猜押06 解直角三角形及其应用（六大题型）-2025年中考数学冲刺抢押秘籍（四川成都专用）

猜押06 解直角三角形及其应用 猜押考点 3年成都真题 考情分析 押题依据 解直角三角形 （填空题） 2023年成都B卷第22题。 解直角三角形及其应用是初中数学中的重点内容，所以出现在中考中必然的，解直角三角形在中考中常常用考查以下两个方面：①利用特殊角的三角函数值结合几何进行线段等求解；②解直角三角形中的实际应用问题是前三年成都中考卷的必考题。 在近三年的成都数学中考试卷中解直角三角形的实际应用是必考题型，所以在2025年的成都数学中考试卷中很大概率会继续考查解直角三角形的实际应用，此题型主要综合考查特殊角的三角函数值、解直角三角形与情景类问题进行综合。 解直角三角形的应用（解答题） 2024年成都卷A卷第16题，2023年成都卷A卷第16题，2022年成都卷A卷第16题 题型一：解直角三角形中求线段的长度★★★ 1．（2025·四川成都·一模）如图，在等边△ABC中，D为△ABC内一点，且，连接并延长交于点E，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】作的外接圆，连接并延长分别交于点，作于点，作交延长线于点，连接、、、，利用三角形外接圆的性质得到是等边三角形，利用锐角三角函数的定义可得，，则有，，通过证明得到，，设，，在中利用勾股定理整理得到，再通过证明，得到，代入数据整理得到，联立方程解出的值，即可求出的长． 【详解】解：如图，作的外接圆，连接并延长分别交于点，作于点，作交延长线于点，连接、、、， ，， ， 等边△ABC， ，， 是的外接圆，， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， 在中，，， ，， ， ， ， 又，， ， ，， 设，， ，，，， 在中，， 在中，， ， 整理得：； ，， ， ， ， ， 整理得：； 得，， 解得：或（舍去）， 代入到②，得， 解得：或（舍去）， ． 的长为． 故答案为：． 2．（2024·四川成都·二模）如图，在中，，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于之长为半径作弧，两弧相交于点P，射线交边于点D，若，，则的长为 ． 【答案】30 【分析】本题考查作图﹣基本作图以，解直角三角形，角平分线的性质，解答本题的关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等及灵活解直角三角形．过点D作于E，根据角平分线的性质求得，在中，解直角三角形求得，，在中，解直角三角形即可求出． 【详解】解：过点D作于E， ∵平分，， ∴， 在中，， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：30． 3．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在四边形中，，，于点E，，，，则 ． 【答案】 【分析】过点作交的延长线于点，易得，则设，，其中，本题考查了勾股定理的性质，解题关键在于熟练掌握勾股定理的性质． 【详解】解：过点作交的延长线于点， 易得， ， 则设，，其中， 在，，，则， 在，， 在中，， ， ， 则， ， ， ， ， ， 故， 可得， 即， ， ， 则， 在中，，， 则． 故答案为：． 4．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，，，，分别在，上取点E，F，将沿直线翻折得到．使得点A的对应点恰好落在CB延长线上．当时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查折叠的性质，勾股定理，解直角三角形的相关计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．由折叠，由锐角的正弦得到，即可得到答案． 【详解】解：由折叠的性质得到：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 5．（2024·四川成都·三模）如图，△ABC中，，是△ABC中边上的中线，，点是线段上一动点，将沿折叠，点落在点处，线段与线段交于点，若是直角三角形，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了翻折变换，直角三角形性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 分两种情形：如图中，当时，则，求解则．如图中，当时，求得，，由可求解． 【详解】解：，是△ABC中边上的中线， ， 又， 是等边三角形， ， 又， ， 又， ， ， ， 若是直角三角形，有两种情况： 如图中，当时． ， 过点D作于．则， ∵在中，， ∴ ， ∵在中，， ， 如图中，当时， ， ， ，此时点与点重合， ， ． 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 6．（2024·四川成都·二模）如图，已知点为线段的中点，且，连接，，且交的平分线于点，与相交于点，于点，交于点，则的长为 ．    【答案】 【分析】此题重点考查勾股定理、矩形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，证明是解题的关键． 由，求得，再证明四边形是矩形，则，所以，而，则，所以，由，得，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵点为线段的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 7．（2024·四川成都·一模）如图，菱形中，，若点P是菱形内一点，且，，则菱形的边长为 ． 【答案】 【分析】将逆时针旋转至，连接与交于点O，过点M作，垂足为H，过点B作，垂足为N，利用旋转性质，可得，，设，则，利用勾股定理求出的长度，利用勾股定理逆定理得出，再利用等腰三角形性质求出的长度，由平行线的判定得出，从而证明，得到，设，利用勾股定理求出的长，从而得出结果． 【详解】解：如图，将逆时针旋转至，连接与交于点O，过点M作，垂足为H，过点B作，垂足为N， 四边形为菱形， 旋转角，， ，， ， 设，则， ， ， ，，， 在中，， ， 在中，， 为直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 解得：， ， 在中， ， ， ， ， 故答案为：． 8．（2023·四川成都·三模）如图，在菱形中，，点为边中点，点在边上，将四边形沿直线翻折，使的对应边为，当时，的值为 ．    【答案】/ 【分析】过点D作于点K，设与的交点为E，延长交于点L，根据三角函数的意义，菱形的性质，折叠的性质，矩形的判定和性质，勾股定理计算即可． 【详解】过点D作于点K，设与的交点为E，延长交于点L， ∵四边形沿直线翻折， ∴， ∵，， ∴， ∴设，则， ∴， ∵点为边中点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴设， ∴， 根据折叠的性质，得， ∴ ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（2023·四川成都·二模）如图，中，，，点D，E分别在边上，连接，将△ADE沿翻折，点A的对应点为点F，线段恰好经过点C．若，则的值为 ．    【答案】 【分析】设，利用勾股定理及正切函数得出，再由折叠的性质得出，，过点E作于点G，设，由相似三角形的判定和性质得出方程确定，再结合图形求解即可． 【详解】解：∵，， ∴设， 在中， ， ∴， ∵， ∴， 由折叠得：，， ∴，， 如图，过点E作于点G，    ∴， 设， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（2023·四川成都·二模）如图，在矩形纸片中，将和△BPQ分别沿和折叠（），点A，B重合于点E处；再将沿折叠，点C落在上的点F处，若，且，则的长为 ． 【答案】 【分析】由折叠的性质得，，设，则有，，由得，由勾股定理得，可得出；证明可得，求得，过点作于，可得，，，利用勾股定理可求出x的值，即可得出、的长，利用勾股定理即可得答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 根据折叠的性质可知：，， ∴，P点为中点， 设，则，， ∵， ∴，即 ∴， 由勾股定理得， ∵ ∴ 由折叠得， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴，即 ∴， 过点作于， ∴， ， ， ∴， 解得：，（舍去）， ∴，， ∴． 故答案为： 题型二：解直角三角形求角的三角函数★★★ 1．（2024·四川成都·模拟预测）如图，正方形的边长为2，M是的中点，将四边形沿翻折得到四边形，连接，则的值等于 ． 【答案】 【分析】延长，交于G，过D作于H，则，，由折叠得，有，设，则，利用勾股定理求得和，根据等面积求得，即可得，，，根据解直角三角形得，结合平行线的判定和性质得即可． 【详解】解：延长，交于G，过D作于H，如图： ∵正方形的边长为2，M是的中点， ∴，， ∴， ∵将四边形沿翻折得到四边形， ∴，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ； 2．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，，是边上的中线，将△ABC沿翻折得△AB'D，连接，， 分别与相交于点O，与相交于点E，与边相交于点F．若，则 ． 【答案】/ 【分析】由轴对称的性质可证明是的中位线，然后证明，，设，，，根据相似三角形的性质可列方程，，求得，从而得到，设，利用相似三角形及勾股定理求得，，最后根据三角函数即可求的答案． 【详解】由翻折可知，垂直平分， ，， O是的中点， 是边上的中线， D是的中点， 是的中位线， ，， ，， ，， 设，，， ，， ，，，   ①，     ②， 由①得， 由②得， ， 解得， ，， ， ， 在和中，，， ， ， ， 设，则，， ， ， D是的中点， ， ． 故答案为：． 3．（2024·四川成都·三模）如图，在中，，D为边上的中点，将沿翻折至，连接，若，则 ． 