，求和的长． 【答案】(1)见详解 (2)， 【分析】（1）先根据等边对等角，得出，结合平角概念以及直角三角形两个锐角互余得出，因为等角对等边，所以，即可作答． （2）先结合直角三角形两个锐角互余得出，因为，，所以，，结合勾股定理列式计算得，，最后根据垂径定理，得出，则，列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与相切． ∴， ∴， ∴； （2）解：过点C作，过点O作，如图所示： ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴， 则， ∵， ∴ 解得（负值已舍去） ∴ ∵， ∴ 在中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ∴， 则， ∴， 则． 9．（2024·四川成都·模拟预测）如图，是△ABC的外接圆，为直径，平分交于点，交于点，连接交于点，连接．    (1)求证：； (2)若，，求和的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)； 【分析】（1）连接，，根据平分，得出，根据，得出垂直平分，即可得出答案； （2）根据中位线的性质得出，根据三角函数得出，求出，根据，设，则，得出，，根据， 得出，根据勾股定理求出；即可． 【详解】（1）证明：连接，，如图所示：    ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， 即； （2）解：∵， ∴，， ∵为直径，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∵同理可得：，， ∴， 解得：，经检验符合题意； ∴，， ∴； ∵，， ∴． 10．（2024·四川成都·一模）在菱形中，以为直径作半圆交于点，交于点． (1)证明：； (2)当菱形的边长为5，，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，由菱形的性质得到是等腰三角形，根据等腰三角形的性质即可得到结论； （2）连接，求解，结合（1）知，，，可得，证明，可得，再进一步可得答案． 【详解】（1）解：连接，如图， ∵以为直径作半圆交于点，交于点， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴是等腰三角形， ∴ （2）解：连接， ∵， ∴， ∵菱形的边长是5， ∴，， ∴， ∴， 由（1）知，，， ∴， ∵是半圆直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型七：圆综合之切线的证明（解答题）★★★★★ 1．（2023·四川成都·二模）如图，在中，，的平分线交于点，点在边上，以为圆心的圆经过，两点，交于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为3，当时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用角平分线的定义，同圆的半径相等，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质和圆的切线的判定定理解答即可； （2）利用三角函数得到，再求出，即可求解 【详解】（1）证明：连接， ∵的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线． （2）解：∵，设，则， 而，为的直径， ∴，而，， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：（负根舍去） ∴，，， ∵， ∴， 解得：．经检验符合题意 2．（2024·四川成都·二模）如图1，是的直径，点D在的延长线上，点C，E是上的两点，，延长交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，求直径的长； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理和等腰三角形的性质推出，然后根据余角的性质求出，即可证出结论； （2）利用（1）的结果证明，然后根据相似三角形的性质列比例式求的长，从而求出直径的长； （3）过F作于K，设，则，利用三角函数和中位线定理，结合线段的和差关系分别用含k的代数式表示和，最后根据计算的值即可． 【详解】（1）证明：连接，如图所示， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：过F作于K，连接，如图： 由（2）得，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：（负值已舍去）， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， 在中，， ∴， 在中，． 3．（2024·四川成都·三模）如图，在中，∠B=90°，平分交于点E，O为上一点，经过点A，E的分别交于点D，F，连接交于点M． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求的半径和的长． 【答案】(1)见解析 (2)3， 【分析】本题主要考查切线的判定和三角函数的应用以及相似三角形的性质与判定： （1）连接，根据角平分线的性质及同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出即可； （2）连接，根据三角函数求出和半径的长度，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）连接，则：， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 又∵是半径， ∴直线是的切线； （2）连接，   ，， ， ， ，即半径为3， 是直径， ∴， ，∠B=90° 又 ． 