猜押05 双空类问题和尺规作图解几何选填压轴（五大题型）-2025年中考数学冲刺抢押秘籍（四川成都专用）

猜押05 双空类问题和尺规作图解几何 猜押考点 3年成都真题 考情分析 押题依据 双空类问题 （B卷填空压轴） 2024年成都卷B卷第21题，第23题，2023年成都B卷第23题，2022年成都卷B卷第22题。 从近年成都中考来看，在选填压轴题中除了出现猜押02中的多结论问题之外，还经常考查双空类问题和以尺规作图为基础综合几何类题型，此题型综合性较强，常常能结合到函数、几何以及圆进行考查，需要考试在掌握这几个知识点的基础题型外进行扩展 在近三年的成都数学中考试卷中每年均出现了双空类问题和尺规作图解几何类问题，所以不难猜测这两类题型在2025年的中考中出现的概率还是非常大的，此题型主要考查了函数综合和几何中，难度较大，需要考生灵活应用平时所学知识点并对这类知识点进行扩展培优。 尺规作图解几何 （选填压轴） 2024年成都卷A卷第8题，2023年成都卷A卷第13题，2022年成都卷A卷第13题 题型一：函数类双空问题★★★★★ 1．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点，，，，，…所在直线与x轴交于点，点，，，，…都在x轴上，，，，…都是等腰直角三角形，则等腰直角三角形的腰长为 ． 2．（2022·四川成都·一模）2021年诺贝尔物理学奖是有关于“复杂系统的理解”，我们可以用动力系统的方法来研究复杂系统．已知直线，双曲线，点，我们从点出发构造无穷点列，…构造规则为：若点在直线上，那么下一个点就在双曲线上，且；若点在双曲线上，那么下一个点就在直线上，且，根据规则，点的坐标为 ．无限进行下去，无限接近的点的坐标 ． 3．（2024·四川成都·二模）对于自变量x的不同的取值范围有不同的解析式的函数，我们称之为分段函数，它是一个函数，而不是几个函数，习惯上，我们会把每段的自变量的取值范围写在该范围内满足的解析式后面．现有分段函数（其中m是常数，且），该函数的图象记为G．当时，图象G与x轴的交点坐标为 ；若直线与G恰有两个交点，则m的值为 ． 4．（2023·四川成都·模拟预测）一个玻璃杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线，为同一抛物线的一部分，，都与水平地面平行，当杯子装满水后，，液体高度，将杯子绕倾斜倒出部分液体，当倾斜角时停止转动．如图2所示，此时液面宽度为 cm，液面到点所在水平地面的距离是 cm 5．（2023·四川成都·一模）如图，反比例函数的图形过点A，反比例函数的图象与直线交于点B，C，已知，则 ；过点A分别作y轴和x轴的平行线，分别交反比例函数的图象于点D和E，连接交y轴于G，连接交x轴于点F，当的面积为1时， ．    6．（2023·四川成都·二模）在某函数的给定自变量取值范围内，该函数的最大值与最小值的差叫做该函数在此范围内的界值．当时，一次函数的界值大于3，则k的取值范围是 ；当时，二次函数的界值为2，则 ． 7．（2023·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，若，则 ；若，则m的取值范围是 ． 8．（2023·四川成都·二模）某投球发射装置斜向上发射进行投球实验，球离地面的高度（米）与球运行时间（秒）之间满足函数关系式，该装置的发射点离地面10米，球筐中心点离地面35米．如图，若某次投球正好中心入筐，球到达球筐中心点所需时间为5秒，那么这次投球过程中球离地面的高度（米）与球运行时间（秒）之间满足的函数关系式为 ．（不要求写自变量的取值范围）；我们把球在每2秒内运行的最高点离地面的高度与最低点离地面的高度的差称为“投射矩”，常用字母“”表示．那么在这次投球过程中，球入筺前的取值范围是 ．    9．（2023·四川成都·一模）如图，一段抛物线：，记为，它与轴交于点，，将绕点旋转得，交轴于点，则抛物线的解析式为，将绕点旋转得，交轴于点，则抛物线的解析式为： ；……如此进行下去，直至得，若在第23段抛物线上，则 ． 10．（2024·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，，，三点都在抛物线上．若，则的取值范围是 ；若无论取任何实数，点，，中都至少有两个点在轴的下方，则的取值范围是 ． 11．（2024·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系中，点，中，，，则点的坐标为 ；若点，分别是的边，上的动点，且，当的值最小时，点的坐标为 ． 12．（2023·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，、、、…、均为等腰直角三角形，且，点、、、…、和点、、、…、分别在正比例函数和的图象上，且点、、、…、的横坐标分别为1，2，3…n，线段、、、…、均与轴平行，按照图中所反映的规律，则的顶点的坐标是 ；线段的长是 ．（其中为正整数） 13．（2024·四川成都·一模）已知一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A，B．点P在该函数的图象上，P到x轴、y轴的距离分别为．定义：坐标轴距离．若一次函数的关系式为，则（1）当时，点P的横坐标为 ；（2）当点P在直线上运动时，d的最小值为 ． 题型二：新定义类双空问题★★★ 1．（2025·四川成都·一模）若二次函数 满足∶ 当时，，则称这个二次函数是上的“封闭二次函数”．已知是上的“封闭二次函数”，且图象过点和，则 ；若二次函数是上的“封闭二次函数”，其图象过点和，则a的取值范围是 ． 2．（2024·四川成都·三模）对于平面直角坐标系中的点P和线段，其中、两点，有如下定义：若在线段上存在一点Q，使得P，Q两点间的距离小于或等于1，则称P为线段AB的“附庸点”．在点，，中，线段的“附庸点”是 ；在直线上存在线段的“附庸点”M，N，且，则b的取值范围是 ． 3．（2024·四川成都·模拟预测）定义：若x，y满足，（k为常数），且，则称点为“优点”．若是“优点”，则 ；若抛物线上至少存在一个“优点”，则的取值范围为 ． 4．（2023·四川成都·三模）在平面直角坐标系中，对封闭图形和不重合的两点，给出如下定义：点关于点的中心对称点为，若点在图形内（包含边界），则称图形为点经点投射的“靶区”．如图，拋物线与轴的交点A，位于原点两侧（点A在点的左侧），且，则抛物线的函数表达式为 ，记轴上方的拋物线与轴所围成的封闭图形为，点为轴上一动点，若直线上存在点，使得图形为点经点投射的“靶区”，则的取值范围是 ．    5．（2023·四川成都·三模）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图象的“阶方点”，例如，点是函数图象的“阶方点”；点是函数图象的“2阶方点”．在①；②；③三点中，是反比例函数图象的“1阶方点”的有 （填序号）；若关于的二次函数图象的“阶方点”一定存在，则的取值范围是 ． 6．（2024·四川成都·一模）若二次函数满足：当时，，则称这个二次函数是上的“封闭二次函数”．已知是上的“封闭二次函数”．且图象过点和，则 ；若二次函数是上的“封闭二次函数”，其图象过点和．则的取值范围是 ． 7．（2024·四川成都·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，为坐标原点，任意两点、，称的值为、两点的“直角距离”．若，则，的“直角距离”为 ；若，为直线上任意一点，则，的“直角距离”的最小值为 ． 8．（2024·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，点，点，点，点，为四边形边上一点．对于点给出如下定义：若，，点在x轴下方，点关于原点的对称点为Q，我们称点Q为点P关于点M为直角顶点的“变换点”；则P关于点B为直角顶点的“变换点”坐标为 ；若直线（）上存在点P关于点M为直角顶点的“变换点”，则k的取值范围为 ． 9．（2024·四川成都·二模）对于平面直角坐标系中的点，若，满足，则点就称为“奇妙点”．若是“奇妙点”，则 ；已知一次函数（为常数）图象上有一个“奇妙点”的坐标是，则一次函数图象上另一 “奇妙点”的坐标是 ． 10．（2023·四川成都·一模）学习了平面直角坐标系后，初二（1）班的同学组成了数学课外小组，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点处，其中，，当时，，其中表示非负实数a的整数部分，例如：，．按此方案，第6棵树种植点为 ；第2024棵树种植点为 ． 题型三：几何类双空问题★★★★ 1．（2022·四川成都·二模）如图，在中，．若点为平面上一个动点，且满足，则线段长度的最小值为 ，最大值为 ． 2．（2024·四川成都·二模）如图，在矩形中，，，点E是边上一点，，分别在边上取点M，N，将矩形沿直线翻折，使得点B的对应点恰好落在射线上，点A的对应点是，那么折痕的长为 ；连接，线段的最小值为 ． 3．（2024·四川成都·一模）如图1，以矩形的宽为边在其内部作正方形，若，则称矩形为“黄金矩形”，称为“黄金比率”．如图2，以矩形的宽为边在其内部作两个正方形，，若，则称矩形为“白银矩形”，称为“白银比率”，则该比率为 ；如图3，A4纸的长与宽的比值近似可以看作，若沿某条直线裁剪一次，使得纸剩下部分为一个“白银矩形”，则该“白银矩形”的面积是 ． 4．