6.1平行四边形的性质（4大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（北师大版）

6.1平行四边形的性质 一、利用平行线的性质求解 1．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形三个顶点坐标分别为，，，则顶点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，中，，，平分交于点，平分交于点，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 3．如图，在中，，相交于点O，，． 过点A作交于点E，记长为x，长为y． 当x，y的值发生变化时，代数式的值是（   ） A．12 B．16 C．8 D．6 4．如图，在中，连接，且，过点作于点，过点作于点，且，在的延长线上取一点，满足，则的长为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线以每秒的速度运动．动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动；当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为（   ） A．2或秒 B．秒 C．或秒 D．秒 6．如图，中，点E、F分别是上一点，连接，连接交于点P，连接分别交于点G、H，设的面积为，的面积为，四边形的面积为，若，则阴影部分四边形的面积为（　　） A．17 B．19 C．18.5 D．23 7．如图，平面直角坐标系中，点、分别在轴、轴正半轴上运动，以为对角线作平行四边形，使得边在轴上，点在的右侧，且，连接交于点，当时，若，则点的坐标为（      ） A． B． C． D． 8．如图，在中，E是边上一点，，，若，则的度数为 ． 9．如图，在中，，，，为的中点，为边上的点，连接，将沿折叠得到，连接，若以点，，，A为顶点的四边形为平行四边形，则的长为 ． 10．如图，在平行四边形中，点分别为边的中点，将平行四边形沿着折叠，点分别落在处，若，则的度数为 ． 11．如图，已知的对角线与相交于点O，，将沿着直线翻折，使点B的对应点落在原图所在平面上，连结．若，则的长度为 ． 12．如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以为邻边作，连接，则的最小值为 ． 13．如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，点分别为的中点，连接． (1)求证：； (2)若，且，，则的长为 ． 14．如图，在中，平分交于点． (1)若，求的长； (2)若是的中点，连结，求证：平分． 15．如图，在中，，将绕点A沿顺时针旋转得到，与交于点F． (1)求证：； (2)若，当四边形是平行四边形时，求的长． 16．【感知】如图，在平行四边形中，对角线相交于点，过点的直线分别交边于点，易证：（不需要证明）； 【探究】如图，平行四边形中，对角线相交于点，过点的直线分别交边的延长线于，求证：； 【应用】连接图中的，其它条件不变，如图，若，的面积为，则四边形的面积为__________． 二、利用平行四边形的性质证明 17．如图在平行四边形中，已知与关于点O对称，过点O任作直线分别交、于点M、N，下列结论：（1）点M和点N，点B和点D是关于点O的对称点；（2）直线必经过点O；（3）四边形是中心对称图形；（4）四边形和四边形的面积相等；（5）和成中心对称．其中，正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．5个 D．1个 18．如图，为平行四边形的对角线，于点E，于点F，相交于点H，直线交线段的延长线于点G，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 19．已知中，，，点为中点，点在边上，，若，判断下列五个结论中 ；；，平分； 正确的序号有 ． 20．如图，将平行四边形纸片沿一条直线折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，试判断的形状，并说明理由． 21．已知，如图，把平行四边形纸片沿折叠，点落在处，与相交于点． (1)求证：； (2)连接，判断与的位置关系并且证明． 22．如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，点分别为的中点，连接． (1)求证：． (2)若，且，，求的长． 23．在中，，过作于，连接，延长至，使，连接． (1)求证：； (2)若，，求四边形的周长． 24．如图，在中，E、F分别是上的点，G、H分别是的三等分点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 25．（1）如图，在中，E、F是对角线上的两点，并且，求证：． （2）如图，已知和的顶点A、E、F、C在同一条直线上，求证：． 26．如图，在中，是边的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，平分，则的长为________． 27．【提出问题】 如图1，在中，于点E，于点F．求证：； 【问题探究】 如图2，在四边形中，，G是的中点，P是上的一点，连接，．若，．求证：； 【拓展延伸】 如图3，在四边形中，，P是边上的一点，连接，．若，，，，，直接写出PD的长为 ． 28．是等边三角形，点是射线上的一点（不与点，重合），连接，在的左侧作等边三角形，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，交于点． (1)如图1，当点为中点时，线段与的数量关系是______； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； (3)当，时，请求出的长． 29．已知：在中，E、F分别在上，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，作，交于点G，连接，且，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点P，延长交于点K，若，求线段的长度． 30．【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第77页的部分内容． 平行四边形的性质定理3 ：平行四边形的对角线互相平分． 我们可以证明这个结论． 已知：如图，的对角线和相交于点O． 求证：．    请根据教材中的分析，结合图①，写出“平行四边形的对角线互相平分”这一性质的完整的证明过程． （1）证明：    【性质应用】 （2）如图②，的对角线相交于点O，过点O且与分别相交于点E、F，求证：； （3）连结AF，若，周长是16，则的周长是______． 31．如图1，在中，对角线相交于点O，且，，点E为线段上一动点，连接，将绕点D逆时针旋转得到，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，当点F落在的外面，交于点M，且能构成四边形时，四边形的面积是否发生变化？若不变，请末出这个值，若变化，请说明理由． 32．如图，在中，，，E为射线上一点，直线与直线交于点G，于H，的延长线与直线交于点F． (1)当E在线段上时， ①若，，求的面积； ②求证：； (2)若，，求的长． 33．已知在平行四边形中，动点在边上，以每秒的速度从点向点运动． (1)如图1，在运动过程中，若，平分，求的度数． (2)如图2，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在之间往返运动，，两点同时出发，当点到达点时停止运动同时点也停止，若，当运动时间为 秒时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形． (3)如图3，连结并延长与的延长线交于点，平分交于点，当，时，求的长 (4)如图4，在(1)的条件下，连结并延长与的延长线交于点，若，求的面积． 三、平行四边形性质与作图的综合 34．嘉嘉和淇淇在研究平行四边形的性质时，想到这样一个问题：如图，已知，G为CD边上一点，E为BC延长线上一点，以CG，CE为边作，请用一条直线平分与组合的图形面积．他们延长EF，AD交于点H，分别作出，，，对角线的交点P，Q，M，N，得出甲、乙、丙三种方案．下列说法正确的是（    ）    A．甲对，乙、丙错 B．甲、丙对，乙错 C．甲、乙对，丙错 D．乙、丙对，甲错 35．在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，则的长为（   ） A．4 B．6 C． D．5 36．如图，在平行四边形中，按以下步骤作图： ①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，； ②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点； ③作射线，交于点，交的延长线于点． 则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 37．在中，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，为的中点，连接，．若，，，则的长为 ． 38．如图，在中，，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M、N为圆心，大于 为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点E，则四边形的周长是 ． 39．在学习平行四边形时，小刚同学遇到这样一个问题：如图，在中，连接对角线于点E，过点B作的垂线，垂足为F，试证明线段与相等．小刚的思路是证三角形全等解决问题．请根据小刚的思路完成下面作图和解答： 用直尺和圆规，完成基本作图：过点B作的垂线，垂足为点F（保留作图痕迹，不写作法）． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴____________①，． ．（____________②） ， ∴____________③． ． ． 于是小刚同学得到结论：平行四边形中，一组对角顶点到____________④相等． 40．如图，在平行四边形中，．利用尺规在上分别截取，使；分别以E、F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内，交于点G；作射线交于点H．若，则的长为 ．    41．如图，在中，平分，交于点． (1)实践与操作：过点A作的垂线，分别交，于点，；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)猜想与证明：试猜想线段与的数量关系，并加以证明． 