猜押03 不等式（组）和方程（组）（7大题型）-2025年中考数学冲刺抢押秘籍（四川成都专用）

猜押03不等式（组）以及方程（组） 猜押考点 3年成都真题 考情分析 押题依据 分式方程 2024年成都卷A卷第9题。2022年成都卷A卷第12题 从近三年成都中考数学试卷分析。不等式（组）和方程（组）成为成都数学中考中的必考试题。 其中主要涉及到分式方程求解、一元二次方程中根与系数的关系，不等式组的运算（前三年必考题型）以及列方程。在这块知识点的考查难度上中等偏易，主要考查学生对不等式（组）和方程（组）计算方法的掌握和对情境问题的理解。认真对待此类基础题型是在中考中得到高分的基础。 不等式（组）和方程（组）是初中数学计算和应用的基础，在以往的成都数学中考试卷中也是必考题型，所以不难象限它必然会出现在2025年的成都数学中考中，其中不等式的运算（计算题），在前三年成都中考试卷中都进行了考查并都出现在第14题的第二个小题中，属于前三年中考的必考内容。新情境问题中列方程（前三年有2年考查的是列二元一次方程组）也是三年都出现在选择题第7题的位置，考试可以着重点进行练习。 一元二次方程 2024年成都卷B卷第20题 不等式的运算 2024年成都卷A卷第14（2）题，2023年成都卷A卷第14（2）题，2022年成都卷A卷第14（4）题。 方程和不等式的实际应用 2024年成都卷A卷第7题，B卷24题，2023年成都卷A卷第7题，B卷24题。2022年成都卷A卷第7题，B卷24题。 题型一：方程的实际应用之列方程（情境类问题）★★★★★ 1．（2024·四川成都·二模）(新情境)我国古代数学著作《九章算术》有题如下：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平；并燕、雀重一斤，问燕、雀一枚各重几何?”其大意是：现在有5只雀和6只燕，用秤来称它们，发现雀比较重，燕比较轻．将一只雀和一只燕交换位置，重量相等；5只雀和6只燕的重量为一斤．问每只雀和每只燕各重多少斤?设每只雀为x斤，每只燕为y斤，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列二元一次方程组，理解题意，正确找出等量关系列出方程是解题的关键．根据题目中的条件“将一只雀和一只燕交换位置，重量相等”和“5只雀和6只燕的重量为一斤”建立方程即可． 【详解】解：设每只雀为x斤，每只燕为y斤， 根据题意，列出方程得：， 故选：A． 2．（2024·四川成都·模拟预测）(新情境)《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一，容三斛；大器一、小器五，容二斛．问大、小器各容几何？”其大意是：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容量单位）；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛，问：大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为斛，小容器的容量为斛，则可列方程组为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据“大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛”，列出关于，的二元一次方程组即可． 【详解】根据题意可列出， 故选：C 3．（2024·四川成都·模拟预测）(新情境)我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题：今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？其大意是：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，现花100钱买了100只鸡，则公鸡、母鸡和小鸡各能买多少只？若母鸡有11只，设公鸡有x只，小鸡有y只，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．明确题意、准确列出方程组是解题的关键． 设公鸡有x只，小鸡有y只，根据“一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，三只小鸡值1钱，现有100钱，要买100只鸡”，列出方程组，即可求解． 【详解】解：∵共买了100只鸡，其中母鸡有11只，公鸡有x只，小鸡有y只， ∴可列方程为． ∵一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，一共花了100钱， ∴可列方程为． 故选D． 4．（2024·四川成都·二模）(新情境)某工厂去年的利润（总产值总支出）为200万元．今年总产值比去年增加了，总支出比去年减少了，今年的利润为780万元．去年的总产值、总支出各是多少万元？设去年的总产值为万元，总支出为万元，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设去年的总产值为万元，总支出为万元，根据等量关系列出方程即可求解，理清题意，根据等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：设去年的总产值为万元，总支出为万元， 依题意得：， 故选A． 5．（2023·四川成都·二模）(新情境)以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺（绳子测量水井的深度，如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺）；若将绳四折测之，绳多一尺．现设绳长x尺，井深y尺，则可得方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用代数式表示井深即可得方程．此题中的等量关系有：①将绳三折测之，绳多五尺；②将绳四折测之，绳多一尺． 【详解】解：设绳长x尺，井深y尺， 根据题意，可得：． 故选：A． 6．（2023·四川成都·二模）(新情境)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳五尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少尺？”设绳子长x尺，长木长y尺，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设绳子长尺，木长尺，根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，”列出方程组，即可求解． 【详解】解：设绳子长尺，木长尺，根据题意得： ． 故选：B 7．（2023·四川成都·一模）(新情境)《九章算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出9元，多5元；每人出6元，少4元．问：有多少人？该物品价值多少元？设有x人，物品价值y元，则所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设有x人，物品价值y元，根据每人出9元，多5元；每人出6元，少4元，列出方程组即可． 【详解】解：设有x人，物品价值y元，根据题意得： ，故C正确． 故选：C． 8．（2024·四川成都·二模）(新情境)有这样一个数学问题：今有五人分十钱，令上三人所得与下两人等，问各得几何．其意思为：现在有五个人分十钱（钱为古代一种货币单位），要求上面三个人得到的总钱数和下面两个人得到的总钱数相等，问每个人各得到多少钱．设上面三个人各得钱，下面两个人各得钱，根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．根据“五个人分十钱”，“上面三个人得到的总钱数和下面两个人得到的总钱数相等”，即可列出方程组． 【详解】解：根据题意得． 故选：A． 9．（2024·四川成都·模拟预测）(新情境)小元计划国庆节报团去峨眉山游玩，由于酒店房源紧张，只有混合民宿一人一个床位可以选择．若每间房住5人，则有9人无法人住；若每间房住6人，则最后一间房空了4个床位．设小元所在旅游团共有x人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，设小元所在旅游团共有x人，若每间房住5人，则有9人无法人住；若每间房住6人，则最后一间房空了4个床位．据此列方程即可． 【详解】解：设小元所在旅游团共有x人，若每间房住5人，则有9人无法人住，可知共有房间间，若每间房住6人，则最后一间房空了4个床位，可知共有房间间，则 ， 故选：D 10．（2024·四川成都·一模）(新情境)《九章算术》是中国传统数学的重要著作，其中《盈不足》卷记载了这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：几个人一起去购买某物品，每人出钱，则多钱；每人出钱，则差钱，问人数和物品价格各是多少？设有人．根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系，列出方程即可求解． 【详解】解：设有人， 则． 故选：A． 11．（2024·四川成都·一模）(新情境)我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多六客，一房八客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有6人无房可住；如果一间客房住8人，那么就空出一间客房，若设该店有客房间，可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，根据一间客房住7人，那么有6人无房可住可得有人，根据一间客房住8人，那么就空出一间客房可知有人，据此列出方程即可． 【详解】解：设该店有客房间， 由题意得，， 故选：D． 12．（2023·四川成都·一模）(新情境)2023年某电影上映的第一天票房为2亿元，第二天、第三天单日票房持续增长，三天累计票房为6.62亿元，若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设平均每天票房的增长率为x，则根据题意列出方程求解即可．本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列出方程是解题的关键． 【详解】设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，得， 故选D． 13．（2022·四川成都·二模）(新情境)我国私人汽车拥有量2019年约为2.3亿辆，2021年约为2.6亿辆，设私人汽车拥有量年平均增长率为，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设私人汽车拥有量年平均增长率为，根据题意列出方程即可 【详解】解：设私人汽车拥有量年平均增长率为，根据题意得， 故选：C 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 14．（2023·四川成都·模拟预测）(新情境)为了防止疫情，我校用4200元钱到商场去购买“84”消毒液，经过还价，每瓶便宜0.5元，结果比用原价多买了200瓶，求原价每瓶多少元？若设原价每瓶元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，设原价每瓶元，则现价为元，根据“比用原价多买了200瓶”列出分式方程即可． 【详解】解：由题意可得，， 故选：B． 15．（2023·四川成都·二模）(新情境)随着退林复耕的全面推进，成都天府绕城生态公园也在向十万亩良田公园变身．