【答案】/ 【分析】作于点F，根据折叠的性质可知，，根据等腰三角形三线合一，可得，设，则，，进而可证，设，，求出，再用勾股定理求出，根据即可求解． 【详解】解： D为边上的中点， ， 由折叠知，， ， ， 如图，作于点F， ，， ，， 设，则，， ， 又， ， 又， ， ， ， ， 设，， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 4．（2024·四川成都·二模）定义：为△ABC内一点，连接，在、和中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称为△ABC的自相似点，根据定义求解问题：已知在中，，是边上的中线，如果△ABC的重心恰好是该三角形的自相似点，那么的值为 ． 【答案】或 【分析】分为两种情形：，从而得出，设，则，从而得出，，进而计算出，进而求得，进一步得出结果；当时，作于，利用第一种情形的数据，同样的方法得出结果． 【详解】解：如图，    ∵， ∴不可能与相似， ∵，点是中点， ∴， ∴， ∴当时， ∴， ∵是的重心， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时， 作于，   ， ， ， ， ， ， ， 综上所述：的余弦值为：或， 故答案为：或． 5．（2023·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系中，，以P为圆心作圆P，交x轴于点、B，交y轴于点C、D，点M为上任一点（不与C、D重合），则 ； 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形及圆周角定理应用，作直径,连接，则，根据，点，得到圆的半径，，结合，得到，继而得到，利用特殊角的函数值计算即可． 【详解】作直径，连接，则，， ∵，点， ∴圆的半径，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 6．（2020·四川成都·一模）如图，在△ABC中，，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点C和点D，再分别以点C，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点E，作射线交于点M，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角的平分线的基本作图，勾股定理，正弦函数，根据作图，得到，是的角平分线，利用等腰三角形三线合一性质，勾股定理计算，根据正弦的定义计算即可． 【详解】解：连接， 由作图可知，，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 7．（2023·四川成都·二模）在菱形中，，点P是对角线上一动点，点Q是边上一动点，与始终相等，连结，交点为E，连结，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】先证明，根据定长定角构造辅助圆，当与相切时，最大，此时最小，设半径，然后利用解直角三角形和相似三角形的性质列出关于的方程，表示出即可求出的最小值． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点P在对角线上运动时，的大小保持不变， 作的外接圆，圆心为O，连接、连接交于点F， 则，， 当与相切时，最大，此时最小， 设，则菱形边长为，， ∴在中， 在中， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴的最小值是， 故答案为． 8．（2023·四川成都·一模）如图，已知等腰△ABC，于，点是边上的一点，将△ABC沿线段翻折，点的对应点恰好落在的延长线上，若，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】连接，延长交于点G．由折叠的性质可证垂直平分，设，则，，根据勾股定理依次求出，，进而可求出，然后根据正弦定义求解即可． 【详解】连接，延长交于点G． 由折叠可得，， ∴垂直平分， ∴． ∵等腰，于， ∴，． 设． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（2024·四川成都·一模）如图，中，，，点E，F分别在，上，将沿所在直线翻折，点C的对应点D恰好在边上，过点D作的垂线，交的延长线于点G，设，则的值为 ．（用含x的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定与性质，翻折的性质，轴对称的性质，熟练掌握直角三角形的边角关系定理是解题的关键. 利用勾股定理，轴对称的性质和相似三角形的判定与性质得到 利用直角三角形的边角关系定理得到；再利用相似三角形的边角关系定理求得线段则结论可求. 【详解】∵, ∴,， ∵将沿所在直线翻折得到， ∴, ∴, ∴. ∵, ∴. ∴. ∵, ∴, ∴, ， 由题意得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 题型三：解直角三角形的应用之仰角俯角问题★★★★ 1．（2025·四川成都·一模）某数学兴趣小组在一片空旷安全的地面上，对成绵扩容项目的某段高架桥的高度进行了测量．如图，在面向高架桥的点A 处，测得高架桥顶端C的仰角为，在离A点的点B 处测得高架桥顶端C 的仰角为．求这段高架桥离地面的高度．(结果精确到．参考数据： 【答案】这段高架桥离地面的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，设这段高架桥离地面的高度为．根据正切的定义分别用表示出、，列出方程，解方程即可得解． 【详解】解：由题意可知，， 设这段高架桥离地面的高度为． 在中，， ∴，即， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴，即． 解得． ∴这段高架桥离地面的高度约为． 2．（2024·四川成都·模拟预测）京昆高速公路绵阳至成都段扩容项目（以下简称“成绵扩容项目”）自开工以来备受关注．作为成都至绵阳的第三条高速公路，成绵扩容项目是四川省首条拥有连续的城市高架桥、采用双向八车道技术标准的高速公路．某数学兴趣小组在一片空旷安全的地面上，对成绵扩容项目的某段高架桥的高度进行了测量．如图，在面向高架桥的点处，测得高架桥顶端的仰角为，在离点的点处测得高架桥顶端的仰角为．求这段高架桥离地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，，）    【答案】这段高架桥离地面的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，设这段高架桥离地面的高度为．根据正切的定义分别用表示出、，列出方程，解方程即可得解． 【详解】解：由题意可知，， 设这段高架桥离地面的高度为． 在中，， ∴，即， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴，即． 解得． ∴这段高架桥离地面的高度约为． 3．（2024·四川成都·二模）泰姬陵是世界知名的古建筑，被列为“世界文化遗产”．如图所示，为了估测泰姬陵的高度，在泰姬陵的正东方向选取高为参照物，在它们之间的地面上选取点E（B，E，D三点共线），在点E处测得A处、C处的仰角分别是和，在A处测得C处的仰角为，求泰姬陵的高度．（结果精确到，参考数据：，，，，）． 【答案】泰姬陵的高度约为 【分析】本题考查解直角三角形的应用，过点A作，垂足为F，设的长为，则，根据等腰三角形的判定可得，由题意知：，，，即四边形是矩形，利用锐角三角函数可得，再求解即可． 【详解】解：过点A作，垂足为F． 设的长为，则． 在中，，， ∴． ∴． 由题意知：，，， ∴四边形是矩形． ∴，． 在中，，即， ∴． 在中，，即， ∴． ∵， ∴． 整理得，， ∴ 答：泰姬陵的高度约为． 4．（2024·四川成都·一模）成都东部新区丹景台景区核心区位于龙泉山城市森林公园南段示范区，包括丹景台、丹景阁、丹景里及丹景亭四处特色建筑．其中，丹景阁坐落于海拔737米的丹景山高处，作为景区核心区的制高点，具有高屋建瓴的视野优势，在这里登高望远，可眺望东进热土，俯瞰城市美景（如图1）．某校开展综合实践活动，测量丹景阁主体高度的长（如图2），使用无人机在点C处测得建筑物顶端A的仰角为，然后控制无人机竖直上升13米后达到D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为，其中B，C在同一水平线上，求丹景阁主体高度的长．（结果精确到1米：参考数据：） 【答案】39米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正确添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 如图：过点D作，垂足为E，根据题意可得：米，设米，分别在和在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：如图：过点D作，垂足为E， 由题意得：米， 设米， 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∵， ∴，解得：， ∴米， ∴丹景阁主体高度AB的长约为39米． 5．（2024·四川成都·二模）2024成都世园会是成都东部新区成立以来首次举办的国际性盛会，依托天府国际机场和山水生态为底，成都东部新区提出打造“国际度假旅游目的地”，借势打响文旅名片．4月26日，成都世园会将在成都东部新区主会场拉开帷幕，其中最令人瞩目的是位于主会场中心的地标性建筑——锦云楼（图1）．某校数学兴趣小组利用无人机测量锦云楼的高度（如图2），具体测量方案：先将无人机垂直上升至距水平地面的C点，测得锦云楼顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点D，测得锦云楼底端B的俯角为，求锦云楼的高度．（结果精确到，参考数据：） 【答案】锦云楼的高度约为 【分析】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键． 