专题6.2平行四边形的性质与判定中档大题20题（分层练习，五大题型）-2023-2024学年八年级数学下册同步精品课堂（北师大版）

专题6.2平行四边形的性质与判定中档大题20题 （分层练习，四大题型） 考查题型一、利用平行四边形的性质求解 1．如图，四边形是平行四边形，点是上一点，且和分别平分和． （1）求的度数； （2）如果，求的长． 2.如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD交BD于点E，交BC于点M，CF平分∠BCD交BD于点F． （1）求证：AE＝CF； （2）若∠ABC＝70°，求∠AMB的度数． 3．如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，若MA=MC． （1）求证：CD=AN ； （2）若AC⊥DN，∠CAN=30°，MN=1，求四边形ADCN的面积． 4．如图，在中，点E为上一点，连接并延长交的延长线于点F，，连接． (1)求证：平分； (2)若点E为中点，，，求的面积． 5．如图，在中，BD是它的一条对角线， (1)求证：； (2)尺规作图：作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）； (3)连接BE，若，求的度数． 6．如图，中，，，E、F分别是，上的点，且，连接交于O． (1)求证：； (2)若，延长交的延长线于G，当时，求的长． 考查题型二、利用平行四边形的性质证明 7．如图，平行四边形中，E、F在对角线上，并且，那么四边形是不是平行四边形？为什么？ 8．如图，在中，是的中点，延长到点，使，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求四边形的面积． 9．如图，在□ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点． （1）求证：四边形EBFD为平行四边形； （2）对角线AC分别与DE、BF交于点M、N.求证：△ABN≌△CDM． 10．已知，如图，在ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN. （1）求证：△AEM≌△CFN； （2）求证：四边形BMDN是平行四边形. 11．如图，在中，，，垂足分别为，两点，点，分别为，的中点，连接交于点．求证：和互相平分． 12．如图，在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE＝DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG＝CH，连接GE、EH、HF、FG． 求证：(1)△BEG≌△DFH； (2)四边形GEHF是平行四边形． 13．如图，已知平行四边形中，是它的一条对角线，过、两点分别作，，垂足分别为、，延长线段、分别交、于点、．   (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，，求的长． 考查题型三、等边三角形与平行四边形综合类大题 14．如图，分别以的直角边及斜边向外作等边、等边．若，，垂足为，连接．求证： （1）； （2）四边形是平行四边形． 15．如图，分别以△ABC的三边为边长，在BC的同侧作等边三角形ABD，等边三角形BCE，等边三角形ACF，连接DE，EF．求证：四边形ADEF是平行四边形． 16．如图，在等边△ABC中，点D在直线BC上，连接AD，作∠ADN=60°，直线DN交射线AB于点E，过点C作CF∥AB交直线DN于点F． （1）当点D在线段BC上，∠NDB为锐角时，如图①，求证：CF+BE=CD； （提示：过点F作FM∥BC交射线AB于点M．） （2）当点D在线段BC的延长线上，∠NDB为锐角时，如图②；当点D在线段CB的延长线上，∠NDB为钝角时，如图③，请分别写出线段CF，BE，CD之间的数量关系，不需要证明； （3）在（2）的条件下，若∠ADC=30°，S△ABC=4，则BE=　 　，CD=　 ． 考查题型四、利用中位线的性质证明 17．如图，等边的边长是2，分别为的中点，延长至点，使，连接和． (1)求证：四边形是平行四边形 (2)求的长． 18．如图，在中，点是对角线，的交点，点是的中点，点在的延长线上，且，连接，．求证：四边形是平行四边形． 19．如图，在△ABC中，中线BD、CE相交于点O，F、G分别是OB、OC的中点． 求证：四边形DEFG是平行四边形； 20．如图所示，在中，点D、E分别为的中点，点H在线段上，连接，点G、F分别为的中点．   (1)求证：四边形为平行四边形 (2)，求线段的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.2平行四边形的性质与判定中档大题20题 （分层练习，四大题型） 考查题型一、利用平行四边形的性质求解 1．如图，四边形是平行四边形，点是上一点，且和分别平分和． （1）求的度数； （2）如果，求的长． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB， ∴∠DAB+∠CBA=180°， 又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA， ∴∠PAB+∠PBA＝(∠DAB+∠CBA)＝90°， ∴∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA）=90°； （2）∵AP平分∠DAB， ∴∠DAP=∠PAB， ∵AB∥CD， ∴∠PAB=∠DPA， ∴∠DAP=∠DPA， ∴AD=DP=5cm， 同理：PC=CB=5cm， ∴AB=DC=DP+PC=10cm， 在Rt△APB中，AB=10cm，AP=cm， ∴BP＝=cm． 2.如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD交BD于点E，交BC于点M，CF平分∠BCD交BD于点F． （1）求证：AE＝CF； （2）若∠ABC＝70°，求∠AMB的度数． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠BCD ∴∠ABE＝∠CDF，∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，∴∠BAE＝∠DCF，∴△ABE≌△CDF（ASA）， ∴AE＝CF； （2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠BAD+∠ABC＝180°，∵∠ABC＝70°， ∴∠BAD＝110°，∵AM平分∠BAD，AD∥BC，∴∠AMB＝∠DAM＝55°． 3．如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，若MA=MC． （1）求证：CD=AN ； （2）若AC⊥DN，∠CAN=30°，MN=1，求四边形ADCN的面积． 【详解】（1）证明：∵CN∥AB，∴∠DAC=∠NCA，即∠DAM=∠NCM． 在△AMD和△CMN中，∵∠DAM=∠NCM，MA="MC," ∠AMD∠CMN， ∴△AMD≌△CMN（ASA）．∴AD=CN， 又AD∥CN，∴四边形ADCN是平行四边形． ∴CD=AN． （2）解：∵AC⊥DN，∠CAN=30°，MN=1，∴AN=2MN=2，． ∴S△AMN． ∵四边形ADCN是平行四边形， ∴S四边形ADCN=4S△AMN=2． 4．如图，在中，点E为上一点，连接并延长交的延长线于点F，，连接． (1)求证：平分； (2)若点E为中点，，，求的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即平分； （2）∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵点E为中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． ∴的面积 即的面积是． 5．如图，在中，BD是它的一条对角线， (1)求证：； (2)尺规作图：作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）； (3)连接BE，若，求的度数． 【详解】（1）四边形ABCD是平行四边形， ， ， （2）如图，EF即为所求； （3） BD的垂直平分线为EF， ， ， ， ， ． 6．如图，中，，，E、F分别是，上的点，且，连接交于O． (1)求证：； (2)若，延长交的延长线于G，当时，求的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）， ∴， ∴， ∴． 考查题型二、利用平行四边形的性质证明 7．如图，平行四边形中，E、F在对角线上，并且，那么四边形是不是平行四边形？为什么？ 【详解】解：四边形是平行四边形． 理由是：连，设相交于点O， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴． ∴四边形是平行四边形． 8．如图，在中，是的中点，延长到点，使，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求四边形的面积． 【详解】（1）∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵F是AD的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， （2）∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴。 9．如图，在□ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点． （1）求证：四边形EBFD为平行四边形； （2）对角线AC分别与DE、BF交于点M、N.求证：△ABN≌△CDM． 【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵E、F分别是AB、CD的中点，∴BE=DF，∵BE∥DF，∴四边形EBFD为平行四边形； （2）∵四边形EBFD为平行四边形，∴DE∥BF，∴∠CDM=∠CFN，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD．∴∠BAC=∠DCA，∠ABN=∠CFN，∴∠ABN=∠CDM，在△ABN与△CDM中，∵∠BAN=∠DCM，AB=CD，∠ABN=∠CDM，∴△ABN≌△CDM （ASA）． 考点：1．平行四边形的判定与性质；2．全等三角形的判定． 10．已知，如图，在ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN. （1）求证：△AEM≌△CFN； （2）求证：四边形BMDN是平行四边形. 【详解】证明：(1） ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC ，AD∥BC． ∴∠E=∠F，∠DAB=∠BCD． ∴∠EAM=∠FCN． 又∵AE=CF ∴△AEM≌△CFN（ASA）． （2） ∵由（1）△AEM≌△CFN ∴AM=CN． 又∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ABCD ∴BMDN． ∴四边形BMDN是平行四边形． 11．如图，在中，，，垂足分别为，两点，点，分别为，的中点，连接交于点．求证：和互相平分． 【详解】证明：连接，，如图， 四边形是平行四边形， ，，AB//CD， ∴∠ABE=∠CDF ∵，分别是，的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形 ∴， 在和中， ，，， ∴， ∴． ∴， 又∵， ∴和互相平分． 12．如图，在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE＝DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG＝CH，连接GE、EH、HF、FG． 