其中有两块面积相同的良田公园作为小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦和，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少．如果设第一块试验田每公顷的产量为x，请列出关于的x分式方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】关键描述语是：“两块面积相同的小麦试验田”；等量关系为：第一块试验田的面积第二块试验田的面积． 【详解】解：设第一块试验田每公顷的产量为， 则第一块试验田的面积为：，第二块试验田的面积为：． 由题意得：， 故选A． 16．（2023·四川成都·模拟预测）(新情境)成语“朝三暮四”讲述了一位老翁喂养猴子的故事，老翁为了限定猴子的食量分早晚两次投喂，早上的粮食是晚上的，猴子们对于这个安排很不满意，于是老翁进行调整，从晚上的粮食中取千克放在早上投喂，这样早上的粮食是晚上的，猴子们对这样的安排非常满意．设调整前早上的粮食是千克，晚上的粮食是千克，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据调整前和调整后分别列式，可列二元一次方程组，即可选出答案． 【详解】解：∵调整前早上的粮食是千克，晚上的粮食是千克，且早上的粮食是晚上的， ∴． ∵老翁从晚上的粮食中取千克放在早上投喂后， ∴早上粮食为千克，晚上粮食为千克， ∵调整后早上的粮食是晚上的， ∴， ∴可列方程组， 故选B． 题型二：解分式方程（选填题）★★★ 1．（2022·四川成都·二模）分式方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程，最后检验即可． 【详解】解： 去分母得： 整理得： 解得： 经检验：是原方程的根， 所以原方程的根为： 故选D 2．（2024·四川成都·二模）分式方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了解分式方程，去分母化为整式方程，解方程后并检验即可得到答案． 【详解】解： 去分母得， 解得， 经检验是分式方程的解， 故选：A． 3．（2024·四川成都·模拟预测）分式方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 利用去分母将方程化为整式方程，解得的值后进行检验即可． 【详解】解：原方程去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为， 故选：D． 4．（2022·四川成都·二模）分式方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据解分式方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，解方程，最后验根即可求解． 【详解】解： 去分母得： ， 去括号得： ， 合并同类项移项得： ， 系数化为1得： ， 当时， ， 经检验，是原方程的根． 故选A． 5．（2023·四川成都·模拟预测）若代数式比的值少，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 根据题意列出分式方程，求出方程的解，得到的值即可． 【详解】解：∵代数式比的值少， ∴﹣， ∴， ∴， ∴， 解得：， 当时，， ∴是方程的解． 故答案为：． 6．（2024·四川成都·模拟预测）分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 先通过去分母将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可． 【详解】解： 去分母得：，解得：， 经检验，是分式方程的解． 故答案为． 7．（2024·四川成都·模拟预测）分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，根据解分式方程步骤求解即可，注意检验． 【详解】去分母，得． 去括号得 解得． 经检验，是原分式方程的根． 故答案为：． 8．（2024·四川成都·三模）若分式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程的解为． 故答案为：． 9．（2024·四川成都·二模）分式方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程．方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：， ， 方程两边都乘，得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 解得， 检验：当时，， 所以分式方程的解是． 故答案为：． 题型三：根据分式方程解的情况求参数的值★★★ 1．（2023·四川成都·模拟预测）若分式方程有增根，则的值是（　　） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据分式方程的解求参数，依题意为增根，将分式方程化为整式方程，将代入，即可求解． 【详解】解：若关于的方程有增根，则为增根． 把方程去分母可得， 把代入可得， 解得． 故选：A． 2．（2023·四川成都·二模）若关于x的分式方程有增根，则a的值是 （ ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程有增根的问题，正确解分式方程得到是解题的关键．先解分式方程得到，再根据分式方程有增根得到，解方程即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵分式方程有增根， ∴，即， ∴， ∴， 故选A． 3．（2023·四川成都·二模）若关于x的分式方程的解为，则m的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】解分式方程，根据方程的解为，即可求解． 【详解】解：， 方程两边同时乘以得：， 解得， 且， 方程的解为， ， 即， 故选：A． 4．（2024·四川成都·二模）若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是根据分式方程的解的情况求参数．先利用表示出的值，再由为负数求出的取值范围即可． 【详解】解：方程两边同时乘以得：， 解得：， 为负数，且， ，且， 解得，且， 的取值范围是， 故答案为：． 5．（2024·四川成都·模拟预测）已知是分式方程的解，则实数的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查分式方程的解．将代入分式方程，得到关于的一元一次方程，然后解方程即可． 【详解】解：把代入原方程可得， 解得：， 故答案为：3． 6．（2024·四川成都·二模）现从，，，，0，1，2，3，4这9个数中任意选取一个数作为a的值，则使关于x的分式方程的解是负数，且关于x的不等式组无解的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查概率公式、解分式方程、解一元一次不等式组，先求出使关于x的分式方程的解是负数，且关于x的不等式组无解的a的值，然后即可计算出相应的概率． 【详解】解：由分式方程，可得， ∵分式方程的解是负数，且， ∴，且， ∴且， 由不等式组可得：， ∵关于x的不等式组无解， ， 解得:； 由上可得，a的取值范围为，且， ∴从，，，，0，1，2，3，4这9个数中任意选取一个数作为a的值，使关于x的分式方程的解是负数，且关于x的不等式组无解的a的值为，0，1，2，有4个数， ∴现从，，，，0，1，2，3，4这9个数中任意选取一个数作为a的值，则使关于x的分式方程的解是负数，且关于x的不等式组无解的概率为， 故答案为：． 7．（2023·四川成都·模拟预测）使关于x的分式方程的解为非负数，且使反比例函数的图象经过一，三象限，则满足条件的所有整数的和 ． 【答案】1 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数的范围，反比例函数的图象和性质；先解分式方程，根据方程的解的情况，结合分式的分母不为0，求出的取值范围，进而求出整数的值． 【详解】解：解，得：， ∵式方程的解为非负数，且， ∴，且， ∴且， ∵反比例函数的图象经过一，三象限， ∴， ∴， ∴满足条件的整数为：， ∴； 故答案为：1． 8．（2024·四川成都·模拟预测）若整数使得关于的分式方程有整数解，且使得二次函数的值恒为非负数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】15 【分析】 本题考查了二次函数与轴的交点问题，解不等式组及分式方程，正确理解二次函数的值恒为非负数的性质是解题关键．根据二次函数的性质，得到一元一次不等式组，求得，再解分式方程，得到，再根据、均为整数，找出满足条件的的值，求和即可． 【详解】解：二次函数的值恒为非负数， ， 解得：， 解分式方程得：, , , 、均为整数， 时，；时，；时，； 所有满足条件的整数的值之和是， 故答案为：15． 9．（2023·四川成都·一模）若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是 ． 【答案】且/且 【分析】先去分母把分式方程化为整式方程，进一步即可求出整式方程的解，然后根据解为非负数和原方程中可得关于a的不等式组，解不等式组即得答案． 【详解】方程两边同乘，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得 ∵关于x的分式方程的解为非负数，， ∴，解得且． 故答案为：且 10．（2022·四川成都·二模）关于x的方程的解为正数，则a的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】先去分母，再求a的范围． 【详解】解：原方程化为：x+a=2-2x． ∴3x=2-a， ∴x=， ∵方程的解为正数， ∴＞0， ∴a＜2， ∵1-x≠0， ∴x=≠1． ∴a≠-1． 故答案为：a＜2且a≠-1． 题型四：一元二次方程中根与系数的关系★★★★ 1．（2024·四川成都·一模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， 即， 解得：． 故选：B． 2．（2024·四川成都·模拟预测）已知m，n是一元二次方程的两根，且满足，则k的值为 ． 【答案】// 【分析】本题考查一元二次方程解的意义和根与系数的关系，结合已知条件列的关于k的方程式解题的关键，根据一元二次方程解的意义以及其根与系数的关系列的K的方程，解得方程即可． 【详解】解：∵m是一元二次方程的根， ∴，即． 将其代入，得， 即， ∵m，n是一元二次方程的两根， ∴，． 将其代入， 得． 解得， 故答案为． 3．（2024·四川成都·二模）设是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程及一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握．根据一元二次方程根与系数的关系列出方程求解，再根据判别式选取符合要求的值即可． 【详解】解：是关于的一元二次方程的两个实数根，， ， ， ， ， 或， 当时，方程，， 此时，方程无解，不符合题意，舍去， 当时，方程，， 此时，方程有两个不相等的实数根，符合题意， 故答案为：． 4．