猜押04 统计与概率和探索规律（八大题型）-2025年中考数学冲刺抢押秘籍（四川成都专用）

猜押04 统计与概率和探索规律 猜押考点 3年成都真题 考情分析 押题依据 统计与概率 2024年成都卷A卷第5题，第15题，2023年成都卷A卷第6题、第15题，2022年成都卷A卷第5题，第15题，B卷第21题。 从近年成都中考来看，统计与概率类题型都出现在成都中考数学试卷中，统计和概率在选择题中主要考查对平均数、中位数、众数、方差和求概率。在解答题中主要是对这部分知识点进行综合性考查。规律类题型在2024年的中考中出现，位于成都数学中考试卷中的B卷。 在近三年成都数学中考中都已一道选题加上一道解答题的形式出现，为近三年成都中考数学试卷的中的必考题型，所以不难想象在2025年的成都中考中，此类题型仍然是重点考查对象。此类题型难度中等，主要考查学生对平均数、中位数、众数、方差基本概念的认识和运算公式的掌握，其次就是对概率公式、列表法和树状图求概率的的使用。 探索规律 2024年成都卷B卷第21题。 题型一：数据分析之中位数及其应用★★★★★ 1．（2023·四川成都·模拟预测）九（）班学生为本班一位患重病同学捐款，捐款情况如下表： 捐款金额（元） 人数（人） 则学生捐款金额的中位数是（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】本题考查了中位数，求出全班捐款的学生人数，再根据中位数的定义解答即可求解，掌握中位数的定义是解题的关键． 【详解】解：九（）班捐款的学生人数为人， 按照从小到大的顺序排列，中位数为第位和第位捐款金额的平均数， ∴中位数为元， 故选：． 2．（2023·四川成都·三模）小明练习打靶，第一阶段，打了枪，成绩分别是，，，，则数据，，，的中位数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中位数，掌握中位数的定义是解答本题的关键．将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．根据中位数的定义解答即可． 【详解】解：数据，，，的中位数是． 故选：B 3．（2024·四川成都·模拟预测）兴趣社团内容的课后延时服务主要是学生根据自己的兴趣爱好选择相应的兴趣小组，满足学生的个性需求．在某中学的课后服务美术兴趣小组中，10名成员的年龄情况如表所示，则这个小组成员年龄的中位数是（   ） 年龄/岁 11 12 13 14 人数 1 4 3 2 A．12 B．13 C． D．14 【答案】C 【分析】本题考查了中位数，理解中位数的意义，掌握中位数的求法是正确解答的前提．根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：该校兴趣社团的人数为（人）， 将这10人的年龄从小到大排列后，处在中间位置的两个数为12，13， 因此中位数是， 故选：C． 4．（2024·四川成都·模拟预测）随着环境治理的不断深入，成都已构建起“青山绿道蓝网”生态格局．成都某地区2023年12月某五天的空气质量指数为：34，28，35，61，27，则这组数据的中位数是（    ） A．27 B．28 C．34 D．35 【答案】C 【分析】本题主要考查中位数的定义，熟练掌握中位数的定义是解题的关键．将指数从小到大依次进行排列，即可得到答案． 【详解】解：将5个数从小到大排列为：27，28，34，35，61，最中间的数为34.， 中位数为34， 故选C． 5．（2024·四川成都·一模）2023年11月17日－18日，成都东部新区首届中小学生田径运动会暨成都市第十五届运动会田径项目东部新选拔赛在成都东部新区某校隆重举行．本次运动会中，参加男子跳高的15名运动员的身高如下表所示： 身高（m） 1.70 人数 1 1 1 4 3 3 2 这些运动员身高的中位数是（    ） A． B． C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了中位数的知识，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 根据中位数的概念求解即可． 【详解】解：由数据表可得共有15名运动员，他们的身高从小到大排列此数据处在第8位的数据为为中位数． 故选：B． 6．（2024·四川成都·二模）某校为了解学生在校一周体育锻炼时间，随机调查了40名学生，调查结果列表如下： 锻炼时间/ 5 6 7 8 人数 9 13 12 6 则这40名学生在校一周体育锻炼时间的中位数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求中位数，把一组数据按照一定的顺序排列，处在最中间的那个数据或最中间的两个数据的平均数就是这组数据的中位数，据此求解即可． 【详解】解：把这40名学生的锻炼时间从低到高排列处在第20名和第21名的锻炼时间分别为，， ∴这40名学生在校一周体育锻炼时间的中位数为， 故选：B． 7．（2024·四川成都·二模）六名同学的数学成绩分别为，，，，，．这组数据的中位数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查中位数，理解中位数的意义，掌握中位数的计算方法是得出正确答案的前提． 根据中位数的定义（将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数）即可得． 【详解】解：将这组数据从小到大排列为，，，，，， 位于中间的两个数是和， ∴这组数据的中位数为， 故选：B． 8．（2023·四川成都·模拟预测）某班15位同学每周体育锻炼时间情况如下表，其中众数和中位数分别是（       ） 时间/h 5 6 7 8 人数（人） 2 6 5 2 A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】此题考查了众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），众数是一组数据中出现次数最多的数．直接根据众数和中位数的概念求解即可． 【详解】解：由表可知，数据6出现次数最多，有6次， 所以这组数据的众数为， 这组数据的中位数是第8个数据，而这组数据按从小到大排列，第8个数据是， 所以这组数据的中位数是， 故选：A． 9．（2024·四川成都·二模）第31届世界大学生夏季运动会女子10米气步枪中国一选手的成绩如下表，该选手成绩的中位数是（   ） 序号 1 2 3 4 5 6 成绩 93 97 97 96 94 96 A．97 B．96 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：将这组数据重新排列为：93、94、96、、、， 所以这组数据的中位数为， 故选：B． 10．（2024·四川成都·模拟预测）2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生夏季运动会在四川省成都市举行，为此，成都市共建成49个场馆，其中新建场馆13处，改造场馆36处．大运村设在成都大学，依托现有校区和建设发展规划，新建生活服务中心、医疗中心、国际教育交流中心、实训楼等单体建筑22栋．数据49，13，36，22的中位数为（    ） A．13 B． C．29 D．36 【答案】C 【分析】本题考查了求中位数，正确理解中位数的定义是解题的关键．根据中位数的定义，先将数据从小到大排序，中间两数的平均数就是这组数据的中位数． 【详解】将数据49，13，36，22从小到大排序为13，22，36，49， 所以这组数据的中位数为． 故选C． 题型二：数据分析之众数及其应用★★★★★ 1．（2023·四川成都·三模）某学习小组有5人，在一次数学测验中的成绩（单位：分）分别是：120、100、135、100、125，则他们的成绩的中位数和众数分别是（    ） A．135和100 B．16和120 C．120和135 D．120和100 【答案】B 【分析】根据众数和中位数的定义求解即可．众数是一组数据中出现次数最多的数据． 【详解】解：在这一组数据中100是出现次数最多的，故众数是100； 数据按由小到大的顺序排序：100，100，120，125，135， 故中位数为120． 故选：B． 2．（2024·四川成都·模拟预测）成都将于2025年举办第12届世界运动会，某中学九（1）班举办了“喜迎世运会”知识竞赛，其中第一小组6名成员在竞赛中的成绩（满分100分）为：86，86，87，86，90，87，则这组数据的众数和中位数分别为（    ） A．86，86 B．87，86.5 C．86，86.5 D．87，87 【答案】C 【分析】本题考查了中位数、众数，根据中位数和众数的定义求解即可得出答案，熟练掌握中位数和众数的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵这组数据出现次数最多的是86， ∴这组数据的众数为86． 将这组数据按从小到大的顺序排列为：86，86，86，87，87，90， ∴中位数为． 故选C． 3．（2024·四川成都·模拟预测）为了解学生的体质健康水平，国家每年都会进行中小学生体质健康测试和抽测复核．在某次抽测复核中，某校九（1）班10名男生引体向上测试的成绩（单位：个）如下：7，11，10，11，6，14，11，10，11，9．这组数据的众数和中位数分别是（    ） A．11，10.5 B．10.5，11 C．10，10.5 D．11，9 【答案】A 【分析】本题考查了求一组数据的中位数，众数，把一组数据按大小排列，最中间一个或两个数据的平均数就是这组数据的中位数；出现次数最多的数据是中位数，根据中位数，众数的概念求解即可． 【详解】解：这组数据中，11出现的次数最多，故众数为11， 把这组数据从小到大排列后是6，7，9，10，10，11，11，11，11，14， 排在中间的数为10和11，故中位数为， 故选A 4．（2024·四川成都·模拟预测）郑板桥有诗《山中雪后》云：“晨起开门雪满山，雪晴云淡日光寒”描绘了一幅冬日山居雪景图．想感受冬日山居雪景的小颖密切关注寒假期间成都某山区一周的最低气温（）以便出行，该山区某周的最低气温预报如下： 星期 一 二 三 四 五 六 日 最低气温（） 则最低气温的众数、中位数分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中位数与众数的定义，掌握中位数与众数的定义是解题的关键，中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，在中间的一个数字(或者两个数字的平均值)叫做这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数． 先把把数据由小到大排列，然后根据众数和中位数的定义求解． 【详解】解：把数据由小到大排列为：，，，，，，， 最低气温中，出现次数最多，共3次，故最低气温的众数是， 最中间的数是第4个数，是； 故选：A． 5．（2024·四川成都·三模）冬季奥林匹克运动会简称冬奥会，是世界上规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届，在近六届冬奥会中，中国获得总奖牌数分别为：，，，，，，则这组数据的众数和中位数分别为（    ） A．众数是，中位数是 B．众数是，中位数是 C．众数是和，中位数是 D．众数是和，中位数是 【答案】D 【分析】将这组数据重新排列，再根据众数和中位数的定义求解即可． 本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义． 【详解】解：将这组数据重新排列为，，，，，， 这组数据中，出现次数最多，有次， 所以这组数据的众数为和，中位数为， 故选：D． 6．（2024·四川成都·二模）菲尔兹奖（）是数学领域的国际最高奖项之一，每四年颁发一次，每次授予至名有卓越贡献的数学家．下面数据是部分获奖者获奖时的年龄（单位：岁）：，则这组数据的众数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了众数，根据众数的定义即可求解，掌握众数的定义是解题的关键． 