延长，交的延长线于点F，根据题意得出，，再由等腰直角三角形得出，然后解直角三角形即可． 【详解】解：延长，交的延长线于点F， 则    由题意得，，， 在中，， 则 ∴， 在中，， 解得， ∴锦云楼的高度约为． 6．（2024·四川成都·三模）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图1 是政府给贫困户新建的房屋，如图2是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为，此时地面上 C点、屋檐上E点、屋顶上 A 点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点 D时，又测得屋檐E点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交 于点G（点 C，D，B在同一水平线上）． (1)求屋顶到横梁的距离（结果精确到）； (2)求房屋的高（结果精确到）．（参考数据） 【答案】(1)3.5米(2)10米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，轴对称图形，解题的关键是借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形． （1）根据题意得到，，，解直角三角形即可得到结论； （2）过作于，设，解直角三角形即可得到结论． 【详解】（1）房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，， ，，， 在中，，，， ， ， 答：屋顶到横梁的距离约为3.5米； （2）如图2，过作于，设， 在中，，， ， ， 在中，，， ， ， 米，， ， 解得：， 四边形为矩形， 米， （米． 答：房屋的高约为10米． 7．（2024·四川成都·一模）如图，某处有一座塔，塔的正前方有一平台，平台的高米，斜坡的坡度：，点，，，在同一条水平直线上某数学兴趣小组为测量该塔的高度，在斜坡处测得塔顶部的仰角为，在斜坡处测得塔顶部的仰角为，求塔高．(精确到米)(参考数据：，，，，，)    【答案】塔高约为米 【分析】本题考查了解直角三角形，过点作，垂足为，设米，在，中，分别求得，根据，建立方程，即可求解． 【详解】解：过点作，垂足为，    由题意得：米，，， 斜坡的坡度：，米， ， 米， 设米， 米， 在中，， 米， 在中，， 米， ， ， 解得：， 米， 塔高约为米． 8．（2024·四川成都·二模）东安阁是成都市东安湖公园的地标性建筑，是公园十二景中的第一景，碧瓦朱甍、飞阁流丹，尽显蜀川之美．某数学兴趣小组用无人机测量东安阁的高度，测量方案为：如图，先将无人机垂直上升至距离地面的P点，测得东安阁顶端A的俯角为；再将无人机沿东安阁的方向水平飞行到达点Q，测得东安阁底端B的俯角为，求东安阁的高度．（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】 【分析】此题主要考查解三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键．延长，交的延长线于点C，根据题意得出，，，再由等腰直角三角形得出，然后解直角三角形即可． 【详解】解：延长，交的延长线于点C， 则 由题意得，，， 在中，， 则 ∴， 在中，， 解得， ∴东安阁的高度约为． 9．（2024·四川成都·二模）双流区某学校无人机兴趣小组在飞行物限高50米的某区域内举行无人机试飞比赛，该兴趣小组利用所学知识对某同学的无人机高度进行了测量．如图，他们先在点处用高的测角仪测得无人机的仰角为，然后沿水平方向前行到点处，在点处测得无人机的仰角为．请你根据该小组的测量方法和数据，通过计算判断此同学的无人机是否超过限高要求？（参考数据：，， 【答案】此同学的无人机飞行高度小于50米，未超过限高要求，理由见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接并延长交于点，根据题意可得：，，，然后设，则，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：此同学的无人机没有超过限高要求， 理由：连接并延长交于点， 由题意得：，，， 设， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 解得：， ， ， ， 此同学的无人机没有超过限高要求． 10．（2024·四川成都·一模）如图，无人机从处测得大楼底端点处的俯角，，测得大楼顶端点处的俯角，，已知点、、、都在同一平面上，无人机所处高度，求该大楼的高度．（参考数据，，）    【答案】该大楼的高度是． 【分析】本题考查的知识点是解直角三角形的应用，解题关键是熟练掌握解直角三角形的计算． 通过辅助线构造直角三角形，利用锐角三角函数分别求得、后即可求出大楼的高度． 【详解】解：延长、交于点，    依题得：，，， ，四边形是矩形， ，，， 中，， 中，， ， ． 故该大楼的高度是． 11．（2024·四川成都·一模）某校学生利用课余时间，使用卷尺和测角仪测量某公园古城门的高度．如图所示，他们先在公园广场点处架设测角仪，测得古城门最高点的仰角为，然后前进到达点处，测得点的仰角为；已知测角仪的高度为．求古城门最高点距离地面的高度．（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键. 过作于，延长交于，则四边形，四边形是矩形，设 ，由锐角三角函数定义求出的值，即可求解. 【详解】解：过作于，延长交于， 则四边形，四边形是矩形， ，， ， 是等腰直角三角形， 设，则， ， ， ， 即， 解得：， ， 答：观景台最高点距离地面的高度约为． 12．（2022·四川成都·二模）第31届世界大学生运动会于2023年7月28日在成都举行，主火炬塔位于东安湖体育公园，亮灯之夜，塔身通体透亮，10余道象征太阳光芒的螺旋线全部点亮，璀璨绚丽，流光溢彩（如图1）．小杰同学想要通过测量及计算了解火炬塔的大致高度，当他步行至点处，测得此时塔顶的仰角为，再步行20米至点处，测得此时塔顶的仰角为（如图2所示，点在同一条直线上），请帮小杰计算火炬塔的高．（，，，，，，结果保留整数）    【答案】32米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，在中，由锐角三角函数定义可得，再在中，由锐角三角函数定义可得，进而可得火炬塔的高度，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义． 【详解】解：设米， 在中，， ， 在中，， ， ∵米， ∴， 解得：， 答：火炬塔的高约为32米． 题型四：解直角三角形的应用之方位角问题★★★★ 1．（2023·四川成都·模拟预测）小花和小明周末去大雁塔游玩，两人在A处测得大雁塔在北偏东60°方向C处，当小花和小明沿着正东方向走了1200米到达B处时，测得大雁塔在北偏东15°的方向上，求此时他们与大雁塔的距离约是多少？（结果保留整数，参考数据：，） 【答案】840米 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用．过点B作于D，解，求出的长，再解，求出的长即可．解题的关键是构造直角三角形． 【详解】解：过点B作于D，如图所示： 由题意得：，，米， ∴， 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， 答：此时他们与大雁塔的距离约是840米． 2．（2023·四川成都·二模）如图，一艘轮船从点A处向正东方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东方向上，继续航行海里到达B处，这时测得灯塔C在北偏东方向上，已知灯塔C四周海里内有暗礁，问这艘轮船继续向正东方向航行会有触礁的危险吗？并说明理由．（参考数据：，，，）    【答案】这艘轮船继续向正东方向航行是安全的，理由见解析 【分析】过点C作于点D，设，利用三角函数求解即可． 【详解】解：如图，过点C作于点D，    由题可得，， 设， 在中，， ∵在中，， ∴， ∴， 即，解得， ∵， ∴这艘轮船继续向正东方向航行是安全的． 3．（2023·四川成都·二模）如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学综合实践小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的东偏北方向上，沿正东方向行走60米至观测点D，测得B在D的西偏北方向上，A在D的西偏北方向上．求A，B两点间的距离是多少米（精确到个位）？（参考数据：，，，，，，） 【答案】A，B两点间的距离约为42米． 【分析】先求出，进而得到，解求出米，然后再解求出的长即可． 【详解】解：∵A，B均在C的东偏北方向上，B在D的西偏北方向上 ∴， ∴， 在中，， ∴（米） 法①∵A在D的西偏北方向上，B在D的西偏北方向上 ∴， 在中，， ∴（米）； 法②∵A在D的西偏北方向上 ∴， ∴， 在中，， ∴（米）， 答：A，B两点间的距离约为42米． 4．（2022·四川成都·一模）如图，海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西的C处之后，货轮继续往东航行．通过计算，你认为货轮继续向东航行的途中会有触礁的危险吗？（已知，，）． 【答案】货轮继续向东航行的途中没有触礁的危险，理由见解析 【分析】如图，过点A作的延长线于点D，只需要解直角三角形求出AD的长，然后与10海里进行比较即可得到答案． 【详解】 解：如图，过点A作的延长线于点D， 根据题意可知，海里，设，则：在中， ， ． 在中， ， ， ， 即， （海里）（海里）． 答：货轮继续向东航行的途中没有触礁的危险． 5．（2024·四川成都·一模）如图，小南家位于一条东西走向的笔直马路上，超市在地的正东方．午休时间，小南从家出发沿北偏东方向步行至菜鸟驿站取快递．下午第一节网课是美术课，此时距离上课时间只有，他决定先沿西南方向步行至超市购买素描画纸，再沿正西方向回到家上网课．(参考数据：，) (1)求菜鸟驿站与超市的距离(保留整数)； (2)若小南的步行速度为，那么他上美术网课会迟到吗？请说明理由．