（2023·四川成都·模拟预测）在数学“折向未来”的活动课上，小明用如图所示的长方形纸片折四边形，，点E，G分别是边上的中点，点F，H分别是边上的点，且，连接．将，分别沿，翻折，点B的对应点为点，点D的对应点为点，当点落在线段上时，则 cm；当点在内部时，连接，若为直角三角形，则四边形的面积为 ． 5．（2024·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系中，点B与点D分别在x轴、y轴上，正方形与正方形的边长分别为6和4，正方形绕点O旋转，当F落在y轴正半轴上时， ，当C，G，F三点共线时，的长为 ． 6．（2024·四川成都·一模）如图，在矩形中，，，E，F分别为边的中点．动点P从点E出发沿向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿向点C运动，连接，过点B作于点H，连接．若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段长度的最大值为 ，线段长度的最小值为 ．    7．（2024·四川成都·三模）如图，长方形中，，点、分别为线段、上动点，且，点是线段上一点，且满足，四边形关于直线对称后得到四边形，连接，当 时，点与点重合，在运动过程中，线段长度的最大值是 ． 8．（2023·四川成都·一模）如图，在矩形中，，点E为上一点，且，点F为边上一动点，连接，过点A作于点G，连接，则的最小值为 ，连接，将绕点E顺时针旋转，得到，在点F运动的过程中，的最小值为 ． 9．（2024·四川成都·模拟预测）如图，有一张矩形纸片，已知，，现将纸片进行如下操作：现将纸片沿折痕进行折叠，使点落在边上的点处，点在上（如图），则 ；然后将绕点旋转到，当过点时旋转停止，则的长度为 ． 10．（2024·四川成都·一模）已知正方形的边长为4，点P是该正方形边上一点，以P为位似中心，作正方形正方形ABCD，相似比为，则点与点B的最大距离为 ；连接，若的周长为，则的面积为 ． 11．（2022·四川成都·一模）如图，在四边形中，对角线互相垂直平分，点，Q分别是边，线段上的点，连接与相交于点．，且，则 ；当时，设，则的长 ．（用含a的代数式表示）．    题型四：“隐圆”类双空问题★★★ 1．（2022·四川成都·模拟预测）如图，在等腰三角形中，，，点D在边上，且，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，以为边，作平行四边形，连接，则点A到线段的距离是 ，的最大值与最小值分别是 ． 2．（2025·四川成都·一模）如图，已知的面积为，，，现先将沿某一方向平移个单位长度后得到，其中点，，，的对应点分别为，，，；再将绕点顺时针旋转后得到，其中点，，的对应点分别为，，，连接，，则线段的最大值为 ，线段的最小值为 ． 3．（2024·四川成都·二模）如图，在菱形中，，，，分别是边，上的两个动点，满足，与交于点．的度数为 ；当最大时，线段的长是 ． 4．（2022·四川成都·二模）如图，为等腰的中位线，且将△ADE绕点A顺时针旋转，直线与直线交于点，在这个旋转过程中，的最大值为 ，点运动的路径长为 ． 题型五：尺规作图解几何问题★★★★★ 1．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在菱形中，，E是边上的一点，连接，按下列步骤作图：① 以点A为圆心、适当的长为半径作弧，分别交于点M，N；② 以点D为圆心、的长为半径作弧，交于点；③ 以点为圆心、的长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；④ 过点作射线交于点F．若，则 ．   2．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在△ABC中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点；④过点作于点．若，则的长为 ． 3．（2024·四川成都·二模）如图，在中，，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于之长为半径作弧，两弧相交于点P，射线交边于点D，若，，则的长为 ． 4．（2022·四川成都·模拟预测）如图，在△ABC中，，，，按一下步骤作图：①以点C为圆心，长为半径作弧，交于点D；②分别以点A和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线交于点，则的长为 ． 5．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点E，连接，若，，，则的长为 ． 6．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，，按下列步骤作图：①分别以点A、B为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交于点M、N；②作直线交于点D，交于点E，连接；③以点D为圆心，的长为半径作弧，交直线于点F，连接，．若，则的长为 ．    7．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，按下列步骤作图：①以点D为圆心、适当的长为半径作弧，分别交于点M，N；②分别以点M，N为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O；③作射线，交于点E.若，，则的周长为 ．    8．（2024·四川成都·二模）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，长为半径画弧，交于点D；②再分别以C，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点E；③作射线交于点F．若，，则的长为 ． 9．（2024·四川成都·三模）如图，在△ABC中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧交于点；③作射线交于点，若，则的长为 ． 10．（2024·四川成都·三模）如图，在△ABC,∠B=90°，D为中点，按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长为半径画弧，交于点E，F；②分别以E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的外部交于点；③作直线交于点H．若,，则 ． 11．（2024·四川成都·三模）如图，在△ABC中，，分别以点 A和点 B为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于 M，N两点，作直线，分别交于点 D，E，连接． 若，则等于 ． 12．（2024·四川成都·二模）如图，在△ABC中，按以下步骤操作：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②以点C为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点E，F；③分别以E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点O；④作射线，交直线于点P，连接．若，，则 ． 13．（2024·四川成都·二模）如图，，，在的三边上，若把△ABC的周长成两条等长的折线，即，则三线相交于点，此点称为三角形的“界心”，亦称“奈格尔点”．当且为等边三角形时，长为 ． 14．（2024·四川成都·二模）如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧分别交，于，两点；②以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交于点，过作交延长线于．若，，则 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 猜押05 双空类问题和尺规作图解几何 猜押考点 3年成都真题 考情分析 押题依据 双空类问题 （B卷填空压轴） 2024年成都卷B卷第21题，第23题，2023年成都B卷第23题，2022年成都卷B卷第22题。 从近年成都中考来看，在选填压轴题中除了出现猜押02中的多结论问题之外，还经常考查双空类问题和以尺规作图为基础综合几何类题型，此题型综合性较强，常常能结合到函数、几何以及圆进行考查，需要考试在掌握这几个知识点的基础题型外进行扩展 在近三年的成都数学中考试卷中每年均出现了双空类问题和尺规作图解几何类问题，所以不难猜测这两类题型在2025年的中考中出现的概率还是非常大的，此题型主要考查了函数综合和几何中，难度较大，需要考生灵活应用平时所学知识点并对这类知识点进行扩展培优。 尺规作图解几何 （选填压轴） 2024年成都卷A卷第8题，2023年成都卷A卷第13题，2022年成都卷A卷第13题 题型一：函数类双空问题★★★★★ 1．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点，，，，，…所在直线与x轴交于点，点，，，，…都在x轴上，，，，…都是等腰直角三角形，则等腰直角三角形的腰长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化．