【详解】解：在数据中，出现的次数最多， ∴这组数据的众数是， 故选：． 题型三：数据分析之方差及其应用★★★★★ 1．（2024·四川成都·二模）立定跳远是集弹跳、爆发力、身体的协调性和技术等方面的身体素质于一体的运动．甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，在连续一周的训练中，他们成绩的平均数和方差如下表，则成绩最稳定的是（    ） 甲 乙 丙 丁 平均数（厘米） 242 239 242 242 方差 2.1 7 5 0.7 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 根据方差的意义求解即可． 【详解】解：由表知，丁成绩的方差最小，所以成绩最稳定的是丁， 故选：D． 2．（2024·四川成都·二模）甲、乙、丙、丁四个旅行团的游客人数都相等，每个团游客的平均年龄都是32岁，年龄的方差分别是，，，，导游小明喜欢带游客间年龄相近的团队，在这四个团中，则他应选（    ）    A．甲团 B．乙团 C．丙团 D．丁团 【答案】C 【分析】本题考查的统计相关知识．方差越大则数据的离中程度就越大，方差越小离中程度就越小，数据越稳定，据此直接比较方差的大小即可 【详解】解：方差越大则数据的离中程度就越大，故方差越小离中程度就越小，数据越稳定， ∵， ∴他应选丙团， 故选：C. 3．（2023·四川成都·一模）为了落实“双减”政策，提倡课内高效学习，课外时间归还学生．“鸿志”班为了激发学生学习热情，提高学习成绩，采用分组学习方案，每6人分为一组，经过半个学期的学习，在定时作业测试中，某小组6人的数学成绩（单位：分）分别为130，135，125，140，130，120，关于这个小组数学成绩的统计分析，下列说法错误的是（    ） A．平均数是130 B．中位数是130 C．众数是130 D．方差是40 【答案】D 【分析】分别求出平均数、中位数、众数、方差，即可求解． 【详解】解：平均数为，故A选项正确，不符合题意； 把6人的数学成绩从大到小排列为140，135，130， 130，125， 120，位于正中间的两个数为130，130， ∴中位数为，故B选项正确，不符合题意； 130出现的次数最多， ∴众数是130， 方差为，故D选项错误，符合题意； 故选：D 4．（2024·四川成都·三模）小华统计了自己过去五个学期期末考试数学成绩，分别为87，84，90，89，95，这组数据的中位数和方差分别为（　　） A．90，66 B．90，13.2 C．89，66 D．89，13.2 【答案】D 【分析】根据中位数的定义，方差计算公式求解即可． 【详解】解：五个数从小到大为84，87，89，90，95， ∴中位数为89． 平均数=（84+87+89+90+95）=89， ∴S2= [（89-84）2+（89-87）2+（89-89）2+（89-90）2+（89-95）2]=13.2， 故选：D． 5．（2024·四川成都·二模）如表是某超市上半年的月营业额（单位：万元）： 月份 1 2 3 4 5 6 月营业额 20 40 20 20 40 10 下列结论正确的是（　　） A．平均数是30 B．中位数20 C．众数是40 D．方差是25 【答案】B 【分析】根据数据计算出平均数，中位数，众数和方差，可以得到答案； 【详解】解：平均数为（20×3+40×2+10×1）÷（3+2+1）=25（万元），故A不正确，不符合题意； 按顺序排列后第3个数是20，第4个数是20，所以中位数是×（20+20）=20（万元），故B正确，符合题意； 出现最多的是20，所以众数是20万元，故C不正确，不符合题意； 方差是[3×（20-25）2+2×（40-25）2+（10-25）2]×=125（万元2）．故D不正确，不符合题意； 故选：B． 题型四：用树状图（列表法）和概率公式求概率（选填题）★★★★★ 1．（2024·四川成都·模拟预测）成都有古堰流碧、祠堂柏森、青城叠翠、草堂喜雨等美景．现将分别印有“古堰流碧”“祠堂柏森”“青城叠翠”“草堂喜雨”图案的卡片卡片除图案外都相同各1张放入不透明的甲盒中，再将与甲盒中完全一样的4张卡片放入不透明的乙盒中．小兰从甲、乙两个盒中各随机抽取1张卡片，则抽到的卡片恰好是1张“古堰流碧”和1张“青城叠翠”的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意题目中是放回试验还是不放回实验试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．画树状图，得到所有等可能的结果数，再找出满足条件的结果数，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：设印有“古堰流碧”“祠堂柏森”“青城叠翠”“草堂喜雨”图案的卡片分别为A、B、C、D， 画树状图如图：    由图知，一共有16种等可能的结果，其中抽到的卡片恰好是1张“古堰流碧”和1张“青城叠翠”有2种， ∴抽到的卡片恰好是1张“古堰流碧”和1张“青城叠翠”的概率为， 故选：A． 2．（2023·四川成都·一模）在一个不透明的口袋中装有2个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中白球可能有（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】D 【分析】由摸到红球的频率稳定在附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可． 【详解】解： ∵摸到红色球的频率稳定在左右， ∴口袋中得到红色球的概率为， 设白球个数为：个，依题意得 ∴， 解得：， 经检验是原方程的根， 故白球的个数为个． 故选：D． 3．（2024·四川成都·二模）如图，有四张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有“速度滑冰”、“冰球”、“单板滑雪”、“冰壶”四种不同的图案，现将这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张卡片，则抽到的两张卡片的正面图案恰好是“冰球”和“冰壶”的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画出树状图，根据树状图即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【详解】解：设“速度滑冰”、“冰球”、“单板滑雪”、“冰壶”四张卡片分别用表示，画树状图如下： 由树状图可知，共有种等结果，其中抽到的两张卡片的正面图案恰好是“冰球”和“冰壶”的结果有种， ∴抽到的两张卡片的正面图案恰好是“冰球”和“冰壶”的概率是， 故选：． 4．（2025·四川成都·一模）从，，0，1，2，4这六个数中，任取一个数作为a的值，恰好使得关于x，y的二元一次方程组有整数解，且函数与x轴有公共点的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，根的判别式，概率，先解方程组求出，根据整数解得到a的值，然后利用抛物线与x轴有交点得到，进而得到满足条件a的值，利用概率公式计算解题． 【详解】解方程组得， ∵有整数解， ∴为，，， 解得为，，，，，； 又∵当二次函数与x轴有交点， ∴，且， 解得：且， ∵当时，函数为， 此时函数与x轴有公共点， ∴符合的a的值为，，， ∴概率是， 故答案为：． 5．（2024·四川成都·二模）不透明袋子中装有9个球，其中有4个红球、2个绿球和3个黑球，这些球除颜色外其他都相同．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是 ． 【答案】 【分析】考查了概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． 根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小． 【详解】解：∵不透明袋子中装有9个球，其中有4个红球、2个绿球和3个黑球， ∴从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是：． 故答案为：． 6．（2024·四川成都·二模）据新华社消息，四川作为第五批高考综合改革省份之一，从2022年启动高考综合改革，2025年起实施．改革后，四川高考将不再分文理科，实行“3+1+2”模式，除语文、数学、外语3门科目以外，学生应从历史和物理2门科目中首选1门科目，从思想政治、地理、化学、生物学4门科目中再选2门科目．张颖同学从再选的4门科目中随机选择科目，恰好选到生物学和化学的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查列表法与树状图法．列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选择化学和生物的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：思想政治简称为思政，列表如下： 思政 地理 化学 生物 思政 （思政，地理） （思政，化学） （思政，生物） 地理 （地理，思政） （地理，化学） （地理，生物） 化学 （化学，思政） （化学，地理） （化学，生物） 生物 （生物，思政） （生物，地理） （生物，化学） 共有12种等可能的结果，其中恰好选择化学和生物的结果有2种， 恰好选择化学和生物的概率为， 故答案为：． 7．（2023·四川成都·模拟预测）2023年1月16日，成都市首届“最美公园”评选活动结果出炉，评选出了兴隆湖生态公园、丹景山游道公园、交子公园、活水公园等具有成都园林特色和时代特征的“最美公园”，小叶和小沐均计划周末去以上四个公园中的一个游玩，则他们会去同一个公园的概率为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查列举法求概率，利用列表法或树状图法不重复不遗漏的列出所有可能的结果，找出他们会去同一个公园的情况数，再由概率公式求解即可． 【详解】解：分别用A，B，C，D表示兴隆湖生态公园、丹景山游道公园、交子公园、活水公园，列表如下： A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） 由上表可知，共有16种等可能的结果，其中小叶和小沐会去同一个公园的情况有4种， （小叶和小沐会去同一个公园）． 一题多解法：分别用A，B，C，D表示兴隆湖生态公园、丹景山游道公园、交子公园、活水公园，画树状图如解图： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中小叶和小沐会去同一个公园的情况有4种，（小叶和小沐会去同一个公园）． 8．（2024·四川成都·一模）一个箱子装有除颜色外都相同的3个蓝球，3个灰球和一定数量的粉球．从中随机抽取1个球，被抽到粉球的概率是，那么箱内粉球有 个． 【答案】 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，理解题意是解题的关键．用原来袋中粉球的数量比上袋中小球的总数量即可算出原来从袋中随便摸出一个小球是粉球的概率． 【详解】解：设箱内粉球有x个，则列方程为： ， 解得， 经检验是原方程的解， 故答案为：． 9．（2024·四川成都·一模）一个口袋中有红球、黄球共10个，这些球除颜色外其余相同． 将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸一个球，记下它的颜色之后再放回口袋． 不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有59次都是摸到红球，则这个口袋中大约有 个红球． 【答案】6 【分析】本题考查用频率估计概率，利用概率求数量．根据题意可知摸到红球概率为约为，再利用已知数值作乘法即可得到本题答案． 【详解】解：∵共摸了100次球，发现有59次都是摸到红球， ∴摸到红球概率约为， ∴这个口袋中红球大约有：（个）， 故答案为：6． 10．