4．（2024·四川成都·三模）如图1，为直径，与相切于点，交于点，点为的中点，连接． (1)求证：与相切； (2)如图2，连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，由三角形中位线的性质可得，根据平行线的性质可得，然后根据证得即可证得； （2）根据圆周角定理、切线的性质得出，进而即可证得，由，证得∽，根据三角形相似的性质即可求得，然后利用勾股定理即可求得的长． 【详解】（1）证明：如图，连接，， 与相切， ， 点是中点，为圆心， ， ，， ， ， ， 又，， ， ， ， 点是上的点， 与相切； （2）解：如图，连接， 点是中点，， ， 又是直径， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ． 5．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，，为上一点，以为半径作圆，分别交于两点，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了切线的判定定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质， （1）根据平行线的性质推出，由半径相等得到，从而证得，证明，即可得到结论； （2）利用全等三角形的性质推出，过点O作于F，得到，证明，列得，设，得到，解得，由，得到，列得，即，解得或（舍去）根据勾股定理求出． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴ ∴是的切线； （2）∵， ∴ ∵， ∴， 过点O作于F， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，解得， ∵， ∴， ∴，即， 解得或（舍去） ∴ ∴． 6．（2024·四川成都·三模）如图，是的直径，，点是上的一点，连接，过点做的垂线，垂足为点，且，延长至点，使得，连接． (1)求证：是的切线； (2)连接EO交于点，求的长； (3)连接交于点，求的值． 【答案】(1)见详解(2)(3) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）连接，垂径定理结合三角形的中位线定理，得到，证明，推出，即可得证； （2）根据，可以得到，利用勾股定理求出的长度，减去半径即可求出的长度； （3）过点作，得到，求出的长度，即可求出的值． 【详解】（1）连接，如图所示； 为直径， 是的垂线， ， 是△ABC的中位线， ， ， ， ， ∴， ， 是直径， 是的切线， （2）∵是的直径，， ， 在中，，， ∴， ∴， ， ， ， ， 在中，， ， （3）如图所示；连接，过点作， 在中，， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 7．（2024·四川成都·三模）如图，为的直径，为上一点，连接，为延长线上一点，连接，且． (1)求证： 是的切线； (2)若的半径为5，△ABC的面积为24，为上一点，连接交线段于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角得，可得，再根据等边对等角得，可知，进而得出答案； （2）作、，连接，先根据△ABC的面积为24，得，再说明，可得，然后设，则，再根据勾股定理，得，可根据，求出，进而求出，可得答案. 【详解】（1）证明：连接． ∵是的直径， ∴， ∴. ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∴． 又为半径， ∴是切线； （2）分别过点作、，垂足分别为，连接． ∵的半径为5， ∴． 又的面积为24， ∴． 由题意，知， 又， ∴． ∵， ∴，则． 设，则． 根据勾股定理，得． 由， ∴， ∴， 即， 则， 解得（舍去）， ∴， 故， ∴． 故． 8．（2024·四川成都·二模）如图，是的直径，为上一点，点是的中点，连接交于点，延长至，使．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求和长． 【答案】(1)证明见解析(2)， 【分析】（）连接，由是的直径可得，，进而得，垂直平分，得到，根据三线合一可得，又由点是的中点得，即可得，即得，即可求证； （）由（）可得，利用三角函数可得，即可得到，再利用三角函数可得，得到，又由圆周角定理得，设，则，，由勾股定理得，解方程求出即可求解； 本题考查了圆周角定理，切线的判定，等腰三角形的性质，三角函数，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：连接，    ∵是的直径， ∴，， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， 即， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：由（）可知，， ∴， 在中，， ∴， 即， ∴， ∴， 在中，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得（不合，舍去）或， ∴． 9．（2024·四川成都·二模）如图1，△ABC内接于，，为上一点，交延长线于点． (1)求证：为的切线； (2)如图2，连接，恰好过圆心，过点作于，过点作于． ①求证：； ②若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）连接并延长交于，根据垂径定理得到，再利用平行线的性质可得，即可得出结论； （2）①根据圆周角定理，利用即可得出结论；②通过证明得到，设，则，证明，得到，求出，从而得出结果． 