42．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的四个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（画图过程用虚线，画图结果用实线）．    (1)在图1中，先在上画点E，使，再在上画点F，使； (2)在图2中，先在上画点H，使，再在上画点G，使． 43．如图是由小正方形组成的8×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，为上一格点，点为上任一点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图结果用实线表示，画图过程用虚线表示． (1)在图1中，先将线段向右平移得到线段、画出线段，再在上画点，使； (2)在图2中，先画出点关于的对称点、再在上找一点，使． 44．请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹． (1)如图1，在中，E是边上一点，在边上画点F，使； (2)如图2，在中，E是边上一点，且，画的平分线； 45．如图：的对角线交于点O．    (1)基础训练： 经过点O且与、分别相交于E、F．求证： (2)拓展变式 若将条件改为经过点O且与、的延长线分别相交于E、F，第（1）问的结论是否成立，请按题意画出图形，标注字母，并给予证明． (3)观察归纳 的对角线交于点O，直线是经过点O的任意一条直线，将的面积分为两部分，设四边形的面积为，四边形的面积为，则______．    (4)实践操作 你能否只画一条直线，将下图中两个平行四边形的面积同时平分，若能，请画出这条直线（用虚线画出辅助线）；若不能，请说明理由．    46．探究：如图1，在ABCD中，AC，BD交于点O，过点O的直线交AD于点E，交BC于点F． (1)求证：四边形AEFB与四边形DEFC的周长相等． (2)直线EF是否将ABCD的面积分成二等份？试说明理由． (3)应用：张大爷家有一块平行四边形菜园，园中有一口水井P，如图2，张大爷计划把菜园平均分成两块，分别种植西红柿和茄子，且使两块地共用这口水井，请你帮助张大爷把地分开． 四、平行四边形与一次函数的综合 47．如图，一次函数的图像与轴和轴分别交于点和点，将沿直线对折，使点与点重合，直线与轴交于点，与交于点，连接． (1)求的面积； (2)求的长度； (3)在轴上方有一点，且以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 48．如图，在平面直角坐标系中，，四边形为平行四边形，点D在x轴上，且，动点P从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿x轴正方向运动，同时，动点Q从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿y轴正方向运动．    (1)求点C的坐标； (2)当运动时间t为何值时，以P，B，C，D为顶点的四边形面积为20； (3)在线段上是否存在点R，使与全等？若存在，求出点R的坐标，若不存在，说明理由． 49．已知，，是直线在第二象限内的一点，且，将线段沿轴翻折得到点的对应点 ． （1）当时，求直线的解析式； （2）用含的代数式表示的面积； （3）作平行四边形，当时，请直接写出点的坐标 ． 50．定义：对于给定的一次函数（，k、b为常数），把形如（，k、b为常数）的函数称为一次函数（，k、b为常数）的衍生函数．已知的顶点坐标分别为，，，． (1)点在一次函数的衍生函数图象上，则 ； (2)如图，一次函数（，k、b为常数）的衍生函数图象与交于M、N、P、Q四点，其中P点坐标是，并且，求该一次函数的解析式． (3)一次函数（，k、b为常数），其中k、b满足． ①请问一次函数的图象是否经过某个定点，若经过，请求出定点坐标；若不经过，请说明理由； ②一次函数（，k、b为常数）的衍生函数图象与恰好有两个交点，求b的取值范围． 51．如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴、轴于点，，一次函数的图象经过点，并与x轴交于点，点是直线上的一个动点．    (1)直线的表达式为___________，并直接写出点的坐标___________； (2)若的面积为18，求点坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，当在轴上方时，过点作轴的垂线，交直线于点．是轴上一点，在直线找到，使以、、，为顶点的四边形是以为边的平行四边形，请直接写出点的坐标． 52．如图，在平面直角坐标系中，直线与交于点B，与x轴交于点A，且有如下信息： ①当时，；当时，：②当时，． (1)求的函数表达式； (2)点C在的图象上，当是以为底的等腰三角形时，求的面积； (3)在（2）的条件下，点M在x轴上，点N在直线的图象上，当以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N的坐标． 53．直线与轴交于A，与轴交于，直线与轴交于点，与直线交于点，过点作轴于点． (1)求点的坐标； (2)是轴上一动点，过作轴的垂线，分别与直线，交于，，设的长为d，点的横坐标为，请求出d与之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下，当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形．（直接写出结果） 54．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段上，将线段绕着点C顺时针旋转得到，此时点D恰好落在直线上时，过点D作轴于点E． (1)求证：； (2)求点D的坐标； (3)若点P在y轴上，点Q在直线上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由． 55．如图，直线分别交轴，轴于点，（点在轴负半轴上），直线经过点，交轴于点，且． （1）求直线的解析式； （2）平面内是否存在一点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由； （3）若，过点的直线分别交直线，于、两点，是否存在这样的实数，，使得线段被点平分？若存在，请求出，的值，若不存在，请说明理由． 56．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB：y＝x＋4交x轴于点A，交y轴于点B．直线CD：y＝-x-1与直线AB相交于点M，交x轴于点C，交y轴于点D． （1）直接写出点B和点D的坐标； （2）若点P是射线MD的一个动点，设点P的横坐标是x，△PBM的面积是S，求S与x之间的函数关系； （3）当S＝20时，平面直角坐标系内是否存在点E，使以点B，E，P，M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P坐标并求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由． 57．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴相交于A（6，0）、B（0，2）两点，动点C在线段OA上（不与）O、A重合），将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，当点D恰好落在直线AB时，过点D作DE⊥x轴于点E． （1）求证：； （2）求经过A、B两点的一次函数表达式，如图2，将沿x轴正方向平移得，当直线B′C′经过点D时，求点D的坐标、的面积； （3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，通过画图说明理由，并指出点Q的个数． 试卷第2页，共95页 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.1平行四边形的性质 一、利用平行线的性质求解 1．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形三个顶点坐标分别为，，，则顶点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，设点，由平行四边形的性质可得，，即可求解，掌握平行四边形的性质是本题的关键． 【详解】解：设点， ∵四边形是平行四边形，点，点，点， ∴，， ∴，， ∴点， 故选：A． 2．如图，中，，，平分交于点，平分交于点，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线、平行四边形的性质及等腰三角形的判定，先根据角平分线及平行四边形的性质得出，，再由等角对等边得出，从而求出的长． 【详解】解：∵在中，，， ∴，，， ∴，， ∵平分交于点，平分交于点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 3．如图，在中，，相交于点O，，． 过点A作交于点E，记长为x，长为y． 当x，y的值发生变化时，代数式的值是（   ） A．12 B．16 C．8 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，作交的延长线于，由平行四边形的性质可得，，证明，得出，表示出，，由勾股定理得出，即可得解． 【详解】解：如图，作交的延长线于， ， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵，，，， ∴， ∴， ∴当x，y的值发生变化时，代数式的值是， 故选：C． 4．如图，在中，连接，且，过点作于点，过点作于点，且，在的延长线上取一点，满足，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知识．根据平行四边形的性质可得，推出，利用等面积法得到，由，，推出，得到，结合，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， , 故选：B． 5．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线以每秒的速度运动．动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动；当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为（   ） A．2或秒 B．秒 C．或秒 D．