（2023·四川成都·一模）一个不透明的袋子中装有6个红球，白球若干个，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球是白球的概率是，则袋子中装有 个白球． 【答案】2 【分析】设有个白球，由题意知，，解方程即可． 【详解】解：设有个白球， 由题意知，， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 故答案为：2． 11．（2023·四川成都·二模）在一个不透明的箱子中有黄球和红球共6个，它们除颜色外都相同，若任意摸出一个球，摸到红球的概率为，则这个箱子中红球的个数为 个． 【答案】4 【分析】根据概率的意义求解即可． 【详解】解：由题意，得 ． 故答案为：4． 题型五：阴影部分中的概率问题★★★★★ 1．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在等边中，分别是边的三等分点，连接，随机在内取一点，则这个点恰好在阴影部分的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查几何概率模型求概率问题，先利用相似三角形面积比等于相似比的平方求出阴影部分面积与大三角形面积比，从而利用几何概率模型即可求出这一点恰好在阴影部分的概率． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵。 ∴， ∴， ∴， 同理：，， ∴， ∴由几何概率模型可知这个点恰好在阴影部分的概率为， 故答案为：． 2．（2024·四川成都·模拟预测）如图，正六边形内接于，，，均是正六边形的对角线．现随机在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查几何概率，正六边形的性质，熟练掌握概率公式是解题的关键．设的半径为r，将阴影部分进行转化，进行计算即可． 【详解】解：根据题意，可将阴影部分转化为如图所示的形状． 由题易知，， ． 设的半径为r， ． 设OC与BD相交于点G，则． ，． ， ．而， ． 这个点取在阴影部分的概率为． 故答案为：． 3．（2024·四川成都·二模）如图所示，正方形的顶点O在另一正方形的对角线交点上，两个正方形的边长相等，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】求出图形和阴影的面积，再根据概率公式计算即可．本题考查了概率公式，根据题意弄清楚图形之间的关系是解题的关键． 【详解】解：如图： ∵正方形的顶点O在另一正方形的对角线交点上，两个正方形的边长相等 ∴， ∴ ∴ 即 ， ， 设正方形的面积为，阴影的面积为， 则图形的面积为， 这个点取在阴影部分的概率是． 故答案为：． 4．（2024·四川成都·三模）如图，在三角形的飞镖游戏版中，是的内切圆，，，，假设小王子用飞镖击中三角形游戏板的每个位置都是等可能的（山边界或没有击中游戏板，则重投1次），他任意投掷飞镖1次，飞镖击中阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形的内切圆，几何概率，求出内切圆的半径，进而求出内切圆的面积，再利用圆的面积比上三角形的面积即可得出结果． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵是的内切圆，设的半径为， ∴， 解得：， ∴的面积为：， ∴飞镖击中阴影部分的概率是； 故答案为：． 5．（2024·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知经过原点，与轴，轴交于点，两点，点坐标为，点为上的一点，已知．现假设可以随意在中取点，则这个点取在阴影部分的概率是 ．    【答案】 【分析】连接，根据可知是直径，根据圆周角定理求出，由锐角三角函数的定义得出及的长，根据即可得出阴影部分的面积，而后利用概率的公式作答． 【详解】解：连接， ∵， ∴是的直径， ∵圆周角和所对的弧是， ∴， ∵点坐标为，， ∵， ∴， ，即圆的半径为， ∴，圆的面积为：， ∴这个点取在阴影部分的概率是：。 故答案为：．    6．（2024·四川成都·二模）如图，将沿方向平移得到，随机在与组成的图形中取点，取到重叠部分（图中阴影部分）的概率为．若，则平移的距离为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、平移的性质，依据平移的性质，即可得到 ，再根据取到重叠部分（图中阴影部分）的概率为，得到，设，，求得，根据题意列方程即可得到结论，解题的关键是掌握知识点的应用． 【详解】由平移可得，，， ∴， ∵在与组成的图形中取点，取到重叠部分（图中阴影部分）的概率为 ∴， ∴， ∴设，， ∴， ∵， ∴， 解得 ， ∴， 故平移的距离为， 故答案为：． 7．（2024·四川成都·二模）如图，在的正方形网格飞镖游戏板中，每个小正方形的顶点称为格点，阴影部分是一个“水滴”形图案，点都是格点，图案由过三点的圆的圆弧与过点作该圆的两条切线围成，假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中边界或没有击中游戏板，则重投次），任意投掷飞镖次，飞镖击中阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率、勾股定理以及扇形的面积，根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值． 【详解】设与相交于点，过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点 设一个小正方形的边长为，则 图案由过三点的圆的圆弧与过点作该圆的两条切线围成 四边形的面积为： 四边形的内角和为 扇形的圆心角为： 扇形的面积为： 阴影部分面积为： 小正方形的边长为，则一个小正方形的面积为： 的正方形网格的总面积为： 任意投掷飞镖次，飞镖击中阴影部分的概率是： 故答案为：． 8．（2024·四川成都·一模）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，任意投掷飞镖次（假设每次飞镖均落在游戏板上），击中阴影部分的概率是 ．    【答案】 【分析】本题考查了几何概率的求法．根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影部分的面积与总面积的比值，即可求解． 【详解】解：设小正方形的边长为，则总面积为，其中阴影部分的面积为， ∴飞镖落在阴影部分的概率是． 故答案为：． 9．（2024·四川成都·二模）如图，周长为12的的三边都与半径为1的⊙O相切．若向的内部随机地抛掷黄豆，则黄豆落入阴影区域的概率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何概率的计算，圆内切三角形，连接、、，过点O作于点D，于点E，于点F，根据求出的面积，然后求出阴影部分的面积，即可得出答案． 【详解】解：连接、、，过点O作于点D，于点E，于点F，如图所示： ∵的三边都与半径为1的⊙O相切， ∴， ∴ ， 阴影部分的面积为：， ∴黄豆落入阴影区域的概率为． 故答案为：． 10．（2024·四川成都·二模）如图，直径为的圆形图形中，点均在圆上，且，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ．（取3） 【答案】 【分析】本题考查了几何概率、扇形面积、三角形面积，设直径为的圆形的圆心为，半径为，连接，推出阴影部分的面积扇形的面积的面积，求出阴影部分的面积，再利用几何概率公式计算即可． 【详解】解：设直径为的圆形的圆心为，半径为，连接， ，， 由圆的对称性可知封闭图形和面积相等，， 阴影部分的面积扇形的面积的面积， 针尖落在阴影区域的概率， 故答案为：． 11．（2024·四川成都·模拟预测）“赵爽弦图”利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图，在正方形中，，，假设可在弦图区域内随机取点，则这个点落在阴影部分的概率为 ． 【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理的运用，几何概率，设，则，根据，求出，得到正方形的面积，利用概率公式代入计算即可． 【详解】解：设，则， ， ， ， 解得：， ， ， ， ， 这个点落在阴影部分的概率为， 故答案为：． 12．（2024·四川成都·一模）在如图所示的图形中随机撒一把豆子，计算落在A，B，C三个区域中的豆子数，若落在这三个区域中的豆子数依次为m，n，，则估计图中a的值为 【答案】1 【分析】本题考查了几何概率及频率估计概率，根据落在三个区域的豆子数比等于各部分面积比，用各个区域面积比估计概率计算即可． 【详解】解：区域面积为，区域面积为， 区域面积为， 又落在这三个区域中的豆子数依次为m，n，， ，即， ，即 解得：（不合题意，舍去）， 故答案为：1． 13．（2023·四川成都·三模）如图，在矩形中，，，以B为圆心，的长为半径画弧，交于点E．若将一骰子（看成一个点）投到矩形中，则骰子落在阴影部分的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率，先根据锐角三角函数求出，再根据扇形面积公式求出阴影部分的面积，最后根据几何概率的求法解答即可． 【详解】解：∵以B为圆心，的长为半径画弧，交于点E， ∴， 在矩形中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积：， ∵矩形的面积为2， ∴将一骰子（看成一个点）投到矩形中，则骰子落在阴影部分的概率为， 故答案为：． 14．（2023·四川成都·二模）中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”．“方田一段，一角圆池占之．”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形水池（其中圆与正方形一角的两边均相切）”．如图所示，正方形内的一圆O与边均相切，正方形的一条对角线与圆O相交与点M，N（点N在点M的右上方），若正方形的边长为丈，的长度为丈．现假设可以随意在图中取点，则这个点取在圆中（包含圆上）的概率是 ．    【答案】 【分析】由题意知，，，则，，如图，过作于，则为的半径，设半径为，则，，由，可得，解得，根据这个点取在圆中（包含圆上）的概率是，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴，， 如图，过作于，则为的半径，    设半径为，则， ∴， ∵， ∴，解得， ∴这个点取在圆中（包含圆上）的概率是， 故答案为：． 15．（2023·四川成都·三模）如图，由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形，连接和．现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ．    【答案】 【分析】设交于点M，交于点N，设，，分别得到和，即可得到答案． 【详解】解：设交于点M，交于点N，设，，    由勾股定理得， ∵四边形是正方形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 即， ∴， 则， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则针尖落在阴影区域的概率为， 故答案为： 16．（2023·四川成都·二模）如图，等腰三角形内接于，，，向内任意抛掷一枚小针，则小针针尖落在等腰三角形内的概率为 ． 【答案】 【分析】针尖落在阴影区域的概率就是等腰三角形的面积与圆的面积之比． 【详解】解：如图：连接，如图所示： 是等腰三角形， ，垂足点为点D， ， ， ， 设的半径为r，则， ， ， 解得， 的面积为：， 小针针尖落在等腰三角形内的概率为：， 故答案为：． 题型六：概率中的其他问题★★★★★ 1．