求证：(1)△BEG≌△DFH； (2)四边形GEHF是平行四边形． 【详解】(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥DC， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵AG＝CH， ∴BG＝DH， 在△BEG和△DFH中， ， ∴△BEG≌△DFH(SAS)； (2)∵△BEG≌△DFH(SAS)， ∴∠BEG＝∠DFH，EG＝FH， ∴∠GEF＝∠HFB， ∴GE∥FH， ∴四边形GEHF是平行四边形． 13．如图，已知平行四边形中，是它的一条对角线，过、两点分别作，，垂足分别为、，延长线段、分别交、于点、．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，，求的长． 【详解】（1）解：证明：，， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形； （2）四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， 在与中， ， ； ， ， ． 考查题型三、等边三角形与平行四边形综合类大题 14．如图，分别以的直角边及斜边向外作等边、等边．若，，垂足为，连接．求证： （1）； （2）四边形是平行四边形． 【详解】证明：（1） 中，， ， 又是等边三角形，， ，且， ， 而， 在和中， ， ； （2）， ， 而是等边三角形， ，且， 而， ， 四边形是平行四边形． 15．如图，分别以△ABC的三边为边长，在BC的同侧作等边三角形ABD，等边三角形BCE，等边三角形ACF，连接DE，EF．求证：四边形ADEF是平行四边形． 【详解】证明：∵△BCE、△ACF、△ABD都是等边三角形， ∴AB＝AD，AC＝CF，BC＝CE，∠BCE＝∠ACF， ∴∠BCE﹣∠ACE＝∠ACF﹣∠ACE， 即∠BCA＝∠FCE， 在△BCA和△ECF中， ， ∴△BCA≌△ECF（SAS）， ∴AB＝EF， ∵AB＝AD， ∴AD＝EF， 同理DE＝AF， ∴四边形ADEF是平行四边形． 16．如图，在等边△ABC中，点D在直线BC上，连接AD，作∠ADN=60°，直线DN交射线AB于点E，过点C作CF∥AB交直线DN于点F． （1）当点D在线段BC上，∠NDB为锐角时，如图①，求证：CF+BE=CD； （提示：过点F作FM∥BC交射线AB于点M．） （2）当点D在线段BC的延长线上，∠NDB为锐角时，如图②；当点D在线段CB的延长线上，∠NDB为钝角时，如图③，请分别写出线段CF，BE，CD之间的数量关系，不需要证明； （3）在（2）的条件下，若∠ADC=30°，S△ABC=4，则BE=　 　，CD=　 ． 【详解】试题分析：（1）通过△MEF≌△CDA即可求得ME=CD，通过证四边形BCFM是平行四边形可以得出BM=CF，从而证得CF+BE=CD； （2）作FM∥BC，得到四边形BCFM是平行四边形，再通过证得△MEF≌△CDA即可求得， （3）由△ABC的面积可求得AB=BC=AC=4，所以BD=2AB=8，所以 BE=8，图②CD=4图3CD=8， 试题解析：（1）如图①，过点F作FM∥BC交射线AB于点M， ∵CF∥AB， ∴四边形BMFC是平行四边形， ∴BC=MF，CF=BM， ∴∠ABC=∠EMF，∠BDE=∠MFE， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°，BC=AC， ∴∠EMF=∠ACB，AC=MF， ∵∠ADN=60°， ∴∠BDE+∠ADC=120°，∠ADC+∠DAC=120°， ∴∠BDE=∠DAC， ∴∠MFE=∠DAC， ∴△MEF≌△CDA（AAS）， ∴CD=ME=EB+BM， ∴CD=BE+CF． （2）如图②，CF+CD=BE，如图3，CF﹣CD=BE； （3）如图②图③，BE=8，CD=4或8． 考查题型四、利用中位线的性质证明 17．如图，等边的边长是2，分别为的中点，延长至点，使，连接和． (1)求证：四边形是平行四边形 (2)求的长． 【详解】（1）证明：分别为的中点， 为的中位线， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是平行四边形， 为的中点，等边三角形的边长为2， ， ． 18．如图，在中，点是对角线，的交点，点是的中点，点在的延长线上，且，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ， 是的中位线， ， ， ，， 四边形是平行四边形． 19．如图，在△ABC中，中线BD、CE相交于点O，F、G分别是OB、OC的中点． 求证：四边形DEFG是平行四边形； 【详解】解：（1）证明：∵BD、CE是△ABC的中线， ∴AE=BE，AD=CD， ∴DE∥BC，， ∵F、G分别是OB、OC的中点， ∴FG∥BC，， ∴DE∥FG，DE=FG， ∴四边形DEFG是平行四边形； （2）当AB=AC时，四边形DEFG是矩形． 证明：∵AB=AC，BD、CE是△ABC的中线， ∴BE=CD，∠EBC=∠DCB， 又BC=CB， ∴△EBC≌△DCB（SAS）， ∴CE=BD，∠BCE=∠CBD， ∴OC=OB， ∴OE=OD， ∵四边形DEFG是平行四边形， ∴， ∴EG=DF， ∴四边形DEFG是矩形． 20．如图所示，在中，点D、E分别为的中点，点H在线段上，连接，点G、F分别为的中点．    (1)求证：四边形为平行四边形 (2)，求线段的长度． 【详解】（1）解：∵点D、E分别为的中点， ∴， ∵点G、F分别为、的中点． ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）∵四边形为平行四边形， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$