熟练掌握等腰直角三角形的性质，正切的定义，探究规律，是解题的关键． 过点作轴于，过点作轴于，设，根据，进而分别计算出，，，……，推出，即可求解． 【详解】过点作轴于，过点作轴于，设， ∵，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵，即， ∴， ∴，， ∴， 同理，，， ∴， 解得，， ∴， …， 归纳得，， ∴． 故答案为：． 2．（2022·四川成都·一模）2021年诺贝尔物理学奖是有关于“复杂系统的理解”，我们可以用动力系统的方法来研究复杂系统．已知直线，双曲线，点，我们从点出发构造无穷点列，…构造规则为：若点在直线上，那么下一个点就在双曲线上，且；若点在双曲线上，那么下一个点就在直线上，且，根据规则，点的坐标为 ．无限进行下去，无限接近的点的坐标 ． 【答案】 【分析】先根据题意求出从而可以求出的坐标，从而求出，， ，的坐标，可以发现结合函数图像可知此时这个点列慢慢的向一次函数与反比例函数的交点靠近，则无限进行下去，无限接近的点的坐标即为一次函数与反比例函数的交点，由此求解即可． 【详解】解：∵点满足一次函数解析式，即点在直线上， ∴点的横坐标为1且点在反比例函数上， ∴点的纵坐标为， ∴点的纵坐标为3，且点在直线上， ∴点的横坐标为5， ∴点的坐标为， 同理点的坐标为，， ，， 结合函数图像可知此时这个点列慢慢的向一次函数与反比例函数的交点靠近， ∴无限进行下去，无限接近的点的坐标即为一次函数与反比例函数的交点， 联立， 解得或（舍去）， 故答案为：，． 3．（2024·四川成都·二模）对于自变量x的不同的取值范围有不同的解析式的函数，我们称之为分段函数，它是一个函数，而不是几个函数，习惯上，我们会把每段的自变量的取值范围写在该范围内满足的解析式后面．现有分段函数（其中m是常数，且），该函数的图象记为G．当时，图象G与x轴的交点坐标为 ；若直线与G恰有两个交点，则m的值为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质综合，熟练掌握二次函数与直线、坐标轴的交点求法是解题的关键．令，即可求出图象与轴的交点坐标；根据两个二次函数的特征及整个图象是分轴两侧且开口相反的图象可得有两个交点即直线恰好过两个二次函数图象其中一个的顶点，即可解答． 【详解】解：当时，函数， 令，则，， 解得：，， ∵， ∴， 方程中，， 即方程无解， ∴当时，图象G与x轴的交点坐标为； ∵， ∴函数的顶点为， ∵， ∴函数的顶点为， 当或时，直线与G恰有两个交点， 由，解得， 由，解得， ∴若直线与G恰有两个交点，则m的值为或， 故答案为：；或． 4．（2023·四川成都·模拟预测）一个玻璃杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线，为同一抛物线的一部分，，都与水平地面平行，当杯子装满水后，，液体高度，将杯子绕倾斜倒出部分液体，当倾斜角时停止转动．如图2所示，此时液面宽度为 cm，液面到点所在水平地面的距离是 cm 【答案】 【分析】本题考查了二次函数，一次函数在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系和待定系数法求解析式是解题的关键． 以的中点为原点，直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，得出，，，的坐标用待定系数法求抛物线的解析式；将杯子绕倾斜倒出部分液体，当倾斜角时停止转动，所以旋转前与水平方向的夹角为，即，求出与轴的交点坐标，把点、代入求出直线的解析式，水面到平面的距离实际就是点到直线的距离，过点作的垂线交于点，过点作轴的平行线，交直线于点，根据题意可得 是等腰直角三角形，由此可得出点的坐标，用两点间的距离公式求出点到的距离． 【详解】解：如图1，以的中点为原点，直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系， 由题意得：，，，， 设抛物线的解析式为：， 将，，代入得：， 解得：， ； 根据题意可知，， 设与轴的交点坐标， 是等腰直角三角形， ， ， 直线的解析式为：， 令， 解得（舍）或， ． ， 水面到平面的距离实际就是点到直线的距离，如图1，过点作的垂线交于点， 过点作轴的平行线，交直线于点， 是等腰直角三角形， ， ． ． 过点作于点， 是的中点，且， ， ． ． 故答案为：，． 5．（2023·四川成都·一模）如图，反比例函数的图形过点A，反比例函数的图象与直线交于点B，C，已知，则 ；过点A分别作y轴和x轴的平行线，分别交反比例函数的图象于点D和E，连接交y轴于G，连接交x轴于点F，当的面积为1时， ．    【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何综合，求一次函数解析式，三角形面积的计算，相似三角形的判定与性质，延长交x轴于点N，过点B作轴于点M，证明，得出，求出，设点且，则，，求出点B的坐标，从而得出点C的坐标，求出直线的解析式，得出，求出直线的解析式，得出，根据面积列式求解即可得到答案； 【详解】解：延长交x轴于点N，过点B作轴于点M，如图所示，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点且，则，， ∵， ∴， ∴， ∴点坐标为 ∵、两点是正比例函数图象与反比例函数图象的两个交点， ∴与关于原点对称， ∴点坐标为， 设直线的解析式为，把，代入得， ，解得：， ∴的解析式为：， 把代入得，， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得， ，解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得，， 解得：， ∴， ∵的面积为1， ∴， 即：， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：，． 6．（2023·四川成都·二模）在某函数的给定自变量取值范围内，该函数的最大值与最小值的差叫做该函数在此范围内的界值．当时，一次函数的界值大于3，则k的取值范围是 ；当时，二次函数的界值为2，则 ． 【答案】 或 【分析】①根据时，y随x的增大而增大，根据最大值减最小值大于3列不等式解答即可；②先求得二次函数的对称轴，得到函数的增减性，分情况讨论，根据二次函数的界值为2列方程解答即可． 【详解】解：当时，一次函数的界值大于3， ∴， ∵，y随x的增大而增大， ∴时，，时，， ∴， ∴； ∴， 当时，，当时，，当时，， ①当时，， 此时，当时，y取最小值，当时，y取最大值， ∴，， ∴， 解得（舍去）； ②当时，， 当时，，， ∴，解得或（舍）； 当时，，， ∴，解得或（舍）； ③当时，， ，， ∴，解得（舍）； 综上所述，t的值为或． 故答案为：；，． 7．（2023·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，若，则 ；若，则m的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】若，先求二次函数的对称轴，再利用二次函数的对称性对称两点的横坐标之和的一半等于对称轴横坐标即可解答；若，分两种情况：当对称轴在y轴右侧时，当对称轴在y轴左侧时，结合二次函数图象的特性分别进行解答即可． 【详解】解：二次函数图象开口向上，对称轴是直线， ①∵， ∴点P、Q关于对称轴对称， ∴，解得； ②∵抛物线与y轴的交点为，当时，或， ∴与关于对称轴对称， 当对称轴在y轴右侧时，， ∵， ∴，且， 解得； 当对称轴在y轴左侧时，，此时， P、Q两点都在对称轴的右侧，y的值随x值增大而增大， ∵， ∴， 解得； ∴综上，m的取值范围是或． 故答案为：；或． 8．（2023·四川成都·二模）某投球发射装置斜向上发射进行投球实验，球离地面的高度（米）与球运行时间（秒）之间满足函数关系式，该装置的发射点离地面10米，球筐中心点离地面35米．如图，若某次投球正好中心入筐，球到达球筐中心点所需时间为5秒，那么这次投球过程中球离地面的高度（米）与球运行时间（秒）之间满足的函数关系式为 ．（不要求写自变量的取值范围）；我们把球在每2秒内运行的最高点离地面的高度与最低点离地面的高度的差称为“投射矩”，常用字母“”表示．那么在这次投球过程中，球入筺前的取值范围是 ．    【答案】 【分析】由题意可知该二次函数过点，，再利用待定系数法即可求出其解析式；由（1）可知，再根据的取值范围，分别列出，，时的方程式，综合得出的取值范围． 【详解】解：如图，    由题意可知，． 则， 解得：， 球离地面的高度（米）与球运行时间（秒）之间满足的函数关系式为； 整理可得 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为 当， 当， 当时， 综上，的取值范围为 故答案为：①② 9．（2023·四川成都·一模）如图，一段抛物线：，记为，它与轴交于点，，将绕点旋转得，交轴于点，则抛物线的解析式为，将绕点旋转得，交轴于点，则抛物线的解析式为： ；……如此进行下去，直至得，若在第23段抛物线上，则 ． 【答案】 【分析】（1）根据抛物线，求出，再利用旋转的性质得到、，结合二次函数交点式即可求出抛物线的解析式； （2）由（1）规律推出抛物线与x轴左侧的交点坐标为，右侧的交点坐标为，且当n为奇数时，图象开口向上，当n为偶数时，图象开口向下，从而得到抛物线与轴的交点为、，图象开口向上，将代入抛物线解析式即可求出的值． 