（2023·四川成都·三模）有四张完全相同且不透明的卡片，正面分别标有数，，，1，将四张卡片背面朝上，随机抽取一张，所得卡片上的数记为，不放回，再随机抽取一张，所得卡片上的数记为，则方程没有实数根的概率为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果，再从中选出符合事件的结果数目，然后根据概率公式计算事件的概率．也考查了根的判别式．先画树状图展示所以12种等可能的结果，通过计算找出满足的结果数，然后根据根的判别式的意义和概率公式求解． 【详解】解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中满足的有，；，；，， 共有3种结果数， 所以方程没有实数根的概率． 故答案为：． 2．（2024·四川成都·一模）如果是从1，3，5三个数中任取的一个数，是从，0，1三个数中任取的一个数，那么直线的图象能经过第一、三、四象限的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象及性质，概率计算．根据题意利用列表法可知共有种情况，再根据一次函数图像及性质即可作答． 【详解】解：根据题意列表如下： m               n 0 1 1 3 5 通过列表计算可知，共有9种等可能结果，符合经过一、三、四象限的情况有共计两种， ∴设经过第一、三、四象限为事件， ， 故答案为：． 3．（2023·四川成都·三模）一只袋中装有四个完全相同的小球，小球上分别标有数字1，0，，，随机摸出一个小球，把这只小球上的数字作为一次函数中的k，则得到一次函数的图象不经过第四象限的概率为 ． 【答案】/ 【分析】根据一次函数的图象不经过第四象限，可得，从而可得满足题意的数字有1和0，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第四象限， ∴， ∴四个数字中符合题意的有1， ∴一次函数的图象不经过第四象限的概率为， 故答案为：． 4．（2024·四川成都·二模）现从，，，，0，1，2，3，4这9个数中任意选取一个数作为a的值，则使关于x的分式方程的解是负数，且关于x的不等式组无解的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查概率公式、解分式方程、解一元一次不等式组，先求出使关于x的分式方程的解是负数，且关于x的不等式组无解的a的值，然后即可计算出相应的概率． 【详解】解：由分式方程，可得， ∵分式方程的解是负数，且， ∴，且， ∴且， 由不等式组可得：， ∵关于x的不等式组无解， ， 解得:； 由上可得，a的取值范围为，且， ∴从，，，，0，1，2，3，4这9个数中任意选取一个数作为a的值，使关于x的分式方程的解是负数，且关于x的不等式组无解的a的值为，0，1，2，有4个数， ∴现从，，，，0，1，2，3，4这9个数中任意选取一个数作为a的值，则使关于x的分式方程的解是负数，且关于x的不等式组无解的概率为， 故答案为：． 题型七：概率与统计综合★★★★★ 1．（2024·四川成都·模拟预测）(新情境)6月5日是世界环境日，为提高学生的环保意识，某校举行了环保知识竞赛.该校随机抽取部分学生的答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（优秀），B（良好），C（一般），D（不合格），并根据结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题． (1)这次抽样调查共抽取______人，并将条形统计图补充完整； (2)该校有1500名学生，估计该校学生答题成绩为A等级和B等级的总人数； (3)学校要从答题成绩为A等级的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“环境知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率． 【答案】(1)50，图见解析 (2)估计该校学生答题成绩为A等级和B等级的共有840人(3)，见解析 【分析】（1）根据B等级的人数和所占的百分比，可以计算出本次抽取的人数，然后再计算出A等级的人数，再补全条形统计图即可； （2）用1500乘以A、B两个等级所占百分比的和即可得到该校学生答题成绩为A等级和B等级的总人数； （3）根据题意，可以画出相应的树状图，然后根据概率的计算公式计算出抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率即可． 本题考查条形统计图、扇形统计图、列表法与树状图法，以及概率的计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】（1）解：由统计图可知，这次抽样调查共抽取（人）． 等级为A的有（人），补充完整的条形统计图如图所示． 故答案为50． （2）解：（人）， 即估计该校学生答题成绩为A等级和B等级的共有840人． （3）解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，一共有12种等可能的结果，其中抽出的两名学生恰好是甲和丁的结果有2种， ∴P（抽出的两名学生恰好是甲和丁）． 2．（2024·四川成都·二模）(新情境)2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校为了初步了解学生的劳动情况，对全校学生“参加家务劳动的时间”进行了抽样调查，对他们的劳动时间进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表． 等级 时长（单位：分钟） 人数 10 10 4 根据图表信息，解答下列问题： (1)分别求出m，n的值； (2)该校共有900名学生，请你估计等级为C的学生人数； (3)本次调查中，等级为D的4人中有2名男生和2名女生，若从中随机抽取两名同学交流劳动感受，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 【答案】(1)； (2)估计等级为的学生人数约360人； (3)恰好抽到一名男生和一名女生的概率为． 【分析】本题考查列表法与树状图法、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图表，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． （1）用统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比可得抽样调查的人数，再用的人数除以抽样调查的人数再乘以可得，即可得的值．用抽样调查的人数分别减去，，等级的人数，可得的值． （2）根据用样本估计总体，用900乘以等级的人数所占的百分比，即可得出答案． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好抽到一名男生和一名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：抽样调查的人数为（人， ， ． ． （2）解：（人）． 估计等级为的学生人数约360人； （3）解：列表如下： 男 男 女 女 男 （男，男） （男，女） （男，女） 男 （男，男） （男，女） （男，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的结果有8种， 恰好抽到一名男生和一名女生的概率为． 3．（2024·四川成都·二模）(新情境)“岁岁春草生，踏青二三月”，又到了阳光明媚，适合春季研学的季节．某校数学实践小组就春季研学地点进行了调研：“A：非遗博览园：B：武侯祠：C：杜甫草堂；D：大熊猫繁育基地：E：金沙遗址博物馆”．实践小组随机抽取了部分同学进行“春季研学最想去的地点”（每人必选且只选一个地点）调查，根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 请结合统计图中的信息，解决下列问题： (1)数学实践小组在这次活动中，调查的学生共有_____人，在扇形统计图中，地点D所对应的圆心角是_____度； (2)补全“春季研学最想去的地点统计图”中的条形统计图； (3)若要选出两名研学小组组长，有两名男同学和两名女同学报名，为保证公平决定采取抽签方式抽取两名组长，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一名男同学和一名女同学担任组长的概率． 【答案】(1)200，(2)见解析(3) 【分析】本题考查了列表法与树状图法，统计图． （1）用B组人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用D组人数所占的百分比乘以得到在扇形统计图中，地点D所对应的圆心角； （2）先求出C组人数，再计算出A组人数，然后补全条形统计图； （3）画树状图展示12种等可能的结果，再找出一名男同学和一名女同学的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）解：调查的总人数为（人）， 在扇形统计图中，地点D所对应的圆心角为； 故答案为：200，36； （2）解：∵C组人数为（人）， ∴A组人数为（人）， 条形统计图补充为： （3）解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中一名男同学和一名女同学的结果数为8种， 所以恰好抽到一名男同学和一名女同学担任组长的概率=． 4．（2022·四川成都·一模）(新情境)某校为落实“双减”工作，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题： (1)①此次调查一共随机抽取了________名学生；②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； (2)若该校有3200名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数； (3)刘老师计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率． 【答案】(1)①200；②见解析 (2)估计该校参加D组（阅读）的学生人数为1120人(3) 【分析】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答 （1）①由组的人数及其所占百分比可得样本容量；②由总人数减去除组的人数即可得到组的人数； （2）用乘以组人数所占比例即可； （3）根据题意列出树状图即可求解． 【详解】（1）解：①； ②组人数（人）， 补全的条形统计图如图所示： （2）解：（人）， 答：估计该校参加D组（阅读）的学生人数1120人； （3）解：画树状图如下： 从甲、乙、丙、四位学生中随机抽取两人共有12种等可能性的结果，恰好抽中甲、乙两人的所有等可能性结果有2种， 因此，（恰好抽中甲、乙两人）． 5．（2024·四川成都·二模）(新情境)人工智能的应用非常广泛，比如自然语言处理、语音和图象识别、搜索排名、专家系统等．为了解学生对人工智能应用的知晓程度，某校随机抽查部分中学生，进行知识测试，得分用x表示，数据分组为A：、B：、C：、D：、E：，并将测试成绩绘制成如下不完整的统计图，请根据图表信息回答问题： (1)随机抽查的学生共有______人；扇形统计图中“E”组所对应的圆心角度数为______°； (2)该校约有7000名学生，请估算等级为C的学生约有多少人？ (3)在本次调查中，等级为E的学生中，仅有一名男生和三名女生的测试成绩为满分，若从中随机抽取两人进行活动交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 【答案】(1)300，54 (2)约有1750人 (3) 【分析】本题主要考查了频数分布直方图和扇形统计图的相关知识，用样本估计总体，用树状图以及列表法求概率等知识． （1）结合频数分布直方图和扇形统计图，根据B组人数除以B组的占比，即可求出抽查的学生人数，用乘以“E”组人数的占比即可求出“E”组所对应的圆心角度数． （2）先求出C等级人数，再用总体乘以C等级人数占比即可． （3）列出表格，然后找出总的情况以及恰好抽到一名男生和一名女生的情况，再根据概率公式计算即可． 