八下期末压轴题专练（第五～六章：特殊平行四边形+反比例函数，十大题型）-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（浙教版）

浙教版八下期末压轴题专练 目录 压轴题型讲练 类型一、矩形的性质与判定 1 类型二、菱形的性质与判定 7 类型三、正方形的性质与判定 14 类型四、四边形之面积问题 20 类型五、四边形中的中点问题 27 类型六、四边形中的折叠问题 31 类型七、四边形之最值问题 36 类型八、四边形之动点问题 41 类型九、反比例函数图像与性质 48 类型十、反比例函数综合 51 类型一、矩形的性质与判定 1．如图，已知四边形是矩形，对角线，交于点，延长至点，使得，连结交于点．当时，有以下两个结论：①若，则，②若，则．则下列判断正确的是　　 A．①②均错误 B．①②均正确 C．①错误②正确 D．①正确②错误 【答案】：B 【解析】：解：①四边形是矩形，，， ，为等腰直角三角形，， ，，根据等腰三角形三线合一， ，若，设，则， ，， ， ，，， ，，， ，解得，即，故结论①正确； 若，则．设，则 ， ，， 在中，， 解得，， 故结论②正确；综上所述，结论①②正确． 选：． 2．如图，点是矩形内任意一点，连接，，，，记，，，，则下列结论正确的是　　 ①； ②若，，则； ③； ④，则在对角线上． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】：D 【解析】：解：过点作于点，交于点，连接， 四边形是矩形， ，，，， ，，， ，， ， ，故①正确； ，，， ．，， ， ， ， ， ，故②正确； ，，，，， ，， ，， ， ，，， ，故③正确； ，，， ，， 点在对角线上，故④正确， 选：． 3．如图，矩形中，，是上的两个点，，，垂足分别为，，若，，，且，则　　 A． B． C．3 D． 【答案】：B; 【解答】解：过点作于，延长交于，则是直角三角形． ，， ， 矩形中，， ， 在和中， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， 中，， 即． 选：． 4．四边形是矩形，点是射线上一点，连接，． （1）如图1，点在边的延长线上，，若，求的度数； （2）如图2，点在边的延长线上，，若是的中点，连接，，求证：； （3）如图3，点在边上，射线交射线于点，，，，则　　．（直接写出结果） 【答案】：（1）700 ; （2）①见解析 ②2； 【解析】：解：（1）如图1，连接，与交于点， 四边形是矩形，， ，，， ； （2）如图2，延长交延长线于， ，，， 是的中点，， ，，， ，即， 由（1）知：，， 又，； （3）如图3，取的中点，连接，则， ， 在矩形中，，， ， ， 在中，，， ． 答案：2． 5．如图，在矩形中，平分交于，连结，． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，若点是边上的一点，若，连结交于， ①猜想的度数，并说明理由； ②若，求的值． 【答案】：（1） ; （2）①，见解析 ②; 【解析】（1）解：四边形是矩形， ，，， 平分，， 是等腰直角三角形， ，， ； （2）①， 理由：连接，如图2所示： 由（1）得：，， 在和中，， ，，， ， ，， 是等腰直角三角形，； ②四边形是矩形，， ，过作于， ，，， ，， 由①知，， ， ，， 过作于，， ，， ，， ，，， ， ，，， 由①知，， ，， ． 类型二、菱形的性质与判定 1．已知边长为的菱形，，过点作两条夹角为的射线，分别交边，边于点，，连接，则下列命题正确的是　　 ①； ②的长度为定值； ③的形状为等边三角形； ④的最小值为3． A．①③ B．①②③④ C．③④ D．①③④ 【答案】：D; 【解析】：解：连接，如图所示： 四边形是菱形， ，，，， 是等边三角形， ，， ， ， 在和中，， ， ， 是等边三角形，②不正确，③正确，的面积的面积， 的面积，①正确， 当时，最小，等边的面积最小， 的面积， ，④正确； 故选：． 2．如图，在菱形中，点是对角线上一动点，于点，于点，记菱形高线的长为，则下列结论：①当为中点时，则；②；③；④若，，连结，则有最小值为2；⑤若，，连结，则的最大值为．其中错误的结论有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】：B; 【解析】：解：（1）如图： 菱形，，平分， ，，． ①正确，故①不符合． （2）如图：延长交于． 菱形，， ，． 菱形，平分， ，，． ．②正确，故②不符合． （3）菱形，． ，，， ，． ③正确,故③不符合． （4）过作，交于， ，． 最小，最小． ，， ，最小值． ④错误,故④符合． （5）过作． 设，由②知． ，又，， ， ，， ， ⑤错误，故⑤符合． 选：． 3．如图，在菱形中，于点． （1）若，，求菱形的周长； （2）连结交于点； ①若，求证：． ②设四边形和的面积分别是和，若，，求线段的长． 【答案】：（1） ; （2）①见解析 ②; 【解析】：（1）解：， ， 四边形是菱形， ， 在中，， ，解得：（负值舍去）， ， 菱形的周长是； （2）①证明：连接，连接交于点， 四边形是菱形，，， ， ，， ，，平分， 平分，， ，， ， ； ②连接，连接交于点， 四边形是菱形， ，，平分，， ， ，， ，， 四边形和的面积分别是和，， ， ，， ， ，， 设，则， 在中，， ，解得：， 在中，． 4．如图，在菱形中，，是对角线上任意一点，是线段延长线上一点，且，连接、． （1）如图1，当是线段的中点，且时，求的面积； （2）如图2，当点不是线段的中点时，求证：； （3）如图3，当点是线段延长线上的任意一点时，（2）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 【答案】：（1） ; （2）见解析 ;（3）成立，见解析 ； 【解析】：解：（1）四边形是菱形，， 是等边三角形，又是线段的中点， ，，， 的面积； （2）如图2，作交于， 是等边三角形，是等边三角形，， ，，， ，， ， 在和中，， ，； （3）成立， 如图3，作交的延长线于， 是等边三角形，是等边三角形，， 在和中，，， ． 