【详解】解：（1）抛物线：， 抛物线与轴的交点为：、， ，， 将绕点旋转得，交轴于点， ， ， ， 抛物线的解析式为， 将绕点旋转得，交轴于点， ， 抛物线的解析式为， 故答案为：； （2）由（1）得：，抛物线与轴的交点为：、，图象开口向上； 抛物线与轴的交点为：、，图象开口向下； 抛物线与轴的交点为： 、，图象开口向上； …… 由此发现，抛物线与x轴左侧的交点坐标为，右侧的交点坐标为，且当n为奇数时，图象开口向上，当n为偶数时，图象开口向下， ∴抛物线与轴的交点为、，图象开口向上， ∴抛物线的解析式为， ∵在第23段抛物线上， ∴， 解得： 故答案为：． 10．（2024·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，，，三点都在抛物线上．若，则的取值范围是 ；若无论取任何实数，点，，中都至少有两个点在轴的下方，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线与轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据抛物线的解析式求出开口方法和对称轴，根据抛物线的性质可得、在对称轴的左侧，在对称轴的右侧，且点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，据此列出不等式，即可求出的取值范围；根据题意可得当抛物线与轴没有交点或只有一个交点时，无论取任何实数，点，，中都至少有两个点在轴的下方，结合抛物线的顶点坐标可得，求出，当抛物线与轴有两个交点，且两个交点的距离小于时，无论取任何实数，点，，中都至少有两个点在轴的下方，结合一元二次方程的性质求出，据此列出不等式，求出，即可得出的取值范围． 【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴是直线， 即点到对称轴距离越大，其函数值越小； ∵， ∴、在对称轴的左侧，在对称轴的右侧，且点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， 即， 解得：． ∵， 即抛物线的顶点坐标为； ∵抛物线无论取任何实数，点，，中都至少有两个点在轴的下方， 故当抛物线与轴没有交点或只有一个交点时，无论取任何实数，点，，中都至少有两个点在轴的下方， 此时， 即； 当抛物线与轴有两个交点，且两个交点的距离小于时，无论取任何实数，点，，中都至少有两个点在轴的下方， 设抛物线与轴交点横坐标为、， ∴，， 故， ∵， 即， 解得：， 综上，． 故答案为：，． 11．（2024·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系中，点，中，，，则点的坐标为 ；若点，分别是的边，上的动点，且，当的值最小时，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】作轴于点D，则，求出，得到，则点D的坐标是，即可得到点B的坐标是，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，作轴于点H，则，证明，得到，进一步得到点C的坐标为，连接交于点P，连接，求出直线的函数解析式和直线的解析式，联立求出点P的坐标为，证明，则，当点E与点P重合时，取得最小值，当的值最小时，点的坐标为． 【详解】解：作轴于点D，则， ∵点，中，，， ∴ ∴ ∵， ∴，解得， ∴， ∴点D的坐标是， ∴点B的坐标是， 将线段绕点A逆时针旋转得到线段，作轴于点H，则， ∵ ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点C的坐标为， 连接交于点P，连接， 设直线的函数解析式为， 则，解得， ∴， 设直线的解析式为， ， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得到，解得， ∴点P的坐标为， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴当点E与点P重合时，取得最小值， ∴当的值最小时，点的坐标为， 故答案为：， 12．（2023·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，、、、…、均为等腰直角三角形，且，点、、、…、和点、、、…、分别在正比例函数和的图象上，且点、、、…、的横坐标分别为1，2，3…n，线段、、、…、均与轴平行，按照图中所反映的规律，则的顶点的坐标是 ；线段的长是 ．（其中为正整数） 【答案】 / / 【详解】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，规律型－图形的变化类，两点间的距离．正确求出、、、的坐标是解题的关键．先求出，，得出，根据等腰直角三角形的性质求出的坐标，再分别求出、、的坐标，得出规律，进而求出的坐标；分别计算线段、、的长度，从而得出线段的长． 【分析】解：时，，， ，， ， 为等腰直角三角形， 的横坐标是，的纵坐标是， 的坐标是； 时，，， ，， ， 为等腰直角三角形， 的横坐标是，的纵坐标是， 的坐标是； 同理，可得的坐标是；的坐标是； 的顶点的坐标是； ； ； ， … ， 故答案为：；． 13．（2024·四川成都·一模）已知一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A，B．点P在该函数的图象上，P到x轴、y轴的距离分别为．定义：坐标轴距离．若一次函数的关系式为，则（1）当时，点P的横坐标为 ；（2）当点P在直线上运动时，d的最小值为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象与性质． （1）设点的横坐标为，则点的纵坐标为，根据，可列出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设点的横坐标为，则点的纵坐标为，根据题意得：， 再进行分类讨论，即可求出的最小值． 【详解】解：（1）设点的横坐标为，则点的纵坐标为， 根据题意得：， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，， 解得：． 综上所述，点的横坐标为或． 故答案为：或． （2）设点的横坐标为，则点的纵坐标为， 根据题意得：， 当时，， 当时，， 当时，有最小值，为， 当时，， 综上所述，d的最小值为． 故答案为：． 题型二：新定义类双空问题★★★ 1．（2025·四川成都·一模）若二次函数 满足∶ 当时，，则称这个二次函数是上的“封闭二次函数”．已知是上的“封闭二次函数”，且图象过点和，则 ；若二次函数是上的“封闭二次函数”，其图象过点和，则a的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查二次函数图象及性质，依据题意结合函数增减性及最值思考是解决本题的关键．根据题意把和代入相减得到，求出结果即可；把和代入求出解析式为，继而得到对称轴为，再分为和，根据题意分情况讨论即可得到本题答案． 【详解】解：把和代入可得：， 两式相减得， 即， ∵， ∴； 把和代入得， 解得：， ∴， ∴抛物线的对称轴是直线， 当时，则， 若时，即， 在范围内，y随x的增大而减小， 则当时，取最大值，最大值为； 当时，y取最小值，最小值为； 即此时在范围内，，满足“闭函数”的定义； 当，即， 最大值为时，y有最大值，最大值大于，不满足“闭函数”的定义； 当时，则， 若时，即， 在范围内，y随x的增大而减小， 则当时，取最大值，最大值为； 当时，y取最小值，最小值为； 即此时在范围内，，满足“闭函数”的定义； 当，即， 最大值为时，y有最大值，最大值大于，不满足“闭函数”的定义； 综上所述，a的取值范围为或． 2．（2024·四川成都·三模）对于平面直角坐标系中的点P和线段，其中、两点，有如下定义：若在线段上存在一点Q，使得P，Q两点间的距离小于或等于1，则称P为线段AB的“附庸点”．在点，，中，线段的“附庸点”是 ；在直线上存在线段的“附庸点”M，N，且，则b的取值范围是 ． 【答案】 ， 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，两点间距离公式等知识，分别求出，，到线段最短距离，然后根据“附庸点”定义判断即可；设，，不妨设，根据可求出，，则M，N的纵坐标之差为2，横坐标之差为1，由直线上存在线段的“附庸点”M，N，得出M的纵坐标最小值为，N的纵坐标最大值为1，然后求出分别经过，时，对应b的值即可求解． 【详解】解：∵、， ∴到线段最短距离为， 到线段最短距离为， 到线段最短距离为， ∴线段的“附庸点”是，； 设，，不妨设， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴M，N的纵坐标之差为2，横坐标之差为1， ∵直线上存在线段的“附庸点”M，N， ∴M的纵坐标最小值为，N的纵坐标最大值为1， ∴当直线经过时，b取最大值，此时，∴； 当直线经过时，b取最小值，此时，∴； ∴b的取值范围为． 故答案为：，；． 3．（2024·四川成都·模拟预测）定义：若x，y满足，（k为常数），且，则称点为“优点”．