秒 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用，分两种情况：①当四边形为平行四边形时，②当四边形为平行四边形时，分别结合平行四边形的性质，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵，动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向终点运动， ∴运动时间为（秒）， ，的速度为每秒，到达的时间为（秒）， 当在点以及点的左边时，即时，， 当在的右边时，即时，， 以点、、、为顶点的四边形是平行四边形， ①当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得：； ②当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得， 综合上述，当或时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形． 故选：C． 6．如图，中，点E、F分别是上一点，连接，连接交于点P，连接分别交于点G、H，设的面积为，的面积为，四边形的面积为，若，则阴影部分四边形的面积为（　　） A．17 B．19 C．18.5 D．23 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形性质，利用平行四边形的性质可得，进而求得答案． 【详解】四边形是平行四边形， ， ， ∴ 设，，，则，，， ∴， ， 即阴影部分四边形的面积为23； 故选：D． 7．如图，平面直角坐标系中，点、分别在轴、轴正半轴上运动，以为对角线作平行四边形，使得边在轴上，点在的右侧，且，连接交于点，当时，若，则点的坐标为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 连接，设，证得，结合平行四边形的性质得、、、，通过勾股定理，构建方程，解方程，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 设，则，， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 整理，得：， 解得：（负值舍去）， ， 点的坐标为． 故选：D． 8．如图，在中，E是边上一点，，，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据平行四边形的性质可得，结合等腰三角形“等边对等角”的性质以及“两直线平行，内错角相等”可得，进而由三角形内角和定理解得的值，然后由求解即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 9．如图，在中，，，，为的中点，为边上的点，连接，将沿折叠得到，连接，若以点，，，A为顶点的四边形为平行四边形，则的长为 ． 【答案】1或 【分析】本题考查求线段长，涉及勾股定理、平行四边形性质、折叠性质等知识，读懂题意，分两种情况：①当点在下方时；②当点在上方时；在各自情况下，先由勾股定理求出长，再由平行四边形及折叠性质，数形结合表示出要求的线段即可得到答案，根据题意分类讨论是解决问题的关键． 【详解】解：当点在下方时，如图所示： ，，， ， 为的中点， ， 四边形是平行四边形， ， 将沿折叠得到， ， ； 当点在上方时，如图所示： 同上理，可得， ， 综上所述，可得为1或， 故答案为：1或 ． 10．如图，在平行四边形中，点分别为边的中点，将平行四边形沿着折叠，点分别落在处，若，则的度数为 ． 【答案】/57度 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到，由折叠的性质，，得出，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ∵点分别是的中点， ， 由折叠可得：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 11．如图，已知的对角线与相交于点O，，将沿着直线翻折，使点B的对应点落在原图所在平面上，连结．若，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定与性质．行平行四边形的性质得，再根据折叠的性质求得，然后证明是等边三角形，即可求解． 【详解】解： 四边形是平行四边形，， ． 如图，连接． 根据折叠的性质知，，． ， ∴ ∵， ∴ 是等边三角形， ． 故答案为：． 12．如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以为邻边作，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质，含直角三角形的定义，合理作出辅助线是解题的关键． 根据平行四边形的性质分析出当最短时也最短，过作的垂线，即的最小值为，利用勾股定理运算求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴当最短时也最短， ∴过作的垂线，如图所示： ∴的最小值为， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 13．如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，点分别为的中点，连接． (1)求证：； (2)若，且，，则的长为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握平行四边形性质和全等三角形的判定定理是解题关键． （1）由平行四边形性质，，再结合中点条件，利用“”即可证明． （2）根据题意得出为等腰三角形，由F是的中点，可得，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵平行四边形， ∴，，， ∴， ∵点E，F分别为的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ． （2）解：根据题意得， ∴， ∵平行四边形， ， ∴为等腰三角形， ∵点F是的中点， ∴， 在中，，， ． 14．如图，在中，平分交于点． (1)若，求的长； (2)若是的中点，连结，求证：平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定及性质，熟悉掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）利用平行四边形的性质得到，即 ，由角平分线的定义可得，即可推出，从而求解； （2）由中点的性质得到证出，利用平行四边形的性质得到，即，在通过角的等量代换求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）由(1)可得， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴平分． 15．如图，在中，，将绕点A沿顺时针旋转得到，与交于点F． (1)求证：； (2)若，当四边形是平行四边形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接．根据旋转的性质先证明△△则，进而证明△△，得出，即可证明△△； （2）根据四边形是平行四边形，结合已知条件得出，由勾股定理，可求得．根据△△，即可求解． 【详解】（1）证明：连接． 将绕点沿顺时针旋转得到， ，，， ， 又， ， ． ． ，， ． ． 在和中， ， ． （2）解：四边形是平行四边形， ． ． ， ． ． 由勾股定理，可求得． ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，勾股定理；熟练掌握以上知识是解题的关键． 16．【感知】如图，在平行四边形中，对角线相交于点，过点的直线分别交边于点，易证：（不需要证明）； 【探究】如图，平行四边形中，对角线相交于点，过点的直线分别交边的延长线于，求证：； 【应用】连接图中的，其它条件不变，如图，若，的面积为，则四边形的面积为__________． 【答案】探究：见详解， 应用：12 【分析】本题考查行四边形的性质、三角形全等的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题关键． [探究]由平行四边形的性质得到，所以，从而判定，得证； [应用]因为，所以．由可求，由平行四边形性质得，可求，同理可求，则． 【详解】解：探究：证明：四边形是平行四边形， ， ． 在和中 ， ， 应用：解：， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 同理，， ． 故答案为：． 二、利用平行四边形的性质证明 17．如图在平行四边形中，已知与关于点O对称，过点O任作直线分别交、于点M、N，下列结论：（1）点M和点N，点B和点D是关于点O的对称点；（2）直线必经过点O；（3）四边形是中心对称图形；（4）四边形和四边形的面积相等；（5）和成中心对称．其中，正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．5个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查中心对称和中心对称图形的概念及性质，以及平行四边形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题关键． 根据平行四边形是中心对称图形，对角线交点是其对称中心，逐一判断即可． 【详解】解：四边形是平行四边形，平行四边形是中心对称图形，对角线交点是其对称中心， 点O是的对称中心， 则有：（1）由中心对称概念可知，点M和点N，点B和点D是关于点O的对称点，故（1）正确； （2）是的对角线，所以直线必经过点O，故（2）正确； （3）四边形是中心对称图形，故（3）正确； （4）经过对角线交点的直线，平分的面积，所以四边形和四边形的面积相等，故（4）正确； （5）由题知绕点O旋转能得到，所以和成中心对称，故（5）正确； 综上所述，正确的有5个． 故选：C． 18．如图，为平行四边形的对角线，于点E，于点F，相交于点H，直线交线段的延长线于点G，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据“”可证明，得到，，可对①进行判断；通过判断为等腰直角三角形，得到，根据等角的余角相等得到，再根据平行四边形的性质得到，则，于是可对②进行判断；因为，，由，推出，可对③进行判断；接着由平行四边形的性质得，则，可对④进行判断． 【详解】解：在和中， ， ， ， ， ，故①错误； ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ，， ，故②正确； ，， ， ，故③错误； ，， ， ， ， ， ， ，故④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质以及勾股定理，熟练运用平行四边形的性质是本题的关键． 