（2023·四川成都·三模）设a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】5 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，完全平方公式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法，先根据根与系数关系得出，再把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴a， 故答案为：5． 5．（2024·四川成都·二模）若、是一元二次方程的根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系、代数式求值问题，首先把m代入方程，可得，再根据一元二次方程根与系数的关系，可得，然后整体代入代数式，据此即可求得． 【详解】解：，是一元二次方程的两根， ，， ， 故答案为：． 6．（2023·四川成都·模拟预测）已知一元二次方程的两根分别为m，n，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，由根与系数的关系可求得的值，代入求值即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为m，n， ∴， ∴ 故答案为：． 7．（2024·四川成都·模拟预测）若a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了一元二次方程的解． 先根据一元二次方程的解的定义及根与系数的关系得出，，再将其代入整理后的代数式计算即可． 【详解】∵a，b是一元二次方程的两个实数根﹐ ∴，，即， ． 故答案为3． 8．（2024·四川成都·模拟预测）已知满足，，且，则的值为 ． 【答案】65 【分析】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根据题中两个方程得到是方程的两个根，根据根与系数的关系得到，利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】解：∵满足，， ∴是方程的两个根， ∴， ∴ 故答案为：65． 9．（2024·四川成都·二模）若m，n是一元二次方程的两个实数根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程的根与系数的关系得出，，然后根据完全平方公式变形即可求解． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， ∴． 故答案为：． 10．（2024·四川成都·一模）已知关于x的一元二次方程 ，若方程的两个实数根为、，且 ，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要一元二次方程根与系数的关系，根的判别式．由一元二次方程根与系数的关系可知，，再整体代入中，求出m的值，代入原方程，判断是否有两个实数根即可． 【详解】解：、是的两个实数根， ，， ， ， ， ， ，， 当时，原方程为，， 不合题意，应舍去； 当时，原方程为，， 符合题意； 即m的值为． 故答案为：． 11．（2024·四川成都·二模）已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值．熟练掌握一元二次方程的根，一元二次方程的根与系数的关系，整体求值的思想是解题的关键． 由题意知，，，根据，代值求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴， 故答案为：． 12．（2024·四川成都·二模）已知关于的一元二次方程．若，是方程的两个实数根，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题意得：，，结合题意得出或，再分别利用根的判别式验证即可． 【详解】解：由题意得：，， ， ， 解得：或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 的值为， 故答案为：． 题型五：不等式（组）和方程（组）的实际应用★★★★★ 1．（2024·四川成都·二模）(新情境)世界羽坛最高水平团体赛成都 “汤尤杯”将于4月日至5月5日在成都高新体育中心举行，吉祥物“熊嘟嘟”“羽蓉蓉”日下午首次公开亮相．某商场销售该吉祥物，已知每套吉祥物的进价为元，如果以单价元销售，那么每天可以销售套，根据经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少套． (1)若商家每天想要获取元的利润，为了尽快清空库存，售价应定为多少元？ (2)销售单价为多少元时每天获利最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)元 (2)销售单价为元时每天获利最大，最大利润元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，二次函数的应用．熟练掌握一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，二次函数的应用是解题的关键． （1）设每套吉祥物的售价为x元，依题意得，，计算求解，然后作答即可； （2）设每天销售吉祥物获得的利润为y元，依题意得，且，可得，，由，根据二次函数的性质，求解作答即可． 【详解】（1）解：设每套吉祥物的售价为x元， 依题意得，， 整理得：， 解得，， ∴为了尽快清空库存，每套吉祥物的售价应定为元． （2）解：设每天销售吉祥物获得的利润为y元， 依题意得，∵且， 解得， ， ∵， ∴当，最大，最大值为， 答：销售单价为元时每天获利最大，最大利润元． 2．（2024·四川成都·一模）(新情境)2023年10月，成都某景区就开始为冬季旅游做宣传，致使游客人数逐月增加． 10月份游客人数为万人，12月份游客人数为万人．若平均每月增长的百分率相同，请解答下列问题： (1)求这两个月该景区游客人数的月平均增长率； (2)预计今年1月份该景区游客人数会继续增长，已知该景区1月1日至1月4日已接待游客万人，则在1月份剩余天数中，该景区至少还需接待游客多少万人才能保证月平均增长率不降低？ 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查一元二次方程实际应用，一元一次不等式实际应用． （1）根据题意列方程解出即可； （2）根据题意设这两个月该景区游客人数的月平均增长率为x，列出一元一次不等式解出即可． 【详解】（1）解：设这两个月该景区游客人数的月平均增长率为x， 由题意得：， 解得：（舍去）， 答：这两个月该景区游客人数的月平均增长率为； （2）解：设至少还需接待游客万人，才能保证月平均增长率不降低， 由题意得：， 解得：， 答：至少还需接待游客万人才能保证月平均增长率不降低． 3．（2023·四川成都·一模）(新情境)为切实推进广大青少年学生走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，阳光体育长跑是如今学校以及当代年轻人选择最多的运动．学生坚持长跑，不仅能够帮助身体健康，还能够收获身心的愉悦．周末，小明和小齐相约一起去天府绿道跑步．若两人同时从地出发，匀速跑向距离处的地，小明的跑步速度是小齐跑步速度的1.2倍，那么小明比小齐早5分钟到达地． 根据以上信息，解答下列问题： (1)小明每分钟跑多少米？ (2)若从地到达地后，小明以跑步形式继续前进到地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从地到地锻炼共用多少分钟． 【答案】(1)480米(2)70分钟 【分析】（1）设小齐每分钟跑米，则小明每分钟跑米，根据题意建立分式方程，解方程即可得； （2）设小明从地到地锻炼共用分钟，再根据热量的消耗规律建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：设小齐每分钟跑米，则小明每分钟跑米， 由题意得：， 解得：， 经检验，既是所列分式方程的解也符合题意， 则， 答：小明每分钟跑480米． （2）解：设小明从地到地锻炼共用分钟， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：小明从地到地锻炼共用70分钟． 4．（2023·四川成都·一模）(新情境)新华商场销售某种彩电，每台进价为3500元，调查发现，当销售价为3900元时，平均每天能售出8台，而当销售价每降低75元，平均每天能多卖6台． (1)若每台彩电降价x元，则每天彩电的销量为多少？（请用含有x的式子表示） (2)商场要想使这种彩电的销售利润平均每天达到5000元，则每台彩电应降价多少元？ 【答案】(1)(2)150元 【分析】（1）利用日销售量每台彩电降价的钱数，即可用含的代数式表示出每天彩电的销量； （2）利用总利润每天彩电的销售利润日销售量，可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：当每台彩电降价元时，每天彩电的销量为台； （2）设每台彩电降价x元 ∴ ∴ 解得： 答：每台彩电应降价150元． 5．（2023·四川成都·一模）(新情境)2023年亚运会在杭州举行，吉祥物莲莲、琼琼、底底”称之为“忆江南组合”．随着杭州亚运会的开幕，某特许零售店“亚运会吉祥物”的销售日益火爆．据调查“亚运会吉祥物”每盒进价8元，售价12元． (1)商店老板计划首月销售330盒，经过首月试销售，老板发现单盒“亚运会吉祥物”售价每增长1元，月销量就将减20盒．若老板希望“亚运会吉祥物”月销量不低于270盒，则每盒售价最高为多少元？ (2)实际销售时，售份比（1）中的最高售价减少了2a元，月销量比（1）中最低销量270盒增加了60a盒，于是月销售利润达到了1650元，求a的值． 【答案】(1)每盒售价最高为15元(2)a的值为1 【分析】本题考查了一元二次方程的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据和数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设每盒的售价为x元，则月销量为盒，根据月销量不低于270盒，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． （2）利用月销量利润=每盒的销售利润×月销售量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】（1）设每盒的售价为x元，则月销量为盒， 依题意得： ， 解得：． 答：每盒售价最高为15元． （2）依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：a的值为1． 6．（2022·四川成都·二模）(新情境)为进一步丰富义务教育阶段学生假期生活，有效缓解义务教育阶段学生假期“看护难”问题，某校在寒假期间开设了丰富多彩的寒假托管服务，学校决定购买A，B两种文具奖励在此次托管服务中表现优秀的学生．已知A文具比B文具每件多5元，用600元购买A文具，900元购买B文具，且购买B文具的数量是A文具的2倍． (1)求A，B文具的单价； (2)为了调动学生的积极性，学校再次在该店购买了A，B两种文具．在购买当日，正逢该店促销活动，所有商品八折销售．在不超过预算资金1200元的情况下，A，B两种文具共买了90件，则最多购买了A文具多少件？ 【答案】(1)A文具的单价为20元，B文具的单价为15元； (2)最多购买了A文具30件． 