6.2平行四边形的判定（7大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（北师大版）

6.2平行四边形的判定 一、平行四边形的判定 1．下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 3．观察下图，根据所标注的数据能判断其一定是平行四边形的是（   ） A．只有③ B．只有② C．①② D．①②③ 4．下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．如图，已知，要使四边形为平行四边形，则四边形的各内角度数依次为（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 6．下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 7．依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，已知线段和射线，且，在射线上找一点C，使得四边形是平行四边形，下列作法不一定可行的是（  ） A．过点D作与交于点C B．在下方作与交于点C，使 C．在上截取，使，连接 D．以点D为圆心，长为半径画弧，与交于点C，连接 9．在四边形中，对角线与相交于点，给出六组条件：①，；②，；③，；④，；⑤，；⑥，．能判定此四边形是平行四边形的有（　　）组． A．5 B．4 C．3 D．2 10．在四边形中，对角线与相交于O点，给出五组条件： （1），； （2），；   （3），；   （4），；   （5），． 能判定此四边形是平行四边形的有（   ）组． A．5 B．4 C．3 D．2 二、添加条件构成平行四边形 11．如图，在四边形中，，要使四边形是平行四边形，下列添加的条件不正确的是（　　） A． B． C． D． 12．如图，是的边延长线上一点，连接，，，交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 13．图给出了四边形的部分数据，若使得四边形为平行四边形，添加的条件可以是（ ） A． B． C． D． 14．如图所示，将绕边的中点O旋转．小颖发现旋转后的与构成了平行四边形，她的推理思路如下：为保证小颖的推理更严谨，小明想在方框中“由，” 和“得四边形……”之间作补充．应补充的是（  ） 点A、C分别转到点C、A处， 而点D转到点B处．由， 得四边形是平行四边形． A．且 B．且 C．且 D．且 15．如下是不完整的推理过程： 证明： ， . __________, 四边形是平行四边形. 若要保证推理成立，在横线上添加的条件可以是（    ） A． B． C． D． 16．如图，在四边形中，，添加下列条件后仍不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 17．如图，在四边形中，对角线，相交于点，其中是的中点，添加一个条件： ，使四边形是平行四边形． 18．在四边形中，，再从下列四个条件中：①；②；③；④任选一个，能使四边形为平行四边形的条件的序号是 ． 19．如图，平行四边形中，E，F是对角线上的两点，有如下四个条件：①；②；③；④，如果从中选择一个作为添加条件，使四边形是平行四边形，那么这个添加的条件可以是 （填写序号）． 20．如图，在平行四边形中，，，垂足分别是E，F．      (1)求证：； (2)连接，请添加一个与角度相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由） 21．如图，在四边形中，，是对角线上的两点． (1)若，请添加一个条件：_________，使得四边形为平行四边形． (2)在（1）的条件下，若，求证：四边形是平行四边形． 三、平行四边形的构造问题 22．如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（   ）个 A． B． C． D．无数 23．如图所示，在中，，，分别是，，上的点，且，，，则图中平行四边形共有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 24．如图所示的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的两个端点都在格点上，若线段为的一边，的四个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的平行四边形的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．8个 D．11个 25．如图，的方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多有 个． 26．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B都在格点上（两条网格线的交点叫格点）． (1)作出三角形关于直线对称的三角形 (2)说明三角形可以由三角形经过怎样的变换而得到？ (3)若在图中，有一点D，连接A，B，C，D，可以构成一个平行四边形，请在图2中画出． 27．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，解答下列问题： (1)将先向右平移5个单位，再向下平移5个单位得到，作出并写出三个顶点的坐标； (2)将绕点O按顺时针方向旋转得到，作出； (3)若将绕某一点旋转可得到，在图中作出该点并写出旋转中心的坐标 ； (4)若以A、B、C、D四个点为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标为 ． 28．如图，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长分别为1和2，另一种纸片的两条直角边长都为2．图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1． (1)请用三种方法将图中所给四块直角三角形纸片拼成平行四边形（非矩形），每种方法要把图中所给的四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙，三种方法所拼得的平行四边形（非矩形）的周长互不相等，并把你所拼得的图形按实际大小画在图1、图2、图3的方格纸上． 要求：①所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合； ②画图时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹． (2)请证明你在图1所拼得的四边形是平行四边形（非矩形）． 29．在直角坐标系中，已知四边形各顶点的坐标为：． (1)若将此四边形向左沿水平方向平移3个单位，再向上平移2个单位，请直接写出平移后的、、、各点的坐标； (2)求； (3)在坐标平面中有一点P，使以A，B，C，P为顶点的四边形为平行四边形，请写出所有符合要求的P点坐标．（平行四边形对边平行且相等） 30．如图，在四边形中，，点P先以每秒2个单位长度的速度由A向D运动，再以每秒4个单位长度的速度沿射线运动，点Q以每秒2个单位长度的速度由A向B运动．点P、点Q同时出发，当点Q到达终点时，点P随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)直接写出的长是________； (2)当点P在线段上时，________；当点P在射线上时，________；（用含t的代数式表示） (3)当是等腰三角形时，求t的值； (4)连结，以中两个顶点和点P、点Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t值． 四、应用平行四边形性质与判定求解 31．如图，在中，，，将绕点B按顺时针方向旋转一定角度，得到，点恰好落在上，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 32．如图，为的对角线上一点，过点作，的平行线，分别交，，，于四点，连结．若的面积为，则的面积为（　　） A．5 B．2.5 C．2.4 D．1.25 33．如图，等边三角形的边长为，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，点从点出发沿射线以的速度运动．当以为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 34．如图，在四边形中，连接，，．已知是边上的一点，连接DE，过点E作于点F，且．若，，则的长为 ． 35．如图，在中，过上的点作，，、、、均在平行四边形的边上，且，，则四边形的面积为 ． 36．如图，点 E 为的对角线AC 上一点， ，连接并延长至点 F，使得，连接，则为 37．如图，在四边形中，且，，点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由C向B运动．问几秒后直线将四边形截出一个平行四边形． 38．如图，在四边形中，，，，，，点E是的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒． (1)线段 ； ； （用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？ 39．尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规作图．已知：在四边形中，，，用尺规作图作，的角平分线．下面是两位同学的对话： 小衢  我会用八年级上册《1.5三角形的全等的判定①》中例2的尺规作图法． 小柯  我想到了新方法：如图所示，以为圆心，长为半径画弧，交于点，连结，那么就是的角平分线；同理，以为圆心，长为半径画弧，交于点，连结，那么就是的角平分线． 依据小柯的“新方法”解答下列问题． (1)说明是的角平分线的理由． (2)若，垂足为O，当，时，求的长． 40．如图，在中，，为边上一点，连接，为中点，过点作交的延长线于，连接交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 41．已知：如图，在中，是边上一点． 求作：在边上作一点，使得． 以下是小成和小亦两位同学的作法： 小成：如图1，以点为圆心，为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧在上方交于点，作直线交于点． 小亦：如图2，先作的平分线，然后．．．．．． (1)请判断小成作法是否正确，并给出理由． (2)补全小亦的尺规作图过程（保留作图痕迹），并证明． 42．已知. (1)如图1，若，以为边作等边，且点恰好在边上，直接写出此时的面积_____； (2)如图2，若以为斜边作等腰直角，且点恰好在边上，过作交于，连接. ①依题意将图2补全； ②用等式表示此时线段，，之间的数量关系，并证明； (3)如图3，若，以为边作，且，.若，用等式表示此时与的数量关系. 43．如图，在中，，对角线相交于点O，将直线绕点O顺时针旋转一个角度（），分别交线段于点E、F，已知，，连接． (1)如图①，在旋转的过程中，请写出线段与的数量关系，并证明； (2)如图②，当时，请写出线段与的数量关系，并证明； (3)如图③，当时，求的面积． 44．如图1，线段是由线段平移得到的．分别连接，．直线于点，延长与相交于点．点是射线上的一个动点，点不与点、点、点重合．连接，．    (1)线段，的关系是_____； (2)如图1，当点P在线段上运动时，，，之间的数量关系是_____； (3)如图2，当点P在线段上运动时，，，之间的数量关系是否发生变化？若发生变化请写出它们的关系，并证明；若没有发生变化，请说明理由； (4)如图3，当点P在点D上方运动时，请直接写出，，之间的数量关系：_____． 五、利用平行四边形的性质与判定证明 45．【阅读材料】 老师的问题：如图，在中，点E在上，连接，只用一把无刻度的直尺，求作四边形，使得四边形是平行四边形． 小明的作法： （1）连接，，相交于点O； （2）连接并延长，交于点F； （3）连接．四边形即为所求． 【解答问题】 请根据材料中的信息，判断小明的作图方法是否正确．若正确，给出证明；若不正确，说明理由． 46．如图，在平行四边形中， 连接对角线，点E和点F是直线上两点，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，，求四边形的面积． 47．综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明； 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】（3）老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值． 48．如图，是等边三角形，是边上的高．点E在延长线上，连接，且，过A作交的延长线于点F，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求四边形的周长． 49．如图，在中，E，F是对角线上的两点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若．求线段长． 50．如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得，，，，，已知． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求椅子最高点A到地面的距离． 51．