5．如图，已知菱形，，点是射线上的动点，以为边向右侧作等边，连结． （1）如图1，点在线段上，求证：． （2）如图2，当，，三点共线时，连结，求证：四边形是菱形． （3）当时，求的值． 【答案】：（1）见解析 ; （2）见解析 ;（3）或 ； 【解析】：（1）证明：四边形是菱形，点在线段上， 由菱形的对称性可得， 是等边三角形，， ； （2）证明：连接，如图： 四边形是菱形，， ，是等边三角形， ，， 是等边三角形，，， ，， 在和中，， ，，， ， ，， 四边形是菱形，点在线段上， 由菱形的对称性可得，， 四边形是平行四边形， ，四边形是菱形； （3）解：当在线段上时，过作于，如图： ，，， 由菱形的对称性可知， 四边形是菱形，， ， ， 是等腰直角三角形， 设，则， 在中，， ， ， 当在延长线上时，连接交于，如图： ，，， 由菱形的对称性可知， ，， ，， 四边形是菱形，， 设，则， ， ， 在中， ， ， 综上所述，的值为或． 类型三、正方形的性质与判定 1．如图，正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，延长交边于点，连接、．则下列结论：①②③④⑤．其中正确的个数是　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】：C ； 解：，，， ，故①正确． ，设，则． 在直角中，根据勾股定理，得，解得． ，故②正确． ，是等腰三角形， ， 又，， ，，故③正确， 过作， ，， ，， ，，， ，相似比为：， ．故④错误， 在五边形中，， 即， ，故⑤正确， 故选：． 2．如图，将两个等腰直角三角形和拼接在正方形内部，其中，下列结论：①四边形是平行四边形；②是直角三角形；③若，则．其中正确结论的编号是　　 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】：D; 【解析】：解：结论①：四边形是平行四边形， ，都是等腰直角三角形，， ，，，， 四边形是平行四边形，故结论①正确； 结论②：是直角三角形， 如图所示，将绕点逆时针旋转得，连接，， 四边形是正方形，， 是等腰直角三角形，， ， 将绕点逆时针旋转得，点与点重合，， ，即， 在，中，，，， ，且， 是等腰直角三角形，即点，，在的斜边上，即点，，三点共线， ，都是等腰直角三角形，， ， 四边形是正方形，，， ， 在四边形中，， ，， ，，， ， 由结论①正确可知，四边形是平行四边形，， 在，中，，，， 将绕点逆时针旋转得，， ，，，， ，，且， 是等腰直角三角形，， ， ，，且， 是等腰直角三角形，， ，， ， 是直角三角形，故结论②正确； 结论③：若，则， 由结论②正确，可知是等腰直角三角形， ，， ，都是等腰直角三角形，即， 设，则，， 在等腰直角中，， 在中，，即，解得，， ，故结论③正确； 综上所述，正确的有①②③， 选：． 3．在正方形中，对角线与相交于点，点是线段上的动点． （1）如图1，若平分． ①求证：． ②若，求的长． （2）如图2，延长交于点连接．当时，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】：（1）①见解析 ; ②（2） ； 【解析】（1）①证明：四边形是正方形，， 平分，， ，， ，； ②过点作于点， ，， ，， ，， 平分，，， ； （2）， 理由：取的中点，连接，， 四边形是正方形， ，， 为的中点，为的中位线， ，， 在中，， ， 又，， ，，， ，， ， ，又， 四边形为平行四边形， ， ， ． 4．在正方形中，点在边上（不与点，点重合）．连接，作于点，交边于点，连接． （1）求证：． （2）若点是边的中点，． ①分别求，的长． ②求证：． 【答案】：（1）见解析 ;（ 2）①的长为，的长为； ②见解析 ; ； 【解析】（1）证明：四边形是正方形， ，，， ，， ，， 在和中，， ，； （2）①解：正方形是正方形，， ，， 在中，由勾股定理可得： ， ．，， 的长为，的长为． ②如图，过点作于点，则， ，， ， ， ，， 在和中，， ，， ，，， ，是线段的垂直平分线， ． 5．如图，在正方形中，，为正方形内一点，，，连结，，过点作，垂足为点，交的延长线于点，连结． （1）当时，求的度数； （2）判断的形状，并说明理由； （3）当时，求的长． 【答案】：（1）550; （2）等腰直角三角形，见解析 ；（3）； 【解析】解：（1）四边形是正方形，，， ，， ，， ． （2）结论：是等腰直角三角形． 理由：，，是的垂直平分线， ， ， ，，， ，， ，， ， 为等腰直角三角形． （3）如图，连接， 四边形是正方形， ， 为等腰直角三角形，， ， ， ， ， （负根已经舍弃）． 类型四、四边形之面积问题 1．如图，过的对称中心的线段交于点，交于点，为边上的一点，作交于，连结，，，则只需要知道下列哪个图形的面积，就能知道的面积　　 A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．四边形的面积 【答案】：B ； 【解析】解：过点作于点，过点作于点， ，， 过的对称中心，， ，， ，，， ， ， 即只需要知道的面积，就能知道的面积． 选：． 2．如图，点是矩形内一点，连结，，，，，知道下列哪个选项的值就能要求的面积　　 A．与面积之差 B．与面积之差 C．与面积之差 D．与面积之差 【答案】：C 【解析】：解：过作于，延长交于， 四边形是矩形，，，， 的面积，的面积， 的面积的面积矩形的面积， 的面积矩形的面积， 的面积的面积的面积， 的面积的面积的面积的面积， 的面积的面积的面积的面积的面积的面积的面积． 选：． 3．如图，矩形纸片，，，点、分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在处，连接，交于点，连接． （1）证明：四边形是菱形； （2）点与点重合时，求； （3）求的面积的取值范围． 