19．已知中，，，点为中点，点在边上，，若，判断下列五个结论中 ；；，平分； 正确的序号有 ． 【答案】①②③④⑤ 【分析】过点作交延长下于点，过点作交延长下于点，取的中点，连接，延长交于点，根据平行四边形的性质，直角三角形的性质结合勾股定理求出，即可求出，即可判断①；证明，即可判断②；根据三角形面积公式及平行四边形面积公式即可判断③；证明是的中位线，进而证明，即可证明，求出，易证是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一即可判断④；利用直角三角形的性质求出，由勾股定理求出，，即可判断⑤． 【详解】解：过点作交延长下于点，过点作交延长下于点，取的中点，连接，延长交于点， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴，平分（三线合一），故④正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 故答案为：①②③④⑤ ． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形中位线，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造三角形全等时解题的关键 ． 20．如图，将平行四边形纸片沿一条直线折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)为等腰直角三角形，理由见解析 【分析】（1）由折叠得到，，，然后得到，即可证明出； （2）首先根据平行四边形的性质得到，，然后由全等得到，得到，即可证明出为等腰直角三角形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 由折叠可得，，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，折叠的性质，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 21．已知，如图，把平行四边形纸片沿折叠，点落在处，与相交于点． (1)求证：； (2)连接，判断与的位置关系并且证明． 【答案】(1)见解析； (2)，见解析． 【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，平行四边形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据折叠的性质可得，再根据平行的性质可得，即有，进一步解答即可得解； （）结合平行四边形的性质以及（）的结论可得，即有，再根据，，结合三角形内角和定理可得，进而得到． 【详解】（1）证明：把平行四边形纸片沿折叠，点落在处， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：； 证明：连接，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 22．如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，点分别为的中点，连接． (1)求证：． (2)若，且，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握平行四边形性质和全等三角形的判定定理是解题关键． （1）由平行四边形性质，，再结合中点条件，利用“”即可证明． （2）根据题意得出为等腰三角形，由F是的中点，可得，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵平行四边形， ∴，，， ∴， ∵点E，F分别为的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ． （2）解：根据题意得 ∴， ∵平行四边形， ， ∴为等腰三角形， ∵点F是的中点， ∴， 在中，，， ， 23．在中，，过作于，连接，延长至，使，连接． (1)求证：； (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证得，，是解决问题的关键． （1）由已知证得，，根据全等三角形的判定证得，根据全等三角形的性质可得结论； （2）由勾股定理得求得，，由（1）知，，，即可求得结论． 【详解】（1）证明：， ， 四边形是平行四边形，，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：在中，，， ， 在中，，， ， 由（1）知，，， 四边形的周长为：． 24．如图，在中，E、F分别是上的点，G、H分别是的三等分点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定： （1）由平行四边形对边平行结合平行线的性质与判定定理可得，，再证明，则由全等三角形的判定定理即可证明结论； （2）过点G作于M，可证明，则，据此求出的长，再求出的长，从而求出的长，再由全等三角形的性质即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵G、H分别是的三等分点， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点G作于M， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 25．（1）如图，在中，E、F是对角线上的两点，并且，求证：． （2）如图，已知和的顶点A、E、F、C在同一条直线上，求证：． 【答案】（1）见详解；（2）见详解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是通过平行四边形的性质找出边角关系证明三角形全等． （1）先证，再证，问题即可得证； （2）连接，交于点，证问题即可得证． 【详解】证明：（1）在中，， ， ， ， ； （2）如图，连接，交于点， 在中，， 在，， ，即． 26．如图，在中，是边的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，平分，则的长为________． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）利用中点定义可得，再用平行四边形的性质可得，然后根据可证明； （2）首先求得，然后证得，进而得到． 【详解】（1）证明：是边的中点， ， 四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ； （2）解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，平行四边形的性质．熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 27．【提出问题】 如图1，在中，于点E，于点F．求证：； 【问题探究】 如图2，在四边形中，，G是的中点，P是上的一点，连接，．若，．求证：； 【拓展延伸】 如图3，在四边形中，，P是边上的一点，连接，．若，，，，，直接写出PD的长为 ． 【答案】提出问题：证明见解析；问题探究：证明见解析；拓展延伸： 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理； 提出问题：由垂直可得，由，可得，，得到，即可证明； 问题探究：过作于，过作于，过作交延长线于，先证明，得，，再证明，得到，推出，即可证明，得到，； 拓展延伸：过作于，过作交延长线于，证明，得到，再由勾股定理得到，最后根据计算即可． 【详解】解：提出问题：∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴； 问题探究：过作于，过作于，过作交延长线于，则， ∵G是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 拓展延伸：过作于，过作交延长线于，则， ∵， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 28．是等边三角形，点是射线上的一点（不与点，重合），连接，在的左侧作等边三角形，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，交于点． (1)如图1，当点为中点时，线段与的数量关系是______； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； (3)当，时，请求出的长． 【答案】(1) (2)成立，证明见解析 (3)的长为或 【分析】（1）证明，进一步可得答案； （2）连接，可证明，从而，，进而得出，从而得出，从而，结合得出四边形是平行四边形，从而得出； （3）分为两种情形：当点在的延长线上时，作于，可得出和，从而，进而得出，进一步得出结果；当点在上时，作于，可得出，即可求解． 【详解】（1）解：是等边三角形，点是的中点， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ； 故答案为：； （2）解：结论成立，证明如下： 连接，，如图， 和是等边三角形， ，，， ，即， ， ，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ； （3）解：当点在的延长线上时，作于，连接，如图， ， ∴ ， ， ， 由（2）知：， 和是等边三角形， ∴ 当点在上时，作于，如图， 同上知：和是等边三角形， ∴, ， ， ， ∵ ∴ ， 综上所述：的长为或． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型． 29．已知：在中，E、F分别在上，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，作，交于点G，连接，且，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点P，延长交于点K，若，求线段的长度． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)9 【分析】（1）根据四边形是平行四边形，证明四边形为平行四边形，即可求解； （2）证明，得出，从而证出，结合，再证明，即可证明； （3）作于，交于，交于，由（2）得，设，通过导角得到，进而得到，同理可得， 进而得到，再由勾股定理得到，最后得到． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ，， ， ， ∴四边形为平行四边形， ； （2）证明：在中，，， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ∴； （3）作于，交于，交于，则， ∵由（2）得，设， ∴， ∴，，， ∴ ， ∴，， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 因此长度为9． 【点睛】该题主要考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，平行线的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 30．【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第77页的部分内容． 平行四边形的性质定理3 ：平行四边形的对角线互相平分． 我们可以证明这个结论． 已知：如图，的对角线和相交于点O． 求证：．    请根据教材中的分析，结合图①，写出“平行四边形的对角线互相平分”这一性质的完整的证明过程． （1）证明：    【性质应用】 （2）如图②，的对角线相交于点O，过点O且与分别相交于点E、F，求证：； （3）连结AF，若，周长是16，则的周长是______． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）32 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明和是解题的关键． （1）证明，即可得出； （2）证明，即可得出； （3）由线段垂直平分线的性质得，再由三角形的周长得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵的周长是16， ∴， ∴的周长， 故答案为：32． 31．如图1，在中，对角线相交于点O，且，，点E为线段上一动点，连接，将绕点D逆时针旋转得到，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，当点F落在的外面，交于点M，且能构成四边形时，四边形的面积是否发生变化？若不变，请末出这个值，若变化，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)不变；4 【分析】（1）可证得，进而证得，从而； （2）由（1）得，从而，因为，从而，从而得出； （3）连接，作，交于，作于，可证得，从而，进一步得出结果． 【详解】（1）证明：∵绕点逆时针旋转得到， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图1， 设直线交于， 由（1）得，， ， ， ， ； （3）解：如图2．四边形的面积不变，理由如下， 连接，作，交于，作于， ∴， ∴， 由（2）可知，， ， ， 在四边形中，， ， ， ， ， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， 由得： ， ， ， ∴四边形的面积为：4． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质、勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 32．如图，在中，，，E为射线上一点，直线与直线交于点G，于H，的延长线与直线交于点F． (1)当E在线段上时， ①若，，求的面积； ②求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)①；②见解析 (2)2或 【分析】（1）①过点G作，垂足为P，证明是等腰直角三角形，求出，再根据含30度角的直角三角形的特征，求出，利用勾股定理求出，进而得到，利用勾股定理即可求出，即可得到的面积；②如图，延长交的延长线于，连接，利用全等三角形的性质证明即可； （2）根据题意可求，当点E在线段上时，根据，，，，可得，进而得到，即，同理（1）②可证，，进而得到，推出是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一，得到，即可求出；当点E在射线上时，同理证明是等腰三角形，即可解答． 【详解】（1）①解：过点G作，垂足为P， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积为：； ②如图1中，延长交的延长线于，连接， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：当点E在线段上时， ，，， ， ，， ， ，即， 同理（1）②得，，， ， 是等腰三角形， ， ； 当点E在射线上时， 同理得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ； 综上，长为2或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，直角三角形的特征，等腰三角形的判定与性质，正确的添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 33．已知在平行四边形中，动点在边上，以每秒的速度从点向点运动． (1)如图1，在运动过程中，若，平分，求的度数． (2)如图2，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在之间往返运动，，两点同时出发，当点到达点时停止运动同时点也停止，若，当运动时间为 秒时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形． (3)如图3，连结并延长与的延长线交于点，平分交于点，当，时，求的长 (4)如图4，在(1)的条件下，连结并延长与的延长线交于点，若，求的面积． 【答案】(1) (2)当运动时间为4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形 (3) (4) 【分析】（1）根据平行四边形的性质、角平分线的定义得到，得到，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质解答； （2）分、、、四种情况，根据平行四边形的性质定理列方程，解方程得到答案； （3）延长交于点，证明，可得，，再证明，得，然后利用线段的和差即可解决问题； （4）作，求出，根据三角形面积公式得到，得到答案． 【详解】（1）∵四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ； （2）四边形是平行四边形， ， ． 要使四边形是平行四边形，则， 设运动时间为秒，根据题意可知：，， ①当时，， ， 解得，不合题意； ②当时，， ， 解得，； ③当时，， ， 解得，； ④当时，， ， 解得，； 综上所述，当运动时间为秒或秒或秒时，，，四点组成的四边形是平行四边形； 故答案为：秒或秒或秒； （3）如图3，延长交于点， 四边形是平行四边形， ，， 平分， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 的长为； （4）如图2，作于， 是等边三角形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、三角形的面积计算，勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握三角形的面积公式、平行四边形的性质和判定定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 三、平行四边形性质与作图的综合 34．嘉嘉和淇淇在研究平行四边形的性质时，想到这样一个问题：如图，已知，G为CD边上一点，E为BC延长线上一点，以CG，CE为边作，请用一条直线平分与组合的图形面积．他们延长EF，AD交于点H，分别作出，，，对角线的交点P，Q，M，N，得出甲、乙、丙三种方案．下列说法正确的是（    ）    A．甲对，乙、丙错 B．甲、丙对，乙错 C．甲、乙对，丙错 D．乙、丙对，甲错 【答案】B 【分析】根据平行四边形为中心对称图形，得到过对称中心的任意一条直线平分平行四边形的面积，进行判断即可． 【详解】解：∵平行四边形为中心对称图形， ∴过对称中心的任意一条直线平分四边形的面积， 甲方案：直线既平分的面积，也平分的面积，符合题意；正确； 乙方案：直线平分的面积，所以下面阴影部分的面积大于上面的阴影部分的面，不符合题意；错误； 丙方案：直线既平分的面积，也平分，所以直线上方和下方的阴影部分面积也相等，符合题意；正确． 故选B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质．熟练掌握过平行四边形的中心的直线平分四边形的面积，是解题的关键． 35．在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，则的长为（   ） A．4 B．6 C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定．先由作图得到为的角平分，利用平行线证明，从而得到，再利用平行四边形的性质得到，即可求解． 【详解】解：由作图可知，为的角平分， ∴； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ 故选：D． 36．如图，在平行四边形中，按以下步骤作图： ①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，； ②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点； ③作射线，交于点，交的延长线于点． 则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了尺规作角平分线，平行四边形的性质，等腰三角形的判定等知识点，根据作图可得，是的角平分线，得出，在平行四边形中，，得出，从而得出，即可得，；在中，不能证明全等，故不能证明． 【详解】解：根据作图可得，是的角平分线， ∴，故A正确，不符合题意； ∵在平行四边形中，， ∴， ∴， ∴，，故B，C正确，不符合题意； ∵在中，只有，不能证明全等，故不能证明，符合题意； 故选：D． 37．在中，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，为的中点，连接，．若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据作图，得到平分，平行四边形的性质，推出，进而求出的长，勾股定理逆定理，得到，进而得到，勾股定理求出的长，利用斜边上的中线求出的长即可． 