【详解】（1）随机抽查的学生共有（人）， 扇形统计图中“E”组所对应的圆心角度数为， 故答案为：300，54； （2）C等级人数为（人）， （人）， 答：估计等级为C的学生约有1750人； （3）根据题意，列表如下： 女 女 女 男 女 女，女 女，女 男，女 女 女，女 女，女 男，女 女 女，女 女，女 男，女 男 女，男 女，男 女，男 从表格中可以看出，共有12种等可能结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的有6种结果， 所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率为． 6．（2024·四川成都·二模）(新情境)为进一步贯彻落实《国家中长期教育改革和发展规划纲要》，成都东部新区某学校以兴趣小组为载体，加强社团活动建设，该校随机对本校部分学生参加学校社团活动的情况（每位同学最多只能参加其中一项）进行了调查：A．剪纸社团，B．合唱社团，C．空竹社团，D．书法社团，并绘制了如下两幅不完整的统计图． (1)此次被调查学生共有_______人，并把条形统计图补充完整； (2)扇形统计图中，_______，参加合唱社团对应的扇形圆心角为_______度； (3)该学校共有1500名师生，如果的学生参加了学校社团的活动，请你估计参加“剪纸社团”项目的学生人数． 【答案】(1)人，图见解析(2)：；；(3)人 【分析】题目主要考查条形统计图与扇形统计图，根据样本所占比求总体数量等，理解题意，结合两个统计图获取相关信息是解题关键． （1）根据A项活动的人数及比例确定总人数，然后求C项活动的人数，再画图即可； （2）用D项活动的人数除以总人数即可确定m的值，用360度乘以参加合唱社团人数所占的比例即可； （3）用总人数乘以参加社团活动的比例，再乘以剪纸社团所占比例即可． 【详解】（1）解：人， 人， 补全统计图如下： （2）， ∴； 参加合唱社团对应的扇形圆心角为， 故答案为：；； （3）根据题意得：人． 7．（2024·四川成都·一模）(新情境)成都某校为积极响应“双减”政策减负提质的要求，同时践行新时代新阅读，发挥阅读育人功能，营造书香溢满校园、阅读浸润少年的浓厚氛围，学校在今年寒假期间开展“书香满家园，阅读伴成长”读书活动．寒假结束后，学校为了解学生在家阅读时长情况，随机调查了部分学生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表． 类别 时长（单位：小时） 人数 A 4 B 20 C D 8 根据图表信息，解答下列问题： (1)本次调查的学生总人数为 ，扇形统计图中B类扇形所占的圆心角是 °． (2)该校共有1200名学生，请你估计类别为C的学生人数； (3)本次调查中，类别为A的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行阅读交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到两名女生的概率． 【答案】(1)50人；144．(2)432人．(3) 【分析】本题主要考查列表法与树状图法、频数（率）分布表、扇形统计图、用样本估计总体等知识点，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． （1）用D类的人数除以其对应的百分比即可解答；用B类所占的比例乘以即可求得B类扇形所占的圆心角； （2）先求出C类的人数，然后用学生数乘以C类所占的比例即可解答； （3）先列表求得所有等可能结果数和两名都是女生的结果数，然后运用概率公式求解即可； 【详解】（1）解：本次调查的学生总人数为（人）． 扇形统计图中B类扇形所占的圆心角是． 故答案为：50人；144． （2）解：调查的C类学生数有： （人）． ∴估计类别为C的学生人数约432人． （3）解：根据题意列表如下： 男 男 女 女 男 （男，男） （男，女） （男，女） 男 （男，男） （男，女） （男，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到两名女生的结果有2种， ∴恰好抽到两名女生的概率为． 8．（2024·四川成都·三模）(新情境)根据“五项管理”文件精神，成都某学校优化学校作业管理，探索减负增效新举措，学校就学生做作业时间进行问卷调查，将收集信息进行统计分成A、B、C、D四个层级，其中A：90分钟以上；B：60～90分钟；C：30～60分钟；D：30～60分钟以下．并将结果绘制成两幅不完整的统计图，请你根据统计信息解答下列问题： (1)接受问卷调查的学生共有 人； (2)求扇形统计图中“D”层级的扇形的圆心角度数，并补全条形统计图； (3)全校约有学生1200人，估计“A”层级的学生约有多少人？ (4)学校从“A”层级的2名女生和2名男生中随机抽取2人参加现场深入调研，请用树形图或列表法求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】(1)40(2)，图形见解析(3)180人(4) 【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．也考查了扇形统计图和条形统计图等知识． （1）由“”层级的人数除以所占百分比即可； （2）由乘以“”层级的人数所占的比例得出扇形统计图中“”层级的扇形的圆心角的度数，再求出”层级的人数，补全条形统计图即可； （3）由全校的学生人数乘以“”层级的学生所占的比例即可； （4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）接受问卷调查的学生共有：（人， 故答案为：40； （2）扇形统计图中“”层级的扇形的圆心角的度数为：， “”层级的人数为：（人， 补全条形统计图如下： （3）全校约有学生1200人，估计“”层级的学生约有：（人， 答：全校约有学生1200人，估计“”层级的学生约有180人； （4）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种， 恰好抽到1名男生和1名女生的概率为． 9．（2024·四川成都·二模）(新情境)为了帮助学生提升艺术素养，某校开展了“一人一艺”的艺术选修课活动，学生根据自己的喜好选择一门艺术项目（A书法；B绘画；C摄影；D泥图；E剪纸），张老师随机对该校部分学生的选课情况进行调查后，制成了下面两幅不完整的统计图．根据统计图信息完成下列问题： (1)张老师调查的学生人数是 ，其中选择“D泥塑”选修课的人数是 ，“E剪纸”项目在扇形统计图中圆心角的度数 ； (2)现有4名学生，其中2人选修书法，1人选修绘画，1人选修摄影，张老师要从这4人中任选2人了解他们对艺术选修课的看法，请用画树状图或列表的方法，求所选2人都是选修“A书法”的概率． 【答案】(1)人，人，(2) 【分析】本题考查了统计图与概率结合，正确认识条形统计图和扇形统计图的结合、掌握树状图或列表求概率是解题的关键． （1）根据选择“A书法”的人数与百分比即可求调查总人数，即可求出选择“D泥塑”的人数和“E剪纸”项目在扇形统计图中圆心角的度数； （2）利用树状图即可求解． 【详解】（1）解：由图可得选择“A书法”的人数为人，占调查总人数百分比为， 则调查的学生人数是（人）， 其中选择“D泥塑”选修课的人数是（人）， “E剪纸”项目在扇形统计图中圆心角的度数为， 故答案为：人，人，； （2）把2人选修书法的记为、，1人选修绘画的记为，1人选修摄影的记为， 画树状图如图： 共有种等可能的结果，所选2人都是选修书法的结果有2种， ∴所选2人都是选修书法的概率为． 10．（2024·四川成都·三模）(新情境)“科技筑梦，智绘蓝图”嘉祥科技体验日活动成功举办，学校对满意度进行了随机在线问卷调查，调查结果分为四类：A．非常满意；B．很满意；C．一般；D．不满意，将收集到的信息进行了统计，绘制成不完整的统计表和统计图（如图所示）．请你根据统计图表所提供的信息解答下列问题： 频数分布统计表 类别 频数 频率 A 60 n B m 0.4 C 90 0.3 D 30 0.1 (1) ； ，并补全条形统计图； (2)若嘉祥学校共有学生约 3600人，请你根据上述调查结果，估计该校对此次科技活动满意度为A类和 B类的学生共有多少人； (3)为改进活动，学校决定从选填结果是D类的学生中，选取甲、乙、丙、丁四人，随机抽取两名同学参与座谈会，求甲、乙两名同学同时被抽中的概率． 【答案】(1)120，0.2，见解析(2)(3) 【分析】（1）由C组人数与所占的百分比求总人数，利用总人数求，根据的数值补全图形即可； （2）利用样本所占百分比估计总体即可； （3）利用列表法求甲、乙两名同学同时被抽中的概率即可． 【详解】（1）由人， 所以接受问卷调查的学生共有人． 人． 补全图形如下： （2）(人)． 答∶估计该校学生中类和类共有人． （3）列表如下∶ 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 共有种等可能结果，其中甲、乙两位同学同时被抽中的结果有种． P甲乙 答∶甲、乙两位同学同时被抽中的概率为． 11．（2024·四川成都·二模）(新情境)实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高，刘老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分成四类（：特别好，：好，：一般，：较差）．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请根据统计图解答下列问题： (1)本次调查中，刘老师一共调查了______名学生； (2)将条形统计图补充完整； (3)为了共同进步，刘老师先从被调查的类学生中选一名学生，再从被调查的类选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中两名同学恰好一男一女的概率． 【答案】(1)25 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，条形统计图与扇形统计图信息关联、补全条形统计图，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）用条形统计图中类的人数除以扇形统计图中的百分比即可得出答案； （2）求出类中女生的人数以及类中男生的人数，补全条形统计图即可； （3）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：本次调查中，刘老师一共调查了名学生； （2）解：类的人数为（人）， 类中女生的人数为（人）， 类的人数为（人）， 类中男生的人数为（人）， 补充条形统计图如图： （3）解：列表如下： 男 男 女 男 男男 男男 女男 男 男男 男男 女男 女 男女 男女 女女 女 男女 男女 女女 共有种等可能出现的结果，其中恰好选中两名同学为一男一女的情况有种， 恰好选中两名同学恰好一男一女的概率． 12．（2024·四川成都·一模）(新情境)“促进儿童心理健康，共同守护美好未来”．加强学生的心理健康教育上升为国家战略．国家卫生健康委举行新闻发布会，介绍我国如何从制度、服务、宣传等层面，守护儿童心理健康．为促进学生健康成长，某校开展了心理健康教育讲座．讲座前从该校七、八、九年级中随机抽取了部分学生，对学生关于心理健康知识的了解情况进行了问卷调查，根据收集到的数据信息进行统计．绘制了如下两幅不完整的统计图表． 某校学生心理健康知识了解情况统计表 分组 类别 人数 A组 不了解 20 B组 了解少 a C组 基本了解 40 D组 非常了解 b 根据图表中提供的信息，解答下列问题． (1)直接写出答案： ， ， ； (2)D组扇形所对的圆心角的度数是多少？ (3)从D组的甲、乙、丙、丁4位同学中，随机抽取两位同学进行心理健康知识宣讲，请用列表法或画树状图法求出丁同学未被抽中的概率． 【答案】(1)30；10；20(2)(3) 【分析】本题主要考查了分布表、扇形统计图、用树状图求概率等知识点，从统计表和统计图中获取所需信息是解题的关键． （1）先用组的份数除以组所占的百分比求出抽取学生总数，然后乘以组所占百分比即可求得，进而求出；再求出组的份数，最后利用百分比即可求得； （2）用乘以组所占的百分比即可； （3）先画出树状图求得一共有12种等可能的结果，丁同学未被抽中的结果一共有6种，然后运用概率公式即可解答． 