【答案】：（1）见解析 ; （2） ；（3）; 【解析】（1）证明：如图1， ，， ，，， ，， ，四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：点与点重合时，如图2所示： 设，则， 在中，，即， 解得，， ，， ， ； （3）解：当过点时，如图3所示： 此时，最短，四边形的面积最小，则最小为， 当点与点重合时，最长，四边形的面积最大，则最大为， ． 4．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝8，点P在对角线BD上（不与点B，D重合），PE∥BC，PF∥DC． （1）若P是线段BD中点． 则四边形PECF的周长为　　，四边形PECF的面积为　　； （2）点P在线段BD上运动时，四边形PECF的周长是否为定值，请说明理由． （3）设PE＝x，求四边形PECF的面积（用含x的代数式表示），并说明x为何值时，四边形PECF面积有最大值． 【答案】：（1）16，8；（2）16 ；（3）8 ； 【解析】解：（1）∵如图，连接AC，交BD于点O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝8＝AD＝CD，∠CBD＝∠ABD，∠ADB＝∠CDB，AC⊥BD， ∴∠CBD＝∠ABD＝∠ADB＝∠CDB＝30°， ∵∠ABC＝60°，AB＝BC，∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝8，∴AO＝CO＝4，∴BO＝DO＝4， ∵PE∥BC，PF∥DC， ∴四边形PECF是平行四边形，∠BPF＝∠BDC，∠DPE＝∠DBC， ∴PE＝FC，PF＝CE，∠FBP＝∠FPB，∠DPE＝∠CDB， ∴BF＝PF，DE＝PE， ∴四边形PECF的周长＝PE+FP+CF+CE＝BF+CF+DE+CE＝BC+CD＝16， ∵P是线段BD中点，∴点P与点O重合， ∴∠FPC＝∠FCP＝60°，∴PF＝FC＝BF， ∴S△PFC＝S△BPC，∴四边形PECF的面积＝S△BPC＝×4×4＝8， 答案：16，8； （2）四边形PECF的周长是定值，理由如下， ∵PE∥BC，PF∥DC， ∴四边形PECF是平行四边形，∠BPF＝∠BDC，∠DPE＝∠DBC， ∴PE＝FC，PF＝CE，∠FBP＝∠FPB，∠DPE＝∠CDB， ∴BF＝PF，DE＝PE， ∴四边形PECF的周长＝PE+FP+CF+CE＝BF+CF+DE+CE＝BC+CD＝16； （3）如图2，过点P作PH⊥BC于H， ∵PE＝x＝FC，∴BF＝8﹣x＝PF， ∵∠PFH＝∠DBC+∠BPF＝60°，PH⊥BC， ∴∠FPH＝30°， ∴FH＝PF＝，PH＝×， ∴四边形PECF面积＝CF×PH＝x•（8﹣x）＝﹣（x﹣4）2+8， ∴当x＝4时，四边形PECF面积的最大值为8． 5．在正方形中，是对角线，点在边上（不与点重合），点在边上，连接，，，已知． （1）求证：． （2）设，的面积为，的面积为． ①当时，求证：； ②当时，求的值． 【答案】：（1）见解析；（2）①见解析 ; ② ； 【解析】（1）证明：四边形是正方形， ，， 在中，， ，， ，， ，； （2）解：设，则， ，， ， ， ， ①当时，， ，； ②当时，， （由于，所以，舍去）或， 即． 6．如图，在矩形中，为的中点，连接并延长交的延长线于点，过作交直线于点，连接． （1）证明：； （2）设． ①若点落在的平分线上，求的值． ②设，求关于的函数表达式． 【答案】：（1）见解析；（2）① ; ② ； 【解析】解：（1）点为的中点，， 四边形是矩形，， ， 在和中，， ，，， ，垂直平分，，， ； （2）①由（1）得：， 点落在的平分线上， ，， ， ，， ，，， 为的中点，，，， ，，； ②设，则， 由（1）得：，， ， 当点在上时，即时，如图1， 设，则， 在中，， ，解得：， ， ，， 当点在的延长线上时，即时，如图2， 设，则， 在中，， ，解得：， ， ， ， 关于的函数表达式为． 类型五、四边形中的中点问题 1．如图，在菱形中，，，分别是边和的中点，于点，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】：A 【解析】：解：延长交的延长线于点．如图所示： 四边形是菱形，，， 是边的中点，， 在与中，，， ，为中点． 又，，， ，，， ， ，即， 四边形为菱形，，， ，分别为，的中点，，， ； 选：． 2．如图，在平行四边形中，，，是锐角，于点，是的中点，连接，．若，则的长为　　． 【答案】：； 【解析】解：如图，延长交的延长线于，连接，设， 四边形是平行四边形，，， ， ，，， ，， ，， ， ，，， ， ，， 整理得：， 解得或（舍弃），， ， 答案：． 3．如图，矩形和矩形，，，，点在边上，点在边上，且，连接和，，分别是，的中点，则的长为　　 A．3 B．6 C． D． 【答案】：C ； 【解析】解：连接，交于，延长交于，连接，如图所示： 则四边形是矩形， ，， 四边形是矩形， ，， ，，， 在中，由勾股定理得：， 在和中，， ，，点与点重合， 点是的中点，是的中位线， ， 选：． 4．如图，在矩形中，为中点，作，交对角线于点，连结．取中点，取中点，连结．若，，则的长度为　　 A． B． C． D． 【答案】：B; 【解析】：解：四边形是矩形，，，为中点， ，，，，， ，四边形是平行四边形，， ，四边形是矩形， ，，，， 在和中， ，和，，， 连结，取的中点，连结、，， ，， 、分别是、的中点，，，，， ，，， ， ， 选：． 5．如图，在正方形中，点、分别是、的中点，、交于点，连接．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】：A; 【解析】：解：四边形是正方形， ，，， ， 、分别是、的中点，，， 在和中，，， ， ，， ． 如图：延长交的延长线于， ，， 在和中， ，， ，点是的中点， ，，， ， ． 选：． 类型六、四边形中的折叠问题 1．