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意，设恰当未知数，列出方程和不等式． （1）设B文具的单价为x元，则A文具的单价为元，利用数量=总价÷单价，结合用900元购买B文具的数量是用600元购买A文具数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出B文具的单价，再将其代入中即可求出A文具的单价； （2）设购买A文具m件，则购买B文具件，利用总价=单价×数量，结合总价不超过1200元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【详解】（1）解：设B文具的单价为x元，则A文具的单价为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴． 答：A文具的单价为20元，B文具的单价为15元； （2）解：设购买A文具m件，则购买B文具件， 依题意得：， 解得：． 答：最多购买了A文具30件． 7．（2024·四川成都·模拟预测）(新情境)某学校为让学生养成“终身体育”的良好习惯，举办了校园运动会．运动会上的参赛选手努力拼搏、团结进取，展现了新时代学生蓬勃向上的良好精神风貌．为表彰取得优异成绩的参赛选手，学校计划购入甲、乙两种体育文创产品，已知每件乙种文创产品的价格比每件甲种文创产品的价格多10元，且用300元购进甲种文创产品的数量与用400元购进乙种文创产品的数量相同． (1)求甲、乙两种文创产品的单价； (2)若学校一次性购进甲、乙两种文创产品共200件，且要求购进甲种文创产品的件数不超过乙种文创产品件数的2倍，则学校怎样购买才能使费用最少？求出购买文创产品的最少费用及相应的购买方案． 【答案】(1)30元，40元 (2)购进甲种文创产品133件、乙种文创产品67件，6670元 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握分式方程的解法和一次函数的增减性是解题的关键． （1）设甲种文创产品的单价是元，则乙种文创产品的单价是元，根据题意列方程并求解即可； （2）设购进甲种文创产品件，则购进乙种文创产品件，根据题意列不等式方程并求出的解集；设购买这些文创产品的费用为元，根据“总费用购买甲种文创产品的费用购买乙种文创产品的费用”，写出关于的函数表达式，根据该函数的增减性，确定当取何值时值最小，求出的最小值，并求出此时购进乙种文创产品的数量即可． 【详解】（1）解：设甲种文创产品的单价是元，则乙种文创产品的单价是元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， （元， 甲、乙两种文创产品的单价分别是30元和40元． （2）解：设购进甲种文创产品件，则购进乙种文创产品件， 根据题意，得， 解得（m为整数）． 设购买这些文创产品的费用为元，则． ， 随的增大而减小， 当时，取最小值，， 此时购进乙种文创产品（件， 购进甲种文创产品133件、乙种文创产品67件才能使费用最少，最少费用为6670元． 8．（2024·四川成都·模拟预测）(新情境)某企业为开启网络直播带货的新篇章，计划购买A，B两种型号直播设备．已知A型设备价格是B型设备价格的倍，用4800元购买A型设备的数量比用3000元购买B型设备的数量多5台． (1)求A，B型设备单价分别是多少元； (2)该企业计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的一半，设购买A型设备a台，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出最少购买费用． 【答案】(1)A型设备的单价为240元，B型设备的单价为200元； (2)，最小购买费用为12800元 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设B型设备的单价为x元，A型设备的单价为元，根据用4800元购买A型设备的数量比用3000元购买B型设备的数量多5台列出方程求解即可； （2）根据A型设备数量不少于B型设备数量的一半列出不等式求出a的取值范围，再列出w关于a的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设B型设备的单价为x元，A型设备的单价为元； 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：A型设备的单价为240元，B型设备的单价为200元； （2）解：∵，要求A型设备数量不少于B型设备数量的一半， ∴， ∴， 由题意得，， ∵， ∴w随a增大而增大， ∴当时，w有最小值，最小值为， ∴，最小购买费用为12800元． 9．（2024·四川成都·二模）(新情境)为适应市场需求，成都博物馆设计了一套全新的“花与器”文创商品，经调查，A、B两种图案的冰箱贴倍受消费者喜爱．已知A种冰箱贴的单价比B种冰箱贴的单价贵10元，用300元购进A种冰箱贴的数量与用200元购买B种冰箱贴的数量相同． (1)求A种冰箱贴、B种冰箱贴的单价分别是多少元？ (2)若某公司购买A、B两种冰箱贴共200个，且A种的数量至少比B种的数量多27个，当购买A、B两种冰箱贴各多少时？总费用最少？并求出最少费用． 【答案】(1)A种冰箱贴的单价是30元，B种冰箱贴的单价是20元 (2)当购买A种冰箱贴114个、B种冰箱贴86个时总费用最少，最少费用是5140元 【分析】（1）设A种冰箱贴的单价是a元，B种冰箱贴的单价是元．根据“用300元购进A种冰箱贴的数量与用200元购买B种冰箱贴的数量相同”列方程求解即可； （2）设购买A种冰箱贴x个，则购买B种冰箱贴个．先根据“A种的数量至少比B种的数量多27个”列不等式求出x的范围，再设购买两种冰箱贴的总费用为W元，根据 题意列出W与x 的函数关系式，根据一次函数的增减性即可求出W的最小值。 本题主要考差了列分式方程解应用题，以及一元一次不等式和一次函数的实际应用。根据题意找出等量关系和不等量关系是解题的关键。 【详解】（1）解：设A种冰箱贴的单价是a元，B种冰箱贴的单价是元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， （元）， ∴A种冰箱贴的单价是30元，B种冰箱贴的单价是20元． （2）解：设购买A种冰箱贴x个，则购买B种冰箱贴个． 根据题意，得， 解得； 设购买两种冰箱贴的总费用为W元，则， ， ∴W随x的增大而增大， ∵， ∴当时，W的值最小，，此时（个）， ∴当购买A种冰箱贴114个、B种冰箱贴86个时总费用最少，最少费用是5140元． 10．（2024·四川成都·三模）(新情境)为了更好地调动全校教职工参与教职工篮球赛的积极性，学校工会准备购进一批奖品．已知A奖品的单价比B奖品的单价低20元，用1400元购买A奖品与用1800元购买B奖品的数量相等． (1)这两种奖品的单价各是多少元？ (2)学校准备购进这两种奖品共90份，且B型奖品的数量不少于A奖品数的，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用． 【答案】(1)A奖品的单价是70元，B奖品的单价是90元． (2)最省钱的购买方案是购买A奖品67份、B奖品23份，最少费用是6760元． 【分析】本题考查一次函数等的应用，掌握分式方程、一元一次不等式的解法和一次函数的增减性是解题的关键． （1）设A奖品的单价是a元，则B奖品的单价是元，根据题意列方程并求解即可； （2）设购买A奖品x份，则购买B奖品份，根据“B型奖品的数量奖品数的”列关于x的一元一次不等式并求解；设购买这两种奖品的总费用为y元，根据“总费用奖品的单价购买A奖品的份数奖品的单价购买B奖品的份数”写出y关于x的函数关系式，根据该函数的增减性和x的取值范围，确定当x为何值时y值最小，求出其最小值和的值即可． 【详解】（1）设A奖品的单价是a元，则B奖品的单价是元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， （元）， ∴A奖品的单价是70元，B奖品的单价是90元． （2）设购买A奖品x份，则购买B奖品份． 根据题意，得， 解得； 设购买这两种奖品的总费用为y元，则， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴当时，y值最小，，此时（份）， ∴最省钱的购买方案是购买A奖品67份、B奖品23份，最少费用是6760元． 11．（2024·四川成都·二模）(新情境)“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台400元，乙型自行车进货价格为每台600元．该公司销售5台甲型自行车和3台乙型自行车，可获利1350元，销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利850元． (1)该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？ (2)为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共25台，且资金不超过12000元，最少需要购买甲型自行车多少台？ 【答案】(1)一台甲型自行车利润为150元，一台乙型自行车利润为200元； (2)最少需要购买15台甲型自行车． 【分析】本题考查二元一次方程组及一元一次不等式解实际应用题，涉及解二元一次方程组、解一元一次不等式等知识，读懂题意，准确列出方程组及不等式求解是解决问题的关键． （1）设一台甲型自行车利润为元，一台乙型自行车利润为元，读懂题意，找准等量关系列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）设购买台甲型自行车，则乙型自行车购买台，读懂题意，找到不等关系列不等式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设一台甲型自行车利润为元，一台乙型自行车利润为元， 由题意可得：， 解得： 一台甲型自行车利润为150元，一台乙型自行车利润为200元； （2）解：设购买台甲型自行车，则乙型自行车购买台， 由题意可得：， 解得：， 最少需要购买15台甲型自行车． 12．（2024·四川成都·一模）(新情境)年春晚吉祥物“龙辰辰”，以龙的十二生肖专属汉字“辰”为名设计灵感以中华民族龙图腾的代表性实物，突出呈现吉祥如意、平安幸福的美好寓意某商店从工厂购进大号、中号两种型号的“龙辰辰”，已知每个大号“龙辰辰”进价比中号“龙辰辰”多元，个大号“龙辰辰”和个中号“龙辰辰”共元． (1)求大号、中号两种型号的“龙辰辰”的进价． (2)该商店准备购进两种型号的“龙辰辰”共个，且大号“龙辰辰”的个数不超过中号的一半中号“龙辰辰”定价元个，大号“龙辰辰”的定价元个当购进大号“龙辰辰”多少个时，销售总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)大号的“龙辰辰”的进价为元，中号的“龙辰辰”的进价为元 (2)当购进大号“龙辰辰”个时，销售总利润最大，最大利润是元 【分析】此题考查了一次函数、一元一次不等式、二元一次方程组的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是解题的关键． （1）设大号的“龙辰辰”的进价为元，中号的“龙辰辰”的进价为元，根据2个大号“龙辰辰”和1个中号“龙辰辰”共150元列方程，解方程即可得到答案； （2）设购买大号的“龙辰辰”个，则购买中号的“龙辰辰”个，利润为元，得到，再根据题意求出，根据一次函数的性质即可得到答案． 【详解】（1）设大号的“龙辰辰”的进价为元，中号的“龙辰辰”的进价为元， 由题意可得：， 解得， 答：大号的“龙辰辰”的进价为元，中号的“龙辰辰”的进价为元； （2）设购买大号的“龙辰辰”个，则购买中号的“龙辰辰”个，利润为元， 由题意可得：， 随的增大而增大， 大号“龙辰辰”的个数不超过中号的一半， ， 解得， 当时，取得最大值，此时， 即当购进大号“龙辰辰”个时，销售总利润最大，最大利润是元． 