(忽略买素描画纸的时间) 【答案】(1)菜鸟驿站与超市的距离约为 (2)小南上美术网课会迟到，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理和用三角函数解决实际问题，通过作辅助线，构造直角三角形，利用三角函数求解是解题的关键． （1）过点作交的延长线于点，先根据三角函数求出的长，再根据三角函数求的长即可； （2）先根据三角函数求出的长，再计算即可． 【详解】（1）解：过点作交的延长线于点，则， 由题意可知，，，， ，是等腰直角三角形， ， ． 答：菜鸟驿站与超市的距离约为． （2）解：小南上美术网课会迟到，理由：在中，， ， ， ． ， 小南上美术网课会迟到． 6．（2023·四川成都·一模）如图为某体育公园部分示意图，C为公园大门，A、B、D分别为公园广场、健身器材区域、儿童乐园．经测量：A、B、C在同一直线上，且A、B在C的正北方向，米，点在点的南偏东方向，在点A的东南方向．    (1)求B、D两地的距离；（结果精确到） (2)大门C在儿童乐园D的南偏西方向，由于安全需要，现准备从儿童乐园D牵一条笔直的数据线到大门C的控制室，请通过计算说明公园管理部门采购的380米数据线是否够用（接头忽略不计）．（参考数据：） 【答案】(1)B、D两地的距离为 (2)公园管理部门采购的380米数据线够用 【分析】（1）过点作于点，在中，解直角三角形求出，根据含30度直角三角形的性质即可求出； （2）过点作于点，在和中，根据三角函数的定义求出，，，，继而求出，比较即可得到结论． 【详解】（1）解：过点作于点，    由题意知，， ，， ，， 在中，， ， ． 答：、两地的距离约为； （2）解：过点作于点，    由（1）得， ，，， ， ， 在中，，， ， 在中，， ， ， ， 答：公园管理部门采购的380米数据线够用． 7．（2024·四川成都·三模）数学社团的同学运用自己所学的知识进行区间测速，他们将观测点设在距金水大道50米的点P处，如图所示，直线l表示金水大道．这时一辆小汽车由金水大道上的A处向B处匀速行驶，用时2秒．经测点A在点P的南偏西方向上，点B在点P的南偏西方向上． (1)求A、B之间的路程（精确到0.1米）； (2)请判断此车是否超过了金水大道60千米/时的限制速度？（参考数据：） 【答案】(1)A、B之间的路程为米； (2)此车超过了金水大道60千米/时的限制速度 【分析】（1）过P作交于D，据已知和特殊角的三角函数值求得，的长，从而得出AB的长； （2）根据测得此车从A处行驶到B处所用的时间为2秒，求出小汽车的速度，即可得出答案 【详解】（1）过P作交于D， 由题意得：， ∵点A在点P的南偏西方向上，点B在点P的南偏西方向上， ∴点P在点A的北偏东方向上，点P在点B的北偏东方向上， ∴，，， ∴， ， ∴ 即A、B之间的路程为米； （2）小汽车的速度为 ∴此车超过了金水大道60千米/时的限制速度． 题型五：解直角三角形的应用之坡度坡比问题★★★★ 1．（2024·四川成都·模拟预测）如图，小光为测量学校旗杆的高度，从距旗杆正前方处的点C出发，沿斜面坡度为的斜坡前进到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为，已知点A，B，C，D，E在同一平面内，，，求旗杆的高度．（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】旗杆的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．延长交于点F，过点E作，垂足为G，根据题意可得：，，，，再根据已知易得：在中，，从而可得，然后利用含30度角的直角三角形的性质可求出和的长，从而求出和的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：延长交于点F，过点E作，垂足为G， 由题意得：，，，， 斜坡的坡度为， ， 在中，， ， ， ，， ， ， ， 在中，， ， ， 答：旗杆的高度约为． 2．（2024·四川成都·模拟预测）如图，一建筑物后有一座假山，其坡度为，测得假山坡脚C与建筑物的水平距离，与假山坡上凉亭E的距离，建筑物顶端A到凉亭E的俯角为．求建筑物的高度．（结果精确到，参考数据：） 【答案】建筑物的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，要求学生借助坡角关系构造直角三角形，并结合图形解直角三角形，难度适中．过点E作、水平地面，垂足为F，过点E作于点H，则．，利用坡度的定义以及勾股定理即可得出的长．根据的长求出，即可得到的长，根据得到，求出的长即可． 【详解】解：如图，过点E作水平地面，垂足为F，过点E作于点H，则． ∵， ． 在中， ， ． ∵，，， 四边形是矩形， ，． 在中， ∵， ， ． 在中， ∵， ． ． 故建筑物的高度约为． 3．（2024·四川成都·二模）“科技改变生活”，小王同学是一个摄影爱好者，入手了一个无人机用于航拍．在一次航拍时，小王在B处测得无人机A的仰角为，登上斜坡的C处测得无人机A的仰角为．若斜坡的坡比为，C处的铅垂高度为1.5米（点M，B，N在同一水平线上），求此时无人机的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 【答案】12.8米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，过点C作，垂足为E，根据题意可得：米，，再根据已知易得：米，然后设米，则米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：过点C作，垂足为E， 由题意得：米，， ∵斜坡的坡比为， ∴， ∴（米）， 设米， ∴米， 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴米， ∵， ∴, 解得：， ∴（米）， ∴此时无人机的高度约为12.8米． 4．（2024·四川成都·二模）如图，某数学兴趣小组为了测量古树的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端在同一水平线上的点出发，沿斜面坡度为的斜坡前进米到达点，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点．在点处测得古树的顶端的俯角为，底部的俯角为，求古树的高度（计算结果精确到1米，参考数据：）． 【答案】古树的高度约为11米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为．延长交的延长线于点，根据题意可得：，，再根据已知可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算可求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为．延长交的延长线于点， 由题意得：，， 斜坡的坡度为， ， 设米，则米， 在中，（米）， 米， ， 解得：， 米， 在中，， （米）， 在中，， （米）， （米）， 古树的高度约为11米． 5．（2023·四川成都·二模）如图是一座人行天桥的示意图，已知天桥的高度米，坡面的倾斜角，距B点8米处有一建筑物，为了方便行人推自行车过天桥，市政府决定降低坡面的坡度，把倾斜角由减至，即使得新坡面的倾斜角为．若新坡面底端A处与建筑物之间需要留下至少3米宽的人行道，那么该建筑物是否需要拆除？请说明理由．（结果精确到0．1米；参考数据：，） 【答案】该建筑物不需要拆除，理由见解析 【分析】先解求出，再解求出，进而求出米，再由米，求出米，在比较的长与3的大小即可得到答案． 【详解】解：该建筑物不需要拆除，理由如下： 在中，米， ∴米； 在中，米， ∴米； ∴米， ∵米， ∴米， ∵， ∴该建筑物不需要拆除． 6．（2023·四川成都·一模）小明同学在数学实践活动课上对学校一办公大楼进行实地测量，如图，此办公大楼正前方有一根高度是13米的旗杆，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是，旗杆底端D到大楼前斜坡底部点C的距离是21米，斜坡的坡长是13米，斜坡的坡度． (1)求斜坡顶端点B到水平地面的距离； (2)求办公大楼的高度．（精确到0.1米，参考数据：） 【答案】(1)5米(2)27.1米 【分析】（1）如图1，延长交直线于点F，则，由题意知，设，则，在中，由勾股定理得，即，求的值，进而可得的值，进而可得结果； （2）如图1，过点E作于点G，则四边形是矩形，，，，，，由可得，求的值，根据求的值，根据计算求解即可． 【详解】（1）解：如图1，延长交直线于点F，则， ∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得或（舍去）， ∴（米） 答：斜坡顶端点B到水平地面的距离为5米； （2）解：如图1，过点E作于点G，则四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，   ∵， ∴，解得（米）， ∵（米）， ∴（米）， 答：办公大楼AB的高度为27.1米． 7．（2023·四川成都·二模）成都市近年大力推进老旧院落改造，将过去那些陈旧的、不便的设备设施进行更换和整改，为广大市民打造了宜居的环境．如图，某小区原有一段米长的坡道，已知坡道与水平地面的夹角（）等于，为满足无障碍通道的设计要求，改造后的坡道与水平地面夹角（）等于，求改造后的坡道在水平方向上延伸的距离．（结果精确到）（参考数据：，，，） 【答案】0.96米 【分析】 作，垂足为，解求得、，再解求得，再根据求解即可． 【详解】解：作，垂足为， 在中，，， ，， 在中，，， ， （米）， 答：改造后的坡道在水平方向上延伸的距离为0.96米． 8．（2023·四川成都·二模）钓鱼岛及其附属岛屿是中国的固有领土，神圣不可侵犯！自2021年2月1日起，旨在维护国家主权、更好履行海警机构职责的《中华人民共和国海警法》正式实施，中国海警在钓鱼岛海域开展巡航执法活动，是中方依法维护主权的正当举措，如图是钓鱼岛其中一个岛礁，若某测量船在海面上的点D处测得与斜坡坡脚点C的距离为169米，测得岛礁顶端A的仰角为，以及该斜坡的坡度，求该岛礁的高（即点A到海平面的铅垂高度）．（结果保留整数）（参考数据：，，） 【答案】312米 【分析】过点A作射线于点M，设，，根据，即可求解． 