如图，在菱形纸片中，，，将菱形纸片翻折，使点落在的中点处，折痕为，点、分别在边，上，则的长为　　 A． B． C．4 D． 【答案】：A ； 【解析】解：作于，如图所示： 四边形是菱形，，，， ，， 是中点，， ，， ，， 由折叠的性质得：，， 在中，． ， 解得：， 选：． 2．如图，矩形中，，，连结对角线，为的中点，为边上的动点，连结，作点关于的对称点，连结，，若与的重叠部分面积等于的，则　　． 【答案】：； 【解析】:解：如图1中，当点在线段上时，连接，，作于，于． 与的重叠部分面积等于的， ， ，于，于， ， ，， ，， ，四边形是平行四边形， ， ； 综上所述：． 答案:． 3．如图，对折矩形纸片，使边与重合，折痕为，将纸片展平后再次折叠，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的值为 　　．（用含的代数式表示） 【答案】：； 【解析】:解：已知， 设，则， 对折矩形纸片，使边与重合，折痕为， 则，， 由点落在上的点处，折痕交于点，可知， ， 在中，，， ，， ，即， ， ， 在中，， ． 答案：． 4．【问题情境】如图，在矩形中，，．点是射线上的一点，将矩形沿直线折叠，点的对应点为点． 【猜想证明】 （1）当点落在边上时，四边形的形状为 　 　． （2）当平分时，连接，求． 【能力提升】 （3）在【问题情境】的条件下，是否存在点，使点，，三点共线．若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】：（1）正方形 ; （2） ; （3）或．; 【解析】：解：（1）如图 四边形是矩形， ，，此时， 由翻折的性质可知：，， ，， ，， 四边形是平行四边形， ，四边形是菱形， ，四边形是正方形， 答案：正方形； （2）过点作于点，如图2，则， ，平分，， ，，， 设由翻折的性质可知：， 在中，由勾股定理得：， 解得：（负值已舍去），即， ； （3）存在点，使点，，三点共线．理由如下： ①点在线段上，当、、三点共线时，如图 由翻折的性质可知：， ，， ，， 四边形是矩形，，，， 中，由勾股定理得， ； ②点在线段延长线上，当、、三点共线时，如图 同理可求：， ， 综上：或． 5． 如图，点，分别是正方形的边，上的点，将正方形沿折叠，使得点的对应点恰好落在边上，交于点，作于点，交于点，连结． （1）求证：． （2）问四边形是什么特殊四边形？请说明理由． （3）①若，，三点在一条直线上，求证：． ②若为的中点，求的值． 【答案】：（1）见解析；（2）菱形，理由见解析；（3）①见解析；②2； 【解析】：（1）证明：四边形为正方形，， 由折叠可知，， ，， ； （2）解：四边形为菱形．理由如下： 由折叠知，，，， ，， ，， 又，，， 四边形为菱形； （3）解：①连结，， 四边形为菱形，， ，， 在与中，，， ，， ，， ，， ，， ，，三点在同一直线上，，， ； ②设，，则，，， ，， 在中，， 即，解得， ． 类型七、四边形之最值问题 1．如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连 接，，则的最小值为　　 A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】：D； 【解析】:解：如图，连接， 在矩形中，，， ，， ，，四边形是平行四边形， ，， 则，则的最小值转化为的最小值， 在的延长线上截取，连接， ，是的垂直平分线， ，， 连接，则， ，， ． 的最小值为13． 选：． 2．如图，矩形中，，，点，，，分别在矩形各边上，且四边形为平行四边形，则平行四边形周长的最小值为　　 A． B． C． D． 【答案】：B； 【解析】:解：作点关于的对称点，连接交于点，此时最小，即四边形周长最小，过点作于点，如图所示， 四边形为矩形， ，， 又四边形为平行四边形，， ，， ，， ，， ，，， ，， ． 选：． 3．如图，已知四边形为菱形，，，为对角线，为边上一动点，且交于点，连接，，为的中点，连接． ①若为的中点，则的长为 　　； ②点在运动过程中，的最小值为 　　． 【答案】：①2 ；② 3 ； 【解析】：解：（1）四边形为菱形，， 点为的中点，，为的中位线， 点为的中点， ； （2）延长到，使，连接，，延长交于， 四边形为菱形，， 又，为等边三角形， ， ，，， 为等边三角形，， ，， ，， ， 无论点在上如何运动，始终有，即：， ，即，， 点为的中点，， 为的中位线， ， 当为最小时，为最小， 根据“垂线段最短”得：当时，为最小， 即当点与点重合时，为最小，最小值为线段的长， 在中，，， ，， 的最小值为6， 的最小值为3． 4．菱形中，，是中点，连接，，点是上一动点，为中点，连接． （1）　　； （2）若，则的最小值为 　　． 【答案】：； 【解析】：解：（1）连接，如图1所示： 四边形为菱形，， ，为等边三角形，， 点是的中点，平分， ， 答案：． （2）设的中点为，的中点为，连接，，，，，过作于，如图2所示： 点为的中点，为的中位线，为的中位线， ，，点，，在同一条直线上， 当点在上运动时，点在上运动， 根据“垂线段最短”得：当点与点重合时，为最短，最短距离为线段的长， 四边形为菱形，，， ，，， 和均为等边三角形， 点为的中点，点为的中点， ，，，， ，， 四边形为矩形，，， 在中，由勾股定理得：，， 点为的中点，， 在中，由勾股定理得：， 由三角形的面积公式得：，即， ，的最小值为， 答案：． 5．在边长为4的正方形中，点，分别是边，上的动点，且． （1）如图1，连接和交于点，求证：． （2）如图2，连接和交于点，连接，若点为的中点，求的长． （3）如图3，连接，，则的最小值为 　　． 【答案】：（1）见解析；（2）4；（3）； （1）证明：四边形是正方形， ，， 又，， ， ，， ，； （2）解：延长，交的延长线于点， 由（1）可知，， ，， ，， ，， 四边形是正方形，，， 由（1）知，， ； （3）解：如图3，连接，延长至，使，连接，， ，， ，，， ，， ， 当点，点，点三点共线时，有最小值为， ，， ， 的最小值为； 答案：． 