【详解】（1）解：抽取学生总数为：人， 组的份数：份， 组的份数为：份， 组所占的百分比为：， 故答案为：30；10；20； （2）组扇形所对的圆心角的度数为； （3）画树状图如下： 由图可知，一共有12种等可能的结果，丁同学未被抽中的结果一共有6种， ∴丁同学未被抽中的概率为． 题型八：数字类规律探索★★★ 1．（2023·四川成都·一模）探索规律：观察下面的一列单项式：，根据其中的规律得出的第9个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据单项式系数的规律是，x的次数依次增加1即可求解． 【详解】解：第n个单项式为： ∴第9个单项式是． 故选：B． 2．（2024·四川成都·中考真题）在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；……．若，则的值为 ；若，则的值为 ． 【答案】 9 144 【分析】本题考查数字类规律探究，理解题意，能够从特殊到一般，得到当n为偶数或奇数时的不同取法是解答的关键．先根据前几个n值所对应k值，找到变化规律求解即可． 【详解】解：当时，只有一种取法，则； 当时，有和两种取法，则； 当时，有，，，四种取法，则； 故当时，有，，，，，六种取法，则； 当时，有，，，，，，，，九种取法，则； 依次类推， 当n为偶数时，， 故当时，， 故答案为：9，144． 3．（2024·四川成都·模拟预测）观察按一定规律排列的一组数：2，，，…，其中第个数记为，第个数记为，且满足，则 ； ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查数字的变换规律，解答的关键是由所给的数总结出存在的规律．把相应的数字代入，从而得到，在分析其中的规律进行求解即可． 【详解】解由题意得：， ， 时，， ， 解得， 当时，可求得， 则这列数为：， 可看出分子为，分母为， 第个数为：， ． 故答案为：，． 4．（2024·四川成都·三模）在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的数称为质数，否则称为合数．若一个偶数可以写成两个奇合数的和，则称这个偶数为“佳偶数”，例如：，则24和30都称为“佳偶数”．最大的一个非“佳偶数”是 ． 【答案】38 【分析】本题是自定义类规律题，主要考查奇数偶数和合数的概念． 通过理解奇合数的定义，然后通过举例和推理，找出不能表示为两个奇合数之和的最大偶数． 【详解】奇合数有：， 以上分别为：， 可以知道：为两个奇数之积，一定是奇合数， 所以大于等于 40 的偶数都能写成两个奇合数之和， 而， 均不为两个奇合数之和， 所以 38 即为不能写成两个奇合数之和的最大偶数； 故最大的一个非“佳偶数”是最大的一个是 38 ． 故答案为：38． 5．（2024·四川成都·二模）将小圆圈按如图所示的规律摆放下去，如果用n表示六边形一边上的小圆圈数，m表示这个六边形中小圆圈的总数，请写出m和n满足的关系式是 ． 【答案】 【分析】本题考查图形的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现题目中小圆圈的变化规律，利用数形结合的思想解答． 观察每个图形的特点，得到第一个图形有1个小圆圈，第二个图形有个小圆圈，第三个图形有个小圆圈，第四个图形有个小圆圈，进而得到图形的规律求解即可． 【详解】解：观察每个图形可得， 第一个图形有1个小圆圈， 第二个图形有个小圆圈， 第三个图形有个小圆圈， 第四个图形有个小圆圈， … 列表如下： 边上的小圆圈数 1 2 3 4 5 总数 1 7 19 37 61 ∴m和n之间的关系式为： ， 首位相加得：， ∴， 故答案为： 6．（2023·四川成都·模拟预测）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）： 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律探索，读懂题意并根据所给的式子寻求规律是解题的关键． 首先确定含的项是展开式中的第几项，根据杨辉三角解决问题即可． 【详解】解：∵， 可知，展开式中第二项为， ∴展开式中含项的系数是， 故答案为：． 7．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在等腰中，已知，，且边在直线上．将绕点顺时针旋转到位置①可得到点，此时；将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时；将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时；···，按此规律继续旋转，直至得到点为止，则 ． 【答案】/ 【分析】由等腰直角三角形的性质和已知条件得出AP1＝，AP2＝1+，AP3＝2+，AP4＝2+2，AP5＝3+2，AP6＝4+2，每三个一组，进而找到规律即可． 【详解】解：观察图形的变化可知： AP1＝； AP2＝1+； AP3＝2+； AP4＝2+2； AP5＝3+2； AP6＝4+2＝2（2+）； …． 发现规律： AP3n＝n（2+）； AP3n+1＝n（2+）+； AP3n+2＝n（2+）++1． ∴AP2022＝AP674×3＝674（2+）＝1348+674． 故答案为：1348+674． 8．（2024·四川成都·二模）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数；……请根据规律直接写出的展开式 ． 【答案】 【分析】根据规律即可完成． 【详解】由规律得， ， 故答案为：． 9．（2024·四川成都·一模）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，第 个图案中黑色三角形的个数为300． 【答案】24 【分析】据图形的变化规律总结出第n个图形黑色三角的个数为n（n+1），根据题意列方程即可求解． 【详解】解：由图形的变化规律知，第ⓝ团中黑三角的个数为1+2+3+4+…+n＝n（n+1）， 由题意得，n（n+1）＝300， 解得， ∵n＞0， ∴n＝24． 故答案为：24 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 猜押04 统计与概率和探索规律 猜押考点 3年成都真题 考情分析 押题依据 统计与概率 2024年成都卷A卷第5题，第15题，2023年成都卷A卷第6题、第15题，2022年成都卷A卷第5题，第15题。B卷第21题 从近年成都中考来看，统计与概率类题型都出现在成都中考数学试卷中，统计和概率在选择题中主要考查对平均数、中位数、众数、方差和求概率。在解答题中主要是对这部分知识点进行综合性考查。规律类题型在2024年的中考中出现，位于成都数学中考试卷中的B卷。 在近三年成都数学中考中都已一道选题加上一道解答题的形式出现，为近三年成都中考数学试卷的中的必考题型，所以不难想象在2025年的成都中考中，此类题型仍然是重点考查对象。此类题型难度中等，主要考查学生对平均数、中位数、众数、方差基本概念的认识和运算公式的掌握，其次就是对概率公式、列表法和树状图求概率的的使用。 探索规律 2024年成都卷B卷第21题。 题型一：数据分析之中位数及其应用★★★★★ 1．（2023·四川成都·模拟预测）九（）班学生为本班一位患重病同学捐款，捐款情况如下表： 捐款金额（元） 人数（人） 则学生捐款金额的中位数是（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．（2023·四川成都·三模）小明练习打靶，第一阶段，打了枪，成绩分别是，，，，则数据，，，的中位数是（ ） A． B． C． D． 3．（2024·四川成都·模拟预测）兴趣社团内容的课后延时服务主要是学生根据自己的兴趣爱好选择相应的兴趣小组，满足学生的个性需求．在某中学的课后服务美术兴趣小组中，10名成员的年龄情况如表所示，则这个小组成员年龄的中位数是（   ） 年龄/岁 11 12 13 14 人数 1 4 3 2 A．12 B．13 C． D．14 4．（2024·四川成都·模拟预测）随着环境治理的不断深入，成都已构建起“青山绿道蓝网”生态格局．成都某地区2023年12月某五天的空气质量指数为：34，28，35，61，27，则这组数据的中位数是（    ） A．27 B．28 C．34 D．35 5．（2024·四川成都·一模）2023年11月17日－18日，成都东部新区首届中小学生田径运动会暨成都市第十五届运动会田径项目东部新选拔赛在成都东部新区某校隆重举行．本次运动会中，参加男子跳高的15名运动员的身高如下表所示： 身高（m） 1.70 人数 1 1 1 4 3 3 2 这些运动员身高的中位数是（    ） A． B． C．4 D．3 6．（2024·四川成都·二模）某校为了解学生在校一周体育锻炼时间，随机调查了40名学生，调查结果列表如下： 锻炼时间/ 5 6 7 8 人数 9 13 12 6 则这40名学生在校一周体育锻炼时间的中位数为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·四川成都·二模）六名同学的数学成绩分别为，，，，，．这组数据的中位数是（    ） A． B． C． D． 8．（2023·四川成都·模拟预测）某班15位同学每周体育锻炼时间情况如下表，其中众数和中位数分别是（       ） 时间/h 5 6 7 8 人数（人） 2 6 5 2 A．， B．， C．， D．， 9．（2024·四川成都·二模）第31届世界大学生夏季运动会女子10米气步枪中国一选手的成绩如下表，该选手成绩的中位数是（   ） 序号 1 2 3 4 5 6 成绩 93 97 97 96 94 96 A．97 B．96 C． D． 10．（2024·四川成都·模拟预测）2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生夏季运动会在四川省成都市举行，为此，成都市共建成49个场馆，其中新建场馆13处，改造场馆36处．大运村设在成都大学，依托现有校区和建设发展规划，新建生活服务中心、医疗中心、国际教育交流中心、实训楼等单体建筑22栋．数据49，13，36，22的中位数为（    ） A．13 B． C．29 D．36 题型二：数据分析之众数及其应用★★★★★ 1．（2023·四川成都·三模）某学习小组有5人，在一次数学测验中的成绩（单位：分）分别是：120、100、135、100、125，则他们的成绩的中位数和众数分别是（    ） A．135和100 B．16和120 C．120和135 D．120和100 2．（2024·四川成都·模拟预测）成都将于2025年举办第12届世界运动会，某中学九（1）班举办了“喜迎世运会”知识竞赛，其中第一小组6名成员在竞赛中的成绩（满分100分）为：86，86，87，86，90，87，则这组数据的众数和中位数分别为（    ） A．86，86 B．87，86.5 C．86，86.5 D．87，87 3．（2024·四川成都·模拟预测）为了解学生的体质健康水平，国家每年都会进行中小学生体质健康测试和抽测复核．在某次抽测复核中，某校九（1）班10名男生引体向上测试的成绩（单位：个）如下：7，11，10，11，6，14，11，10，11，9．这组数据的众数和中位数分别是（    ） A．11，10.5 B．10.5，11 C．10，10.5 D．11，9 4．（2024·四川成都·模拟预测）郑板桥有诗《山中雪后》云：“晨起开门雪满山，雪晴云淡日光寒”描绘了一幅冬日山居雪景图．想感受冬日山居雪景的小颖密切关注寒假期间成都某山区一周的最低气温（）以便出行，该山区某周的最低气温预报如下： 星期 一 二 三 四 五 六 日 最低气温（） 则最低气温的众数、中位数分别是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·四川成都·三模）冬季奥林匹克运动会简称冬奥会，是世界上规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届，在近六届冬奥会中，中国获得总奖牌数分别为：，，，，，，则这组数据的众数和中位数分别为（    ） A．