【详解】（1）证明：如图，连接并延长交于， ， ， 又过圆心， 即， ， ， ，为半径， 为的切线； （2）①过圆心即为直径， ， ， ， ， 即， ， 在与中 ， ； ②由①知， ，， 在与中， ， ， ，， ， 设，则， ， 在Rt中，于， 又 ， ， 解得，（舍去），   ． 10．（2024·四川成都·一模）如图，是△ABC外接圆，，直线，的延长线交于点，交直线于点． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的半径及的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的半径是， 【分析】（1）连接、，根据同圆中，等弧所对的弦相等可得，根据等边对等角可得，根据全等三角形的判定和性质可得，根据两直线平行，内错角相等可得，，推得，求得，根据切线的判定即可证明； （2）设的半径为，延长交于点，根据等腰三角形底边上的高、底边上的中线和顶角的角平分线重合可得，，结合锐角三角形函数可求得，根据勾股定理求出半径，根据相似三角形的判定和性质即可求出． 【详解】（1）证明：连接、，如图： ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线． （2）解：设的半径为，延长交于点，如图： ∵，， ∴，， 在中，， ∴， 则， 在中，， 即， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 11．（2023·四川成都·模拟预测）如图，在△ABC中，，点D是边的中点，点O在边上，经过点C且与边相切于点E，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析(2)3 【分析】（1）连接，作，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，进而得出，再利用平行的性质得到，从而得到，推出平分，最后利用角平分线的性质得到，即可证明结论； （2）根据，可设，则，利用勾股定理求出，得到，，设的半径为，则，，根据得到，即可求出的半径． 【详解】（1）证明：连接，过点O作交于点G， ，点D是边的中点， ， ， ， ， ， 平分， 点O在边上，，， ， 是的半径， 是的半径， 是的切线； （2）解：，， ， 设，则， ， 在中，， ， ，， 设的半径为，则，， ，， ， ， ， ． 12．（2024·四川成都·二模）如图，已知是的直径，点是的中点，点是的中点，连接，，，与交于点，过点作于点．    (1)求证：为的切线； (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）连结交于点由圆周角定理可得，可推出，即可证明DF为的切线． （2）由可得比例关系（平行线分线段成比例），从而求出的长． 【详解】（1）解：如图，连结交于点，   点为的中点， ， ，                                                 是的直径， ， ， ，                                 ，                                     ， ，                                 ， 为的切线； （2）点C为的中点， ， ，           由（1）得， ，                                         ， ，，                                 ， 即，                             ， ， ，                                                     ． 13．（2024·四川成都·二模）如图，为的直径，，弦交于点E，点F为直径延长线上一点，连接，且． (1)求证：为的切线； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)18 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质，垂直的定义得出，再根据切线的判定即可求证结论． （2）连接，证明，推出，设，则，，进而可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图： ， ， ， ， ， ， ， ， ，即：， 是的半径， 是的切线． （2）解：连接，如图： 是的直径， ， 在中，，， ，， 是的切线， ，即：， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ，即：， 解得：或（舍去）， ． 14．（2024·四川成都·一模）如图，，连，，，半径交，于E，F两点，延长至点G，使得． (1)求证：是的切线； (2)若，求的值； (3)连交于点H，若的半径为5，，求的周长． 【答案】(1)证明过程见详解；(2)；(3)或 【分析】（1）连接，运用同弧或等弧所对的圆周角相等及已知条件即可证得； （2）证明，得，由，设， 得，，利用勾股定理及平行线分线段成比例定理表示出相关线段即可得出答案； （3）连接，证明，，利用成比例的线段及勾股定理，用表示，根据，求出即可得出周长. 【详解】（1） 证明：连接， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， 即， 是的半径， 是的切线； （2）解：， ， ， ， ， ，设， ，， 中，， 中，， ， ， ， ，即， ， ； （3）解：连接， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， 或， 当时，， ； 当时，， ； 综上所述，的周长是或. 15．