类型八、四边形之动点问题 1．如图，在中，，延长中线到点，作，点从点开始沿射线方向以秒的速度运动，设运动时间为秒．过点作，垂足是点，连接，．若，，且当时，四边形是菱形． （1）求的长． （2）若四边形的一条对角线等于其中一边，求的值． 【答案】：(1) ; （2） 的值是或； 【解析】：解：（1），，点从点开始沿射线方向以秒的速度运动， 当时，，， ，， ，是的中线，垂直平分，， ，，， 当时，四边形是菱形，， 即的长是； （2）当时， ，， ，，， ， ，，， 解得，； 当时，则， ，，，， ，， ，，， 解得，； 当时，不成立； 当时， ，， ，解得，（舍去）， 综上所述，的值是或． 2．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在轴、轴上，且，为直线上一动点，连，过作，交直线、直线于点、，连． （1）求直线的解析式． （2）当为中点时，求的长． （3）在点的运动过程中，坐标平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的横坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】：(1) ; （2） ；（3）点横坐标为：4或或或． ； 【解析】：解：（1）矩形的顶点、分别在轴、轴上，且， 点，点， 设直线的解析式：，代入点，坐标， 得，解得， 直线解析式：； （2）为的中点，， 在矩形中，，， 又，，，， ， 为线段的垂直平分线，， 设，则，，， ，， 在中，根据勾股定理， 得，解得， ； （3）存在以、、、为顶点的四边形为菱形，分情况讨论： ①以，为边，则， ，为的中点， 由（2）可知点，，点，， 根据平移的性质，可得点的坐标为， 点的横坐标为4； ②如图1， 以，为边，， 延长至，使，在的延长线上截取，连接， ，，， ，， ，， ， ，， 同理可得：， ，， ，， ，，， ，， 设， 在中，，，， ，，，，， ，点横坐标为：； 如图2， 以，为边，， 作于，连接，作与， 可得，， 平分， ，，设， 在中，，，， ， ， ，， ，， 如图3， 当点在的延长线上时， 当时，可得， ， ，四边形是平行四边形， ，， ， 即点的横坐标是， 综上所述：点横坐标为：4或或或． 3．如图，在正方形中，是对角线上的一动点（包括点、点，点在直线上，且． （1）求证：； （2）连接，求证：为等腰直角三角形； （3）若，点在上运动过程中，求出面积的最大值和最小值． 【答案】：（1）见解析；（2）见解析；（3）4；2； 【解析】：（1）证明：在正方形中，，， 在和中， ， ； （2）证明：，， ，， ，， 为等腰直角三角形； （3）解：为等腰直角三角形， 面积， 点与点或重合时，面积最大，点与正方形的中心重合是面积最小， ， 面积的最大值， 最小值． 4．如图，在等腰中，，，点从点沿着射线以每秒3个单位的速度运动，过点作的平行线交的外角平分线于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当点是边的中点时，连接，试判断四边形的形状，并说明理由； （3）设运动时间为秒，是否存在的值，使得以的其中两边为边所构造的平行四边形恰好是菱形？若存在，请求出的值；若不存在，试说明理由． 【答案】：（1）见解析；（2）矩形，见解析；（3）的值为秒或秒或2秒；； 【解析】：证明：（1）如图1， ，， 平分，， ， ，， ，四边形是平行四边形； （2）四边形是矩形， 理由是： 是的中点，，，， 由（1）知：四边形是平行四边形，， ，， 四边形是平行四边形，且， 四边形是矩形； （3）①以和两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形时，如图2， ，即，； ②以和两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形时，如图3，过作于，连接， ，， ， 由勾股定理得：， 四边形是菱形， ，且， ，且， ， ， ， ； ③以和两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形时，如图4，，此时与重合， ， 综上所述，的值为秒或秒或2秒； 类型九、反比例函数图像与性质 1．已知点，，，，，都在反比例函数的图象上，且，下列正确的选项是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】：D; 【解析】：解：、，若，则，则，， 故，本选项不正确； 、，若，则，则，， 故，本选项不正确； 、，若，则，则，， 故，本选项不正确； 、，若，则，则，， 故，本选项正确； 选：． 2．已知点，，，在反比例函数的图象上，下列说法正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】：C; 【解析】：解：反比例函数的常量，反比例函数的图象分布在第二、四象限， 点，，，在反比例函数图象上，，， 、若，则或，选项错误，不符合题意； 、若，则或，选项错误，不符合题意； 、若，则，选项正确，符合题意； 、若，则，选项错误，不符合题意； 选：． 3．已知两个反比例函数，．当时，的最大值和最小值分别为，，的最大值和最小值分别为，．若，则的值为　　 A． B． C． D．5 【答案】：D 【解析】：解：在反比例函数中，当，时，图象在第一象限，，随的增大而减小；当，时，图象在第四象限，随的增大而增大； 两个反比例函数，．当时，的最大值和最小值分别为，，的最大值和最小值分别为，．若，即有，则， ，，，， ，解得， ，， ． 选：． 4．已知反比例函数． （1）若点，在此反比例函数图象上，求的值． （2）若点，和，是此反比例函数图象上的任意两点， ①当，，且时，求的值； ②当时，试比较，的大小． 【答案】：（1）；（2）①；②当或，则； 当时，； 【解析】：解：（1）把点，代入得， 解得； （2）①点，和，是反比例函数图象上的两点， ，， ， ； ②当或，则； 当时，． 