如图，四边形是平行四边形，分别以，为边向外构造等边和等边，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若与交于点G，且，，，求的面积． 52．如图，中，把沿翻折得到，、相交于点F． (1)求证：； (2)连接交于点O，连接，在不添加辅助线的条件下请直接写出图中所有等腰三角形． 53．点O在凸四边形内，，，，． (1)如图1，若交于点E． ①求证：； ②求证：； (2)如图2，M为的中点，连接并延长交于点N，求的值． 54．在中，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接并延长交的平分线于点E，连接． (1)如图1，若，得______； (2)如图2，若， ①判断形状，并证明； ②过点C作平行线，过点D作平行线，两条平行线相交于点F，过点F作于点H． 依题意补全图形，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 55．如图，在的对角线上依次取点、，且，作，分别交边、于点G、H． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若，，求的度数． 56． 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究，在中，，，，D为线段上一点． 【初步感知】 （1）如图1，连接，将绕点C逆时针旋转至．连接，求的度数； 【深入探究】 （2）如图2，将沿折叠至．射线与射线交于点F．若，求的面积； 【拓展应用】 （3）如图3，，连接．G为线段AC上一点，作点G关于直线的对称点H，点G绕B顺时针旋转至点K，连接HK，HB，请问CD和HK存在何种关系？并说明理由． 57．在四边形中，对角线，交于点O． (1)如图1，若，求证：四边形是平行四边形； (2)在（1）的条件下，将对角线绕点O顺时针旋转一个角度，分别交，于点E，F（如图2），求证：四边形是平行四边形； (3)如图3，若，过点D作，，连接，求的最小值． 58．【综合与实践】 问题情境：活动课上，小强同学以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动．如图1，已知中，，．将从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到（点D、E分别是点B、C的对应点），旋转角为，设线段交于点P，线段分别交、于点F、Q，如图2． 特例分析：当旋转到时，则旋转角的度数为___________； 探究规律：在绕点A逆时针旋转的过程中，小强同学发现线段始终等于线段，请你帮小强同学证明这一结论． 拓展延伸： （1）在绕点A逆时针旋转的过程中，直接写出当是等腰三角形时旋转角α的度数． （2）在图3中，作射线、交于点M，四边形的面积记为，的面积记为，是否存在四边形是平行四边形？若存在，请直接写出此时旋转角α的度数，及此时的值；若不存在，请说明理由． 六、平行四边形的折叠问题 59．如图，四边形纸片，，．将纸片折叠，点A、B分别落在G、H处，为折痕，交于点K．若，则 °．    60．如图，将平行四边形纸片折叠，使得点落在边上的处，折痕为．再将翻折，点恰好落在的中点处，连接，若，则线段的长为 ． 61．如图，将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点C与点A重合，点D的落点记为点，折痕为EF，连接CF． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求线段的长． 62．如图，将沿过点A的直线折叠，使点D落到边上的点处，折痕交边于点E，连接． (1)证明四边形是平行四边形； (2)若平分，求的度数． 63．综合实践课上，老师让同学们开展了的折纸活动，是边上的一动点，是边上的一动点，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，连接． (1)【观察发现】如图1，若，，，求的长； (2)【操作探究】如图2，当点落在的延长线上时，求证：四边形为平行四边形． 64．综合实践课上，老师让同学们开展了的折纸活动，是边上的一动点，是边上的一动点，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，连接． (1)【观察发现】如图1，若，，，求的长； (2)【操作探究】如图2，当点落在的延长线上时，求证：四边形为平行四边形． 65．如图1，四边形是平行四边形，延长至点，使得，连接和． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，将沿直线翻拆点刚好落在线段的中点处，延长与的延长线相交于点，并且和交于点，试求线段、、之间的数量关系； (3)如图3，将沿直线翻折，点刚好落在线段上的点处，若，，且，求的面积． 66．综合与实践课上，王老师以“发现—探究—应用”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维，以下是王老师的课堂主题展示： 【问题情境】在中，，，，是的中点，连接，将沿折叠得到（点不与点重合），作直线交于点． 【观察发现】 （1）如图1，若，则与的大小关系是 ；线段与的数量关系是 ，位置关系是 ； 【类比探究】 （2）在的值发生变化的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由； 【拓展应用】 （3）当，且点在内部时，请直接写出线段的长． 67．【探究与证明】 折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究．同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 在平行四边形纸片中，点E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为． (1)如图1，若点 恰好落在边上时， 四边形的形状是 ． (2)如图2，若点三点在同一条直线上时，求证：； (3)如图3，若时，连接，并延长交于点F．若平行四边形纸片的面积为24，，求线段的长． 68．在中，，，，点分别为边上异于端点的动点，且，连结，将四边形沿着折叠得到四边形．    (1)如图1，边，交于点，若，求证：四边形为平行四边形； (2)如图2，当点落在点处时，求折痕的长； (3)当点落在的边上时，求点之间的距离． 69．在四边形中，，对角线交于点O，且．点E、F分别为边上的动点，连结． (1)如图1， ①求证：； ②求证：四边形为平行四边形； ③恰好经过点O，当时，如图2，连接，若，，求的度数． (2)平移，当点E与点A重合时，如图3， 将沿折叠得到，当点恰好落在线段上时，过点D作，交延长线于点G，其中，，，求线段的长． 七、一次函数与平行四边形的综合 70．如图，在四边形中，O为坐标原点，点分别位于x轴，y轴正半轴上，，D为边的中点，E为边上一点（不与点重合），且，分别与相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，当为等腰三角形时，求的长； (3)当E为中点时，连结并延长交于点G，若四边形与的面积差为4，请在横线上直接写出点G的坐标______． 71．如图，在平面直角坐标系中，已知直线是一次函数的图象，直线是一次函数的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点． (1)用m、n分别表示点A、B、P的坐标； (2)若四边形的面积是，且，试求点P的坐标，并求出直线与的函数表达式； (3)在（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 72．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，点在直线AB上． (1)求直线的解析式． (2)P为x轴上一动点，连接，当最小时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，当最小时，在平面内是否存在一点Q，使得四边形是平行四边形?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 73．如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为:，分别交x，y轴于点A，B，直线分别交x，y轴于点C，B，，且.    (1)求直线的解析式； (2)将点B沿某条直线折叠使点B与点O重合，折痕分别交于点E，D，在x轴上是否存在点F，使点D，E，F为顶点的三角形是以为斜边的直角三角形，若存在，请求出F点坐标；若不存在，请说明理由； (3)在平面直角坐标系内是否存在一个点，使得这个点与E，D，O三点构成的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出这个点的坐标；若不存在，请说明理由. 74．如图，四边形为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D点坐标是，B点坐标是，矩形沿直线EF折叠，点A落在边上的G处，E、F分别在上，直线解析式为，F点的坐标是．      (1)求出k的值； (2)若直线平行于直线，交x轴于点H，求直线的解析式； (3)点N在x轴上，直线上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第2页，共113页 25 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.2平行四边形的判定 一、平行四边形的判定 1．下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，熟知平行四边形的判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定方法，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．由，，一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形是平行四边形，故A不符合题意； B．由，，不能判定四边形是平行四边形，故B不符合题意； C．由，不能判定四边形是平行四边形，故C不符合题意； D．由，，能判定四边形是平行四边形，故D符合题意． 故选：D． 2．根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行四边形的判定、平行线的判定等知识，掌握平行四边形的判定条件是解题的关键．根据平行四边形的判定定理判断即可． 【详解】解：A．根据对角线互相平分能判断该四边形是平行四边形，故不符合题意； B．根据两组对边分别相等能判断该四边形是平行四边形，故不符合题意； C．根据图可判断出，一组对边相等，另一组对边平行，不能判断该四边形是平行四边形，符合题意； D．根据两组对边分别平行能判断四边形是平行四边形，故不符合题意． 故选：C． 3．观察下图，根据所标注的数据能判断其一定是平行四边形的是（   ） A．只有③ B．只有② C．①② D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边的判定，根据判定四边形为平行四边形的条件逐一判定即可，熟知判定平行四边形的条件是解题的关键． 【详解】解：图，根据四边形的内角和，可知第四个角为， 图不是平行四边形； 图，只能判断一组对边平行，其他条件不具备，不能判定其为平行四边形； 图，根据一组对边平行且相等，证明其为平行四边形， 故选：A． 4．下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形判定．根据题意根据平行四边形判定定理逐一对选项进行判定即可． 【详解】解：能判定四边形是平行四边形的是，，理由如下： ，， 四边形是平行四边形， 故选：A． 5．如图，已知，要使四边形为平行四边形，则四边形的各内角度数依次为（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定以及平行线的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键，根据题意先证明，，再由平行四边形的判定，即可得出结论． 【详解】解：∵要使四边形为平行四边形，则四边形ABCD的各内角度数依次为，，，，理由如下： ∵，， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 故选：D． 6．下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理． 根据平行四边形的判定定理对选项进行逐一判断即可． 【详解】∵，，， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 故选项A不符合题意； ∵，， ∴四边形是平行四边形， 故选项B不符合题意； ∵，， ∴四边形是平行四边形， 故选项D不符合题意； 由，，无法得到四边形是平行四边形， ∴选项C符合题意． 故选：C． 7．依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理解答即可． 本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：两组对角都不相等，不能判定是平行四边形， 故A选项错误； 一组对边相等，另一组对边无法判定是否相等，故不能判定是平行四边形， 故B选项错误； 根据，判定长为a的对边相等且平行，能判定是平行四边形， 故C符合题意； 根据，判定一组对边平行，，但是无法判定是否相等，不能判定是平行四边形， 故D不符合题意； 故选：C． 8．