（2024·四川成都·二模）如图，在中，直径所在的直线垂直于弦，连接，过点作交于点，连接，过点作于，点在上，且． (1)求证：点为中点； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、圆周角定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，证明推出是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可得出答案； （2）设与交于点，与交于点，证明得出，由，设，则，求出，作于，则，而，由勾股定理得出，证明，即可求出的长，从而得解． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 又∵， ∴， ∴点E为中点； （2）解：设与交于点，与交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由，设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 作于，则，而， ∴， ，， ， 得：，即， ∴， ∴的半径为． 16．（2024·四川成都·二模）已知：如图，是直径，直线l经过的上一点C，过点A作直线l的垂线，垂足为点D，平分． (1)求证：直线l与相切； (2)若，求的半径． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质： （1）如图1，连接，，由平分，可知，进而得到，可得，由，可证，进而结论得证； （2）如图1，连接，，，在中，，设，则，由勾股定理得，计算求解的值，进而可得半径长． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 又∵是半径 ∴直线l与相切． （2）解：如图1，连接． ∵是的直径， ∴． ∵平分， ∴． ∴在中，． 同理：在中，． 设，则． 由勾股定理得：，即． 解得或（不合题意，舍去）． ∴的半径， ∴的半径为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 猜押07 圆的基本性质以及综合应用 猜押考点 3年成都真题 考情分析 押题依据 圆的基本性质 （选填题） 2024年成都卷A卷第11题，2023年成都B卷第21题，2022年成都卷A卷第6题，B卷第21题。 从近年成都中考来看，圆这方面的知识点在成都中考试卷中属于必考内容，主要考查以下两个方面①求扇形的面积、弧长公式、扇形面积与概率的结合、圆的基本性质（选填题）；②在解答题中每年位于第17题位置，都是在考查圆综合大题，此题型综合性非常强，常常结合解直角三角形、相似三角形全等三角形等几何知识点进行考查 在近三年的成都中考试卷中，圆的综合应用属于这三年的必考内容，每年都出现在解答题第17题，其中在选择填空题中任然在考查圆的基本性质，所以在2025年的成都中考数学试卷中，不难想象圆的综合题很大概率的任然会出现，要拿下此题型的分，需要巩固复习三角形、四边形以及解直角三角形等相关内容，往往这些内容会综合在圆中一起考查。 圆的综合应用 （解答题） 2024年成都卷A卷第17题，2023年成都卷A卷第17题，2022年成都卷A卷第17题 题型一：圆与多边形综合★★★★★ 1．（2023·四川成都·一模）如图，已知的周长等于，则该圆内接正六边形的边心距为 ． A． B． C．3 D． 2．（2024·四川成都·模拟预测）如图，正八边形内接于，连接，若，则的半径为（    ） A．1 B． C． D．2 3．（2024·四川成都·三模）如图，把圆分成六等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的图形是这个圆的外切正六边形，的半径是，它的外切正六边形的边长为（    ） A．2 B．1 C． D． 4．（2024·四川成都·模拟预测）如图，的半径为2，正六边形内接于，则这个正六边形的边心距的长为（    ） A．2 B．1 C． D． 5．（2023·四川成都·模拟预测）如图，正五边形内接于，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（2023·四川成都·二模）如图，是正五边形的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是（    ） A． B． C． D． 7．（2023·四川成都·二模）如图，把圆分成六等分，经过各分点作圆的切线，的半径是R，它的外切正六边形的边长为（　　）    A． B． C．2 D．6R 8．（2023·四川成都·二模）如图，正五边形内接于，连接，则的大小是（   ） A． B． C． D． 9．（2023·四川成都·模拟预测）如图，正六边形ABCDEF的边长为3，G，H分别是CD，DE上两个动点，且CG＝DH，BG，CH交于点P，点Q是AB的中点，连接PQ，则PQ长度的最大值为 ． 10．（2023·四川成都·三模）如图，多边形为内接正五边形，与相切于点A，则 ． 题型二：求扇形的面积★★★★ 1．（2024·四川成都·二模）如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边三角形ABC；分别以点A，B，C为圆心，以AB长为半径作，，．三段弧所围成的封闭图形就是一个曲边三角形．若一个曲边三角形的周长为π，则这个曲边三角形的面积为 ． 2．（2024·四川成都·二模）如图，是的直径，与弦交于点，，、，则图中阴影部分的面积为 ． 3．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，，，D是的中点，以点D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好在上（点E，F不与点C重合），半径，分别与，相交于点G，H，则阴影部分的面积为 ． 4．