13．（2024·四川成都·二模）(新情境)某校为落实立德树人的根本任务，积极探索“五育并举，融合育人”的育人途径，计划组织八年级师生租用客车到成都大熊猫基地开展跨学科主题研学活动．已知每辆60座客车的租费是45座客车租费的倍，花4000元可租45座客车的辆数比租60座客车多2辆． (1)问每辆45座客车租费和每辆60座客车租费分别是多少元？ (2)该校八年级师生共有400人，若只租用同一种客车，应该租用哪种客车合算？ 【答案】(1)每辆45座客车租费是400元，每辆60座客车租费是500元； (2)租用60座客车合算 【分析】本题考查的是分式方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键； （1）设每辆45座客车租费是x元，则每辆60座客车租费是元，根据花4000元可租45座客车的辆数比租60座客车多2辆．列出分式方程，解方程即可； （2）求出租用45座客车9辆的租费和租用60座客车7辆的租费，再比较即可． 【详解】（1）解：设每辆45座客车租费是x元，则每辆60座客车租费是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：每辆45座客车租费是400元，每辆60座客车租费是500元； （2）∵，， ∴租用45座客车9辆，租费为（元）， 租用60座客车7辆，租费为（元）， ∵， ∴租用60座客车合算． 14．（2024·四川成都·二模）(新情境)“直播带货”已经成为信息社会中商家的一种新型促销手段，2024年是中国农历甲辰龙年，某主播用3000元购进了一批“小金龙”布偶玩具在直播间销售，由于销售火爆，又用9900元购进了第二批这种玩具，所购数量是第一批购进数量的3倍，但每件的进价贵了3元． (1)求商场购进第一批“小金龙”每件的进价； (2)直播间在第二批“小金龙”布偶销售过程中发现，“小金龙”布偶每分钟的销量（件）与销售单价（元）满足一次函数关系，设每分钟的销售利润为元，求与之间的函数关系式，并求最大值． 【答案】(1)30元 (2)；最大值160元 【分析】本题考查了分式方程的应用、二次函数的应用，正确列出分式方程，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． （1）设购进第一批“小金龙”每件进价为元，则购进第二批“小金龙”每件进价为元，根据“第二批所购数量是第一批购进数量的3倍”列出分式方程，解方程即可得出答案； （2）由题意得得出与之间的函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设购进第一批“小金龙”每件进价为元，则购进第二批“小金龙”每件进价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的根，且符合题意， 商场购进第一批“小金龙”每件的进价为30元． （2）解：由题意得：， 当时，有最大值160元， 答：最大值为160元． 15．（2024·四川成都·一模）(新情境)年月日是联合国教科文组织确定的第个“世界读书日”．在世界读书日来临之际，某书店准备购进甲、乙两种图书进行销售，已知每本甲种图书的进价比每本乙种图书的进价多元，用元购买甲种图书的数量与用元购买乙种图书的数量相同． (1)求每本甲种图书与乙种图书的进价； (2)如果该书店决定用不超过元购买本甲种图书和若干本乙种图书，则乙种图书最多能购买多少本？ 【答案】(1)每本甲种图书的进价为元，每本乙种图书的进价为元 (2)最多还能购买本乙种图书 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用． （1）设每本乙种图书的进价为元，则每本甲种图书的进价为元，根据题意列出方程，求解即可； （2）设能购买本乙种图书，根据题意列出不等式，结合题意，即可求解． 【详解】（1）解：设每本乙种图书的进价为元，每本甲种图书的进价为元， 由题可得：， 解得：， 经检验是原分式方程的解， ∴元， 即每本甲种图书的进价为元，每本乙种图书的进价为元． （2）解：设能购买本乙种图书， 由题可得：， 解得：， ∵为正整数， ∴的最大值为， 故最多还能购买本乙种图书． 16．（2024·四川成都·二模）(新情境)端午节吃粽子，是中国传统习俗．某商场预测今年端午节期间A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量与节后用200元购进的数量相同．根据以上信息，解答下列问题： (1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？ (2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)商场节后每千克A粽子的进价是10元； (2)商场节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润是3000元． 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设该商场节后每千克粽子的进价是元，则节前每千克粽子的进价是元，根据节前用240元购进粽子的数量与节后用200元购进的数量相同．列出分式方程，解方程即可； （2）设该商场节前购进千克粽子，则节后购进千克粽子，根据总费用不超过4600元，列出一元一次不等式，解得，再设总利润为元，由题意列出与的函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：设该商场节后每千克粽子的进价是元，则节前每千克粽子的进价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：该商场节后每千克粽子的进价是10元； （2）设该商场节前购进千克粽子，则节后购进千克粽子， 由题意得：， 解得：， 设总利润为元， 由题意得：， ， 随着的增大而增大， 当时，取得最大值， 答：该商场节前购进300千克粽子获得利润最大，最大利润是3000元． 17．（2024·四川成都·二模）(新情境)小张周末到天府艺术公园参加销售文创产品的社会实践活动，销售产品5个，产品5个，销售金额125元；销售产品2个，产品5个，销售金额80元． (1)求两种文创产品销售单价分别是多少元？ (2)若产品进价12元，产品进价8元，小张用不超过980元购进两种产品共100件，准备用销售这批产品的利润购买250元课外科普读物，请问小张的目标能实现吗？若能，请给出相应的进货方案，若不能，请说明理由． 【答案】(1)产品的销售单价是15元，产品的销售单价是10元 (2)假设不成立，即小张的目标不能实现 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用， （1）设产品的销售单价是元，产品的销售单价是元，根据“销售产品5个，产品5个，销售金额125元；销售产品2个产品5个，销售金额80元"，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）假设小张的目标能实现，设购进个产品，则购进个产品，根据“小张用不超过980元购进两种产品共100件，且全部售出后获得的总利润不少于250元”，可列出关于的一元一次不等式组，由该不等式组无解，可得出假设不成立，即小张的目标不能实现． 【详解】（1）解：设产品的销售单价是元，产品的销售单价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：产品的销售单价是15元，产品的销售单价是10元； （2）小张的目标不能实现，理由如下： 假设小张的目标能实现，设购进个产品，则购进个产品， 根据题意得： ， ∵该不等式组无解， ∴假设不成立，即小张的目标不能实现． 题型六：不等式的运算（计算题）★★★★★ 1．（2025·四川成都·一模）（）计算：． （）若关于的一元一次不等式组的解集为，求的取值范围． 【答案】（）；（） 【分析】（）根据乘方的定义、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值的性质分别运算，再合并即可； （）分别求出每一个不等式的解集，再根据不等式组的解集为解答即可求解； 本题考查了实数的混合运算，由不等式组的解集求参数，正确计算是解题的关键． 【详解】解：原式 ； （）解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组的解集为， ∴， ． 2．（2024·四川成都·二模）（1）计算：．     （2）解不等式组： 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值的运算，求不等式组的解集： （1）先进行负整数指数幂，开方，特殊角的三角函数值以及去绝对值运算，再进行加减运算即可； （2）先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】解：（1）原式； （2） 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：． 3．（2025·四川成都·一模）（1）计算：．   （2）求不等式组的解集． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查实数的运算和解一元一次不等式组． （1）根据特殊角的三角函数值、二次根式的化简、绝对值的性质、零指数幂的性质进行计算； （2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解： ； （2） 解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 4．（2024·四川成都·模拟预测）（1）计算：． （2）解不等式组： 【答案】（1）0；（2） 【分析】本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式组． （1）先计算零指数幂、去绝对值符号、计算算术平方根和负整数指数幂，再计算加减即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：（1） ； （2）解： 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 则不等式组的解集为． 5．（2024·四川成都·模拟预测）计算或解不等式组． (1)计算：； (2)解不等式组并求它的所有整数解的和． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查了实数的混合运算，解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解等知识点，能正确根据实数的运算法则进行计算是解（1）的关键，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解（2）的关键． （1）先根据立方根，有理数的乘方，绝对值和算术平方根进行计算，再算加减即可； （2）先求出不等式的解集，再根据求出不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解即可． 【详解】（1） ； （2）， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是， 所以不等式组的整数解是，，，0，1，和为． 6．