如图，已知线段和射线，且，在射线上找一点C，使得四边形是平行四边形，下列作法不一定可行的是（  ） A．过点D作与交于点C B．在下方作与交于点C，使 C．在上截取，使，连接 D．以点D为圆心，长为半径画弧，与交于点C，连接 【答案】D 【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了平行四边形的判定． 根据基本作图和平行四边形的判定方法对各选项进行判断． 【详解】解：A．由作法得，而，则四边形是平行四边形，所以A选项不符合题意； B．由作法得，由得，则，所以，则四边形是平行四边形，所以B选项不符合题意； C．由作法得，而，则四边形是平行四边形，所以C选项不符合题意； D．由作法得，而，则四边形也可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，所以D选项符合题意． 故选：D． 9．在四边形中，对角线与相交于点，给出六组条件：①，；②，；③，；④，；⑤，；⑥，．能判定此四边形是平行四边形的有（　　）组． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．根据平行四边形判定定理分别进行判断得出即可． 【详解】解：如图， ①由“，”可知，四边形的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形； ②由“，”可知，四边形的一组对边平行且相等，据此能判定该四边形是平行四边形； ③由“，”可知，四边形的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形； ④由“，”可知，四边形的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形； ⑤由“，”可知，四边形的两组对边相等，则该四边形是平行四边形； ⑥由可知，由，可得，可证，可得四边形是平行四边形， 则能判定此四边形是平行四边形的有5组， 故选：A． 10．在四边形中，对角线与相交于O点，给出五组条件： （1），； （2），；   （3），；   （4），；   （5），． 能判定此四边形是平行四边形的有（   ）组． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形判定定理分别进行判断得出即可． 【详解】解：（1）由“，”可知，四边形的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； （2）由“，”可知，四边形的一组对边平行且相等，据此能判定该四边形是平行四边形，故本选项符合题意； （3）由“，”可知，四边形的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形，故本选项符合题意； （4）由“，”可知，四边形的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形，故本选项符合题意； （5）由“，．”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形，故本选项符合题意； 故选：B． 二、添加条件构成平行四边形 11．如图，在四边形中，，要使四边形是平行四边形，下列添加的条件不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．根据平行四边形的判定方法，逐项判断即可． 【详解】解：A、当，时，四边形可能为等腰梯形，所以不能证明四边形为平行四边形，故A符合题意； B、，，一组对边分别平行且相等，可证明四边形为平行四边形，故B不符合题意； C、，，两组对边分别平行，可证明四边形为平行四边形，故C不符合题意； D、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故D不符合题意． 故选：A． 12．如图，是的边延长线上一点，连接，，，交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，平行线的判定和性质；添加条件，无法得到四边形为平行四边形，A符合题意；添加条件后，证明，根据，进而可得结论，B不符合题意；添加条件，根据，从而证明结论，C不符合题意；添加条件，可证，根据根据进而证明结论，D不符合题意． 【详解】解：A、添加条件，无法证明四边形为平行四边形，符合题意； B、∵， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形，故B不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形，故C不符合题意； D、∵， ∴， ∵ ∴， ∴四边形为平行四边形，故D不符合题意； 故选：A． 13．图给出了四边形的部分数据，若使得四边形为平行四边形，添加的条件可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定．根据平行四边形的判定定理添加条件即可求解． 【详解】解：∵在四边形中，， ∴， ∴根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定，可添加的条件是：． 故选：D． 14．如图所示，将绕边的中点O旋转．小颖发现旋转后的与构成了平行四边形，她的推理思路如下：为保证小颖的推理更严谨，小明想在方框中“由，” 和“得四边形……”之间作补充．应补充的是（  ） 点A、C分别转到点C、A处， 而点D转到点B处．由， 得四边形是平行四边形． A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和旋转的性质，牢记旋转前、后的图形全等．根据平行四边形的判定方法“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”即可作答． 【详解】解：根据旋转的性质得：，， ∴四边形是平行四边形； 故应补充“”， 故选：D． 15．如下是不完整的推理过程： 证明： ， . __________, 四边形是平行四边形. 若要保证推理成立，在横线上添加的条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．根据平行四边形的判定定理即可得到答案． 【详解】解：对边平行且相等的四边形是平行四边形， 故横线上添加的条件可以是， 故选A． 16．如图，在四边形中，，添加下列条件后仍不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定与性质等知识；熟记平行四边形的判定方法是解题的关键．由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A．∵，， ∴四边形是平行四边形，故选项不符合题意； B．∵，， ∴四边形是平行四边形，故选项不符合题意； C．∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故选项不符合题意； D．∵，， ∴四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项符合题意； 故选：D． 17．如图，在四边形中，对角线，相交于点，其中是的中点，添加一个条件： ，使四边形是平行四边形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定．根据对角线相互平分的四边形是平行四边形进行解答． 【详解】解：添加， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：（答案不唯一）． 18．在四边形中，，再从下列四个条件中：①；②；③；④任选一个，能使四边形为平行四边形的条件的序号是 ． 【答案】①或③ 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的定义以及判定定理是解题的关键．用平行四边形的定义及判定答题即可． 【详解】解：添加①，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可判定为平行四边形； 添加②，不能判定为平行四边形； 添加③，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判定为平行四边形； 添加④，不能判定为平行四边形； 故答案为：①或③． 19．如图，平行四边形中，E，F是对角线上的两点，有如下四个条件：①；②；③；④，如果从中选择一个作为添加条件，使四边形是平行四边形，那么这个添加的条件可以是 （填写序号）． 【答案】②（或③，或④） 【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定及性质． 若添加添加①，无法证明四边形是平行四边形．若添加条件②，连接，交于点O，根据平行四边形的性质得到，，进而得到，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得证；若添加条件③，根据平行四边形的性质可证得，得到，，进而得到，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证；若添加条件④，可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得证． 【详解】解：若添加添加①，无法证明四边形是平行四边形． 若添加条件②，可得四边形是平行四边形． 理由如下： 连接，交于点O ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 若添加条件③，可得四边形是平行四边形． 理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∴四边形是平行四边形． 若添加条件④，可得四边形是平行四边形． 理由如下： 连接，交于点O ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 综上所述，添加的条件可以是②或③或④． 故答案为：②（或③，或④） 20．如图，在平行四边形中，，，垂足分别是E，F．      (1)求证：； (2)连接，请添加一个与角度相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由） 【答案】(1)见解析 (2)（答案不唯一） 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先由平行四边形得到，，然后得到，即可证明； （2）如图所示，连接，由得到，等量代换得到，证明出，即可得到四边形四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （2）如图所示，连接，    添加条件为： 证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴四边形四边形是平行四边形． 21．如图，在四边形中，，是对角线上的两点． (1)若，请添加一个条件：_________，使得四边形为平行四边形． (2)在（1）的条件下，若，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是： （1）根据平行四边形的判定添加条件即可； （2）连接交于O，根据平行线的性质得出，，根据等式的性质得出，然后根据平行四边形的判定即可得证． 【详解】（1）解：补充： 理由：∵，， ∴四边形为平行四边形； （2）证明：连接交于O， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 又， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 三、平行四边形的构造问题 22．如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（   ）个 A． B． C． D．无数 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的定义，解题的关键是掌握平行四边形的性质．分别以、为对角可画平行四边形． 【详解】解：如图，以为对角可画平行四边形，以为对角线可画平行四边形，共两个， 故选：B． 23．如图所示，在中，，，分别是，，上的点，且，，，则图中平行四边形共有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的定义即可得到平行四边形有：平行四边形，平行四边形，平行四边形．解题的关键是掌握：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 【详解】解：∵，，， ∴四边形，四边形和四边形都是平行四边形， ∴图中平行四边形共有个． 故选：C． 24．如图所示的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的两个端点都在格点上，若线段为的一边，的四个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的平行四边形的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．8个 D．11个 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键掌握平行四边形的判定定理，属于中考常考题型． 根据平行四边形的判定定理，即可解决问题． 【详解】解：如图，都可以成为平行四边形的顶点，所以这样的平行四边形最多可以画11个， 故选：D． 25．如图，的方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多有 个． 