【详解】解：过点A作射线于点M，如图所示： 根据题意，可知，，米， 在中，由， 设，， 在中，， ， ∴（米）， ∴（米）． 答：该岛礁的高为312米． 9．（2024·四川成都·二模）高楼和斜坡的纵截面如图所示，斜坡的底部点与高楼的水平距离为150米，斜坡的坡度（或坡比），坡顶到的垂直距离米，在点处测得高楼楼顶点的仰角为50°，求高楼的高度（结果精确到0.1米）． （参考数据：，，） 【答案】高楼的高度约为米 【分析】作于点，由题意易得四边形为矩形，则有米，然后可得米，进而根据三角函数可进行求解． 【详解】解：如图所示，作于点， ∵， ∴四边形为矩形， ∴米， 在中， ∴ ∴（米） ∴（米） 在中， ∴， ∴， ∴（米） ∴（米） 答：高楼的高度约为米． 10．（2024·四川成都·二模）如图，是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走28米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为、坡长为20米的斜坡到达点D，然后再沿水平方向向右行走60米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为，求建筑物的高度（参考数据：）． 【答案】建筑物AB的高度约为29米． 【分析】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．首先解直角三角形Rt△CDN，求出CN，DN，再根据，构建方程即可解决问题． 【详解】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N． 在Rt△CDN中， ∵，设CN＝4k，DN＝3k， ∵CD＝20， ∴(3k)2＋(4k)2＝400， ∴k＝4， ∴CN＝16，DN＝12， ∵BM⊥ED，CN⊥DM，BM⊥BC， ∴四边形BMNC是矩形， ∴BM＝CN＝16，BC＝MN＝28，EM＝MN＋DN＋DE＝100， 在Rt△AEM中，tan24°＝， ∴， ∴AB＝29 答：建筑物AB的高度约为29米． 题型六：解直角三角形的应用之其他问题★★★★★ 1．（2024·四川成都·模拟预测）为满足学校日常教学和办公需求，学校为办公室采购了一批椅子．学生经查阅资料得知椅子坐面与地面保持的距离时，对于一般成年人的坐姿舒适度最佳．如图①是学校采购的椅子，如图②是同学们从中抽离出的椅子侧面示意图，支架的长为，与地面的夹角为，支架与地面的夹角为，支撑杆的长为，且垂直于支架，螺帽D、F之间的距离为，椅子坐面平行于地面．根据以上数据，判断这批椅子是否符合一般成年人坐姿舒适度的范围要求．（结果精确到，参考数据：，，，）    【答案】这批椅子符合一般成年人坐姿舒适度的范围要求 【分析】本题考查解直角三角形的应用，过点F作于点M，设，则，，，利用三角形内角和定理求得，在中，利用锐角三角函数求得，再利用求解即可． 【详解】解：过点F作于点M， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在中，，即， 解得， ∴， ∵， ∴这批椅子符合一般成年人坐姿舒适度的范围要求．    2．（2024·四川成都·模拟预测）如图是一辆自卸式货车的示意图，矩形货厢的长．卸货时，货厢绕点处的转轴旋转．点处的转轴与后车轮转轴（点处）的水平距离叫做安全轴距，测得该车的安全轴距为．货厢对角线，的交点可视为货厢的重心，测得．假设该车在水平地面上进行卸货作业． (1)若，求点B到的距离； (2)卸货时发现，当A，G两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆事故．若，该货车会发生上述事故吗？试说明你的理由． （参考数据：） 【答案】(1) (2)该货车不会发生事故，理由见解析 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是作辅助线． （1）过点作，垂足为，在中，，求出，进而求出； （2）分别过点，作，，垂足分别为，，四边形是矩形，，在中，，在中，推出，，在中，，比较即可作答． 【详解】（1）过点作，垂足为，如图， 则， 在中， ， ， ， ，两点在垂直方向上的距离为； （2）该货车不会发生事故， 理由如下： 分别过点，作，，垂足分别为，， 则， 四边形是矩形， ， 在中， ， ， 在中，， ， ， 在中， ， ， 货车不会发生事故． 3．（2024·四川成都·三模）2024年1月17日，天舟七号货运飞船，携带着支持航天员3人280天的生活物资、平台设备、推进剂和科学载荷，成功发射．如图是工作中的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、分别为机器人的大、小臂，其中小臂为2米，大臂为3米，移动基座米，与水平方向的夹角为，与水平方向的夹角为，求点C到工作台的距离．（结果精确到0.1米） （参考数据：，，） 【答案】点C到工作台的距离约为6.1米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；过点B作，交的延长线于点G，过点C作于点H，与交于点I，则四边形是矩形，在和中分别求得，根据，即可求解． 【详解】解：过点B作，交的延长线于点G，过点C作于点H，与交于点I， 则， 四边形是矩形． ，， 由题意可得， 在中，，， （米）， （米）， ∴在矩形中，米 由题意可得 ， ∵在中，，， ∴（米）， （米）， 点C到工作台的距离约为6.1米． 4．（2024·四川成都·二模）平板支架是一种可以固定和支撑平板电脑或其他电子设备的装置．它可以使平板电脑保持平稳不动，方便使用者进行多种操作，例如观看电影、阅读文献、打字及视频会议等． 如图，在侧面示意图中，，，可分别绕点，，转动，测得，，，，，，，求点到的距离．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】点到的距离约为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，延长交的延长线于点，根据题意可得：，，， ，从而可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出和的长，再利用平角定义可得，从而可得，进而可得，最后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出和的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，延长交的延长线于点， 由题意得：，，，， ， 在中，， ，， ， ， ， ， ， 在中，， ，， 在中，，， ， ， 点到的距离约为． 5．（2024·四川成都·二模）图1是一款手机支架，由托板、支撑板和底座构成，图2是手机放置在托板上后侧面的截面图．量得托板长为，支撑板长为，手机长为，，求手机顶端A到底座的距离的长（结果精确到）．参考数据：． 【答案】点A到直线的距离约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数，平行线的性质，通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，求出，即可求出点A到直线DE的距离，解题的关键昌作辅助线构造直角三角形． 【详解】解：如图，过点C作，垂足为F，过点C作，垂足为N， 由题意得 ∴四边形是矩形， ∴ 由题意可知，， 在中， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∴， 答：点A到直线的距离约为． 6．（2024·四川成都·一模）近几年，中国新能源汽车凭借其创新技术、智能化特性和独特设计赢得了全球的关注．某品牌新能源汽车的侧面示意图如图所示，当汽车后背箱门关闭时，后备厢门与水平面的夹角，顶端A和底端B与水平地面的距离分别为和．现将后背箱门绕顶端A逆时针旋转至，若，求此时的后备厢门底端到地面的距离．（参考数据：） 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，过点作于Q，过点A作于P，则四边形是矩形，可得，由题意得，四边形是矩形，则，进而得到，解求出，则，再求出，解得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点作于Q，过点A作于P，则四边形是矩形， ∴， 由题意得，四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， 由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 答：此时的后备厢门底端到地面的距离为． 7．（2024·四川成都·二模）在汉代之后，荡秋千逐渐成为清明、端午等节日进行的民间习俗活动并流传．现在也深受儿童的喜爱，如图所示成都市某公园的秋千，秋千链子的长度为，当摆角为时，座板离地面的高度为，当摆动至最高位置时，摆角为，求座板距地面的最大高度为多少？（结果精确到，参考数据：） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，过作于，过作于，过作于，在中求出，由四边形为矩形得出，，在中，求出，结合四边形为矩形，即可得出答案． 【详解】解：由题可知垂直地面于点，过作于，过作于，过作于， 在中，，，，， 得， 由得四边形为矩形， ，， 在中，，， ， ，， 由得四边形为矩形， ， 答：座板距离地面最大高度为． 8．（2023·四川成都·模拟预测）张老师家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图①），完全开启后，把手与水平线的夹角为，此时把手端点、出水口点和落水点在同一直线上．洗手盆及水龙头示意图如图②，其相关数据为，，，．求的长（结果精确到．参考数据：，，，）． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用以及三角函数的应用，在运用数学知识解决问题过程中，关注核心内容，经历测量、运算、建模等数学实践活动为主线的问题探究过程，突出考查数学的应用意识和解决问题的能力，蕴含数学建模，引导学生关注生活，利用数学方法解决实际问题． 