（2024·四川成都·模拟预测）如图，分别以边长为1的等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径作弧，三段弧所围成的图形是一个曲边三角形，则这个曲边三角形的面积为 ． 5．（2024·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知经过原点，与轴，轴交于点，两点，点坐标为，点为上的一点，已知．现假设可以随意在中取点，则这个点取在阴影部分的概率是 ．    6．（2023·四川成都·模拟预测）如图，是⊙O的直径，点是上一点，，，则阴影部分的面积为 ． 7．（2024·四川成都·二模）如图，直径为的圆形图形中，点均在圆上，且，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ．（取3） 8．（2023·四川成都·三模）如图，在矩形中，，，以B为圆心，的长为半径画弧，交于点E．若将一骰子（看成一个点）投到矩形中，则骰子落在阴影部分的概率为 ． 9．（2023·四川成都·二模）圆拱门是中国古典园林建筑元素之一，如图，花园边墙上有一宽为的矩形门，量得门框对角线的长为，现准备打掉部分墙体，使其变成以为直径的圆弧形拱门，那么需要打掉墙体的面积是 ． 10．（2023·四川成都·二模）如图，在由小正方形组成的矩形网格飞镖游戏板中，扇形的圆心及弧的两端点均为格点．任意投掷飞镖（均击中游戏板），则飞镖击中扇形（阴影部分）的概率是 ． 11．（2023·四川成都·二模）如图，已知圆周角，半径，则扇形的面积是 ． 题型三：利用弧长公式求长度★★★ 1．（2024·四川成都·二模）如图，已知点在上，为的中点．若，，则的长等于（    ） A． B． C． D． 2．（2023·四川成都·二模）如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边△ABC；分别以点A，B，C为圆心，以AB的长为半径作，，，三条弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如果，那么这个曲边三角形的周长是（　　）． A．π B． C． D． 3．（2023·四川成都·三模）如图，是的直径，是的弦，若，则弧长为（　　） A． B． C． D． 4．（2024·四川成都·模拟预测）如图，已知圆锥的侧面展开图的圆心角为，半径长为6，则该圆锥的主视图的周长为 ．    5．（2023·四川成都·模拟预测）如图，△ABC内接于，是的直径，若，则劣弧长度为 ． 6．（2024·四川成都·模拟预测）“不倒翁”玩具的主视图如图所示，分别与不倒翁底部所在的相切于点A，B，若的半径为，，则劣弧的长为 ．（结果保留） 7．（2023·四川成都·三模）“斐波那契螺旋线”（也称“黄金螺旋”）是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，人类耳朵的形状也符合这种螺旋形状，这种形状的构造帮助人类可以更好地接收声波，从而增强听觉．现依次取边长为1，1，2，3，5……的正方形按如图所示方式拼接，分别以每个正方形的一个顶点为圆心，边长为半径作圆弧，连接形成的螺旋曲线即为“斐波那契螺旋线”．那么前五个正方形内形成的曲线的长度是 ．    8．（2024·四川成都·一模）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=，点E为边AD上一动点，点F为EC的中点，连接BE，点G在BE上，且EF=GF，在点E从点D运动到点A的过程中，点G运动的路径长为 ． 题型四：利用垂径定理求解★★★ 1．（2024·四川成都·二模）如图，是的弦，若的半径，圆心O到弦的距离，则弦的长为(　　) A．8 B．12 C．16 D．20 2．（2024·四川成都·模拟预测）如图，中，点C为弦的中点，连接，，，则的值为（  ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．（2023·四川成都·三模）如图，是的直径，弦，，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·四川成都·一模）如图，是的直径，弦，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·四川成都·模拟预测）如图，是的直径，为弦中点，过点作于点，交于点，若，则 ．    6．（2023·四川成都·二模）如图，半圆的直径，正方形的顶点C，D在半圆上，一边在上，则这个正方形的边长等于 ． 7．（2023·四川成都·二模）如图，是的直径，点是上的一点，若，，于点，则的长为 ．    8．（2023·四川成都·二模）如图，已知是的弦，，，垂足为，交于点，若为上一点，连接、，则的度数是 ． 题型五：圆性质的综合应用（选填题）★★★ 1．（2024·四川成都·二模）已知：如图，，，，是上的四个点，，，交于点，，，则的半径为 ． 2．（2024·四川成都·模拟预测）如图，是△ABC的外接圆，，交于点P，，则的半径为 ． 3．（2024·四川成都·模拟预测）如图，已知是的直径，C，D是上的点，且位于直径的两侧，连接．若，则的度数为 ． 4．（2024·四川成都·模拟预测）如图，已知是的直径，，是上的点，且位于直径的两侧，连接，，，．若，则的度数为 ． 5．（2023·四川成都·三模）如图，是的直径，是弦（点C不与点A，点B重合，且点C与点D位于直径两侧），若，则的大小为 ． 6．（2024·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，经过点O，与y轴交于点，与x轴交于点，则的长为 ．    题型六：圆与三角形综合（解答题）★★★★★ 1．（2024·四川成都·模拟预测）如图，点A，B，C，D是直径为的上四个点，C是劣弧的中点，交于点E，． (1)求证：； (2)求的直径； (3)延长到H，使．