【答案】5 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据网格的特点和平行四边形的判定方法即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 根据网格的特点可得， 四边形，，，， 为平行四边形， 所以这样的平行四边形最多可以画5个， 故答案为：5． 26．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B都在格点上（两条网格线的交点叫格点）． (1)作出三角形关于直线对称的三角形 (2)说明三角形可以由三角形经过怎样的变换而得到？ (3)若在图中，有一点D，连接A，B，C，D，可以构成一个平行四边形，请在图2中画出． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）根据题意首先确定A、B、C三点关于直线对称的对称点位置，再进行连接即可； （2）由题意结合图形平移和旋转的性质根据图形位置进行分析解答即可． （3）结合一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，进行作图即可． 本题主要考查图形平移和旋转，平行四边形的判定，解题的关键是正确确定组成图形的关键点的对称点位置． 【详解】（1）解：三角形如图所示： （2）解：先将三角形向上平4个单位，再绕点逆时针旋转可得到三角形；或先将三角形 绕点 逆时针旋转，再向上平移4个单位，可得到三角形． （3）解：平行四边形如图所示： 27．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，解答下列问题： (1)将先向右平移5个单位，再向下平移5个单位得到，作出并写出三个顶点的坐标； (2)将绕点O按顺时针方向旋转得到，作出； (3)若将绕某一点旋转可得到，在图中作出该点并写出旋转中心的坐标 ； (4)若以A、B、C、D四个点为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标为 ． 【答案】(1)见解析，，， (2)见解析 (3)见解析， (4)或或， 【分析】本题考查作图-旋转变换，作图-平移变换，点的坐标，平行四边形的性质，熟练掌握旋转和平移的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图，可得出答案； （2）根据旋转的性质作图，可得出答案； （3）连接，，再分别作出线段，的垂直平分线，交点P即为所求的旋转中心，可得出答案． （4）结合平行四边形的性质，分别作出满足条件的点D，再读取坐标，即可作答． 【详解】（1）解：如图1即为所求； 由图可知，，，； （2）解：绕点O按顺时针方向旋转得到，如图即为所求； （3）解：如图，连接，，再分别作出线段，的垂直平分线，点P即为所求的旋转中心， ∴旋转中心的坐标为， 故答案为：． （4）解：依题意，如图所示： ∵以A、B、C、D四个点为顶点的四边形为平行四边形， ∴点D的坐标为或或， 故答案为：或或，． 28．如图，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长分别为1和2，另一种纸片的两条直角边长都为2．图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1． (1)请用三种方法将图中所给四块直角三角形纸片拼成平行四边形（非矩形），每种方法要把图中所给的四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙，三种方法所拼得的平行四边形（非矩形）的周长互不相等，并把你所拼得的图形按实际大小画在图1、图2、图3的方格纸上． 要求：①所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合； ②画图时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹． (2)请证明你在图1所拼得的四边形是平行四边形（非矩形）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）图1可以先用边长为1、2的直角三角形拼出矩形，再分别在边长为2的两侧拼上边长都为2的直角三角形；图2可以先用边长都为2的直角三角形拼出矩形，再分别在边长为2的两侧拼上边长都为2、1的直角三角形；图3以四个直角三角形的直角边拼出对角线为3的平行四边形即可； （2）根据平行四边形的判定方法证明即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）证明：如图1中，∵AB＝CD＝3，AD＝BC＝， ∴四边形ABCD是平行四边形．（同理，图2和图3均可根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行证明） 【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，平行四边形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用直角三角形和平行四边形的性质进行拼接． 29．在直角坐标系中，已知四边形各顶点的坐标为：． (1)若将此四边形向左沿水平方向平移3个单位，再向上平移2个单位，请直接写出平移后的、、、各点的坐标； (2)求； (3)在坐标平面中有一点P，使以A，B，C，P为顶点的四边形为平行四边形，请写出所有符合要求的P点坐标．（平行四边形对边平行且相等） 【答案】(1) (2)42 (3)或或 【分析】本题考查了利用平移变换作图，三角形的面积，平行四边形的判定，主要利用了平移规律：向右平移横坐标加，向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加，向下平移纵坐标减，难点在于（3）的分类讨论． （1）根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加解答； （2）根据四边形的面积等于两个直角三角形的面积加上一个梯形的面积列式进行计算即可得解； （3）分是对角线三种情况解答． 【详解】（1）解：平移后的，各点的坐标分别为； （2）解： ； （3）解：当是对角线时，点， 是对角线时，点， 是对角线时，点． 综上，或或． 30．如图，在四边形中，，点P先以每秒2个单位长度的速度由A向D运动，再以每秒4个单位长度的速度沿射线运动，点Q以每秒2个单位长度的速度由A向B运动．点P、点Q同时出发，当点Q到达终点时，点P随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)直接写出的长是________； (2)当点P在线段上时，________；当点P在射线上时，________；（用含t的代数式表示） (3)当是等腰三角形时，求t的值； (4)连结，以中两个顶点和点P、点Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t值． 【答案】(1)10 (2)当点P在线段上时，；点P在射线上时， (3)t的值为5或6或 (4)或 【分析】（1）过D点作于E，求出，中，利用勾股定理求解即可； （2）根据路程、速度、时间之间的关系即可求解； （3）分当， ， ，三种情况分别讨论，求出，再除以2即可求解； （4）当时，则，当时，则，解方程即可求解． 【详解】（1）解：如图，D点作于E， ∴， 中，； （2）解：∵的长是10，点P先以每秒2个单位长度的速度由A向D运动， ∴点P从点A运动到点D需要5秒， ∴当点P在线段上时，； ∵点P再以每秒4个单位长度的速度沿射线运动， ∴当点P在射线上时，； （3）解：∵点Q以每秒2个单位长度的速度由A向B运动，当是等腰三角形时， 当时，， ∴； 当时，如图，则， ∴， ∴， ∴； 当时，如图，则， 在中，，则， ∴， ∴， ∴； ∴t的值为5或6或； （4）如图，当时，则， ∴， 如图，当时，则， ∴， ∴或． 【点睛】本题考查了动点问题，涉及到了平行四边形的判定、勾股定理、一元一次方程、等腰三角形的判定等知识，解题关键是发现直角三角形，运用勾股定理以及分类讨论的思想． 四、应用平行四边形性质与判定求解 31．如图，在中，，，将绕点B按顺时针方向旋转一定角度，得到，点恰好落在上，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由旋转的性质可得，，，，由等边对等角可得，，进而可得，，由内错角相等两直线平行可得，由此可证得四边形是平行四边形，于是可得，然后根据即可求出的度数． 【详解】解：由旋转的性质可得： ，，，， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，内错角相等两直线平行，平行四边形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键． 32．如图，为的对角线上一点，过点作，的平行线，分别交，，，于四点，连结．若的面积为，则的面积为（　　） A．5 B．2.5 C．2.4 D．1.25 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，，再证出四边形、四边形、四边形和四边形都是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，，，，则，由此即可得． 【详解】解： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形、四边形、四边形和四边形都是平行四边形， ∴，，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴的面积为， 故选：B． 33．如图，等边三角形的边长为，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，点从点出发沿射线以的速度运动．当以为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用．分别从当点在的左侧时与当点在的右侧时去分析，由当时，以、、、为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：①当点在的左侧时，根据题意得：，， 则， ， 当时，四边形是平行四边形， 即， 解得：； ②当点在的右侧时，根据题意得：，， 则， ， 当时，四边形是平行四边形， 即， 解得：； 综上可得：当或时，以、、、为顶点四边形是平行四边形． 故选：B． 34．如图，在四边形中，连接，，．已知是边上的一点，连接DE，过点E作于点F，且．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】结合题意，再根据角平分线的判定可得平分，利用平行线的判定，可推出四边形是平行四边形，即，根据勾股定理可得，设，再利用，代入数值解方程可得，再利用勾股定理可得． 【详解】解：∵， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，平行线的判定，勾股定理，角平分线的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 35．如图，在中，过上的点作，，、、、均在平行四边形的边上，且，，则四边形的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，先证明四边形都是平行四边形，然后证明，根据，求出即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵，， ∴四边形都是平行四边形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：6． 36．如图，点 E 为的对角线AC 上一点， ，连接并延长至点 F，使得，连接，则为 【答案】3 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点，正确作辅助线是解题关键．作交于点H，证明出，得到，，然后证明出四边形是平行四边形，得到． 【详解】解：作交于点H ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 故答案为：3． 37．如图，在四边形中，且，，点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由C向B运动．问几秒后直线将四边形截出一个平行四边形． 【答案】2秒或3秒 【分析】此题主要考查的是平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．分别利用①当时，②当时，列方程得出答案即可． 【详解】解：设点P，Q运动的时间为．依题意得：，． ∵， ①当时，四边形是平行四边形． 即， 解得． ②当时， 四边形是平行四边形，即， 解得：． 综上分析可知：经过2秒或3秒后，直线将四边形截出一个平行四边形． 38．如图，在四边形中，，，，，，点E是的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒． (1)线段 ； ； （用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】(1)；；或 (2)当运动时间t为2秒或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形 【分析】此题考查一元一次方程的应用、平行四边形的判定、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地用代数式表示线段的长度是解题的关键． （1），，点E是的中点，得，，则或，而，，则；若点Q与点E重合，则，求得；若点P与点D重合，则，所以当时，则，当时，则，于是得到问题的答案； （2）由，可知点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，，再分两种情况讨论，一是当Q运动到E和B之间，则得：；二是当Q运动到E和C之间，则得：，解方程求出相应的t值即可． 