若是“优点”，则 ；若抛物线上至少存在一个“优点”，则的取值范围为 ． 【答案】 6 【分析】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征以及新定义问题，根据“优点”定义得出，进而计算即可得出的值，求出直线解析式，根据二次函数的性质并结合题意，计算即可得答案，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：由“优点”定义可知，， 解得或6． 由题意可知，． ∴． ∴． ∴，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴直线上的点都是“优点”． 对于直线，当时，；当时，． 设，． 由题意可知，抛物线上至少存在一个“优点”，即转化为抛物线与直线至少有一个交点． 如图1，当抛物线与有且只有一个交点时，联立， 整理，得． ∴． 解得， 此时取得最小值． 如图2，当抛物线过点A时，． 解得， 此时取得最大值． ∴的取值范围为． 故答案为6，． ． 4．（2023·四川成都·三模）在平面直角坐标系中，对封闭图形和不重合的两点，给出如下定义：点关于点的中心对称点为，若点在图形内（包含边界），则称图形为点经点投射的“靶区”．如图，拋物线与轴的交点A，位于原点两侧（点A在点的左侧），且，则抛物线的函数表达式为 ，记轴上方的拋物线与轴所围成的封闭图形为，点为轴上一动点，若直线上存在点，使得图形为点经点投射的“靶区”，则的取值范围是 ．    【答案】 ； 且． 【分析】由，以及抛物线的对称轴，可得出点的坐标，进而求出函数表达式；求出直线关于轴的对称直线，再由对称直线与封闭图象的交点，可求出的取值范围． 【详解】解：由题知， 抛物线的对称轴为， 令，又，两点关于对称， 所以，则． 所以，． 又， 所以，得． 故． 将点坐标代入抛物线解析式得，，则． 所以抛物线的函数表达式为． 直线关于轴的对称直线为，    记直线与封闭区域的交点为，， 则，解得或． 故． 所以的取值范围是且． 故答案为：，且． 5．（2023·四川成都·三模）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图象的“阶方点”，例如，点是函数图象的“阶方点”；点是函数图象的“2阶方点”．在①；②；③三点中，是反比例函数图象的“1阶方点”的有 （填序号）；若关于的二次函数图象的“阶方点”一定存在，则的取值范围是 ． 【答案】 ②③ 【分析】根据定义进行判断即可；在以点为中心，边长为的正方形中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数的图象的“阶方点”一定存在，结合函数图象求解即可． 【详解】到坐标轴的距离分别是，，， 不是反比例函数图象的“1阶方点”； 到坐标轴的距离分别是，，， 是反比例函数图象的“1阶方点”； 到坐标轴的距离分别是，，， 是反比例函数图象的“1阶方点”； 故答题空1的答案为：②③． 在以点为中心，边长为的正方形中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数的图象的“阶方点”一定存在，如图    设，，，， 当抛物线经过点时，；当抛物线经过点时，（舍去）或； 当时，二次函数图象的“阶方点”一定存在． 故答题空2的答案为：． 6．（2024·四川成都·一模）若二次函数满足：当时，，则称这个二次函数是上的“封闭二次函数”．已知是上的“封闭二次函数”．且图象过点和，则 ；若二次函数是上的“封闭二次函数”，其图象过点和．则的取值范围是 ． 【答案】 4 或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．代入点和到，得到，将两个等式相减，整理可得，结合即可求出的值；代入点和到，得到二次函数的解析式为，进而得出二次函数的对称轴为，再根据题意分和两种情况讨论即可解答． 【详解】解：代入点和到，得， 得，， 整理得：， 又， ，即； 代入点和到，得， 解得：， ， 二次函数的对称轴为， 若，则二次函数开口向上， 二次函数是上的“封闭二次函数”， ， 解得：； 若，则二次函数开口向下， 二次函数是上的“封闭二次函数”， ， 解得：； 综上所述，的取值范围为或． 故答案为：4；或． 7．（2024·四川成都·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，为坐标原点，任意两点、，称的值为、两点的“直角距离”．若，则，的“直角距离”为 ；若，为直线上任意一点，则，的“直角距离”的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，绝对值的几何意义，二次根式的计算，正确理解题意是解题的关键．根据“直角距离”的定义进行求解即可得出，的“直角距离”；设点Q的坐标为，根据题意得到P，Q的“直角距离”为，据此即可得出，的“直角距离”的最小值． 【详解】解：∵，， ∴，的“直角距离”为 设点Q的坐标为， ∴，的“直角距离”为， ∴当时，， 当时，； 当时，； ∴综上所述，的最小值即为， ∴，的“直角距离”的最小值为， 故答案为：，． 8．（2024·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，点，点，点，点，为四边形边上一点．对于点给出如下定义：若，，点在x轴下方，点关于原点的对称点为Q，我们称点Q为点P关于点M为直角顶点的“变换点”；则P关于点B为直角顶点的“变换点”坐标为 ；若直线（）上存在点P关于点M为直角顶点的“变换点”，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据定义即可求出P关于点B为直角顶点的“变换点”R坐标，求得P关于点A为直角顶点的“变换点”坐标为，同理，点P关于点D为直角顶点的“变换点”坐标为，点P关于点C为直角顶点的“变换点”坐标为，点关于点为直角顶点的“变换点”的轨迹为正方形，可求直线经过定点，使直线与正方形的边有交点，即可求解． 【详解】解：如图，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，关于原点对称， ∴， ∴P关于点B为直角顶点的“变换点”坐标为； 如图，，，过点作轴于点， ， ， ， ， ∴， 在和中 ， （）， ，， ， ， 点关于原点的对称点为， ，即：P关于点A为直角顶点的“变换点”坐标为， 同理，点P关于点D为直角顶点的“变换点”坐标为， 点P关于点C为直角顶点的“变换点”坐标为， 如图，点关于点为直角顶点的“变换点”的轨迹为正方形， 直线上存在点关于点为直角顶点的“变换点”， 直线与正方形的边有交点， 当时，， 解得：， 直线经过定点， （ⅰ）当直线经过时， ， 解得：； （ⅱ）当直线经过时， ， 解得：； 综上所述：． 故答案为：，． 9．（2024·四川成都·二模）对于平面直角坐标系中的点，若，满足，则点就称为“奇妙点”．若是“奇妙点”，则 ；已知一次函数（为常数）图象上有一个“奇妙点”的坐标是，则一次函数图象上另一 “奇妙点”的坐标是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查新定义下的一次函数的应用，掌握一次函数解析式的求法并理解新定义的计算方法是本题关键．先根据新定义可得，可得的值，把所给点代入，求解，再根据奇妙点定义求出两个奇妙点即可． 【详解】解：∵是“奇妙点”， ∴， 解得：或， 由点在一次函数图象上得：， 解得：， 故有：， 由奇妙点的定义得：， ∴， 解得：或 当时，；当时， 故另一奇妙点的坐标为， 故答案为：或；． 10．（2023·四川成都·一模）学习了平面直角坐标系后，初二（1）班的同学组成了数学课外小组，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点处，其中，，当时，，其中表示非负实数a的整数部分，例如：，．按此方案，第6棵树种植点为 ；第2024棵树种植点为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标中点的坐标规律，根据新定义得出的值，找到规律，即可求解． 【详解】解：∵，， ，……，， ∵ 当，11，16，时，， 当等于其余大于等于2的正整数时，均等于0， ， ， ． ∴第6棵树种植点为， ∵， ，， 第2024棵树种植点为 故答案为：，． 题型三：几何类双空问题★★★★ 1．（2022·四川成都·二模）如图，在中，．若点为平面上一个动点，且满足，则线段长度的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 【分析】根据题意进行分类讨论，即当点D在AC右侧时，点D在上运动；当点D在AC左侧时，点D在上运动，再分别计算即可． 【详解】①如图， 以AC为底边，在AC的右侧作等腰三角形AOC，使 则 以O为圆心，以CO长为半径画优弧，连接BO交于点E 则当点D在AC右侧时，点D在上运动 过点O作于F 过点O作于M 四边形MCFO为矩形 在中， 当点D于点E不重合时， 当点D于点E重合时， 当B、D、O三点共线时（此时，点D与E重合），BD有最小值为 ②如图， 以AC为底边，在AC的左侧作等腰三角形AC，使 则 以为圆心，以C长为半径画优弧，连接B并延长交于点E 则当点D在AC左侧时，点D在上运动 过点O作于F 同①可求 在中， 当点D于点E不重合时， 当点D于点E重合时， 当B、D、O三点共线时（此时，点D与E重合），BD有最大值为 故答案为：，． 