【详解】解：由作图可知：平分， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的中点， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了尺规作图一作角平分线，平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，以及斜边上的中线，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． 38．如图，在中，，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M、N为圆心，大于 为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点E，则四边形的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的尺规作图以及等边三角形的判定与性质．理解是的角平分线是解题的关键． 根据尺规作图可知是的角平分线，再结合平行四边形的性质得到，从而得到，进而推出，，再根据证明是等边三角形得到，最后把四边形各边长长度相加即可． 【详解】解：由尺规作图可知，是的角平分线，所以． 四边形是平行四边形， ，， ， ， ． ． ， 是等边三角形， 四边形的周长为：． 故答案为：． 39．在学习平行四边形时，小刚同学遇到这样一个问题：如图，在中，连接对角线于点E，过点B作的垂线，垂足为F，试证明线段与相等．小刚的思路是证三角形全等解决问题．请根据小刚的思路完成下面作图和解答： 用直尺和圆规，完成基本作图：过点B作的垂线，垂足为点F（保留作图痕迹，不写作法）． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴____________①，． ．（____________②） ， ∴____________③． ． ． 于是小刚同学得到结论：平行四边形中，一组对角顶点到____________④相等． 【答案】作图见解析；①；②两直线平行内错角相等；③；④对角线的距离 【分析】本题主要考查了尺规作垂线，三角形全等的判定和性质，平行四边形的性质，先以点B为圆心，任意长为半径画弧，交于M、N两点，再分别以M、N为圆心大于为半径画弧，两弧交于点P，连接，交于点F，根据平行四边形的性质和平行线的性质，证明即可得出答案． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴①，． ．（两直线平行内错角相等②） ， ∴③， ， ． 于是小刚同学得到结论：平行四边形中，一组对角顶点到对角线的距离④相等． 40．如图，在平行四边形中，．利用尺规在上分别截取，使；分别以E、F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内，交于点G；作射线交于点H．若，则的长为 ．    【答案】/ 【分析】根据平行四边形的性质得到，根据角平分线的定义得到，过B作于P，根据直角三角形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：在中，， ∴， 由作图知，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过B作于P，    ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：， 【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． 41．如图，在中，平分，交于点． (1)实践与操作：过点A作的垂线，分别交，于点，；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)猜想与证明：试猜想线段与的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了基本作图，平行四边形的性质，等腰三角形的判定． （1）根据“过直线外一点作已知直线的垂线的基本作法”作图； （2）根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质证明． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：，证明如下： 平分， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ． 42．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的四个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（画图过程用虚线，画图结果用实线）．    (1)在图1中，先在上画点E，使，再在上画点F，使； (2)在图2中，先在上画点H，使，再在上画点G，使． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】（1）取格点，连接交于点，点即为所求．连接交于点，连接，延长交于点，点即为所求； （2）如图，为的中点，取与格线的交点，则，再取格点，连接，取的中点，连接延长交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：如图，取格点，连接交于点，点即为所求．连接交于点，连接，延长交于点，点即为所求；    理由如下： ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：如图，为的中点，取与格线的交点，则， 取格点，连接，取的中点，连接延长交于点，点即为所求．    理由如下： ∵为的中点，， ∴， ∵，为的中点， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查作图应用与设计作图，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 43．如图是由小正方形组成的8×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，为上一格点，点为上任一点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图结果用实线表示，画图过程用虚线表示． (1)在图1中，先将线段向右平移得到线段、画出线段，再在上画点，使； (2)在图2中，先画出点关于的对称点、再在上找一点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先将线段向右平移得到线段、连接并延长交于点G即可； （2）作出点D关于的对称点H，连接并延长交于点G，则点G 即为所求作． 【详解】（1）如图所示，即为所作， （2）如图，点G即为所作， 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，平行四边形的判定和性质，垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 44．请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹． (1)如图1，在中，E是边上一点，在边上画点F，使； (2)如图2，在中，E是边上一点，且，画的平分线； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了作图复杂作图，平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，等边对等角，解题的关键是掌握以上知识点． （1）连接，交于点O，连接并延长交于点F即为所求； （2）连接，交于点O，连接并延长交于点F，连接即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，线段即为所求作．            ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴； （2）解：如图2中，线段即为所求作． ∵四边形是平行四边形 ∴， 由（1）得， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴平分． 45．如图：的对角线交于点O．    (1)基础训练： 经过点O且与、分别相交于E、F．求证： (2)拓展变式 若将条件改为经过点O且与、的延长线分别相交于E、F，第（1）问的结论是否成立，请按题意画出图形，标注字母，并给予证明． (3)观察归纳 的对角线交于点O，直线是经过点O的任意一条直线，将的面积分为两部分，设四边形的面积为，四边形的面积为，则______．    (4)实践操作 你能否只画一条直线，将下图中两个平行四边形的面积同时平分，若能，请画出这条直线（用虚线画出辅助线）；若不能，请说明理由．    【答案】(1)见解析 (2)成立，图和证明见解析 (3) (4)见解析 【分析】（1）利用平行四边形的性质证明，可得； （2）画出图形，同（1）的方法证明即可； （3）根据全等三角形的性质得到，，等量代换可得，即可证明； （4）分别找出两个平行四边形对角线的交点，再连接即可． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）成立，理由是： 在中，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；    （3）同（1）可证：，， ∴，， ∴， ， ∴； 故答案为：； （4）能，如图，直线即为所求．    【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用平行四边形的性质得到线段，面积之间的关系． 46．探究：如图1，在ABCD中，AC，BD交于点O，过点O的直线交AD于点E，交BC于点F． (1)求证：四边形AEFB与四边形DEFC的周长相等． (2)直线EF是否将ABCD的面积分成二等份？试说明理由． (3)应用：张大爷家有一块平行四边形菜园，园中有一口水井P，如图2，张大爷计划把菜园平均分成两块，分别种植西红柿和茄子，且使两块地共用这口水井，请你帮助张大爷把地分开． 【答案】(1)证明见解析 (2)直线是将的面积分成二等份，理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得，再根据三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质可得，同样的方法可证出，，然后根据四边形的周长公式即可得证； （2）先根据平行四边形的性质可得，再根据三角形全等的判定证出，从而可得，根据全等三角形的性质可得，，由此即可得出结论； （3）连接交于点，作直线，则直线两侧的四边形面积相等． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 在和中，， ， ， 同理可证：， ， ， 四边形与四边形的周长相等． （2）解：直线是将的面积分成二等份，理由如下： 四边形是平行四边形， ， 在和中，， ， ， 由（1）已证：，， ，， ， 四边形与四边形的周长相等， 即直线将的面积分成二等份． （3）解：连接交于点，作直线，则直线两侧的四边形面积相等，如图所示： 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 四、平行四边形与一次函数的综合 47．如图，一次函数的图像与轴和轴分别交于点和点，将沿直线对折，使点与点重合，直线与轴交于点，与交于点，连接． (1)求的面积； (2)求的长度； (3)在轴上方有一点，且以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)16 (2)3 (3)条件的点的坐标是：，． 【分析】（1）先分别求出A、B两点的坐标，然后根据三角形的面积公式即可求解； （2）设，则AC=8-x，再根据题意可得BC=AC=8-x，最后根据勾股定理列方程求解即可； （3）分别以AB、AC、BC为对角线的三种情况解答即可． 【详解】（1）解：一次函数的解析式为与轴和轴分别交于点和点 令，得，解， 令，得， ． ∴． （2）解：设，则AC=8-x 沿直线对折，点与点重合， ∴BC=AC=8-x 在中，， ∴，解得 ∴． （3）解：设P（a，b）a＞0， ∵ ∴C（3,0） ①当以AB为对角线时 ∵C（3,0），A（8,0） ∴A点相当于C点向右平移了5个单位 ∴点P相当于点B向右平移了5个单位 ∵B(0,4) ∴P(5,4) ②以AC为对角线，点P在第四象限，不符合题意舍弃； ③当以BC为对角线时 ∵C（3,0），A（8,0） ∴C点相当于A点向左平移了5个单位 ∴P点相当于点B向左平移了5个单位 ∵B(0,4) ∴P(-5,4) ． 综上，P点坐标为（5,4）或（-5,4）． 【点睛】本题主要考查一次函数的图像及性质、平行四边形的性质等知识点，熟练掌握一次函数的图像及性质以及分类讨论思想是解答本题的关键． 48．如图，在平面直角坐标系中，，四边形为平行四边形，点D在x轴上，且，动点P从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿x轴正方向运动，同时，动点Q从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿y轴正方向运动．    (1)求点C的坐标； (2)当运动时间t为何值时，以P，B，C，D为顶点的四边形面积为20； (3)在线段上是否存在点R，使与全等？若存在，求出点R的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)或7 (3)存在，R的坐标为，， 【分析】（1）根据平行四边形的性质即可解答； （2）求出点D坐标，分类讨论：分P在线段或P在线段OD的延长线上两种情况，根据梯形的面积公式，列方程即可解答； （3）分两种情况：当在线段上时；当在线段延长线上时，按照全等三角形的判定条件进行讨论，列方程即可解答． 【详解】（1）解：平行四边形， ， ，， ； （2）解：， ， 当在线段上时，如图所示，   ， 四边形是梯形， 四边形的面积为 ， ， ； 当在线段的延长线上时，如图所示，    同理可得， ， ， 综上，当运动时间或者7时，以P，B，C，D为顶点的四边形面积为20； （3）在线段上存在点R，使与全等． 解：当在线段上时，如图所示，    设，则，， 若全等，可分为两种情况 ①当时， 列方程可得 ， 解得， 此时， ， ，， ②当时， 列方程， 解得， 此时， , ； 当在线段延长线上时，如图所示，    设，则，， 若全等， ∵， ， 则：，解得， 此时 ， 综上，R的坐标为，，． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，梯形的面积公式，全等三角形的性质，能进行分类讨论，是解题的关键． 49．已知，，是直线在第二象限内的一点，且，将线段沿轴翻折得到点的对应点 ． （1）当时，求直线的解析式； （2）用含的代数式表示的面积； （3）作平行四边形，当时，请直接写出点的坐标 ． 【答案】（1）（2）；（3） ． 【分析】（1）根据b=2，得到点B坐标为，利用待定系数法即可求出AB的解析式； （2）作BD∥x轴，作PD∥y轴，PD、BD交于点D，证明△OBO≌BPD，得到，确定点P坐标为进而得到坐标为，利用割补法即可求解； （3）设，根据平行四边形性质得到，根据平移特点即可求出x、y，问题得解． 【详解】解：（1）当时，坐标是， 设解析式为， 将，代入， 得， 解得； ∴直线解析式为； （2）如图，作BD∥x轴，作PD∥y轴，PD、BD交于点D， ∴∠BAO=∠PBD，∠BOA=∠D=90°， ， ∴△ＡBO≌BPD， ，   ， ∵点P与点关于x轴对称， ； ； （3）设， ∵四边形为平行四边形， 为矩形，D为AP1中点 ∴AD=AB 有对称变换可知，AB=AD，OA平分∠BAD ∴△ＡBD为等边三角形，OA⊥BD于点O 则对角线BC在y轴上 ∴∠BCA=30° ∴ ． 【点睛】本题为一次函数综合题，难度较大，熟知待定系数法，轴对称与坐标特点，理解平行四边形的性质及特点是解题关键． 50．定义：对于给定的一次函数（，k、b为常数），把形如（，k、b为常数）的函数称为一次函数（，k、b为常数）的衍生函数．已知的顶点坐标分别为，，，． (1)点在一次函数的衍生函数图象上，则 ； (2)如图，一次函数（，k、b为常数）的衍生函数图象与交于M、N、P、Q四点，其中P点坐标是，并且，求该一次函数的解析式． (3)一次函数（，k、b为常数），其中k、b满足． ①请问一次函数的图象是否经过某个定点，若经过，请求出定点坐标；若不经过，请说明理由； ②一次函数（，k、b为常数）的衍生函数图象与恰好有两个交点，求b的取值范围． 【答案】(1)1或 (2) (3)①过定点，；②或且 【分析】（1）根据衍生函数的定义可知一次函数的衍生函数为．再分类讨论：当时和当时，求解即可； （2）根据题意可求出一次函数的衍生函数图象过点，即得出，从而得出一次函数的衍生函数为．由题意可知，，即可求出点、、的坐标分别为、、，进而可求出，，，结合三角形和梯形的面积公式可列出关于k的方程，解出k的值，即可求解； （3）①根据题意可得，代入并整理，得：，即说明过定点，定点坐标为； ②由①可知：一次函数的衍生函数图象经过定点和， 其解析式为：，且点在内．设衍生函数图象与轴的交点为，点沿轴向上平移过程中，当衍生函数图象经过点A时，与有三个交点，结合图象可知时，衍生函数图象恰好与有两个交点，符合题意；点沿轴继续向上平移，当衍生函数图象经过点时，与有三个交点，结合图象可知且时，衍生函数图象恰好与有两个交点，符合题意． 【详解】（1）解：根据衍生函数的定义可知一次函数的衍生函数为． 分类讨论：当时，则，解得：； 当时，则，解得：． ∴或． 故答案为：1或； （2）解：根据题意得，当时，一次函数的衍生函数图象过点 代入得：，即， ∴一次函数的衍生函数为． ∵，， ∴，，， 解得：，，， ∴点、、的坐标分别为、、， ∴，， ∴， ． ∵， ∴， 解得：， 代入检验是方程的解， 将代入，解得， ∴该一次函数的解析式为； （3）解：①∵， ∴， 代入，得：， ∵当时，， ∴过定点，定点坐标为； ②由①可知：一次函数的衍生函数图象经过定点和， 其解析式为：，且点在内． 设衍生函数图象与轴的交点为，点沿轴向上平移过程中，当衍生函数图象经过点A时，与有三个交点，如图， 将代入， 解得：，， ∴时，衍生函数图象恰好与有两个交点，符合题意； 点沿轴继续向上平移，当衍生函数图象经过点时，与有三个交点，如图， ∴且时，衍生函数图象恰好与有两个交点，符合题意． ∴当或且时，衍生函数图象恰好与有两个交点． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，平行四边形的性质，分式方程的实际应用等知识．理解衍生函数的定义，并利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键． 51．如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴、轴于点，，一次函数的图象经过点，并与x轴交于点，点是直线上的一个动点．    (1)直线的表达式为___________，并直接写出点的坐标___________； (2)若的面积为18，求点坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，当在轴上方时，过点作轴的垂线，交直线于点．是轴上一点，在直线找到，使以、、，为顶点的四边形是以为边的平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征求点和点坐标,再将点坐标代入一次函数即可求解； （2）过点作轴于，设点，则，根据可得的值，即可求解． （3） 【详解】（1）当时，，解得，则点坐标为； 当时，，则点坐标为； 将点坐标代入一次函数得：， 直线的表达式为， 当时，，解得，则点坐标为； 故答案为：，； （2）过点作轴于，    设点， ， 点坐标为，点坐标， ， ， ， ， 当时，；当时，， 存在，点的坐标为或； （3）在轴上方， ， 当时，， ， ， 设点，则， ， 当时，以、、，为顶点的四边形是以为边的平行四边形， ，解得：或， 当时，， 当时，，， ∴点的坐标为或. 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，三角形的面积，勾股定理，待定系数法，平行四边形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 52．如图，在平面直角坐标系中，直线与交于点B，与x轴交于点A，且有如下信息： ①当时，；当时，：②当时，． (1)求的函数表达式； (2)点C在的图象上，当是以为底的等腰三角形时，求的面积； (3)在（2）的条件下，点M在x轴上，点N在直线的图象上，当以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N的坐标． 【答案】(1) (2)12 (3)(-2,3)或(10，-3) 【分析】(1)由题意可推出点A(4,0)，点B(-2,3)，将A，B两 点坐标代入，从而求得结果； (2)根据等腰三角形性质可得C点的横坐标，进而求得点C坐标，进一步求得结果； (3)分成三种情形：，和，当时，此时点N和点B重合，当和时，点N的纵坐 标和点C点纵坐标相同，从而求得结果． 【详解】（1）解：由题意得，当x=-2时，, ∴B（-2,3）， 又∵A（4,0）， 将A（4,0），B（-2,3）代入得：， 解得：， ∴ （2）∵AC=OC，OA=4， ∴点C横坐标为：2， 当x=2时， ∴； （3）当四边形ACMN是平行四边形时，AM与CN互相平分， ∵OB=OC， ∴点N与点B重合，OM=OA， ∴N（-2，3）， 当四边形ACNM是平行四边形时，CN∥AM， ∴当点N坐标为-3， ∴， 解得：x=10， ∴N（10，-3），M（12，0）， 当四边形AMCN是平行四边形时, N（10，-3），M（-6，0）， 综上所述：点N（-2，3）或（10，-3）． 