5．设函数，． （1）若函数的图象经过点，求，的函数表达式． （2）若函数与的图象关于轴对称，求，的函数表达式． （3）当，函数的最大值为，函数的最小值为，求与的值． 【答案】：（1），；；（2），；（3）与的值为6、6或、．； 【解析】：解：（1）函数的图象经过点， ，，， ，； （2）函数与的图象关于轴对称， ，， ，． （3）当时，函数，的图象在第一、三象限， 根据题意，当时，函数有最大值，当时，函数有最小值， ，解得； 当时，函数，的图象在第二、四象限， 根据题意，当时，函数有最大值，当时，函数有最小值， ，解得； 当时，函数图象在二、四象限，函数的图象在第一、三象限， 根据题意，当时，函数有最大值，当时，函数有最小值， ，不合题意， 故与的值为6、6或、． 类型十、反比例函数综合 1．如图，在直角坐标系xOy中，已知点A，点B分别是x轴和y轴上的点，过x轴上的另一点D作DC∥AB，与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于C、E两点，E恰好为CD的中点，连结BE和BD．若OD＝3OA，△BDE的面积为2，则k的值为（　　） A．3 B． C．2 D．1 【答案】：（1）C； 【解析】：解：过点C作CF⊥x轴，过点E作EG⊥x轴， ∴CF||EG， ∵E恰好为CD的中点， ∴EG为△DCF的中位线， ∵点C、E是反比例函数y＝（k≠0）的图象上的点， 设EG＝m，CF＝2m，DG＝FG＝n， ∴OF•CF＝OG•EG＝|k|，即OF•2m＝（OF+n）•m， ∴OF＝n． ∵DC∥AB，△BDE的面积为2， ∴S△BDE＝S△ADE＝2， ∵OD＝3OA，DG＝FG＝OF＝n， ∴OA＝DG＝FG＝OF＝n，AD＝4OA， ∴S△ADE＝•AD•EG＝•4n•m＝2，即mn＝1， ∴|k|＝OG•EG＝2mn＝2， ∵反比例函数图象的一支在第一象限， ∴k＝2． 选：C． 2．如图，四边形ABCD的顶点B、D两点在反比例函数y＝（k1＞0）的图象上，A、C两点在反比例函数y＝（k2＜0）的图象上，AD∥x轴∥BC，AD＝2BC，S△BCD＝6，则k1﹣k2的值为 　　． 【答案】：（1），；；（2），；（3）与的值为6、6或、．； 【解析】：解：过点D作DE⊥BC交BC于点E， 设点B的坐标为（a，），点A的坐标为（b，）， ∵AD∥x轴∥BC，∴点D的坐标为（，），点C的坐标为（，）， ∴DA＝﹣b，CB＝﹣a， ∵AD＝2BC，∴﹣b＝2（﹣a），整理得，b＝﹣， DE＝﹣＝k2÷（﹣）﹣＝﹣， ∵S△BCD＝BC•DE＝（﹣a）•（﹣）＝（k1﹣k2）＝6， ∴k1﹣k2＝8， 答案：8 3．如图，点A，B在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，连接OA，AB，以OA，AB为边作▱OABC，若点C恰好落在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，此时▱OABC的面积是（　　） A．3 B． C．2 D．6 【答案】：A； 【解析】：解：如图，连接AC，BO交于点E，作AG⊥x轴，CF⊥x轴， 设点A（a，﹣），点C（m，）（a＜0，m＞0） ∵四边形ABCO是平行四边形 ∴AC与BO互相平分 ∴点E（） ∵点O坐标（0，0）∴点B[（a+m），（﹣）] ∵点B在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，∴﹣+＝﹣ ∴a＝﹣2m，a＝m（不合题意舍去）∴点A（﹣2m，） ∴S△AOC＝（）（m+2m）﹣﹣1＝ ∴▱OABC的面积＝2×S△AOC＝3 选：A． 4．如图反比例函数y＝的图象与直线y＝﹣x+m（m＞0）交于A，B两点（点A在点B左侧），过点A作x轴的垂线，垂足为点C，连接AO，BO，图中阴影部分的面积为6，则m的值为 　　． 【答案】：3； 【解析】：解：过点A、B分别作y轴和x轴的垂线，垂足分别为R、F， 设点M是AB的中点， 由整理得：x2﹣mx+6＝0， 由题意可得x2﹣mx+6＝0有两个不相等的实数根分别设为x1，x2， 则x1+x2＝m， 则y1+y2＝﹣x1+m﹣x2+m＝m， 则点M的坐标为（m，m）， 设直线AB交x轴于点G，交y轴于点H， 对于y＝﹣x+m，令x＝0，则y＝m，令y＝0，则x＝m，∴点G、H的坐标分别为（m，0）、（0，m）， 则点HG中点的坐标为（m，m）， 即点M也为GH的中点，故AH＝BG， ∵AR∥x轴，∴∠HAR＝∠BGF， ∵∠HRA＝∠BFG＝90°，∴△HRA≌△BFG（AAS）， ∴AR＝OC＝FG，∴S△HRA＝S△BFG， ∵S△AEO+S△OCE+S△OCE+S四边形ECFB＝|k|+|k|＝6， 而阴影部分的面积＝S△AEO+S四边形EBFC+S△BFG＝6， ∴S△BFG＝2S△OEC，即×CO•EC＝2×BF•FG， 而OC＝FG，∴EC＝BF，即EC是△OBF的中位线， 故设点A的坐标为（t，），则点B（2t，）， 将点A、B的坐标代入一次函数表达式得： ，解得（不合题意的值已舍去）， 答案：3． 5．反比例函数和一次函数的图象交于第一象限内两点，，，，且．记，． （1）若， ①计算的值． ②当时，求的取值范围． （2）当时，求和的值． 【答案】：（1）①-4；②;（2）,； 【解析】：解：（1）①反比例函数的图象经过第一象限内两点，，，， ， ，； ②，， ，， ，； （2），，， ，，， ，，， 一次函数的图象经过点、，， 解得，． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 浙教版八下期末压轴题专练 目录 压轴题型讲练 类型一、矩形的性质与判定 1 类型二、菱形的性质与判定 3 类型三、正方形的性质与判定 5 类型四、四边形之面积问题 8 类型五、四边形中的中点问题 10 类型六、四边形中的折叠问题 12 类型七、四边形之最值问题 14 类型八、四边形之动点问题 15 类型九、反比例函数图像与性质 17 类型十、反比例函数综合 18 类型一、矩形的性质与判定 1．