作于G，则，由三角函数求出，，，，得出． 【详解】解：如图，作， 则， ， ，， ∴ ∴ ∴ 答：的长是． 9．（2024·四川成都·二模）现代化的写字楼为了优化室内通风效果，特别设计了一种可调整角度的平开窗．窗户推开不同角度时，室内通风效果会有所不同．图1为一面宽为60cm，高为120cm的平开窗，图2为平开窗的正面图，图3为平开窗的侧面图，现在用表示窗户所在的墙面，将窗户向外推开至的位置，此时，室内通风效果一般．为了让室内通风效果更好，现将窗户继续向外推开至的位置，此时，窗户从运动到的开窗过程中，求点上升的高度．（结果精确到0.1cm；参考数据：，，，，，） 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 过点作于点，过点作于点，在中，求出的长度，在中，求出的度数，从而求出的长度，最后由点上升的高度为，进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图， ， 在中，，， ， 在中，， ， 点上升的高度：， 答：点上升的高度约为． 10．（2023·四川成都·三模）太阳能是清洁，安全和可靠的能源，我国的国土光照充沛，光能资源分布较为均匀．利用太阳能的最佳方式是光伏转换，使太阳光射到硅材料制作的面板上产生电流直接发电． 如图是一个太阳能面板及其侧面示意图，点是的中点，，支架可绕点旋转，当太阳光线与面板垂直时，吸收光能的效率最高．当太阳光与地面夹角为时，为了让太阳能面板吸收光能的效率最高，那么支架端离地面的高度应该为多少？（结果精确到；参考数据：，，）    【答案】 【分析】作于点E，利用三角函数解即可． 【详解】解：如图，作于点E，    由题意知， ， ，点是的中点， ， 在中，， ， 即支架端离地面的高度应该为． 11．（2023·四川成都·二模）为响应国家的“节能减排”政策，某厂家开发了一种新型的电动车，如图，与地面的夹角分别为和，，大灯照亮地面的宽度的长为．（参考数据：，，）    (1)求的长（不考虑其他因素）； (2)我们设定从发现危险（大灯照到）到电动车完全停下所行驶的距离叫做最小安全距离．厂家测试中发现，一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是，且该车以的速度做出刹车动电动车停止的刹车距离为，请判断该车大灯的设计是否能满足最小安全距离的要求（大灯与前轮前端间水平距离为）．并说明理由． 【答案】(1)(2)符合要求，理由见解析 【分析】（1）根据三角函数得出，，根据，得出，求出，然后根据求出结果即可； （2）求出刹车停止后，车轮前沿到障碍物的距离为：，然后进行判断即可． 【详解】（1）解：在中， ∵， ∴， 同理，， 又∵，， ∴， 即 解得：， ∴， 答：的长约为； （2）解：， 刹车停止后，车轮前沿到障碍物的距离为： ， ∵， ∴符合要求． 12．（2023·四川成都·二模）如图，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤．在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤．已知肿瘤在皮肤A点的正下方C处，若射线从距A点的B处进入身体照射肿瘤C，恰好会紧挨器官，测得．为保证器官不受伤害，需要将射线照射点沿方向继续右移，当时，既可以保证器官安全，也能够保证疗效．（参考数据：，，） (1)求肿瘤C距皮肤A点的距离； (2)求射线照射点从点B到点D右移的距离． 【答案】(1)肿瘤C距皮肤A点的距离为 (2) 【分析】（1）根据三角函数的正切值求出结果即可； （2）先求出，然后根据三角函数的正切值求出的长，然后再求出结果即可． 【详解】（1）解：在中，， ． 即肿瘤C距皮肤A点的距离为． （2）解：， ， ∵， ∴ 在中，， ， 答：射线照射点从点B到点D右移的距离为． 13．（2023·四川成都·二模）升降台可以自主调节台面高度，能满足不同人群的学习和工作需求．某数学兴趣小组开展自制升降台的综合实践活动，如图为该升降台的截面示意图，其中，为长度相等的活动支架，两组支架的中点固定在一起，经测量，台面的最低高度为25cm，此时支架张角，将台面抬升至最大高度后（点是点的对应点，且点，与在一条垂直于的直线上），支架张角，求该升降台抬升后的最大高度的长．（参考数据：，，） 【答案】该升降台抬升后的最大高度的长约为41cm 【分析】可证，从而可求()，，进而可求解． 【详解】解：点是的中点，点是的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ()， ()， 由题意得：，， ， 在中，（）， 该升降台抬升后的最大高度的长约为41cm． 14．（2023·四川成都·二模）如图是一个新款水杯，水杯不盛水时按如图所示的位置放置，这样可以快速晾干杯底，干净透气：将图的主体部分的抽象成图，此时杯口与水平直线的夹角，四边形可以看作矩形，测得，，过点A作，交于点F．求点A到水平直线的距离的长（结果精确到，，，） 【答案】 【分析】作于，于．由，推出，由题意，求出，分别在，中求出、即可解决问题． 【详解】解：作于，于． ， ， 四边形是矩形． ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ． 15．（2023·四川成都·一模）如图，小茗家车库的宽长为3米，小茗妈妈将一辆宽为米（即米）的汽车正直停入车库，此时，车门长为米，当左侧车门接触到墙壁时，车门与车身的夹角为，此时为右侧车门开至最大的宽度（也是物体进出的最大宽度），小茗妈妈能否将车内一个边长为40厘米的正方体包裹从右侧车门取出？（结果精确到米；参考数据：） 【答案】不能 【分析】过点C作于点O，根据锐角三家函数可得的长，从而得到的长，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点C作于点O， ，米， 米， ， 米， 米厘米， ， ∴小茗妈妈不能把包裹从右侧车门取出． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 猜押06 解直角三角形及其应用 猜押考点 3年成都真题 考情分析 押题依据 解直角三角形 （填空题） 2023年成都B卷第22题。 解直角三角形及其应用是初中数学中的重点内容，所以出现在中考中必然的，解直角三角形在中考中常常用考查以下两个方面：①利用特殊角的三角函数值结合几何进行线段等求解；②解直角三角形中的实际应用问题是前三年成都中考卷的必考题。 在近三年的成都数学中考试卷中解直角三角形的实际应用是必考题型，所以在2025年的成都数学中考试卷中很大概率会继续考查解直角三角形的实际应用，此题型主要综合考查特殊角的三角函数值、解直角三角形与情景类问题进行综合。 解直角三角形的应用（解答题） 2024年成都卷A卷第16题，2023年成都卷A卷第16题，2022年成都卷A卷第16题 题型一：解直角三角形中求线段的长度★★★ 1．（2025·四川成都·一模）如图，在等边△ABC中，D为△ABC内一点，且，连接并延长交于点E，若，，则的长为 ． 2．（2024·四川成都·二模）如图，在中，，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于之长为半径作弧，两弧相交于点P，射线交边于点D，若，，则的长为 ． 3．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在四边形中，，，于点E，，，，则 ． 4．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，，，，分别在，上取点E，F，将沿直线翻折得到．使得点A的对应点恰好落在CB延长线上．当时，的长为 ． 5．（2024·四川成都·三模）如图，△ABC中，，是△ABC中边上的中线，，点是线段上一动点，将沿折叠，点落在点处，线段与线段交于点，若是直角三角形，则 ． 6．（2024·四川成都·二模）如图，已知点为线段的中点，且，连接，，且交的平分线于点，与相交于点，于点，交于点，则的长为 ．    7．（2024·四川成都·一模）如图，菱形中，，若点P是菱形内一点，且，，则菱形的边长为 ． 8．（2023·四川成都·三模）如图，在菱形中，，点为边中点，点在边上，将四边形沿直线翻折，使的对应边为，当时，的值为 ．    9．（2023·四川成都·二模）如图，中，，，点D，E分别在边上，连接，将△ADE沿翻折，点A的对应点为点F，线段恰好经过点C．若，则的值为 ．    10．（2023·四川成都·二模）如图，在矩形纸片中，将和△BPQ分别沿和折叠（），点A，B重合于点E处；再将沿折叠，点C落在上的点F处，若，且，则的长为 ． 题型二：解直角三角形求角的三角函数★★★ 1．（2024·四川成都·模拟预测）如图，正方形的边长为2，M是的中点，将四边形沿翻折得到四边形，连接，则的值等于 ． 2．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，，是边上的中线，将△ABC沿翻折得△AB'D，连接，， 分别与相交于点O，与相交于点E，与边相交于点F．若，则 ． 3．（2024·四川成都·三模）如图，在中，，D为边上的中点，将沿翻折至，连接，若，则 ． 4．（2024·四川成都·二模）定义：为△ABC内一点，连接，在、和中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称为△ABC的自相似点，根据定义求解问题：已知在中，，是边上的中线，如果△ABC的重心恰好是该三角形的自相似点，那么的值为 ． 5．（2023·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系中，，以P为圆心作圆P，交x轴于点、B，交y轴于点C、D，点M为上任一点（不与C、D重合），则 ； 6．（2020·四川成都·一模）如图，在△ABC中，，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点C和点D，再分别以点C，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点E，作射线交于点M，若，，则 ． 7．（2023·四川成都·二模）在菱形中，，点P是对角线上一动点，点Q是边上一动点，与始终相等，连结，交点为E，连结，则的最小值是 ． 