【详解】（1）解：∵，，点E是的中点，点P在上，点Q在上， ∴，， ∴或， ∵点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动， ∴， ∴； ∵点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动， ∴， 若点Q与点E重合，则， 解得； 若点P与点D重合，则， 当时，则， 当时，则， 故答案为：；；或； （2）解：， ∴点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，， 是的中点， ， 分两种情况： ①当Q运动到E和B之间，则得：， 解得：， ②当Q运动到E和C之间，则得：， 解得：， 综上所述，当运动时间t为2秒或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形． 39．尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规作图．已知：在四边形中，，，用尺规作图作，的角平分线．下面是两位同学的对话： 小衢  我会用八年级上册《1.5三角形的全等的判定①》中例2的尺规作图法． 小柯  我想到了新方法：如图所示，以为圆心，长为半径画弧，交于点，连结，那么就是的角平分线；同理，以为圆心，长为半径画弧，交于点，连结，那么就是的角平分线． 依据小柯的“新方法”解答下列问题． (1)说明是的角平分线的理由． (2)若，垂足为O，当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题主要考查了尺规作图作一个角的平分线、平行四边形的性质、圆的基本性质． （1）根据作图的方法可知，根据等边对等角可知，根据平行四边形的性质可知，根据平行线的性质可知，等量代换可知，所以可知平分； （2）先根据已知证明，可得，由此证明四边形为平行四边形，进而得出，，由，即可解题． 【详解】（1）解：以D为圆心，DA长为半径画弧，交于点E， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ，即平分， （2）∵ ∴，即， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，又∵， ∴四边形为平行四边形． ∴，， ∴， ∴ 40．如图，在中，，为边上一点，连接，为中点，过点作交的延长线于，连接交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）通过平行线的性质证得，可得，结合题意的即可求证四边形是平行四边形； （2）设，根据题意可得，通过勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）证明：为中点， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：四边形是平行四边形， ， ，， ， 在中，， 设，则， ， 解得（负值舍去）， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，的直角三角形性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题关键． 41．已知：如图，在中，是边上一点． 求作：在边上作一点，使得． 以下是小成和小亦两位同学的作法： 小成：如图1，以点为圆心，为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧在上方交于点，作直线交于点． 小亦：如图2，先作的平分线，然后．．．．．． (1)请判断小成作法是否正确，并给出理由． (2)补全小亦的尺规作图过程（保留作图痕迹），并证明． 【答案】(1)小成正确，理由见分析 (2)补全图形见详解，证明见解析 【分析】本题考查了作图－复杂作图，平行四边形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用相关知识解决问题． （1）利用平行四边形的判定和性质求解； （2）以为圆心，长为半径作弧交于点，作直线交于点，直线即为所求． 【详解】（1）解：小成作法正确． 理由：由作图可知，， 四边形是平行四边形， ． （2）解：如下图，直线即为所求． 理由：由作图可知平分，， ，， ， ． 42．已知. (1)如图1，若，以为边作等边，且点恰好在边上，直接写出此时的面积_____； (2)如图2，若以为斜边作等腰直角，且点恰好在边上，过作交于，连接. ①依题意将图2补全； ②用等式表示此时线段，，之间的数量关系，并证明； (3)如图3，若，以为边作，且，.若，用等式表示此时与的数量关系. 【答案】(1) (2)①作图见解析；②；理由见解析 (3) 【分析】（1）作于点I，利用等边三角形的性质求得的长，再利用勾股定理求得的长，最后利用平行四边形的面积公式求解即可； （2）①依照题意补全图形即可； ②延长交的延长线于点H，延长交的延长线于点J，利用证明，推出，，再证明，推出，即可证明； （3）连接，作并交的延长线于点K，推出四边形是平行四边形，得到是直角三角形，，求得即可解决问题． 【详解】（1）解：解：作于点I， 由题意得，是边长为4的等边三角形， ∴， ∴， ∴此时的面积为， 故答案为：； （2）解：①补全图形如图， ②；理由如下， 延长交的延长线于点H，延长交于点J， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：． 连接，作并交的延长线于点K， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即是直角三角形， ∵四边形是平行四边形，且， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查了平行四边的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识点，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 43．如图，在中，，对角线相交于点O，将直线绕点O顺时针旋转一个角度（），分别交线段于点E、F，已知，，连接． (1)如图①，在旋转的过程中，请写出线段与的数量关系，并证明； (2)如图②，当时，请写出线段与的数量关系，并证明； (3)如图③，当时，求的面积． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，，则，由证得，即可得出结论； （2）由勾股定理得出，由平行四边形的性质得出，，推出，求出，即，由，即可得出结论； （3）由，得出，证得四边形是平行四边形，则，由得，得出，由得，由，，则． 【详解】（1）解： ；理由如下： 四边形是平行四边形， ，， ， 在与中， ， ， ； （2）解：；理由如下： ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 又， ， ，， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， ， 由（1）得：， ， 由（）得：， ，， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了旋转性质、平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积计算等知识；熟练掌握平行四边形的性质、证明三角形全等、同底等高的三角形面积相等是解题的关键． 44．如图1，线段是由线段平移得到的．分别连接，．直线于点，延长与相交于点．点是射线上的一个动点，点不与点、点、点重合．连接，．    (1)线段，的关系是_____； (2)如图1，当点P在线段上运动时，，，之间的数量关系是_____； (3)如图2，当点P在线段上运动时，，，之间的数量关系是否发生变化？若发生变化请写出它们的关系，并证明；若没有发生变化，请说明理由； (4)如图3，当点P在点D上方运动时，请直接写出，，之间的数量关系：_____． 【答案】(1)； (2)； (3)不会发生变化，证明见解析； (4)． 【分析】（1）由平移的性质可得，，由“对边平行且相等的四边形为平行四边形”可得四边形为平行四边形，进而可得线段，的关系； （2）由平行线的性质可得，由三角形外角性质可得，进而可得，，之间的数量关系； （3）过点作交于点，易得，由平行线的性质可得，，由得到，以此即可求解； （4）由平行线的性质可得，由三角形外角性质可得，进而得到，，之间的数量关系． 【详解】（1）解：线段是由线段平移得到的， ，， 四边形为平行四边形， ，； 故答案为：，； （2）解：如图，设与交于点，    ∵， ， ， ； 故答案为：； （3）解：当点在线段上运动时，，，之间的数量关系不会发生变化，理由如下： 如图，过点作交于点，    ∵， ∴， ，， ， ； （4）解：如图，设交于点，    ∵， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平移的性质、平行四边形的判定与性质、三角形外角性质、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质和三角形外角性质是解题关键． 五、利用平行四边形的性质与判定证明 45．【阅读材料】 老师的问题：如图，在中，点E在上，连接，只用一把无刻度的直尺，求作四边形，使得四边形是平行四边形． 小明的作法： （1）连接，，相交于点O； （2）连接并延长，交于点F； （3）连接．四边形即为所求． 【解答问题】 请根据材料中的信息，判断小明的作图方法是否正确．若正确，给出证明；若不正确，说明理由． 【答案】小明的作图方法正确，理由见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质． 由平行四边形的性质可得，，得，进而证明，得到，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可求证． 【详解】解：小明的作图方法正确， 理由：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 46．如图，在平行四边形中， 连接对角线，点E和点F是直线上两点，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)36 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握平行四边形的判定和性质是解题关键． （1）根据平行四边形的性质易证，即可得到结论； （2）由勾股定理得到，进而得出，求出，即可得到四边形的面积． 【详解】（1）解：证明：∵四边形是平行四边形 ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 47．综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明； 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】（3）老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）四边形为平行四边形，理由见解析；（3） 【分析】（1）根据等边三角的性质可得，再由旋转的性质可得，从而可得，证明，即可得证； （2）根据等腰直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，，从而可得，由平行线的判定可得，证明，可得，利用等量代换可得，再由平行线的判定可得，根据平行四边形的判定即可得证； （3）如图所示，将绕点逆时针旋转得到，连接，则，，可得四边形是平行四边形，可证，得到，则，当点三点共线时，，此时的值最小，根据题意可得，由勾股定理可得，则，在中，由勾股定理可得，由此即可求解． 【详解】（1）证明∵为等边三角形， ∴， ∵绕点M逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：四边形为平行四边形，理由如下， ∵，， ∴， ∵绕点M逆时针旋转得到， ∴，， ∴， 则， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则四边形为平行四边形； （3）∵， ∴，， 如图所示，将绕点逆时针旋转得到，连接，则，， ， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 当点三点共线时，，此时的值最小， 如图所示，过点作延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理与最短路径的计算，掌握平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 48．如图，是等边三角形，是边上的高．点E在延长线上，连接，且，过A作交的延长线于点F，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求四边形的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握平行四边形的判定与性质． （1）根据等边三角形的性质可得，然后证明为等边三角形，可得，进而可以证明四边形为平行四边形； （2）根据可得的长，然后证明，进而可得四边形的周长． 