如图，已知四边形是矩形，对角线，交于点，延长至点，使得，连结交于点．当时，有以下两个结论：①若，则，②若，则．则下列判断正确的是　　 A．①②均错误 B．①②均正确 C．①错误②正确 D．①正确②错误 2．如图，点是矩形内任意一点，连接，，，，记，，，，则下列结论正确的是　　 ①； ②若，，则； ③； ④，则在对角线上． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 3．如图，矩形中，，是上的两个点，，，垂足分别为，，若，，，且，则　　 A． B． C．3 D． 4．四边形是矩形，点是射线上一点，连接，． （1）如图1，点在边的延长线上，，若，求的度数； （2）如图2，点在边的延长线上，，若是的中点，连接，，求证：； （3）如图3，点在边上，射线交射线于点，，，，则　　．（直接写出结果） 5．如图，在矩形中，平分交于，连结，． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，若点是边上的一点，若，连结交于， ①猜想的度数，并说明理由； ②若，求的值． 类型二、菱形的性质与判定 1．已知边长为的菱形，，过点作两条夹角为的射线，分别交边，边于点，，连接，则下列命题正确的是　　 ①； ②的长度为定值； ③的形状为等边三角形； ④的最小值为3． A．①③ B．①②③④ C．③④ D．①③④ 2．如图，在菱形中，点是对角线上一动点，于点，于点，记菱形高线的长为，则下列结论：①当为中点时，则；②；③；④若，，连结，则有最小值为2；⑤若，，连结，则的最大值为．其中错误的结论有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，在菱形中，于点． （1）若，，求菱形的周长； （2）连结交于点； ①若，求证：． ②设四边形和的面积分别是和， 若，，求线段的长． 4．如图，在菱形中，，是对角线上任意一点，是线段延长线上一点，且，连接、． （1）如图1，当是线段的中点，且时，求的面积； （2）如图2，当点不是线段的中点时，求证：； （3）如图3，当点是线段延长线上的任意一点时，（2）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 5．如图，已知菱形，，点是射线上的动点，以为边向右侧作等边，连结． （1）如图1，点在线段上，求证：． （2）如图2，当，，三点共线时，连结，求证：四边形是菱形． （3）当时，求的值． 类型三、正方形的性质与判定 1．如图，正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，延长交边于点，连接、．则下列结论：①②③④⑤．其中正确的个数是　　 A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，将两个等腰直角三角形和拼接在正方形内部，其中，下列结论：①四边形是平行四边形；②是直角三角形；③若，则．其中正确结论的编号是　　 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3．在正方形中，对角线与相交于点，点是线段上的动点． （1）如图1，若平分． ①求证：． ②若，求的长． （2）如图2，延长交于点连接．当时，探究与的数量关系，并说明理由． 4．在正方形中，点在边上（不与点，点重合）．连接，作于点，交边于点，连接． （1）求证：． （2）若点是边的中点，． ①分别求，的长． ②求证：． 5．如图，在正方形中，，为正方形内一点，，，连结，，过点作，垂足为点，交的延长线于点，连结． （1）当时，求的度数； （2）判断的形状，并说明理由； （3）当时，求的长． 类型四、四边形之面积问题 1．如图，过的对称中心的线段交于点，交于点，为边上的一点，作交于，连结，，，则只需要知道下列哪个图形的面积，就能知道的面积　　 A．的面积 B．的面积 2．如图，点是矩形内一点，连结，，，，，知道下列哪个选项的值就能要求的面积　　 A．与面积之差 B．与面积之差 C．与面积之差 D．与面积之差 3．如图，矩形纸片，，，点、分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在处，连接，交于点，连接． （1）证明：四边形是菱形； （2）点与点重合时，求； （3）求的面积的取值范围． 4．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝8，点P在对角线BD上（不与点B，D重合），PE∥BC，PF∥DC． （1）若P是线段BD中点． 则四边形PECF的周长为　　，四边形PECF的面积为　　； （2）点P在线段BD上运动时，四边形PECF的周长是否为定值，请说明理由． （3）设PE＝x，求四边形PECF的面积（用含x的代数式表示），并说明x为何值时，四边形PECF面积有最大值． 5．在正方形中，是对角线，点在边上（不与点重合），点在边上，连接，，，已知． （1）求证：． （2）设，的面积为，的面积为． ①当时，求证：； ②当时，求的值． 6．如图，在矩形中，为的中点，连接并延长交的延长线于点，过作交直线于点，连接． （1）证明：； （2）设． ①若点落在的平分线上，求的值． ②设，求关于的函数表达式． 类型五、四边形中的中点问题 1．如图，在菱形中，，，分别是边和的中点，于点，则的度数为　　 2．如图，在平行四边形中，，，是锐角，于点，是的中点，连接，．若，则的长为　　． 3．如图，矩形和矩形，，，，点在边上，点在边上，且，连接和，，分别是，的中点，则的长为　　 A．3 B．6 C． D． 4．如图，在矩形中，为中点，作，交对角线于点，连结．取中点，取中点，连结．若，，则的长度为　　 A． B． C． D． 5．如图，在正方形中，点、分别是、的中点，、交于点，连接．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 类型六、四边形中的折叠问题 1．