众数是，中位数是 B．众数是，中位数是 C．众数是和，中位数是 D．众数是和，中位数是 6．（2024·四川成都·二模）菲尔兹奖（）是数学领域的国际最高奖项之一，每四年颁发一次，每次授予至名有卓越贡献的数学家．下面数据是部分获奖者获奖时的年龄（单位：岁）：，则这组数据的众数是（   ） A． B． C． D． 题型三：数据分析之方差及其应用★★★★★ 1．（2024·四川成都·二模）立定跳远是集弹跳、爆发力、身体的协调性和技术等方面的身体素质于一体的运动．甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，在连续一周的训练中，他们成绩的平均数和方差如下表，则成绩最稳定的是（    ） 甲 乙 丙 丁 平均数（厘米） 242 239 242 242 方差 2.1 7 5 0.7 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．（2024·四川成都·二模）甲、乙、丙、丁四个旅行团的游客人数都相等，每个团游客的平均年龄都是32岁，年龄的方差分别是，，，，导游小明喜欢带游客间年龄相近的团队，在这四个团中，则他应选（    ）    A．甲团 B．乙团 C．丙团 D．丁团 3．（2023·四川成都·一模）为了落实“双减”政策，提倡课内高效学习，课外时间归还学生．“鸿志”班为了激发学生学习热情，提高学习成绩，采用分组学习方案，每6人分为一组，经过半个学期的学习，在定时作业测试中，某小组6人的数学成绩（单位：分）分别为130，135，125，140，130，120，关于这个小组数学成绩的统计分析，下列说法错误的是（    ） A．平均数是130 B．中位数是130 C．众数是130 D．方差是40 4．（2024·四川成都·三模）小华统计了自己过去五个学期期末考试数学成绩，分别为87，84，90，89，95，这组数据的中位数和方差分别为（　　） A．90，66 B．90，13.2 C．89，66 D．89，13.2 5．（2024·四川成都·二模）如表是某超市上半年的月营业额（单位：万元）： 月份 1 2 3 4 5 6 月营业额 20 40 20 20 40 10 下列结论正确的是（　　） A．平均数是30 B．中位数20 C．众数是40 D．方差是25 题型四：用树状图（列表法）和概率公式求概率（选填题）★★★★★ 1．（2024·四川成都·模拟预测）成都有古堰流碧、祠堂柏森、青城叠翠、草堂喜雨等美景．现将分别印有“古堰流碧”“祠堂柏森”“青城叠翠”“草堂喜雨”图案的卡片卡片除图案外都相同各1张放入不透明的甲盒中，再将与甲盒中完全一样的4张卡片放入不透明的乙盒中．小兰从甲、乙两个盒中各随机抽取1张卡片，则抽到的卡片恰好是1张“古堰流碧”和1张“青城叠翠”的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（2023·四川成都·中考真题）为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，某学校积极开设种植类劳动教育课．某班决定每位学生随机抽取一张卡片来确定自己的种植项目，老师提供6张背面完全相同的卡片，其中蔬菜类有4张，正面分别印有白菜、辣椒、豇豆、茄子图案；水果类有2张，正面分别印有草莓、西瓜图案，每个图案对应该种植项目．把这6张卡片背面朝上洗匀，小明随机抽取一张，他恰好抽中水果类卡片的概率是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川成都·二模）如图，有四张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有“速度滑冰”、“冰球”、“单板滑雪”、“冰壶”四种不同的图案，现将这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张卡片，则抽到的两张卡片的正面图案恰好是“冰球”和“冰壶”的概率是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·四川成都·一模）从，，0，1，2，4这六个数中，任取一个数作为a的值，恰好使得关于x，y的二元一次方程组有整数解，且函数与x轴有公共点的概率是 ． 5．（2024·四川成都·二模）不透明袋子中装有9个球，其中有4个红球、2个绿球和3个黑球，这些球除颜色外其他都相同．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是 ． 6．（2024·四川成都·二模）据新华社消息，四川作为第五批高考综合改革省份之一，从2022年启动高考综合改革，2025年起实施．改革后，四川高考将不再分文理科，实行“3+1+2”模式，除语文、数学、外语3门科目以外，学生应从历史和物理2门科目中首选1门科目，从思想政治、地理、化学、生物学4门科目中再选2门科目．张颖同学从再选的4门科目中随机选择科目，恰好选到生物学和化学的概率为 ． 7．（2023·四川成都·模拟预测）2023年1月16日，成都市首届“最美公园”评选活动结果出炉，评选出了兴隆湖生态公园、丹景山游道公园、交子公园、活水公园等具有成都园林特色和时代特征的“最美公园”，小叶和小沐均计划周末去以上四个公园中的一个游玩，则他们会去同一个公园的概率为 ． 8．（2024·四川成都·一模）一个箱子装有除颜色外都相同的3个蓝球，3个灰球和一定数量的粉球．从中随机抽取1个球，被抽到粉球的概率是，那么箱内粉球有 个． 9．（2024·四川成都·一模）一个口袋中有红球、黄球共10个，这些球除颜色外其余相同． 将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸一个球，记下它的颜色之后再放回口袋． 不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有59次都是摸到红球，则这个口袋中大约有 个红球． 10．（2023·四川成都·一模）一个不透明的袋子中装有6个红球，白球若干个，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球是白球的概率是，则袋子中装有 个白球． 11．（2023·四川成都·二模）在一个不透明的箱子中有黄球和红球共6个，它们除颜色外都相同，若任意摸出一个球，摸到红球的概率为，则这个箱子中红球的个数为 个． 题型五：阴影部分中的概率问题★★★★★ 1．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在等边△ABC中，分别是边的三等分点，连接，随机在△ABC内取一点，则这个点恰好在阴影部分的概率为 ． 2．（2024·四川成都·模拟预测）如图，正六边形内接于，，，均是正六边形的对角线．现随机在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率为 ． 3．（2024·四川成都·二模）如图所示，正方形的顶点O在另一正方形的对角线交点上，两个正方形的边长相等，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是 ． 4．（2024·四川成都·三模）如图，在三角形的飞镖游戏版中，是△ABC的内切圆，，，，假设小王子用飞镖击中三角形游戏板的每个位置都是等可能的（山边界或没有击中游戏板，则重投1次），他任意投掷飞镖1次，飞镖击中阴影部分的概率是 ． 5．（2024·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知经过原点，与轴，轴交于点，两点，点坐标为，点为上的一点，已知．现假设可以随意在中取点，则这个点取在阴影部分的概率是 ．    6．（2024·四川成都·二模）如图，将△ABC沿方向平移得到，随机在△ABC与组成的图形中取点，取到重叠部分（图中阴影部分）的概率为．若，则△ABC平移的距离为 ． 7．（2024·四川成都·二模）如图，在的正方形网格飞镖游戏板中，每个小正方形的顶点称为格点，阴影部分是一个“水滴”形图案，点都是格点，图案由过三点的圆的圆弧与过点作该圆的两条切线围成，假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中边界或没有击中游戏板，则重投次），任意投掷飞镖次，飞镖击中阴影部分的概率是 ． 8．（2024·四川成都·一模）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，任意投掷飞镖次（假设每次飞镖均落在游戏板上），击中阴影部分的概率是 ．    9．（2024·四川成都·二模）如图，周长为12的△ABC的三边都与半径为1的⊙O相切．若向△ABC的内部随机地抛掷黄豆，则黄豆落入阴影区域的概率为 ． 10．（2024·四川成都·二模）如图，直径为的圆形图形中，点均在圆上，且，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ．（取3） 11．（2024·四川成都·模拟预测）“赵爽弦图”利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图，在正方形中，，，假设可在弦图区域内随机取点，则这个点落在阴影部分的概率为 ． 12．（2024·四川成都·一模）在如图所示的图形中随机撒一把豆子，计算落在A，B，C三个区域中的豆子数，若落在这三个区域中的豆子数依次为m，n，，则估计图中a的值为 13．（2023·四川成都·三模）如图，在矩形中，，，以B为圆心，的长为半径画弧，交于点E．若将一骰子（看成一个点）投到矩形中，则骰子落在阴影部分的概率为 ． 14．（2023·四川成都·二模）中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”．“方田一段，一角圆池占之．”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形水池（其中圆与正方形一角的两边均相切）”．如图所示，正方形内的一圆O与边均相切，正方形的一条对角线与圆O相交与点M，N（点N在点M的右上方），若正方形的边长为丈，的长度为丈．现假设可以随意在图中取点，则这个点取在圆中（包含圆上）的概率是 ．    15．（2023·四川成都·三模）如图，由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形，连接和．现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ．    16．（2023·四川成都·二模）如图，等腰三角形内接于，，，向内任意抛掷一枚小针，则小针针尖落在等腰三角形内的概率为 ． 题型六：概率中的其他问题★★★★★ 1．（2023·四川成都·三模）有四张完全相同且不透明的卡片，正面分别标有数，，，1，将四张卡片背面朝上，随机抽取一张，所得卡片上的数记为，不放回，再随机抽取一张，所得卡片上的数记为，则方程没有实数根的概率为 ． 2．（2024·四川成都·一模）如果是从1，3，5三个数中任取的一个数，是从，0，1三个数中任取的一个数，那么直线的图象能经过第一、三、四象限的概率为 ． 3．（2023·四川成都·三模）一只袋中装有四个完全相同的小球，小球上分别标有数字1，0，，，随机摸出一个小球，把这只小球上的数字作为一次函数中的k，则得到一次函数的图象不经过第四象限的概率为 ． 4．（2024·四川成都·二模）现从，，，，0，1，2，3，4这9个数中任意选取一个数作为a的值，则使关于x的分式方程的解是负数，且关于x的不等式组无解的概率为 ． 题型七：概率与统计综合★★★★★ 1．（2024·四川成都·模拟预测）(新情境)6月5日是世界环境日，为提高学生的环保意识，某校举行了环保知识竞赛.