2．（2024·四川成都·二模）如图，在矩形中，，，点E是边上一点，，分别在边上取点M，N，将矩形沿直线翻折，使得点B的对应点恰好落在射线上，点A的对应点是，那么折痕的长为 ；连接，线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、勾股定理、折叠问题等知识，过点M作于点H，则，证明四边形是矩形，求出 ，，证明，则，即可得到的长，作直线，作于点T，得到,根据垂线段最短，当点落在点T时，即于重合时，取得最小值，即为的长，延长交直线于点R，设与相交于点Q，证明四边形是平行四边形，则，于点Q，证明，得到，即可得到的长，得到答案． 【详解】解：过点M作于点H，则， ∴ ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵将矩形沿直线翻折，使得点B的对应点恰好落在射线上， ∴，设垂足为点S， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 解得，, 作直线，作于点T， ∵，， ∴, 根据垂线段最短，当点落在点T时，即于重合时，取得最小值，即为的长，延长交直线于点R，设与相交于点Q， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ， ∴，于点Q， ∵， ∴, ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 即线段的最小值为 故答案为：， 3．（2024·四川成都·一模）如图1，以矩形的宽为边在其内部作正方形，若，则称矩形为“黄金矩形”，称为“黄金比率”．如图2，以矩形的宽为边在其内部作两个正方形，，若，则称矩形为“白银矩形”，称为“白银比率”，则该比率为 ；如图3，A4纸的长与宽的比值近似可以看作，若沿某条直线裁剪一次，使得纸剩下部分为一个“白银矩形”，则该“白银矩形”的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是黄金矩形、矩形的性质，理解题意是解题的关键． 设，由“黄金比率”得，进而得出，然后得出即可；设“白银矩形”的宽为x，根据白银比率列出分式方程求出“白银矩形”的宽，然后求面积即可． 【详解】解：设，由“黄金比率”得， ， ， ； 若“白银矩形”长为，则设“白银矩形”的宽为x， ， 解得：， 则该“白银矩形”的面积是． 故答案为：；． 4．（2023·四川成都·模拟预测）在数学“折向未来”的活动课上，小明用如图所示的长方形纸片折四边形，，点E，G分别是边上的中点，点F，H分别是边上的点，且，连接．将，分别沿，翻折，点B的对应点为点，点D的对应点为点，当点落在线段上时，则 cm；当点在内部时，连接，若为直角三角形，则四边形的面积为 ． 【答案】 或 【分析】当点B′落在线段上时，如图1，先证明，再利用勾股定理可得的长，从而得的长即可；当点B′在内部时，若为直角三角形，存在两种情况：①如图3，，根据平行四边形的面积=底×高可得结论；②如图4，，由图1可知此时在上，在上，根据矩形的面积=长×宽可得结论． 【详解】当点落在线段上时，如图1， 由折叠得：， ∵点E，G分别是边上的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 由勾股定理得：， ∵E是的中点， ∴， ∴； 如图2，连接， ∵， ∴， ∴， 由折叠得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 当点在内部时，若为直角三角形，存在两种情况： ①如图3，， ∵， ∴， ∵， ∴共线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，同理得：， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴四边形的面积为． ②如图4，，由图1可知此时在上，在上， ∴， ∴四边形的面积为． 故答案为：，或． 5．（2024·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系中，点B与点D分别在x轴、y轴上，正方形与正方形的边长分别为6和4，正方形绕点O旋转，当F落在y轴正半轴上时， ，当C，G，F三点共线时，的长为 ． 【答案】 或 【分析】根据已知可知，根据距离公式求解即可；求的长分两种情况：画出图形求解即可． 【详解】解：正方形与正方形的边长分别为6和4， 如图： 则， 当正方形绕点O旋转，当F落在y轴正半轴上时， ∴平分， ∴， 设， 则， ∴， ∴， ∴， 整理得：； 当C，G，F三点共线时，分两种情况： ①如图： 作于M，的延长线于K，连接， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， 设， 则， ∴， 在中，由勾股定理可得， 即， 解得：或（舍去） ∴， ∵为正方形对角线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图：作于M，的延长线于K，连接， ∴四边形为矩形， 同理可证明四边形为正方形， 设，则， ∴， ∴在中，由勾股定理可得，，， 解得：或（舍去）， ∴，即， ∵为正方形对角线， ∴， 同理再证明， ∴， 综上所述：或， 故答案为：；或． 6．（2024·四川成都·一模）如图，在矩形中，，，E，F分别为边的中点．动点P从点E出发沿向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿向点C运动，连接，过点B作于点H，连接．若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段长度的最大值为 ，线段长度的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，梯形的中位线的性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．连接交于M，连接，取的中点O，连接，，过点O作于N．首先利用相似三角形的性质证明，推出，，当点P与A重合时，的值最大，解直角三角形求出即可解决问题． 【详解】连接交于M，连接，取的中点O，连接，，过点O作于N．    ∵四边形是矩形， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ， ∵ ∴ ∴ 当点P与A重合时，的值最大， 此时 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∵ 由于M和B点都是定点，所以其中点O也是定点，当垂直于时，共线，此时最小， ∴的最小值为 故答案为： 7．（2024·四川成都·三模）如图，长方形中，，点、分别为线段、上动点，且，点是线段上一点，且满足，四边形关于直线对称后得到四边形，连接，当 时，点与点重合，在运动过程中，线段长度的最大值是 ． 【答案】 3 / 【分析】本题考查了轴对称的性质、勾股定理的应用，当与点 重合时，设，则，，在中，由勾股定理得：即可解决；根据图形取中点，通过分析可知只有当、、 三点共线时，长度最大，利用勾股定理解决即可． 【详解】解：当与点 重合时， 如图： 由于对称：，， 设，则，， 在中， 由勾股定理得：； ， 则； 如图：取中点， ， 由题意知，无论如何变动，经过点， 连接、、， 在△中， 四边形关于对称得到四边形， ，故只有当、、 三点共线时、长度最大， 此时， 过点作，，， 在中，，， ， 在中，， ， ， 故答案为：3；． 8．（2023·四川成都·一模）如图，在矩形中，，点E为上一点，且，点F为边上一动点，连接，过点A作于点G，连接，则的最小值为 ，连接，将绕点E顺时针旋转，得到，在点F运动的过程中，的最小值为 ． 【答案】 / / 【分析】如图所示，取中点O，连接，则由直角三角形的性质可得，再由矩形的性质和勾股定理得到，再由，可得当三点共线，且点G在线段上时，有最小值，最小值为；如图所示，将线段绕点E顺时针旋转得到，连接，证明，得到；求出，，进而推出，则，同理可得当点H在上时，有最小值，最小值为． 【详解】解：如图所示，取中点O，连接， ∵， ∴， ∵点O为中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线，且点G在线段上时，有最小值，最小值为； 如图所示，将线段绕点E顺时针旋转得到，连接， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得当M、H、C三点共线，且点H在上时，有最小值，最小值为， 故答案为：；． 9．（2024·四川成都·模拟预测）如图，有一张矩形纸片，已知，，现将纸片进行如下操作：现将纸片沿折痕进行折叠，使点落在边上的点处，点在上（如图），则 ；然后将绕点旋转到，当过点时旋转停止，则的长度为 ． 【答案】 2 【分析】连接，证四边形是正方形，得，进而得，，由勾股定理得，证明（）得，，从而点垂直平分，点垂直平分，，最后利用面积公式构造方程即可得解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵将纸片沿折痕进行折叠，使点落在边上的点处，点在上， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴， 连接， ∵将绕点旋转到， ∴，， ∵， ∴（） ∴，， ∴点垂直平分，点垂直平分， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：，． 