【详解】（1）证明：是等边的BC边上的高， ， ，                                                         ， ， 为等边三角形，                              ， ， ，                           ， 四边形为平行四边形； （2）解： ．                   为等边三角形， ．                           ， ，                                        四边形的周长为． 49．如图，在中，E，F是对角线上的两点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若．求线段长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质，灵活运用勾股定理解决问题，属于中考常考题型． （1）连接，根据平行四边形的性质可得，根据已知证得，从而证得结论； （2）根据勾股定理求出，然后求得，进而求出． 【详解】（1）证明：连接交于O， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴． 50．如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得，，，，，已知． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求椅子最高点A到地面的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）由平行线的性质可得，，进而得，可知，即可证明结论； （2）由平行四边形的性质得，延长交于，由（1）可知，，，可知四边形是平行四边形，得，，求得，，证明，再由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，， 则， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， 延长交于， 由（1）可知，，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 则，， 连接， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即：椅子最高点到地面的距离为． 51．如图，四边形是平行四边形，分别以，为边向外构造等边和等边，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若与交于点G，且，，，求的面积． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质和等边三角形的性质证得，即，进而利用平行四边形的判定即可得证； （2）先求得，进而求得，，过G作于H，利用等腰直角三角形的性质和含角的直角三角形的性质求得、、，进而求得即可得所求面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵等边和等边， ∴，，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 过G作于H， 在中，，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、含角的直角三角形的性质、平行线的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相关的知识的联系与运用，证得是解答 的关键． 52．如图，中，把沿翻折得到，、相交于点F． (1)求证：； (2)连接交于点O，连接，在不添加辅助线的条件下请直接写出图中所有等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键． （1）由平行四边形的性质和折叠的性质可得，，由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求，可得结论； （2）由全等三角形的性质可得，，则，是等腰三角形，由“”可证，可得，可证结论． 【详解】（1）证明： ∵四边形是平行四边形， ，， ∵把沿翻折得到， ，， ，， 在和中， ， ，， ，， 又， ， ； （2）解：，， ，是等腰三角形， ∵四边形是平行四边形， ，，， ， ∵把沿翻折得到， ，， ，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 53．点O在凸四边形内，，，，． (1)如图1，若交于点E． ①求证：； ②求证：； (2)如图2，M为的中点，连接并延长交于点N，求的值． 【答案】(1)①证明见解析，②证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，垂直的定义等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）①由，，得到，再得到，证明，即可得出结论； ②设与交于点，由，得到，进一步得到，即可得出结论； （2）在的延长线上取， 证明四边形为平行四边形，得到，再得到，证明，得到，即可求解． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； ②设与交于点，如图： ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：在的延长线上取，如图： ∵M为的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 54．在中，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接并延长交的平分线于点E，连接． (1)如图1，若，得______； (2)如图2，若， ①判断形状，并证明； ②过点C作平行线，过点D作平行线，两条平行线相交于点F，过点F作于点H． 依题意补全图形，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)①是等边三角形，证明见解析；②见解析，，证明见解析 【分析】（1）设，则，，证明得到，再由三角形外角的性质即可得到答案； （2）①同理可得，再证明，得到，则，即可证明是等边三角形；②先根据题意作图，连接，证明四边形是平行四边形，得到，证明是等边三角形，得到；进一步证明，得到，则可证明，进而可证明 【详解】（1）解：由旋转的性质可得， 设， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：①是等边三角形，证明如下： 由旋转的性质可得， 设， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； ②补全图形如下，，证明如下： 如图所示，连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴； ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，旋转的性质，等腰三角形的性质与判定和三角形外角的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 55．如图，在的对角线上依次取点、，且，作，分别交边、于点G、H． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，掌握相关知识点是解题关键． （1）证明，得，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得，则，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，然后由平行线的性质即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：由（1）可知，四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 56． 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究，在中，，，，D为线段上一点． 【初步感知】 （1）如图1，连接，将绕点C逆时针旋转至．连接，求的度数； 【深入探究】 （2）如图2，将沿折叠至．射线与射线交于点F．若，求的面积； 【拓展应用】 （3）如图3，，连接．G为线段AC上一点，作点G关于直线的对称点H，点G绕B顺时针旋转至点K，连接HK，HB，请问CD和HK存在何种关系？并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），见解析 【分析】（1）根据证明得，进而可求出的度数； （2）作交于点T，由折叠的性质得，．求出得，设，则，，由勾股定理求出，然后在中利用勾股定理列方程求解即可； （3）连接，延长交于点T，证明得，，由旋转得，从而有．证明得，可证四边形是平行四边形，从而． 【详解】解：（1）∵在中，，， ∴， ∴． ∵将绕点C逆时针旋转至， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图，作交于点T， ∵将沿折叠至， ∴，． ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图，连接，延长交于点T， ∵点G绕B顺时针旋转至点K， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∵作点G关于直线的对称点H， ∴，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，轴对称的性质，旋转的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质． 57．在四边形中，对角线，交于点O． (1)如图1，若，求证：四边形是平行四边形； (2)在（1）的条件下，将对角线绕点O顺时针旋转一个角度，分别交，于点E，F（如图2），求证：四边形是平行四边形； (3)如图3，若，过点D作，，连接，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)13 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的判定可得，再根据平行四边形的判定即可得证； （2）先根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据平行四边形的判定即可得证； （3）连接，先证出四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质可得，，从而可得，再利用勾股定理可得，然后根据等量代换可得，根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为的长，由此即可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）证明：由（1）已证：四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴对角线互相平分， ∴四边形是平行四边形． （3）解：如图，连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 所以的最小值为13． 58．【综合与实践】 问题情境：活动课上，小强同学以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动．如图1，已知中，，．将从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到（点D、E分别是点B、C的对应点），旋转角为，设线段交于点P，线段分别交、于点F、Q，如图2． 特例分析：当旋转到时，则旋转角的度数为___________； 探究规律：在绕点A逆时针旋转的过程中，小强同学发现线段始终等于线段，请你帮小强同学证明这一结论． 拓展延伸： （1）在绕点A逆时针旋转的过程中，直接写出当是等腰三角形时旋转角α的度数． （2）在图3中，作射线、交于点M，四边形的面积记为，的面积记为，是否存在四边形是平行四边形？若存在，请直接写出此时旋转角α的度数，及此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】特例分析：；探究规律：证明见解析；拓展延伸：（1）或；（2）存在，． 【分析】特例分析：由等边对等角和三角形内角和定理，得到，根据三线合一的性质，得到，再根据旋转角的定义求解即可； 探究规律：由旋转的性质易证，即可得出结论； 拓展延伸：（1）根据三角形内角和定理得到，，再根据等腰三角形的定义分三种情况讨论，利用等边对等角的性质列方程分别求解即可； （2）根据旋转的性质和等腰三角形的性质，得到，，再根据平行四边形两种对边分别平行，求出，设直线与直线的距离为，分别表示出和，即可求出的值． 【详解】解：特例分析：，， ， ， ， ， 点D是点B的对应点， 旋转角， 故答案为：； 探究规律：由旋转的性质可知，， ，，， ，即， 点D、E分别是点B、C的对应点 ， 在和中， ， ， ； 拓展延伸：（1），， ， ， ， 若是等腰三角形， ①当时，， 则， 解得：； ②当时，， 则， ③当时，， 则， 解得：（舍去）， 综上可知，当是等腰三角形时旋转角α的度数为或； （2）存在四边形是平行四边形，，理由如下： ，， ，， 若四边形是平行四边形，则，， ，， ， ， 设直线与直线的距离为， 则四边形的面积，的面积， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，掌握相关知识点是解题关键． 