8．（2023·四川成都·一模）如图，已知等腰△ABC，于，点是边上的一点，将△ABC沿线段翻折，点的对应点恰好落在的延长线上，若，则的值是 ． 9．（2024·四川成都·一模）如图，中，，，点E，F分别在，上，将沿所在直线翻折，点C的对应点D恰好在边上，过点D作的垂线，交的延长线于点G，设，则的值为 ．（用含x的代数式表示） 题型三：解直角三角形的应用之仰角俯角问题★★★★ 1．（2025·四川成都·一模）（新情境）某数学兴趣小组在一片空旷安全的地面上，对成绵扩容项目的某段高架桥的高度进行了测量．如图，在面向高架桥的点A 处，测得高架桥顶端C的仰角为，在离A点的点B 处测得高架桥顶端C 的仰角为．求这段高架桥离地面的高度．(结果精确到．参考数据： 2．（2024·四川成都·模拟预测）（新情境）京昆高速公路绵阳至成都段扩容项目（以下简称“成绵扩容项目”）自开工以来备受关注．作为成都至绵阳的第三条高速公路，成绵扩容项目是四川省首条拥有连续的城市高架桥、采用双向八车道技术标准的高速公路．某数学兴趣小组在一片空旷安全的地面上，对成绵扩容项目的某段高架桥的高度进行了测量．如图，在面向高架桥的点处，测得高架桥顶端的仰角为，在离点的点处测得高架桥顶端的仰角为．求这段高架桥离地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，，）    3．（2024·四川成都·二模）（新情境）泰姬陵是世界知名的古建筑，被列为“世界文化遗产”．如图所示，为了估测泰姬陵的高度，在泰姬陵的正东方向选取高为参照物，在它们之间的地面上选取点E（B，E，D三点共线），在点E处测得A处、C处的仰角分别是和，在A处测得C处的仰角为，求泰姬陵的高度．（结果精确到，参考数据：，，，，）． 4．（2024·四川成都·一模）（新情境）成都东部新区丹景台景区核心区位于龙泉山城市森林公园南段示范区，包括丹景台、丹景阁、丹景里及丹景亭四处特色建筑．其中，丹景阁坐落于海拔737米的丹景山高处，作为景区核心区的制高点，具有高屋建瓴的视野优势，在这里登高望远，可眺望东进热土，俯瞰城市美景（如图1）．某校开展综合实践活动，测量丹景阁主体高度的长（如图2），使用无人机在点C处测得建筑物顶端A的仰角为，然后控制无人机竖直上升13米后达到D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为，其中B，C在同一水平线上，求丹景阁主体高度的长．（结果精确到1米：参考数据：） 5．（2024·四川成都·二模）（新情境）2024成都世园会是成都东部新区成立以来首次举办的国际性盛会，依托天府国际机场和山水生态为底，成都东部新区提出打造“国际度假旅游目的地”，借势打响文旅名片．4月26日，成都世园会将在成都东部新区主会场拉开帷幕，其中最令人瞩目的是位于主会场中心的地标性建筑——锦云楼（图1）．某校数学兴趣小组利用无人机测量锦云楼的高度（如图2），具体测量方案：先将无人机垂直上升至距水平地面的C点，测得锦云楼顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点D，测得锦云楼底端B的俯角为，求锦云楼的高度．（结果精确到，参考数据：） 6．（2024·四川成都·三模）（新情境）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图1 是政府给贫困户新建的房屋，如图2是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为，此时地面上 C点、屋檐上E点、屋顶上 A 点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点 D时，又测得屋檐E点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交 于点G（点 C，D，B在同一水平线上）． (1)求屋顶到横梁的距离（结果精确到）； (2)求房屋的高（结果精确到）．（参考数据） 7．（2024·四川成都·一模）（新情境）如图，某处有一座塔，塔的正前方有一平台，平台的高米，斜坡的坡度：，点，，，在同一条水平直线上某数学兴趣小组为测量该塔的高度，在斜坡处测得塔顶部的仰角为，在斜坡处测得塔顶部的仰角为，求塔高．(精确到米)(参考数据：，，，，，)    8．（2024·四川成都·二模）（新情境）东安阁是成都市东安湖公园的地标性建筑，是公园十二景中的第一景，碧瓦朱甍、飞阁流丹，尽显蜀川之美．某数学兴趣小组用无人机测量东安阁的高度，测量方案为：如图，先将无人机垂直上升至距离地面的P点，测得东安阁顶端A的俯角为；再将无人机沿东安阁的方向水平飞行到达点Q，测得东安阁底端B的俯角为，求东安阁的高度．（结果精确到；参考数据：，，） 9．（2024·四川成都·二模）（新情境）双流区某学校无人机兴趣小组在飞行物限高50米的某区域内举行无人机试飞比赛，该兴趣小组利用所学知识对某同学的无人机高度进行了测量．如图，他们先在点处用高的测角仪测得无人机的仰角为，然后沿水平方向前行到点处，在点处测得无人机的仰角为．请你根据该小组的测量方法和数据，通过计算判断此同学的无人机是否超过限高要求？（参考数据：，， 10．（2024·四川成都·一模）（新情境）如图，无人机从处测得大楼底端点处的俯角，，测得大楼顶端点处的俯角，，已知点、、、都在同一平面上，无人机所处高度，求该大楼的高度．（参考数据，，）    11．（2024·四川成都·一模）（新情境）某校学生利用课余时间，使用卷尺和测角仪测量某公园古城门的高度．如图所示，他们先在公园广场点处架设测角仪，测得古城门最高点的仰角为，然后前进到达点处，测得点的仰角为；已知测角仪的高度为．求古城门最高点距离地面的高度．（结果精确到；参考数据：，，） 12．（2022·四川成都·二模）（新情境）第31届世界大学生运动会于2023年7月28日在成都举行，主火炬塔位于东安湖体育公园，亮灯之夜，塔身通体透亮，10余道象征太阳光芒的螺旋线全部点亮，璀璨绚丽，流光溢彩（如图1）．小杰同学想要通过测量及计算了解火炬塔的大致高度，当他步行至点处，测得此时塔顶的仰角为，再步行20米至点处，测得此时塔顶的仰角为（如图2所示，点在同一条直线上），请帮小杰计算火炬塔的高．（，，，，，，结果保留整数）    题型四：解直角三角形的应用之方位角问题★★★★ 1．（2023·四川成都·模拟预测）（新情境）小花和小明周末去大雁塔游玩，两人在A处测得大雁塔在北偏东60°方向C处，当小花和小明沿着正东方向走了1200米到达B处时，测得大雁塔在北偏东15°的方向上，求此时他们与大雁塔的距离约是多少？（结果保留整数，参考数据：，） 2．（2023·四川成都·二模）（新情境）如图，一艘轮船从点A处向正东方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东方向上，继续航行海里到达B处，这时测得灯塔C在北偏东方向上，已知灯塔C四周海里内有暗礁，问这艘轮船继续向正东方向航行会有触礁的危险吗？并说明理由．（参考数据：，，，）    3．（2023·四川成都·二模）（新情境）如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学综合实践小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的东偏北方向上，沿正东方向行走60米至观测点D，测得B在D的西偏北方向上，A在D的西偏北方向上．求A，B两点间的距离是多少米（精确到个位）？（参考数据：，，，，，，） 4．（2022·四川成都·一模）（新情境）如图，海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西的C处之后，货轮继续往东航行．通过计算，你认为货轮继续向东航行的途中会有触礁的危险吗？（已知，，）． 5．（2024·四川成都·一模）（新情境）如图，小南家位于一条东西走向的笔直马路上，超市在地的正东方．午休时间，小南从家出发沿北偏东方向步行至菜鸟驿站取快递．下午第一节网课是美术课，此时距离上课时间只有，他决定先沿西南方向步行至超市购买素描画纸，再沿正西方向回到家上网课．(参考数据：，) (1)求菜鸟驿站与超市的距离(保留整数)； (2)若小南的步行速度为，那么他上美术网课会迟到吗？请说明理由．(忽略买素描画纸的时间) 6．（2023·四川成都·一模）（新情境）如图为某体育公园部分示意图，C为公园大门，A、B、D分别为公园广场、健身器材区域、儿童乐园．经测量：A、B、C在同一直线上，且A、B在C的正北方向，米，点在点的南偏东方向，在点A的东南方向．    (1)求B、D两地的距离；（结果精确到） (2)大门C在儿童乐园D的南偏西方向，由于安全需要，现准备从儿童乐园D牵一条笔直的数据线到大门C的控制室，请通过计算说明公园管理部门采购的380米数据线是否够用（接头忽略不计）．（参考数据：） 7．（2024·四川成都·三模）（新情境）数学社团的同学运用自己所学的知识进行区间测速，他们将观测点设在距金水大道50米的点P处，如图所示，直线l表示金水大道．这时一辆小汽车由金水大道上的A处向B处匀速行驶，用时2秒．经测点A在点P的南偏西方向上，点B在点P的南偏西方向上． (1)求A、B之间的路程（精确到0.1米）； (2)请判断此车是否超过了金水大道60千米/时的限制速度？（参考数据：） 题型五：解直角三角形的应用之坡度坡比问题★★★★ 1．（2024·四川成都·模拟预测）（新情境）如图，小光为测量学校旗杆的高度，从距旗杆正前方处的点C出发，沿斜面坡度为的斜坡前进到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为，已知点A，B，C，D，E在同一平面内，，，求旗杆的高度．（结果精确到．参考数据：，，，） 2．（2024·四川成都·模拟预测）（新情境）如图，一建筑物后有一座假山，其坡度为，测得假山坡脚C与建筑物的水平距离，与假山坡上凉亭E的距离，建筑物顶端A到凉亭E的俯角为．求建筑物的高度．（结果精确到，参考数据：） 3．（2024·四川成都·二模）（新情境）“科技改变生活”，小王同学是一个摄影爱好者，入手了一个无人机用于航拍．在一次航拍时，小王在B处测得无人机A的仰角为，登上斜坡的C处测得无人机A的仰角为．若斜坡的坡比为，C处的铅垂高度为1.5米（点M，B，N在同一水平线上），求此时无人机的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 4．