10．（2024·四川成都·一模）已知正方形的边长为4，点P是该正方形边上一点，以P为位似中心，作正方形正方形ABCD，相似比为，则点与点B的最大距离为 ；连接，若的周长为，则的面积为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了位似，正确作出位似图形，理解位似相似性质是解题的关键， ①依据题意，根据对角线最长，当位似中心P与点D重合时，点最远，此时与点B的距离也是最大的，根据勾股定理计算即可； ②根据正方形的边长为4，点P是该正方形边上一点，以P为位似中心，作正方形正方形ABCD，相似比为，得到正方形得边长为2，得到，设，则，根据，列式计算即可． 【详解】解：如图，当位似中心P与点D重合时，点最远，此时与点B的距离也是最大的． ∵正方形的边长为4，点P是该正方形边上一点，以P为位似中心，作正方形∽正方形，相似比为， ∴正方形的边长为2． ∴． 故答案为：； ∵正方形的边长为4，点P是该正方形边上一点，以P为位似中心，作正方形正方形ABCD，相似比为， ∴正方形的边长为2， ∴， 设，则， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴的面积为． 故答案为：． 11．（2022·四川成都·一模）如图，在四边形中，对角线互相垂直平分，点，Q分别是边，线段上的点，连接与相交于点．，且，则 ；当时，设，则的长 ．（用含a的代数式表示）．    【答案】 120 【分析】本题考查菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等，根据菱形的性质可得，再根据各角的关系得出，由含30度角的直角三角形的性质可得，进而得出，再证△ABC是等边三角形，求出，再证，推出，最后用勾股定理解即可． 【详解】解：四边形中，对角线互相垂直平分， 四边形是菱形， ，， ， ， ， ， ， 菱形中， ， ； 中，，， ， ， ， ， ，， △ABC是等边三角形， ， ，， ， ， 解得，， 如图，连接，    由菱形的性质得， 在和中， ， ， ，， ， 在中，． 故答案为：120；． 题型四：“隐圆”类双空问题★★★ 1．（2022·四川成都·模拟预测）如图，在等腰三角形中，，，点D在边上，且，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，以为边，作平行四边形，连接，则点A到线段的距离是 ，的最大值与最小值分别是 ． 【答案】 ， 【分析】求点A到线段的距离即点A到的垂线段距离，等腰三角形三线合一构建直角三角形，易求，由，继而求得，根据勾股定理即可求得的长；作点A关于的对称点O，连接，则四边形是菱形，求出的长，进而求出的长，再证明四边形是平行四边形，得到，进而得到点E在以点O为圆心，半径为2的圆上运动，则当A、O、E三点共线，且点E在下方时，有最大值，当A、O、E三点共线，且点E在上方时，有最小值． 【详解】解：过点A作的垂线，垂足为F， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， 根据勾股定理得：； ∴点A到线段的距离是， ∴， 如图所示，作点A关于的对称点O，连接， ∵点A与点O关于对称， ∴， ∴四边形是菱形， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵四边形是菱形，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴点E在以点O为圆心，半径为2的圆上运动，则， ∴当A、O、E三点共线，且点E在下方时，有最大值， 如图，此时的交点与点F重合， 则最大值为； 当A、O、E三点共线，且点E在上方时，有最小值． 则最小值为； 故答案为：；，． 2．（2025·四川成都·一模）如图，已知的面积为，，，现先将沿某一方向平移个单位长度后得到，其中点，，，的对应点分别为，，，；再将绕点顺时针旋转后得到，其中点，，的对应点分别为，，，连接，，则线段的最大值为 ，线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形，平移，旋转，勾股定理的知识，解题的关键是掌握平行四边形的性质，平移和旋转的性质，勾股定理的运用，根据题意，过点作交于点，连接，根据平行四边形的性质，勾股定理的运用，求出，；以点为圆心，半径为画圆，为，由题意得，沿某一方向平移个单位长度后得到，则在上运动，连接，，；根据三角形三边的关系，当，，三点共线且在，的中间，此时有最大值，即可；过点作且，以点为圆心，半径为画圆，连接并延长交于于点，根据勾股定理求出，；根据三角形三边的关系，当与重合时，此时有最小值，即可． 【详解】解：过点作交于点，连接， ∵平行四边形的面积为 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 以点为圆心，半径为画圆，为， ∵沿某一方向平移个单位长度后得到， ∴在上运动，连接，，， 在中，， ∴当，，三点共线且在，的中间，此时有最大值为； ∴的最大值为； 过点作且， 以点为圆心，半径为画圆，连接并延长交于于点， ∵，， ∴， ∵点在上运动，， ∴在上运动， 在中，， ∴当与重合时，此时有最小值为， ∴的最小值为． 故答案为：；． 3．（2024·四川成都·二模）如图，在菱形中，，，，分别是边，上的两个动点，满足，与交于点．的度数为 ；当最大时，线段的长是 ． 【答案】 /60度 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，轨迹，切线等知识．证明，推出，推出．由，推出点的运动轨迹是，设圆心为，连接，，．求出是切线时的长即可． 【详解】解：如图， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， 点的运动轨迹是， 设圆心为，连接，，． ，， 垂直平分线段， ，，，， ， ， 当与相切时，的值最大，此时． 故答案为：，． 4．（2022·四川成都·二模）如图，为等腰的中位线，且将△ADE绕点A顺时针旋转，直线与直线交于点，在这个旋转过程中，的最大值为 ，点运动的路径长为 ． 【答案】 【分析】如图中．设与交于，证明≌，推出，可证，推出当最小时，的值最大，在判断出点的运动轨迹，利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图中．设与交于， ，，点、分别是、的中点， ，， ， 在和中， ， ≌， ， ，， ， ， 当最小时，的值最大， 在中，由勾股定理得：， 在中，斜边一定，当最小时，最大， 当最小时，最小，而， 当最大时，最小，此时， 在中，，， ， ，， 四边形是正方形， ， ， 存在最大值为， 如图2，取的中点为，连接、， ， 点在以为直径的圆上运动， ， 当时，， ， ，， 将绕点A顺时针旋转， 点在以点为圆心，长为半径的圆上运动的轨迹为弧， 点运动的路径长为：， 故答案为：，． 题型五：尺规作图解几何问题★★★★★ 1．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在菱形中，，E是边上的一点，连接，按下列步骤作图：① 以点A为圆心、适当的长为半径作弧，分别交于点M，N；② 以点D为圆心、的长为半径作弧，交于点；③ 以点为圆心、的长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；④ 过点作射线交于点F．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、尺规作图—作一个角等于已知角．由菱形的性质得出，证明，再由相似三角形的性质，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， 由作法得：， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在△ABC中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点；④过点作于点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图（作已知角的角平分线）．也考查了角平分线的性质． 过D点作于H，首先根据，可得，在中，求出，然后根据角平分线的性质可得． 【详解】解：如图所示，过D点作于H， ∵， ∴， ∴， 由作图可得，平分 ∵，， ∴． 故答案为：． 3．（2024·四川成都·二模）如图，在中，，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于之长为半径作弧，两弧相交于点P，射线交边于点D，若，，则的长为 ． 【答案】30 【分析】本题考查作图﹣基本作图以，解直角三角形，角平分线的性质，解答本题的关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等及灵活解直角三角形．过点D作于E，根据角平分线的性质求得，在中，解直角三角形求得，，在中，解直角三角形即可求出． 