【点睛】本题考查了一次函数及其图象性质，平行四边形性质和分类，等腰三角形性质等知识，解决问题的关键是正确分类． 53．直线与轴交于A，与轴交于，直线与轴交于点，与直线交于点，过点作轴于点． (1)求点的坐标； (2)是轴上一动点，过作轴的垂线，分别与直线，交于，，设的长为d，点的横坐标为，请求出d与之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下，当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形．（直接写出结果） 【答案】(1)点E的坐标为（2，0）； (2)当t<2时，d=-t+6-(t+2)=-2t+4；，当t≥2时，d=t+2-(-t+6)=2t-4； (3)即当t的值为0或4时，以M，N，E，D为顶点的四边形是平行四边形． 【分析】（1）联立两直线可求得D点坐标，由轴于点，可求得点E的坐标； （2）用t分别表示出M、N的坐标，则可表示出d与t之间的关系式； （3）由条件可知MN//DE，利用平行四边形的性质可知MN=DE，由(2)的关系式可得到关于t的方程，可求得t的值． 【详解】（1）解：联立 ，可得 ， 故点D的坐标为（2，4）， ∵轴于点， ∴点E的坐标为（2，0）． （2）解：∵P点的横坐标为，过作轴的垂线，分别与直线，交于，， ∴把x=t代入y=-x+6中可得y=-t+6，即M(t，-t+6)， 把x=t代入y=x+2中可得y=t+2，即N (t，t+2)， 当t<2时，d=-t+6-(t+2)=-2t+4； 当t≥2时，d=t+2-(-t+6)=2t-4． （3）解：由题意可知MN//DE， 若以M，N，E，D为顶点的四边形是平行四边形， 则MN=DE=4， ∴，解得t=0或t=4， 即当t的值为0或4时，以M，N，E，D为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、平行四边形的性质及方程思想等知识．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 54．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段上，将线段绕着点C顺时针旋转得到，此时点D恰好落在直线上时，过点D作轴于点E． (1)求证：； (2)求点D的坐标； (3)若点P在y轴上，点Q在直线上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见详解 (2) (3)或或 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，全等三角形的判定及性质，平行四边形的性质等； （1）由旋转的性质得，，由即可得证； （2）由全等三角形的性质得，，设， ，将此点代入直线的解析式，即可求解； （3）①当为边，在第二象限时，由平行四边形得点向右平移个单位，再向上平移个单位得到，点向右平移个单位，再向上平移个单位得到，即可求解；②当为边，在第一象限时，同理可求；③为对角线时，同理可求； 掌握全等三角形的判定及性质，平行四边形的性质，能根据点的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）证明：， ， ， 将线段绕着点C顺时针旋转得到， ， ， ， ， 在和中 （）； （2）解：当时，， ， ， ， ， 设， ， ， ， 解得：， ， ； （3）解：①如图，当为边，在第二象限时， 四边形是平行四边形， ， ， ，， 点向右平移个单位，再向上平移个单位得到， 点向右平移个单位，再向上平移个单位得到， 设， ， 解得：， ， ； ②如图，当为边，在第一象限时， 同理可得：点向右平移个单位，再向上平移个单位得到， ， 解得：， ， ； ③如图，为对角线时， 同理可得：点向右平移个单位，再向上平移个单位得到， 点向右平移个单位，再向上平移个单位得到， ， 解得：， ； ； 综上所述：Q点坐标为或或． 55．如图，直线分别交轴，轴于点，（点在轴负半轴上），直线经过点，交轴于点，且． （1）求直线的解析式； （2）平面内是否存在一点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由； （3）若，过点的直线分别交直线，于、两点，是否存在这样的实数，，使得线段被点平分？若存在，请求出，的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，，，；（3）存在，，． 【分析】（1）由求出B，C点坐标，再根据，即，求出AC的长度，从而求得点的坐标； （2）设点D的坐标为（m，n），分为对角线、为对角线及为对角线三种情况，利用平行四边形的性质（对角线互相平分）结合中点坐标公式，得出两组对角的两个点的横纵坐标之和分别相等，列出方程组即可求出点D的坐标； （3）由于线段被点平分，那么可以得出点是线段的中点，设出M，N的坐标，根据中点坐标公式列出方程组，求得M，N的坐标，即可求出解析式． 【详解】解：（1）由题意得，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， ∵函数图象经过点（﹣1，0），（0，4） ∴，解得， ∴直线的解析式为． 故答案为：； （2）设点D的坐标为（m，n），分三种情况考虑（如图）： ①当为对角线时，∵，，， ∴，解得：， ∴点的坐标为； ②当为对角线时，∵，，， ∴，解得：， ∴点的坐标为； ③当为对角线时，∵，， ∴，解得：， ∴点的坐标为． 综上，，，． 故答案为：存在，，，； （3）由（1）得直线的解析式为， ∵直线分别交直线，于，两点， 设， 由题可知，线段被点平分， ∴，解得， ∴，， 将，代入得， ，解得， ∴，． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，一次函数求解析式，平行四边形的性质以及中点坐标公式等，掌握分类讨论思想以及公式是解题的关键． 56．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB：y＝x＋4交x轴于点A，交y轴于点B．直线CD：y＝-x-1与直线AB相交于点M，交x轴于点C，交y轴于点D． （1）直接写出点B和点D的坐标； （2）若点P是射线MD的一个动点，设点P的横坐标是x，△PBM的面积是S，求S与x之间的函数关系； （3）当S＝20时，平面直角坐标系内是否存在点E，使以点B，E，P，M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P坐标并求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）B（0，4），D（0，-1）；（2）S＝＋x（x>-5）；（3）存在，P点为（3，-2）；E（8，）或（-8，）或（-2，） 【分析】（1）利用y轴上的点的坐标特征即可得出结论； （2）先求出点M的坐标，再用三角形的面积之和即可得出结论； （3）分三种情况利用对角线互相平分的四边形是平行四边形和线段的中点坐标的确定方法即可得出结论． 【详解】解：（1）∵点B是直线AB：y=x+4与y轴的交点坐标， ∴B（0，4）， ∵点D是直线CD：y=-x-1与y轴的交点坐标， ∴D（0，-1）； （2）如图1， ∵直线AB与CD相交于M， ∴ ①-②可得：x+5=0， ∴x=-5， 把x=-5代入②可得：y=， ∴M坐标为（-5，）， ∵B（0，4），D（0，-1）， ∴BD=5， ∵点P在射线MD上， 当P在MD的延长线上时，x≥0， S=S△BDM+S△BDP=×5（5+x）= ， 当P在线段MD上时，-5＜x＜0， S=S△BDM-S△BDP=×5（5+x）=， ∴S=（ x＞-5） （3）如图， 由（2）知，S=， 当S=20时，=20， ∴x=3， ∴P（3，-2）， ①当BP是对角线时，取BP的中点G，连接MG并延长取一点E'使GE'=GM， 设E'（m，n）， ∵B（0，4），P（3，-2）， ∴BP的中点坐标为（，1）， ∵M（-5， ）， ∴， ∴m=8，n=， ∴E'（8，）， ②当AB为对角线时，同①的方法得，E（-8，）， ③当MP为对角线时，同①的方法得，E''（-2，-）， 即：满足条件的点E的坐标为（8，）、（-8， ）、（-2，-）． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了三角形的面积的计算方法，平行四边形的性质，解（2）掌握三角形的面积的计算方法，解（3）的关键是分类讨论的思想解决问题． 57．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴相交于A（6，0）、B（0，2）两点，动点C在线段OA上（不与）O、A重合），将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，当点D恰好落在直线AB时，过点D作DE⊥x轴于点E． （1）求证：； （2）求经过A、B两点的一次函数表达式，如图2，将沿x轴正方向平移得，当直线B′C′经过点D时，求点D的坐标、的面积； （3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，通过画图说明理由，并指出点Q的个数． 【答案】（1）见解析；（2）D（3，1），的面积为；（3）存在，满足条件点Q存在三个点，如图所示见解析． 【分析】（1）根据同角的余角相等得到，通过AAS即可得到结论； （2）通过待定系数法求出直线AB的一次函数式，设OC＝ED＝m，从而得到点D的坐标，进而即可求出的面积； （3）分别以CD为平行四边形的边和对角线，画出图形，即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图1中， ， （2）设直线AB的一次函数式为： ∵直线AB与x轴，y轴交于A（6，0），B（0，2）两点， ∴，解得： ∴可求得直线AB的一次函数式为： ∵BO＝CE＝2，设OC＝ED＝m，则D（m＋2，m）， 把D（m＋2，m）代入，得m＝1， ∴D（3，1） ∴等腰直角 △BCD 腰长：， ∵与△BCD的全等， ∴的面积＝△BCD的面积＝； （3）满足条件点Q存在三个点，如图所示 【点睛】本题主要考查一次函数的图象和性质、三角形全等的判定和性质定理以及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理以及平行四边形的性质，以及分类讨论思想是解题的关键． 试卷第2页，共95页 1 / 93 学科网（北京）股份有限公司 $$