六、平行四边形的折叠问题 59．如图，四边形纸片，，．将纸片折叠，点A、B分别落在G、H处，为折痕，交于点K．若，则 °．    【答案】140 【分析】首先判定四边形是平行四边形，得到，，再根据折叠变换的性质和平行线的性质将角度转化求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 根据翻转折叠的性质可知，，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 故答案为：140． 【点睛】本题主要考查了翻转变化、平行四边形的判定和性质、三角形内角和等知识点，解题关键是将角度灵活转化求解． 60．如图，将平行四边形纸片折叠，使得点落在边上的处，折痕为．再将翻折，点恰好落在的中点处，连接，若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】根据折叠的性质和平行四边形的性质证出，而，进而得到四边形是平行四边形，由折叠可得，垂直平分，即可得出是直角三角形，再证明，得到，即，最后在中，运用勾股定理进行计算即可得到的长． 【详解】解：由折叠可得，，， 平行四边形中，， ， ， ， ，而， 四边形是平行四边形， ， 由折叠可得，垂直平分， ， 又， ， 是直角三角形， ， ， 又，， ， ， ， 又是的中点，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了折叠问题，平行四边形的判定与性质，等角对等边以及勾股定理的运用，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 61．如图，将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点C与点A重合，点D的落点记为点，折痕为EF，连接CF． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形AFCE是平行四边形，再运用有一组邻边相等的平行四边形是菱形来进行证明； （2）作AG⊥BE于点G，因为D′F=DF，再证明DF=BE，用勾股定理分别计算BG、EB即可． 【详解】（1）解：证明：∵点C与点A重合，折痕为EF， ∴∠AEF=∠CEF，AE=EC， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠AFE=∠CEF， ∴∠AEF=∠AFE， ∴AE=AF， ∴AF=EC， 又∵AF∥EC， ∴四边形AFCE是平行四边形， 又∵AE=AF， ∴四边形AFCE为菱形． （2）如图，作AG⊥BE于点G， 则∠AGB=∠AGE=90°， ∵点D的落点为点D′，折痕为EF， ∴D'F=DF． ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD=BC． 又∵AF=EC， ∴AD-AF=BC-EC，即DF=BE． ∵在Rt△AGB中，∠AGB=90°，∠B=45°，AB=， ∴AG=GB=6． ∵四边形AFCE为平行四边形， ∴AE∥FC． ∴∠AEB=∠FCE=60°． ∵在Rt△AGE中，∠AGE=90°，∠4=60°， ∴GE==， ∴BE=BG+GE=， ∴D′F=． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、菱形的性质与判定、勾股定理的综合运用，运用折叠的性质和平行四边形的性质发现D′F=BE是解题的关键． 62．如图，将沿过点A的直线折叠，使点D落到边上的点处，折痕交边于点E，连接． (1)证明四边形是平行四边形； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定与性质、折叠的性质、平行线的性质、角平分线等知识，得出四边形是平行四边形是解题关键． （1）利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出，进而利用平行四边形的判定方法得出四边形是平行四边形，进而求出四边形是平行四边形； （2）先由角平分线的定义得，再由平行线的性质得，进而得，再根据三角形内角和定理可得结论． 【详解】（1）证明：∵将沿过点A的直线折叠，使点D落到边上的点处， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 63．综合实践课上，老师让同学们开展了的折纸活动，是边上的一动点，是边上的一动点，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，连接． (1)【观察发现】如图1，若，，，求的长； (2)【操作探究】如图2，当点落在的延长线上时，求证：四边形为平行四边形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由折叠的性质可得，则，由三角形外角性质得，所以，再利用勾股定理得，然后由，求得，即可求解． （2）根据折叠的性质先证，再证即可证明四边形为平行四边形． 【详解】（1）解：由折叠知， ． ． ， ． ． 由勾股定理得，， ． ． ． ． （2）证明：由折叠知，，． ， ， ， ， ， ∵， ∴，， ， ， ， ，点在延长线上， ， ， ． ， ， 四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形折叠问题，直角三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，勾股定理．熟练掌握平行四边形的性质与判定和折叠性质是解题的关键． 64．综合实践课上，老师让同学们开展了的折纸活动，是边上的一动点，是边上的一动点，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，连接． (1)【观察发现】如图1，若，，，求的长； (2)【操作探究】如图2，当点落在的延长线上时，求证：四边形为平行四边形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由折叠的性质可得，则，由三角形外角性质得，所以，再利用勾股定理得，然后由，求得，即可求解． （2）根据折叠的性质先证，再证即可证明四边形为平行四边形． 【详解】（1）解：由折叠知， ． ． ， ． ． 由勾股定理得，， ． ． ． ． （2）证明：由折叠知，，． ， ， ， ， ， ∵， ∴，， ， ， ， ，点在延长线上， ， ， ． ， ， 四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形折叠问题，直角三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，勾股定理．熟练掌握平行四边形的性质与判定和折叠性质是解题的关键． 65．如图1，四边形是平行四边形，延长至点，使得，连接和． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，将沿直线翻拆点刚好落在线段的中点处，延长与的延长线相交于点，并且和交于点，试求线段、、之间的数量关系； (3)如图3，将沿直线翻折，点刚好落在线段上的点处，若，，且，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）根据平行四边形性质可得，进而得到，再根据四边形是平行四边形，和翻折性质可得，即可求解 （3）根据平行四边形的性质证明，可得，过点D作，可求，根据，可得，根据条件证明，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵延长至点，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由翻折性质可得： ， 由（1）得：四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴，即； （3）解：∵四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点D作，如图， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴， 由翻折性质可得：， ∴， 由（2）可得：， ∵， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了几何问题，涉及到平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，灵活运用所学知识是关键． 66．综合与实践课上，王老师以“发现—探究—应用”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维，以下是王老师的课堂主题展示： 【问题情境】在中，，，，是的中点，连接，将沿折叠得到（点不与点重合），作直线交于点． 【观察发现】 （1）如图1，若，则与的大小关系是 ；线段与的数量关系是 ，位置关系是 ； 【类比探究】 （2）在的值发生变化的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由； 【拓展应用】 （3）当，且点在内部时，请直接写出线段的长． 【答案】（1），，；（2）仍然成立，理由见解析；（3） 【分析】本题考查折叠性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． （1）根据折叠性质得到，，则利用平角定义得，利用中点性质和等边对等角得，利用三角形的内角和定理得到，进而可证，，证明四边形是平行四边形可得； （2）与（1）证明方法类同，可得结论仍然成立； （3）作于点，利用折叠性质可得，则为等腰直角三角形，进而求得，在中，由勾股定理可得，进而可求解． 【详解】解：（1）由折叠性质得，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴，则， ∴，即； ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故答案为：，，； （2）在的值发生变化的过程中，（1）中的结论仍然成立， 理由如下：由折叠，可得，． ∵为的中点， ∴． ∴． ∴， 又， ∴． ∴， ∵四边形是平行四边形． ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴； （3）作于点，则， ∵， ∴， ∴，则为等腰直角三角形， ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴． 67．【探究与证明】 折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究．同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 在平行四边形纸片中，点E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为． (1)如图1，若点 恰好落在边上时， 四边形的形状是 ． (2)如图2，若点三点在同一条直线上时，求证：； (3)如图3，若时，连接，并延长交于点F．若平行四边形纸片的面积为24，，求线段的长． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由折叠的性质结合平行四边形的性质得到，推出，即可证明四边形是平行四边形； （2）由折叠的性质结合平行四边形的性质证明是等腰三角形，即可得出结论； （3）延长交于点H，由折叠的性质先证明是等腰三角形，得到，根据平行四边形的性质得到，易证利是等腰三角形，用平行四边形的面积公式即可求出，进而得到，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 由折叠的性质可得：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）证明：由折叠的性质可得：， 四边形是平行四边形， ， ， ， 点三点在同一条直线上 是等腰三角形， ； （3）解：如图，延长交于点H， 由折叠的性质可得：， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形，， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，翻折的性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 68．在中，，，，点分别为边上异于端点的动点，且，连结，将四边形沿着折叠得到四边形．    (1)如图1，边，交于点，若，求证：四边形为平行四边形； (2)如图2，当点落在点处时，求折痕的长； (3)当点落在的边上时，求点之间的距离． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)4或或． 