【详解】解：过点D作于E， ∵平分，， ∴， 在中，， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：30． 4．（2022·四川成都·模拟预测）如图，在△ABC中，，，，按一下步骤作图：①以点C为圆心，长为半径作弧，交于点D；②分别以点A和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线交于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了作图﹣复杂作图，勾股定理的逆定理，勾股定理，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．利用基本作图得到，于，由勾股定理逆定理证得，由三角形的面积公式求出，利用勾股定理计算出，即可计算出． 【详解】解：，， ， ， 由作法得垂直平分， ， ， ， 在中，， ． 故答案为：． 5．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点E，连接，若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查基础作图的方法，平行四边形的性质和勾股定理，熟练掌握基本作图作角平分线的方法，平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键； 根据题意可知，根据平行四边形的性质得到， ，利用勾股定理逆定理求得为直角三角形，证明，进而求解； 【详解】解：根据作法可知，平分， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 在中，，，， ， 为直角三角形， ， ， ， 在中，， 故答案为： 6．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，，按下列步骤作图：①分别以点A、B为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交于点M、N；②作直线交于点D，交于点E，连接；③以点D为圆心，的长为半径作弧，交直线于点F，连接，．若，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，求出的长是解题关键．由作图知，垂直平分，，从而得出是等腰直角三角形，求得，再由得出，进而得到，设，利用勾股定理列方程求解，即可得到的长． 【详解】解：由作图知，垂直平分，， ，，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：，即 故答案为：． 7．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，按下列步骤作图：①以点D为圆心、适当的长为半径作弧，分别交于点M，N；②分别以点M，N为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O；③作射线，交于点E.若，，则的周长为 ．    【答案】28 【分析】本题主要考查了角平分线的做法、平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识点，掌握角平分线的作法成为解题的关键． 由尺规作图可得是的平分线，即；再根据平行四边形的性质及等于三角形的性质可得，进而得到，最后根据平行四边形的周长公式求解即可． 【详解】解：由题意可知，是的平分线， ∴， ∵中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴的周长为． 故答案为28． 8．（2024·四川成都·二模）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，长为半径画弧，交于点D；②再分别以C，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点E；③作射线交于点F．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查尺规作图−垂直平分线、垂直平分线的性质、勾股定理，根据题意可得，，求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由作图得：，， ∴， 在中，， 在中，， 故答案为：． 9．（2024·四川成都·三模）如图，在△ABC中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧交于点；③作射线交于点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作于，作于，由题目作图知，是的平分线，则，证明是等腰直角三角形，进而求解． 本题考查的是作图复杂作图，角平分线的性质，解直角三角形，等腰直角三角形的性质等，解决本题的关键是掌握角平分线的作法． 【详解】解：如图，过点作于，作于， ， 是等腰直角三角形， ， ， 由作图可知：平分， ， 中，， ， ． 故答案为：． 10．（2024·四川成都·三模）如图，在△ABC,∠B=90°，D为中点，按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长为半径画弧，交于点E，F；②分别以E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的外部交于点；③作直线交于点H．若,，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了尺规作垂直平分线，垂直平分线的性质，勾股定理，二次根式的化简， 首先得到垂直平分，然后利用勾股定理求出，，，进而求解即可． 【详解】根据作图可得，垂直平分 ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 11．（2024·四川成都·三模）如图，在△ABC中，，分别以点 A和点 B为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于 M，N两点，作直线，分别交于点 D，E，连接． 若，则等于 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，直角三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．根据题意，由垂直平分线的性质和直角三角形的性质，求出，然后求出的度数． 【详解】解：根据题意，垂直平分， ∴点D是的中点，， 在△ABC中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 12．（2024·四川成都·二模）如图，在△ABC中，按以下步骤操作：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②以点C为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点E，F；③分别以E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点O；④作射线，交直线于点P，连接．若，，则 ． 【答案】/21度 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，为的平分线，可得，，即，结合三角形内角和定理可得，进而可得答案． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，为的平分线， ∴，， ∴． ∵， 即， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（2024·四川成都·二模）如图，，，在的三边上，若把△ABC的周长成两条等长的折线，即，则三线相交于点，此点称为三角形的“界心”，亦称“奈格尔点”．当且为等边三角形时，长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理解直角三角形，掌握勾股定理解直角三角形是解题关键． 已知 可拆解分析得出：，，， 可得出：，，．又因为为等边三角形，考虑等边三角形的性质，所以作出于，最后用勾股定理解直角三角形即可． 【详解】解：如图， 过点A作于． 是等边三角形， ，， 在中，设， ， ， 由可知， ，得， ，得， ， 由，得， 在中， ， ， 化简得：， 再化简得：， 解得：（不符合题意，舍去），， ． 故答案为：． 14．（2024·四川成都·二模）如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧分别交，于，两点；②以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交于点，过作交延长线于．若，，则 ． 【答案】3 【分析】由作图知，平分，得到，根据平行线的性质得出，求得，得到，作于，根据等腰三角形的性质得出，，根据相似三角形的判定与性质计算即可得出答案． 【详解】解：由作图知，平分， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 如图，作于， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$