（2024·四川成都·二模）（新情境）如图，某数学兴趣小组为了测量古树的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端在同一水平线上的点出发，沿斜面坡度为的斜坡前进米到达点，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点．在点处测得古树的顶端的俯角为，底部的俯角为，求古树的高度（计算结果精确到1米，参考数据：）． 5．（2023·四川成都·二模）（新情境）如图是一座人行天桥的示意图，已知天桥的高度米，坡面的倾斜角，距B点8米处有一建筑物，为了方便行人推自行车过天桥，市政府决定降低坡面的坡度，把倾斜角由减至，即使得新坡面的倾斜角为．若新坡面底端A处与建筑物之间需要留下至少3米宽的人行道，那么该建筑物是否需要拆除？请说明理由．（结果精确到0．1米；参考数据：，） 6．（2023·四川成都·一模）（新情境）小明同学在数学实践活动课上对学校一办公大楼进行实地测量，如图，此办公大楼正前方有一根高度是13米的旗杆，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是，旗杆底端D到大楼前斜坡底部点C的距离是21米，斜坡的坡长是13米，斜坡的坡度． (1)求斜坡顶端点B到水平地面的距离； (2)求办公大楼的高度．（精确到0.1米，参考数据：） 7．（2023·四川成都·二模）（新情境）成都市近年大力推进老旧院落改造，将过去那些陈旧的、不便的设备设施进行更换和整改，为广大市民打造了宜居的环境．如图，某小区原有一段米长的坡道，已知坡道与水平地面的夹角（）等于，为满足无障碍通道的设计要求，改造后的坡道与水平地面夹角（）等于，求改造后的坡道在水平方向上延伸的距离．（结果精确到）（参考数据：，，，） 8．（2023·四川成都·二模）（新情境）钓鱼岛及其附属岛屿是中国的固有领土，神圣不可侵犯！自2021年2月1日起，旨在维护国家主权、更好履行海警机构职责的《中华人民共和国海警法》正式实施，中国海警在钓鱼岛海域开展巡航执法活动，是中方依法维护主权的正当举措，如图是钓鱼岛其中一个岛礁，若某测量船在海面上的点D处测得与斜坡坡脚点C的距离为169米，测得岛礁顶端A的仰角为，以及该斜坡的坡度，求该岛礁的高（即点A到海平面的铅垂高度）．（结果保留整数）（参考数据：，，） 9．（2024·四川成都·二模）（新情境）高楼和斜坡的纵截面如图所示，斜坡的底部点与高楼的水平距离为150米，斜坡的坡度（或坡比），坡顶到的垂直距离米，在点处测得高楼楼顶点的仰角为50°，求高楼的高度（结果精确到0.1米）． （参考数据：，，） 10．（2024·四川成都·二模）（新情境）如图，是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走28米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为、坡长为20米的斜坡到达点D，然后再沿水平方向向右行走60米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为，求建筑物的高度（参考数据：）． 题型六：解直角三角形的应用之其他问题★★★★★ 1．（2024·四川成都·模拟预测）（新情境）为满足学校日常教学和办公需求，学校为办公室采购了一批椅子．学生经查阅资料得知椅子坐面与地面保持的距离时，对于一般成年人的坐姿舒适度最佳．如图①是学校采购的椅子，如图②是同学们从中抽离出的椅子侧面示意图，支架的长为，与地面的夹角为，支架与地面的夹角为，支撑杆的长为，且垂直于支架，螺帽D、F之间的距离为，椅子坐面平行于地面．根据以上数据，判断这批椅子是否符合一般成年人坐姿舒适度的范围要求．（结果精确到，参考数据：，，，）    2．（2024·四川成都·模拟预测）（新情境）如图是一辆自卸式货车的示意图，矩形货厢的长．卸货时，货厢绕点处的转轴旋转．点处的转轴与后车轮转轴（点处）的水平距离叫做安全轴距，测得该车的安全轴距为．货厢对角线，的交点可视为货厢的重心，测得．假设该车在水平地面上进行卸货作业． (1)若，求点B到的距离； (2)卸货时发现，当A，G两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆事故．若，该货车会发生上述事故吗？试说明你的理由． （参考数据：） 3．（2024·四川成都·三模）（新情境）2024年1月17日，天舟七号货运飞船，携带着支持航天员3人280天的生活物资、平台设备、推进剂和科学载荷，成功发射．如图是工作中的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、分别为机器人的大、小臂，其中小臂为2米，大臂为3米，移动基座米，与水平方向的夹角为，与水平方向的夹角为，求点C到工作台的距离．（结果精确到0.1米） （参考数据：，，） 4．（2024·四川成都·二模）（新情境）平板支架是一种可以固定和支撑平板电脑或其他电子设备的装置．它可以使平板电脑保持平稳不动，方便使用者进行多种操作，例如观看电影、阅读文献、打字及视频会议等． 如图，在侧面示意图中，，，可分别绕点，，转动，测得，，，，，，，求点到的距离．（结果精确到，参考数据：，，，） 5．（2024·四川成都·二模）（新情境）图1是一款手机支架，由托板、支撑板和底座构成，图2是手机放置在托板上后侧面的截面图．量得托板长为，支撑板长为，手机长为，，求手机顶端A到底座的距离的长（结果精确到）．参考数据：． 6．（2024·四川成都·一模）（新情境）近几年，中国新能源汽车凭借其创新技术、智能化特性和独特设计赢得了全球的关注．某品牌新能源汽车的侧面示意图如图所示，当汽车后背箱门关闭时，后备厢门与水平面的夹角，顶端A和底端B与水平地面的距离分别为和．现将后背箱门绕顶端A逆时针旋转至，若，求此时的后备厢门底端到地面的距离．（参考数据：） 7．（2024·四川成都·二模）（新情境）在汉代之后，荡秋千逐渐成为清明、端午等节日进行的民间习俗活动并流传．现在也深受儿童的喜爱，如图所示成都市某公园的秋千，秋千链子的长度为，当摆角为时，座板离地面的高度为，当摆动至最高位置时，摆角为，求座板距地面的最大高度为多少？（结果精确到，参考数据：） 8．（2023·四川成都·模拟预测）（新情境）张老师家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图①），完全开启后，把手与水平线的夹角为，此时把手端点、出水口点和落水点在同一直线上．洗手盆及水龙头示意图如图②，其相关数据为，，，．求的长（结果精确到．参考数据：，，，）． 9．（2024·四川成都·二模）（新情境）现代化的写字楼为了优化室内通风效果，特别设计了一种可调整角度的平开窗．窗户推开不同角度时，室内通风效果会有所不同．图1为一面宽为60cm，高为120cm的平开窗，图2为平开窗的正面图，图3为平开窗的侧面图，现在用表示窗户所在的墙面，将窗户向外推开至的位置，此时，室内通风效果一般．为了让室内通风效果更好，现将窗户继续向外推开至的位置，此时，窗户从运动到的开窗过程中，求点上升的高度．（结果精确到0.1cm；参考数据：，，，，，） 10．（2023·四川成都·三模）（新情境）太阳能是清洁，安全和可靠的能源，我国的国土光照充沛，光能资源分布较为均匀．利用太阳能的最佳方式是光伏转换，使太阳光射到硅材料制作的面板上产生电流直接发电． 如图是一个太阳能面板及其侧面示意图，点是的中点，，支架可绕点旋转，当太阳光线与面板垂直时，吸收光能的效率最高．当太阳光与地面夹角为时，为了让太阳能面板吸收光能的效率最高，那么支架端离地面的高度应该为多少？（结果精确到；参考数据：，，）    11．（2023·四川成都·二模）（新情境）为响应国家的“节能减排”政策，某厂家开发了一种新型的电动车，如图，与地面的夹角分别为和，，大灯照亮地面的宽度的长为．（参考数据：，，）    (1)求的长（不考虑其他因素）； (2)我们设定从发现危险（大灯照到）到电动车完全停下所行驶的距离叫做最小安全距离．厂家测试中发现，一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是，且该车以的速度做出刹车动电动车停止的刹车距离为，请判断该车大灯的设计是否能满足最小安全距离的要求（大灯与前轮前端间水平距离为）．并说明理由． 12．（2023·四川成都·二模）（新情境）如图，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤．在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤．已知肿瘤在皮肤A点的正下方C处，若射线从距A点的B处进入身体照射肿瘤C，恰好会紧挨器官，测得．为保证器官不受伤害，需要将射线照射点沿方向继续右移，当时，既可以保证器官安全，也能够保证疗效．（参考数据：，，） (1)求肿瘤C距皮肤A点的距离； (2)求射线照射点从点B到点D右移的距离． 13．（2023·四川成都·二模）（新情境）升降台可以自主调节台面高度，能满足不同人群的学习和工作需求．某数学兴趣小组开展自制升降台的综合实践活动，如图为该升降台的截面示意图，其中，为长度相等的活动支架，两组支架的中点固定在一起，经测量，台面的最低高度为25cm，此时支架张角，将台面抬升至最大高度后（点是点的对应点，且点，与在一条垂直于的直线上），支架张角，求该升降台抬升后的最大高度的长．（参考数据：，，） 14．（2023·四川成都·二模）（新情境）如图1是一个新款水杯，水杯不盛水时按如图所示的位置放置，这样可以快速晾干杯底，干净透气：将图的主体部分的抽象成图，此时杯口与水平直线的夹角，四边形可以看作矩形，测得，，过点A作，交于点F．求点A到水平直线的距离的长（结果精确到，，，） 15．（2023·四川成都·一模）（新情境）如图，小茗家车库的宽长为3米，小茗妈妈将一辆宽为米（即米）的汽车正直停入车库，此时，车门长为米，当左侧车门接触到墙壁时，车门与车身的夹角为，此时为右侧车门开至最大的宽度（也是物体进出的最大宽度），小茗妈妈能否将车内一个边长为40厘米的正方体包裹从右侧车门取出？（结果精确到米；参考数据：） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$