（2024·四川成都·模拟预测）（1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）2；（2） 【分析】本题主要考查了实数混合运算，解不等式组，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据算术平方根定义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂运算法则进行计算即可； （2）先求出两个不等式的解集，然后再求出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为． 7．（2024·四川成都·二模）（1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）3 （2） 【分析】本题考查实数的运算以及解一元一次不等式组，解一元一次不等式组时，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）分别根据零指数幂的意义，特殊角的三角函数值，二次根式的性质以及绝对值的性质计算即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 故原不等式组的解集为． 8．（2024·四川成都·二模）（1）计算： （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【分析】此题主要考查实数的运算及不等式的性质，解题的关键是熟知实数的性质、不等式求解方法． （1）根据实数的性质即可化简求解； （2）根据不等式的性质分别求解不等式，再找到其公共解集． 【详解】（1）解：原式 ； （2） 解不等式①得： ； 解不等式②得： ∴不等式组解集是． 9．（2024·四川成都·三模）（1）计算： （2）解不等式组： 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查实数的混合运算，求不等式组的解集： （1）先进行开方，零指数幂和负整数指数幂以及去绝对值运算，再进行加减运算即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】解：（1）原式； （2） 由①，得：， 由②，得：； ∴不等式组的解集为：． 10．（2024·四川成都·三模）（1）计算 （2）解不等式组：． 【答案】（1）0；（2） 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，解不等式组： （1）先化简各数，再进行加减运算即可； （2）先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即可． 【详解】解：（1）原式； （2）由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：． 11．（2024·四川成都·三模）（1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）2；（2） 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答． 【详解】解：（1） ； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 12．（2024·四川成都·三模）（1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（）；（）． 【分析】（）根据二次根式性质化简，零指数幂，化简绝对值的运算法则，特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可； （）分别解出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集即可； 本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式组，熟知运算法则和不等式组的解法是解题的关键． 【详解】（）原式 ； （） 解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组的解集为． 题型七：新定义类题型（创新题）★★★★★ 1．（2024·四川成都·模拟预测）定义：若（正整数，且）等于两个连续正奇数的乘积，则称n为“彗星数”．则“彗星数”n的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 5 485 【分析】本题考查了因式分解的应用，解一元二次方程-公式法，解题关键在于读懂题意，理解新定义． (为正整数)等于两个连续正奇数的乘积，设较小的正奇数为，则另一个正奇数为，利用求根公式求解，分情况讨论即可． 【详解】解：∵(为正整数)等于两个连续正奇数的乘积， 设较小的正奇数为，则另一个正奇数为， ， ， 利用求根公式得：或(舍)， ∴当为正奇数时，为“彗星数”， ， ， ∵为正奇数， ∴为整数， ∴也必须为整数，为偶数， 令，p为正整数， ， ∵ ∴抛物线开口向上，且对称性为y轴，当时，随的增大而增大， ∵p为正整数 ∴当时，n有最小值为，此时 ∵当时，(不符合题意，舍去)，当时，，当时，， ， ∴当时，的最大值是485， ∴“彗星数”的最小值为5，最大值为485． 故答案为：5，485． 2．（2024·四川成都·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，若点满足，则称点为“积和点”．例如：，就是“积和点”．若直线上所有的点中只有唯一一个“积和点”，则 ． 【答案】0或4 【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征和一元二次方程根的判别式，设直线上所有的点中唯一一个“积和点”为点，根据“积和点”定义可得，再由唯一一个“积和点”可知关于a的方程只有一个解，一元二次方程的根判别式等于0即可求解． 【详解】解：设直线上所有的点中唯一一个“积和点”为点，依题意得：， 代入得：， 整理得：， 由点是唯一一个“积和点”可知：，解得：，． 故答案为：0或4． 3．（2024·四川成都·三模）在平面直角坐标系中给出以下定义：点，点，，，则我们称B是A的“跳跃点”．若二次函数的图象上恰有两个点的“跳跃点”在直线上，则a的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，涉及到新定义，一次函数的图象，解不等式，解题的关键是利用数形结合的思想． 先求出点C、D所在的直线表达式为，当时，还出抛物线与直线的大致图象，联立直线和抛物线的表达式，用a的代数式表示出x，根据x的范围求出a的范围，还需考虑根的判别式；当时，不成立． 【详解】解：设二次函数图象上的两点为点C、D， 题意得点 的“跳跃点”为，将代入， 得：， ∴，则点C在直线上，同理点D也在直线上， 对于二次函数， 令，则， 解得：或， ∴抛物线与x轴交于和， 当时，抛物线与直线的大致图象如图： 直线也经过，设为点D，另一个交点设为点C， 则联立直线和抛物线的表达式得到， 则， 则，解得， 则，而， ∴ ， ∴， 对于，化简为：， 而直线和抛物线在时有两个交点，故 ∴ ∴， ∴且； 当时，如图： 直线不可能与抛物线在时有两个交点，故舍， 综上：且． 4．（2024·四川成都·二模）若实数m，n，p满足，且，我们将，，这三个数中最小的一个数记为t，则t的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了不等式的性质，利用换元法解决问题是关键．令，，，用含、、的式子分别表示出、，再根据，得出，然后结合t为三个数中最小的一个数，求得，即可得到答案． 【详解】解：， ，，， 令，，， ，，， ，， ，， ， ， ， 将，，这三个数中最小的一个数记为t， 则，，， ， 解得：， t的最大值为， 故答案为： 5．（2024·四川成都·一模）若两个正整数x，y满足且，则称x，y是一组“美丽数”，记为，则美丽数一共有 组． 【答案】14 【分析】本题考查了不等式的性质，因式分解的应用，分式的加减运算，解题的关键是对已知式子进行合理的变形；由变形得，，根据x，y为正整数，且，进行讨论，可得和均为的正因数，进而求解即可； 【详解】解：原方程可化为：， ， x，y为正整数，且， 必须为右边常数的因数， 若，则，根据两数相乘的结果为2015的平方，知和中必有一个小于，则中有一个数小于0，不成立； 和均为的正因数，且对取任意的正因数都有解，而的正因数有个，其中满足的除去后恰一半，所以有14组解； 故答案为：14 6．（2023·四川成都·模拟预测）对于任何数a，符号表示不大于a的最大整数，例如：，，，如果，则满足条件的所有整数x的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，正确理解定义，转化为不等式或不等式组求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 关于x的所有整数为， ∴． 故答案为． 7．（2023·四川成都·二模）定义运算：，例如，则关于的方程的解是 ． 【答案】/ 【分析】根据新定义可得，解方程即可． 【详解】解：由题可知，， 即， 解得：， 故答案为：． 8．（2023·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”．例如，都是“黎点”．若抛物线（为常数）上有且只有一个“黎点”，当时，的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】抛物线（为常数）上有且只有一个“黎点”，推出方程有且只有一个解，即，即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线上有且只有一个“黎点”， ∴方程有且只有一个解， 方程整理可得， 即有， 解得， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 猜押03不等式（组）以及方程（组） 猜押考点 3年成都真题 考情分析 押题依据 分式方程 2024年成都卷A卷第9题。2022年成都卷A卷第12题 从近三年成都中考数学试卷分析。不等式（组）和方程（组）成为成都数学中考中的必考试题。 其中主要涉及到分式方程求解、一元二次方程中根与系数的关系，不等式组的运算（前三年必考题型）以及列方程。在这块知识点的考查难度上中等偏易，主要考查学生对不等式（组）和方程（组）计算方法的掌握和对情境问题的理解。认真对待此类基础题型是在中考中得到高分的基础。 不等式（组）和方程（组）是初中数学计算和应用的基础，在以往的成都数学中考试卷中也是必考题型，所以不难象限它必然会出现在2025年的成都数学中考中，其中不等式的运算（计算题），在前三年成都中考试卷中都进行了考查并都出现在第14题的第二个小题中，属于前三年中考的必考内容。新情境问题中列方程（前三年有2年考查的是列二元一次方程组）也是三年都出现在选择题第7题的位置，考试可以着重点进行练习。 一元二次方程 2024年成都卷B卷第20题 不等式的运算 2024年成都卷A卷第14（2）题，2023年成都卷A卷第14（2）题，2022年成都卷A卷第14（4）题。 方程和不等式的实际应用 2024年成都卷A卷第7题，B卷24题，2023年成都卷A卷第7题，B卷24题。2022年成都卷A卷第7题，B卷24题。 题型一：方程的实际应用之列方程（情境类问题）★★★★★ 1．（2024·四川成都·二模）(新情境)我国古代数学著作《九章算术》有题如下：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平；并燕、雀重一斤，问燕、雀一枚各重几何?”其大意是：现在有5只雀和6只燕，用秤来称它们，发现雀比较重，燕比较轻．将一只雀和一只燕交换位置，重量相等；5只雀和6只燕的重量为一斤．问每只雀和每只燕各重多少斤?