求证：是的切线． 2．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，，D是边上的一点，以为直径的与边交于点E，连接． (1)求证∶是的切线； (2)若，，求的半径和的长． 3．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，是一条不过圆心O的弦，C，D是的三等分点，直径交于点F，连接交于点G，连接，过点C的切线交的延长线于点H． (1)求：； (2)若的半径为6，，求的长． 4．（2025·四川成都·一模）已知点是以为直径的圆上一点，连结，在上截取，连结并延长交圆于点，连结，设． (1)如图1，若时，求度数； (2)如图2，过点作，证明：； (3)如图3，若，连结并延长，交的延长线于点，设△BCF的面积为，设面积为，用含的代数式表示． 5．（2024·四川成都·一模）如图，是的直径，点为上一点，连接，过点作的垂线交于点，交于点，与交于点，是的切线，交延长线于，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 6．（2024·四川成都·一模）如图，为外一点，、为的两条切线，和为切点，为直径． (1)求证：； (2)若，，求及的长 7．（2024·四川成都·模拟预测）如图，正方形内接于，点E为的中点，连接交于点F，延长交于点G，连接． (1)求证：； (2)若，求和的长． 8．（2024·四川成都·三模）如图，在中，，D为边上的点，以为直径作交于点E，与相切． (1)求证：； (2)若，，求和的长． 9．（2024·四川成都·模拟预测）如图，是△ABC的外接圆，为直径，平分交于点，交于点，连接交于点，连接．    (1)求证：； (2)若，，求和的长． 10．（2024·四川成都·一模）在菱形中，以为直径作半圆交于点，交于点． (1)证明：； (2)当菱形的边长为5，，求和的长． 题型七：圆综合之切线的证明（解答题）★★★★★ 1．（2023·四川成都·二模）如图，在中，，的平分线交于点，点在边上，以为圆心的圆经过，两点，交于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为3，当时，求线段的长． 2．（2024·四川成都·二模）如图1，是的直径，点D在的延长线上，点C，E是上的两点，，延长交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，求直径的长； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，求的值． 3．（2024·四川成都·三模）如图，在中，∠B=90°，平分交于点E，O为上一点，经过点A，E的分别交于点D，F，连接交于点M． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求的半径和的长． 4．（2024·四川成都·三模）如图1，为直径，与相切于点，交于点，点为的中点，连接． (1)求证：与相切； (2)如图2，连接，若，，求的长． 5．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，，为上一点，以为半径作圆，分别交于两点，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 6．（2024·四川成都·三模）如图，是的直径，，点是上的一点，连接，过点做的垂线，垂足为点，且，延长至点，使得，连接． (1)求证：是的切线； (2)连接EO交于点，求的长； (3)连接交于点，求的值． 7．（2024·四川成都·三模）如图，为的直径，为上一点，连接，为延长线上一点，连接，且． (1)求证： 是的切线； (2)若的半径为5，△ABC的面积为24，为上一点，连接交线段于点，若，求的长． 8．（2024·四川成都·二模）如图，是的直径，为上一点，点是的中点，连接交于点，延长至，使．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求和长． 9．（2024·四川成都·二模）如图1，△ABC内接于，，为上一点，交延长线于点． (1)求证：为的切线； (2)如图2，连接，恰好过圆心，过点作于，过点作于． ①求证：； ②若，，求的长． 10．（2024·四川成都·一模）如图，是△ABC外接圆，，直线，的延长线交于点，交直线于点． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的半径及的长． 11．（2023·四川成都·模拟预测）如图，在△ABC中，，点D是边的中点，点O在边上，经过点C且与边相切于点E，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 12．（2024·四川成都·二模）如图，已知是的直径，点是的中点，点是的中点，连接，，，与交于点，过点作于点．    (1)求证：为的切线； (2)若，求的长度． 13．（2024·四川成都·二模）如图，为的直径，，弦交于点E，点F为直径延长线上一点，连接，且． (1)求证：为的切线； (2)连接，若，，求的长． 14．（2024·四川成都·一模）如图，，连，，，半径交，于E，F两点，延长至点G，使得． (1)求证：是的切线； (2)若，求的值； (3)连交于点H，若的半径为5，，求的周长． 15．（2024·四川成都·二模）如图，在中，直径所在的直线垂直于弦，连接，过点作交于点，连接，过点作于，点在上，且． (1)求证：点为中点； (2)若，，求的半径． 16．（2024·四川成都·二模）已知：如图，是直径，直线l经过的上一点C，过点A作直线l的垂线，垂足为点D，平分． (1)求证：直线l与相切； (2)若，求的半径． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$