如图，在菱形纸片中，，，将菱形纸片翻折，使点落在的中点处，折痕为，点、分别在边，上，则的长为　　 A． B． C．4 D． 2．如图，矩形中，，，连结对角线，为的中点，为边上的动点，连结，作点关于的对称点，连结，，若与的重叠部分面积等于的，则　　． 3．如图，对折矩形纸片，使边与重合，折痕为，将纸片展平后再次折叠，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的值为 　　．（用含的代数式表示） 4．【问题情境】如图，在矩形中，，．点是射线上的一点，将矩形沿直线折叠，点的对应点为点． 【猜想证明】 （1）当点落在边上时，四边形的形状为 　 　． （2）当平分时，连接，求． 【能力提升】 （3）在【问题情境】的条件下，是否存在点，使点，，三点共线．若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 5． 如图，点，分别是正方形的边，上的点，将正方形沿折叠，使得点的对应点恰好落在边上，交于点，作于点，交于点，连结． （1）求证：． （2）问四边形是什么特殊四边形？请说明理由． （3）①若，，三点在一条直线上，求证：． ②若为的中点，求的值． 类型七、四边形之最值问题 1．如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连 接，，则的最小值为　　 A．10 B．11 C．12 D．13 2．如图，矩形中，，，点，，，分别在矩形各边上，且四边形为平行四边形，则平行四边形周长的最小值为　　 A． B． C． D． 3．如图，已知四边形为菱形，，，为对角线，为边上一动点，且交于点，连接，，为的中点，连接． ①若为的中点，则的长为 　　； ②点在运动过程中，的最小值为 　　． 4．菱形中，，是中点，连接，，点是上一动点，为中点，连接． （1）　　； （2）若，则的最小值为 　　． 5．在边长为4的正方形中，点，分别是边，上的动点，且． （1）如图1，连接和交于点，求证：． （2）如图2，连接和交于点，连接，若点为的中点，求的长． （3）如图3，连接，，则的最小值为 　　． 类型八、四边形之动点问题 1．如图，在中，，延长中线到点，作，点从点开始沿射线方向以秒的速度运动，设运动时间为秒．过点作，垂足是点，连接，．若，，且当时，四边形是菱形． （1）求的长． （2）若四边形的一条对角线等于其中一边，求的值． 2．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在轴、轴上，且，为直线上一动点，连，过作，交直线、直线于点、，连． （1）求直线的解析式． （2）当为中点时，求的长． （3）在点的运动过程中，坐标平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的横坐标，若不存在，请说明理由． 3．如图，在正方形中，是对角线上的一动点（包括点、点，点在直线上，且． （1）求证：； （2）连接，求证：为等腰直角三角形； （3）若，点在上运动过程中，求出面积的最大值和最小值． 4．如图，在等腰中，，，点从点沿着射线以每秒3个单位的速度运动，过点作的平行线交的外角平分线于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当点是边的中点时，连接，试判断四边形的形状，并说明理由； （3）设运动时间为秒，是否存在的值，使得以的其中两边为边所构造的平行四边形恰好是菱形？若存在，请求出的值；若不存在，试说明理由． 类型九、反比例函数图像与性质 1．已知点，，，，，都在反比例函数的图象上，且，下列正确的选项是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．已知点，，，在反比例函数的图象上，下列说法正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．已知两个反比例函数，．当时，的最大值和最小值分别为，，的最大值和最小值分别为，．若，则的值为　　 A． B． C． D．5 4．已知反比例函数． （1）若点，在此反比例函数图象上，求的值． （2）若点，和，是此反比例函数图象上的任意两点， ①当，，且时，求的值； ②当时，试比较，的大小． 5．设函数，． （1）若函数的图象经过点，求，的函数表达式． （2）若函数与的图象关于轴对称，求，的函数表达式． （3）当，函数的最大值为，函数的最小值为，求与的值． 类型十、反比例函数综合 1．如图，在直角坐标系xOy中，已知点A，点B分别是x轴和y轴上的点，过x轴上的另一点D作DC∥AB，与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于C、E两点，E恰好为CD的中点，连结BE和BD．若OD＝3OA，△BDE的面积为2，则k的值为（　　） A．3 B． C．2 D．1 2．如图，四边形ABCD的顶点B、D两点在反比例函数y＝（k1＞0）的图象上，A、C两点在反比例函数y＝（k2＜0）的图象上，AD∥x轴∥BC，AD＝2BC，S△BCD＝6，则k1﹣k2的值为 　　． 3．如图，点A，B在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，连接OA，AB，以OA，AB为边作▱OABC，若点C恰好落在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，此时▱OABC的面积是（　　） A．3 B． C．2 D．6 4．如图反比例函数y＝的图象与直线y＝﹣x+m（m＞0）交于A，B两点（点A在点B左侧），过点A作x轴的垂线，垂足为点C，连接AO，BO，图中阴影部分的面积为6，则m的值为 　　． 5．反比例函数和一次函数的图象交于第一象限内两点，，，，且．记，． （1）若， ①计算的值． ②当时，求的取值范围． （2）当时，求和的值． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$