设每只雀为x斤，每只燕为y斤，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·四川成都·模拟预测）(新情境)《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一，容三斛；大器一、小器五，容二斛．问大、小器各容几何？”其大意是：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容量单位）；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛，问：大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为斛，小容器的容量为斛，则可列方程组为（      ） A． B． C． D． 3．（2024·四川成都·模拟预测）(新情境)我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题：今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？其大意是：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，现花100钱买了100只鸡，则公鸡、母鸡和小鸡各能买多少只？若母鸡有11只，设公鸡有x只，小鸡有y只，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·四川成都·二模）(新情境)某工厂去年的利润（总产值总支出）为200万元．今年总产值比去年增加了，总支出比去年减少了，今年的利润为780万元．去年的总产值、总支出各是多少万元？设去年的总产值为万元，总支出为万元，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·四川成都·二模）(新情境)以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺（绳子测量水井的深度，如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺）；若将绳四折测之，绳多一尺．现设绳长x尺，井深y尺，则可得方程组为（　　） A． B． C． D． 6．（2023·四川成都·二模）(新情境)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳五尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少尺？”设绳子长x尺，长木长y尺，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 7．（2023·四川成都·一模）(新情境)《九章算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出9元，多5元；每人出6元，少4元．问：有多少人？该物品价值多少元？设有x人，物品价值y元，则所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·四川成都·二模）(新情境)有这样一个数学问题：今有五人分十钱，令上三人所得与下两人等，问各得几何．其意思为：现在有五个人分十钱（钱为古代一种货币单位），要求上面三个人得到的总钱数和下面两个人得到的总钱数相等，问每个人各得到多少钱．设上面三个人各得钱，下面两个人各得钱，根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·四川成都·模拟预测）(新情境)小元计划国庆节报团去峨眉山游玩，由于酒店房源紧张，只有混合民宿一人一个床位可以选择．若每间房住5人，则有9人无法人住；若每间房住6人，则最后一间房空了4个床位．设小元所在旅游团共有x人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 10．（2024·四川成都·一模）(新情境)《九章算术》是中国传统数学的重要著作，其中《盈不足》卷记载了这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：几个人一起去购买某物品，每人出钱，则多钱；每人出钱，则差钱，问人数和物品价格各是多少？设有人．根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 11．（2024·四川成都·一模）(新情境)我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多六客，一房八客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有6人无房可住；如果一间客房住8人，那么就空出一间客房，若设该店有客房间，可列方程为（　　） A． B． C． D． 12．（2023·四川成都·一模）(新情境)2023年某电影上映的第一天票房为2亿元，第二天、第三天单日票房持续增长，三天累计票房为6.62亿元，若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 13．（2022·四川成都·二模）(新情境)我国私人汽车拥有量2019年约为2.3亿辆，2021年约为2.6亿辆，设私人汽车拥有量年平均增长率为，则可列方程（    ） A． B． C． D． 14．（2023·四川成都·模拟预测）(新情境)为了防止疫情，我校用4200元钱到商场去购买“84”消毒液，经过还价，每瓶便宜0.5元，结果比用原价多买了200瓶，求原价每瓶多少元？若设原价每瓶元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 15．（2023·四川成都·二模）(新情境)随着退林复耕的全面推进，成都天府绕城生态公园也在向十万亩良田公园变身．其中有两块面积相同的良田公园作为小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦和，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少．如果设第一块试验田每公顷的产量为x，请列出关于的x分式方程（    ） A． B． C． D． 16．（2023·四川成都·模拟预测）(新情境)成语“朝三暮四”讲述了一位老翁喂养猴子的故事，老翁为了限定猴子的食量分早晚两次投喂，早上的粮食是晚上的，猴子们对于这个安排很不满意，于是老翁进行调整，从晚上的粮食中取千克放在早上投喂，这样早上的粮食是晚上的，猴子们对这样的安排非常满意．设调整前早上的粮食是千克，晚上的粮食是千克，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 题型二：解分式方程（选填题）★★★ 1．（2022·四川成都·二模）分式方程的解是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川成都·二模）分式方程的解为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川成都·模拟预测）分式方程的解为（   ） A． B． C． D． 4．（2022·四川成都·二模）分式方程的解为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·四川成都·模拟预测）若代数式比的值少，则 ． 6．（2024·四川成都·模拟预测）分式方程的解为 ． 7．（2024·四川成都·模拟预测）分式方程的解为 ． 8．（2024·四川成都·三模）若分式，则 ． 9．（2024·四川成都·二模）分式方程的解是 ． 题型三：根据分式方程解的情况求参数的值★★★ 1．（2023·四川成都·模拟预测）若分式方程有增根，则的值是（　　） A．3 B．2 C．1 D． 2．（2023·四川成都·二模）若关于x的分式方程有增根，则a的值是 （ ） A． B． C．0 D．1 3．（2023·四川成都·二模）若关于x的分式方程的解为，则m的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 4．（2024·四川成都·二模）若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是 ． 5．（2024·四川成都·模拟预测）已知是分式方程的解，则实数的值为 ． 6．（2024·四川成都·二模）现从，，，，0，1，2，3，4这9个数中任意选取一个数作为a的值，则使关于x的分式方程的解是负数，且关于x的不等式组无解的概率为 ． 7．（2023·四川成都·模拟预测）使关于x的分式方程的解为非负数，且使反比例函数的图象经过一，三象限，则满足条件的所有整数的和 ． 8．（2024·四川成都·模拟预测）若整数使得关于的分式方程有整数解，且使得二次函数的值恒为非负数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 9．（2023·四川成都·一模）若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是 ． 10．（2022·四川成都·二模）关于x的方程的解为正数，则a的取值范围为 ． 题型四：一元二次方程中根与系数的关系★★★★ 1．（2024·四川成都·一模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·四川成都·模拟预测）已知m，n是一元二次方程的两根，且满足，则k的值为 ． 3．（2024·四川成都·二模）设是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值 ． 4．（2023·四川成都·三模）设a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 5．（2024·四川成都·二模）若、是一元二次方程的根，则的值为 ． 6．（2023·四川成都·模拟预测）已知一元二次方程的两根分别为m，n，则的值为 ． 7．（2024·四川成都·模拟预测）若a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 8．（2024·四川成都·模拟预测）已知满足，，且，则的值为 ． 9．（2024·四川成都·二模）若m，n是一元二次方程的两个实数根，则 ． 10．（2024·四川成都·一模）已知关于x的一元二次方程 ，若方程的两个实数根为、，且 ，则m的值为 ． 11．（2024·四川成都·二模）已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 12．（2024·四川成都·二模）已知关于的一元二次方程．若，是方程的两个实数根，且，则的值为 ． 题型五：不等式（组）和方程（组）的实际应用★★★★★ 1．（2024·四川成都·二模）(新情境)世界羽坛最高水平团体赛成都 “汤尤杯”将于4月日至5月5日在成都高新体育中心举行，吉祥物“熊嘟嘟”“羽蓉蓉”日下午首次公开亮相．某商场销售该吉祥物，已知每套吉祥物的进价为元，如果以单价元销售，那么每天可以销售套，根据经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少套． (1)若商家每天想要获取元的利润，为了尽快清空库存，售价应定为多少元？ (2)销售单价为多少元时每天获利最大？最大利润为多少？ 2．（2024·四川成都·一模）(新情境)2023年10月，成都某景区就开始为冬季旅游做宣传，致使游客人数逐月增加． 10月份游客人数为万人，12月份游客人数为万人．