该校随机抽取部分学生的答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（优秀），B（良好），C（一般），D（不合格），并根据结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题． (1)这次抽样调查共抽取______人，并将条形统计图补充完整； (2)该校有1500名学生，估计该校学生答题成绩为A等级和B等级的总人数； (3)学校要从答题成绩为A等级的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“环境知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率． 2．（2024·四川成都·二模）(新情境)2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校为了初步了解学生的劳动情况，对全校学生“参加家务劳动的时间”进行了抽样调查，对他们的劳动时间进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表． 等级 时长（单位：分钟） 人数 10 10 4 根据图表信息，解答下列问题： (1)分别求出m，n的值； (2)该校共有900名学生，请你估计等级为C的学生人数； (3)本次调查中，等级为D的4人中有2名男生和2名女生，若从中随机抽取两名同学交流劳动感受，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 3．（2024·四川成都·二模）(新情境)“岁岁春草生，踏青二三月”，又到了阳光明媚，适合春季研学的季节．某校数学实践小组就春季研学地点进行了调研：“A：非遗博览园：B：武侯祠：C：杜甫草堂；D：大熊猫繁育基地：E：金沙遗址博物馆”．实践小组随机抽取了部分同学进行“春季研学最想去的地点”（每人必选且只选一个地点）调查，根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 请结合统计图中的信息，解决下列问题： (1)数学实践小组在这次活动中，调查的学生共有_____人，在扇形统计图中，地点D所对应的圆心角是_____度； (2)补全“春季研学最想去的地点统计图”中的条形统计图； (3)若要选出两名研学小组组长，有两名男同学和两名女同学报名，为保证公平决定采取抽签方式抽取两名组长，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一名男同学和一名女同学担任组长的概率． 4．（2022·四川成都·一模）(新情境)某校为落实“双减”工作，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题： (1)①此次调查一共随机抽取了________名学生；②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； (2)若该校有3200名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数； (3)刘老师计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率． 5．（2024·四川成都·二模）(新情境)人工智能的应用非常广泛，比如自然语言处理、语音和图象识别、搜索排名、专家系统等．为了解学生对人工智能应用的知晓程度，某校随机抽查部分中学生，进行知识测试，得分用x表示，数据分组为A：、B：、C：、D：、E：，并将测试成绩绘制成如下不完整的统计图，请根据图表信息回答问题： (1)随机抽查的学生共有______人；扇形统计图中“E”组所对应的圆心角度数为______°； (2)该校约有7000名学生，请估算等级为C的学生约有多少人？ (3)在本次调查中，等级为E的学生中，仅有一名男生和三名女生的测试成绩为满分，若从中随机抽取两人进行活动交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 6．（2024·四川成都·二模）(新情境)为进一步贯彻落实《国家中长期教育改革和发展规划纲要》，成都东部新区某学校以兴趣小组为载体，加强社团活动建设，该校随机对本校部分学生参加学校社团活动的情况（每位同学最多只能参加其中一项）进行了调查：A．剪纸社团，B．合唱社团，C．空竹社团，D．书法社团，并绘制了如下两幅不完整的统计图． (1)此次被调查学生共有_______人，并把条形统计图补充完整； (2)扇形统计图中，_______，参加合唱社团对应的扇形圆心角为_______度； (3)该学校共有1500名师生，如果的学生参加了学校社团的活动，请你估计参加“剪纸社团”项目的学生人数． 7．（2024·四川成都·一模）(新情境)成都某校为积极响应“双减”政策减负提质的要求，同时践行新时代新阅读，发挥阅读育人功能，营造书香溢满校园、阅读浸润少年的浓厚氛围，学校在今年寒假期间开展“书香满家园，阅读伴成长”读书活动．寒假结束后，学校为了解学生在家阅读时长情况，随机调查了部分学生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表． 类别 时长（单位：小时） 人数 A 4 B 20 C D 8 根据图表信息，解答下列问题： (1)本次调查的学生总人数为 ，扇形统计图中B类扇形所占的圆心角是 °． (2)该校共有1200名学生，请你估计类别为C的学生人数； (3)本次调查中，类别为A的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行阅读交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到两名女生的概率． 8．（2024·四川成都·三模）(新情境)根据“五项管理”文件精神，成都某学校优化学校作业管理，探索减负增效新举措，学校就学生做作业时间进行问卷调查，将收集信息进行统计分成A、B、C、D四个层级，其中A：90分钟以上；B：60～90分钟；C：30～60分钟；D：30～60分钟以下．并将结果绘制成两幅不完整的统计图，请你根据统计信息解答下列问题： (1)接受问卷调查的学生共有 人； (2)求扇形统计图中“D”层级的扇形的圆心角度数，并补全条形统计图； (3)全校约有学生1200人，估计“A”层级的学生约有多少人？ (4)学校从“A”层级的2名女生和2名男生中随机抽取2人参加现场深入调研，请用树形图或列表法求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 9．（2024·四川成都·二模）(新情境)为了帮助学生提升艺术素养，某校开展了“一人一艺”的艺术选修课活动，学生根据自己的喜好选择一门艺术项目（A书法；B绘画；C摄影；D泥图；E剪纸），张老师随机对该校部分学生的选课情况进行调查后，制成了下面两幅不完整的统计图．根据统计图信息完成下列问题： (1)张老师调查的学生人数是 ，其中选择“D泥塑”选修课的人数是 ，“E剪纸”项目在扇形统计图中圆心角的度数 ； (2)现有4名学生，其中2人选修书法，1人选修绘画，1人选修摄影，张老师要从这4人中任选2人了解他们对艺术选修课的看法，请用画树状图或列表的方法，求所选2人都是选修“A书法”的概率． 10．（2024·四川成都·三模）(新情境)“科技筑梦，智绘蓝图”嘉祥科技体验日活动成功举办，学校对满意度进行了随机在线问卷调查，调查结果分为四类：A．非常满意；B．很满意；C．一般；D．不满意，将收集到的信息进行了统计，绘制成不完整的统计表和统计图（如图所示）．请你根据统计图表所提供的信息解答下列问题： 频数分布统计表 类别 频数 频率 A 60 n B m 0.4 C 90 0.3 D 30 0.1 (1) ； ，并补全条形统计图； (2)若嘉祥学校共有学生约 3600人，请你根据上述调查结果，估计该校对此次科技活动满意度为A类和 B类的学生共有多少人； (3)为改进活动，学校决定从选填结果是D类的学生中，选取甲、乙、丙、丁四人，随机抽取两名同学参与座谈会，求甲、乙两名同学同时被抽中的概率． 11．（2024·四川成都·二模）(新情境)实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高，刘老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分成四类（：特别好，：好，：一般，：较差）．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请根据统计图解答下列问题： (1)本次调查中，刘老师一共调查了______名学生； (2)将条形统计图补充完整； (3)为了共同进步，刘老师先从被调查的类学生中选一名学生，再从被调查的类选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中两名同学恰好一男一女的概率． 12．（2024·四川成都·一模）(新情境)“促进儿童心理健康，共同守护美好未来”．加强学生的心理健康教育上升为国家战略．国家卫生健康委举行新闻发布会，介绍我国如何从制度、服务、宣传等层面，守护儿童心理健康．为促进学生健康成长，某校开展了心理健康教育讲座．讲座前从该校七、八、九年级中随机抽取了部分学生，对学生关于心理健康知识的了解情况进行了问卷调查，根据收集到的数据信息进行统计．绘制了如下两幅不完整的统计图表． 某校学生心理健康知识了解情况统计表 分组 类别 人数 A组 不了解 20 B组 了解少 a C组 基本了解 40 D组 非常了解 b 根据图表中提供的信息，解答下列问题． (1)直接写出答案： ， ， ； (2)D组扇形所对的圆心角的度数是多少？ (3)从D组的甲、乙、丙、丁4位同学中，随机抽取两位同学进行心理健康知识宣讲，请用列表法或画树状图法求出丁同学未被抽中的概率． 题型八：数字类规律探索★★★ 1．（2023·四川成都·一模）探索规律：观察下面的一列单项式：，根据其中的规律得出的第9个单项式是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川成都·中考真题）在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；……．若，则的值为 ；若，则的值为 ． 3．（2024·四川成都·模拟预测）观察按一定规律排列的一组数：2，，，…，其中第个数记为，第个数记为，且满足，则 ； ． 4．（2024·四川成都·三模）在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的数称为质数，否则称为合数．若一个偶数可以写成两个奇合数的和，则称这个偶数为“佳偶数”，例如：，则24和30都称为“佳偶数”．最大的一个非“佳偶数”是 ． 5．（2024·四川成都·二模）将小圆圈按如图所示的规律摆放下去，如果用n表示六边形一边上的小圆圈数，m表示这个六边形中小圆圈的总数，请写出m和n满足的关系式是 ． 6．（2023·四川成都·模拟预测）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）： 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是 ． 7．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在等腰中，已知，，且边在直线上．将绕点顺时针旋转到位置①可得到点，此时；将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时；将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时；···，按此规律继续旋转，直至得到点为止，则 ． 8．（2024·四川成都·二模）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数；……请根据规律直接写出的展开式 ． 9．（2024·四川成都·一模）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，第 个图案中黑色三角形的个数为300． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$