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理． （1）先证，再由已知平行四边形即可； （2）如图1，过点作的垂线，交延长线于点，连结，交于点，由轴对称性可知垂直平分，结合勾股定理即可计算； （3）分情况：当点落在边上时，如图2；当点落在边上时，如图3，连结交于点；当点落在边上时，如图4，连结交于点，分别求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在平行四边形中，， ∴四边形为平行四边形； （2）如图1，过点作的垂线，交延长线于点， 连结，交于点，由轴对称性可知垂直平分，    在中， ∵ ∴ 由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， 即，解得， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， 由平行四边形的中心对称性，得; （3）当点落在边上时，如图2，    由折叠可知，，， ∵ ∴ 在平行四边形中，， ∴四边形是平行四边形 ∴ 在中， ∴ ∴ 当点落在边上时，如图3，连结交于点 由平行四边形的中心对称性，得， 由翻折，得， ∴， ∴， 在中， ∴ 由勾股定理，得 当点落在边上时，如图4，连结交于点， 由折叠可知，则垂直平分， 由轴对称性可知垂直平分，    ∴点与点重合 过点作的垂线交于点， 在中，，， 由勾股定理，得． 综上所述，点之间的距离为4或或． 69．在四边形中，，对角线交于点O，且．点E、F分别为边上的动点，连结． (1)如图1， ①求证：； ②求证：四边形为平行四边形； ③恰好经过点O，当时，如图2，连接，若，，求的度数． (2)平移，当点E与点A重合时，如图3， 将沿折叠得到，当点恰好落在线段上时，过点D作，交延长线于点G，其中，，，求线段的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析；③ (2)11 【分析】（1）①根据，得出，即可证明． ②由①得，得出，结合，即可证明四边形为平行四边形； ③根据，，得出，根据平行四边形的性质得出，证出是的垂直平分线，即可得，根据等腰三角形的性质得出，根据，，求出，再根据即可求解． （2）根据平行四边形的性质可得，，根据，得出，由折叠知，，即可得出， ，在中，勾股定理求出，在中，求出 ， 即可求解． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴，   ②证明：由①得， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形； ③解：∵，， ∴， 由②得：四边形为平行四边形， ∴， 又∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：∵在中，，， ∴，， ∵， ∴， 由折叠知，， ∴， ∴． 在中， ，， ∵，即， ∴， ∵在中， ， ∴ ， ∴． 【点睛】该题主要考查了平行四边形的性质和判定，折叠的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，垂直平分线的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 七、一次函数与平行四边形的综合 70．如图，在四边形中，O为坐标原点，点分别位于x轴，y轴正半轴上，，D为边的中点，E为边上一点（不与点重合），且，分别与相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，当为等腰三角形时，求的长； (3)当E为中点时，连结并延长交于点G，若四边形与的面积差为4，请在横线上直接写出点G的坐标______． 【答案】(1)见解析 (2)或4 (3) 【分析】（1）只需证明即可． （2）分三种情况求解即可． （3）先证明，得到，确定直线的解析式为，设点，则，其中， 求得直线的解析式，根据面积差为4，得到求解即可． 【详解】（1）证明：∵D是中点 ∴四边形是平行四边形． （2）由（1）得四边形是平行四边形， ， ∴．设， （I）当时，则， ， ， 根据题意，得， 解得：， 故； （II）当时，则，则， 根据题意，得， 解得：，（均舍去）； （III）当时，则 ，故， 根据题意，得， 解得：，（舍去）， 故， 所以或4． （3）如图，，点D是的中点，点E是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 则直线的解析式为， 设点，则，其中， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为， ∵点是直线上的点， ， 解得． ，， 且四边形与的面积差为4， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ， 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，待定系数法，熟练掌握平行四边形的判定，灵活进行等腰三角形的边的分类待定系数法是解题的关键． 71．如图，在平面直角坐标系中，已知直线是一次函数的图象，直线是一次函数的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点． (1)用m、n分别表示点A、B、P的坐标； (2)若四边形的面积是，且，试求点P的坐标，并求出直线与的函数表达式； (3)在（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，或或． 【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，平行四边形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）已知直线解析式，令，求出的值，可求出点，的坐标，联立方程组求出点的坐标即可； （2）先根据得到、的关系，然后求出，，并都用字母表示，根据列式求出的值，从而可求出的值，继而可推出点的坐标以及直线与的解析式； （3）由于、、三点已经确定，要确定点的位置，分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：在直线中，令，得， ∴点， 在直线中，令，得， ∴点， 由，解得：， ∴点； （2）解：∵， ∴， 整理得：， ∴，， 而， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的函数表达式为：， 的函数表达式为：； （3）解：存在， 过点P作直线平行于x轴，过点B作的平行线交于点，过点A作的平行线交于点，过点A、B分别作、的平行线交于点． ①∵且， ∴是平行四边形，此时， ∵， ∵，，， ∴，， ∴， ∴； ②∵且， ∴是平行四边形，此时， ∴； ③∵且， ∴是平行四边形， ∵且， ∴， 同理可得：， 由，得：， ∴， 综上：存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为或或． 72．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，点在直线AB上． (1)求直线的解析式． (2)P为x轴上一动点，连接，当最小时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，当最小时，在平面内是否存在一点Q，使得四边形是平行四边形?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可； （2）过点B作轴的对称点，连接，显然由对称得,，故，当点三点共线时，取得最小值，此时点P为直线与x轴交点，可求直线的表达式为，令，即可求解； （3）画出图形，分类讨论利用平行四边形的性质和平移的性质求解即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为：， 代入点得，， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：过点B作轴的对称点，连接， 当时，， ∴ 由对称得,， ∴， 当点三点共线时，取得最小值，此时点P为直线与x轴交点， 设直线的表达式为， 代入点坐标得，， 解得：， ∴设直线的表达式为， 当是，， 解得， ∴此时． （3）解：①为平行四边形时，则， ∴； ②为平行四边形时，则， ∴， ③为平行四边形时， ∵， ∴点B向点P的平移方式与点A向点的平移方式一样， ∵， ∴点B向右平移个单位，向下平移2个单位得到向点P， ∴点A向右平移个单位，向下平移2个单位得到向点P 而， ∴， 综上所述，点Q的坐标为：或或． 【点睛】本题考查了一次函数与平行四边形的综合题，涉及待定系数法求函数解析式，“将军饮马”求最值，平行四边形的性质 ，平移的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 73．如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为:，分别交x，y轴于点A，B，直线分别交x，y轴于点C，B，，且.    (1)求直线的解析式； (2)将点B沿某条直线折叠使点B与点O重合，折痕分别交于点E，D，在x轴上是否存在点F，使点D，E，F为顶点的三角形是以为斜边的直角三角形，若存在，请求出F点坐标；若不存在，请说明理由； (3)在平面直角坐标系内是否存在一个点，使得这个点与E，D，O三点构成的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出这个点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，F点的坐标为或，理由见解析 (3)或或 【分析】（1）可求B点坐标，得，，，得C的坐标，待定系数法求解，得直线的解析式为； （2）①当F点在原点处时，可得，于是，得F点的坐标为；②当F点在O点右边时，过点E作的平行线与x轴交于点，连接，得E为的中点，求得，设为x，构建方程求解得，同样运用勾股定理，求，得，可证，得，可求得坐标为； （3）可求设满足要求的点为，分情况讨论：①若以为对角线时，要构成平行四边形，则，可求P的坐标为；②若以为对角线时，同理构建方程，可求点P的坐标为；③若以为对角线时，同理构建方程组，可求P的坐标为． 【详解】（1）解析： 直线的解析式为 B点坐标为 又， 点C的坐标为 设的解析式为，将和代入，得 解得 直线的解析式为 （2）存在，理由如下:    图1 ①当F点在原点处时: 点F与点B关于折痕对称 ，， 又 此时F点的坐标为 ②当F点在O点右边时，过点E作的平行线与x轴交于点，连接则: 点O与点B关于折痕对称 又折痕与x轴平行 E为的中点 又， 设为x，则，得 解得: ， 又，， ， 又， ， ， ， ， 又∵ 在和中 坐标为 F点的坐标为或 （3）存在，理由如下， 已知，，由（2）知点E是的中点，于是 设满足要求的点为， ①若以为对角线时，要构成平行四边形，则 ，解得；于是点P的坐标为； ②若以为对角线时， ，解得，于是点P的坐标为； ③若以为对角线时， ，解得，于是P的坐标为 综上，满足条件的点的坐标为，，．    图2 【点睛】本题考查一次函数解析式，直角三角形性质，平行四边形的判定，直角坐标系中线段中点坐标求解；根据平行四边形的判定方法构建方程组是解题的关键． 74．如图，四边形为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D点坐标是，B点坐标是，矩形沿直线EF折叠，点A落在边上的G处，E、F分别在上，直线解析式为，F点的坐标是．      (1)求出k的值； (2)若直线平行于直线，交x轴于点H，求直线的解析式； (3)点N在x轴上，直线上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）将点的坐标代入直线解析，即可得出结论； （2）根据直线平行于直线，可设直线解析式，利用折叠的性质和勾股定理确定，再代入即可； （3）本问关键是确定平行四边形的位置与形状．因为、均为动点，只有已经确定，所以可从此入手，按照为平行四边形的一边、为平行四边形的对角线的思路，顺序探究可能的平行四边形的形状．确定平行四边形的位置与形状之后，利用全等三角形求得点的纵坐标，再利用直线解析式求出点的横坐标，从而求得点的坐标． 【详解】（1）解：直线解析式为，点的坐标是， ， ， 直线解析式为， 的值为． （2）点坐标是，点的坐标是， ，，， 矩形沿直线折叠，点落在边上的处， ，，， ， ， ， 直线平行于直线， 设直线解析式为， ， ， 直线解析式为． （3）若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则可能存在以下情形： ①如图1所示，为平行四边形的一边，且点在轴正半轴上， 过点作轴于点，延长交轴于点，设，， ， ，， ， 四边形为矩形，点在轴上，点在轴上， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， 点的纵坐标：， 直线解析式为， 点的横坐标：， ；    ②如图1所示，为平行四边形的一边，且点在轴负半轴上， 过点作轴于点，延长交轴于点，设，， ， ，， ， 四边形为矩形，点在轴上，点在轴上， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， 点的纵坐标：， 直线解析式为， 点的横坐标：， ；    ③如图3所示，为平行四边形的对角线， 过点作延长线的垂线，垂足为，设，， ， ，， ， 四边形为矩形，点在轴上，点在轴上， ，， ，， ， 在和中，， ， ， 点的纵坐标为：， 直线解析式为， 点的横坐标为：， ； 综上所述，存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或．    【点睛】本题考查直角坐标系中一次函数与平面图形的性质，待定系数法求一次函数（直线）解析式，矩形，平行四边形，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质等知识点．难点在于第（3）问，这是一个存在性问题，注意平行四边形有三种可能的情形，需要一一分析并求解，避免遗漏．根据题意，灵活运用所学知识是解题的关键． 试卷第2页，共113页 2 / 110 学科网（北京）股份有限公司 $$