若平均每月增长的百分率相同，请解答下列问题： (1)求这两个月该景区游客人数的月平均增长率； (2)预计今年1月份该景区游客人数会继续增长，已知该景区1月1日至1月4日已接待游客万人，则在1月份剩余天数中，该景区至少还需接待游客多少万人才能保证月平均增长率不降低？ 3．（2023·四川成都·一模）(新情境)为切实推进广大青少年学生走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，阳光体育长跑是如今学校以及当代年轻人选择最多的运动．学生坚持长跑，不仅能够帮助身体健康，还能够收获身心的愉悦．周末，小明和小齐相约一起去天府绿道跑步．若两人同时从地出发，匀速跑向距离处的地，小明的跑步速度是小齐跑步速度的1.2倍，那么小明比小齐早5分钟到达地． 根据以上信息，解答下列问题： (1)小明每分钟跑多少米？ (2)若从地到达地后，小明以跑步形式继续前进到地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从地到地锻炼共用多少分钟． 4．（2023·四川成都·一模）(新情境)新华商场销售某种彩电，每台进价为3500元，调查发现，当销售价为3900元时，平均每天能售出8台，而当销售价每降低75元，平均每天能多卖6台． (1)若每台彩电降价x元，则每天彩电的销量为多少？（请用含有x的式子表示） (2)商场要想使这种彩电的销售利润平均每天达到5000元，则每台彩电应降价多少元？ 5．（2023·四川成都·一模）(新情境)2023年亚运会在杭州举行，吉祥物莲莲、琼琼、底底”称之为“忆江南组合”．随着杭州亚运会的开幕，某特许零售店“亚运会吉祥物”的销售日益火爆．据调查“亚运会吉祥物”每盒进价8元，售价12元． (1)商店老板计划首月销售330盒，经过首月试销售，老板发现单盒“亚运会吉祥物”售价每增长1元，月销量就将减20盒．若老板希望“亚运会吉祥物”月销量不低于270盒，则每盒售价最高为多少元？ (2)实际销售时，售份比（1）中的最高售价减少了2a元，月销量比（1）中最低销量270盒增加了60a盒，于是月销售利润达到了1650元，求a的值． 6．（2022·四川成都·二模）(新情境)为进一步丰富义务教育阶段学生假期生活，有效缓解义务教育阶段学生假期“看护难”问题，某校在寒假期间开设了丰富多彩的寒假托管服务，学校决定购买A，B两种文具奖励在此次托管服务中表现优秀的学生．已知A文具比B文具每件多5元，用600元购买A文具，900元购买B文具，且购买B文具的数量是A文具的2倍． (1)求A，B文具的单价； (2)为了调动学生的积极性，学校再次在该店购买了A，B两种文具．在购买当日，正逢该店促销活动，所有商品八折销售．在不超过预算资金1200元的情况下，A，B两种文具共买了90件，则最多购买了A文具多少件？ 7．（2024·四川成都·模拟预测）(新情境)某学校为让学生养成“终身体育”的良好习惯，举办了校园运动会．运动会上的参赛选手努力拼搏、团结进取，展现了新时代学生蓬勃向上的良好精神风貌．为表彰取得优异成绩的参赛选手，学校计划购入甲、乙两种体育文创产品，已知每件乙种文创产品的价格比每件甲种文创产品的价格多10元，且用300元购进甲种文创产品的数量与用400元购进乙种文创产品的数量相同． (1)求甲、乙两种文创产品的单价； (2)若学校一次性购进甲、乙两种文创产品共200件，且要求购进甲种文创产品的件数不超过乙种文创产品件数的2倍，则学校怎样购买才能使费用最少？求出购买文创产品的最少费用及相应的购买方案． 8．（2024·四川成都·模拟预测）(新情境)某企业为开启网络直播带货的新篇章，计划购买A，B两种型号直播设备．已知A型设备价格是B型设备价格的倍，用4800元购买A型设备的数量比用3000元购买B型设备的数量多5台． (1)求A，B型设备单价分别是多少元； (2)该企业计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的一半，设购买A型设备a台，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出最少购买费用． 9．（2024·四川成都·二模）(新情境)为适应市场需求，成都博物馆设计了一套全新的“花与器”文创商品，经调查，A、B两种图案的冰箱贴倍受消费者喜爱．已知A种冰箱贴的单价比B种冰箱贴的单价贵10元，用300元购进A种冰箱贴的数量与用200元购买B种冰箱贴的数量相同． (1)求A种冰箱贴、B种冰箱贴的单价分别是多少元？ (2)若某公司购买A、B两种冰箱贴共200个，且A种的数量至少比B种的数量多27个，当购买A、B两种冰箱贴各多少时？总费用最少？并求出最少费用． 10．（2024·四川成都·三模）(新情境)为了更好地调动全校教职工参与教职工篮球赛的积极性，学校工会准备购进一批奖品．已知A奖品的单价比B奖品的单价低20元，用1400元购买A奖品与用1800元购买B奖品的数量相等． (1)这两种奖品的单价各是多少元？ (2)学校准备购进这两种奖品共90份，且B型奖品的数量不少于A奖品数的，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用． 11．（2024·四川成都·二模）(新情境)“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台400元，乙型自行车进货价格为每台600元．该公司销售5台甲型自行车和3台乙型自行车，可获利1350元，销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利850元． (1)该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？ (2)为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共25台，且资金不超过12000元，最少需要购买甲型自行车多少台？ 12．（2024·四川成都·一模）(新情境)年春晚吉祥物“龙辰辰”，以龙的十二生肖专属汉字“辰”为名设计灵感以中华民族龙图腾的代表性实物，突出呈现吉祥如意、平安幸福的美好寓意某商店从工厂购进大号、中号两种型号的“龙辰辰”，已知每个大号“龙辰辰”进价比中号“龙辰辰”多元，个大号“龙辰辰”和个中号“龙辰辰”共元． (1)求大号、中号两种型号的“龙辰辰”的进价． (2)该商店准备购进两种型号的“龙辰辰”共个，且大号“龙辰辰”的个数不超过中号的一半中号“龙辰辰”定价元个，大号“龙辰辰”的定价元个当购进大号“龙辰辰”多少个时，销售总利润最大？最大利润是多少？ 13．（2024·四川成都·二模）(新情境)某校为落实立德树人的根本任务，积极探索“五育并举，融合育人”的育人途径，计划组织八年级师生租用客车到成都大熊猫基地开展跨学科主题研学活动．已知每辆60座客车的租费是45座客车租费的倍，花4000元可租45座客车的辆数比租60座客车多2辆． (1)问每辆45座客车租费和每辆60座客车租费分别是多少元？ (2)该校八年级师生共有400人，若只租用同一种客车，应该租用哪种客车合算？ 14．（2024·四川成都·二模）(新情境)“直播带货”已经成为信息社会中商家的一种新型促销手段，2024年是中国农历甲辰龙年，某主播用3000元购进了一批“小金龙”布偶玩具在直播间销售，由于销售火爆，又用9900元购进了第二批这种玩具，所购数量是第一批购进数量的3倍，但每件的进价贵了3元． (1)求商场购进第一批“小金龙”每件的进价； (2)直播间在第二批“小金龙”布偶销售过程中发现，“小金龙”布偶每分钟的销量（件）与销售单价（元）满足一次函数关系，设每分钟的销售利润为元，求与之间的函数关系式，并求最大值． 15．（2024·四川成都·一模）(新情境)年月日是联合国教科文组织确定的第个“世界读书日”．在世界读书日来临之际，某书店准备购进甲、乙两种图书进行销售，已知每本甲种图书的进价比每本乙种图书的进价多元，用元购买甲种图书的数量与用元购买乙种图书的数量相同． (1)求每本甲种图书与乙种图书的进价； (2)如果该书店决定用不超过元购买本甲种图书和若干本乙种图书，则乙种图书最多能购买多少本？ 16．（2024·四川成都·二模）(新情境)端午节吃粽子，是中国传统习俗．某商场预测今年端午节期间A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量与节后用200元购进的数量相同．根据以上信息，解答下列问题： (1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？ (2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？ 17．（2024·四川成都·二模）(新情境)小张周末到天府艺术公园参加销售文创产品的社会实践活动，销售产品5个，产品5个，销售金额125元；销售产品2个，产品5个，销售金额80元． (1)求两种文创产品销售单价分别是多少元？ (2)若产品进价12元，产品进价8元，小张用不超过980元购进两种产品共100件，准备用销售这批产品的利润购买250元课外科普读物，请问小张的目标能实现吗？若能，请给出相应的进货方案，若不能，请说明理由． 题型六：不等式的运算（计算题）★★★★★ 1．（2025·四川成都·一模）（）计算：． （）若关于的一元一次不等式组的解集为，求的取值范围． 2．（2024·四川成都·二模）（1）计算：．     （2）解不等式组： 3．（2025·四川成都·一模）（1）计算：．   （2）求不等式组的解集． 4．（2024·四川成都·模拟预测）（1）计算：． （2）解不等式组： 5．（2024·四川成都·模拟预测）计算或解不等式组． (1)计算：； (2)解不等式组并求它的所有整数解的和． 6．（2024·四川成都·模拟预测）（1）计算：； （2）解不等式组：． 7．（2024·四川成都·二模）（1）计算：； （2）解不等式组：． 8．（2024·四川成都·二模）（1）计算： （2）解不等式组： 9．（2024·四川成都·三模）（1）计算： （2）解不等式组： 10．（2024·四川成都·三模）（1）计算 （2）解不等式组：． 11．（2024·四川成都·三模）（1）计算：； （2）解不等式组：． 12．（2024·四川成都·三模）（1）计算：； （2）解不等式组：． 题型七：新定义类题型（创新题）★★★★★ 1．（2024·四川成都·模拟预测）定义：若（正整数，且）等于两个连续正奇数的乘积，则称n为“彗星数”．则“彗星数”n的最小值为 ，最大值为 ． 2．（2024·四川成都·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，若点满足，则称点为“积和点”．例如：，就是“积和点”．若直线上所有的点中只有唯一一个“积和点”，则 ． 3．（2024·四川成都·三模）在平面直角坐标系中给出以下定义：点，点，，，则我们称B是A的“跳跃点”．若二次函数的图象上恰有两个点的“跳跃点”在直线上，则a的取值范围为 ． 4．（2024·四川成都·二模）若实数m，n，p满足，且，我们将，，这三个数中最小的一个数记为t，则t的最大值为 ． 5．（2024·四川成都·一模）若两个正整数x，y满足且，则称x，y是一组“美丽数”，记为，则美丽数一共有 组． 6．（2023·四川成都·模拟预测）对于任何数a，符号表示不大于a的最大整数，例如：，，，如果，则满足条件的所有整数x的和为 ． 7．（2023·四川成都·二模）定义运算：，例如，则关于的方程的解是 ． 8．（2023·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”．例如，都是“黎点”．若抛物线（为常数）上有且只有一个“黎点”，当时，的取值范围是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$